1. 1
NOMBRE: EDISON ANRANGO
CURSO: 2 DO CONTABILIDAD
TRABAJO: DE INFORMATICA
LICENCIADA: MONICA BARRAGAN
Proyecto: de matematicas
2012-2013
COLEGIO NACIONAL
EXPERIMENTAL “AMAZONAS”

2. 2
Proyectos Matemáticos Realistas y resolución
de problemas.
RESUMEN Justificamos el interés de los Proyectos Matemáticos
Realistas (PMR) y al
mismotiempo analizamos sus contribuciones específicas como
actividad matemática que promuevehabilidades semejantes a las que
habitualmente llamamos proponer y resolver problemas deaplicación.
Lo haremos mediante ejemplos del propio alumnado mostrando que: (1) los
proyectosrealistas se asemejan a los superproblemas en cuanto
se enfrentan con la complejidad, (2)representan un estilo de
acción y producción matemática basada en la idea de modelización
y creación, (3) desarrollan habilidades específicamente matem
áticas y destrezas heurísticasgenerales no específicas, (4) contribuyen
a una construcción matemática colaborativa docente-alumnado, y (enfrentan el
tratamiento de la heterogeneidad del alumnado).
Introducción.-
Entendemos el desarrollo de la actividad matemática como proceso de
continuada resoluciónde problemas sin olvidar la relación de las
matemáticas con la realidad. Siguiendo estasideas, desde hace
algunos años que proponemos a nuestros alumnos de 12-16 años de
unconjunto de escuelas públicas de la cercanía de Barcelona, un tipo
de actividad que hemosllamado
proyectos matemáticos realistas (PMR).
Estos PMR todavía hoy son un reto,pues no resulta fácil aunar esos
dos elementos de matemáticas y realidad antes citados. Conello, recogemos
en buena parte el desafío que Paulo Abrantes establece en su tesis doctoral.La
idea de pro aplica en la Didáctica de las Ciencias Sociales y
Experimentales y se enmarca en la
línead e l a m o d e l i z a c i ó n y m a t e m a t i z a c i ó n ( G r a v e j m a i e r 1 9
9 4 ) . P a r a p o d e r r e a l i z a r e s t a s actividades, el alumnado debe
plantearse, en primer lugar, un tema que ha de corresponden con un problema
del entorno social que sea matematizable. Se formula un título, se
muestranunos objetivos o preguntas que no están marcados a priori
(como sucede en los
popularesmateriales de Brian Bolt, o Edward Fischer), se desar
rollan durante un mes en horariobásicamente extraescolar y se
presentan los resultados en un informe, del que se da unresumen en
público al término del trabajo. El final no es un número, sino que se
alcanzacuando se puede enunciar alguna conclusión o evidencia
nueva debidamente argumentada.Por ello se parece a los problemas
abiertos en cuanto admiten diferentes estrategias ydiferentes puntos de
llegada o soluciones.

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1 . l o s P r o y e c t o s c o m o
s ú p e r p r o b l e m a s d e a p l i c a c i ó n
La actividad de proyectos que comenzamos a desarrollar con
alumnado de 12 a 16 añosresponde directamente a la demanda de
contextualización que se exige en los currículos(LOCE art. 22, 2f)
cuando se dice “...
Conocer y aplicar métodos para identificar los problemasen los diversos
campos del conocimiento y de la experiencia, para su resolución y
para latoma de decisiones
.” Ahora bien, estos problemas (llamados por algunos
autores) deaplicación (Niss y Blum 1989), se encontraban a menudo dentro
de una organización de aulaen la que el objetivo estaba totalmente definido. Es
decir, problemas de estadística despuésde una lección de estadística,
o de geometría en un capítulo de geometría... Tan sólo enalgunas
clases optativas, bajo el título de resolución de problemas, se “superaba” esa
idea yse proponían situaciones sin el encasillamiento del tema
matemático establecido a priori,centrados en un aprendizaje de tipo más
heurístico y general.En los PMR el alumnado se plantea una situación real
inicial al estilo de un superproblema, enel sentido que (siguiendo a
Friedlander 1996) : (a) se plantean un conglomerado de
variaspreguntas o problemas en una misma situación, (b) la sit
uación básica es auténtica ydinámica, (c) se reconoce un
orden de complejidad y nivel creciente de dificultad en
elproceso, (d) invita al estudiante a sumergirse y focalizar en procesos y
patrones de cambios,relaciones y diversidad de modelos para comprobar la
validez de las respuestas
A diferencia de los superproblemas, se provoca la toma de decisiones desde el
inicio y no esel docente quien propone las preguntas. El
enunciado inicial (o provocación) no estápreestablecido de
antemano sino que nos enfrentamos a un problema ciudadano y tratamosde
encontrar la solución por medio de las matemáticas. Los proyectos
realistas se parecentambién a los superproblemas porque su desarrollo se
alarga en el tiempo. Pero se diferenciade ellos en que no es necesario
que se hagan en el aula. Más bien al contrario,
habrán e c e s i d a d d e i r a o b s e r v a r y r e c o g e r i n f o r m a c i ó n s
o b r e l a r e a l i d a d ( a m e d i r , v i s i t a r instituciones, observar...). Por
otro lado, la administración del tiempo es una dificultad más enla realización de
la actividad. Por eso es importante el seguimiento y orientación que hace
elprofesorado.
Ejemplo1. Los títulos ylos temas.
Algunos enunciados generales de PMR sugeridos por elalumnado son: (a)
Cómo decidir donde situar una nueva farmacia en el pueblo donde vivimos,o
(b) estimar lo que nos ahorramos, a nivel municipal, con el cambio de horario
de primaveray otoño, o (c) cómo embaldosar las aceras de nuestra
calle, o (d) como vamos a montar ladistribución de un buen espacio de
aparcamiento para nuestra planta baja del edificio.En la discusión sobre el
tema y el título se invierte mucho tiempo en comparación con lo quesuele ser
la interpretación de un enunciado

4. 4
en un problema clásico. Como vemos, esimportante resaltar que
un rasgo esencial de la actividad de proyectos es la fidelidad
a larealidad. Por ello, en la elección del tema o enunciado inicial,
procuramos no caer en
lasimplificación de la realidad, como se suele hacer en un pro
blema, para adaptarla a lanecesidad o nivel de nuestros alumnos.
Como temas, aceptamos tanto la resolución de
unproblema particular, como la interpretación de una
situación amplia, la elaboración denuevas
propuestas sobre alguna
situación o investigaciones. En cualquier caso lo quesiempre
tienen en común es que se refieren a situaciones reales conocidas por los
alumnos yque permiten un abanico de respuestas diferentes
según el enfoque que se le dé y lasdistintas variables que se
consideren que intervienen.Ante este planteamiento, el profesorado debe
preocuparse de evitar que las dificultadesdejen atascados a los alumnos
en el inicio porque les cuesta definir el tema o pregunta inicial,o que estos
pretendan abordar problemas que excedan a sus posibilidades.
Además, para animar al alumnado en su primer proyecto, les
enseñamos ejemplos de sus compañeros, eincluso pedimos a alguno de
los estudiantes del curso siguiente que sea quien explique lo y qué dificultades
principales encontraron.
2. Unmodo de acción yproducción modernizadora ycreativa.
El carácter aplicado de las matemáticas no es una novedad pues
aparece ya en el InformeCockroft en su párrafo 562 cuando decía: “
Deben insistir en sus variadísimas aplicaciones
” oen su párrafo 565 “...
Creemos que todos los estudios de matemáticas para la obtención
delcertificado de nivel A deben contener elementos propios de
las matemáticas aplicadas
.” Oe n s u p á r r a f o 5 7 7 d o n d e p o d e m o s l e e r “
El núcleo de matemáticas puras... constituiráaproximadamente
el 40 por ciento del programa de una asignatura única de
matemáticas puras y aplicadas
.” Hemos querido resaltar la
Idea de
Proyección
no sólo para poner demanifiesto el carácter abierto del proceso sino en el
sentido de que se plantea algo de lo queno sabemos la solución a
priori y se construye en el futuro. Además, también hay
quedestacar que la elaboración no es el resultado de aplicar
unos procesos rutinarios ymecánicos sino que han de recuperar
algunos elementos básicos del método científico
comoestablecer hipótesis, contrastarlas, buscar información, pl
anificar estrategias y tomard e c i s i o n e s . D e t o d o s m o d o s , n o
s a p a r t a m o s d e l a i d e a d e a p l i c a c i ó n q u e c o n s i s t e e n reco
nocer un conocimiento matemático particular y utilizarlo, como se suele hacer
cuando seponen problemas de aplicación al final de un tema. La aplicación que
pretendemos es que elalumnado ponga en funcionamiento el

5. 5
conocimiento general que posee. Con esta forma detrabajar el
alumnado construye unas competencias y asume responsabilidades
sociales delquehacer matemático de manera que
lo convierten en el principal protagonista de laactividad como
actividad deCreación
.
Ejemplo2. Losángulos de un aparcamiento como producción creativa.
Ida y Helena (de 12 años de edad) querían trabajar sobre los nuevos
aparcamientos que sehabían creado alrededor del mercado
municipal. En una zona de aparcamiento en batería,una de sus
preocupaciones fue estudiar como afectaba el ángulo que formaba el coche
con laacera en relación con la anchura que dejaba en la calle y a partir de ahí,
explicar la mayor omenor facilidad del
giro necesario para estacionarlo. Para responder, decidieron h
acerdibujos a escala y a partir de ellos calcularon los espacios que
necesitaban y los radios de giroen cada caso.Figura 1. Gráfico del PMR de Ilda
y Helena, que muestra un aparcamiento en batería conángulo de
40ºA s í , v e m o s q u e u s a r o n u n a f o r m a g r á f i c a y p u n t u a l d e
r e s o l u c i ó n , p o r q u e n o t i e n e n conocimiento de trigonometría
. Pero es interesante que recogen los resultados de suso b s e r
v a c i o n e s e n f o r m a d e t a b l a , c u a n d o a ú n n o h a b í a n e s t u d
i a d o e l p o d e r d e e s t e instrumento como desarrollo funcional:Figura 2.
Tabla que indica la relación entre los ángulos de inclinación de los coches y
distintasvariables del aparcamiento.Con ello muestran tener claro una primera
idea relacional y las variables que intervienen enel fenómeno. Pero no sólo eso
es creativo para ellas, puesto que son capaces de interpretar latabla, porque a
partir de ella enuncian sus conclusiones:
“En conclusión a estos datos y estasimágenes podemos decir que por un
lado cuanto más grande sea el ángulo más plazas
se podrán colocar, este punto es muy bueno, pero por otro lado también sabem
os que cuantomás pequeño sea el ángulo más pequeño es el radio de
giro y más pequeño es el espacionecesario mínimo para girar”.
El docente observa, en ejemplos como el del aparcamiento, como en
el contexto del PMRalgunos estudiantes desarrollan la habilidad de
reinterpretación, aunque –como sucede conestas chicas- la frase no sea
adecuada al problema inicial.S e t r a t a p o r l o t a n t o d e
una actividad de producción matemática
q u e d e b e d a r respuesta al problema inicial, teniendo en cuenta que esta
respuesta no es matemática.
Lasm a t e m á t i c a s h a n i n t e r v e n i d o e n l a a c c i ó n , p e r o n o s o
n e l o b j e t i v o f i n a l . C o n e l l o , l o s Proyectos colaboran a la
formación más integral del individuo y a reconocer el papel de
lasmatemáticas como medio para integrar contenidos y ser mejores
ciudadanos. El objetivo delos Proyectos nunca es conceptual, siempre es
procedimental y tampoco es sólo aplicativo

6. 6
sino que se trata de cumplir el ciclo de la
Modelización
que parte de lo real y regresa a loreal. Ello hace que el alumnado vincule la
matemática con el funcionamiento y desarrollo dela sociedad y se prepare para
un desarrollo profesional (Giménez 2002).
3. Competencias Matemáticas y formación ciudadana
.El interés de las actividades de Proyectos es doble. Por una parte viene a
satisfacer unasdemandas educativas hechas desde diferentes ámbitos
sociales, por otra viene a contribuiren el desarrollo de unas competencias y
habilidades propias de la resolución de problemasclásica.Con los proyectos,
formamos al alumnado como ciudadanos democráticos
(Niss 1995, CIEAEM2002) ayudándoles a ser progresivamente más

7. 7
Competentes en la modelización de múltiplessituaciones reales
Donde las matemáticas intervienen directa o indirectamente. Ensituaciones
donde interviene la economía o la estadística es fácil pensarlo, pero hay
multitudde otras situaciones en dondesehace aflorar las matemáticas que están
presentes ensituaciones próximasy su interpretación críticay les permite un
mejor conocimiento de ellas,adaptada a sus conocimientos La experiencia nos
ha mostrado que en la realización deproyectos, buena parte del alumnado de
12-13 años llega ya a construir un modelo de lasituación que estudia.Además
Contribuimos al desarrollo de la autonomía
. Este es un concepto clave en la manerade aprender basado en la reflexión
sobre la propia experiencia. El aprendizaje requiere que elalumno sea
autónomo en relación a un dominio dado de conocimientos y sea capaz
de justificar actos y opiniones. Los alumnos, una vez han elegido el tema, han d
e planificar supropia estrategia, organizarse, gestionar el tiempo, tratar la
información reunida. Puedencontar con el asesoramiento del profesor, pero es,
fundamentalmente, un proceso que han derealizar los alumnos que les exige y
fomenta su capacidad de trabajo autónomo. Tambiénfomentan la motivación
por el aprendizaje y uso de matemáticas no formales
. Larelación entre motivación y aprendizaje tiene un papel crucial en el trabajo
de proyectos porello, es importante que el profesor se asegure que el alumno
es capaz de acabar todo elproceso del proyecto. De esta manera verá
superado un reto y comprobará la funcionalidadde las matemáticas, lo que
le predispondrá para continuar con su estudio.
Además, sepromueve el desarrollo de capacidades cognitivas y meta
cognitivas
(Abrantes 1994) en
losalumnos, especialmente en aquellos que carecen de iniciativa,
responsabilidad, espíritucrítico o persistencia para enfrentarse a situaciones no
rutinarias. Igualmente se estimula quelos alumnos sean capaces de
adoptar una actitud flexible y de confianza frente a laactividad
matemática puesto que se trata de actividades largas en el tiempo y que
noresponden a algoritmos rutinarios y mecánicos. El trabajo en grupo obliga a
la tolerancia,
aadmitir la opinión de los compañeros, y las dificultades obligan a modificar los
planteamientos. El trabajo deproyectos desarrolla la capacidad de los estudiant
es paraenfrentarse con una actitud flexible y con confianza a problemas nuevos
y complejosen unmundo que esta en cambio permanente.Al mismo
tiempofomenta la construcción de conexiones
, al aplicar y utilizar los conceptos yprocedimientos en contextos diferentes a
los empleados en el aula. De este modo,

8. 8
aumentay refuerza las construcciones mentales de relaciones entre contenidos
y se aumenta elsignificado de los conocimientos teóricos. Veamos en el
siguiente ejemplo como
combinandoconocimientos de geometría, semejanza y proporcionalidad nos pe
rmite encontrar unasolución al problema de calor que tenían los alumnos que
se sentaban junto a la ventanadurante los meses de final de curso.
Ejemplo 3. La luz y la comodidad en clase.
El aula donde siguen las clases Laura y Martiene en una de sus paredes, un
gran ventanal y, durante los meses de abril a junio, el sol queentra por él
molesta especialmente a los alumnos que se sientan justo al lado de la
ventana.Estas dos chicas de 2º de ESO (13 años) han pensado que si se
pintara con pintura opaca unafranja sobre el ventanal, el sol no les
molestaría. Por lo tanto el proyecto que se hanpropuesto es calcular la anchura
de la franja que se tendría que pintar para que el sol no lasmolestara y lo que
costaría aplicarlo a todas las aulas del Instituto.
Los datos que han necesitado son los ángulos de inclinación de los rayos
solares duranteestos meses en la población (Vilassar de Mar) y observar a que
hora molestan más los rayosque entran en la clase. A partir de estos datos
fijaran un día de cada mes y una hora para quesirva de referencia para hacer el
estudio. Los ángulos de inclinación los han obtenido delprograma “
Les Cartes del Cel
“que han obtenido de internet. Después han dibujado a escalala ventana y el
estudiante a su lado y sobre él han analizado las diferentes entradas de
losrayos solares teniendo diferentes anchuras de la franja opaca pintada sobre
el vidrio, talcomo se muestra en la figura adjunta.Figura 3. Gráfico que observa
en distintos momentos del año, como incide la luzcorrespondienteA partir de
aquí y haciendo los cálculos de escala correspondientes llegan a los
siguientesresultados sobre la relación existente entre la parte tapada y ciertas o
bservacionescualitativas sobre la luz que entra en el aula en ese
momento:Figura 4. Tabla que relaciona anchuras, con tiempos y expresión
de la sensación de calorDespués de esto, ya sólo les quedaba seleccionar
como anchura ideal de la franja 1,3 metrosy finalizar los cálculos de la cantidad
de pintura necesaria, así como calcular el precio. Estaúltima parte no les reviste
ninguna dificultad.

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Conclusiones:
Hacer Proyectos Matemáticos Realistas es una actividad matemática de resolu
ción deproblemas pero también de proposición de problemas desde su inicio.
Pero su dificultadorganizativa hace que desarrollemos uno o dos proyectos por
curso académico. Como indica

10. 10
Abrantes promueve experiencias matemáticas, situa la actividad como
ambiente, y comonaturaleza de la actividad, en la exploración, descubrimiento,
relación y organización,
comoconjetura y argumentación, como intervención e interpretación, y como ref
lexión ycomunicación (Abrantes 1996).Fomenta además el conocimiento de la
realidad que nos rodea: la sociedad en que vivimos secaracteriza por una
complejidad creciente. Al mismo tiempo esta complejidad es posiblegracias a la
presencia cada vez mayor de las matemáticas en el desarrollo
tecnológico,económico, científico, y en la vida cotidiana. Por lo tanto las matem
áticas tienen unacontribución profunda en la configuración de la sociedad actua
l (Niss, 1995).Paradójicamente, esta presencia se hace cada vez más difícil de
ver, es decir, cada vez sonmás invisibles y no están reconocidas por la mayor
parte de la gente. El trabajo de proyectosviene a contribuir a descubrir la
presencia de las matemáticas en situaciones cotidianas. Nosha de permitir
identificar las variables y descubrir las relaciones que hay entre ellas y si
esposible descubrir y explicar el modelo de la situación. Pero sobre todo,
permite desarrollaruna solución. En Sol 1998, y Volatizara 1999, 2001 y 2002 el
lector verá un desarrollopormemorizado de otros ejemplos de PMR así
como formas de evaluación.Digamos, por último que en el trabajo de proyectos
se fomenta la integración entre locognitivo y lo emocional (como se vio en el
ejemplo de Lidia y Sara), ya que por un lado esmás motivador que una
actividad de aula normal y por otro tanto la elección del
tema comoel enfoque que le van a dar han de combinar sus capacidades, sus
conocimientos, suscreencias e intenciones
Recomendaciones:
Hacer ejercicios matemáticos debes en cuando suele ser muy difícil pero hay
que hacerlo de una u otra manera por lo que les recomendamos que nada es
difícil en matemáticas si tienes algún problema busca y encuentra la manera de
resolver .