Una matriz es un arreglo bidimensional de números con aplicaciones en álgebra lineal, incluyendo la representación de sistemas de ecuaciones y transformaciones lineales. Existen diversas clasificaciones de matrices, como filas, columnas, cuadradas y diagonales, cada una con propiedades específicas en operaciones como suma y multiplicación. Además, se describen métodos para calcular la inversa de matrices y el rango, así como el algoritmo de eliminación Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

2. CONCEPTO:
Una matriz es un arreglo bidimensional de
números dado que puede definirse tanto la
suma como el producto de matrices en mayor
generalidad se dice que son elementos de un
anillo . Una matriz se representa por medio
de una letra mayúscula ( A B) y sus
elementos con la misma letra en minúscula (a
b) con un doble subíndice donde el primero
indica la fila y el segundo la columna a la que
pertenece.

4. Las matrices se utilizan para múltiples
aplicaciones y sirves, en particular, para
representar los coeficientes de los
sistemas de ecuaciones lineales o para
representar transformaciones lineales
dada una base. En este ultimo caso las
matrices desempeñan el mismo papel
que los datos de un vector para las
aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y
descomponerse de varias formas.

5. CLASIFICACIÓN DE
MATRICES
MATRIZ FILA:
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
MATRIZ COLUMNA:
La matriz columna tiene una sola columna.

6. MATRIZ RECTANGULAR:
La matriz rectangular tiene distinto número de filas
que de columnas, siendo su dimensión mxn.
MATRIZ CUADRADA:
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas
que de columnas.
Los elementos de la forma a¡¡ constituyen la diagonal
principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con
i+j = n+1.

7. MATRIZ NULA:
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
En una matriz triangular superior los elementos
situados por debajo de la diagonal principal son
ceros.

8. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
En una matriz triangular inferior los elementos
situados por encima de la diagonal principal son
ceros.
MATRIZ DIAGONAL:
En una matriz diagonal todos los elementos que
no están situados en la diagonal principal son
nulos.

9. MATRIZ ESCALAR:
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la
que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD:
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la
que los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1.

10. MATRIZ REGULAR:
Una matriz regular es una matriz cuadrada que
tiene inversa.
MATRIZ SINGULAR:
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
MATRIZ IDEMPOTENTE:
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.

11. MATRIZ INVOLUTIVA:
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
MATRIZ SIMÉTRICA:
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que
verifica:
A = At.
MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA:
Una matriz anti-simétrica o hemisimétrica es una
matriz cuadrada que verifica:
A = −At.

12. PROPIEDADES DE LA SUMA
DE MATRICES
1. INTERNA
La suma de dos matrices de orden m x n es otra
matriz dimensión m x n.
2. ASOCIATIVA
A + (B + C) = (A + B) + C

13. 3. ELEMENTO NEUTRO
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la
matriz A.
4. ELEMENTO OPUESTO
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos
están cambiados de signo.
5. CONMUTATIVA
A + B = B + A

14. PRODUCTO DE UN NÚMERO
REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a ij) y un número real k
pertenece R, se define el producto de un número
real por una matriz: a la matriz de la misma
dimensión que A, en la que cada elemento está
multiplicado por k.
k · A = (k · a ij)

15. PROPIEDADES
1 a · (b · A) = (a · b) · A A ∈ Mmxn , a, b ∈ℝ
2 a · (A + B) = a · A + a · BA, B ∈ Mmxn , a ∈ ℝ
3 (a + b) · A = a · A + b · A A ∈ Mmxn , a, b ∈ℝ
4 1 · A = A A ∈ Mmxn

16. PRODUCTO DE MATRICES
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el
número de columnas de A coincide con el
número de filas de B.
Am x n x Bn x p = Cm x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene
multiplicando cada elemento de la fila i de la
matriz A por cada elemento de la columna j de la
matriz B y sumándolos.

18. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO DE MATRICES
1 ASOCIATIVA:
A · (B · C) = (A · B) · C
2 ELEMENTO NEUTRO:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
3 DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA:
A · (B + C) = A · B + A · C
4 NO ES CONMUTATIVA:
A · B ≠ B · A

19. ELIMINACION GAUSS-
JORDAN
Es un algoritmo de algebra Lineal para determinar
las soluciones de un sistema de ecuaciones
linares, además de encontrar matrices.
Es llamado así debido a: Carl Friedrich Gauss y
Wilhelm Jordán.

20. EL ALGORITMO CONSISTE EN:
1. Ir a la columna n° 0 de extrema a izquierda, si
tiene un cero intercambiarlo con otra fila que no
tenga.
2. Obtener ceros debajo de este elemento
delantero sumando múltiplos adecuados de la
fila superior a las filas dejado de el.
3. Repetir el proceso anterior con la Submatriz
restante, de tal manera que la diagonal principal
san 1 y el resto ceros.

21. IMPORTANTE:
1. Las filas se pueden cambiar entre si.
2. Solo se pueden sumar o restar ENTRE filas.
3. Solo se puede multiplicar o dividir EN la fila.

22. EJEMPLO:
1. Matriz aumentada.
2. La posición (1,1) debe tener el valor de 1; si no
lo tiene se opera para obtenerla. Este valor ‘’1’’ se
convierte en el PIBOTE.

23. NOTA:
Cuando la matriz aumentada tenga esta forma:
3. Modificar F2.

24. 4. F2:F2(-1)
5. F1:F2(-1)+F1
RESPUESTA:
X=-1
Y=3

25. MATRIZ INVERSA
Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos
(multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa
obtenemos la matriz identidad.
A · A−1 = A−1 · A = I
PROPIEDADES
1 (A · B)−1 = B−1 · A−1
2 (A−1)−1 = A
3 (k · A)−1 = k−1 · A−1
4 (At)−1 = (A−1)t

26. Cálculo por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la
matriz inversa de A, que denotaremos como A−1,
seguiremos los siguientes pasos:
1. Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la
mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

27. 2. Utilizando el método Gauss vamos a
transformar la mitad izquierda, A, en la matriz
identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz
que resulte en el lado derecho será la matriz
inversa: A−1.
*F2 = F2 − F1
*F3 = F3 + F2

28. *F2 = F2 − F3
*F1 = F1 + F2 LA MATRIZ INVERSA ES:
*F2 = (−1) F2

29. RANGO DE UNA MATRIZ
Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz
(filas o columnas) que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras
cuando se puede establecer una combinación lineal entre
ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras
cuando no se puede establecer una combinación lineal
entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

30. PODEMOS DESCARTAR UNA LÍNEA SI:
1 Todos sus coeficientes son ceros.
2 Hay dos líneas iguales.
3 Es proporcional a otra.
4 Una línea es combinación lineal de otras.

31. EJEMPLO:
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1