Dualidad armónica en la musica contemporanea. de J.S.L

juan sebastián lach lau
dualidad armónica
Monday, March 10, 2014
Dos aspectos normalmente se subsumen bajo el término armonía: uno, su lado proporcional, tiene que
ver con relaciones entre números enteros, concierne alturas fundamentales y no toma en cuenta timbre
y registro; el otro, al que llamaremos su aspecto tímbrico, involucra sensación y constitución acústica.
La interrelación o embrollo de estos dos aspectos es tal que ninguno es capaz de persistir sin el otro.
Es más bien la perspectiva creada al ponerlos en contexto en música lo que hace que uno de los
aspectos destaque. En esta medida, ambas facetas están activas en distintos grados en diferentes
músicas y los umbrales y contextos que producen sus mezclas o separaciones son componibles.

juan sebastián lach lau
dualidad armónica
‘La música, de hecho, no carece de ambigüedad […] porque es, a la
vez, el amor intelectual de un orden y una medida suprasensible, y un
placer sensible que se deriva de las vibraciones corporales. Es más, es a
la vez melodía horizontal que no cesa de desarrollar todas sus líneas en
extensión, y armonía vertical que constituye la unidad espiritual interior o
el vértice, sin que sepamos muy bien dónde acaba una y dónde
comienza la otra.’
Gilles Deleuze, El Pliegue. Leibniz y el Barroco, 1988
Dos aspectos normalmente se subsumen bajo el término armonía: uno, su lado proporcional, tiene que
ver con relaciones entre números enteros, concierne alturas fundamentales y no toma en cuenta timbre
y registro; el otro, al que llamaremos su aspecto tímbrico, involucra sensación y constitución acústica.
La interrelación o embrollo de estos dos aspectos es tal que ninguno es capaz de persistir sin el otro.
Es más bien la perspectiva creada al ponerlos en contexto en música lo que hace que uno de los
aspectos destaque. En esta medida, ambas facetas están activas en distintos grados en diferentes
músicas y los umbrales y contextos que producen sus mezclas o separaciones son componibles.

dualidad armónica

dualidad armónica
‘La música nos encanta, aunque su belleza sólo consiste en el concierto
de los números y en la cuenta de los latidos o vibraciones de los cuerpos
sonoros que se siguen a intervalos determinados, cuenta de la que no
nos apercibimos y que el alma no deja de realizar.’
Godfried W. Leibniz,
Principios de la Naturaleza y de la Gracias Fundados en la Razón, 1714

‘Si no queremos encarar la eventual escisión del arte de la música en un
arte de los sonidos con alturas y un arte separado de los sonidos sin
alturas, debemos refinar enormemente nuestra comprensión de las
relaciones de altura. Tal comprensión no solamente deberá ser teórica
(intelectual) sino también práctica (audible en composiciones musicales
reales). Las relaciones entre alturas componentes de sonidos complejos
incluyen muchas que nuestro sistema tradicional de alturas no es capaz
de abordar. Estamos, por lo tanto, acostumbrados a escuchar, más y
más, relaciones que demandan un vocabulario más extenso de intervalos
de altura que el que actualmente tenemos.’
Ben Johnston, Proporcionalidad y Relaciones Expandidas de Alturas Musicales
1966
dualidad armónica

dualidad armónica
Dos aspectos normalmente se subsumen bajo el término armonía: uno, su lado proporcional, tiene que ver con relaciones entre números
enteros, concierne alturas fundamentales y no toma en cuenta timbre y registro; el otro, al que llamaremos su aspecto tímbrico, involucra
sensación y constitución acústica. La interrelación o embrollo de estos dos aspectos es tal que ninguno es capaz de persistir sin el otro. Es
más bien la perspectiva creada al ponerlos en contexto en música lo que hace que uno de los aspectos destaque. En esta medida, ambas
facetas están activas en distintos grados en diferentes músicas y los umbrales y contextos que producen sus mezclas o separaciones son
componibles.

dualidad armónica
La hipótesis de la dualidad armónica consiste en postular que los
materiales armónicos en la música tienen dos aspectos
independientes pero entrelazados que operan simultáneamente: la
proporcionalidad y la altura-distancia. La primera se relaciona con
los ‘caracteres’ de los intervalos, mientras que la segunda concierne
aspectos como ‘agudo’, ‘grave’, ‘brillante’, ‘oscuro’ y por lo tanto es
considerada la faceta tímbrica.
Dos aspectos normalmente se subsumen bajo el término armonía: uno, su lado proporcional, tiene que ver con relaciones entre números
enteros, concierne alturas fundamentales y no toma en cuenta timbre y registro; el otro, al que llamaremos su aspecto tímbrico, involucra
sensación y constitución acústica. La interrelación o embrollo de estos dos aspectos es tal que ninguno es capaz de persistir sin el otro. Es
más bien la perspectiva creada al ponerlos en contexto en música lo que hace que uno de los aspectos destaque. En esta medida, ambas
facetas están activas en distintos grados en diferentes músicas y los umbrales y contextos que producen sus mezclas o separaciones son
componibles.

percepción de alturas
Hay dos maneras de concebir las cualidades de los intervalos:
• derivando de proporciones
(la tradición Pitagórica)
• derivando de distancias
(la tradición Aristoxénica)
Esta dicotomía tiene analogías con los principales modelos
psicoacústicos de percepción de alturas, es decir, aquellos basados en
el tiempo (conmensurabilidad de pulsos y análisis de periodicidad en
las formas de onda: autocorrelación) y análisis basados en posición
(análisis espectral por medio de resonadores calibrados y detección
de patrones).
Ambos relacionan armonía y timbre como dobles componentes de la
percepción de alturas.
Un sonido de s.. susurrado suena más agudo que un sh.. susurrado; sin embargo no es necesario normalmente reconocer el intervalo entre
estas bandas de ruido, ni siquiera notarlo.
Compositores que desean lograr música basada en alturas en la cual la escucha interválica es irrelevante (por ejemplo glissandos extendidos
o texturas puntillistas) pueden usar la escala subjetiva de alturas (barks) ya que la extensión de las alturas aparece mucho más pareja.
Desde la antigüedad hasta la fecha, han coexistido dos tipos de modelos teóricos para explicar la percepción de alturas:
- Uno que explica la sensación de altura haciendo una analogía del oído como un analizador espectral
- Otro que busca encontrar puntos de referencia en la forma de onda, por lo tanto basado en análisis temporal del estímulo

Se le llama ʻequivalencia de octavasʼ al fenómeno en el que se reducen las cualidades interválicas a lo que ocurre dentro de una octava,
forma parte del mecanismo de escucha interválica y es mucho más prominente que lo que vendría siendo la equivalencia de quintas o
terceras. Se encuentra presente en la práctica y teoría de muchas músicas distintas.

Estos dos componentes pueden ser pensados como las
dimensiones de distancia y color en la escucha de
alturas (altura y croma). Ambos mecanismos están
activos en la percepción y se complementan el uno al
otro. El croma provee una base para presentar patrones
acústicos (melodías) que no dependen de una fuente
sonora en particular. La altura provee una base para la
segregación de notas en flujos para separar las fuentes
sonoras.
El reconocimiento posicional está relacionado con la
fisiología de la cóclea, mientras que el reconocimiento
temporal acontece en centros neuronales que van
desde la médula hasta la corteza cerebral. Ambas se
traslapan en las regiones graves y medias del rango
audible, con la escucha posicional tomando
preponderancia en las regiones más agudas, donde se
carece de sentido armónico. Asimismo, la escucha
temporal baja hasta el rango de infra-alturas,
interviniendo también en nuestro sentido de
percepción rítmica.
Se le llama ʻequivalencia de octavasʼ al fenómeno en el que se reducen las cualidades interválicas a lo que ocurre dentro de una octava,
forma parte del mecanismo de escucha interválica y es mucho más prominente que lo que vendría siendo la equivalencia de quintas o
terceras. Se encuentra presente en la práctica y teoría de muchas músicas distintas.
“In the human brain, chroma change is specifically represented anterior to primary auditory cortex, whereas height change is specifically
represented posterior to primary auditory cortex. Tracking of acoustic information streams occurs in anterior auditory areas, whereas the
segregation of sound objects (a crucial aspect of auditory scene analysis) depends on posterior areas.” (Warren et. al, 2003)

‘Infratonos’
octavas 0 2
0.5 1
hertz
suave
altura pura
detección neuronal de posición
4 6 8 10 12
10 100
14
1,000 10,000
detección neuronal de periodicidad
patrón complejo
patrón simple
‘whoosh’ ‘ruido de motor’ pulsado
melódico amelódico
altura
+
hiss
hiss repetitivo
Frecuencia de repetición de formas de onda estocásticas (ruido congelado)
Información neuronal disponible para la percepción de iterancia con estímulos periódicos modelados con RFM (ruido congelado):
# 1) periodicidad local de patrones complejos que involucran sincronización de descargas en las fibras nerviosas a las características de
las formas de onda por interacción de armónicos no resueltos: de 0.5Hz a 2,500Hz)
# 2) periodicidad de patrones simples basados en la sincronización de descargas en fibras nerviosas al ángulo de fase de # armónicos
resueltos: de 20Hz a 4,500Hz aprox
# 3) posición neuronal, requiriendo resolución de la fundamentales y/o armónicos bajos: de 20Hz a 16,000Hz

los armonistas griegos
La ciencia de los armoniké griegos era compañera de la rítmica y la métrica cuya tarea era clasificar y describir los patrones regulares de la
forma y la estructura detrás de la diversidad de secuencias métricas, melódicas y rítmicas en la música. La armonía se dedicaba al estudio
de las variedades de escalas y afinaciones que podían ser reconocidas como musicales lo que implicaba encontrar representaciones para
intervalos y melodías, escalas y sus transformaciones y los principios fundamentales que yacen detrás de estas estructuras. Preguntas
concernientes a su enraizamiento en la cultura humana o en algo independiente de los humanos, o en las matemáticas, así como el estátus
de su aplicabilidad más allá de la esfera musical eran el tipo de asuntos que discutían.
Las dos doctrinas principales dentro de la ciencia de los armónicos eran la matemática y la empírica. Están fundamental e
irreconciliablemente opuestas en sus premisas, métodos y objetivos. El primer grupo es epitomizado por Pitágoras, su premisa es que hay
una fuerte conexión entre los intervalos de altura y números enteros, las explicaciones abarcando desde correlaciones directas hasta las
cosmológicas. Del lado de los armonistas empíricos la figura importante es Aristógenes, cuyo tratado Elementa Harmonica, es el mayor y
más completo tratado existente en armonía empírica. Estudiante de Aristóteles, su objetivo era crear una ciencia tan rigurosa y sistemática
como la de los armonistas matemáticos. La característica principal es el énfasis en la música tal y como se escucha, en el oído como máximo
árbitro de los materiales musicales (una fenomenología avant la lettre). Los intervalos se miden en un espacio continuo y lineal donde no se
asocian las propoedades aritméticas de las proporciones con las consonancias y disonancias, sino que éstas se dan por hecho. Las notas
existen como puntos a lo largo del continuo cada una contenida dentro de un rango de tolerancia.
Una diferencia fundamental entre las dos escuelas concierne la medición. Para los empíricos la unidad armónica primordial (el ʻarmonemaʼ)
es la diesis (división geométrica de la cuarta en 30 partes, con propiedades algebraicas lineales y aditivas), para los pitagóricos es la octava
(que se divide por proporciones aritméticas y armónicas en proporciones con propiedades multiplicativas). Hoy yo diría que los armonemas
proporcionales también involucran los número primos y las series de tintes que producen.
Proporciones epímoras, números pequeños.

Armonistas matemáticos: Pitágoras, Filolalo, Arquitas, Euclides,
Platón, Aristóteles, Ptolomeo, Iámbico, Porfirio, Nicómaco, Boecio,
Copérnico, Zarlino, Kepler, Galileo, Leibniz, Euler. Compositores
del siglo XX: Augusto Novaro, Joseph Yasser, Ervin Wilson, Harry
Partch, Ben Johnston.
Armonistas empíricos: muchos son anónimos, criticados y
abordados por Aristóxeno. En algunos sentidos se puede decir que
lo siguen Mersenne, Helmholtz e incluso, en el siglo XX Carrillo,
Schoenberg, Xenakis, Estrada.
Para los empíricos la unidad armónica primordial (el ‘armonema’)es
la diesis (división geométrica de la cuarta en 30 partes, con
propiedades algebraicas lineales y aditivas), para los pitagóricos es
la octava (que se divide por proporciones aritméticas y armónicas
con propiedades algebraicas multiplicativas).
La ciencia de los armoniké griegos era compañera de la rítmica y la métrica cuya tarea era clasificar y describir los patrones regulares de la
forma y la estructura detrás de la diversidad de secuencias métricas, melódicas y rítmicas en la música. La armonía se dedicaba al estudio
de las variedades de escalas y afinaciones que podían ser reconocidas como musicales lo que implicaba encontrar representaciones para
intervalos y melodías, escalas y sus transformaciones y los principios fundamentales que yacen detrás de estas estructuras. Preguntas
concernientes a su enraizamiento en la cultura humana o en algo independiente de los humanos, o en las matemáticas, así como el estátus
de su aplicabilidad más allá de la esfera musical eran el tipo de asuntos que discutían.
Las dos doctrinas principales dentro de la ciencia de los armónicos eran la matemática y la empírica. Están fundamental e
irreconciliablemente opuestas en sus premisas, métodos y objetivos. El primer grupo es epitomizado por Pitágoras, su premisa es que hay
una fuerte conexión entre los intervalos de altura y números enteros, las explicaciones abarcando desde correlaciones directas hasta las
cosmológicas. Del lado de los armonistas empíricos la figura importante es Aristógenes, cuyo tratado Elementa Harmonica, es el mayor y
más completo tratado existente en armonía empírica. Estudiante de Aristóteles, su objetivo era crear una ciencia tan rigurosa y sistemática
como la de los armonistas matemáticos. La característica principal es el énfasis en la música tal y como se escucha, en el oído como máximo
árbitro de los materiales musicales (una fenomenología avant la lettre). Los intervalos se miden en un espacio continuo y lineal donde no se
asocian las propoedades aritméticas de las proporciones con las consonancias y disonancias, sino que éstas se dan por hecho. Las notas
existen como puntos a lo largo del continuo cada una contenida dentro de un rango de tolerancia.
Una diferencia fundamental entre las dos escuelas concierne la medición. Para los empíricos la unidad armónica primordial (el ʻarmonemaʼ)
es la diesis (división geométrica de la cuarta en 30 partes, con propiedades algebraicas lineales y aditivas), para los pitagóricos es la octava
(que se divide por proporciones aritméticas y armónicas en proporciones con propiedades multiplicativas). Hoy yo diría que los armonemas
proporcionales también involucran los número primos y las series de tintes que producen.
Proporciones epímoras, números pequeños.

Filolalo identifica la estructura del cosmos con las proporciones de
las principales consonancias dentro de la octava, describiendo el
mundo como una armonía (harmozein: ‘encajar’) entre lo ilimitado
(continuo) y lo limitado (que determina límites a través de
estructuras discontinuas).

Arquitas de Tarento (s. 4 BC), descubre la media proporcional
armónica y lleva a cabo un análisis de las estructuras escalares de
la música de su época con un método que correlaciona números y
proporciones interválicas, el sonido tal como es escuchado y
practicado así como las primeras explicaciones físicas del sonido,
inagurando la psicofísica.

las medias pitagóricas

b es la media de a:b:c (a > b > c)

media geométrica: a/b = b/c

12/√72 = √72/6 (√72 = 8.48...12/√72 = un tritono temperado)

media aritmética: a - b = b - c

12 - 9 = 9 - 6; serie 6:9:12 = 2:3:4, una quinta y una cuarta

media armónica: (a - b)/(b - c) = a/c

(12 - 8)/(8 - 6) = 12/6; serie 6:8:12 = 3:4:6, cuarta y quinta

(12 - 8)/(8 - 6) = 12/6; serie 6:8:12 = 3:4:6, cuarta y quinta
La media aritmética aproxima a la geométrica por exceso, la armónica
por defecto. La serie 6:8:9:12 forma la base cosmólogica pitagórica (cf.
Timeo de Platón)

proporciones

proporciones
Logos: una definición.

proporciones
Una proporción o razón (logos) es el patrón de definición o la forma
de un intervalo. La palabra logos es sinónima con estas nociones así
como con ‘habla’, ‘discurso’, ‘razón’ y ‘sentido’, dependiendo del
contexto.

proporciones
contexto.
2:1, 3:2 y 4:3 son logoi, cada uno combinando números pares y nones.

proporciones
contexto.
Las únicas cosas que producen un sentido son las proporciones.

proporciones
contexto.
Cadmus, inventor del alfabeto fonético, estaba casado con Harmonia

proporciones
contexto.
Cadmus, inventor del alfabeto fonético, estaba casado con Harmonia
Quien tenga oídos para escuchar puede seguir a Filolalo y descubrir
que una lira no es únicamente un instrumento musical como los que
existen en cualquier cultura, sino también una cosa mágica que
conecta a las matemáticas con la esfera de los sentidos. Un logos que
prescinde de definiciones verbales.

proporciones
‘La base misma de la cultura griega presocrática estaba en la alianza
entre la música o teoría musical y las matemáticas. Las veinticuatro
letras del alfabeto para los sonidos del lenguaje de pronto se vuelven
signos numéricos, matemáticos. Alpha se convierte en uno, beta en
dos, gamma tres, y así sucesivamente hasta el 999. Un siglo después,
alrededor de 500 AC, de este sistema fonológico y matemático
inovador emergen las letras como elementos de partituras
musicales. De otra manera Esquilo no hubiera podido mandar sus
tragedias a Sicilia por barco sin tener que haber viajado él mismo
para entrenar a todos.’ Friedrich Kittler

proporciones
α = |ˈælfə|
α = 1
α = La

proporciones
α = |ˈælfə|
α = 1
α = La
escritura
tono número

proporciones
α = |ˈælfə|
α = 1
α = La
escritura
tono número
alfabetos
universales

Tetracorde pitagórico:
1/1 256/243 81/64 4/3 enarmónico
1/1 256/243 9/8 81/64 4/3 diatónico
El sistema de Arquitas:

Aristóxeno: geometrización del espacio musical
3 + 3 + 24 partes
1/4 + 1/4 + 2 tonos
50 + 50 + 400 cents
6 + 6 + 12 partes
1/2 + 1 + 1 tonos
100 + 200 + 200 cents

Los Armonistas Griegos
Zarlino: 1558
Senario: 1, 2, 3, 4, 5, 6

‘No hay diferencia entre componer música y pensar en las estrellas’
Karlheinz Stockhausen
pitagorismo

pitagorismo
Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:

pitagorismo
• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo
matemático y lo físico y las teorías de percepción

pitagorismo
• La relación micro-macro (cósmica) musical

pitagorismo
• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la
materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.

pitagorismo
• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas
con deducción y rigor lógico.

pitagorismo
• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava.

pitagorismo
• Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica

pitagorismo
• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)

pitagorismo
• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.

pitagorismo
• Melos: el aspecto horizontal de la armonía

pitagorismo
• Dynamis: el aspecto funcional de las notas en la armonía (vertical y horizontal)

pitagorismo
• Aistésis: las causas formales detrás de la percepción

pitagorismo
• Recuperar intervalos olvidados (7/6 - ekbolé, p. ej.) y generar nuevos

pitagorismo
• Recuperar intervalos olvidados (7/6 - ekbolé, p. ej.) y generar nuevos
• Perspectiva metafísica que ha sido ocluida por aproximaciones subjetivas o
físicas sin caer en la superstición numerológica

curvas de disonancia
‘Afinarse [‘sensibilizarse’] a los ruidos no significa detractarse de todos
sus movimientos y vibraciones irregulares en el tiempo y la intensidad, sino
de darle graduación y tono a las vibraciones más fuertes y
predominantes.’
Luigi Russolo, El Arte del Ruido, 1913.

‘Afinarse [‘sensibilizarse’] a los ruidos no significa detractarse de todos
sus movimientos y vibraciones irregulares en el tiempo y la intensidad, sino
de darle graduación y tono a las vibraciones más fuertes y
predominantes.’
Luigi Russolo, El Arte del Ruido, 1913.
Estas curvas derivan de las investigaciones de Hermann von
Helmhotz (1862) a partir de la ‘disonancia sensorial’: la aspereza
producida por la interacción entre los parciales de un espectro
sonoro. Es una concepción tímbrica de la armonía.

• Las curvas de disonancia indican cómo ciertas características
tímbricas del sonido se comportan al transponerse

• Proveen un perfil que expresa las transposiciones en las cuales un
sonido es máximamente consonante consigo mismo. Muestran el
comportamiento de un espectro, dentro de un intervalo interválico
determinado, de acuerdo con la aspereza o disonancia-sensorial.

• Proveen un perfil que expresa las transposiciones en las cuales un
sonido es máximamente consonante consigo mismo. Muestran el
comportamiento de un espectro, dentro de un intervalo interválico
determinado, de acuerdo con la aspereza o disonancia-sensorial.
• Su implementación toma como entrada un conjunto de parciales
(frecuencias y amplitudes) y un rango interválico sobre el cual
realizar el análisis. Su salida es un conjunto interválico de
proporciones de frecuencias que corresponden a los intervalos en
los cuales el perfil de disonancias alcanza un mínimo local. Estos
mínimos corresponden a intervalos para los cuales los parciales
originales son menos ásperos con respecto a los parciales
transpuestos.
d = Dissonance.make([100,200,300,400,500],[32, 16, 8, 4, 2], 0.49, 4.01, 0.01);

• Las curvas de disonancia relacionan tonos compuestos (‘ruidos’)
con proporciones de frecuencias. Los picos y valles de sus siluetas
ocurren en proporciones que frecuentemente yacen cerca de
proporciones armónicas conocidas. Estos intervalos coinciden
proporcionalmente desde el punto de vista del timbre.

• Las curvas de disonancia relacionan tonos compuestos (‘ruidos’)
con proporciones de frecuencias. Los picos y valles de sus siluetas
ocurren en proporciones que frecuentemente yacen cerca de
proporciones armónicas conocidas. Estos intervalos coinciden
proporcionalmente desde el punto de vista del timbre.
• Los conjuntos interválicos tienen el atributo de ‘cooperar’ con el
espectro de la fuente. Pueden ser descritos como ‘coherentes’,
‘compatibles’, ‘concordantes’, ‘mínimamente ásperos’ y otras
cualidades similares con respecto al espectro fuente.

amplitud
señal
tiempo

señal
espectro
intensidad
frecuencia
amplitud
tiempo

señal
espectro
intensidad
frecuencia
amplitud
tiempo
parciales
sones
barks

señal
espectro
intensidad
frecuencia
amplitud
tiempo
parciales
sones
barks
X
aquilatados
transpuestos

señal
espectro
intensidad
frecuencia
amplitud
tiempo
{ parciales
}
X
sones
aquilatados
barks
transpuestos Monday, March 10, 2014

curva de disonancia
aspereza
{ intervalo
}
transpuestos señal
espectro
intensidad
frecuencia
amplitud
tiempo
parciales
sones
barks
X
aquilatados

curva de disonancia
aspereza
intervalo

curva de disonancia
aspereza
intervalo
detección de mínimos locales
1, 1.2, 1.29, 1.35, 1.39, 1.51, 1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06

curva de disonancia
aspereza
intervalo
1/1 6/5 9/7 27/20 7/5 3/2 8/5 12/7 7/4 16/9 27/14 16/7 18/7 64/21
1, 1.2, 1.29, 1.35,1.39,1.51,1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06
1, 1.2, 1.29, 1.35, 1.39, 1.51, 1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06 racionalización

curva de disonancia
aspereza
intervalo
análisis en el espacio armónico
1/1 6/5 9/7 27/20 7/5 3/2 8/5 12/7 7/4 16/9 27/14 16/7 18/7 64/21
1, 1.2, 1.29, 1.35,1.39,1.51,1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06
1, 1.2, 1.29, 1.35, 1.39, 1.51, 1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06 racionalización

Dissonance( 32/63, 7/12, 11/18, 21/32, 7/9, 7/8, 1/1, 8/7, 21/16, 32/21, 128/81,
18/11, 12/7, 63/32, 9/4, 12/5, 5/2, 18/7, 11/4, 45/16, 45/16, 16/5, 32/9, 15/4, 63/16,
32/7, 36/7, 35/6, 22/3, 80/9, 10/1, 81/8, 35/3 )

Dissonance( 32/63, 7/12, 11/18, 21/32, 7/9, 7/8, 1/1, 8/7, 21/16, 32/21, 128/81,
18/11, 12/7, 63/32, 9/4, 12/5, 5/2, 18/7, 11/4, 45/16, 45/16, 16/5, 32/9, 15/4, 63/16,
32/7, 36/7, 35/6, 22/3, 80/9, 10/1, 81/8, 35/3 )
Harmonic Set[ 81/8, 15/4, 21/32, 32/7, 12/5, 63/16, 10/1, 9/4, 36/7, 1/1, 12/7, 16/5,
63/32, 18/7, 8/7, 5/2, 7/8, 21/16, 45/16 ]
Timbral Set[ 22/3, 32/63, 32/21, 7/12, 80/9, 11/18, 7/9, 35/6, 128/81, 11/4, 35/3,
18/11, 32/9 ]

Dissonance( 32/63, 7/12, 11/18, 21/32, 7/9, 7/8, 1/1, 8/7, 21/16, 32/21, 128/81,
18/11, 12/7, 63/32, 9/4, 12/5, 5/2, 18/7, 11/4, 45/16, 45/16, 16/5, 32/9, 15/4, 63/16,
32/7, 36/7, 35/6, 22/3, 80/9, 10/1, 81/8, 35/3 )
Harmonic Set[ 81/8, 15/4, 21/32, 32/7, 12/5, 63/16, 10/1, 9/4, 36/7, 1/1, 12/7, 16/5,
63/32, 18/7, 8/7, 5/2, 7/8, 21/16, 45/16 ]
Timbral Set[ 22/3, 32/63, 32/21, 7/12, 80/9, 11/18, 7/9, 35/6, 128/81, 11/4, 35/3,
18/11, 32/9 ]
HarmonicVector( [ 4, -2, 1 ], 80/9, [ -2, 1 ], 10/9, 182.4¢, 2dM)
HarmonicVector( [ -2, 0, 0, 0, 1 ], 11/4, [ 0, 0, 0, 1 ], 11/8, 551.32¢)
HarmonicVector( [ -4, 2, 1 ], 45/16, [ 2, 1 ], 45/32, 590.22¢, 2DM)
HarmonicVector( [ -4, 2, 0, 1 ], 63/16, [ 2, 0, 1 ], 63/32, 1172.74¢, 2DS)

DissonanceLib: librería de funciones relacionadas con
psicoacústica, curvas de disonancia, aritmética armónica y
espacio armónico para SuperCollider.

DissonanceLib

consonancia y armonicidad
Es importante distinguir entre los términos ‘consonancia’ (o ‘disonancia’) y
‘armonicidad’ (o ‘inarmonicidad’): la armonicidad (‘claridad interválica’)
surge de la simplicidad de las proporciones entre dos alturas en un
intervalo, según el cual el timbre es de importancia secundaria; por
ejemplo, la música de cuerdas puede ser reinstrumentada para alientos y/o
transpuesta sin perder su significado armónico. Por otro lado, consonancia
se refiere a la ‘suavidad’ (disonancia a la ‘aspereza’) de un sonido. En la
octava más grave del piano, una cuarta justa es comparable en disonancia a
un tritono, un tono a un semitono, debido al mayor tamaño del intervalo
de la banda crítica para las frecuencias graves. La armonicidad psicológica
se origina en la percepción cerebral de los disparos neuronales; la
consonancia fisiológica se origina en las distancias que hay en la membrana
basilar del oído.
“Mientras que ʻcontrapuntoʼ es un concepto y término de la composición musical, ʻarmoníaʼ es un término tomado de la filosofía que denota
menos de lo que interpreta relaciones específicamente musicales” (Dahlhaus)
Harmony is the study of that which is intended or at least understood as intervallic.
La armonía es el estudio de aquello que es propuesto o al menos entendido como interválico. (Barlow)

armonías tímbricas
Durante el siglo XX, los materiales compositivos han experimentado una
tendencia hacia lo tímbrico, lo fluido y lo continuo, tanto en las alturas
como en ritmos (flotántes y amétricos) y formas. Se enfatiza cada vez más
el aspecto tímbrico de la armonía. Los métodos para organizar relaciones
de altura, así como el uso de materiales, ritmos y formas juegan un rol en
la creación de este efecto general. atonalidad (se ignora la armonicidad),
se acopla timbre con altura y armonía (klangfarbenmelodien), privilegia la
continuidad de alturas (glissandos, sirenas, theremin, ondes martenot, etc),
subdivisiones iguales de la octava (Carrillo), la sonoridad en sí misma, el
colo por el color mismo (impresionismo/espectralismo), composición con
sonidos/ruidos, percusión, música electrónica, etc etc etc. El desarrollo
armónico se ‘pospone’ (Schoenberg, Tratado de Armonía), mientras que el
aspecto temporal/rítmico y la exploración tímbrica se desarrolla como
nunca antes.
El mismo proceso también ocurre en las formas musicales, cada vez más
plásticas y fluidas (forma abierta, momente, ergódicas; la tendencia de
utilizar todos los materiales de manera ‘democrática’)
En términos generales podemos atestiguar una tendencia en la mayor parte de la música contemporánea hacia lo continuo y fluido.
La altura es absorbida por el timbre y los timbres se orientan cada vez más hacia la complejidad sonora en lugar de notas
individuales. La acción sonora, gestualidad y el movimiento tienen sentido por encima de la especificidad de las alturas. A otras
escalas encontramos ritmos amétricos y ʻflotantesʼ, procesos dinámicos de la forma, complejidad y saturación, contrapuntos en
distintos aspectos sonoros que producen sensaciones de flujo y efectos de índole tímbrica. Muchas técnicas de alturas en música
atonal y electroacústica tratan con relaciones que tienen que ver con ʻagudoʼ y ʻgraveʼ: las series emplean alturas en términos de
distancias y en la electroacústica las propiedades armónicas de los materiales son resultado de tratar la altura como parte del ʻobjeto
sonoroʼ. Los métodos espectrales, al derivar sus alturas de series de armónicos, también favorecen el aspecto tímbrico. Incluso
mucha música propiamente armónica no va mucho más allá de los procedimientos armónicos del periodo modernista temprano.
Existen excepcionas a estas tendencias, por supuesto, y nuestra intención no es invalidar estos aspectos sino preservar la verdad
perteneciente a cada lado de la oposición. Evadir la proporcionalidad no es lo mismo que ignorarla y reconociendo estas tendencias
puede vislumbrarse la pertinencia de incorporar elementos discontinuos. Lo que se busca son los nodos o resonancias que surgen
en medio de las hebras de continuidad. Se trata de recobrar la importancia cualitativa de las alturas y, a escalas medias y globales,
acoplar ritmo con textura, estructura con proceso.

armonicidad
‘Establecer una conexión entre lo conocido, racional y familiar, por un lado, y lo
desconocido, irracional e impredecible, por el otro, requiere que sean sujetos a
una misma medida. La proporcionalidad es tal medida común, si tomamos en
cuenta los principios de variación y aproximación. No es incompatible con otros
modos de organización tales como el ordenamiento serial. Se aplica igualmente
a organizaciones formales, rítmicas y de alturas. Puede ser llevada a cabo de
oído, en el caso de las alturas; por percepción kinestética, en el caso del ritmo; y
por cadencia y coordinación de tiempo intuitiva, en el caso de las divisiones
formales. Sin embargo, puede ser manipulada y formulada intelectualmente. Aun
más importante, esta técnica reestablece una conexión que ha sido rota, una
conexión de orden estético con tradiciones antiguas y mundiales.’
Ben Johnston, Scalar Order as a Compositional Resource, 1963.

armonicidad

armonicidad
Kepler (1619): congruencia (sólidos geométricos, fenómenos
físicos, armonía de las esferas)

armonicidad
‘La regularidad [de la consonancia] consiste en el hecho de
que los pulsos emitidos por los dos tonos, en el mismo
intervalo de tiempo, serán numéricamente
conmensurables’ (Galileo Galilei, 1630’s)

armonicidad
‘La regularidad [de la consonancia] consiste en el hecho de
que los pulsos emitidos por los dos tonos, en el mismo
intervalo de tiempo, serán numéricamente
conmensurables’ (Galileo Galilei, 1630’s)
‘Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se
numerare animi.’ (Leibniz, 1712)
‘La música es un ejercicio aritmético oculto del espíritu,
inconsciente de la enumeración’

armonicidad
Leonhard Euler, Tentamen Novae Theoriae Musicae (1739)
(Intento de una Nueva Teoría Musical)

1
2:1
3:1
4:1
3:2
4:3
5:4
5:3
6:5:4
armonicidad
Leonhard Euler, Tentamen Novae Theoriae Musicae (1739)
(Intento de una Nueva Teoría Musical)

armonicidad
Gradus Suavitatis
Γ(a) = 1+
n
k=1 ek(pk − 1)
a =
n
k=1 pek
k

armonicidad
Clarence Barlow, 1980:
N =

∞r
pnr
=1 r
N, n,p ∈ N
p ∈ primo
Indigestibilidad:
ξ(N) = 2

∞r
=1

nr(pr−1)2
pr
Armonicidad:
H(P,Q) = sgn(ξ(Q)−ξ(P))
ξ(Q)+ξ(P)

espacio armónico
Normalmente el eje del número primo 2 (la octava) es ignorado de tal manera en que se puedan visualizar intervalos armónicamente más interesantes
(debido a que la equivalencia de octavas es un fenómeno tan intenso en nuestra escucha, lo que hace a las octavas ʻarmónicamente superfluasʼ).
Los espacios armónicos son espacios vectoriales enteros. Cada entero se representa por un vector (por ejemplo, 1, 0, -1 en espacio 3,5,7) y la
aritmética de vectores armónicos permite la clasificación de intervalos de acuerdo a la zona en la que pertenecen así como la derivación de unos
intervalos mediante otros.

espacio armónico
representación de
proporciones interválicas
Normalmente el eje del número primo 2 (la octava) es ignorado de tal manera en que se puedan visualizar intervalos armónicamente más interesantes
(debido a que la equivalencia de octavas es un fenómeno tan intenso en nuestra escucha, lo que hace a las octavas ʻarmónicamente superfluasʼ).
Los espacios armónicos son espacios vectoriales enteros. Cada entero se representa por un vector (por ejemplo, 1, 0, -1 en espacio 3,5,7) y la
aritmética de vectores armónicos permite la clasificación de intervalos de acuerdo a la zona en la que pertenecen así como la derivación de unos
intervalos mediante otros.

espacio armónico
representación de
proporciones
interválicas
Los ciclos de octavas, quintas, terceras, séptimas (2, 3, 5, 7...). Estos ciclos no se cierran: son como espirales. Cada nuevo brazo espiral
reptite los cromas a una coma de distancia (una coma para cada 2, 3, 5, 7...más una para cada combinación 2-3, 2-5, 2-7, 3-5, 3-7 y 5*7...).
Para un cierto conjunto de intervalos, a partir de 3 de comas (ortogonales) se pueden formar bloques de periodicidad (o ʻislas armónicasʼ).
Una isla armónica está rodeada de islas tímbricas que encasillan todos los intervalos que equivalen armónicamente dentro de esas comas.
Una isla armónica está rodeada de islas tímbricas. Los intervalos dentro de una isla pueden ser tratados armónicamente, mientras que
intervalos entre islas se pueden componer de manera tímbrica.

representación de
proporciones
interválicas
terceras
séptimas
quintas
espacio armónico

armonicidad
James Tenney (1984)
Distancia armónica:
Hd(fa, fb) ∝ log (a) + log (b) = k logx (ab)
a = fa/ gcd (fa, fb), b = fb/ gcd (fa, fb), and a ≥ b

armonicidad

espacio armónico

análisis multidimensional


campos armónicos

campos armónicos
consonancia
antitonalidad tonalidad
tempo/densidad
fisión: acorde
fusión: timbre
disonancia
fuerza
-1 1
el plano aspereza-armonicidad es dependiente de la velocidad, el grado de disparidad, el tamaño y la cantidad de los elementos (partículas) que lo componen. Se requiere mayor
investigación al respecto para llegar a controlar texturas que transicionen de armonía a timbre y viceversa. Está también el análisis de las proporciones para determinar cuáles deben ser
tratados de manera armónica y cuáles de manera tímbrica
Algunas armonías generarán ciertos timbres (armonía-timbre) de acuerdo a su modo de presentación así como ciertas colecciones tímbricas generarán armonías (timbre-armonía) si se
presentan con la velocidad y textura adecuada.

campos armónicos
consonancia
aspereza
tempo/densidad
fisión: acorde
fusión: timbre
disonancia
armonicidad
antitonalidad tonalidad
fuerza
-1 1
el plano aspereza-armonicidad es dependiente de la velocidad, el grado de disparidad, el tamaño y la cantidad de los elementos (partículas) que lo componen. Se requiere mayor
investigación al respecto para llegar a controlar texturas que transicionen de armonía a timbre y viceversa. Está también el análisis de las proporciones para determinar cuáles deben ser
tratados de manera armónica y cuáles de manera tímbrica
Algunas armonías generarán ciertos timbres (armonía-timbre) de acuerdo a su modo de presentación así como ciertas colecciones tímbricas generarán armonías (timbre-armonía) si se
presentan con la velocidad y textura adecuada.

relación entre textura y sistemas armónicos
CCD* Textura Afinación
1: melódica heterofonía, monodía genera, aristogénica
2: difónica organum, bourdon pitagórica
3: contrapuntística polifonía justa
4: funcional homofonía temperamentos
5: tímbrica holofonía
microtonalidad
extendida, grados de
(dis)sonancia
* Concepto de Consonancia y Disonancia
A partir de J. Tenney, AHOCD, irse rápido en esto...

ritmo = armonía
1) la escala de Hertz. 2) octavas 3) ahora psicológico (ʻtiempo espaciosoʼ William James).
4) las transiciones de fase perceptiales no coinciden con los registros de los sentidos. La percepción coclear y la propriocepción (la confusa y fragmentaria demarcación entre ser y el otro, adentro y afuera),
memoria.
5) Integración y diferenciación como procesos perceptuales que determinan los umbrales. “Toda consciencia es un asunto de umbrales. Sin embargo, si tomamos los umbrales como tantas unidades
mínimas de pequeñas unidades mínimas de consciencia, las pequeñas percepciones son en cada instancia más pequeñas que el mínimo virtual y, en este sentido, infinitamente pequeñas. Las que se
seleccionan en cada órden son aquellas ocupadas en relaciones diferenciales, y por lo tanto producen la cualidad emitida en un umbral de conciencia dado (por ejemplo, el color verde)” (Deleuze, El
pliegue). “Las relaciones diferenciales intervienen sólo para extraer una percepción clara a partir de percepciones diminutas y oscuras”. La integración colecta percepciones micro en macro, formando
individuos. La diferenciación separa y selecciona (por lo tanto constituyendo la atención) micro percepciones en multiplicidades.
6) una definición de la fenomenología de la música.
7) music material: contextual materials: form, melody.
8) tenneyʼs categories from the article ʻForm in XX century musicʼ (1969)
9) harmonic metaphor

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
ahora psicológico
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
memoria: (pro y) re-tensión propriocepción percepción
‘transiciones de fase’ coclear
perceptuales ahora psicológico
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
integración
diferenciación
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
material forma melodía/frase
musical
integración
diferenciación
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
tremolo aspereza disonancia
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
material forma melodía/frase
musical
integración
diferenciación
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
material forma melodía/frase articulación altura
musical
integración
diferenciación
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
musical
contexto contenido
integración
diferenciación
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
musical
contexto pieza secuencia clang elemento contenido
integración
diferenciación
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
musical
contexto pieza secuencia clang elemento contenido
integración
diferenciación
método material
memoria.

ritmo = armonía
-∞ -12 -10 -8 -2 0 8 10
octavas -6 -4
(0≃C0)
hertz 0 1/512 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 4096 16384
(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))
armonía tonalidad métrica acorde nota espectro
musical
integración
diferenciación
memoria.

¿qué es la armonía?
‘El mundo no es respetable, es mortal, atormentado, confuso, para siempre
engañado, pero está atravezado por belleza, con amor, con destellos de
valentía y de risa: y en éstos, el espíritu florece tímidamente y lucha hacia la
luz en medio de las espinas.’
George Santayana

¿qué es la armonía?
• Harmos significa juntar; armonioso denota enganchar, entretejer,
concerniendo más la relacionalidad de los elementos que a los
elementos mismos.
• Leibniz, armonía universal: ‘identidad compensada por diversidad’;
‘hay mayor armonía cuando hay mayor diversidad, que sin embargo es
reducida a identidad’
John Cage (1992): ‘la simple fraternidad [togetherness] del arte —
quiero decir, de los sonidos — produce armonía. La armonía significa que
hay varios sonidos ... siendo percibidos al mismo tiempo, hmm? Es casi
imposible no tener armonía, hmm?’. Armonía es ‘semejanza y diferencia
coexistiendo.’
• James Tenney: ‘La armonía es aquel aspecto de la percepción musical que
depende de las relaciones armónicas entre alturas -- es decir, relaciones
diferentes a ‘agudo’ o ‘grave’. Así definida, la armonía incluirá los aspectos
que ya incluye
• Marc Sabat: ‘Armonía es cómo se combinan las alturas’

Dualidad armónica en la musica contemporanea. de J.S.L

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