unidad 2 matematicas aplicadas a la Arquitectura

Primero dividimos el numerador y el
denominador por 2
El numerador y el denominador del
resultado obtenido tienen como divisor
común nuevamente el 2
El nuevo numerador y denominador del
resultado obtenido tienen como divisor
común el 3
Como el nuevo numerador y denominador
del resultado obtenido no tienen divisores
comunes, se tiene que la simplificación de
36/60 es 3/5 esto es:
Ejemplo:
Simplificar 36/60
1.
2.
3.
4.
x 8
SIMPLIFICACIÓN DE
FRACCIONES
La simplificación de una fracción consiste en
transformarla en una fracción equivalente más
simple. En la simplificación de fracciones se
dividide numerador y denominador por un mismo
número. Se empieza a simplificar probando por
los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ...

OPERACIONES
ALGEBRAICAS
UNIDAD II

ÍNDICE
1
2
3
4
5
6 Productos Notables
7
8
9
Identificación de términos
algebraicos
Sumas algebraicas, reducción de
términos semejantes y signos de
agrupación
Leyes de los exponentes y
radicales
División algebraica de
polinomios, división sintética y
teorema del residuo
Multiplicación de polinomios
Operaciones con
fracciones algebraicas
Factorización
Racionalización
6.1 Binomio al cuadrado
6.2 Binomios conjugados
6.3 Binomios con término común
6.4 Binomio al cubo.
7.1 Factor común
7.2 Factorización por agrupación.
7.3 Trinomio Cuadrado Perfecto.
7.4 Diferencia de Cuadrados.
7.5 Trinomio x2+bx+c
7.6 Trinomio ax2+bx+c
7.7 Por evaluación (división sintética)

2. En cada término
algebraico se distinguen el
coeficiente numérico (que
incluye el signo y
constantes matemáticas)
y la parte literal (que
incluye variables).
2.1 IDENTIFICACIÓN DE TÉRMINOS
ALGEBRAICOS
Un término algebraico es el
producto de un factor numérico
por una o más variables literales.
En cada término algebraico se
distinguen el coeficiente
numérico (que incluye el signo y
constantes matemáticas) y la
parte literal (que incluye
variables).
Un término
algebraico es el
producto de un
factor numérico
por una o más
variables
literales.
1.
A continuación definimos qué es un término algebraico desde tres
principios fundamentales del álgebra:
3. Se define el grado de un
término algebraico como la
suma de los exponentes de
cada factor de la parte
literal.

Una expresión algebraica es la suma de
dos o más términos algebraicos.
De acuerdo con el número de términos
que componen una expresión algebraica,
estas se clasifican en: monomios (un
término) y multinomios (dos términos o
más). A los multinomios con dos términos
se les llama binomios, y los de tres
términos, trinomios.
Si los exponentes de la parte literal son
todos positivos, llamaremos a la expresión
algebraica polinomio.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los
grados de los términos que la componen.
EJEMPLO
Los términos del multinomio
tienen grados 14, 11, y 15, respectivamente. Luego, el grado del
multinomio es 15

Dos o más terminos son semejantes si poseen las mismas variables afectadas de los
mismos exponentes, sin importar la naturaleza de los coeficientes.
2.2 SUMAS ALGEBRAICAS, REDUCCIÓN DE TÉRMINOS
SEMEJANTES Y SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Entre estos términos se puede establecer operaciones, tales como la adición y
sustracción, cuya reducción se obtiene directamente operando los coeficientes
(numéricos o literales).
RESOLVER

En el caso que la expresion a reducir contenga terminos semejantes de diversas clases,
se recomienda previamente agrupar aquellos que son semejantes y posteriormente
reducir.

Si descubrimos que dos o mas términos son semejantes, estos pueden ser reducidos a
uno solo, sumandolos o restando los coeficienrtes y escribiendo la misma parte literal.
ADICIÓN Y SUTRACCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES
Una manera práctica, es agrupar
todos los términos positivos, luego,
los términos negativos, y al final
restar ambios resultados, colocando
el signo del mayor.
El orden de los factores no altera el
producto.

EJERCICIO 1: SIMPLIFICAR
-7X+11X-10X-3X+21X-2X=
EJERCICIO 2: REDUCIR

EJERCICIO 5: SIMPLIFICAR

Leyes de los
exponentes y
radicales
2.3

EJEMPLOS
¡Bien
hecho!
Las leyes de los exponentes y radicales
establecen una forma simplificada o resumida
de trabajar una serie de operaciones numéricas
con potencias, las cuales siguen un conjunto de
reglas matemáticas.
Por su parte, se denomina potencia a la
expresión an, (a) representa el número base y
(n o enésima) es el exponente que indica
cuántas veces se debe multiplicar o elevar la
base según lo expresado en el exponente.
QUE ES?
La finalidad de las leyes de los exponentes es
resumir una expresión numérica que, si se
expresa de manera completa y detallada sería
muy extensa. Por esta razón es que en muchas
expresiones matemáticas se encuentran
expuestas como potencias.

EXPONENTES
1. Potencia con exponente 0
Cualquier número elevado a un exponente 0 es igual a 1. Cabe destacar que la base siempre debe ser diferente a 0, es decir a ≠ 0.
2. Potencia con exponente 1
Cualquier número elevado a un exponente 1 es igual a sí mismo.

EXPONENTES
Producto de potencias de igual base o multiplicación de potencias de igual base

EXPONENTES
Producto de potencias de igual base o multiplicación de potencias de igual base
Esto sucede porque el exponente es el indicador de cuántas veces se debe multiplicar el número base por sí mismo. Por tanto, el
exponente final será la suma o resta de los exponentes que tienen una misma base.

División de potencias de igual base o cociente de dos potencias con igual base
El cociente de dos potencias de igual base es igual a elevar la base según la diferencia del exponente del numerador menos el
denominador. La base debe ser diferente a 0.
Ejemplos:
EXPONENTES

EXPONENTES
Potencia de un producto o Ley distributiva de la potenciación con respecto de la multiplicación
Esta ley establece que la potencia de un producto debe ser elevada al mismo exponente (n) en cada uno de los factores.

EXPONENTES
Potencia de otra potencia
Se refiere a la multiplicación de potencias que tienen las mismas bases, de la cual se obtiene una potencia de otra potencia.

EXPONENTES
Ley del exponente negativo

Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como
coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
2.4
Multiplicación
Multiplicación
de polinomios
de polinomios
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que
forman el polinomio.

Multiplicación
Multiplicación
de polinomios
de polinomios

División algebraica
de polinomios,
división sintética y
teorema del residuo
2.5

¿Qué es el teorema de
división sintética?
La división sintética es un método que simplifica las
divisiones de polinomios muy largos.
CARACTERÍSTICAS: Se emplea especialmente, cuando
el numerador del polinomio es muy largo. Sólo puede
usarse con un divisor de la forma (x − n).

DESARROLLO
Los ceros de una función polinomial son los valores
de la variable para los cuales la función vale cero. Si
un número n es una solución de una ecuación
polinomial P(x) = 0, entonces se dice que n es una
raíz de la ecuación.

División sintética o
regla de Ruffini
Se trata de dividir un polinomio P(x) entre un monomio de la forma x-a.
hagamos el siguiente ejemplo:

procedimiento
TEOREMA: Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros y x = a es un cero del polinomio,
entonces x = a divide al término independiente del polinomio P(x).
Solución: En este caso, y de acuerdo con el teorema, si el polinomio tiene coeficientes enteros, estos son divisores del
término independiente 8. Los divisores enteros de 8 son, ±1, ±2, ±4, ±8.
Si quieres comprobar que un número es un cero, evalúa ese número en el polinomio buscando que te de igual a cero.

Productos Notables
6.1 Binomio al cuadrado
6.2 Binomios conjugados
6.3 Binomios con término común
6.4 Binomio al cubo.

Binomio al cuadrado
Para elevar un binomio a la segunda potencia mediante el uso
de productos notables, basta con realizar la suma algebraica del
cuadrado del primer término, el doble producto del primer
término por el segundo y el cuadrado del segundo término.

El producto de la suma de dos números a+b por su diferencia a-b es un producto notable que recibe
el nombre de binomios conjugados. La única diferencia que existe entre ellos es el signo de la
operación, es decir, uno tendrá el signo de la operación suma, mientras que el otro tendrá el signo de
la operación resta y que al resolverlo nos dará como resultado la resta de dos cuadrados.

El conjugado de un binomio, se obtiene con solo cambiarle el signo a uno de los términos que lo
conforman. La solución será el cuadrado del término que tiene signos iguales, MENOS el cuadrado del
término que posee signos diferentes. Al resolver un producto de binomios conjugados obtenemos
como resultado una diferencia de cuadrados.

E n á l g e b r a , e x i s t e n v a r i a s t é c n i c a s p a r a
s i m p l i f i c a r l a m u l t i p l i c a c i ó n d e e x p r e s i o n e s q u e
i n v o l u c r a n b i n o m i o s .
T r e s d e e s t a s t é c n i c a s s o n e l p r o d u c t o d e
b i n o m i o s c o n t é r m i n o c o m ú n , e l p r o d u c t o d e
b i n o m i o s c o n j u g a d o s y e l p r o d u c t o q u e o r i g i n a
u n a s u m a o d i f e r e n c i a d e c u b o s .
E l p r o d u c t o d e b i n o m i o s c o n t é r m i n o c o m ú n e s
u n a t é c n i c a ú t i l c u a n d o s e t i e n e n d o s
e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s q u e t i e n e n u n t é r m i n o
e n c o m ú n .
E l p r o d u c t o d e b i n o m i o s c o n j u g a d o s e s o t r a
t é c n i c a q u e s e u t i l i z a c u a n d o s e t i e n e n d o s
b i n o m i o s q u e t i e n e n l a m i s m a e x p r e s i ó n , p e r o
c o n s i g n o s o p u e s t o s .
P r e s e n t a r e m o s l a s r e g l a s q u e a p l i c a n c a d a u n o
d e e l l o s , a s í c o m o l a d e d u c c i ó n d e l a r e g l a q u e
c o r r e s p o n d e .
binomios con
término común

L o s b i n o m i o s c o n u n t é r m i n o c o m ú n , s o n a q u e l l o s b i n o m i o s d o n d e u n o
d e l o s d o s t é r m i n o s q u e i n t e g r a n c a d a b i n o m i o , e s i g u a l e n a m b o s .
L o s b i n o m i o s q u e t i e n e n u n m i s m o t é r m i n o s e t i e n e n c o m o b i n o m i o s
c o n t é r m i n o c o m ú n y s o n d e l a f o r m a : ( m + c ) ( m + b ) , d o n d e e s e l
t é r m i n o c o m ú n .
A l d e s a r r o l l a r l a m u l t i p l i c a c i ó n e l p r o d u c t o e s i g u a l a l c u a d r a d o d e l
t é r m i n o c o m ú n , m á s e l p r o d u c t o d e e s t e p o r l a s u m a a l g e b r a i c a d e
l o s n o c o m u n e s , m á s e l p r o d u c t o d e e s t o s

Pueden presentarse algunas otras variaciones de la fórmula, pero el planteamiento siempre será el mismo; lo que
varía es que se agrupan los términos no comunes para resolver las operaciones de los signos trayendo como
consecuencia que a veces en vez de sumar vamos a restar; y que en algunos casos la multiplicación de los signos
será negativa:

El resultado que se obtiene de desarrollar un producto de binomios con un
término común es un trinomio cuadrado.

Un binomio al cubo, es un polinomio de dos términos que se encuentra elevado a la potencia de 3,
el cual indica el producto de tres binomios exactamente iguales.
Es una expresión algebraica de la forma:
Donde “a” y “b” son términos del binomio que pueden estar sumando o restando.
Como se mencionó, el cubo de un binomio se obtiene de multiplicar un mismo binomio tres veces por sí mismo,
por lo tanto, la expresión. es lo mismo que:
Simplemente se simplifica el producto utilizando las diferentes reglas matemáticas
conocidas (artificios matemáticos) para luego aplicar las fórmulas establecidas para su
resolución.
Entonces, el cubo de un binomio, es un tipo de producto notable que sigue un patrón fijo
para su resolución sin necesidad de desarrollar el proceso de multiplicaciones sucesivas
para simplificar.

La expresión algebraica de la suma de un binomio al cubo se puede resolver aplicando la fórmula
siguiente:
Para aplicar la regla primero se debe identificar el primer término que es “a” y el segundo
término “b”, entonces el cubo de un binomio es equivalente a:
“Elevar el primer término al cubo, más el triple producto del cuadrado del primer término
por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo
término, más el cubo del segundo término”
Este patrón se obtiene de aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación. Ahora, se
realiza la comprobación para comprender de dónde proviene la fórmula dada.

Binomio al cubo de una resta
La resta del cubo de un binomio es del tipo (a – b)3 y su fórmula para su resolución sigue un patrón similar al caso anterior,
pero los signos del segundo y el cuarto términos son negativos.
Es necesario destacar que al aplicar la fórmula para resolver el cubo de la suma un binomio se obtiene:
Un polinomio resultante de 4 términos.
El exponente de “a” disminuye en cada término, mientras que el exponente de “b” aumente en cada término.
Los términos intermedios contienen un factor de 3.

El cubo de la diferencia de dos términos equivale a:
“Elevar el primer término al cubo, menos tres veces el cuadrado del primer término por el segundo término,
más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término”
El proceso para verificar de donde se obtiene la fórmula indicada para la resolución de la resta un binomio al
cubo, es aplicando el método de distribución de la multiplicación, de la misma manera como en el caso de la
adición de un binomio al cubo, pero considerando el signo (-).

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