Unidad iii ecuaciones

37
Msc. Alberto Pazmiño O.
Capitulo III
Ecuaciones
Recordemos que en una expresión algebraica no constante, a las variables se les puede asignar
valores reales para obtener así el valor numérico de la expresión dada:
Ejemplos
1. En la expresión a las variables se les puede asignar cualquier valor real, y el
resultado siempre es un número real.
2. Si en le asignamos el valor de 2 o sea entonces la expresión
resultante no representa un número real. (Recuerde que si el denominador de una fracción
es cero, entonces ésta no representa un número real). Se puede demostrar que si se
sustituyen por cualquier valor real diferente de , el resultado es un número real.
3. En se puede demostrar que si se sustituye por cualquier número real menor que
entonces la expresión resultante no representa un número real (a modo de ejemplo probar
con).
( Recuerde que la raíz cuadrada de un número negativo no representa un número real)
Los casos (2) y (3) anteriores son ejemplos que ilustran el hecho de que para algunas expresiones
algebraicas no constantes, existen números reales, los cuales al ser sustituidos por las variables
correspondientes en la expresión dada, hacen que el resultado obtenido no represente un número
real.
Definición
Dada una expresión algebraica de una sola variable y un subconjunto del conjunto de los
números reales, cuyos elementos son aquellos números que al ser sustituidos en la expresión
algebraica dada el resultado, no representa un número real, entonces el conjunto definido por:
Recibe el nombre de dominio de la variable para la expresión algebraica dada.
Esto significa que al dominio de la variable en una expresión algebraica, pertenecen únicamente
los números reales que al ser sustituidos por la variable hacen que el resultado obtenido represente
al número real.
Ejemplo
Determine el dominio de la variable para cada una de las siguientes expresiones:
a)
Solución:
Si se sustituye por se obtiene como resultado una expresión que no representa un número
real, además se puede demostrar que es el único valor de para el cual no representa

38
un número real, Así tenemos que el dominio para en la expresión es o sea:
Lo anterior significa que a se le puede asignar cualquier valor real, diferente de .
b)
Solución:
Si se sustituye por o por , se obtiene como resultado una expresión que no representa un
número real, además se puede demostrar que y son los únicos valores de para los cuales
es o sea:
Lo anterior significa que a en se le puede asignar cualquier valor real,
diferente de y de .
Definición
Una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de las expresiones
involucra variables, recibe el nombre de ecuación.
Ejemplo
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
[f]

39
Definición
En una ecuación las variables reciben el nombre de incógnitas.
Ejemplo
1. En ,el dominio de la incógnita es , además si , se obtiene la igualdad verdadera
,por lo que es una solución de la ecuación
2. En, el dominio de es, un valor de que hace que la igualdad sea verdadera es y cómo
es un elemento de entonces es una solución de la ecuación dada.
3. En , el dominio de , es una igualdad verdadera, y como
es un elemento de entonces es una solución de la ecuación
Definición
Dada una ecuación de una incógnita, el subconjunto del dominio de la incógnita que contiene
únicamente las soluciones de la ecuación dada recibe el nombre de conjunto solución. Lo anterior
afirma que si es el conjunto solución de una ecuación, entonces en están las soluciones y todo
elemento de es una solución de la ecuación dada.
Ejemplos
1. En ,el dominio de es , un valor de que hace que la igualdad
sea verdadera es y como es un elemento de y además se puede demostrar que es
la única solución de la ecuación dada, entonces su conjunto solución eso sea:
2. En el dominio de es , y son dos soluciones de la
Definición
En una ecuación de una incógnita cualquier número que esté contenido en el dominio de la incógnita
y que al ser sustituido en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera, es una solución de la
ecuación.

40
ecuación dada. Como y son elementos de y además se puede demostrar que y son las
únicas soluciones de la ecuación dada, entonces su conjunto solución es o sea:
Definición
Resolver una ecuación significa determinar su conjunto solución.
Actividad
1. Para cada uno de los casos siguientes, escriba los números reales que al ser sustituidos por
la variable en la expresión dada, hacen que el resultado obtenido no represente un número
real.
[a]
[b]
[c]
[d]
[e]
[f]
4. Para cada uno de los casos siguientes, escriba cinco números reales, que al ser sustituidos
por la variable en la expresión dada, hacen que el resultado obtenido no representa un
número real
1.
2.
3.

41
4.
5.
6.
5. Determine el dominio de la variable para cada una de las siguientes expresiones:
1.
2.
3.
4.
Ecuaciones lineales con una incógnita
Definición
Sean constantes reales con . Se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda
ecuación de la forma
Por ejemplo,sonecuaciones lineales con una incógnita:
1)
2)
3)
Definición
Si dos ecuaciones lineales con una incógnita tienen el mismo conjunto solución decimos que son
equivalentes entre sí
Ejemplo
1. El conjunto solución de es {5}

42
El conjunto solución dees {5}
Como tienen el mismo conjunto solución entonces son equivalentes entre sí.
2. El conjunto solución
El conjunto solución
Como tienen el mismo conjunto solución entonces son equivalentes entre sí.
Para resolver algunas ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para
esto "transformaremos" la ecuación en otras equivalentes a la original, hasta obtener una
ecuación de la forma , donde es una incógnita y es una constante real.
Algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes
entre sí
1. Permutarmiembros de la ecuación
La ecuación es equivalente a la ecuación
2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la igualdad
La ecuaciónes equivalente a la ecuación
3. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo número (diferente de cero)
La ecuación es equivalente a la ecuación
4. Algunas propiedades de la adición y la multiplicación definidas en (conmutativa,
asociativa, etc.)
Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando las propiedades anteriores:
EjemplosResueltos
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1)
Solución
=
=
=

43
Por lo que el conjunto solución dees {4}
2)
Solución
=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución de es
3)
Solución
=
=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución de es
Nota
En el proceso de resolución de ecuaciones no es necesario enumerar todas las transformaciones
que se realicen, pues a veces se pueden "dejar de escribir" algunos pasos.

44
Actividad
a)
b)
c) 5
3
3
1 x
x
a
a
d) 132121 2
xxxxxxx
e) 0
5
7
4
1
4
7
3
1
3
7
2
1
xxx
f) 2
7
1
6
1
1
6
1
5
1
4
1
1
4
1
3
1
2
1
1
2
1
xxx
g) 22
2
ba
ba
ba
ax
ba
ba
ba
ax
ba
xba
h) 2,002,0
2,2
2,0
2
2,0


xx
i) x
ba
a
ba
a
ba
a
x
ba
a
22222
Resolución de Problemas

45
4
82
83
x
x
xx
Toda ecuación en la que se persigue la determinación de uno o varios números desconocidos
mediante la relación (o relaciones) que existen entre ellos y otros conocidos, se dice que es un
problema.
Los números y las relaciones conocidas constituyen los datos del problema. Los números cuya
determinación se pide son las incógnitas.
En lo que sigue ilustraremos la técnica de la resolución de los problemas por medio de
ecuaciones (resolución algebraica)
En el proceso de la resolución algebraica de un problema distinguiremos las etapas siguientes.
a) Representación
b) Planteo de la ecuación
c) Resolución de la ecuación
d) Verificación de la solución hallada
Actividad
1. El triplo de un número es igual al número aumentado en 8. Hallar el numero
a) El numero:x
El triplo delnúmero: 3x
El numero aumentado en 8: x+8
b) 83 xx
c)
d) El triplo de 4 es 12 y 4 aumentado en 8 también es 12.
2. Repartir 4000 pesetas entre dos personas, de manera que la primera reciba 540 pesetas más
que la segunda.
Primera persona: x +540
Segunda persona: x
psx
xx
1730
4000540
La primera persona recibe: 1730 +540 =2270ps y la segunda recibe1730 ps

46
3. Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques, en el primero entran una tercera parte más que
en el segundo, y en este la cuarta parte de los que entran en el tercero.
4. Los dos factores de una multiplicación, suman 91. Si se aumentan 5 unidades al
multiplicando y se disminuye 2 al multiplicador el producto aumenta en 67. ¿Cuáles son los
factores?
5. Aumentado un número en sus tres centésimas partes, se obtiene 103 unidades más la quinta
parte de aquella suma. ¿Cuál es el número?
6. Descomponer el número 440 en dos sumandos, de manera que las dos quintas partes del
primero excedan en 15 unidades a las tres cuartas partes del segundo.
7. Un señor tiene dos terrenos y , ambos de forma rectangular.En el terreno el largo
mide 7 metros más que el ancho.En el terreno , el largo mide 2 metros más que el largo
del terreno y el ancho mide 3 metros menos que el ancho del terreno .
Si el área del terreno es 37 metros cuadrados menor que el área del terreno , determine
las medidas de los lados de los terrenos.
8. Luis tiene tanto dinero como José. Si diese a José 20$ entonces tendría solamente el doble,
¿Cuánto dinero tiene cada uno?
9. Un fabricante tiene para la venta un cierto número de tubos de barro. Vende primero las tres
quintas partes, y después se le hace un pedido de las siete octavas partes de los que
quedaban, pero antes de servir este pedido, se le inutilizan 240 tubos, y no puede entregar
más que las cuatro quintas partes de la cantidad pedida. ¿Qué número de tubos se
vendieron?
10. Una persona sale de paseo. Parte en un vehículo, a 15km por hora? A qué distancia del
punto de partida tiene que apearse para que, regresando a su casa a pie, con velocidad de
6km por hora, llegue a las cuatro horas de la salida?

47
A continuación nuestro objetivo es resolver ecuaciones, en las cuales uno de sus miembros es un
polinomio de grado mayor que uno. En el proceso de resolución de este tipo de ecuaciones
haremos uso de los métodos de factorización estudiados anteriormente, con el fin de obtener una
ecuación equivalente a la original, la cual se puede resolver por medio de la propiedad anterior.
Por esto veamos diferentes tipos de ecuaciones que se pueden presentar:
Ecuación Cuadrática
Definición
Sean constantes reales con . Se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado con una
incógnita a toda ecuación de la forma:
Ejemplos
(Ecuaciones cuadráticas)
1. 2.
3. 4.
Veamos algunos ejemplos resueltos, donde se ilustran algunas técnicas que pueden usar para
resolver ecuaciones cuadráticas y algunas ecuaciones que "se pueden transformar" a la forma
cuadrática
Ejemplo Resueltos
1.
Solución
=
=
Entonces
= ó =
= ó =
Por lo que el conjunto solución es

48
2.
Solución
=
=
Entonces
= ó =
= ó =
3.
Solución
=
=
=
Entonces
= ó =
= ó =
4.
Solución
=
=
=
=
=
Entonces

49
= ó =
= ó =
5.
Solución
=
=
=
=
Entonces
= ó =
= ó =
6.
Solución
=
=
=
=
Entonces
= ó =
= ó =
= ó =

50
Observe que dentro del proceso de resolución de las ecuaciones anteriores hemos usado, según el
caso, de los métodos de factorización: factor común y por la fórmula notable, esto por las
características particulares que presentaban las expresiones algebraicas involucradas en cada una
de las ecuaciones.
A continuación estudiaremos un procedimiento, que nos permite, en general resolver cualquier
ecuación de la forma constantes reales y .
Teorema
Sean constantes reales con tal que
1. Si entonces la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, es decir el conjunto
solución de es
2. Si entonces tiene una única solución, la cual viene dada pores decir el conjunto solución
de es
3. Si entonces tiene dos soluciones, las cuales vienen dadas por
es decir el conjunto solución de es
DEMOSTRACIÓN:
1. Si entoncesno es factorizable en , es decir
Por lo que:
Si entoncesno tiene solución enes decir su conjunto solución es
2. Si entonces
Así que:
=
=
=
= ó =
= ó =

51
Por lo que:
Si entonces el conjunto solución de
4. Si
Asítenemosque:
=
=
= ó =
= ó =
= ó =
ycomo
entonces
Por lo que
Sientonces el conjunto solución de
Ejemplo Resueltos
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1.
Solución
=
=
=
=

52
Como entonces la ecuación correspondiente tiene dos soluciones
= y =
= y =
= y =
= y =
2.
Solución
=
=
=
Como, entonces la ecuación correspondiente no tiene solución en, por lo que el conjunto
solución es
3.
Solución
=
=
=
=
=
=
= y =

53
= y =
= y =
= y =
4.
Solución
=
=
=
=
=
=
Como , entonces la ecuación correspondiente tiene una única solución real
=
=
=
Ecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un polinomio de grado
mayor o igual que tres.
En la resolución de este tipo de ecuaciones haremos uso de los conceptos de factorización ya
estudiados, de los procedimientos usados para resolver ecuaciones cuadráticas, así como de la
propiedad enunciada anteriormente.

54
Ejemplos Resueltos
1.
Solución
=
=
=
Entonces
= ó = ó =
= ó = ó =
2.
Solución
=
=
=
=
=
Entonces
= ó = ó =
= ó = ó =

55
Nuestro objetivo en los ejemplos siguientes es mostrar el uso de la división sintética, como un
procedimiento que se puede utilizar para resolver ecuaciones (con soluciones racionales, en las
cuales uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor que dos con coeficientes enteros)
Ejemplo
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a.
Hagamos:
1. (divisoresenteros de -2)
2. (divisoresnaturales de 2)
3. (cada elemento de D es un posible cero racional de)
4. Calculemos
Como entonces -1 no es cero de
5. Calculemos
Como,
Entonces se tiene que
Por lo que:
=
=
Entonces
= ó =

56
(Es decir es una solución de )(*)
6. Resolvamos
=
=
= y =
= y =
= y =
= y =
(**)
7. El conjunto solución de es por (*) y (**)
=
Ejemplo
a.
Solución
Nota: En la resolución de este ejemplo omitiremos el cálculo de las divisiones, así como de los
posibles ceros de los polinomios correspondientes.
=
=
=
Hagamos
1. Calculemos

57
Como entonces -3 es una solución de (*)
2. Resolvamosahora
=
=
= y =
= y =
= y =
= y =
= y =
(**)
Por (*) y (**) el conjunto solución dey por lo tanto también el de
es
Recordemos que anteriormente, se definió el conjunto solución de una ecuación, como aquel
conjunto que está contenido en el dominio de la incógnita y que consta de los números reales que
al ser sustituidos en la ecuación, da como resultado un número real.
En los ejemplos anteriores no determinamos explícitamente el dominio de la incógnita, debido a
que en estos casos el dominio de la incógnita era el conjunto de los números reales. En esta
sección nos interesa estudiar ecuaciones de las cuales el dominio de la incógnita puede ser un
subconjunto propio de .
Pero, antes de empezar el estudio de este tipo de ecuaciones, es necesario tener presente las dos
reglas siguientes.

58
REGLA 1
Si en el proceso de la resolución de una ecuación se obtiene una igualdad verdadera, entonces el
conjunto solución de la ecuación original es el dominio de la incógnita.
REGLA 2
Si en el proceso de la resolución de una ecuación se obtiene una igualdad falsa, entonces el
conjunto solución original es el conjunto vacío.
Ejemplo Resueltos
1.
Solución
El dominio de la incógnita es
=
=
=
=
Como el resultado es una igualdad verdadera y entonces el conjunto solución es el dominio de la
incógnita es decir (ver Regla 1)
2.
Solución
El dominio de la incógnita es
=
=
=
Como el resultado es una igualdad falsa entonces el conjunto solución es vacío (ver Regla 2)
Ecuaciones que involucran fracciones racionales
Recordemos que una fracción racional es una expresión de la forma polinomios.

59
Para resolver ecuaciones que involucran fracciones racionales haremos uso de los
procedimientos utilizados anteriormente, así como de las siguientes propiedades:
Propiedades
Sea . Entonces se cumple:
1.
2.
EjemplosResueltos
a.
Solución
En este caso debe cumplirse:
Por lo que el dominio de la incógnita es
=
=
=
=
(I)(*)
= (II)
(*) La igualdad (II) se obtuvo a partir de la igualdad (I), aplicando el punto de la propiedad
anterior.
Como obtuvimos una igualdad falsa, entonces la ecuación original no tiene solución, es decir su
conjunto solución es .

60
b.
Solución
En este caso debe cumplirse
=
=
=
(I)(*)
= (II)
=
=
=
(*) La igualdad (II) se obtuvo a partir de la igualdad (I), aplicando el punto de la propiedad
anterior.
Como el resultado es una igualdad verdadera y el dominio de la incógnita es tenemos que el
conjunto solución de la ecuación es .
c.
d.
e.

61
Solución
=
= (*)
(*) Los denominadores de las fracciones racionales correspondientes han sido factorizados
usando los métodos de factorización por fórmula general y por división sintética.
En este caso debe cumplirse que:
=
=
(I)(**)
= (II)
=
=
(**) La igualdad (II) se obtuvo a partir de la igualdad (I), aplicando el punto de la propiedad
enunciada anteriormente.
Como obtuvimos una igualdad verdadera, entonces la ecuación original tiene como solución,
conjunto solución el dominio de la incógnita es decir.
f.
g.

62
Actividad
a.
b.
c.
d.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

63
15.
16.
Ecuación Radical
Definición
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es
una expresión algebraica no constante.
Ejemplos
Son ecuacionesradicales:
a.
b.
c.
d.
e.
Nota:
Las ecuaciones radicales que estudiaremos en este texto involucrarán solamente una incógnita.
Para resolver ecuaciones radicales usaremos el siguiente resultado.
Resultado (*)
Si es una solución de la ecuación entonces es una solución de la ecuación
dónde Este resultado es una consecuencia de la siguiente propiedad de los números reales.
Si
El conjunto de solución deestá contenido en el conjunto de solución de
Ejemplos Resueltos

64
1.
Solución
=
=
=
=
El conjunto solución de es
2.
Solución
=
=
=
=
=
= y =
= y =
= y =
El conjunto de solución dees
En el caso anterior podemos observar que es una solución de la ecuacióny también es una
solución de.
Sin embargo, observemos que es una solución de pero no de
esto quiere decir que .
Observación
Sean y dos expresiones algebraicas en una variable, Si es una solución de laecuación entonces
no necesariamente es solución de la ecuación

65
Por ejemplo,
en el caso anterior es solución depero no es solución de.
Convenio
Sea una ecuación con una variable , y sea un número real tal que es una solución de , es
una solución de la ecuación si y sólo si al sustituir x por en, se obtiene una igualdad verdadera.
EjemploResueltos
Resuelva cada una de las ecuaciones racionales:
a.
b.
c.
Solución:
1. (I) (*)
= (II)
=
=
=
= ó =
= ó =
= ó =
(*) Observe que el paso II se obtuvo a partir de I, como consecuencia de que ,
donde. Además el valor de se escogió igual al índice del radical (es
decir n=2).
Posibles soluciones.

66
Determinemos si y son solución de la ecuación
=
=
=
=
=
Cierto!
=
=
=
=
=
Falso!
Como con se obtiene una igualdad verdadera y con no, así que 2 es solución y no lo es.
Por lo anterior se concluye que es el conjunto de solución de
2.
=
=
=
=
=
=
Entonces:
= ó =
= ó =
= ó =
Posibles soluciones.

67
Determinemos si y son solución de la ecuación
= 0
= 0+2
=
=
=
=
Cierto!
=
=
=
=
=
=
Cierto!
Como al sustituir ó enobtenemos igualdades verdaderas entonces y son soluciones de
dicha ecuación.
Por lo anterior se concluye que es el conjunto de solución de
3.
=
=
=
=
=
=
Posible solución.
Determinemos si es solución de la ecuación

68
=
=
=
=
=
Falso!
es decirno es solución de la ecuación.
Por lo anterior la ecuación no tiene solución, es decir, su conjunto de solución es .
Nota:
Observe que en los ejemplos anteriores, en el proceso de resolución de ecuaciones radicales, con
el fin de obtener una ecuación polinomial (la cual se puede resolver usando los conceptos
estudiados anteriormente), se utilizó el resultado:
Antes de analizar otro tipo de ecuaciones radicales, veamos el siguiente caso:
Resolviendo la ecuación anterior, usando lo estudiado hasta ahora en ecuaciones radicales.
=
=
=
=
Observemos que en esta última ecuación tenemos todavía radicales, es decir, no hemos obtenido
una ecuación polinomial, como sucedía en los ejemplos anteriores.
Así, para resolver ecuaciones del tipo anterior, se recomienda seguir el procedimiento que
enuncia a continuación:

69
Sean polinomios (o fracciones racionales) y .
Para resolver ecuaciones del tipo:
se recomienda transformarlas a una ecuación del tipo:
A partir de la ecuación anterior se obtiene que:
La cual a su vez implica que:
que es una ecuación que se puede resolver por los métodos estudiados anteriormente.
EjemploResueltos
1.
Solución
=
=
=
=
=
=
=
=
= 9+16
= 25
= =

70
= =
Posiblessoluciones:
Prueba:
=
=
=
=
=
Falso!
=
=
=
=
=
=
Cierto!
Por tanto es solución dey su conjunto de solución es pues no es solución.
2.
Solución

71
=
=
=
=
=
=
=
Entonces
= ó =
= ó =
Prueba:
=
=
=
=
=
=
Cierto!
=
=
=

72
=
=
=
Cierto!
Por tanto son soluciones dey su conjunto de solución es
3.
4.
5.
Actividad
1. 02294 xx
2. 12
4
5
2 xx
3. 04163xx
4. 113 xx
5.
3
3
2
3
3
x
x
x
x
+3
6.
b
a
a
b
x
a
a
x 6
32
7.
10
9
5
5
2
2
3 x
x

73
8.
x
x
x
x 6
1
1
2
3
9. 123525 22
xxxx
10. xxxx 7321398 2
11. 931574 222
xxxxx
12. 5044675 xxxx
13. 3855739 xxxx
14. 1265572 32 xx
15. 0492694 234
xxxx
16.
234
2314 xxxx
Aplicación de las ecuaciones a la solución de situaciones
planteadas en lenguaje corriente
¿Qué es un problema?
La palabra "problema" a menudo se emplea con un sentido equivocado en las clases de matemática. A
menudo, determinado ejercicio es simple rutina para algunos individuos, mientras que para otros se
convierte en tarea que requiere decisión y reflexión cuidadosa. Se ha dicho que: "Lo que para una persona
es un problema para otra es un ejercicio y para una tercera un fracaso”
Se considera que la existencia de ciertas condiciones determina si una situación es un problema para
determinado individuo, entre las cuales podemos mencionar:
i)El camino para llegar a la meta deseada está bloqueado y los patrones fijos de conducta del individuo,
sus respuestas habituales, no son suficientes para romper ese bloqueo.
ii)Tiene que haber deliberación
¿Porqué es importante la solución de problemas?
La realidad concreta no es simple, ni inalterable. Más bien cambia rápidamente. En un mundo
tal, la capacidad de ajuste y solución de los propios problemas es de importancia primordial.
Si la vida fuera de una naturaleza tan constante que sólo tuviéramos que hacer unas cuantas
tareas una y otra vez de exactamente el mismo modo, el conocimiento de cómo resolver

74
problemas podría resultar artificioso. Pues, todo lo que se tendría que hacer sería aprender cómo
ejecutar las pocas tareas desde el primer momento.
Esta parte el objetivo es presentar situaciones planteadas en el lenguaje corriente, con el fin de
que el estudiante se agilice con el proceso de trasladar situaciones en el lenguaje matemático, y
le sirva de preparación para próximos cursos de matemática, así como en aquellos cursos propios
de la carrera donde el estudiante tenga que construir algunos modelos matemáticos.
Existe algún procedimiento modelo que se pueda usar para resolver todo problema, o más
específicamente, toda situación planteada en el lenguaje corriente?´
La respuesta es: no existe tal procedimiento.
Sin embargo, a menudo podemos seguir algunos pasos, los cuales nos pueden ayudar en la
resolución de problemas:
Paso 1: Lea el problema cuidadosamente
Debe estar seguro de haber entendido el significado de todos los términos usados en el problema,
o sea, usted debe comprender el problema.
Paso 2: Determine cuáles son las incógnitas
Con base en la lectura usted debe determinar, cuáles son los datos conocidos y cuáles datos son
los que usted debe averiguar para resolver el problema. Represente cada uno de los datos
desconocidos con una letra (incógnita).
Nota: En algunos casos un dibujo puede ayudar a comprender la situación.
Paso 3: Escriba la ecuación o el sistema de ecuaciones correspondientes
Relacione los datos conocidos con los datos desconocidos estableciendo una ecuación o un
sistema de ecuaciones.
Nota:A menudo es conveniente usar el menor número de incógnitas que sea posible,
Paso 4: Resuelva las ecuaciones obtenidas
Usted debe resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones que se obtuvo en el paso anterior.
Paso 5: Compruebe las soluciones obtenidas
Usted debe comprobar cada solución obtenida contra las condiciones establecidas en la situación
expresada en lenguaje corriente.

75
Nota: Comprobar la solución en la ecuación misma no es suficiente, porque la ecuación podría
no ser la correspondiente al problema.
Además debe escribir la respuesta del problema.
Recuerde el procedimiento para resolver un problema mediante el uso de un ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable.
A continuación resolveremos algunos problemas, con ilustración:
Ejemplo 1
De una caja con monedas de oro un ladrón tomó 25 monedas.Luego decidió volver y tomó la
cuarta parte de lo que quedaba.Cuando el dueño volvió a tomar monedas descubrió que
solamente había 12 monedas.
Con base en la información anterior, determine cuántas monedas había al principio.
Solución
Sea : número de monedas que había al principio.
Entonces:
: número de monedas que quedaron después del primer robo
: número de monedas que quedaron después del segundo robo
Por la información dada:
=
=
=
=

76
=
R/ Al inicio habían 41 monedas.
Ejemplo2
Los asistentes a una cena tienen que pagar en total.Pero se decide que dos de ellos no paguen la
cena, por lo cual los demás tienen que pagar cada uno más de lo que les correspondía pagar
originalmente. Con base en la información anterior determine el número de personas que
asistieron a la cena.
Solución
Sea:
: númerode personas que asistieron a la cena
: Cantidad de dinero que originalmente le correspondía pagar a cada uno
Entonces:
: número de personas que pagaron la cena
: Cantidad de dinero que pagaron las personas.
Por lo que:
,
(*)
=
=
=
=
=

77
=
=
En este caso tenemos que:
Por lo que:
Observe que como representa el número de personas, entonces debe ser positivo, o sea
R/ El número de personas que asistieron a la cena es de 15.
Actividad
1. Hallar tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual a 15 veces el
segundo.
2. Dosciclistas parten al mismo tiempo y del mismo punto para un pueblo situado a 90kilometros.El
primero, que recorre por hora un kilómetromás que el segundo tarda una hora menos que este en
hacer el recorrido. ¿Con que velocidad marcho cada uno de los ciclistas? Sol. 10 y 9 km/h
3. Cuando dos bombas actúan a la vez tarda en agotar un pozo 15 horas. Si actuara solo la menor,
tardaría en agotarle 16 horas más que si actuara solo la mayor. ¿Cuánto tardaría esta?
4. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres.
Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para

78
completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuantos
hombres hay en la tropa?
5. Si a los dos términos e la fracción a/b se le suma x, y a la fracción resultante se le resta x , ha de
resultar a/b, ¿Cuál es el valor de x?

Unidad iii ecuaciones

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