Ricardo Pulido- Profesor del ITESM, Campus Monterrey - Colombia. Sesión No. 3 - Año 4. Seminario de Investigación PROME "en línea" Posgrado en Matemática Educativa del CICATA Legaria, Instituto Politécnico Nacional. 24 de marzo de 2014 http://sem-inv-prome.blogspot.mx/

1. Ricardo Pulido Ríos
Tecnológico de Monterrey
Marzo de 2014

2.  ¿A quién se le quiere enseñar?
 ¿Quién enseña?
 ¿Cómo y dónde se le quiere enseñar?
 ¿Qué es lo que se quiere enseñar?
Estas y otras cuestiones nos han acompañado
en la evolución de nuestra visión de lo que
pensamos es educar en matemáticas.

3.  Antecedentes
 Sobre la obra completa de Cálculo
 El Cálculo Aplicado, Tomo III (Cálculo de
Varias Variables)

4.  ¿Basta con saber Matemáticas para ser un
buen profesor?
 Problemas obvios en el aprendizaje y
enseñanza de las Matemáticas
 La Investigación para la enseñanza de las
Matemáticas
 La Contribución de México en la investigación
para la enseñanza de las Matemáticas
 El aporte del Tecnológico en la Investigación
 Rasgos distintivos del nuevo discurso de
Cálculo
Anteceentes 4

5. Las primeras ideas sobre cómo enseñar y
aprender matemáticas eran muy simples
e ingenuas.
Aprender significaba que el
alumno pudiera
REPRODUCIR lo que se le
había enseñado
La idea de enseñar y aprender se reducía a
recordar secuencias de pasos ya sea para
probar un teorema o para resolver un
problema rutinario
Enseñar consistía en
REPETIR lo que habíamos
aprendido o exponer el
contenido del libro de
texto señalado.
Antecedentes 5

6. Entonces, un buen profesor debería tener un buen conocimiento
del contenido matemático para poder descomponerlo en una serie
de afirmaciones lógicas; pero al mismo tiempo tener la habilidad
para mantener la atención del alumno, es decir, debía poseer una
cierta intuición pedagógica.
Antecedentes 6
Aprender matemáticas no debería ser difícil ya que se trata de
seguir una cadena de argumentos lógicos que validan los
resultados matemáticos que se estudian. Siendo así, el estudiante
simplemente necesita poner atención a los razonamientos.

7. Problemas obvios en el aprendizaje y
enseñanza de las Matemáticas
El alto porcentaje de alumnos
reprobados
Ejemplo: en 1996 la Facultad
de Ingeniería Mecánica de la
UANL, en un curso de
Matemáticas I (cálculo
Diferencial) el 70% de un total
de 1134 estudiantes
reprobaron. En EUA, en 1997
el 40% de los estudiantes
universitarios reprobaron un
curso introductorio de
Cálculo.
Los estudiantes que pasan lo
hacen sin entender los
conceptos claves.
Las matemáticas conducen a un
conocimiento profundo de los
fenómenos naturales, pero el
modo en que son enseñadas no
acarrea ese beneficio.
Antecedentes 7

8. La Investigación para la enseñanza de
las Matemáticas
La necesidad de investigar el problema educativo relacionado
con las matemáticas, implica haber aceptado el supuesto de la
complejidad del problema, pero al mismo tiempo proporciona
la confianza de que es posible generar intervenciones sucesivas
exitosas en el sistema educativo.
Para facilitar la discusión, la investigación en Matemática
Educativa puede ubicarse en el estudio de tres áreas: la
cognitiva (los estudiantes), la didáctica (la escuela y el profesor)
y la epistemológica (el contenido a enseñar)
Antecedentes 8

9. La Contribución de México en la
Investigación para la enseñanza de las
Matemáticas
Se rompió, en el caso de la enseñanza del Cálculo, con la idea que
el contenido a enseñar debía de provenir de un conocimiento fijo
e inamovible: el Análisis Matemático. De hecho la escuela
mexicana encabezada por Ricardo Cantoral, agregó que era
necesario incorporar en la investigación las prácticas sociales que
tuvieran que ver con el surgimiento de conceptos matemáticos en
aras de mejorar las propuestas para el aprendizaje. La
incorporación de este elemento en la investigación dio origen al
llamado enfoque socioespistemológico
Antecedentes 9

10. El aporte de la investigación en el Tecnológico de
Monterrey para un cambio de Paradigma en la
enseñanza del Cálculo
Investigar en la Historia sobre los orígenes del Cálculo
Leibniziano con sus diferenciales e infinitesimales,
observar cómo se convirtió en una herramienta clave y
poderosa para la Física (y la Ingeniería) que aún hoy sirve
de apoyo esencial, mientras que los libros de texto
tradicionales de Cálculo no explican esos conceptos o los
incluyen con argumentos incoherentes, dejó en claro la
necesidad de cambiar esos libros como apoyo para los
cursos de Cálculo para ingeniería. Go to

11. El aporte de la investigación en el Tecnológico de
Monterrey para un cambio de Paradigma en la
enseñanza del Cálculo
Investigar en la Historia sobre los orígenes del Cálculo
Newtoniano y observar cómo en el ambiente del estudio
del fenómeno del movimiento surgen ideas básicas que
desencadenarán poderosas herramientas para el estudio
del cambio en general, darán la posibilidad de vislumbrar
una propuesta para la enseñanza que comience con una
idea paradigmática: conocer una magnitud a través del
estudio de sus cambios sucesivos
Antecedentes 11

12. Seis profesores trabajando en equipo, asistiendo
de oyentes a cursos propios de ingeniería, para
ver el contraste entre lo que se enseñaba de
matemáticas y lo que ellos usaban en sus clases,
reinventándose en su conocimiento de las
matemáticas, se dieron a la tarea de construir un
nuevo discurso del cálculo.
Antecedentes 12

13. Esta obra contiene una propuesta acerca de qué, cómo y porqué
enseñar y aprender Cálculo, con la intención de proveer a estudiantes
de ingeniería un aprendizaje funcional.
Tal vez sería mejor decir que la propuesta refleja nuestro interés de
fomentar en los estudiantes a apreciar el conocimiento matemático
como una herramienta valiosa para resolver problemas en contextos
reales relacionados con sus aspiraciones académicas. De esta forma se
desea responder a la cuestión del porqué enseñar o aprender Cálculo.
El qué se enseña proviene de centrarse en la cuestión del para qué es el
Cálculo. Nociones, procedimientos, objetos matemáticos son
herramientas óptimas en los problemas propuestos. El cómo se enseña
está ligado al desarrollo de una serie de actividades, situaciones y
problemas entrelazadas que puedan ser trabajadas por los estudiantes
de un modo en el que ellos van construyendo gradualmente los
elementos matemáticos hasta el nivel que puedan reconocerlos y
manejarlos en contextos propios de su interés académico.
Sobre la obra completa de Cálculo
Sobre la obra completa de Cálculo 13

14. Sobre la obra completa de Cálculo 14
Problemas guía de cada Volumen del Cálculo Aplicado
En el volumen I:
Predecir el valor de una magnitud que está cambiando. El
tratamiento de la predicción conduce a la construcción de
nociones y procedimientos asociados con la razón de cambio
y el cambio acumulado. La noción de derivada y de integral
surgen y adquieren un significado preciso para esa práctica.
En el Volumen 2:
Calcular el valor de una magnitud asociada a un todo,
dividiéndolo en partes. Este problema da origen a la noción
de diferencial como el valor de una magnitud infinitamente
pequeña, junto con el de la suma o integral. Dividir el todo
en partes infinitamente pequeñas, calculando las magnitudes
correspondientes y sumarlas es parte esencial del proceso
para atender el problema. La noción de la toma del elemento
diferencial para calcular la magnitud completa, por medio de
integración surge de la misma práctica. Hay que mencionar
que esta última noción es muy utilizada en la física y la
ingeniería y constituye una diferencia sustancial de nuestra
propuesta a las tradicionales; simplemente ahí no existe.

15. Sobre la obra completa de Cálculo 15
En el Volumen III:
El problema es el de matematizar dos nociones fundamentales
de la Física: flujo y circulación. Aunque provienen de la
hidrodinámica, estas nociones aparecen en otras áreas de la
Física; se habla por ejemplo de flujo eléctrico, circulación de
un campo magnético, flujo del calor, etc. Para mostrar la
importancia de esas nociones es suficiente señalar que Richard
Feynman dice en su segundo volumen de su libro de Física que
sólo con esas dos nociones es posible describir las leyes de la
electricidad y el magnetismo. En el intento de darle
tratamiento matemático a estas dos nociones, para
reconocerlas y manejarlas como aparecen en las ecuaciones de
Maxwell, por ejemplo, aparecen nociones tales como derivada
parcial, gradiente, integrales de línea y de superficie, el
teorema de la divergencia y del rotacional, entre otras, que
pertenecen a lo que se conoce como el Cálculo de Varias
Variables.

16. El Cálculo Aplicado, Tomo III (Cálculo de
Varias Variables)
Cálculo de Varias Variables 16
Empezamos el estudio del flujo en un contexto familiar
para el estudiantes: el flujo de agua. Del campo de
velocidades de un flujo de agua surge la idea de un
campo vectorial en general. El cálculo del flujo se hace
primero en una situación simple: la superficie sobre la
que se calcula el flujo es plana, la velocidad es constante
y perpendicular a la superficie. Esta situación
evolucionará hasta tener un campo vectorial y una
superficie no necesariamente plana. Con la misma idea de
avanzar de una situación restrictiva, pero simple y
familiar, el primer acercamiento a la circulación es a
través del concepto de trabajo en su versión más simple:
el trabajo hecho por un campo de fuerzas constante en
dirección de un desplazamiento rectilíneo. Eventualmente
la operación de calcular el trabajo se extiende al caso de
tener un campo y una curva en general.

17. Cálculo de Varias Variables 17
En el tránsito de un campo de fuerzas o velocidades
constante a campos vectoriales en general, de líneas
rectas a curvas, de superficies planas a curvas hay
evidencia de un pensamiento infinitesimal. Utilizado en
los volúmenes previos como una poderosa herramienta,
para construir conceptos claves del Cálculo como la
derivada, la integral o el mismo teorema fundamental
del cálculo, ahora se tienen productivas extensiones de
las consideraciones algebraico-geométricas de ese
pensamiento; así como las curvas en los infinitamente
pequeño son rectas y la razón de cambio se asume
constante en segmentos infinitamente pequeños, las
superficies curvas pueden considerarse planas en
regiones infinitamente pequeñas y un campo vectorial
puede asumirse constante en porciones infinitesimales
de la superficie.

18. Cálculo de Varias Variables 18
De hecho las ideas de flujo y circulación llevadas a lo
infinitamente pequeño, vía el pensamiento infinitesimal,
permiten la construcción de “nuevas derivadas” como la
divergencia y el rotacional de un campo y establecer sus
respectivos teoremas: de la divergencia de Gauss y el del
rotacional de Stokes; éstos, a su vez, permiten
poderosos modos de caracterizar los campos vectoriales
con sendas ecuaciones diferenciales parciales: como son
la ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial y la
ecuación del calor, por ejemplo.
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19. “it is an impossible situation that the
mathematician teaches a mathematics
that cannot be applied and the
physicist applies a mathematics that
has not been taught by the
mathematician”
Freudenthal (1973)
Mathematics as an
Educational Task

20. “So, a real schism was emerging between the theory
and practice of calculus, while the level of rigor in the
calculus itself was rising: those engaged with issues
of foundations had a system of rules and those who
applied calculus had another one. The situation has
persisted until today, causing unnecessary and
unfortunate confusion among students; on one side
they have learned from the books of calculus that
there are not magnitudes infinitely small, but at the
same time, those things are used in the mathematical
physics courses”
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