1. INVERSA DE MATRICES
Definición
Métodos
Aplicaciones
DEFINICIÓN
Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y
se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de
lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha,
luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices
cuadradas.
Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la
propiedad de que:
A·B = B·A = /
siendo / la matriz identidad.
Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario,
se dice que es singular.
La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:
Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto
decero.

2. MÉTODOS
El cálculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Primeramente se aborda
desde el punto de vista del método de Gauss y, después por determinantes y
adjuntos.
La teoría de matrices permite el manejo de gran cantidad de datos y es esencial,
no sólo para su uso en diferentes modelos matemáticos sino también para
diversos métodos estadísticos.
1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz
identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A
como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz
resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo,
sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
La matriz inversa de A es

3. 2.- Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por
Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma
de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila
diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas
iguales por los adjuntos de una de ellas).

4. APLICACIONES
El uso mas importante es para resolver ecuaciones lineales de muchas
variables en forma sistematica y compacta. (esto incluye problemas de
fisica de muchos cuerpos y cualquier aproximacion lineal de un problema
no lineal)
La matriz es un elemento matematico que permite escribir muchos
problemas en forma conveniente y compacta. Cualquier problema que lidie
con ecuaciones lineales es directamente traducible a un problema de
matrices.
La aplicación más simple es la de resolver sistemas de ecuaciones lineales
Las transformaciones lineales de entre espacios vectoriales tienen matrices
asociadas, los cambios de base tienen matrices asociadas.
La controlabilidad de un sistema sea eléctrico, mecánico y electro-mecánico
tiene una matriz asociada.
BIBLIOGRAFIA
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Matriz_Inversa.pdf
http://www.edutecne.utn.edu.ar/calculo-numerico/matriz_inversa.pdf
http://iescastelar.juntaextremadura.net/web/departamentos/matematicas/ma
tematicasccss2ba/matematicas2ccss/tmatrizinversa.htm
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r49853.PDF
http://www.uv.es/asepuma/VI/21.PDF
http://www.recursosmatematicos.com/aula/bac/2bac/2bac_ccss/fundacion_p
olar_matrices.pdf