El documento explica la Ley o Teorema del Seno, que establece la relación entre los ángulos y los lados opuestos en triángulos oblicuángulos. Se aplica cuando se conoce una relación entre un ángulo y su lado opuesto. También presenta un ejemplo numérico de cómo usar la ley para encontrar un ángulo desconocido y un lado.
Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptxblogdealgebraunad
Este documento presenta información sobre trigonometría plana. Incluye las siguientes secciones: razones trigonométricas en triángulos rectángulos, teorema de seno y coseno, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones trigonométricas. Explica conceptos como las razones trigonométricas, las leyes de seno y coseno, y cómo usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones.
Este documento resume conceptos clave de trigonometría como la ley de los senos, la ley de los cosenos y las identidades trigonométricas. Explica cómo usar las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos oblicuos cuando se conocen diferentes datos. También describe las identidades trigonométricas básicas, de suma y diferencia, de ángulo doble y mitad. Finalmente, ofrece consejos para resolver problemas de aplicación trigonométrica.
Este documento resume los conceptos básicos de triángulos, funciones trigonométricas e identidades. Explica los componentes de los triángulos, las funciones trigonométricas derivadas de los lados de un triángulo rectángulo, y cómo el teorema de Pitágoras se usa para encontrar longitudes de lados. También cubre sistemas de unidades, funciones cuadráticas e identidades trigonométricas.
Este documento explica conceptos básicos de trigonometría. Primero define trigonometría como la medición de ángulos y lados de triángulos. Luego señala que se enfocará en el triángulo rectángulo y define las razones trigonométricas en términos de los catetos y la hipotenusa. Finalmente, presenta valores de las razones trigonométricas para ángulos notables como 30°, 45° y 60°.
Teorema del coseno o de los cosenos convertidoElmerCardoza1
El documento describe el teorema del coseno, que establece la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Explica que para aplicar el teorema se necesita conocer la longitud de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Luego presenta la demostración del teorema y resuelve tres problemas como ejemplos de su aplicación para hallar lados u ángulos desconocidos.
Este documento explica las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos. Define la ley de los senos como una relación de proporcionalidad entre los lados y senos de ángulos opuestos. Explica cómo aplicarla a triángulos acutángulos y obtusángulos. También define la ley de los cosenos como una generalización del teorema de Pitágoras, y explica cómo aplicarla a diferentes tipos de triángulos. Incluye ejemplos de aplicación de ambas leyes.
Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptxblogdealgebraunad
Este documento presenta información sobre trigonometría plana. Incluye las siguientes secciones: razones trigonométricas en triángulos rectángulos, teorema de seno y coseno, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones trigonométricas. Explica conceptos como las razones trigonométricas, las leyes de seno y coseno, y cómo usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones.
Este documento resume conceptos clave de trigonometría como la ley de los senos, la ley de los cosenos y las identidades trigonométricas. Explica cómo usar las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos oblicuos cuando se conocen diferentes datos. También describe las identidades trigonométricas básicas, de suma y diferencia, de ángulo doble y mitad. Finalmente, ofrece consejos para resolver problemas de aplicación trigonométrica.
Este documento resume los conceptos básicos de triángulos, funciones trigonométricas e identidades. Explica los componentes de los triángulos, las funciones trigonométricas derivadas de los lados de un triángulo rectángulo, y cómo el teorema de Pitágoras se usa para encontrar longitudes de lados. También cubre sistemas de unidades, funciones cuadráticas e identidades trigonométricas.
Este documento explica conceptos básicos de trigonometría. Primero define trigonometría como la medición de ángulos y lados de triángulos. Luego señala que se enfocará en el triángulo rectángulo y define las razones trigonométricas en términos de los catetos y la hipotenusa. Finalmente, presenta valores de las razones trigonométricas para ángulos notables como 30°, 45° y 60°.
Teorema del coseno o de los cosenos convertidoElmerCardoza1
El documento describe el teorema del coseno, que establece la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Explica que para aplicar el teorema se necesita conocer la longitud de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Luego presenta la demostración del teorema y resuelve tres problemas como ejemplos de su aplicación para hallar lados u ángulos desconocidos.
Este documento explica las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos. Define la ley de los senos como una relación de proporcionalidad entre los lados y senos de ángulos opuestos. Explica cómo aplicarla a triángulos acutángulos y obtusángulos. También define la ley de los cosenos como una generalización del teorema de Pitágoras, y explica cómo aplicarla a diferentes tipos de triángulos. Incluye ejemplos de aplicación de ambas leyes.
Este documento introduce los conceptos básicos de la trigonometría en triángulos rectos, incluyendo las definiciones de las seis funciones trigonométricas principales y cómo se relacionan con los lados del triángulo y el ángulo dado. También explica las cofunciones trigonométricas y cómo una función es igual a la cofunción del ángulo complementario. Finalmente, proporciona ejemplos y enlaces adicionales para practicar estas ideas fundamentales.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Incluye conceptos como las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente), el teorema de Pitágoras, y las leyes de senos y cosenos. Tiene aplicaciones en áreas como la astronomía, geografía y navegación.
Uso de los triángulos rectángulos, sus partes, hipotenusa y catetos, como poderlos referenciar desde un ángulo dado. Asimismo, poderlos identificar y ubicar dada la gráfica del triángulo rectángulo.
Este documento explica la ley de cosenos y la ley de senos, que son teoremas trigonométricos utilizados para resolver triángulos cuando no se conocen todos los ángulos y lados. La ley de cosenos relaciona el cuadrado de un lado de un triángulo con los cuadrados de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre ellos. La ley de senos proporciona una relación entre los lados divididos por los senos de los ángulos opuestos. El documento incluye ejemplos de cómo aplic
Este documento resume conceptos clave de la trigonometría, incluyendo pensamiento variacional y trigonométrico, funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente, teoremas trigonométricos como la ley del seno y del coseno, identidades trigonométricas como las reciprocas y pitagóricas, y consejos para verificar identidades.
El documento trata sobre la historia y conceptos básicos de la trigonometría. Explica los componentes de los ángulos y triángulos, los sistemas de medición de ángulos, y las funciones y teoremas trigonométricos más importantes como el Teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y las identidades trigonométricas. Además, introduce conceptos como la circunferencia unitaria y las leyes del seno y coseno para la resolución de triángulos.
Este documento presenta la unidad 2 sobre pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos clave como triángulos, teorema de Pitágoras, circunferencia unitaria y funciones trigonométricas. Muestra ejemplos para calcular lados y ángulos desconocidos de triángulos rectángulos usando estas herramientas matemáticas. El propósito es relacionar el pensamiento variacional con el estudio de la trigonometría plana para solucionar problemas y ejercicios.
Este documento presenta los conceptos básicos de trigonometría, incluyendo: 1) los sistemas de medición de ángulos (sexagesimal, horario y circular), 2) las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) definidas a partir de triángulos rectángulos, y 3) el cálculo de valores trigonométricos en la circunferencia trigonométrica.
Este documento trata sobre geometría y trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos mediante las seis funciones trigonométricas. También describe cómo resolver triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas, y triángulos oblicuángulos usando la ley de senos y la ley de cosenos.
Este documento presenta conceptos básicos de logaritmos, trigonometría y ángulos. Define logaritmos, funciones logarítmicas y sus propiedades. Explica el concepto de ángulo, sistemas de medición, clasificación de triángulos y teorema de Pitágoras. También define funciones trigonométricas, razones trigonométricas y resuelve ejercicios aplicando estas nociones.
El documento describe conceptos básicos de trigonometría, incluyendo las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, el teorema del seno y del coseno, y varias identidades trigonométricas fundamentales. Explica cómo calcular ángulos desconocidos usando estas relaciones y presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Establece la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Presenta la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Presenta la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Presenta la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
Este documento presenta temas claves de la unidad 2 de pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos como funciones trigonométricas, razones trigonométricas, teoremas del seno y coseno, identidades trigonométricas y cómo resolver problemas aplicando estas ideas. Incluye ejemplos y tareas para reforzar la comprensión de estos importantes temas matemáticos.
Este documento presenta varios temas y herramientas matemáticas para resolver ejercicios de trigonometría, incluyendo la ley del seno, la ley del coseno, relaciones trigonométricas, identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. Explica cómo aplicar estos conceptos para determinar ángulos y lados desconocidos en triángulos. El documento concluye mostrando un ejemplo numérico de cómo usar las relaciones trigonométricas para calcular un ángulo formado por tangentes a una
Este documento trata sobre el pensamiento variacional y trigonométrico. Explica que el pensamiento variacional involucra modelar procesos de variación entre variables para desarrollar el pensamiento matemático. Luego, introduce conceptos básicos de trigonometría como las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, la ley del seno y la ley del coseno. Finalmente, cubre identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Se desarrolló hace más de 2000 años por los griegos para predecir posiciones astronómicas. Mide ángulos en grados u otras unidades y define funciones como seno, coseno y tangente. Incluye leyes como la de seno y coseno que relacionan lados y ángulos, e identidades fundamentales.
La elipse es un lugar geométrico en el que la suma de las distancias desde cualquier punto a los dos focos es constante. Puede ser una elipse horizontal u vertical. Se caracteriza por tener la suma de x2 y y2 igualada a un número o 1 en su forma canónica. Los elementos incluyen el centro, vértices, focos y excentricidad.
El documento explica las expresiones algebraicas, incluyendo monomios, binomios, trinomios y polinomios. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir estos términos algebraicamente, siguiendo propiedades como los signos y exponentes. También cubre la relación entre productos notables y la factorización de expresiones.
Este documento introduce los conceptos básicos de la trigonometría en triángulos rectos, incluyendo las definiciones de las seis funciones trigonométricas principales y cómo se relacionan con los lados del triángulo y el ángulo dado. También explica las cofunciones trigonométricas y cómo una función es igual a la cofunción del ángulo complementario. Finalmente, proporciona ejemplos y enlaces adicionales para practicar estas ideas fundamentales.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Incluye conceptos como las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente), el teorema de Pitágoras, y las leyes de senos y cosenos. Tiene aplicaciones en áreas como la astronomía, geografía y navegación.
Uso de los triángulos rectángulos, sus partes, hipotenusa y catetos, como poderlos referenciar desde un ángulo dado. Asimismo, poderlos identificar y ubicar dada la gráfica del triángulo rectángulo.
Este documento explica la ley de cosenos y la ley de senos, que son teoremas trigonométricos utilizados para resolver triángulos cuando no se conocen todos los ángulos y lados. La ley de cosenos relaciona el cuadrado de un lado de un triángulo con los cuadrados de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre ellos. La ley de senos proporciona una relación entre los lados divididos por los senos de los ángulos opuestos. El documento incluye ejemplos de cómo aplic
Este documento resume conceptos clave de la trigonometría, incluyendo pensamiento variacional y trigonométrico, funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente, teoremas trigonométricos como la ley del seno y del coseno, identidades trigonométricas como las reciprocas y pitagóricas, y consejos para verificar identidades.
El documento trata sobre la historia y conceptos básicos de la trigonometría. Explica los componentes de los ángulos y triángulos, los sistemas de medición de ángulos, y las funciones y teoremas trigonométricos más importantes como el Teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y las identidades trigonométricas. Además, introduce conceptos como la circunferencia unitaria y las leyes del seno y coseno para la resolución de triángulos.
Este documento presenta la unidad 2 sobre pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos clave como triángulos, teorema de Pitágoras, circunferencia unitaria y funciones trigonométricas. Muestra ejemplos para calcular lados y ángulos desconocidos de triángulos rectángulos usando estas herramientas matemáticas. El propósito es relacionar el pensamiento variacional con el estudio de la trigonometría plana para solucionar problemas y ejercicios.
Este documento presenta los conceptos básicos de trigonometría, incluyendo: 1) los sistemas de medición de ángulos (sexagesimal, horario y circular), 2) las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) definidas a partir de triángulos rectángulos, y 3) el cálculo de valores trigonométricos en la circunferencia trigonométrica.
Este documento trata sobre geometría y trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos mediante las seis funciones trigonométricas. También describe cómo resolver triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas, y triángulos oblicuángulos usando la ley de senos y la ley de cosenos.
Este documento presenta conceptos básicos de logaritmos, trigonometría y ángulos. Define logaritmos, funciones logarítmicas y sus propiedades. Explica el concepto de ángulo, sistemas de medición, clasificación de triángulos y teorema de Pitágoras. También define funciones trigonométricas, razones trigonométricas y resuelve ejercicios aplicando estas nociones.
El documento describe conceptos básicos de trigonometría, incluyendo las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, el teorema del seno y del coseno, y varias identidades trigonométricas fundamentales. Explica cómo calcular ángulos desconocidos usando estas relaciones y presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Establece la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Presenta la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Presenta la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El documento explica las relaciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos. Define la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. Presenta la fórmula pitagórica c2 = a2 + b2 donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Explica que estas relaciones permiten calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
Este documento presenta temas claves de la unidad 2 de pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos como funciones trigonométricas, razones trigonométricas, teoremas del seno y coseno, identidades trigonométricas y cómo resolver problemas aplicando estas ideas. Incluye ejemplos y tareas para reforzar la comprensión de estos importantes temas matemáticos.
Este documento presenta varios temas y herramientas matemáticas para resolver ejercicios de trigonometría, incluyendo la ley del seno, la ley del coseno, relaciones trigonométricas, identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. Explica cómo aplicar estos conceptos para determinar ángulos y lados desconocidos en triángulos. El documento concluye mostrando un ejemplo numérico de cómo usar las relaciones trigonométricas para calcular un ángulo formado por tangentes a una
Este documento trata sobre el pensamiento variacional y trigonométrico. Explica que el pensamiento variacional involucra modelar procesos de variación entre variables para desarrollar el pensamiento matemático. Luego, introduce conceptos básicos de trigonometría como las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, la ley del seno y la ley del coseno. Finalmente, cubre identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Se desarrolló hace más de 2000 años por los griegos para predecir posiciones astronómicas. Mide ángulos en grados u otras unidades y define funciones como seno, coseno y tangente. Incluye leyes como la de seno y coseno que relacionan lados y ángulos, e identidades fundamentales.
La elipse es un lugar geométrico en el que la suma de las distancias desde cualquier punto a los dos focos es constante. Puede ser una elipse horizontal u vertical. Se caracteriza por tener la suma de x2 y y2 igualada a un número o 1 en su forma canónica. Los elementos incluyen el centro, vértices, focos y excentricidad.
El documento explica las expresiones algebraicas, incluyendo monomios, binomios, trinomios y polinomios. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir estos términos algebraicamente, siguiendo propiedades como los signos y exponentes. También cubre la relación entre productos notables y la factorización de expresiones.
La elipse es un lugar geométrico en el que la suma de las distancias desde cualquier punto a los dos focos es constante. Puede ser una elipse horizontal u vertical. Se caracteriza por tener la suma de x2 y y2 igualada a un número o a 1 en su forma canónica. Los elementos principales son el centro, los vértices, los focos y la excentricidad.
El documento explica la Ley o Teorema del Seno, que establece la relación entre los ángulos y los lados opuestos en triángulos oblicuángulos. Se aplica cuando se conoce una relación entre un ángulo y su lado opuesto. La fórmula principal es a/senA = b/senB = c/senC. También incluye un ejemplo de cómo aplicar la ley para resolver un problema geométrico.
El documento explica las expresiones algebraicas, incluyendo monomios, binomios, trinomios y polinomios. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir estos términos algebraicamente, siguiendo propiedades como los signos y exponentes. También cubre la relación entre productos notables y la factorización de expresiones.
Problemáticas de fundamentación Matemática.pptxYonatanHoyos1
Este documento describe los principales problemas de fundamentación matemática a lo largo de la historia, incluyendo el problema del infinito, la introducción del axioma de Zermelo, y el descubrimiento de los números irracionales y magnitudes inconmensurables. Presenta esta información de manera clara a través de un cuadro sinóptico para mejor comprensión.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
2. Para aplicar la Ley o Teorema del Seno, es importante tener presente que
este hace presencia para triángulo, específicamente en los oblicuángulos
(los que no son rectángulos, puesto que estos se pueden trabajar con razones
trigonométricas y el Teorema de Pitágoras).
Es importante conocer que
generalmente los ángulos se les
denomina con letras mayúsculas o
Letras griegas y sus lados opuestos al
ángulo con letras minúsculas.
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠ⅇ𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠ⅇ𝑛𝐶
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠ⅇ𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠ⅇ𝑛𝛾
o
Nota: Puede aplicarse también tal
fórmula, con los senos arriba, y los
lados abajo, es decir los lados
dividiendo al seno.
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
3. La Ley o Teorema del Seno, es la relación entre el ángulo y su lado opuesto, se aplica cuando se conoce
una relación entre ellos, y cualquier otra información.
Ejemplo: Encontrar el Seno del ∡𝐴 y el lado “c” si se conoce que el ∡𝐵 es igual a 30°, el (∡𝐶) es igual a
101,3°, el lado “b” es igual a 10 cm, además que el lado opuesto del ∡𝐴 ,es decir el lado “a” es igual a 15
cm.
1. Obtenemos los datos conocidos.
∡𝐴 =?
∡𝐵 = 30°
𝑏 = 10 𝑐𝑚
𝑎 = 15 𝑐𝑚
∡𝐶 = 101,3°
2. Aplicamos la fórmula de la ley
del seno para encontrar el ángulo A
y reemplazamos valores.
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠ⅇ𝑛𝐵
15
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
10
𝑠𝑒𝑛30°
𝑠𝑒𝑛30° ∙ 15 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 10
𝑠𝑒𝑛30° ∙ 15
10
= 𝑠𝑒𝑛𝐴
3. Iniciamos por despejar Seno A para
poder dar con su dato, y luego en la
calculadora realizamos la operación
donde debemos todo lo de arriba
dividirlo entre 10 cm.
𝑠𝑒𝑛𝐴 = 0,75
sⅇn−1
𝑠𝑒𝑛𝐴 = sⅇn−1
0,75
𝐴 = 48,6°
4. Al seno de A, para obtener el valor del
ángulo A, le aplicamos el arcoseno en
ambos miembros, así despejamos el
ángulo y encontramos su valor.
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
𝑐
𝑠ⅇ𝑛𝐶
5. Aplicamos la fórmula de la ley del seno para
encontrar el lado “c”, podemos tomar cualquiera de
las relaciones completas encontradas y despejamos el
lado c..
𝑠𝑒𝑛101,3° ∙ 15 = 𝑠𝑒𝑛48,6° ∙ 𝑐
𝑐 = 19,6 𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛101,3° ∙ 15 𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛48,6°
= 𝑐
15
𝑠ⅇ𝑛48,6
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛101,3°
Figura realizada en GeoGebra
4. Para aplicar la Ley o Teorema del Coseno, es importante tener presente que
este hace presencia para triángulos oblicuángulos (los que no son
rectángulos, puesto que estos se pueden trabajar con razones
trigonométricas y el Teorema de Pitágoras).
Al igual como se
mencionó
anteriormente, es
importante conocer
que generalmente los
ángulos se les
denomina con letras
mayúsculas o Letras
griegas y sus lados
opuestos al ángulo
con letras
minúsculas.
Nota: Esta Ley o Teorema del Coseno se aplica cuando se conoce un ángulo y los
dos lados que lo forman, al igual que cuando se conocen los tres lados, es decir:
o LAL
o LLL
Figura realizada en GeoGebra Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
5. En la Ley o Teorema del Coseno, el comienzo de su fórmula es similar al
Teorema de Pitágoras, solo que se le resta el doble del los dos lados que lo
anteceden y luego se multiplica por el coseno del ángulo opuesto al lado
que se quiere encontrar, de esa fórmula se despejan los valores que se
quieren encontrar
Se puede observar que del
lado que se quiere
encontrar, se le conoce su
ángulo opuesto al que se
le aplica el coseno.
Fórmula para
cuando se
quiere conocer
un lado.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏. cos 𝐶
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
= cos 𝐵
Fórmula para
cuando se
quiere conocer
un ángulo.
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
= −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵
𝑐2
− 𝑎2
− 𝑏2
−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
= cos 𝐶
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏. cos 𝐶
𝑐2
− 𝑎2
− 𝑏2
= −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝐶
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
−2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
= cos 𝐴
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
= −2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
6. Ejemplo: Encontrar a través del Teorema del Coseno el lado “a” si el ángulo A
mide 45° y sus lados que los forman “b” mide 6 cm y “c” mide 8 cm, luego
encontrar el ángulo B.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
= cos 𝐵
∡𝐴 = 45°
𝑏 = 6 𝑐𝑚
𝑐 = 8 𝑐𝑚
𝑎 =?
1. Obtenemos los datos conocidos.
2. Aplicamos la fórmula de la
Ley del Coseno para encontrar
el lado “a” y reemplazamos
valores.
𝑎2
= 6𝑐𝑚 2
+ 8𝑐𝑚 2
− 2 6cm 8𝑐𝑚 ∙ cos 45°
𝑎2
= 36𝑐𝑚2
+ 64𝑐𝑚2
− 96𝑐𝑚2
∙ 0,70
𝑎2
= 100𝑐𝑚2
− 67,2𝑐𝑚2
𝑎2
= 32,8𝑐𝑚2
𝑎2 = 32,8𝑐𝑚2
𝑎 = 5,72𝑐𝑚
3. Aplicamos la fórmula de la
Ley del Coseno para encontrar
el ángulo B y reemplazamos
valores.
62
− 5,722
− 82
−2 ∙ 5,72 ∙ 8
= cos 𝐵
36 − 32,71 − 64
−91,52
= cos 𝐵
−60,72
−91,52
= cos 𝐵
0,663 = cos 𝐵 4. Para despejar el ángulo B
le aplicamos el arcoseno a
ambos miembros.
cos−1
0,663 = cos−1
cos 𝐵
48,4° = 𝐵
Figura realizada en GeoGebra
7. Las Razones o Funciones Trigonométricas se aplican a triángulos rectángulos,
donde cuenta con un ángulo recto, hipotenusa, dos ángulos diferentes al recto y
su cateto opuesto y su cateto adyacente.
Las Razones o Funciones son seis (6) Seno, Coseno, Tangente,
Cotangente, Secante y Cosecante, y en ellas hace presencia el
cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa:
• Cateto opuesto, aquel que esta al frente del
ángulo diferente al ángulo recto.
• Cateto adyacente aquel que esta a un lado
del ángulo diferente al recto y no es la
hipotenusa.
• Hipotenusa es el lado más largo, además es el
lado opuesto al ángulo recto
8. En las Razones o Funciones Trigonométricas se cumple que si
seguimos el orden anterior de estas, las tres últimas
funciones son las opuestas a las tres primeras, es decir:
Seno -----Cosecante
Coseno----Secante
Tangente---Cotangente
Opuesto
Seno: Para calcular el seno de un ángulo, se divide el cateto opuesto
sobre la hipotenusa.
Coseno: Para calcular el coseno de un ángulo, se divide el cateto
adyacente sobre la hipotenusa.
Tangente: Para calcular la tangente de un ángulo, se divide el cateto
opuesto sobre el cateto adyacente.
Cotangente: Para calcular la cotangente de un ángulo, se divide el
cateto adyacente sobre el cateto opuesto.
Secante: Para calcular la secante de un ángulo, se divide la hipotenusa
sobre el cateto adyacente.
Cosecante: Para calcular la cosecante de un ángulo, se divide la
hipotenusa sobre el cateto opuesto
Figura realizada en GeoGebra
9. 𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑠𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑜
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝛽 =𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙 Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟,
𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠.
Ejemplo: Calcular las seis razones trigonométricas para los ángulos “ 𝛽 , 𝛾”
del siguiente triángulo rectángulo
ℎ =? 𝑎 = 10𝑐𝑚 𝑏 = 8𝑐𝑚
ℎ2
= 𝑎2
+ 𝑏2
ℎ2
= 𝑎2
+ 𝑏2
ℎ2
= (10 𝑐𝑚)2
+ (8 𝑐𝑚)2
ℎ2
= 100 𝑐𝑚2
+ 64 𝑐𝑚2
ℎ2
= 164 𝑐𝑚2
ℎ2 = 164 𝑐𝑚2
ℎ = 12,8 𝑐𝑚
Al no saber el valor del otro lado que es
necesario para aplicar algunas razones
trigonométricas, aplicamos el teorema de
Pitágoras para hallar en este caso el valor
de la hipotenusa, luego podemos aplicar
cada una de las funciones para los
ángulos solicitados
sⅇn 𝛾 =
𝑐𝑜
ℎ
cos 𝛾 =
𝑐𝑎
ℎ
tan 𝛾 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
sⅇn 𝛾 =
10𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
cos 𝛾 =
8𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
tan 𝛾 =
10𝑐𝑚
8𝑐𝑚
sⅇn 𝛾 = 0,78 cos 𝛾 = 0,625 tan 𝛾 = 1,25
sⅇn 𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
cos 𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
tan 𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
sⅇn 𝛽 =
8𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
cos 𝛽 =
10𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
tan 𝛽 =
8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
sⅇn 𝛽 = 0,625 cos 𝛽 = 0,78 tan 𝛽 = 0,8
cot 𝛽 =
10𝑐𝑚
8𝑐𝑚
sⅇc 𝛽 =
12,8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
csc 𝛽 =
12,8𝑐𝑚
8𝑐𝑚
cot 𝛽 = 1,25 sⅇc 𝛽 = 1,28 csc 𝛽 = 1,6
cot 𝛽 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
sⅇc 𝛽 =
ℎ
𝑐𝑎
csc 𝛽 =
ℎ
𝑐𝑜
cot 𝛾 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
sⅇc 𝛾 =
ℎ
𝑐𝑎
csc 𝛾 =
ℎ
𝑐𝑜
cot 𝛾 =
8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
sⅇc 𝛾 =
12,8𝑐𝑚
8𝑐𝑚
csc 𝛾 =
12,8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
cot 𝛾 = 0,8 sⅇc 𝛾 = 1,6 csc𝛾 = 1,28
10. Hay que recordar que
una ecuación es una
igualdad, ahora bien,
una identidad es una
ecuación donde se
cumple para
cualquier valor que se
le de a la variable.
Una Identidad Trigonométrica es una identidad
donde hace presencia las funciones trigonométricas,
y las incógnitas son los nombres que se le dan a los
ángulos. Hay que recordar que se deben trabajar en
una identidad con funciones que contengan el
mismo nombre del ángulo para que lleve el nombre
de Identidad.
Ejemplo: tan 𝛽 =
sin 𝛽
cos 𝛽
Si a la incógnita o al ángulo 𝛽 le colocamos un
valor, en todos los campos donde este, la igualdad
se cumplirá.
tan 20° =
sin 20°
cos 20°
Comprobamos en la calculado los valores.
0,36 =
0,34
0,93
0,36 = 0,36
11. Se tiene que tener presente que
entre las identidades
trigonométricas tenemos:
Identidades recíprocas e
identidades pitagóricas.
Identidades Recíprocas: Son ocho
(8) identidades recíprocas, las seis
(6) primeras se forman por el uno
(1) divido el inverso de cada una
de las funciones, ya anteriormente
hablamos quienes eran los inversos
de cada uno; las otras dos
identidades recíprocas son la
tangente y la cotangente, donde la
tangente es igual al seno dividido
coseno y la cotangente al ser la
inversa de la tangente sería la
división del coseno sobre el seno.
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
1
𝐶𝑠𝑐𝛽
𝐶𝑜𝑠𝛽 =
1
𝑆𝑒𝑐𝛽
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
1
𝐶𝑜𝑡𝛽
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
1
𝑇𝑎𝑛𝛽
𝑆𝑒𝑐𝛽 =
1
𝐶𝑜𝑠𝛽
𝐶𝑠𝑐𝛽 =
1
𝑆𝑒𝑛𝛽
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
𝑆𝑒𝑛𝛽
𝐶𝑜𝑠𝛽
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
𝐶𝑜𝑠𝛽
𝑆𝑒𝑛𝛽
12. Para demostrar que cada una de
estas son identidades, se tiene que
tener presente cada una de las
funciones trigonométricas:
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑠𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑜
Ejemplo. Demostrar la siguiente identidad:
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
1
𝐶𝑠𝑐𝛽
Reemplazamos valores y para aplicar la ley de extremos y medios
le asignamos un 1 al numerador para convertirla a fracción.
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
1
1
ℎ
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
𝑐𝑜
ℎ
=
𝑐𝑜
ℎ
13. Identidades Pitagóricas : En esta se tiene
presente el teorema de Pitágoras que dice,
que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos,
en este caso, la hipotenusa es 1 y los
catetos son el Seno de un ángulo y el
Coseno del mismo ángulo. Se debe tener
presente las funciones trigonométricas
12
= 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
1 = 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
𝑠𝑒𝑛2
𝛽 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
De esta fórmula se pueden
encontrar otras.
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝛽
1
𝑠𝑒𝑛2 𝛽
=
𝑠𝑒𝑛2𝛽
𝑠𝑒𝑛2𝛽
+
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
𝑠𝑒𝑛2𝛽
𝑐𝑠𝑐2 𝛽 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛽
1
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
=
𝑠𝑒𝑛2
𝛽
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
+
𝑐𝑜𝑠2
𝛽
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
𝑠𝑒𝑐2
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛2
𝛽 +1
𝑐𝑜𝑡2 𝛽 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛽 − 1
𝑡𝑎𝑛2
𝛽 = 𝑠𝑒𝑐2
𝛽 −1
14. Ejemplo. Comprobar la siguiente identidad:
Reemplazamos valores que
permitan que se cumpla la
identidad con las funciones
trigonométricas conocidas, pues
estas sirven para cualquier
exponente.
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1
Buscamos igualar uno de los
miembros, en este caso es más
fácil igualar al segundo
miembro
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1
2 𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 = 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1
15. Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para
estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del
Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/6
9943?page=159
Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
Rondón, J. (2017). Modulo Algebra, Trigonometría y
Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583