Como desarrollar una fracción continua

1. Fracción continua
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En matemáticas, una fracción continua es una expresión de la forma:
donde a0 es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Si se permite que los numeradores o
los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la
expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de
arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple.
Contenido
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• 1 Motivación
• 2 Apuntes históricos
• 3 Cálculo de una fracción continua
• 4 Notación
• 5 Formalización
o 5.1 Reducidas
o 5.2 Mejores aproximaciones racionales
• 6 Algunos desarrollos notables
o 6.1 Número π
o 6.2 Raíz cuadrada de 2
o 6.3 Número áureo
o 6.4 Número e
• 7 Aplicaciones
o 7.1 Irracionalidad del número e
o 7.2 La ecuación de Pell
o 7.3 Números cuadráticos
• 8 Referencias
Motivación
El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación «matemáticamente
pura» de los números reales. Estamos familiarizados con la representación decimal:
donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el número π , por ejemplo,
se representa con la sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).

2. Esta representación tiene algunos problema Por ejemplo, la constante 10 se usa porque los cálculos se hacen
blemas. orque
en el sistema decimal; bien podría usarse el octal o el binario. Otro problema es que m
arse muchos racionales no
tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …).
plo, 1/
La representación en fracción continua de los números reales evita ambos probl
ntinua problemas. Por ejemplo,
consideremos el número 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadam madamente 4, pero es algo
mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denomin
nominador 2 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que
415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sería u algo mayor, sobre
1/6). P ería uno
4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitando las partes redundantes de la expresión 4+1/(2+1/(6+1/7)), se
Quitan sión 4
obtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7].
Así, puede representarse en fracción continua cualquier número real, y se cumplen estas có
contin tas cómodas propiedades:
• La representación en fracción continua de un número real es finita si y solo si ese nú
contin número es racional.
• La representación en fracción continua de un racional «simple» es generalmente corta.
contin nte cor
• La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1. (de hecho:
conti ac
[a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1].
1].)
• Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es
contin irra
decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción
ecuac .
continua [1; 1, 1, ... ] representa al número áureo y [1; 2, 2, 2, … ] a
ta .
• El truncado de la representación en fracción continua de un número x da una aproximación racional que
ón aprox
es, en cierto sentido, la «mejor posible» (véanse los teoremas 6 y 7, más abajo, pa una formalización
or posi ajo, para
de este aserto).
La última propiedad, falsa si empleáramos la representación convencional, es muy impo
áramos importante. Si truncamos
una representación decimal, obtenemos una aproximación racional, pero habitualmen no la mejor. Por
mos u almente
ejemplo, truncando 1/7=0.142857… en varios sitios obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o
va
1/10. Pero es claro que el mejor racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncam la representación
ional q runcamos
decimal de π obtendremos aproximacion como 31415/10000 o 314/100. La representación en fracción
aciones represe
continua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación obtend
, 2 obtendremos las excelentes
aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113 103993/33102, … Los denominadores de 31
55/113, 314/100 y 333/106 son
casi iguales pero el error en la aproximació de 314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, así como la
imación
aproximación a π con [3; 7, 15, 1] es 100 veces más precisa que 3.1416.
ve
Apuntes históricos
Las fracciones continuas se utilizan desde antiguo. Aryabhata (476-550) las usó para resolver ecuaciones
n desd
diofánticas, así como para dar aproxima
roximaciones precisas de números irracionales. Br Brahmagupta (598-668)
profundizó en el estudio de las ecuacion llamadas hoy de Pell. Desarrolló los fund
aciones fundamentos del método
chakravala, usando cálculos parecidos a los de las fracciones continuas. Investigó la resol
s lo a resolución de la ecuación
x2 − 61y2 = 1 encontrando la menor solució x = 1 176 319 049, y = 226 153 980
olución:
En el siglo XII, el método fue mejorado por Bhaskara II. Un algoritmo, análogo al de las fracciones continuas,
do po e
permitió resolver un caso general. La diferencia más notable era que admitía números negativos en la fracción,
difere os neg
acelerando la convergencia.
La aparición en Europa fue posterior e italiana. Rafael Bombelli (1526-1572) usó un antece
ital antecesor de las fracciones
continuas para calcular aproximaciones de la raíz cuadrada de 13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) se dio
nes Cata
cuenta de que el método de Bombelli valía para todas la raíces cuadradas; lo utilizó para l de 18 y escribió un
i la
opúsculo sobre este asunto. Remarcó que las aproximaciones obtenidas son alternativ
có rnativamente superiores e
inferiores a la raíz cuadrada buscada.
En Inglaterra hubo un progreso decisivo. El 3 de enero de 1657, Pierre de Fermat desaf a los matemáticos
sivo. E desafió
europeos con varios problemas, entre los que estaba la ecuación ya resuelta por Brahm
e rahmagupta. La respuesta
inglesa fue rápida. William Brouncker (162
(1620-1684) encontró la relación entre la ecuación y la fracción continua,
ción

3. así como un método algorítmico equivaleuivalente al de los hindúes para el cálculo de la solución. Utilizó una
e s
fracción continua para construir una sucesión que convergía a 4 / π, y aproximó π con 10 decimales
na suc ó
significativos. Estos resultados fueron publicados por John Wallis, que aprovechó para demostrar las relaciones
n publ ra dem
de recurrencia utilizadas por Brouncker y Baskara II. Dio, además, el nombre de fracción continua en la frase:
er B cción
«Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum En esta época,
, q ractum».
Christiaan Huygens (1629-1695) descubrió que las fracciones continuas son la herramienta i
brió q ienta ideal para determinar
el número de dientes que deben tener las ruedas de engranajes de un reloj. Las utilizó para la construcción de un
ru
autómata planetario.
En el siglo siguiente se resuelven algunas cuestiones teóricas. El uso mostró que el algorit
unas c algoritmo de las fracciones
continuas permitía resolver la ecuación de Pell utilizando el hecho de que la fracción es pe
ón P periódica a partir de un
punto. Leonhard Euler (1707-1783) demostró que, si un número tiene una fracción continu periódica, entonces
mostró ontinua
es solución de una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros. El recíproco, m sutil, es obra de
undo g oco, más
Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) . Johann Heinrich Lambert (1728-1777) encontró una nueva utilidad de las
Joh ó
fracciones continuas: las usó para demostra la irracionalidad de π.
ostrar
Esta utilización vino a ser frecuente durante el siglo XIX. Évariste Galois encontró una c
duran condición necesaria y
suficiente para que una fracción continua sea inmediatamente periódica. Joseph Liouville (1809-1882) utilizó el
tinua s uville
desarrollo en fracción continua generalizad para construir los primeros ejemplos de núme trascendentes: los
alizado números
números de Liouville. Charles Hermite (1822-1901) estableció nuevos métodos para demos
(18 demostrar la trascendencia
de e, base del logaritmo neperiano. Estos son retomados por Ferdinand von Lindemann que demostró en 1882
stos s
que π es trascendente con el corolario de la imposibilidad de la cuadratura del círculo. Geo Cantor (1845-1918)
o Georg
demostró que los puntos de un segmento pueden ponerse en bisección con los del interior d un cuadrado con la
nto pu erior de
ayuda de fracciones continuas. El siglo XX vio la explosión de un gran número de pub
X e publicaciones sobre este
asunto. Más de 1500 matemáticos han encontrado elementos dignos de publicación.
n enco
Cálculo de una fracción continua
n con
Consideremos un número real r. Sea e la parte entera y d la parte decimal de r; entonces la representación en
p tonces
fracción continua de r es [e; …] donde «…» es la representación en fracción continua de 1/d. Es costumbre
nde «… tinua d
cambiar la primera «,» por «;».
Para calcular la representación en fracción continua de un número r, se escribe en primer lugar la parte entera
cción
de r. Se resta esta parte entera a r. Si la diferencia es 0 se para; en otro caso se halla el inve de la diferencia y
dife inverso
se repite. Este proceso tendrá fin si y solo si r es racional.
s
Hallar la fracción continua de 3.245 (3 49/200)
45
FIN
la fracción continua de 3.245 (3 49/200 es [3; 4, 12, 4]
9/200)
También podría representarse con [3; 4, 12, 3, 1]

4. Notación
Se puede expresar una fracción continua como
nua co
o, en la notación de Pringsheim,
o esta otra notación similar a la anterior
Se pueden definir las fracciones continuas infinitas como un límite:
uas
Este límite existe para cualquier elección de enteros positivos a1, a2, a3 ...
ión
Formalización
Llamaremos fracción continua de orden n a toda expresión de la forma:
en
donde es un real no negativo y los demás son estrictamente positivos. Emplearemos también la notación:
os dem emos
Reducidas
Sea una fracción continua: definimos la sucesión pk/qk por:
acción
y la recurrencia, para k ≥ 2

5. La fracción pk/qk se llama la k-sima reducid de la fracción continua.
ucida
Teorema 1. Para todo k ≤ n se tiene:
Además, para todo k, 1 ≤ k ≤ n,
Consideraremos a partir de ahora fraccione continuas enteras, esto es, aquellas para los que todo ai sea entero
cciones a q
positivo.
Teorema 2. Las reducidas de una fracción continua entera son fracciones irreducibles.
cción
Sea x un número real positivo, podemos ponerlo como a0+x0, donde a0 =[x] es la parte entera de x y 0 le; x0 <1.
os po te ente
Si entonces , del mismo modo, , de manera que
.
Si , pondríamos , etc. Tenemos entonces para
ra k>1,
k y
(siempre que ). Tenemos:
.
La sucesión (ak) está determinada por x y se llama desarrollo en fracción continua de x.
r
Teorema 3. El desarrollo en fracción continua de x es finito si y solo si x es racional.
contin
Teorema 4. Dada una sucesión infinita (an) de enteros positivos tales que ak > = 1 si k > = 1, la sucesión de
ita (
reducidas
converge.
Podemos así dar un sentido a una fracción continua entera infinita y escribir:
ción c

6. donde .
Teorema 5. Sea x un real representado por una fracción continua entera infinita
ado po . Entonces (an)
coincide con el desarrollo en fracción continua de x.
conti
Mejores aproximaciones racionales
onales
Teorema 6. La k-ésima reducida pk / qk del desarrollo en fracción continua de x es la mejor aproximación de x
de mejo
por una fracción de denominador menor o igual a qk :
nor i
.
Teorema 7. Sea x un número real positivo no nulo y p/q una fracción irreducible tal que:
sitivo
Entonces, p/q es una de las reducidas del desarrollo de x en fracción continua.
de
Teorema 8. (Hurwitz) Sea x un irracional positivo. Existe una cantidad infinita de racional tales que:
ional p cionales
.
Además, la constante es la mejor posible.
posib
En este último sentido el número áureo, φ, es uno de los irracionales que peor se apro
,φ aproxima con fracciones
continuas; sus reducidas, (5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.), distan casi exactamente
8, 21 de φ.
Algunos desarrollos notable
otables
Número π
π = [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] o bien

7. Utilizando fracciones continuas generalizad obtenemos desarrollos con estructuras más re
ralizadas regulares
Raíz cuadrada de 2
Sea r= , su parte entera vale 1, así que a0=1 y
sí . Ahora bien, ut
ien, utilizando la identidad
, tenemos que
os . Por tanto a1=2 y . Concluimos
que todos los ak a partir de k=1 valen 2 y todos los xk valen
to . El desarrollo en frac
n fracción continua es, por
tanto:

8. Número áureo
Número e
Aplicaciones
Irracionalidad del número e
Las fracciones continuas ofrecen una manera de conocer la irracionalidad de un número Si su desarrollo es
a man úmero.
infinito entonces el número es irracional Esta técnica fue utilizada por Euler, que d
cional. determinó la fracción
continua del número e.
,es:
El desarrollo en fracción continua de e,es:
La barra utilizada aquí es una notación frecuente; indica una repetición hasta el infini de la sucesión de
ción f infinito
enteros que cubre.
O estas otras:
Se concluye que ni e ni √e son racionales.
ales.
La ecuación de Pell
La ecuación de Pell es una ecuación diofántica, es decir, con coeficientes enteros y para la que las soluciones
diofán
pedidas son enteras también. Tiene la forma:
forma
Donde n es un entero que no es cuadrado perfecto y a es un entero no nulo. Aquí considera
rado p sideraremos que
. Una soluc
solución (h, k) verificará:
h/k √n son superiores a 1 y √n lo es estricta
rictamente, de ahí:
En el teorema 7 se demostró que la fracción
fracci debe ser una reducida de . Toda sol
da solución de la ecuación
debe estar en la sucesión de reducidas de . Este hecho, demostrado por Lagrange, permite dar soluciones, si
, perm
bien más teóricas que algorítmicas, a la ecuación de Pell.
ecu

9. Números cuadráticos
A diferencia de la exponencial, la raíz cuadrada de 2 es particularmente fácil de desarrollar en fracción
continua. Esta propiedad proviene del hecho de que, a partir de cierto punto, volvemos a encontrar un cociente
completo ya aparecido. La fracción continua es periódica a partir de cierto punto. La raíz de 11 tiene la misma
propiedad:
Se deduce que a0 = 3, a1 = 3, x0 = 1/2(3 + √11) y x1 = 3 + √11. Calculamos la fracción continua de x1:
Se ve que x2 es igual x0, lo que permite concluir:
La periodicidad a partir de un punto es propia de los números de la forma , donde a y b son
racionales, b no nulo, y n un entero que no es cuadrado perfecto. Las regularidades son mayores para las raíces
cuadradas. Por ejemplo:
Exceptuando el último número del periodo, los anteriores forman un palíndromo. Además, el último término
del periodo es el doble del primero (en el caso tratado, 8, que es el doble de 4).

10. Fracción continua generalizada
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En análisis complejo, una rama de las matemáticas, una fracción continua generalizada o fracción fractal es
una generalización de una fracción continua en la cual los numeradores parciales y los denominadores
parciales puedon tomar cualesquiera valores reales o complejos.1
Una fracción generalizada continua es una expresión de la forma
donde los an (n > 0) son los numeradores parciales, los bn son los denominadores parciales y el término
principal b0 es el llamado parte entera de la fracción continua.
Las convergentes sucesivas de la fracción continua se forma aplicando las fórmulas fundamentales de
recurrencia:
2 3
donde An es el numerador y Bn es el denominador (también llamado continuante ) del n-ésimo
convergente.
Si la sucesión de convergentes {xn} tiene límite, la fracción continua es convergente y tiene un valore definido.
Si la sucesión de convergentes no tiene límite, la fracción continua es divergente. La divergencia puede darse
por oscilación (por ejemplo, los convergentes pares e impares pueden tender a distinto límite) o por tendencia a
infinito o denominadores Bn iguales a cero.
Contenido
• 1 Historia de las fracciones continas
• 2 Notación
• 3 Algunas consideraciones elementales
o 3.1 Numeradores y denominadores parciales
o 3.2 La fórmula determinante
o 3.3 La transformación de equivalencia
o 3.4 Conceptos de convergencia simple
o 3.5 Convergentes pares e impares
o 3.6 Condiciones para la irracionalidad
• 4 Transformaciones fraccionarias lineales
o 4.1 La fracción continua como una composición de TFL
o 4.2 Una interpretación geométrica
• 5 Véase también
• 6 Referencias

11. Historia de las fracciones continuas
La historia de las fracciones continuas comienza con el Algoritmo de Euclides,4 un procedimiento para
encontrar el máximo común divisor de dos números naturales m y n. Ese algoritmo introdujo la idea de dividir
para extraer un nuevo resto y entonces dividir por el nuevo resto de nuevo y así, sucesivamente.
Cerca de dos mil años después, Rafael Bombelli5 encontró una técnica para la aproximación de las raíces de
ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas. A partir de ahí, el ritmo de desarrollo se aceleró. Justo 24 años
después Pietro Cataldi presentó la primera notación formal6 para la fracción continua generalizada. Cataldi
representaba una fracción continua como
donde los puntos indicaban dónde iría la siguiente fracción y cada & representa al actual signo «más».
Más tarde, en el siglo XVII John Wallis7 introdujo el término "fracción continua" en la literatura matemática.
Nuevas técnicas de análisis mátematico habían sido presentadas por Newton y Leibniz y una generación de
contemporáneos de Wallis se pusieron a usar el término inmediatamente.
En 1748 Euler publicó un teorema muy importante mostrando que un tipo particular de fracción continua es
equivalente a cierta serie infinita muy general.8 El teorema de fracciones continuas de Euler tiene todavía una
importancia crucial en los intentos actuales de reducción en el problema de convergencia.
Las fracciones continuas pueden aplicarse también a problemas de la teoría de números y son especialmente
útiles en el estudio de ecuaciones diofánticas. A finales del siglo XVIII Lagrange usó fracciones continuas para
construir la solución general de la ecuación de Pell, dando así respuesta a una cuestión que había fascinado a los
matemáticos durante más de mil años.9 Sorprendentemente, el descubrimiento de Lagrange implicaba que la
expansión de raíz cuadrada de la fracción continua canónica de cualquier entero no cuadrado perfecto es
periódica y así, si el periodo es de longitud p > 1, contiene una sucesión palindrómica de longitud p - 1.
En 1813 Gauss usó un ingenioso truco con la función hipergeométrica compleja para derivar una expresión en
forma de fracción continua que ha sido denominada en su honor.10 Esa fórmula puede usarse para expresar
muchas funciones elementales (e incluso más funciones avanzadas, como las funciones de Bessel como
fracciones continuas rápidamente convergentes válidas casi siempre en el plano complejo.
Notación
La gran expresión de fracción continua mostrada en la introducción es, probablemente, la forma más intuitiva
de fracción continua para el lector. Desafortunadamente, ocupa un montón de espacio en un libro (y tampoco es
fácil su escritura). Así que los matemáticos han encontrado algunas notaciones alternativas. Una forma
apropiada de expresar una fracción continua generalizada tiene el siguiente aspecto:
Pringsheim escribió una fracción continua generalizada del siguiente modo:
.
Karl Friedrich Gauss evocaba el más familiar producto infinito Π cuando ideó esta notación:

12. Aquí K significa Kettenbrüche, la palabra alemana para "fracción continua". Esta es probablemente la forma
más compacta y conveniente para expresar fracciones continuas.
Algunas consideraciones elementales
Aquí se muestran algunos resultados elementales que son de importancia fundamental en el posterior desarrollo
de la teoría analítica de fracciones continuas.
Numeradores y denominadores parciales
Si uno de los numeradores parciales an+1 es cero, la fracción continua infinita
es, precisamente, una fracción continua finita con n términos fraccionarios y, por consiguiente, una función
racional de el primer n ais y el primer (n + 1) bis. Tal objeto es de poco interes desde el punto de vista adoptado
en el análisis matemático, así que habitualmente se asume que ninguno de los ai = 0. No hay necesidad de
aplicar esta restricción a los denominadores parciales bi.
La fórmula determinante
Cuando el n-ésimo convergente de una fracción continua
se expresa como una fracción simple xn = An/Bn podemos usar la fórmula determinante
para relacionar los numeradores y denominadores de los convergentes sucesivos xn and xn-1 entre sí.
Específicamente, si ni Bn ni Bn-1 son cero, podemos expresar la diferencia entre el n-primero y el n-ésimo (n >
0) convergente como sigue:
La transformación de equivalencia
Si {ci} = {c1, c2, c3, ...} es cualquier sucesión infinita de números complejos no nulos, puede probarse por
inducción que

13. donde la igualdad se entiende como una equivalencia, es decir, que los convergentes sucesivos de la fracción
continua de la izquierda son, exactamente, los mismos que los convergentes de la fracción de la derecha.
La transformación de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen una mención
especial. En primer lugar, si uno de los ai es cero, se puede elegir una sucesión {ci} para hacer 1 cada
numerador parcial:
donde c1 = 1/a1, c2 = a1/a2, c3 = a2/(a1a3) y, en general, cn+1 = 1/(an+1cn).
En segundo lugar, si uno de los denominadores parciales bi es cero, podemos usar un procedimiento similar
para elegir otra sucesión {di} que haga 1 cada denominador parcial:
donde d1 = 1/b1 y por otra parte dn+1 = 1/(bnbn+1).
Estos dos casos especiales de transformaciones de equivalencia son enormemente útiles cuando se analiza el
problema de convergencia general.
Conceptos de convergencia simple
Como ya se ha dicho, la fracción continua
converge si la sucesión de convergencia {xn} tiende a un límite finito.
La noción de convergencia absoluta juega un papel central en la teoría de series infinitas. No existe una noción
correspondiente en la teoría analítica de fracciones continuas, en otras palabras, los matemáticos no hablan de
una fracción continua absolutamente convergente. A veces la noción de convergencia absoluta entra, no
obstante, en la discusión, especialmente en el estudio de el problema de la convergencia. Por ejemplo, una
fracción continua en concreto
diverge por oscilación si la serie b1 + b2 + b3 + ... es absolutamente convergente.11
A veces los numeradores y denominadores parciales de una fracción continua se expresan como funciones de
variable compleja z. Por ejemplo, una función relativamente simple12 podría estar definida como
Para una fracción continua como esta, la noción de convergencia uniforme surge de forma bastante natural. Una
fracción continua de una o más variables complejas es uniformemente convergente en un entorno abierto si
los convergentes de la fracción convergen uniformemente en cada punto de . O, dicho de otro modo, si para
cada ε > 0 puede encontrarse un entero M tal que el valor absoluto de la diferencia

14. es menor que ε para cada punto z en un entorno abierto cuando n > M, la fracción continua definida por f(z)
es uniformemente convergente en . (Aquí fn(z) denota el n-ésimo convergente de la fracción continua,
evaluado en el punto z del interior de , y f(z) es el valor de la fracción continua infinita en el punto z.)
Convergentes pares e impares
Es en ocasiones necesario separar una fracción continua en sus partes pares e impares. Por ejemplo, si la
fracción continua diverge por oscilación entre dos puntos límite distintos p y q, entonces la sucesión {x0, x2, x4,
...} debe converger a uno de estos y {x1, x3, x5, ...} debe converger al otro. En tal situación puede ser
conveniente expresar la fracción continua original como dos fracciones continuas diferentes, una de ellas
convergiendo a p y la otra a q.
Las fórmulas para las partes pares e impares de una fracción continua pueden escribirse de forma más compacta
si la fracción ya se ha transformado, de este modo todos sus denominadores parciales son uno. Específicamente,
si
es una fracción continua, entonces la parte par xeven y la parte impar xodd vienen dadas por
y
respectivamente. Con más precisión, si los sucesivos convergentes de la fracción continua x son {x1, x2, x3, ...},
entonces los sucesivos convergentes de xeven como se escribían más arriba son {x2, x4, x6, ...} y los convergentes
sucesivos de xodd son {x1, x3, x5, ...}.13
Condiciones para la irracionalidad
Si a1,a2, . . . y b1,b2, . . . son enteros positivos con ak ≤ bk para todo k suficientemente grande, entonces
converge a un límite irracional.14

15. Transformaciones fraccionarias lineales
Una transformación fraccionaria lineal (TFL) es una función compleja de la forma
donde z es una variable compleja y a, b, c, d son constantes complejas arbitrarias. Suele imponerse una
restricción adicional – que ad ≠ bc –, para dejar fuera los casos en los cuales w = f(z) es una constante. La
transformación fraccionaria lineal, también conocida como transformación de Möbius, tiene muchas
propiedades fascinantes. Cuatro de ellas son de importancia primordial en el desarrollo de la teoría analítica de
fracciones continuas.
• Si d ≠ 0, la TFL tiene uno o dos puntos fijos. Esto puede verse si se considera la ecuación
que es claramente una ecuación cuadrática en z. Las raíces de esta ecuación son puntos fijos de f(z). Si el
discriminante (c − b)2 + 4ad es cero, la TFL da lugar a un punto fijo; en otro caso, tiene dos puntos fijos.
• Si ad ≠ bc, la TFL es una biyección del plano complejo extendido en sí mismo . En otras palabras esta
TFL tiene función inversa
tal que f(g(z)) = g(f(z)) = z para todo punto z en el plano complejo extendido y ambos, f y g preservan
ángulos y formas a escalas muy pequeñas. Desde la formulación z = g(w) se comprueba que g es
también una TFL.
• La composición de dos TFL diferentes para las cuales ad ≠ bc es también una TFL para la cual ad ≠ bc.
En otras palabras, el conjunto de todas las TFL para las cuales ad ≠ bc es cerrado para la composición
de funciones. El conjunto de tales TFL – juntas con la operación como grupo de composición - se
conoce como un grupo automórfico del plano complejo extendido.
• Si b = 0 la TFL se reduce a
lo cual es una función mermórfica muy simple de z con un polo simple (at −c/d) y un resto igual a a/d.
(Véase también Serie de Laurent).
La fracción continua como una composición de TFL
Considérese una sucesión de transformaciones fraccionarias lineales simples
Aquí se usa la letra griega τ (tau) para representar cada TFL simple y se adopta la notación habitual para la
composicción de funciones. También se introduce un nuevo símbolo Τn para representar la composición de n+1
- τ, es decir,
y así, sucesivamente. Por substitución directa desde el primer conjunto de expresiones en el segundo, se ve que

16. y, en general,
donde el último denominador parcial en la fracción continua finita K se entiende que es bn + z. Y, desde bn + 0
= bn, la imagen del punto z = 0 bajo la iteración de la TFL Τn es de hecho el valor de la fracción continua finita
con n numeradores parciales:
Una interpretación geométrica
La intuición no puede nunca reemplazar una prueba matemática. No obstante, es una útil herramienta que, a
menudo, sugiere nuevas líneas de ataque que finalmente resuelven problemas inicialmente intratables. Si se
define una fracción continua finita como la imagen de un punto bajo la iteración de una TFL Τn(z) se llega
intuitivamente a una interpretación geométrica de la fracciones continuas infinitas. A continuación se puede ver
cómo funciona.
La relación
es probablemente mejor comprendida mediante la reescritura de las TFL Τn(z) y Τn+1(z) en términos de
fórmulas fundamentales de recurrencia:
En la primera de estas ecuaciones la razón tiende a An/Bn así como z tiende a cero. En la segunda, la razón
tiende a An/Bn como z tiende a infinito. Esto lleva a la primera interpretación geométrica. Si la fracción continua
converge, los convergentes sucesivos An/Bn están eventualmente tan juntos como se desee. En virtud de que la
transformación fraccionaria lineal Τn(z) es una transformación continua , debe haber un entorno de z = 0 que se
transforma en un entorndo arbitrariamente pequeño de Τn(0) = An/Bn. De un modo similar, debe haber un
entorno del punto en infinito que se transforma en un entorno arbitrariamente pequeño de Τn(∞) = An-1/Bn-1. Así,
si la fracción continua converge la transformación Τn(z) convierten z muy pequeñas y z muy grandes en un
entorno arbitrariamente pequeño de x, el valor de la fracción continua, cuando n se hace más y más grande.
¿Y qué ocurre con los valores intermedios de z? Bien, en virtud de que los sucesivos convergentes se hacen más
cercanos entre sí, se tiene

17. donde k es una constante, introducida por conveniencia. Pero entonces, sustituyendo en la expresión por Τn(z)
se obtiene
así que incluso los valores intermedios de z (excepto cuando z ≈ −k−1) se transforman en entornos
arbitrariamente pequeños de x, el valor de la fracción continua, así como n se hace más y más grande.
Intuitivamente es casi como si el convergente de la fracción continua transformara por completo el plano
complejo extendido en un simple punto.15
Nótese que la sucesión {Τn} cae dentro del grupo de automorfismo del plano complejo extendido, en el
momento en que cada Τn es una transformación lineal fraccionaria para la cual ab ≠ cd. Y cada miembro del
grupo de automorfismo se aplica desde el plano complejo extendido en sí mismo – no uno de los Τn puede
posiblemente aplicar el plano en un solo punto. Todavía en el límite de la sucesión {Τn} define una fracción
continua infinita la cual (si converge) representa un solo punto en el plano complejo.
¿Cómo es esto posible? Piénsese del siguiente modo: cuando una fracción continua infinita converge, la
sucesión correspondiente {Τn} de TFL se "enfoca" en el plano en la dirección de x, el valor de la fracción
continua. En cada etapa del proceso una región más y más grande del plano se aplica en un entorno de x, y una
región más y más pequeña del plano se va achicando hasta cubrir el borde de ese entorno.16
¿Y qué hay de las fracciones continuas divergentes? ¿Pueden también ser interpretadas geométricamente? En
una palabra, sí. Se distinguen tres casos:
1. Las dos sucesiones {Τ2n-1} y {Τ2n} podrían definirse como dos fracciones continuas convergentes que
tienen dos valores diferentes, xodd y xeven. En este caso, la fracción continua definida por la sucesión
{Τn} diverge por oscilación entre dos distintos puntos límite. Y de hecho esta idea puede generalizarse
(pueden construirse sucesiones {Τn} que oscilan entre tres o cuatro o incluso cualquier número de
puntos límite. Se llega a interesantes instancias de este caso cuando la sucesión {Τn} constituye un
subgrupo de orden finico en el grupo de automorfismos sobre el plano complejo extendido.
2. La sucesión {Τn} puede producir un número infinito de denominadores cero Bi mientras que también
produce una subsucesión de convergentes finitos. Estos convergentes finitos podrían no repetirse o caer
en un patrón de oscilación reconocible. O podrían converger a un límite finito o incluso oscilar entre
múltiples límites finitos. Sin importar como se comporten los convergentes finitos, la fracción definida
por la sucesión {Τn} diverge por oscilación con el punto en infinito en este caso.17
3. La sucesión {Τn} podría producir no más de un número finito de denominadores cero Bi, mientras que
la subsucesión de convergentes finitos baila ampliamente alrededor de el plano en un patrón que nunca
se repite y nunca alcanza un límite finito tampoco.
Se pueden construir interesantes ejemplos de los casos 1 y 3 mediante el estudio de la fracción simple continua
donde z es cualquier número real tal que z < −¼.