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ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO
Conocimientos previos…
1. ¿Qué es una ecuación?
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad.
Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita.
Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s).
Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.
Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas
matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si
el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.
2. ¿Cuáles son las partes de una ecuación?
Para que los estudiantes puedan hablar de ecuaciones en lenguaje matemático, hay nombres
para las diferentes partes de la ecuación.
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número que todavía
no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando a
una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un
coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que
representa una operación (es decir, algo que quieres
hacer con los valores).
Un término es o bien un número o variable solo, o
números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los términos
están separados por signos + o -)
Concepto de Ecuación Cuadrática
Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica
donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo
aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0 ( a  0), b el
coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las
ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
Reseña Histórica
La ecuación de segundo grado y su solución tienen origen antiguo. Se conocieron algoritmos para
resolverla en Babilonia y Egipto.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático
judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas:
Analicemos estos 3 ejemplos de ecuaciones que presentamos a continuación:
En esta a = 2, b = 5 y c = 3.
En este ejemplo vemos:
 ¿Dónde está a?
En realidad a = 1, porque normalmente no escribimos "1x2
"
 b = − 3
 ¿Y dónde está c ?
Bueno, c = 0, así que no aparece.
 ¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática.
 ¿ Por qué ?
 Porque le falta el x2
(es decir a = 0, y por eso no puede ser
cuadrática)
Clasificación de las Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones de segundo grado se clasifican de la siguiente manera:
1. Completas: Tienen la forma canónica:
donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos
números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados,
dependiendo del valor que tome el discriminante:
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se pueden resuelven por el método de factorización, por el método de completar el cuadrado o por la
fórmula general.
2. Incompletas
2.1. Incompleta Pura: Es de la forma:
donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones
inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen
signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c
tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:
con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos
es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre
tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.
Aplique lo aprendido en la lectura…
P r á c t i c a
Ahora bien, según lo explicado anteriormente, clasifique las siguientes ecuaciones cuadráticas en:
Completa, Incompleta Pura o Incompleta Mixta.
1. 5x2
+ 12x – 7 = 0 _________________________
2. 3x2
+ 26 = 0 _________________________
3. 6x2
+ 6x = 0 _________________________
4. 4x2
– 28x + 40 = 0 _________________________
5. 2x2
–18 = 0 _________________________
6. 4x2
+ 20x = 0 _________________________
7. x2
- 2x -15 = 0 _________________________
8. x2
- 4x -5 = 0 _________________________
9. x2
+ -2 = 0 _________________________
10. x2
+ x - 12 = 0 _________________________
11. x2
+ 9 + 18 = 0 _________________________
12. x2
- 12x + 35x = 0 _________________________
13. x2
- x = 0 _________________________
14. x2
- x - 2 = 0 _________________________

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Ecuación Cuadrática

  • 1. ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO Conocimientos previos… 1. ¿Qué es una ecuación? Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos. 2. ¿Cuáles son las partes de una ecuación? Para que los estudiantes puedan hablar de ecuaciones en lenguaje matemático, hay nombres para las diferentes partes de la ecuación. Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores). Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)
  • 2. Concepto de Ecuación Cuadrática Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0 ( a  0), b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. Reseña Histórica La ecuación de segundo grado y su solución tienen origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum. Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas: Analicemos estos 3 ejemplos de ecuaciones que presentamos a continuación: En esta a = 2, b = 5 y c = 3. En este ejemplo vemos:  ¿Dónde está a? En realidad a = 1, porque normalmente no escribimos "1x2 "  b = − 3  ¿Y dónde está c ? Bueno, c = 0, así que no aparece.  ¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática.  ¿ Por qué ?  Porque le falta el x2 (es decir a = 0, y por eso no puede ser cuadrática)
  • 3. Clasificación de las Ecuaciones Cuadráticas Las ecuaciones de segundo grado se clasifican de la siguiente manera: 1. Completas: Tienen la forma canónica: donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante: ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente. Se pueden resuelven por el método de factorización, por el método de completar el cuadrado o por la fórmula general. 2. Incompletas 2.1. Incompleta Pura: Es de la forma: donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma: con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0 3.- Incompleta mixta: Es de la forma: donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos. Aplique lo aprendido en la lectura…
  • 4. P r á c t i c a Ahora bien, según lo explicado anteriormente, clasifique las siguientes ecuaciones cuadráticas en: Completa, Incompleta Pura o Incompleta Mixta. 1. 5x2 + 12x – 7 = 0 _________________________ 2. 3x2 + 26 = 0 _________________________ 3. 6x2 + 6x = 0 _________________________ 4. 4x2 – 28x + 40 = 0 _________________________ 5. 2x2 –18 = 0 _________________________ 6. 4x2 + 20x = 0 _________________________ 7. x2 - 2x -15 = 0 _________________________ 8. x2 - 4x -5 = 0 _________________________ 9. x2 + -2 = 0 _________________________ 10. x2 + x - 12 = 0 _________________________ 11. x2 + 9 + 18 = 0 _________________________ 12. x2 - 12x + 35x = 0 _________________________ 13. x2 - x = 0 _________________________ 14. x2 - x - 2 = 0 _________________________