1. SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE
Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que
satisfacen la inecuación.
Terminología: ax + b > cx + d
Primer miembro Segundo miembro
Resolver cada una de las siguientes inecuaciones o desigualdades, expresando
cada conjunto de soluciones en notación por desigualdad, intervalo y gráfico:
1. Resolviendo una inecuación lineal ૟‫ > ܠ‬૚૙ + ૛
Solución.
Operando el segundo miembro:
6‫21 > ݔ‬
Dividiendo entre 6 a ambos lados para despejar x:
6‫21 ݔ‬
>
૟ ૟
Simplificando resulta que (solución por desigualdad):
‫2>ݔ‬
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores mayores
que 2.
Solución por intervalo: (2, ∞)
Gráficamente: (
0 2

2. 2. Resolviendo una inecuación lineal ૛‫ − ܠ‬૜ < ‫5 + ݔ‬
Solución:
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo:
2‫3 + 5 < ݔ − ݔ‬
Operando término a término resulta que (solución por desigualdad):
‫8<ݔ‬
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores
que 8.
Solución por intervalo: (−∞, 8)
Gráficamente: )
0 8
૜‫ܠ‬
3. Resolviendo una inecuación lineal con fracciones ૚ − ≥‫−ܠ‬૝
૛
Solución:
Multiplicando cada miembro por 2 y simplificando:
3x
૛ ൬1 − ൰ ≥ ૛(x − 4)
2
2 − 3x ≥ 2x − 8
Pasando 2x al primer miembro y el 2 al segundo:
−3x − 2x ≥ −8 − 2
Operando término a término:
−5x ≥ −10
Dividiendo entre -5 a ambos lados e invirtiendo el sentido de la desigualdad:
−5x −10
≥
−૞ −૞

3. Simplificando resulta que (solución por desigualdad):
x≤2
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores o
iguales que 2.
Solución por intervalo: (−∞, 2]
Gráficamente: ]
0 2
4. Resolviendo una inecuación con nociones algebraicas
(‫ + ܠ‬૜)(‫ − ܠ‬૚) < (‫ − ܠ‬૚)૛ + ૜‫ܠ‬
Solución.
Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro y resolviendo el
producto notable en el segundo:
x ଶ + 2x − 3 < x ଶ − 2x + 1 + 3x
Suprimiendo ‫ ݔ‬ଶ en ambos miembros y transponiendo términos semejantes:
2‫3 + 1 < ݔ3 − ݔ2 + ݔ‬
‫4<ݔ‬
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores
que 4.
Solución por intervalo: (−∞, 4)
Gráficamente: )
0 4

4. 5. Resolviendo una inecuación lineal con fracciones algebraicas
‫ܠ‬ା૜ ૝ ‫ܠ‬
− >
૜ ‫ܠ‬ା૛ ૜
Solución.
Multiplicando en cruz el primer miembro:
(x + 3)(x + 2) − 12 x
>
3(x + 2) 3
Multiplicando por 3 a ambos lados y simplificando:
(x + 3)(x + 2) − 12 x
૜ቆ ቇ > ૜ቀ ቁ
(x + 2) 3
(x + 3)(x + 2) − 12
>‫ݔ‬
(x + 2)
Pasando x al primer miembro y multiplicando en cruz en el mismo:
(x + 3)(x + 2) − 12
−x>0
(x + 2)
(x + 3)(x + 2) − 12 − x(x + 2)
>0
(x + 2)
Efectuando operaciones algebraicas en el numerador y simplificando:
x ଶ + 2x + 3x + 6 − 12 − x ଶ − 2x
>0
(x + 2)
3x − 6
>0
(x + 2)
3(x − 2) 1
>0, ahora multiplicando por a ambos lados, quedando ϐinalmentes:
(x + 2) 3
(x − 2)
>0
(x + 2)

5. Observación: a diferencia de los ejemplos anteriores no se puede
multiplicar a ambos lados (x + 2) puesto que se estaría eliminando una
solución.
Así que el paso a seguir es sacar los valores críticos (valores que anulan el
numerador y denominador) los cuales se obtienen igualando a cero tanto al
numerador como al denominador por separado, de la siguiente manera:
‫2 = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 2 − ݔ‬
x + 2 = 0 ݁݊‫2− = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬
Los valores críticos son: x = 2 y x = -2. (Éstos se ubican en la recta
numérica)
Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del
mismo:
−−−−−−− −−−− ++++++++
(‫)2 − ݔ‬
0 2
−−−−−−− ++++ ++++++++
(‫)2 + ݔ‬
(+) -2
(−) 0
(+)
୶ିଶ
) [
୶ାଶ
0
-2 2
Ahora como la inecuación es mayor que cero, entonces el conjunto de
soluciones consiste de todos los números reales en el intervalo (−∞, −2) ∪
[2, ∞). Nótese que el valor de -2 en la solución no se incluye puesto que éste
hace cero al denominador.

6. ଶ ଶ ଷ
6. Resolviendo una inecuación con fracciones algebraicas > +
୶మ ା୶ ୶మ ି୶ ୶మ ିଵ
Solución
Factorizando cada una de las expresiones del denominador:
2 2 3
> +
x(x + 1) x(x − 1) (x − 1)(x + 1)
Sacando el m.c.m (mínimo común múltiplo) al segundo miembro:
x(x − 1)(x + 1)
2 2(x + 1) + 3x
>
x(x + 1) x(x − 1)(x + 1)
Pasando el segundo miembro al primero y realizando los cálculos y
simplificaciones respectivas:
2 2(x + 1) + 3x
− >0
x(x + 1) x(x − 1)(x + 1)
2(x − 1) − 2(x + 1) − 3x
> 0 , recuerda el cambio de signo
x(x − 1)(x + 1)
2x − 2 − 2x − 2 − 3x
>0
x(x − 1)(x + 1)
−4 − 3x
> 0, factorizando el signo negativo en el numerador
x(x − 1)(x + 1)
−(4 + 3x)
> 0 , cambiando el sentido de la desigualdad, queda ϐinalmente:
x(x − 1)(x + 1)
3x + 4
< 0 (∗)
x(x − 1)(x + 1)
Es importante tener en cuenta que para aplicar el método del cementerio,
hay que encontrar los valores críticos tanto del numerador como del
denominador, los cuales son:
4
3‫− = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 4 + ݔ‬
3
‫0=ݔ‬

7. ‫1 = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 1 − ݔ‬
‫1− = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 1 + ݔ‬
Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del
mismo:
−−−−− + + + +++++++
(3‫)4 + ݔ‬
-4/3 0
−−−− − − − + +++++++
‫ݔ‬
0
−−−−− − − − +++++++
(‫)1 − ݔ‬
0 1
−−−−− − + + +++++++
(‫)1 + ݔ‬
-1
0
(+) (−) (+) (−) (+)
ଷ୶ାସ
[ ) ( )
୶(୶ିଵ)(୶ାଵ)
0
-4/3 -1 1
Ahora como lo que interesa son los valores menores que 0 debido a (∗), el
conjunto de soluciones consiste de todos los números reales en el intervalo
ସ
ቂ− , −1ቁ ∪ (0,1). Nótese que los valores de -1, 0 y 1 en la solución no se
ଷ
incluyen puesto que éstos hacen cero al denominador.

8. ૛‫ିܠ‬ૠ
7. Resolviendo una inecuación racional ≤૜
‫ିܠ‬૞
Solución.
Nota aclaratoria: aun cuando éste ejercicio parezca mucho más sencillo que
los dos anteriores, éste tiene un caso particular:
Pasando el 3 al primer miembro:
2x − 7
−3≤0
x−5
Sumando fracciones y simplificando términos semejantes:
2x − 7 − 3(x − 5)
≤0
x−5
2x − 7 − 3x + 15
≤0
x−5
−x + 8
≤0
x−5
8−x
≤0 (∗)
x−5
Así como en los dos ejercicios anteriores, el paso a seguir es sacar los
valores críticos:
8 − ‫8 = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = ݔ‬
x − 5 = 0 ݁݊‫5 = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬
Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del
mismo:
Observe el cambio de
++++++++++++++++ +++ - - - posición de los signos
(8 − ‫)ݔ‬
0 5 8
- − − − − − − − − − − +++ +++
(‫)5 − ݔ‬
(−) 0
(+) (−)
଼ି୶
) [
୶ିହ
0
5 8

9. Ahora como lo que interesa son los valores menores que 0 debido a (∗), el
conjunto de soluciones consiste de todos los números reales en el intervalo
(−∞, 5) ∪ [8, ∞). Nótese que el valor de 5 en la solución no se incluye puesto
que éste hace cero al denominador.
8. Resolviendo una doble desigualdad −૜ ≤ ૟࢞ − ૚ < 3
Solución.
Agregando +1 a cada parte de la desigualdad y simplificando:
−3 + ૚ ≤ 6x − 1 + ૚ < 3 + ૚
−2 ≤ 6x < 4
Dividiendo cada parte por 6 y simplificando:
−2 6x 4
≤ <
૟ ૟ ૟
−1 2
≤x<
3 3
Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los números reales
ିଵ ଶ
que son mayores o iguales a y menores que .
ଷ ଷ
ଵ ଶ
Solución por intervalo: ቂ− , ቁ
ଷ ଷ
Gráficamente: [ )
-1/3 0 2/3

10. 9. Resolviendo una doble desigualdad −૚ ≤ ૛ − ૜࢞ ≤ ૚૚
Solución.
Agregando -2 a cada parte de la desigualdad y simplificando:
−1 − ૛ ≤ 2 − 3x − ૛ ≤ 11 − ૛
−3 ≤ −3x < 9
Dividiendo cada parte por – 3, invirtiendo el sentido de la desigualdad y
simplificando:
−3 −3x 9
≤ ≤
−૜ −૜ −૜
−3 ≤ x ≤ 1
Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los números reales
que son mayores o iguales a – 3 y menores o iguales a 1.
Solución por intervalo: [−3, 1)
Gráficamente: [ ]
-3 0 1
10. Resolviendo una doble desigualdad con fracciones
ଶ ଶ
x − 2 < 2‫ + 6 < 3 − ݔ‬x
ଷ ଷ
Solución.
2
Agregando +3 y − x a cada parte de la desigualdad y simplificando:
3
2 ૛ ૛ 2 ૛
x − 2 + ૜ − ‫ + 3 − ݔ2 < ܠ‬૜ − ‫ + 6 < ܠ‬x + ૜ − ‫ܠ‬
3 ૜ ૜ 3 ૜
2
1 < 2‫− ݔ‬ <9
3

11. ଷ
Operando el centro de la desigualdad, multiplicando por a cada parte de la
ସ
desigualdad y simplificando:
4
1< x<9
3
૜ ૜ 4 ૜
∙1< ∙ x< ∙9
૝ ૝ 3 ૝
3 27
<‫<ݔ‬
4 4
Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los números reales
ଷ ଶ଻
que son mayores a y menores a .
ସ ସ
ଷ ଶ଻
Solución por intervalo: ቀ , ቁ
ସ ସ
Gráficamente: ( )
0 3/4 27/4
11. Resolviendo una inecuación con valor absoluto |‫2 < |5 − ݔ‬
Solución.
Recordar que: |x| < ܽ equivale a decir – a < ‫.ܽ < ݔ‬
Reescribiendo la desigualdad aplicando la equivalencia anterior:
−2 < ‫2 < 5 − ݔ‬
Agregando +5 a cada parte de la desigualdad y simplificando:
−2 + ૞ < ‫ + 5 − ݔ‬૞ < 2 + ૞
3<‫7<ݔ‬

12. Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los números reales
que son mayores a 3 y menores a 7.
Solución por intervalo: (3, 7)
Gráficamente: ( )
0 3 7
12. Resolviendo una inecuación con valor absoluto |‫7 ≥ |3 + ݔ‬
Solución.
Recordar que: |‫ ܽ > |ݔ‬equivale a decir ‫ܽ > ݔ ݋ ܽ− < ݔ‬
Reescribiendo la desigualdad aplicando la equivalencia anterior:
‫7− ≤ 3 + ݔ‬ ‫݋‬ ‫7≥3+ݔ‬
Agregando −3 a cada lado de las dos desigualdades y simplificando:
‫ − 3 + ݔ‬૜ ≤ −7 − ૜ ‫݋‬ ‫−3+ݔ‬૜≥7−૜
‫01− ≤ ݔ‬ ‫݋‬ ‫4≥ݔ‬
Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los números reales
que son menores o iguales a −10 o mayores o iguales a 4.
Solución por intervalo: (−∞, −10] ∪ [4, ∞)
Gráficamente: ] [
-10 0 4

13. 13. Resolviendo una inecuación con valor absoluto 8 − |2‫6 ≥ |1 − ݔ‬
Solución.
A diferencia de los dos anteriores en éste hay que tener la expresión de
valor absoluto en un solo lado de la desigualdad.
Pasando el 8 al segundo miembro y simplificando:
−|2‫8 − 6 ≥ |1 − ݔ‬
−|2‫2− ≥ |1 − ݔ‬
Multiplicando a ambos lados por (−1) y cambiando el sentido de la
desigualdad:
|2‫2 ≤ |1 − ݔ‬
Reescribiendo la desigualdad aplicando la equivalencia correspondiente:
−2 ≤ 2‫2 ≤ 1 − ݔ‬
Agregando +1 a cada parte de la desigualdad y simplificando:
−2 + ૚ ≤ 2‫ + 1 − ݔ‬૚ ≤ 2 + ૚
−1 ≤ 2‫3 ≤ ݔ‬
Dividiendo entre 2 cada parte de la desigualdad y simplificando:
−1 2‫3 ݔ‬
≤ ≤
2 2 2
−1 3
≤‫≤ݔ‬
2 2
Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los números reales
ଵ ଷ
que son mayores o iguales a − ଶ y menores o iguales a ଶ .
ଵ ଷ
Solución por intervalo: ቂ− , ቃ
ଶ ଶ
Gráficamente: [ ]
-1/2 0 3/2

14. 14. Resolviendo una inecuación no lineal: ‫ ݔ‬ଶ − ‫0 < 6 − ݔ‬
Solución.
Observación: para resolver inecuaciones no lineales se debe hacer uso de
los casos de factorización.
Factorizando el primer miembro:
(‫0 < )2 + ݔ()3 − ݔ‬
Los valores críticos son:
‫3 = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 3 − ݔ‬
‫2− = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 2 + ݔ‬
Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del
mismo:
−−−−−−−− −−− +++++++
(‫)3 − ݔ‬
0 3
−−−−−−− ++++ +++++++
(‫)2 + ݔ‬
(+) -2 0
(−) (+)
(‫)2 + ݔ()3 − ݔ‬ ( )
-2 0 3
Ahora como la inecuación es menor que cero, el conjunto de soluciones
consiste de todos los números reales en el intervalo (−2,3).

15. 15. Resolviendo una inecuación no lineal 2‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ5 ≥ ݔ‬ଶ
Solución
Observación: Para desarrollar inecuaciones no lineales lo primero que hay
que hacer es pasar todos los términos a un solo lado de la desigualdad,
dejando siempre el segundo miembro como cero.
Pasando 5‫ ݔ‬ଶ al primer miembro y organizando el polinomio:
2x ଷ + 2x − 5x ଶ ≥ 0
2x ଷ − 5x ଶ + 2x ≥ 0
Factorizando el primer miembro dos veces:
‫2(ݔ‬x ଶ − 5x + 2) ≥ 0
‫( ݔ‬x − 2)(2x − 1) ≥ 0
Los valores críticos son:
‫0=ݔ‬
‫2 = ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 2 − ݔ‬
1
2‫= ݔ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ 0 = 1 − ݔ‬
2
Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del
mismo:
3
−−−−−−−−− + ++ +++++
‫ݔ‬
0
−−−−−−−−− − −− +++++
( ‫)2 − ݔ‬
0 2
−−−−−−−−− − ++ +++++
(2‫)1 − ݔ‬
0 1/2
(−) (+) (−) (+)
‫( ݔ‬x − 2)(2x − 1) [ ] [
0 1/2 2

16. Ahora como la inecuación es mayor o igual que cero, el conjunto de
soluciones consiste de todos los números reales en el intervalo
ଵ
ቂ0, ቁ ∪ [−2, ∞).
ଶ
-----------------------------------------------------------------