Doc 20181110-wa0009

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Problemas
de Transferencia
de Calor

Problemas
de Transferencia
de Calor
Carlos Corrochano Sánchez · José Antonio Fernández Benítez
Javier Muñoz Antón · Adriana Ortiz Gómez
D XTRAEDITORIAL

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Javier Muñoz Antón, Adriana Ortiz Gómez
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autorización expresa por escrito de Dextra Editorial. S.L.
ISBN: 978‐84‐16277‐24‐7
Depósito legal: M‐31218‐2014
Impreso en España. Printed in Spain

Hoy y siempre, en todos los planes de estudios de cualquier rama de la ingeniería, en las uni-
versidades de todo el mundo, existe un hueco de mayor o menor tamaño para la Transmisión
o Trans erencia de alor ontar con una uena i liogra a puede y de e ayudar al uturo
ingeniero en la asimilación de los conceptos y en la aplicación pr c ca de los mismos
unque la i liogra a es amplia y de calidad en nuestra materia, no queremos de ar pasar
la ocasión para aportar nuestro grano de arena. En esta ocasión, presentando este libro de
problemas resueltos cuyas soluciones se han pensado y escrito en aras de una me or com-
prensión por parte del lector clasi cado seg n la tem ca de la asignatura y homogenei ado
en su formato para una más fácil lectura.
o quisi ramos que el libro sirviese exclusivamente para responder a la cues ón prima-
ria que suscita cada uno de los enunciados: el “cómo se hace”. Más bien el lector debería
responderse a cues ones prác cas de suma importancia en su presente y futuro profesional:
de qu orden de magnitud estamos hablando , cómo podría op mi arse el sistema que se
propone en cadae ercicio , qu factor o variable in uye más en el resultado nal , cuál es
el lengua e que se emplea en el área de la ingeniería t rmica
e busca que desarrolle el lector su ingenio: vea una barra de combus ble nuclear dónde
aparece un cilindro con generación interna de calor; o un radiador de calefacción donde pro-
ponemos una placa plana ver cal. prenda los niveles de temperatura en que nos movemos.
sí, cuando lo que tenga delante sea una pantalla de ordenador podrá detectar, u li ando
su sen do com n y su experiencia universitaria, si el resultado que se propone es lógico y
plausible.
a experiencia nos dice que no basta con ver cómo se resuelve un e ercicio; la capacita-
ción exige intentar hacerlo desde el principio, y posteriormente obtener conclusiones que
sirvan para encarar otros problemas de índole similar.
hablando de co-autores, no sería usto de ar de citar y agradecer su colaboración a
profesores que han par cipado, en mayor o menor medida, en la proposición, adaptación
y resolución de algunos de los e ercicios que aquí se recogen. or orden alfab co nuestros
compañeros y ex-compañeros lberto bánades, os uis Elviro, ablo eón, os María
Mar ne - al y uis ebollo, cuyo talento en la enseñan a de la Transferencia de alor en
nuestra Escuela, la T cnica uperior de ngenieros ndustriales de la niversidad olit cnica
de Madrid, no nos pasa desapercibido.

Índice
1. Conducción en régimen permanente
PROBLEMA 1. Pared con capas irregulares sin fuente............................................................................................ 9
PROBLEMA 2. Placa plana multicapa: optimización de la capa aislante............................................................... 12
PROBLEMA 3. Placa plana multicapa con sumidero de calor ............................................................................... 14
PROBLEMA 4. Placa plana multicapa con fuente de calor.................................................................................... 16
PROBLEMA 5. Pared cilíndrica multicapa con fuente ........................................................................................... 19
PROBLEMA 6. Pared cilíndrica multicapa con fuente: ecuación diferencial......................................................... 23
PROBLEMA 7. Pared cilíndrica multicapa: tubería aislada y sin aislar .................................................................. 26
PROBLEMA 8. Esfera con fuente interna de calor y convección exterior ............................................................. 28
PROBLEMA 9. Placa con fuente de calor no constante......................................................................................... 30
PROBLEMA 10. Placa plana multicapa con dos fuentes de calor.......................................................................... 32
PROBLEMA 11. Pared cilíndrica con dos fuentes de calor .................................................................................... 34
PROBLEMA 12. Aleta tipo aguja con extremo caliente......................................................................................... 36
PROBLEMA 13. Aleta tipo aguja con extremo frío ................................................................................................ 38
PROBLEMA 14. Aletas rectas en un de canal de refrigeración de un circuito electrónico.................................... 40
PROBLEMA 15. Dos aletas tipo aguja de distinto material unidas en serie.......................................................... 43
PROBLEMA 16. Conjunto de aletas tipo aguja...................................................................................................... 46
PROBLEMA 17. Cilindro con fuente aleteado con aletas anulares ....................................................................... 50
PROBLEMA 18. Condensación sobre tubo aleteado con aletas anulares ............................................................. 53
PROBLEMA 19. Cilindro aleteado con aletas anulares.......................................................................................... 55
PROBLEMA 20. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional ......................................................... 59
PROBLEMA 21. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - forjado .......................................... 62
PROBLEMA 22. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - mallado cilíndrico.......................... 66
PROBLEMA 23. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - aleta .............................................. 68
PROBLEMA 24. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - aleta triangular ............................. 71
2. Conducción en régimen transitorio
PROBLEMA 25. Régimen transitorio: pared plana (Heisler).................................................................................. 75
PROBLEMA 26. Régimen transitorio: pared plana (Heisler).................................................................................. 77
PROBLEMA 27. Cilindro con fuente de calor + régimen transitorio (Heisler) ....................................................... 79
PROBLEMA 28. Régimen transitorio: cilindro (método de la capacitancia).......................................................... 82
PROBLEMA 29. Régimen transitorio: cilindro (Heisler)......................................................................................... 84
PROBLEMA 30. Régimen transitorio en tres dimensiones (cubo)......................................................................... 87
PROBLEMA 31. Régimen transitorio en cilindro (Heisler e iteración).................................................................. 89
3. Convección sin cambio de fase
PROBLEMA 32. Convección forzada interior de tubería ....................................................................................... 97
PROBLEMA 33. Convección forzada: chimenea vertical de humos ...................................................................... 99
PROBLEMA 34. Convección forzada: flujo normal a cilindro (transistor) ........................................................... 102
PROBLEMA 35. Convección forzada: haz de tubos (batería de agua caliente) ................................................... 104
PROBLEMA 36. Convección forzada: haz de barras ............................................................................................ 106
PROBLEMA 37. Convección forzada: tubo aleteado con convección forzada por el interior ............................. 109
PROBLEMA 38. Convección forzada: cilindro multicapa..................................................................................... 113
PROBLEMA 39. Convección libre: cilindro horizontal ......................................................................................... 116
PROBLEMA 40. Convección libre: placa horizontal............................................................................................. 119
PROBLEMA 41. Convección forzada y libre en tubería ....................................................................................... 122
PROBLEMA 42. Placa horizontal con condiciones de convección forzada y libre............................................... 125
PROBLEMA 43. Convección forzada y libre placa inclinada................................................................................ 128

4. Convección con cambio de fase
PROBLEMA 44. Ebullición nucleada. Olla express............................................................................................... 133
PROBLEMA 45. Curva de ebullición .................................................................................................................... 135
PROBLEMA 46. Ebullición nucleada y en película sobre filamento metálico ..................................................... 138
PROBLEMA 47. Ebullición: banco de 10 cilindros horizontales (generador de vapor)........................................ 140
PROBLEMA 48. Condensación y convección forzada.......................................................................................... 143
PROBLEMA 49. Ebullición y condensación simultáneas...................................................................................... 145
5. Radiación
PROBLEMA 50. Cilindro cerrado por superficies semiesféricas.......................................................................... 149
PROBLEMA 51. Horno cúbico.............................................................................................................................. 152
PROBLEMA 52. Cilindros concéntricos................................................................................................................ 154
PROBLEMA 53. Cilindro finito ............................................................................................................................. 156
PROBLEMA 54. Conducto de sección triangular ................................................................................................. 158
PROBLEMA 55. Cilindro cerrado por superficie recta y superficie semiesférica................................................. 160
PROBLEMA 56. Horno cúbico.............................................................................................................................. 162
PROBLEMA 57. Prisma de base cuadrada........................................................................................................... 165
PROBLEMA 59. Recinto troncónico..................................................................................................................... 170
PROBLEMA 61. Recinto finito formado por tubos concéntricos......................................................................... 176
PROBLEMA 62. Dos cilindros concéntricos en recinto grande............................................................................ 178
PROBLEMA 63. Cilindro en gran recinto ............................................................................................................. 181
PROBLEMA 64. Placa horizontal apoyada en gran recinto ................................................................................. 183
PROBLEMA 65. Placa vertical suspendida en gran recinto ................................................................................. 185
PROBLEMA 66. Placas ensayo y patrón en gran recinto..................................................................................... 187
PROBLEMA 67. Panel solar.................................................................................................................................. 190
PROBLEMA 68. Horno con pequeño visor de vidrio ........................................................................................... 192
PROBLEMA 69. Placa: una cara a cielo y la otra a un gran recinto ..................................................................... 195
PROBLEMA 70. Pieza pequeña dentro de horno grande.................................................................................... 196
6. Transmisión de calor combinada
PROBLEMA 71. Radiación y conducción: horno y cilindro multicapa ................................................................ 201
PROBLEMA 72. Radiación y convección libre: pared que separa dos recintos................................................... 203
PROBLEMA 73. Radiación y conducción: esfera en rég. transitorio.................................................................... 205
PROBLEMA 74. Radiación y convección libre: placa horizontal expuesta a suelo y cielo .................................. 208
PROBLEMA 75. Radiación y convección libre: fluido ideal a dos temperaturas ................................................. 211
PROBLEMA 76. Radiación y convección libre :placa con fuente interna en recinto........................................... 213
PROBLEMA 77. Radiación y conducción: aleta y balance radiativo con bóveda celeste .................................... 216
PROBLEMA 78. Radiación y conducción: panel solar con métodos numéricos.................................................. 219
PROBLEMA 79. Radiación y convección: formación de capa de hielo en lámina de agua.................................. 222
7. Intercambiadores de calor
PROBLEMA 80. Cambiador de flujos cruzados (aerorrefrigerante) .................................................................... 229
PROBLEMA 81. Cambiador de placas en contracorriente................................................................................... 231
PROBLEMA 82. Cambiador de carcasa y tubos: distintas configuraciones......................................................... 234
PROBLEMA 83. Cambiador de placas en contracorriente................................................................................... 236
PROBLEMA 84. Cambiador de placas en una instalación de energía solar térmica............................................ 238
PROBLEMA 85. Tres cambiadores de carcasa y tubos en paralelo ..................................................................... 241
PROBLEMA 86. Cambiador de flujos cruzados (aerotermo)............................................................................... 246
PROBLEMA 87. Cambiador de carcasa y tubos................................................................................................... 250

1. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE
7

PROBLEMA 1
Se tiene un muro de 21 cm de espesor, tal y como se representa en la figura adjunta, con las
dimensiones indicadas. La cara izquierda del muro se encuentra a una temperatura de 400ºC y la
derecha a 100ºC. Considerando conducción de calor unidireccional y resistencia de contacto nula
entre los bloques que lo forman, y sabiendo que la temperatura en la intersección DEF es de 295ºC,
determinar:
1) El flujo de calor que atraviesa el muro.
2) La temperatura en el punto de contacto entre los bloques B, D y E.
3) La conductividad del material D.
4) La diferencia de temperaturas a lo largo del bloque F.
5) ¿En qué condiciones sería difícil justificar el tratamiento unidimensional del problema?
DATOS
Conductividades (W/m K): A= 2 B= 8 C= 10 E= 35 F= 2
SOLUCIÓN
El análisis de este programa de conducción multicapa se puede realizar mediante el símil eléctrico
equivalente, que responde al siguiente esquema:
En donde las resistencias térmicas por unidad de área correspondientes de cada uno de los
elementos que se indican son:
Conducción en Régimen Permanente. 9

2
a
a
a
L 0 01 m K
R 0 005
k 2 W
,
,
b
b
b
L 3 0 05
R 0 01875
k 1 3 8
,
,
2
m K
W
c
c
c
L 3 0 05
R 0 015
k 1 3 10
,
,
2
m K
W
d
d
d d d
L 2 0 1 0 2
R
k 1 2 k k
, , 2
m K
W
e
e
e
L 2 0 1
R 0 005714
k 1 2 35
,
,
2
m K
W
f
f
f
L 0 05
R 0 025
K 2
,
,
2
m K
W
El flujo de calor que atraviesa el muro lo hace a través del bloque F, en el que se tiene una diferencia
de temperaturas de 195ºC, con lo que:
F
f
T 295 100
q 7800
R 0 025, 2
W
m
La resistencia total de todo el muro se obtiene a partir del flujo que se transmite a través de todos
sus nodos:
2
1 5 1 5
T
T
T T 400 100 m K
q R 0 03846
R q 7800 W
,
Esta resistencia total se obtiene por la combinación de resistencias en serie y paralelo de la
configuración del muro.
T 1 2 2 3 3 4 4 5R R R R R
En la que cada uno de estos componentes es:
1 2 aR R 0 005,
2
m K
W
1
2 3
c b c
1 1 1
R 0 005357
R R R
,
2
m K
W
1
3 4
d e
1 1
R
R R
4 5 fR R 0 025,
2
m K
W
10 Problemas de Transferencia de Calor.

Del análisis de resistencias en el tramo 1-3 se obtiene la temperatura en el nodo 3, punto de contacto
entre los bloques BDE.
1 3
1 3 1 2 2 3
1 3
T
q 7800 T q R R 7800 0 010357 80 8 C
R
, , º
Con lo que la temperatura en el nodo 3 es:
T3= 400-80,8= 319,2ºC.
A partir de la resistencia total se deduce que la resistencia asociada al tramo en el que se encuentra
el bloque D ha de ser:
3 4 T 1 2 2 3 4 5R R R R R 0 003104,
2
m K
W
Del análisis de D y E en paralelo se obtiene la resistencia del bloque D
1
3 4 d d
d d
1 1 0 2 W
R 0 003104 R 0 006797 k 29 42
R 0 005714 k mK
,
, , ,
, ·
La conductividad del material D es de 29,42 W/m K.
En este problema las conductividades de los materiales, especialmente los que se encuentran en
paralelo, son comparables, con lo que la distribución de temperaturas a lo largo del muro se prevé
que sea bastante constante en la dirección paralela a las paredes de los muros, siendo aplicable un
análisis 1-D.
En el caso en que las conductividades sean muy diferentes entre los materiales, las resistencias
térmicas asociadas a cada uno de los elementos serían muy diferentes, lo que provocaría distorsiones
en las distribuciones de temperatura en el muro que harían que esa distribución fuera difícil de
aproximar con una función 1-D, y tendría que ser calculada en 2-D, con una red de nodos más
compleja o mediante métodos numéricos. Con conductividades de los materiales muy diferentes en
las dos direcciones, no se podría realizar un análisis unidimensional sin incurrir en errores locales de
consideración. Un ejemplo de este tipo de problemática se puede encontrar en los puentes térmicos
en estructuras aisladas.

PROBLEMA 2
Una placa de acero (k = 43 W/m K) de 1,25 cm de espesor está expuesta por un lado a vapor a 650ºC
con un coeficiente de transmisión calorífica de 570 W/m2
K.
Se desea aislar la superficie exterior de la placa, de modo que la superficie exterior expuesta del
aislamiento no exceda de 38ºC. Para reducir el coste, se aplica a la superficie de acero un costoso
aislamiento resistente a las altas temperaturas
(k=0,04 W/m K), y después se pone en el exterior un
aislamiento más económico (k = 0,09 W/m K). La
temperatura máxima admisible para el aislamiento
más económico es de 315ºC.
El coeficiente de transmisión en la superficie más
exterior es de 11,3 W/m2
K y el aire ambiente está a
30ºC.
Determinar los espesores comerciales más económicos de ambos aislantes, sabiendo que la gama
varía de 5cm en 5 cm de espesor, con valores máximos de 30 cm.
SOLUCIÓN
El flujo de calor máximo para que la temperatura exterior del montaje sea de 38ºC es:
e ext aire 2
MAX
q W
h T T 11 3 38 30 90 4
A m
( ) , ·( ) ,
Por encima del cuál la temperatura exterior del aislante 2 superará el valor requerido de 38ºC.
Haciendo una primera estimación con dicho flujo de calor pueden obtenerse los espesores teóricos
necesarios:
2 aire
2
2 2MAX
2 ext
T Tq 315 30
90 4 x 0 276m
x x1 1A
k h 0 09 11 3
int,
, ,
, ,
vap 2
1
acero 11MAX
acero 1
T Tq 650 315
90 4 x 0 148m
x xx 1 0 01251A
570 43 0 04h k k
int,
int
, ,
,
,
Al mejorar ligeramente el espesor teórico del aislante 1, podría ser posible disminuir el espesor
teórico del aislante 2. Comprobando:
vapor aire
2
acero 1 2
acero 1 2 ext
T Tq 650 30 W
93 68
x 1 0 0125 0 15 0 25 1x x1 1A m
570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint
,
, , ,
, , ,
Al ser un valor superior al máximo, la temperatura exterior del montaje será superior a 38ºC, y por
consiguiente no es válida la suposición.

El flujo de calor queda:
vapor aire
2
acero 1 2
acero 1 2 ext
T Tq 650 30 W
86 42
x 1 0 0125 0 15 0 30 1x x1 1A m
570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint
,
, , ,
, , ,
Lógicamente inferior al valor máximo, y que por tanto cumple la condición “temperatura exterior del
montaje inferior a 38ºC”.
A continuación se comprueba la temperatura interior del aislante económico:
2
2 aire
ext 2
xq 1 1 0 30
T T 30 86 42 325 7 C
A h k 11 3 0 09
int,
,
, · , º
, ,
Resultando superior a la temperatura máxima que permite dicho aislamiento. Por tanto los
espesores elegidos no son válidos. Es necesario disminuir dicha temperatura, aumentando el espesor
del aislante 1.
vapor aire
2
acero 1 2
acero 1 2 ext
T Tq 650 30 W
91 75
x 1 0 0125 0 20 0 15 1x x1 1A m
570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint
,
, , ,
, , ,
Valor superior al máximo, y por tanto suposición incorrecta.
vapor aire
2
acero 1 2
acero 1 2 ext
T Tq 650 30 W
84 78
x 1 0 0125 0 20 0 20 1x x1 1A m
570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint
,
, , ,
, , ,
Valor también inferior al máximo y que satisface la condición de la temperatura exterior del montaje.
Recalculando la temperatura interior del aislante más económico:
2
2 aire
ext 2
xq 1 1 0 20
T T 30 84 78 225 9 C
A h k 11 3 0 09
int,
,
, · , º
, ,
Valor inferior a 315ºC y que por consiguiente resulta adecuado. Así, la solución es:
Espesor del aislante 1 (k=0,04) = 20 cm.
Espesor del aislante 2 (k=0,09) = 20 cm.

PROBLEMA 3
El techo del recinto congelador de un frigorífico doméstico está construido con las siguientes capas
desde el exterior hasta el interior:
Espesor
(mm)
Conductividad
(W/m K)
Poliéster. 2,5 0,035
Aislante. 95 0,025
Poliéster. 2,5 0,035
Placa congeladora. -- 30
Chapa. 30 2,5
La placa congeladora está uniformemente distribuida en toda la superficie del techo, comportándose
como un sumidero de calor y absorbiendo 3260 W/m3
.
Determinar, considerando transmisión de calor en régimen permanente:
1) Espesor (mm) de la placa congeladora para mantener una temperatura de 30ºC en la superficie
inferior de la chapa.
2) Flujo de calor (W/m2
) que atraviesa la capa de aislante.
3) Temperatura de la superficie superior del techo.
DATOS
he = 10 W/m2
K Te = 30ºC hi = 5 W/m2
K Ti = - 20ºC
SOLUCIÓN
Es un problema de flujo unidireccional en pared multicapa con
un sumidero de calor (q* < 0), en su interior.
El flujo de calor evacuado del recinto congelador , según la
figura adjunta, es:
0
i i 1 2
q W
h T T 5 20 30 50
A m
Por otro lado, dicho flujo, según la teoría de fuentes, es:
0 f
i e f e
q R
U T T q L U R
A 2
*
El coeficiente global de transmisión de calor y las resistencias
térmicas son calculables en función del espesor de la fuente,
que es desconocido:

f e
3 3 3 3 2
R
f
f e
1 1 W
U
4 2549 0 0333 L1 30 10 L 2 5 10 95 10 2 5 10 1 m K
5 2 5 30 0 035 0 025 0 035 10
R L
0 0167 L
2 2 30
R 4 0429
, ,, ,
, , , ,
,
,
Igualando ambas expresiones del flujo entrante por la superficie 0:
20 30 3260 L
50 0 0167 L 4 0429 L 0 02 m 20 cm
4 2549 0 0333 L 4 2549 0 0333 L
( )
, , ,
, , , ,
Efectuando un balance a la capa fuente:
30L
2
qq W
q L 50 3260 20 10 15 2
A A m
*
( ) ,
(lógicamente entrante, o de sentido contrario al expresado en la figura)
La temperatura exterior del camión, a partir de la ley de Newton:
L L
e 4 e 4 e
e
q q 1 1
h T T T T 30 15 2 28 5 C
A A h 10
, · , º

Lona acolchada
Aislante
Manta calefactora
Lona acolchada
Goma
Cámara de aire
Llanta de acero
PROBLEMA 4
Se desea diseñar un calentador de neumáticos ( ) para mantener una temperatura mínima
en las “gomas” de un neumático de una moto de gran cilindrada (60 cm de diámetro exterior y 18 cm
de ancho). El calentador no es sino una manta calefactora formada por una resistencia eléctrica
uniformemente distribuida y una capa aislante envueltas en una lona acolchada (ver figura adjunta).
Además, un sensor de temperatura impide que el aislante alcance una temperatura superior a 75ºC.
En tal circunstancia, se pide:
1) Estimar la potencia eléctrica que permite mantener el neumático caliente en condiciones
invernales (temperatura ambiente 5ºC; coeficiente de película 10 W/m2
K).
2) Calcular la temperatura mínima que alcanza la goma del neumático y la temperatura en la
superficie exterior del calentador.
Nota.- Despréciense los efectos bidimensionales y trátese el conjunto de manta + neumático como
una pared plana multicapa.
DATOS
k
(W/m K)
espesor
(cm)
Resistencia
térmica
(m2
K/W)
Lona acolchada 0,5 0,5
Aislante 0,03 2
Manta calefactora 8 0,2
Goma 0,3 1.5
Cámara de aire 0,5
Llanta de acero 20 0,5
3) Existen calentadores de neumático comerciales de 500 W, similares al descrito. ¿Puede justificar
la diferencia entre la potencia calculada y la del calentador comercial?
SOLUCIÓN
Nota previa: resulta obvio que el calentador se pone en contacto directo con el neumático,
“abrazando” este. También resulta obvio que la moto no está circulando y que el calentamiento se
produce con la rueda parada.
El problema propuesto es aplicación directa del problema de transferencia de calor en pared plana
multicapa con una fuente de calor interna. Debe resolverse en régimen permanente (con convección
al aire ambiente en ambas caras) y condición de temperatura máxima en el aislante de 75ºC.
La estructura multicapa es la siguiente:

conv llanta cámara goma lona fuente aislante lona conv
1/h x/k Rt x/k x/k x/k x/k x/k 1/h
Tair Tair
q(+)q(-)
Rt(-) Rt(+)
q*
T1
T2
T3
T4
T6
T5
T7
T8
Condición de temperatura máxima en el aislante (punto 6, más cercano a la fuente, T6=75ºC):
26 air
aislante lona
T T
q 90 13 W m
1 h x k x k
” , /
/ ( / ) ( / )
Cálculo de la temperatura en la superficie exterior del calentador (punto 8)
8 air 8 aire
q
q h T T T T 14 01 C
h
”
” · , º
Resistencias térmicas:
2
cámara
llanta goma lona fuente
2
aislante lonafuente
2
total
1 x x x x m K
Rt Rt 0 66
h k k k 2k W
x x x 1 m K
Rt 0 777
2k k k h W
m K
Rt Rt Rt 1 437
W
,
,
,
Flujo de calor a la derecha de la fuente:
air air
fuente fuente 3
total total total
Rt RtT T W
90 13 q q x 0 q x q 98076
Rt Rt Rt m
, ” * · · * · · *
Cálculo de la potencia de la fuente: D=0.6 (diámetro); B=0.18 (ancho); xfuente (espesor)
k W/m K ) espesor (cm) Resistencia térmica (m2
K/W)
Convección al ambiente 1/10
Llanta de acero 20 0,5
Cámara de aire 0.5
Goma 0,3 1.5
Manta calefactora (fuente) 8 0,2
Aislante 0,03 2
Convección al ambiente 1/10

Volfuente = xfuente D B = 6.79 10.4
m3
qfuente = q* Volfuente = 66,55 W
Cálculo de la temperatura de la goma (el valor mínimo se dará en el punto 3, más alejado de la
fuente):
air air
fuente 2
total total
air 3
3
llanta cámara
RtT T W
q q x 106
Rt Rt m
T T
q T 68 64 C
1 h x k Rt
-
” * · ·
” , º
/ ( / )
Como el flujo de calor “sin fuente” es nulo (a ambos lados hay aire ambiente), los flujos de calor a
derecha e izquierda dependen inversamente de las resistencias térmicas a izquierda y derecha:
q”(+) Rt(+) = q”(-) Rt(-)
Ello lleva, finalmente, a que la temperatura a ambos lados de la fuente sea idéntica (en el problema,
75ºC).
Observaciones (pregunta 3)
Se necesitan sólo 66 W para mantener calientes las gomas (régimen permanente), pero para llevarlas
a la temperatura requerida (“hasta que salte el termostato”) desde la temperatura ambiente en un
tiempo razonablemente corto (régimen transitorio) se necesita una potencia mayor. De ahí los 500
W de potencia nominal.
El tratamiento del problema como placa plana no introduce un error importante. El efecto
bidimensional queda atenuado porque la goma es un mal conductor (k=0,3)
Comentarios
¿Cómo funciona un calentador de neumáticos? Con la moto parada, se cubre el neumático con el
calentador. Obviamente el calentador tiene una longitud suficiente ( D) y un ancho suficiente (B). Se
enchufa la resistencia eléctrica y comienza el calentamiento del conjunto. Un termostato ubicado
cerca de la fuente (en nuestro caso entre la fuente y el aislante) desconecta la fuente externa cuando
se llega a un determinado valor, en este caso 75ºC. El tiempo necesario para alcanzar la temperatura
máxima dependerá de la potencia nominal de la fuente. Al cabo del rato, el neumático perderá calor
y el termostato volverá a conectar la fuente hasta nuevamente alcanzar la temperatura máxima,
regulando así de forma indefinida. Este funcionamiento garantiza que la temperatura mínima de la
goma sea de 68,64ºC (según los cálculos).
Durante el periodo de conexión/desconexión del termostato cualquier fuente de potencia superior a
66 W (según los cálculos) hubiera sido suficiente para mantener caliente el neumático.
Información técnica de calentadores comerciales
Material interno Algodón interno sobre la cara
calefactora.
Aislamiento Poliéster cosido en la parte posterior
Elemento calefactor Aislamiento doble de caucho silicónico
Colores Negro, azul o rojo.
Tensión 110 ó 230 voltios.
Potencia: 500 W

PROBLEMA 5
Para determinar el comportamiento térmico de un material plástico, a emplear como aislamiento
eléctrico, se enfunda un cable de 3 mm de diámetro y 5 m de longitud, con una conductividad
térmica de 200 W/m K, con una envuelta de dicho material plástico, de 2 mm de espesor, con una
conductividad térmica de 0,15 W/m K.
A continuación, en un laboratorio experimental se somete al cable enfundado a una diferencia de
potencial eléctrico de 1,303 V de corriente continua, midiéndose una intensidad de 61,4 A en
régimen permanente, lo que propicia su calentamiento, por efecto Joule, y la disipación térmica al
entorno por convección y radiación.
Sabiendo que el coeficiente combinado de convección-radiación en torno al cable eléctrico
enfundado tiene un valor de 8 W/m2
K, y que el aire y las paredes del laboratorio se encuentran a una
temperatura estable de 30ºC, se pide lo siguiente:
1) Calcular la temperatura en la interfase entre el cable y el plástico, despreciando la resistencia de
contacto entre ambos materiales.
2) Calcular el perfil de temperaturas en el cable y en el aislante, en régimen permanente, sabiendo
que toda la potencia disipada se genera, de forma homogénea, en la corteza radial exterior del
cable, con un espesor de 0,2 mm.
3) Determinar el efecto térmico que provocaría aumentar en 2 mm el espesor del aislante.
SOLUCIÓN
1) La transmisión de calor entre la parte exterior del cable y el medio que rodea al aislante de
plástico se puede representar mediante el siguiente esquema eléctrico:
en el que TSC es la temperatura en la superficie del cable, TSP la temperatura en la superficie del
plástico y Ta la temperatura ambiente. Las resistencias de conducción en el plástico y de convección-
radiación combinada se representan por Rk y Rc. Esas resistencias globales son:
sp
sc
k
p
D 0 035
D K0 015
R 0 1798
2 k L 2 0 15 5 W
,ln ln
,
,
,
c
sp
1 1 K
R 1 137
D 2 8 0 0035 5 W
2 h L
2
,
,
Con lo que la resistencia total es:
t c hR R R 1 317, K/W
De esa forma se puede obtener la diferencia de temperaturas que se establece entre el aire que
rodea al cable y la interfase entre el cable y aislante de la forma:

sc a tT T T q R 80 1 317 105 36, , K
con lo que para una disipación de 80 W, que es lo que se tiene con una caída de tensión de 1,303 V
con una intensidad de corriente de 61,4 A, se obtiene que la temperatura en la interfase del cable es:
sc aT T 105 36 135 36, , ºC
La temperatura en la superficie exterior del aislante se puede calcular teniendo en cuenta sólo la
resistencia de convección:
sp a cT T q R 30 80 1 137 120 96, , ºC
2) Los perfiles de temperatura en el cable y aislante pueden obtenerse de la resolución de la
ecuación del calor con las condiciones en cada uno de los tramos del cable aislado.
Tramo 1: Aislante (0,0015 < r < 0,0035)
Caso de transmisión de calor en un cilindro sin fuente de calor:
1 d dT
r 0
r dr dr
con condiciones de contorno:
T2 = 135,6ºC para r2 = 0,0015 m
T1 = 120,96ºC para r1 = 0,0035 m
Cuya solución es:
2
2 1 2
1 2
r r r 0 0015
T r T T T 135 6 14 64
r r 0 0035 0 0015
ln ln ,
( ) , ,
ln ln , ,
rT r 135 6 17 27
0 0015
( ) , , ln
,
Tramo 2: Cable en donde se genera la potencia (0,0013 < r < 0,0015)
Caso de transmisión de calor por conducción en un cilindro con fuente de calor
1 d dT q
r
r dr dr K
*
Con las condiciones de contorno:
T2 = 135,6ºC para r2 = 0,0015 m
3
r 0 0013
dT
q r 0 0013 0 0
dr
''
,
, para r3=0,0013
Cuya solución es:

2 2
2 2 3
2
q q rT r T r r r
r4 k 2 k
* *
( ) ln
Con la generación de potencia por unidad de volumen como:
6
32 2 2 2
2 3
V I 1 303 61 4 W
q 9 095 10
mr r L 0 0015 0 0013 5
* , ,
, ·
, ,
Con lo que el perfil de la temperatura queda:
2 2 rT r 135 6 11368 0 0015 r 0 0038
0 0015
( ) , , , ln
,
Que sustituyendo para el caso del extremo de la zona de conducción resulta:
T2 = 135,6ºC para r3 = 0,0013 m
Tramo 3: Cilindro interior del cable en donde no hay generación de calor (0 < r < 0,0013)
Caso de transmisión de calor por conducción en un cilindro sin fuente de calor:
1 d dT
r 0
r dr dr
con condiciones de contorno adiabáticas en el centro del cilindro y en la superficie exterior del
cilindro, al no haber conducción neta de calor en esos puntos:
r 0
dT
q r 0 0 0
dr
''
para r = 0
r 0
dT
q r 0 0013 0 0
dr
''
, para r = 0,0013
Esta condición de contorno indica que la temperatura es constante:
T r K 135 6( ) , ºC
El perfil de temperaturas en función del diámetro del radio del cable y aislante se muestra en la
figura:

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
AislanteConductor
La distribución de temperatura tiene una forma aproximadamente parabólica en la zona de
generación de potencia (conductor), aunque debido a la alta conductividad del cable y su pequeño
espesor el salto térmico es inapreciable en la gráfica.
3) Al aumentar el espesor del aislante en 2 mm, hasta 4 mm, resulta un radio final de 0,0055 m, con
lo que la resistencia térmica total de la transmisión de calor entre la superficie interior del aislante y
la atmósfera que rodea al cable es:
t c h
K
R R R 0 9991
W
,
Lo que ha ocurrido es que al aumentar el área de disipación, la resistencia total disminuye. El salto de
temperatura en el aislante resulta:
sc a tT T T q R 80 0 9991 79 92 C, , º
Con lo que la temperatura en la parte interior del aislante es de 109,9ºC, sensiblemente menor que
en el caso del ensayo con 2 mm de aislante, lo que lleva a que todas las temperaturas sean inferiores.

PROBLEMA 6
Una nave de grandes dimensiones es atravesada por una tubería por la que circula un fluido que se
congela a 250ºC (sal fundida). Con objeto de que la sal fundida no congele en ningún punto de la
tubería, se instala una funda con una fuente de calor homogénea alrededor de la tubería. Este
sistema sirve para mantener la superficie exterior de la tubería a una temperatura de T2 = 300ºC en
toda su longitud, cuando la sal fundida accede a la tubería a 300ºC y la temperatura de la nave es de
T = 300ºC.
1) Relacione en una expresión matemática la
potencia característica q de la funda con las
pérdidas térmicas convectivas y radiativas,
haciendo uso de los datos del problema que
considere oportunos y de T3
2) Partiendo de la ecuación general de la
transmisión de calor determine la ecuación
del perfil de temperaturas en la funda
atendiendo a los siguientes pasos:
a) Determine la ecuación en sí, sin sustituir los datos del enunciado por valores numéricos
b) Determine las condiciones de contorno a aplicar
c) Aplique las condiciones de contorno a la ecuación, obteniendo la expresión buscada
3) Explique razonadamente la forma en que varía el perfil de temperaturas del sistema con el radio.
4) Determine el valor de la fuente de calor en la funda (q [W/m3
]) para obtener una temperatura de
300ºC en la cara exterior de la tubería, despreciando el calor que se pierde por radiación al
exterior en el cálculo
5) Indique que mejoras plantearía al diseño para el caso de que la q disponible fuera inferior a la
calculada en el apartado anterior
SOLUCIÓN
1) Balance de energía. Se identifica el flujo energético saliente a través de convección y radiación, y el
flujo entrante como el que se genera en la zona de la funda.
in out g stE E E E
No hay aporte térmico entrante como tal, ni tampoco variación en la energía almacenada al
deducirse del enunciado que se trata de régimen permanente, por lo que el balance se reduce a:
out gE E 0
La generación se realiza en el volumen ocupado por la funda, por lo que este sumando se puede
escribir como:
2 2
g 3 2E L r r q· · ·
De los datos del enunciado se deduce que el sistema intercambia calor con el exterior mediante
convección y radiación:

4 4
out cv rd 3 3 3 3E q q 2 r L h T T 2 r L T T· · · · · · · · · · ·
Por tanto, la ecuación que se pide es (con las simplificaciones obvias):
2 2 4 4
3 2 3 3 3 3r r q 2r h T T 2r T T· · · · · · · ·
2) Ecuación general de la transmisión de calor en coordenadas cilíndricas para conducción
unidimensional con fuentes y régimen permanente:
1 d dT
k r q 0
r dr dr
· · ·
2.a) Integrando la ecuación de forma genérica aparecen dos constantes de integración, por lo que
serán necesarias dos condiciones de contorno (C1 y C2):
2
1 2
qr
T r C r C
4 k
·
·ln
·
2.b) Las condiciones de contorno asociadas a este problema en concreto pueden ser varias, pero se
observan dos a la vista del boceto del perfil de temperaturas:
En r2 la temperatura debe ser 2T 300 C
En r2 se alcanza un máximo, la pendiente se hace nula por lo que
2r
dT
0
dr
2.c) Sustituyendo en las expresiones:
2
2 2 2
2 2
2
qrq r
T r r r T
4 k 2k r
·
·ln
· ·
3) Justificación perfil de temperaturas: Por simetría desde r=0 m hasta r2 la temperatura será
constante e igual a 300ºC. Desde r2 hasta r3 está la generación de calor, por lo que la variación no
será lineal de uno a otro, será una curva como la encontrada en el apartado anterior, descendiente
según se aumenta el radio. De r3 a mayores radios aparece el aire ambiente, convección, por lo que
se producirá un descenso acusado de temperatura desde r3 en una distancia corta (capa límite
térmica), para terminar en 20ºC, temperatura ambiente. En la figura se puede apreciar el perfil en
cuestión, representándose en varias figuras por la diferente escala de la variación de temperatura en
cada medio.

4) Para encontrar el valor de q se tienen las expresiones del perfil de temperaturas en la capa de la
funda y en la expresión resultado del apartado primero. Ambas se pueden relacionar si se aplica la
ecuación del perfil de temperaturas a r3:
2
2 2 32
3 3 2 2
2
rq rq
T r r T
4 k 2k r
·
·ln
· ·
Y se introduce en la ecuación solución del apartado eliminando el término radiativo como indica el
enunciado:
2 2
3 2 3 3r r q 2 r h T T· · · ·
2
2 2 2 2 32
3 2 3 3 2 2
2
rqrq
r r q 2r h r r T T
4 k 2k r
·
· · · · ·ln
· ·
Resulta una ecuación con una incógnita, despejando:
62
32 2
2 2 23 2 3
3 2 2
3 2
T T W
q 2 85 10
mr r r1 1
r r r
2r h 2k 2 r
, ·
·ln
· · ·
5) Disponer un aislante alrededor de la funda sería una medida adecuada (entre otras) si el q fuera
inferior al considerado inicialmente.

PROBLEMA 7
Una tubería de cobre de 50 m de longitud está expuesta al ambiente exterior en la cubierta de un
edificio, soportada de tal manera que la totalidad de la tubería se encuentra rodeada de aire
ambiente a 0ºC.
Por el interior de la misma circula un fluido que entra en la tubería a 90ºC y sale a 88ºC, a una
velocidad de 1 m/s. Determinar:
1) Perdidas térmicas (W) de la tubería al entorno.
Se decide aislar la tubería con una coquilla de 40 mm de espesor, para minimizar las pérdidas.
Asumiendo que se mantienen constantes tanto el coeficiente de película interior como el coeficiente
combinado de convección-radiación por el exterior, determinar:
2) Temperatura de salida del fluido, manteniendo constante la temperatura de entrada.
3) Pérdidas térmicas (W)la tubería aislada al entorno.
DATOS
- Tubería: k= 400 W/m K, De = 28 mm, Di=26 mm
- Aislamiento: k = 0,04 W/m K
- Fluido: cp = 4179 J/kg K, =1000 kg/m3
- Coeficiente de película por el interior de la tubería: hi = 2300 W/m2
K
SOLUCIÓN
1) Tubería sin aislar.
El caudal másico de agua circulante es:
2 2
iD 0 026 kg
m C v S v 1 1000 0 531
4 4 s
,
· · · · · · · · · ,
Dicho caudal másico se enfría desde 90 hasta 88ºC:
P E S1q mc T T 0 531 4179 90 88 4437 5W, · · ,
2) Tubería aislada.
Igualando la pérdida energética del agua a la pérdida energética de la tubería aislada:
b2 amb
2 P E S2
3 22 1
i 1 12 23 e 3
2 L T T
q mc T T
r rr r1 1
hr k k h r
· · ·( )
ln( / )ln( / )
siendo Tb2 la temperatura media de masa del fluido que circula por la tubería aislada:
E S2
b2
T T
T
2
Por consiguiente,

E S2
amb
P E S2
3 22 1
i 1 12 23 e 3
T T
2 L T
2mc T T
r rr r1 1
hr k k h r
· · ·( )
ln( / )ln( / )
(*)
En la ecuación anterior, son desconocidos TS2 y he. Puesto que se mantiene constante el coeficiente
combinado he, se obtendrá su valor a partir de la información de la tubería sin aislar.
E S1
amb
2 1
i 1 12 e 3
T T
2 L T
2q
r r1 1
hr k h r
· · ·( )
ln( / )
Despejando he:
E S1
amb
2 1
e ei 1 12 e 3
e 2
e
T T 90 88
2 L T 2 50 0
27960 1752 2q 4437 5
r r 1 28 26 1 71 4281 1
0 0336
2300 0 013 400 h 0 014 hhr k h r
71 428 W
0 0336 6 3 h 11 4
h m K
· · ·( ) · · ·( )
,
,
ln( / ) ln( / ) ,
,
· , ,
,
, , ,
Con el valor de he, entrando en la ec. (*)
S2
S2
S2
S2 S2
90 T
2 50 0
20 531 4179 90 T
1 14 13 54 14 1
2300 0 013 400 0 04 11 4 0 054
4500
199714 41
4500 50 T 35 406199714 41 2218 63 T T 89 66 C
5035 406
2218 63
35 406
· · ·( )
, · ·
ln( / ) ln( / )
· , , , · ,
,
., , · , º
,
,
,
Por último, las nuevas pérdidas son:
2 P E S2q mc T T 0 5314179 90 89 66 759 5W, · ·( , ) ,

PROBLEMA 8
Se tiene un material generador de calor de origen nuclear (k = 40 W/m K) almacenado en una esfera
de acero (k = 15 W/m K) de 0,5 m de radio interior y 10 cm de espesor. Se asume que la generación
de calor es constante y de valor 2 105
W/m3
. La superficie exterior de la esfera se expone a una
corriente de agua a 25ºC, presentándose un coeficiente h= 1000 W/m2
K. Se pide:
1) Temperaturas superficiales del acero
2) Temperatura en el centro de la esfera.
SOLUCIÓN
1) Efectuando un balance de energía:
5 3
SE F SE F 2
4
2 10 0 5
q V 3q V h A T T T T 25 48 1 C
hA 1000 4 0 6
*
*
· · ,
· · , º
* ,
El calor se transmite por conducción a través de pared
esférica simple. Así pues:
SI SE
i e
4 k T T
q
1 1
r r
( )
3
i
4
q q V q r 104720W
3
* *
·
i e
SI SE
1 1 1 1q 104720
r r 0 5 0 6
T T 48 1 233 3 C
4 k 4 15
·
, ,
, , º
2) Para averiguar la temperatura en el centro de la esfera debe obtenerse la distribución de
temperaturas en el seno de la misma. A partir de la ecuación general en esféricas:
2 2d dT
k r q r 0
dr dr
*
Resolviendo la ecuación y particularizando en r= 0 se obtendrá la temperatura deseada:
3 2
2 1 1
1 w22
C CdT q r dT q r q r
r C T C
dr 3k dr 3k 6k rr
* * *
Aplicando condiciones de contorno:
2
i Si i
1 2 Si
T r T 233 3 q r
C 0 C T
6kT 0 finita
*
( ) ,
;
( )
Así pues la ecuación queda:

2 2 22
i i
Si SI
q r q r rq r
T T T
6k 6k 6k
* **
( )
Y particularizando para r=0:
2 5 2
i
SI
q r 2 10 0 5
T 0 T 233 3 441 6 C
6k 6 40
*
( ) · · ,
( ) , , º
·

PROBLEMA 9
Determinar en régimen permanente la posición y magnitud de la temperatura máxima existente en
una placa infinita de 0,05 m de espesor, que tiene una conductividad térmica de 1 W/mºC y una
emisividad térmica nula, en cuyo interior existe una fuente térmica que varía linealmente entre un
valor nulo en la superficie izquierda y un valor de 2 105
W/m³ en la superficie derecha, sabiendo que
ambas superficies están refrigeradas por un mismo fluido a 100ºC que proporciona un coeficiente de
convección de valor 100 W/m2
K.
SOLUCIÓN
Se trata de un problema de conducción con una
fuente no uniforme.
La ecuación general de la conducción es:
2
P2
T T
k q c
tx
· * · ·
En régimen permanente:
2
2
d T
k q 0
dx
· *
La ecuación de la fuente es:
L
x
q x q x 0 L
L
* *
( ) · ,
Sustituyendo:
2 2
L
L2 2
qd T x d T
k q 0 x
L kLdx dx
*
*
· · ·
Integrando:
2 3L L
1 1 2
q qdT
x C T x C x C
dx 2 kL 6 kL
* *
· ·
Aplicando las condiciones de contorno:
En x=0 : convección f 0
f 0 1 f 0 1
x 0
h T TdT
k h T T k C h T T C
dx k
·
· · · ·
La condición de contorno anterior expresa una de las constantes de integración en función de la
temperatura (desconocida) en x=0. Por consiguiente no determina el problema.
En x=L : convección 2L
L F 1 L F
x L
qdT
k h T T k L C h T T
dx 2 kL
*
· · · · ·

Otra condición de contorno que, en primera instancia, no sirve para determinar el valor de C2,
estando en función de TL, también desconocido. El valor de C2 puede relacionarse con T0 si se emplea
otra condición de contorno:
0 2 0En x=0, T=T C T
Que tampoco determina el problema al no conocerse el valor de T0. Sustituyendo en la ecuación
integrada:
3L
0 F 0
q h
T x x T T x T
6kL k
*
( ) · · (*)
Será necesario efectuar un balance energético para eliminar la dependencia de la temperatura
superficial T0.
L 0 L F F 0 L L F F 0 L
L F F 0 L
L L
q q q V h A T T h A T T q A h T T h T T q
2 2
L
T T T T q (**)
2h
* * *
*
· · · · · · ·
En la ecuación anterior, se puede eliminar la dependencia de TL, particularizando para x=L en la
ecuación (*):
2L
L 0 F 0
q h
T L T T L T
6 k k
*
· · ·
Expresión que introducida en (**) resulta:
2L
0 F 0 F F 0 L
q h L
L T T L T T T T q
6 k k 2h
*
*
· · ·
Obsérvese que en la expresión anterior, la única incógnita es T0. Sustituyendo los datos del
enunciado :
5
2 5
0 0 0 0
2 10 0 05
0 05 100 T 100 0 05 T 100 100 T 2 10 T 119 05 C
6 2 100
· ,
· , · · , · ,
·
Entrando en (*):
5 3
T x 6 6 10 x 1905 x 119 05ˆ( ) , · · · ,
Posición y magnitud de la temperatura máxima:
6 2dT
0 1905 210 x x 0 031 m
dx
· · ,
2
2
T x 0 031m 158 2 C
d T
0 máximo
dx
( , ) ,

PROBLEMA 10
Se desea mantener una placa de cierto material a una temperatura mínima de 60ºC, cuando está
inmersa de manera continua en una corriente de aire a 20ºC. Para ello se adosan a la placa original
dos placas adicionales, que generan calor de forma uniforme, exactamente iguales. El conjunto
queda conformado geométricamente como se indica en la figura adjunta. Se pide:
1) Determinar la potencia mínima
(W/m3
) necesaria de cada una de las
fuentes.
2) Determinar la temperatura superficial
en la cara libre de las fuentes.
3) Razonar la variación de los resultados
anteriores si se dobla el espesor de la
placa original
DATOS kMATERIAL = 1,4 W/m K
kFUENTES = 0,03 W/m K
SOLUCIÓN
En régimen permanente, el material no puede recibir calor, pues aumentaría su temperatura. Por
consiguiente, en la interfase fuente-material el flujo de calor es nulo. Y la temperatura de todo el
material es la mínima requerida, 60ºC.
A partir de la ecuación general de la conducción de calor, para una de las capas fuente:
2 2 2
F 1 1 22 2
F F F
d T d T q dT q q x
k q 0 x C T C x C
k dx k k 2dx dx
* * *
· *
Condiciones de contorno:
1
0 2 0
dT
En x=0 0 C 0
dx
En x=0 T=T =60ºC C T
Y la ecuación queda:
2
0
F
q x
T T
k 2
*
Así, se puede poner la temperatura superficial libre de la placa
fuente en función de la temperatura superficial interior de la
fuente:
2
F
L 0
F
Lq
T T
k 2
*
Efectuando un balance energético a una de las fuentes:

2 2
F F
F L f 0 F F 0 F
F F
2
0 FF
F 0 F 2 2 3
F F
F
F
L Lq q
q V h A T T h A T T q L h T T h
k 2 k 2
h T T 15 60 20h L W
q L h T T q 114286
2k h L 15 0 003 m
0 003L
2 0 032k
* *
* · · · · *
·
* *
· · ,
,
· ,
Y la temperatura superficial resulta:
2 2
F
L 0
F
Lq 114286 0 003
T T 60 42 9 C
k 2 0 03 2
* · ,
, º
, ·

PROBLEMA 11
Una varilla de combustible nuclear convencional está formada por dos cilindros concéntricos. El radio
del cilindro interior es de 0,2 cm, y el del exterior es de 0,4 cm. Ambos cilindros están compuestos
por combustible nuclear UO2, con una conductividad del material nuclear generador de potencia de k
= 5 W/m K. La varilla de combustible está refrigerada por su parte exterior por agua, a una
temperatura media de 300ºC, y con un coeficiente de película de h = 6000 W/m2
K. El cilindro interior
tiene una fuente de calor q1* = 1600 W/cm3
. El cilindro exterior tiene otra fuente de calor, de valor
q2* = 300 W/cm3
. La longitud de la varilla es órdenes de magnitud mayor que el radio.
Determinar, en régimen permanente:
1) La temperatura máxima del conjunto.
2) En el caso de que en el cilindro interior se apague la fuente (q1* = 0), manteniéndose constante
el resto de datos del problema, representar sin hacer cálculos como es la distribución de
temperatura en ambos cilindros, explicando el resultado.
3) En el caso de que en el cilindro exterior se apague la fuente (q2* = 0), manteniéndose constante
el resto de datos del problema, representar sin hacer cálculos como es la distribución de
temperatura en ambos cilindros, explicando el resultado.
SOLUCIÓN
1) El eje de la varilla debe ser obligatoriamente un
máximo de temperaturas, ya que al ser el cilindro
interior de generación interna positiva no pude haber
transmisión de calor hacia el mismo desde puntos
situados más al exterior.
Para determinar esa temperatura es necesario obtener
adecuadamente las condiciones de contorno del
problema.
En primer lugar se busca la temperatura de la superficie exterior del conjunto, T2.
q’1(W/m) = q*1 r1
2
= 201,06 W/cm
q’2(W/m) = q*2 (r2
2
-r1
2
) = 113,10 W/cm
q’TOTAL (W/m) = q’1 + q’2 = 314,16 W/cm
Por conservación de la energía todo el calor así generado pasa por convección al fluido circundante:
TOTAL 2 2 agua 2q 2 r T T T 508 33 C’ · · · ,
Conocido T2 y q’1 se puede determinar el valor de la temperatura de la cara interna de la pared
cilíndrica en que la tasa de generación es q*2
2
2
2
121 2
1 1 2 1
2 2
1 1
r1
1
2 rT T
q 2 k r q 1 T 1048 76 C
r r
r r
' *
,
ln ln

Conocido T1 se puede obtener la temperatura máxima pedida , sustituyendo en la expresión de la
distribución de temperaturas para cilindros macizos con generación de calor uniforme:
2
1 2
0 1
q r
T T 1368 76 C
4k
*
·
,
2) Si se anula el termino de generación de calor del cilindro macizo interior
(q1*=0), en régimen permanente ni sale ni entra energía en dicho cilindro. Por
tanto, el perfil de temperaturas debe ser plano (temperatura constante), con
derivada nula en el eje. Sin embargo en la pared cilíndrica donde permanece la
generación de calor, la temperatura disminuirá en el sentido que toma el calor
para escapar del sistema, por lo que será decreciente según aumenta el radio.
Tal y como se ilustra en la figura adjunta.
3) Si se anula la fuente de la pared cilíndrica exterior, el perfil de temperaturas
presentará una variación en el cilindro macizo interior composición de una
aportación con el radio al cuadrado más otra aportación con el logaritmo
neperiano del radio, tal y como dicta el perfil de temperaturas que se obtiene
para un cilindro macizo. En el cilindro exterior se tratará de un decremento de
temperatura asociado a la variación que experimenta la función logaritmo
neperiano del radio desde el radio interior de la pared cilíndrica hasta el radio
exterior de la misma.

PROBLEMA 12
El destornillador de la figura está formado por una barra metálica (k = 50 W/m K), de 5 mm de
diámetro y 15 cm de longitud, tal que 11 cm quedan libres y 4 cm están empotrados en una
empuñadura de plástico duro que tiene una conductividad térmica despreciable.
En un taller mecánico con 20 C de temperatura ambiente, en donde existe un coeficiente de
K, un operario que está ajustando un motor emplea este destornillador
para apretar un tornillo que se encuentra a 200 C.
En régimen permanente, y despreciando todo efecto radiativo, se pide:
1) Calcular la posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en toda la barra
2) Dibujar con 4 puntos representativos la distribución de temperaturas en toda la barra
3) Calcular el calor total transferido por la barra al entorno
SOLUCIÓN
1) Puesto que el calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, la máxima
temperatura de la barra se da en el extremo libre del destornillador, que está en contacto con el
tornillo del motor. Dicha temperatura es de 200ºC.
La mínima temperatura se da en la porción de la barra contenida dentro de la empuñadura, que es
la zona más alejada de la fuente de calor. Puesto que la empuñadura se asume con conductividad
nula, no puede transmitirse calor a su través. Así, toda la barra empotrada será isoterma,
correspondiéndole la temperatura mínima.
Entiéndase que esta asunción de conductividad nula es en realidad imposible, y que por
consiguiente, en la realidad, sí se transmitiría calor hacia la empuñadura, desde la parte final de la
barra metálica.
La barra se comporta como una aleta tipo aguja de longitud igual a la zona expuesta al fluido y
adiabática en su extremo
La distribución de temperaturas se rige por la expresión:

F
F 0 F
0 0 F
Ch m L x Ch m L xT x T
T x T T T
T T Ch mL Ch mL
Con
-1
2
Ch 12,65 0,11 xh C h D 4h
m 12,65 m T x 20 (200 20)
Dk A k D Ch 12,65 0,11
k
4
Las temperaturas máxima y mínima son:
MAX
MIN
Ch 12,65 0,11
T T(x 0) 20 180 200
2,135
Ch 12,65 0,11 0,11
T T(x L) 20 180 104,3 C
2,135
º
2) Además de los dos puntos anteriores, pueden ser representativos el punto central de la barra
expuesta al fluido y el final de la barra:
L
E L
Ch 12,65 0,11 0,055
T x L 2 20 180 125,6 C
2,135
T T(x 0,15)
q k A 0 T(x 0,15) T 104,3 C
x
º
º
200
104,3104,3
125,6
0
50
100
150
200
250
0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15
3) El calor total transmitido por una aguja adiabática es:
0q kmA Th mL 1,97 W

PROBLEMA 13
El destornillador de la figura está formado por una barra metálica (k = 50 W/m C), de 5 mm de
diámetro y 15 cm de longitud, tal que 11 cm quedan libres y 4 cm están empotrados en una
empuñadura de plástico duro que tiene una conductividad térmica despreciable.
En un taller mecánico con 20 C de temperatura ambiente, en donde existe un coeficiente de
K, un operario que está ajustando un congelador emplea este
destornillador para apretar un tornillo que se encuentra a 30 C bajo cero (- 30 C).
En régimen permanente, y despreciando todo efecto radiativo, se pide:
1) Calcular la posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en toda la barra
2) Dibujar con 4 puntos representativos la distribución de temperaturas en toda la barra
3) Calcular el módulo, la dirección y el sentido del calor total intercambiado entre la barra y su
entorno
Nota: sólo se acepta la solución analítica exacta del problema, no siendo válida la solución
aproximada calculable mediante métodos numéricos.
SOLUCIÓN
1) Puesto que el calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, la mínima
temperatura de la barra se da en el extremo del destornillador, que está en contacto con el tornillo
del congelador. Dicha temperatura es de -30ºC.
La máxima temperatura se da en la porción de la barra contenida dentro de la empuñadura, que es
la zona más alejada del sumidero de calor. Puesto que la empuñadura se asume con conductividad
nula, no puede transmitirse calor a su través. Así, toda la barra empotrada será isoterma,
correspondiéndole la temperatura máxima. Entiéndase que esta asunción de conductividad nula es
en realidad imposible, y que por consiguiente, en la realidad, sí se transmitiría calor desde la
empuñadura hacia la parte final de la barra metálica.
La barra se comporta así como una aleta tipo aguja de longitud igual a la zona expuesta al fluido y
adiabática en su extremo.
La distribución de temperaturas se rige por la expresión:
F
F 0 F
0 0 F
Ch m L x Ch m L xT x T
T x T T T
T T Ch mL Ch mL

Con
-1
2
Ch 12,65 0,11 xh C h D 4h
m 12,65 m T x 20 ( 30 20)
Dk A k D Ch 12,65 0,11
k
4
Las temperaturas máxima y mínima son:
MAX
MIN
Ch 12,65 0,11 0,11
T T(x L) 20 50 3,4 C
2,135
Ch 12,65 0,11
T T(x 0) 20 50 30 C
2,135
º
º
2) Además de los dos puntos anteriores, pueden ser representativos el punto central de la barra
expuesta al fluido y el final de la barra:
L
E L
Ch 12,65 0,11 0,055
T x L 2 20 50 9,3 C
2,135
T(x 0,15) T
q k A 0 T(x 0,15) T 3,4 C
x
º
º
-30
-3,4-3,4-9,3
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15
3) El calor total transmitido por una aguja adiabática en su extremo es:
0q kmA Th mL 0,55 W
El calor es entrante a la barra desde el aire exterior.

PROBLEMA 14
Los canales de refrigeración que se encuentran en intercambiadores de calor compactos pueden
estar configurados de acuerdo con el esquema de la figura que se adjunta. En el caso de aplicarse a
circuitos electrónicos, las superficies 1 (superior) y 2 (inferior) están adosadas a elementos
electrónicos que requieren refrigeración, la cual se consigue impulsando aire por el interior de los
canales que se han formado entre ellos.
Para una configuración de canal con una distancia entre superficies de 60 mm, una anchura de canal
de 4 mm, con 1 mm de espesor de aluminio en la unión entre superficies, una profundidad de canal
de 80 mm y una número total de canales de 40. Si las temperaturas en las superficies 1 y 2 son 35 y
30ºC respectivamente, y el aire impulsado tiene una temperatura media de 20ºC, induciendo un
coeficiente de convección en las superficies de los canales de 60 W/ m2
K.
Determinar:
1) El calor disipado a través de los canales.
2) Si el salto térmico máximo que se pretende en el aire es de 10ºC, determinar el caudal de aire
impulsado a través del conjunto de canales.
SOLUCIÓN
La estructura básica de canal, es la que se muestra en la figura:
Esta estructura es una superficie extendida en el que las temperaturas de
sus extremos son fijas y conocidas; equivalente a una aleta en la que se
tiene la condición de contorno de temperatura conocida en su extremo.
La solución del campo de temperaturas que corresponde a esa aleta se
puede encontrar en cualquier libro de texto de transmisión de calor:
L bmx m L x
T x T
mL
sinh sinh
( )
sinh
A partir de la cual se puede obtener el valor del flujo de calor en cada punto de la superficie
extendida:

L b
c c
mx m L xd
q x kA kA m
dx mL
cosh cosh
sinh
El calor total transferido a través de las separaciones entre canales se obtiene a partir del balance
energético en la aleta equivalente, sustrayendo al calor que sale de la base (superficie 1), el que se
obtiene en el extremo (superficie 2).
a 1 2q q q
Este sería el calor únicamente transferido a través de la separación entre los canales. Hay que
sumarle el calor transferido a través de las superficies que cierran esos canales de refrigeración.
s1 1 1 1q A h T T a b h T T
s2 2 2 2q A h T T a b h T T
Siendo a, y b el ancho y la profundidad del canal, 4 y 80 mm respectivamente.
Con lo que el calor total disipado a través de los canales es:
T a s1 s2q N q q q
El caudal de aire impulsado se obtiene a partir del calor total evacuado y el salto térmico que se
produce.
T
a
p a
q
m
C T
El cálculo de la aleta requiere determinar sus parámetros característicos, que se obtienen de su
geometría y de las propiedades del aluminio, que es el material que la forma. De tal forma que:
b 1T T 35 20 15 ºC
L 2T T 30 20 10 ºC
cA e b 1 80 80 m2
c c
h P h 2 b 60 2 0 08
m 26 93
k A k A 237 0 00008
,
,
,
m
Siendo k, la conductividad del Aluminio, del orden de 237 W/m2
K (tablas).
Con estos valores se obtiene:
L b
1 c
m L
q q 0 kA m
mL
cosh
sinh
10 15 26 93 0 06
237 0 000080 26 93 4 423 W
26 93 0 06
cosh , ,
, , ,
sinh , ,

L b
2 c
mL
q q L kA m
mL
cosh
sinh
10 26 93 0 06 15
237 0 00008 26 93 1 6
26 93 0 06
cosh , ,
, , ,
sinh , ,
W
Lo que indica que en la superficie “1” se disipan 4,423 W, y en la superficie “2”, 1,6 W.
En cuanto a la disipación térmica por el resto de las superficies de canal:
s1 1q a b h T T 0 004 0 08 60 15 0 288, , , W
s2 2q a b h T T 0 004 0 08 60 10 0 192, , , W
Con lo que el calor total evacuado queda:
T a s1 s2q N q q q 40 4 423 1 6 0 288 0 192 260 1, , , , , W
Y el caudal de aire impulsado para extraer ese calor (tomando el cp del aire a presión atmosférica de
tablas):
T
a
p a
q 260 1 kg
m 0 0259
C T 1007 10 s
,
,

PROBLEMA 15
En un laboratorio se tiene una placa de acero que se mantiene a una temperatura constante de
1000 C. Sobre ella, se ha instalado perpendicularmente una barra de aluminio, de 1,25 cm de
diámetro y 30 cm de longitud, que se comporta como una aleta recta de sección transversal
constante. Para incrementar el efecto de disipación térmica de esta aleta se le ha unido coaxialmente
en su extremo una barra de hierro forjado, de igual diámetro y longitud, pudiéndose considerar
despreciable la transmisión de calor del extremo libre al entorno.
Sabiendo que el aire del laboratorio se encuentra a 0 C, y suponiendo que existe un único coeficiente
combinado de convección-radiación, aplicable a las dos barras, de valor 9 W/m2
K, se pide calcular, en
régimen permanente, lo siguiente:
1) Temperatura en la unión entre las dos barras
2) Temperatura en el extremo libre de la barra de hierro forjado
3) Calor (W) extraído de la placa de acero
4) Calor (W) disipado al entorno por la barra de aluminio
5) Calor (W) disipado al entorno por la barra de hierro forjado
Complementariamente a lo anterior, razonar cualitativamente, sin realizar cálculos, los resultados
que se obtendrían para las preguntas previas en caso de invertir la posición relativa de las dos barras,
uniendo a la superficie de acero la barra de hierro forjado y a ésta, la de aluminio.
NOTA: Suponer despreciable la resistencia térmica de contacto entre la barra de aluminio y la
superficie metálica, así como entre la barra de aluminio y la barra de hierro forjado.
DATOS DE LOS MATERIALES
Acero Aluminio Hierro forjado
Densidad (kg/m3
) 7 833 2 707 7 849
Calor específico (kJ/kg K) 0,47 0,89 0,46
Conductividad (W/m K) 54 228 57
Formulario para el cálculo del flujo térmico en aletas rectas
Aleta en el caso general:
mLshHmLch
mLchHmLsh
kmAq oo
Aleta con condición adiabática en su extremo libre: mLthkmAq oo
Aleta con temperatura conocida en su extremo libre:
mLsh
mLch/1
kmAq
mLsh
/mLch
kmAq
oL
oL
oL
oo
Aleta infinita: okmAq

SOLUCIÓN
1) El calor que disipa por su extremo la barra de aluminio es el calor total que disipa la barra de
hierro. En el punto de unión de ambas barras la temperatura es única, TU.
La barra de aluminio se comporta por tanto como una aleta con temperatura en el extremo fija TU. La
barra de hierro se comporta como una aleta con temperatura en la base TU y cesión de calor
despreciable en su extremo.
Los parámetros característicos de cada una de las aletas resultan:
-1
AL
2 -1
FE
m 3,554 mh P h D 4h
m
DkS kD m 7,108 m
k
4
AL FEL L L 0,3 m
f
f
T T
T
T 0 Cº
Para determinar la temperatura en la unión, se iguala el calor disipado por el extremo de la aleta de
aluminio al calor que disipa la aleta de hierro:
o U ALAL FE
L AL L FE FE U FE
AL
AL L 0
AL
U
FE FE FE AL L AL
T T Ch m L
q q k m A k m AT Th m L
Sh m L
k m T
Sh m L
T 445,1ºC
k m Th m L k m Cth m L
2) La aleta de hierro tiene una distribución de temperatura correspondiente a aleta recta o aguja
expuesta a convección, despreciando la transmisión de calor en el extremo. Como se desea averiguar
la temperatura en el extremo, se particulariza dicha distribución para x= L:
Uf E
E
b f b U FE
Ch L x TT T TT 1
T 104,1 C
T T T Ch mL T Ch mL Ch m L
3) El calor extraído de la placa de acero será el que atraviesa la base de la aleta de aluminio:

0 AL UAL
0 AL AL
AL
T Ch m L T
q k m A 91,6 W
Sh m L
4) El calor disipado por la aleta de aluminio es el calor total que se disipa desde la placa menos el
calor que disipa la aleta de hierro:
AL FE AL
AL 0 0 0 FE FE U FEq q q q k m A T Th m L 91 6 21 52 70 08W, , ,
5) El calor disipado por la aleta de hierro , empleado para el cálculo del apartado anterior,
corresponde al flujo saliente por conducción de la aleta de aluminio:
FE
0q 21,52 W
6) Razonamiento cualitativo del caso inverso
Al situar invertidas las aletas, con la de hierro soldada a la placa de acero, la evacuación del calor se
dificulta, puesto que el hierro tiene menor conductividad que el aluminio. Por ello, habrá una mayor
diferencia de temperaturas entre la base de la placa y la unión. Esto es, la temperatura en la unión
será menor. La temperatura media en la aleta de hierro será por consiguiente menor que en la
situación original, y el calor disipado también. Lo mismo puede decirse de la aleta final, en este caso
de aluminio: la temperatura en su base (virtual) será menor, por lo que el calor disipado también. A
pesar de que aumente la efectividad de la aleta, pues la conductividad sería mayor, este efecto no
compensará nunca la bajada de temperatura media del conjunto.
Por consiguiente, el perfil de temperatura es más bajo en toda la longitud del dispositivo, y el calor
entregado por cada una de las aletas y por el conjunto es menor.
Si un aleta se instala para disipar calor, cuanto más se facilite la evacuación del calor a través de la
misma, mejor. Y facilitar la evacuación está directamente relacionado con aumentar la conductividad
térmica, ya que, aunque el calor se cede en definitiva por convección, debe llegar a la superficie
exterior de las aletas por conducción.

PROBLEMA 16
Dos fuentes térmicas homogéneas de 1 m de espesor se utilizan para calentar un determinado
caudal de aire. Para ello, se emplea el esquema de la figura. Las dos fuentes están conectadas por un
conjunto de aletas rectas de sección circular, de 1 m de longitud. La disposición de las aletas sobre las
superficies es cuadrada, con una distancia entre centros de aletas de 2 cm. Las temperaturas de las
paredes de las fuentes en contacto con el aire son, para la fuente q1
*
, T1 = 220 C y para la fuente q2
*
,
T2 = 120 C. La temperatura media del aire a su paso por el conjunto es de Tf = 20 C.
En el régimen permanente, y despreciando la transmisión de calor por radiación, se pide determinar:
1) Partiendo de la ecuación general de la transmisión de calor en aletas y haciendo las
simplificaciones necesarias, obtener la ecuación analítica que define la distribución de
temperatura en la aleta en función de la variable ‘x’, con las condiciones de contorno del
problema. Se debe llegar a la solución:
L 0sh m x sh m L x
x
sh m L
( ) ( ( ))
( )
( )
Sabiendo que:
x x
x x
e e
sh x
2
e e
ch x
2
( )
( )
2) Determinar la localización del mínimo de dicha distribución, dibujar a mano alzada la distribución
de temperaturas y comentar qué está ocurriendo físicamente en la aleta (media cara como
máximo) Determinar asimismo la cantidad de calor en ambos extremos de la aleta (q0 y qL) y
justificar el sentido del flujo de calor en dichos extremos. ¿Cuál es el flujo de calor por conducción
en el punto de mínima temperatura?
3) Determinar qué longitud de la aleta hace de disipador de calor de cada una de las superficies.
Determinar la efectividad de la aleta correspondiente a cada superficie, y la efectividad de ambas
superficies totales aleteadas. Determinar asimismo el flujo de calor total (W/m2
) que sale de
ambas superficies hacia el aire.
4) Determinar el valor de las fuentes (las superficies exteriores de ambas fuentes son paredes
adiabáticas, excepto la superficie que está en contacto con el aire, como muestra la figura).

5) Suponiendo un volumen de ambas fuentes de 10 m3
, determinar la temperatura de entrada y
salida del aire en el conjunto, sabiendo que la temperatura media del aire a su paso por el
conjunto es de 20 C y su caudal de 1 kg/s.
DATOS
Coeficiente de película: h = 10 W/m2
K
Radio de la aleta: r = 5 mm.
Conductividad de la aletas: k = 160 W/m K
Calor específico del aire: cp = 1000 J/kg K
SOLUCIÓN
1) De la ecuación general de las aletas:
0TT
Ak
Ph
dx
Td
PerímetroP
dx
dS
;0
dx
dA
0TT
dx
dS
Ak
h
dx
dT
dx
dA
A
1
dx
Td
f2
2f2
2
mx
2
mx
12
2f
eCeCx:Solución0m
dx
d
Ak
Ph
m
TT
:variabledeCambio
Aplicando las condiciones de contorno:
mLmL
L
mL
o
mLmL
o
2o1
mLmL
L
mL
o
2mL
2
mL
1LL
21oo
ee
eee
CC
ee
e
C
eCeCLx
CC0x
Por tanto:
mLsh
xLmshmxsh
mLsh2
mxsh2mxsh2
ee
eeee
ee
eeeeee
x
oLoL
mLmL
xLmxLm
o
mxmx
L
mLmL
mx
L
mL
o
mx
L
mL
o
mLmL
o
2) El mínimo de la distribución estará en:
xLmchmxch0
mLsh
xLmchmmxchm
0
dx
xd
oL
oL
m57,0xx15ch200x5ch100
C100
C200
m1L
m5
005,0160
005,0210
kA
hP
m
L
o
1-
2

El flujo de calor en ambos extremos de la aleta:
W11,6
mLsh
xLmchmmxchm
kA
dx
d
kAq
W48,12
mLsh
xLmchmmxchm
kA
dx
d
kAq
Lx
oL
Lx
L
0x
oL
0x
o
El flujo de calor en el punto de mínima temperatura será nulo pues: 0
dx
d
57,0x
3)
Se trata de dos aletas con extremo adiabático de longitudes:
m43,0L
m57,0L
2
1
La superficie de aletas y la superficie total son:
22
2T
22
22a
22
1T
22
11a
22
aT
a
m10383,1S;m10351,1rL2S:2
m10823,1S;m10791,1rL2S:1
m43,0r02,0SS
m57,0rL2S
La
eficacia de cada una de ellas es:
45,0
43,05
43,05th
Lm
Lmth
35,0
57,05
57,05th
Lm
Lmth
Lm
Lmth
2
2
2
1
1
1
c
c
La efectividad total de la estructura aleteada:
463,01
S
S
1
361,01
S
S
1
1
S
S
1
2
2T
2a
2
1
1T
1a
1
T
a
Por tanto, el flujo de calor total de ambas será:

2L1
2
2o1
1
m
W
63410010463,0h
A
q
m
W
72220010361,0h
A
q
h
A
q
4)
El valor de las fuentes en cada caso será:
3
2
2*
2
3
1
1*
1
**
m
W
634
L
A/q
q
m
W
722
L
A/q
q
L
A/q
qLq
A
q
5)
C92,25T
C08,14T
C85,11
10001
10463722
Cm
Vqq
TVqVqTCm
s
e
p
*
2
*
1
2
*
21
*
1p

PROBLEMA 17
Se tiene un cilindro macizo de acero inoxidable de longitud infinita, con un diámetro exterior de 5
cm, en el que se genera una potencia térmica homogénea y constante en el tiempo de valor 90 W/m,
disponiendo de aletas anulares del mismo material de 7 cm de diámetro exterior, 1 mm de espesor y
una separación entre aletas de 1 cm.
Sabiendo que el cilindro está ubicado en el interior de un laboratorio cuyo aire y paredes se
encuentran de a una temperatura constante de 25ºC, contra la que presenta un coeficiente
combinado de convección-radiación de valor 10 W/m2
K, se pide determinar, en régimen
permanente, lo siguiente:
1) Ecuación T1 (r) de la distribución de temperaturas (ºC) en el interior del cilindro, en función del
radio (m).
2) Incremento térmico que sufriría el eje del cilindro en caso de eliminar las aletas, manteniéndose
el resto de las condiciones.
Dato:
Conductividad del acero, k = 14 W/m ºC
SOLUCIÓN
La ecuación general de la conducción para geometría cilíndrica, unidireccional c y con generación de
calor, es:
1 d dT q
r
r dr dr k
*
La ecuación general que resulta de la integración de la ecuación diferencial es de la forma:
2
2
1 2 1 22
E
q q r
T r r K r K K r K
4 k 4 k r
* '
ln ln
En donde las constantes de integración se obtienen de la aplicación de las condiciones de contorno, y
en donde la densidad de potencia volumétrica se ha expresado en función de la potencia lineal, que
es uno de los datos del problema.
Las condiciones de contorno que hay que aplicar en este caso son las de flujo de calor nulo en el
centro del cilindro por simetría y la condición de contorno de convección en la superficie exterior,
teniendo en cuenta la presencia de una superficie aleteada. Estas condiciones son:
r 0
r 0 r 0
dT dT
q k 0 0
dr dr
''
E
EA
q L
h T r T
A
'
·
Esta segunda condición de contorno indica que el calor que se genera en el interior del cilindro se
evacúa por la superficie total de la estructura aleteada con una eficiencia determinada por las
características de las aletas. La descripción de la condición de contorno se realiza por unidad de
longitud, y da lugar a que la temperatura en la superficie tenga la forma:

E
EA
q L
T r T
h A
'
Aplicando las condiciones de contorno se tiene que:
1
r 0
dT
0 K 0
dr
E 2
EA EA
q L q qL
T r T K T
h A 4 k h A
' ' '
Con lo que la expresión de la distribución de la temperatura en el interior del tubo queda de la
forma:
2
2
EAE
q r qL
T r T 1
4 k h Ar
' '
En el caso de no tener aletas, la distribución de temperaturas queda ( =1; AEA=AT=2 rEL):
2
2
EE
q r q
T r T 1
4 k h 2 rr
' '
La diferencia de temperatura en el eje entre las dos configuraciones con aletas y sin aletas sería
E EA
q 1 L
T r 0
h 2 r A
'
Solo resta realizar la sustitución de valores y el cálculo de la eficiencia del conjunto de aletas para
obtener los resultados numéricos.
La eficiencia de una aleta anular de forma rectangular se obtiene a partir de los siguientes
parámetros:
b
e
r 5 2
0 714
r 7 2
/
,
/
11
22
e
2 h 2 10
r 0 035 1 32
k w 14 0 001
, ,
,
De donde se obtiene una eficiencia de aleta (fórmula o gráfica) de
=0,947
La eficiencia del conjunto de aletas es de la forma:
A
EA
A
1 1
A

Las áreas de las aletas y el total son 0,376 y 0,531 m2
/m respectivamente, dando lugar a una
eficiencia del conjunto de aletas de 0,96. Con estos datos, la diferencia de temperaturas en el eje
entre el caso sin aletas y con aletas es de:
E EA
q 1 L 90 1 1
T r 0 39 7 C
h 2 r A 10 2 0 025 0 96 0 531
'
, º
, , ,

PROBLEMA 18
Por el interior de una tubería circula un caudal de vapor saturado a TSAT = 100 C en régimen
permanente. Por el exterior de la tubería hay aire a una temperatura de Te=20 C. Para incrementar la
cantidad de condensado obtenido por cada metro de tubería, se disponen unas aletas anulares del
mismo material en la parte exterior de la misma. Determinar:
1) Calor por metro lineal disipado por la tubería sin aletas.
2) Calor por metro lineal disipado por la tubería con aletas.
3) Cantidad de condensado obtenido por metro lineal de tubería en ambos casos (sin aletas y con
aletas).
4) Calcular la temperatura de la superficie exterior del tubo en ambos casos. Razonar la diferencia
de los resultados.
DATOS
- Considérese que no hay subenfriamiento en el líquido condensado
- Radio exterior de la tubería: re = 1.5 cm
- Radio interior de la tubería: ri = 1.2 cm
- Conductividad térmica del tubo: kt = 20 W/m K
- Radio exterior de la aleta: ra = 5 cm
- Espesor de la aleta: w = 1,7 mm
- Distancia entre centros de aletas = 1 cm
- Conductividad térmica de la aleta: ka = 30 W/m K
- Coeficiente de película por el interior de la tubería: hi = 1000 W/m2
K
- Coeficiente de película por el exterior de la tubería: he = 5 W/m2
K
- Calor latente de cambio de estado del agua: hfg = 2257 kJ/kg
SOLUCIÓN
1) El calor disipado por metro lineal de tubo sin aletas será:
W/m43,37
0,0155
1
20
2,1/5,1ln
012,01000
1
201002
rh
1
k
r/rln
rh
1
TT2
L
q
'q
ee
ie
ii
ei
sin
sin
2)
La efectividad de una aleta simple es:
88,0
7,0w
wk
rh2
35,0
r
r
Gráfica
2
a
a
e
Dado que la separación entre centros de
aletas es de 1cm, en 1 metro de tubo (L = 1
m), el número de aletas es:
aletas100
m01,0
m1
N
Es necesario determinar la eficiencia global de la estructura aleteada:

89,0
m51,1SSS
m0782,0,00170100115,02wNLr2S
m43,1015,005,01002rrN2S
1
S
S
1
f
2
EaT
2
eE
2222
e
2
aa
T
a
f
Con lo que el calor disipado por metro lineal de tubo con aletas resulta:
W/m9,485
Sh
L2
k
r/rln
rh
1
TT2
L
q
'q
Tfe
12
ii
ei
con
con
3) La cantidad de condensado por metro lineal de tubería será:
fgh
L/q
m
Tubo sin aletas: kg/s m1066,1
h
L/q
m 5
fg
sin
sin
Tubo con aletas: kg/s m1015,2
h
L/q
m 4
fg
con
con
4) Para el caso del tubo sin aletas:
C43,99
,015025
1
43,3720
r2h
1
L
q
TT
TTr2h
L
q
eesin
eb
ebee
sin
Para el caso del tubo con aletas:
C32,92
,511589,0
1
9,48520
Sh
L
L
q
TT
TT
L
S
h
L
q
Tefcon
eb
eb
T
ef
con
Esto es debido a que cuanto mayor sea el calor disipado por metro lineal menor será la temperatura
de la base:
bb
b
ie
ii
bsat
TT100
L
q
cte
T1002
k
r/rln
rh
1
TT2
L
q
Por esta razón, el tubo con aletas (que disipa más calor) tiene una temperatura en la base menor
respecto al tubo sin aletas.

PROBLEMA 19
Por medio de aire que se encuentra a una temperatura ambiente de 25 C, se quiere enfriar hasta
80 C un caudal de 3 m3
/h de agua que se encuentra a 120 C. Si el agua circula por el interior de un
tubo de 40 cm de diámetro interior y 1 cm de espesor, determinar la longitud de tubo necesaria para
enfriar el agua.
Si se dota al tubo de aletas anulares del mismo material, con 2 mm de espesor, 56 cm de diámetro
exterior y una separación entre sus centros de 3 cm, determinar la longitud de tubo necesaria para
enfriar el agua.
DATOS
Coeficiente de película en el interior del tubo hi = 100 W/m2
K
Coeficiente de película en el exterior del tubo he = 6 W/m2
K
Conductividad térmica del tubo k = 80 W/m K
NOTAS
Considerar que no hay resistencia de contacto entre tubo y aleta
Considerar que el coeficiente de película en el exterior del tubo no varía al poner las aletas
Considerar despreciable la transmisión de calor por radiación
SOLUCIÓN
1) Tubo sin aletas
La transferencia de calor necesaria para enfriar el agua es:
W134663404217
3600
9283
TTCmq agua
s
agua
eptotal
La transferencia de calor hacia el exterior del cilindro es:
W558
0,216
1
80
20/21ln
2,0100
1
752
rh
1
k
r/rln
rh
1
TT2
'q
2e
12
1i
ei
tubo
Por tanto, la longitud de tubo necesaria será:
m3,241
558
134663
q
'q
L
total
tubo
2) Tubo aleteado

Determinación de la eficacia de una aleta y de la eficiencia del tubo aleteado:
2
e Gráfica a
f
2
Te
r
0,75
r S
0,87 1 1 0,889
S2hr
w 2,42
k w
=0,4
=0,5
=0,6
=0,7
=0,8
=0,2
=0,3
=0,9
El número de aletas por metro es: aletas33,333/100n
Debido a que no se trata de un número entero, el problema se puede resolver de manera
aproximada o de manera exacta.
SOLUCIÓN EXACTA
Cada tramo estará formado por una aleta y el espacio de
tubo desnudo entre aletas que tiene una longitud de:
m028,0002,003,0
2
w
203,0L aletasintramo
El calor del dicho tramo y el calor total serán:

Nqq
TTSUq
tramototal
eiTTtramo
Siendo:
tramosdetotalNúmero:N
tramodelexteriorÁrea:S
tramoelenglobaleCoeficient:U
T
T
ef
12T
ii
T
T
h
1
k2
r/rlnS
hS
S
1
U
Donde:
2
aletasintramo1i
2
EaT
2
aletasintramo2a
22
2
2
eE
m038,003,020,02Lr2S
m253,0SSS
m037,0028,021,02Lr2S
m216,0rr2S
Km
W
94,3
6889,0
1
802
20,0/21,0ln253,0
100038,0
253,0
1
U 2T
W76,7475253,094,3TTSUq eiTTtramo
1802N27,1801
76,74
134663
q
q
NNqq
tramo
total
tramototal
Por tanto la longitud del tubo aleteado será:
m06,5403,01802LNL tramoaleteadotubo
SOLUCIÓN APROXIMADA
Dependiendo de si redondea el número de aletas por metro de n = 33,33 a 33 ó 34 se tiene una
solución u otra.
a) Redondeando a n=34:
ef
12T
ii
T
T
h
1
k2
r/rlnS
hS
S
1
U
Donde:
m/m26,1r2S
m/m56,8SSS
m/m33,7rr2nS
m/m23,1wn1r2S
2
1i
2
EaT
22
2
2
ea
2
2E

Km
W
90,3U 2T
m
W
8,2503'qTTSU'q aletastuboeiTTaletastubo
Por tanto:
m78,53
8,2503
134663
'q
q
L
aletasotub
total
aleteadotubo
Km
W
93,3U
m/m26,1S
m/m34,8S
m/m11,7S
m/m23,1S
2T
2
i
2
T
2
a
2
E
m78,54L
m
W
22,2458'q aleteadotuboaletastubo

PROBLEMA 20
Se dispone un material (k= 2 W/m K) de 6 cm de ancho, 2 cm de alto y longitud infinita intercalado en
una membrana adiabática de espesor despreciable que separa dos fluidos A y B, tal como indica la
figura. Determinar en régimen permanente:
1) Velocidad de transmisión del calor (W) desde el fluido A hasta el fluido B, por metro de longitud
2) La temperatura de las celdas asociadas a los nodos 1,2,3 y 4.
3) Velocidades de transmisión del calor (W) entre celdas, por metro de longitud.
4) La temperatura del fluido A y el coeficiente de película hA.
DATOS:
T5= 268ºC
T6= 282ºC
TB= 200ºC
hB= 100 W/m2
K
k (constante) = 2 W/m K
Despreciar la transmisión de calor por
radiación.
SOLUCIÓN
1) Flujo de calor neto
Por simetría T6== T7 y T5 = T8
El calor que llega al fluido B, por metro de longitud de la placa, es:
B 5 B B 6 B B 7 B B 8 B B 5 B B 6 B
B 5 6 B
q h L T T h L T T h L T T h L T T 2 h L T T 2 h L T T
2 h L T T 2T 2 100 0 02 268 282 2 200 600W
· ·
· · · , · ·
que evidentemente debe proceder del fluido A.
b) Temperaturas de las celdas 1,2, 3 y 4.
También por simetría: T4 = T1 y T3 = T2.
Balance de calor a la celda asociada al nodo 5:
1 5 6 5 5 B
5 B B 5 B B 5 B B 5 B
6 5
6 5 6 5
q q q
L L
q h 1 T T h 1 T T h L T T 100 0 02 268 200 136W
2 2
T TL
q k 1 T T 14W
2 L
· · · ,
·
Despejando: 1 5
1 5 1 5 1 5
T TL
q 136 14 122 k 1 T T T T 122 390 C
2 L
· · º

2 6 5 6 6 B
6 B B 6 B
5 6 6 5
q q q
q h L 1 T T 100 0 02 282 200 164W
q q 14 W
· · ,
Despejando: 2 6
2 6 2 6 2
T T
q 164 14 178 k L 1 2 T T T 89 282 371 C
L
· · · º
Y las temperaturas simétricas quedan así calculadas.
c) Velocidades de transmisión de calor entre celdas
Han sido calculadas ya varias de ellas:
1 5
6 5
2 6
q 122W
q 14W
q 178W
De la celda 1 a la 2:
1 2
1 2 1 2
T TL
q k 1 T T 19W
2 L
· ·
El plano que separa las celdas 2-6 de las celdas 3-7 es adiabático por simetría, y a la derecha del
mismo las velocidades de transmisión de calor serán las mismas:
d) La temperatura del fluido A y el coeficiente de película hA.
El calor que llega al fluido B primero se transmite desde A hacia las celdas 1,2,3 y 4.
1 2 1 5 A A 1 A A A A
L L
q q h 1 T T 19 122 0 02h T 390 h T 390 7050
2 2
· · ,
Balance
de calor a la celda asociada al nodo 2:
2 1 2 6 A A 2 A A A Aq q h L 1 T T 19 178 0 02h T 371 h T 371 7950· ,
Obteniendo así dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando en la primera hA :
A
A
7050
T 390
h
Sustituyendo en la segunda:

A A A 2
A
7050 900 W
h 390 371 7950 7050 19h 7950 h 47 4
h 19 m K
,
A
7050
T 390 538 8 C
47 4
, º
,

PROBLEMA 21
En un edificio de viviendas se produce el encuentro del muro de la fachada con los diferentes
forjados que conforman los pisos. Se desea estudiar las pérdidas térmicas que se producen hacia el
exterior por fachada y forjado, desde habitaciones que dan al exterior. Para ello se analiza una
longitud de forjado de 1,25 m desde el exterior, tal y como se aclara en la figura. Se pide:
1) Explicar lo que ocurre en la frontera izquierda de las celdas 1, 4 y 7.
2) Evaluar las pérdidas en régimen permanente, comparando las pérdidas a través del forjado con
las pérdidas a través de fachada, por metro cuadrado de superficie exterior.
3) ¿Cuál es el criterio de estabilidad que da por buena la solución obtenida?
SOLUCIÓN
1) Puede considerarse despreciable el calor que se escapa a la izquierda de dichas celdas, dado que
es esperable que, dada la longitud de un forjado de vivienda, la resistencia térmica al paso de calor
sea muy alta.
2) A continuación se desarrolla el análisis por métodos numéricos del problema, por lo que se
definen las siguientes variables:
x = 0,5m; y = 0,125m; k = 1W/mºC; hi = 5 W/m2
K; he = 10 W/m2
K; Ti = 20ºC; Te = -3ºC
Dada la simetría del problema, sólo deben analizarse seis nodos, los marcados con los números 1 a 6.
Balance de energía de la celda asociada al nodo 1:
q41+q21+qi1=0
Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita:
q41=k x (T4-T1)/ y
q21=k y/2 (T2-T1)/ x
qi1=hi x (Ti-T1)

De donde resulta la ecuación 1:
32 T4-53 T1+T2+400=0 (1)
qi2+q12+q52+q32=0
qi2=hi x (Ti-T2)
q12=-q21
q52=k x (T5-T2)/ y
q32=k y/2 (T3-T2)/ x
400-54 T2+T1+32 T5+T3=0 (2)
qe3+q23+q63=0
qe3=he y/2 (Te-T3)
q23=-q32
q63=k x/2 (T6-T3)/ y
-15-22 T3+T2+16 T6 =0 (3)
q14+q54+q74=0
q14=-q41
q54=k y (T5-T4)/ x
q74=-q14
-33 T4+32 T1+T5 =0 (4)

q25+q45+q85+q65=0
q25=-q52
q54=- q45
q85=q25
q65=k y (T6-T5)/ x
-34 T5+32 T2+T4+T6 =0 (5)
qe6+q36+q96+q56=0
qe6=he y (Te-T6)
q36=-q63
q96=q36
q56=q65
-15-22 T6+16 T3+T5=0 (6)
Por lo tanto, se tienen 6 ecuaciones con 6 incógnitas que son las temperaturas de los 6 nodos, que
resolviendo resulta:
T1 T2 T3 T4 T5 T6
19,84ºC 18,40ºC 0,53ºC 19,78ºC 17,92ºC 0,52ºC

Cálculo del calor perdido por unidad de superficie de fachada: al tener el muro 0,25m de espesor,
una profundidad de 4m de espesor conforma una superficie de 1m2
.
En la figura se pueden ver los nodos 3, 6 y 9, los cuales intercambian calor con el exterior a través de
sus superficies A3, A6 y A9 respectivamente.
A3=4m 0,25m/4=0,25m2
A6=4m 0,25m/2=0,5m2
A9=A3=0,25m2
De esta forma, el calor evacuado a través de la fachada por el forjado resulta:
qforjado=he (2 A3 (T3-Te)+A6 (T6-Te))=35,26W
3) La solución es incondicionalmente estable dado que el sistema se encuentra en régimen
permanente.

PROBLEMA 22
Un cilindro macizo, homogéneo, de 4 cm de radio y gran longitud, que dispone de una fuente térmica
constante en el tiempo y uniformemente distribuida en su interior, de valor 5 x 105
W/m3
, alcanza el
régimen permanente transfiriendo calor por convección y radiación a su entorno en un recinto que
se encuentra en equilibrio térmico a 0ºC.
Aplicando exclusivamente métodos numéricos, y sabiendo que el coeficiente combinado de
convección-radiación de acoplamiento térmico entre el cilindro y el recinto vale 100 W/m2
K, se pide
lo siguiente:
1) Escribir las ecuaciones nodales térmicas correspondientes al eje del cilindro (T1), al radio
intermedio de 2 cm (T2), y a la superficie exterior del cilindro (T3).
2) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones nodales anteriores, calcular las temperaturas
T1, T2 y T3.
DATOS:
k = 1 W/m K cp = 1800 J/kg K = 2000 kg/m3
SOLUCIÓN
T1
rA
rB
T2T3
r3
1) Ecuaciones nodales (modelo unidimensional, sentido radial):
Nodo 1 (eje del cilindro; frontera: radio rA=1/2 r2)
cond gen
2 1 1
2 2 52 1 2 1
A A
B A
A
2 1
q q 0
T T T T
k2 r L r L q 0 2 0 01 0 01 5 10 0
r r 0 03 0 01
0 01r
22
T T 50 0
*
· · , , · ·
, ,
,
Nodo 2 (punto intermedio del cilindro; fronteras: radios rA y rB=1/2(r2+r3)
gen
1 2 3 2 2
2 23 21 2
A B B A
B A B A
A A
q q q 0
T TT T
k2 r L k2 r L r r L q 0
r r r r
r r
2 2
*

2 2 53 21 2
1 2 3 2 1 2 3
T TT T
2 0 01 2 0 03 0 03 0 01 5 10 0
0 02 0 02
T T 3T 3T 400 0 T 4T 3 T 400 0
· , · , , , ·
, ,
·
Nodo 3 (superficie exterior del cilindro; fronteras: radios rB y r3)
cond conv rad gen
2 3 F 3 3
2 22 3
B 3 F 3 3 B
B A
A
5 2 22 3
3
2 3 3 2 3
q q q 0
T T
k2 r L h 2 r L T T q r r L 0
r r
r
2
T T
2 0 03 100 2 0 04 0 T 5 10 0 04 0 03 0
0 02
3T 3T 8T 350 0 3T 11T 350 0
*
· ·
· , · · , · · , ,
,
2) La resolución del sistema de las tres ecuaciones anteriores conduce a la solución:
T1 = 300ºC
T2 = 250ºC
T3 = 100ºC
Nota: por técnicas analíticas podrían comprobarse los resultados numéricos obtenidos. La
distribución de temperaturas del cilindro macizo con fuente uniforme es:
2 2
3
3 2
3
q r r
T r T 1
4k r
*
( )
Para determinar la temperatura T3 se acude a un balance energético del cilindro completo:
5
gen conv rad 2 3
3 CR 3 3 F 3 F
CR
r q 0 04 5 10
q q r L q h 2 r L T T T T 0 100 C
2 h 2 100
*
* · , · ·
·
· ·
5 2 2 2
1 1
2 2
2 2
r 0 T 300 C5 10 0 04 r r
T r 100 1 100 200 1
r 0 02 T 250 C4 0 04 0 04
· · ,
( )
,, ,

PROBLEMA 23
Un soldador consiste en una varilla cilíndrica metálica maciza de una aleación de wolframio (k=170
W/m K, =19,25 g/cm3
, cp=130 J/kg ºC que se calienta eléctricamente por un extremo B
alcanzándose en el otro extremo A (punta del soldador) la temperatura requerida para realizar la
soldadura. Teniendo en cuenta que las dimensiones del soldador son 10 cm de longitud, con un
diámetro de 5 mm. Teniendo en cuenta que la temperatura exterior es de 20ºC y considerando un
coeficiente combinado de radiación-convección de 25 W/m2
K.
1) Calcular la temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 410ºC, y la
potencia eléctrica que se debe aplicar en el extremo B para mantener el régimen térmico
estacionario en esas condiciones.
2) Realizar el análisis mediante métodos numéricos aplicando una distancia entre centros de los
nodos de 2 cm.
3) Comparar los resultados obtenidos por ambos métodos, evaluando en % la desviación en la
temperatura en B y la potencia obtenida.
SOLUCIÓN
1) El soldador se comporta térmicamente como una varilla cilíndrica que se calienta por uno de sus
extremos, transmitiéndose la potencia proporcionada por conducción a lo largo de la varilla,
produciéndose pérdidas por convección por la superficie exterior de la varilla hasta que el calor llega
al extremo.
El comportamiento térmico de esta varilla es, por tanto, el de una aleta de sección recta circular.
La solución de la ecuación general de una aleta de sección recta constante con convección en el
extremo es:
r c
x a
r cb a
h
m L x m L xT T m K
hT T
m L m L
m K
cosh sinh
cosh sinh
r c
r c
h
m L m L
m Kq M
h
m L m L
m K
sinh cosh
cosh sinh
Siendo los coeficientes fundamentales de la ecuación característica de la aleta en función de su
conductividad (K), su coeficiente combinado de radiación-convección (hr-c), y sus características
geométricas como la sección recta (Axs= D2
/4) y su perímetro circular (P= D):
r c r cP h 4 h
m
K A K D
y r c xs b aM h A K P T T

Sustituyendo los valores correspondientes al material de la varilla (wolframio), el coeficiente
combinado de transferencia proporcionado, y su configuración geométrica se tiene que estos
parámetros adquieren los valores:
1
m 10 85m, M 23 52W,
Es necesario despejar primero la temperatura de la base, que a partir de la expresión de la
distribución de temperaturas en una aleta se tiene particularizando para el punto conocido (x=L,
extremo de la aleta):
x a
b
b a bx L
T T 410 20
0 6002 T 699 7 C
T T T 20
, , º
La potencia necesaria para mantener esas temperaturas será, de acuerdo con la expresión antes
descrita:
q=18,82 W
2) La segunda parte del problema consiste en la determinación de esos mismos parámetros mediante
métodos numéricos, con un x=2 mm. La red nodal para este análisis se muestra en la figura, en
donde se tiene como condición de contorno la temperatura en el extremo A conocida, junto con la
temperatura ambiente, que no está representada.
En esta red las resistencias térmicas asociadas con la de conducción entre los nodos A, 1, 2, 3, 4, y B,
que es la misma, al ser la misma distancia nodal y la misma área de transferencia, siendo:
K 2
x 4 K
R 5 992
WK D
,
Las resistencias térmicas de transferencia de calor a través de la superficie de cada nodo con el
exterior serán para los nodos 1, 2, 3 y 4:
ci
r c
1 K
R 127 3
h D x W
,
En los nodos A y B, esa resistencia térmica resulta ser el doble al tener la mitad de superficie, al estar
el nodo en el extremo de la celda.
ca b
r c
2 K
R 254 6
h D x W
,
Con todo esto ya se está en disposición de establecer las ecuaciones de balance de energía en cada
nodo.
Nodo A:
e A1 A
K ca b
T TT T
0
R R

En donde todo es conocido, excepto la temperatura en el nodo 1, que se puede obtener despejando.
T1=419,2 ºC
Nodo 1:
e 1A 1 2 1
2
K K c
T TT T T T
0 T 447 1 C
R R R
, º
Nodo 2:
3 2 e 21 2
3
K K c
T T T TT T
0 T 495 2 C
R R R
, º
Nodo 3:
2 3 4 3 e 3
4
K K c
T T T T T T
0 T 565 6 C
R R R
, º
Nodo 4:
3 4 e 4B 4
B
K K c
T T T TT T
0 T 661 7 C
R R R
, º
Nodo B:
e B4 B
n
K ca b
T TT T
q 0
R R
En donde se despeja el calor aportado en la base:
qn=18,56 W
3) Las diferencias encontradas entre el cálculo con métodos numéricos y de forma analítica es:
b
B
T
Diff T 1 0 012 1 2
T
_ , , %
n
Q
Diff Q 1 0 014 1 4
Q
_ , , %

PROBLEMA 24
Se tiene una aleta triangular de un material de conductividad k = 180 W/m K con una longitud de 4
cm, y con una base de 0,8 cm, y muy larga en la dirección perpendicular al plano del papel, como se
muestra en la figura.
La base de la aleta se mantiene a una
temperatura de 200ºC, el medio que la
rodea se encuentra a 25ºC con un
coeficiente combinado de convección-
radiación de h = 15 W/m2
K. Mediante
métodos numéricos y utilizando los cinco
nodos que se muestran en la figura, con
x = 1 cm en la dirección de la aleta,
Determinar en régimen permanente:
1) Las temperaturas en cada uno de los
nodos.
2) La potencia disipada por metro lineal
de aleta.
3) La eficiencia de la aleta.
SOLUCIÓN
Se tiene el dominio de la aleta dividido según las condiciones del problema en 5 celdas, con un nodo
en la base de la aleta, tal y como se muestra en la figura, en donde se indica la notación de las áreas
más relevantes de transferencia térmica.
La aplicación de las técnicas de métodos numéricos con los 5 nodos/celdas que se proponen da lugar
al siguiente sistema de ecuaciones con 5 ecuaciones con 5 incógnitas, la potencia disipada por la
aleta y las 4 temperaturas desconocidas (q, T2, T3, T4 y T5) que resultan del balance de energía
teniendo en cuenta la conducción en la aleta, convección-radiación a través de la superficie exterior
de cada nodo y el aporte de calor al nodo 1, que es el que disipa la aleta y que se transfiere por su
base.
Balance a la celda 1:
2 1
12 c a 1
T T
q k A h A T T 0
x
· · · ·
3 21 2
12 23 c a 2
T TT T
k A k A h2 A T T 0
x x
· · · · · · ·
2 3 4 3
23 34 c a 3
T T T T
k A k A h2 A T T 0
x x
· · · · · · ·

3 4 5 4
34 45 c a 4
T T T T
k A k A h2 A T T 0
x x
· · · · · · ·
4 5
45 c a 5
T T
k A h A T T 0
x
· · · ·
Son conocidos k = 180 W/m K, h = 15 W/m2
K, T1 = 200ºC y x = 0,01 m. Falta calcular las áreas de
transferencia teniendo en cuenta la geometría triangular de la aleta.
Las áreas de intercambio entre celdas se obtienen por semejanza de triángulos:
A12 = 0,007 m2
/m
A23 = 0,005 m2
/m
A34 = 0,003 m2
/m
A45 = 0,001 m2
/m
El área de convección por metro lineal es:
2
c
x 0 01
A 0 01005 m m
5 71
,
, /
cos cos ,
En donde el ángulo que forma la superficie de la aleta con su eje se obtiene de las dimensiones de
la aleta, como:
b 2 0 04
0 1 arctg 0 1 5 71
L 4
/ ,
tan , , ,
Sustituyendo valores se obtiene el sistema de ecuaciones (Nótese que las últimas 4 ecuaciones sólo
involucran a las 4 temperaturas desconocidas, con lo que puede resolverse sólo para las
temperaturas, deduciéndose después el calor disipado):
2q 90 T 200 0 1575 25 200 0· , ·
1 2 3 2 2126 T T 90 T T 0 3015 25 T 0· · , ·
2 3 4 3 390 T T 54 T T 0 3015 25 T 0· · , ·
4 3 5 4 454 T T 18 T T 0 3015 25 T 0· · , ·
5 4 518 T T 0 1575 25 T 0· , ·
Cuya solución es:
q = 207,6 W/m
T2 = 198,6ºC
T3 = 197,1ºC
T4 = 195,7ºC
T5 = 194,3ºC
La eficiencia de la aleta se define como:
q
qmax
Con qmax como el calor que disiparía la aleta si toda su superficie estuviera a la temperatura de la
base.
t b a
q q 207 6
q A h T T 2 4 0 01005 15 200 25max
,
· · · · , · ·

73
2. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO

Doc 20181110-wa0009

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