El documento describe un torneo anual organizado por un prestigioso club de tenis para elegir nuevos socios. Los aspirantes deben jugar tres partidos contra miembros existentes, ganando al menos dos para ser aceptados. El club ofrece dos opciones de oponentes: dos expertos y uno medio, o dos medios y un experto. Aunque parece más fácil la segunda opción, matemáticamente es más probable ganar el torneo, y ser aceptado, si se elige jugar contra dos expertos primero.

1. Torneo de aspirantes
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2. Torneo de aspirantes
Un club de tenis de la ciudad, el más prestigioso, organiza cada
año un torneo para elegir a los aspirantes que quieren ser
aceptados en el club.
Las reglas del torneo son que aspirante debe jugar tres partidos
contra tres miembros antiguos. Para ser aceptado como socio, el
aspirante debe ganar al menos dos partidos consecutivos.
El club nos ofrece dos opciones; podemos jugar contra dos
jugadores expertos (E) y contra uno medio (M), en el orden E M
E, o bien jugar contra dos medios y uno experto, en orden M E M.
Naturalmente, es más fácil ganar a un jugador medio que a un
jugador experto. Digamos que nuestra probabilidad de ganar
contra un medio es p y la de ganarle a un experto es q, con p > q.
¿Cuál de las dos opciones debemos elegir para tener mayor
probabilidad de ser admitidos como socios?
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3. La respuesta es chocante. En efecto, será más probable que
superemos el reto si elegimos jugar contra dos expertos y uno
medio, a pesar de que ello implica jugar dos veces contra
contrincantes más difíciles de vencer.
Comencemos comprobándolo aritméticamente y, cuando
estemos convencidos, entenderemos cómo se explica este
resultado que ahora puede parecernos extraño.
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4. Para empezar, debemos identificar los todos los resultados posibles
del torneo, según ganemos o perdamos cada partido. Designemos
con las letras G y P los partidos ganados y perdidos. Entonces, el
conjunto de todos los resultados posibles (el espacio muestral) es
el siguiente:
Ganamos
el reto
Perdemos
el reto
GGG
GGP
PGG
GPG
GPP
PGP
PPG
PPP
Sólo los tres primeros
resultados nos
permiten ingresar en el
club; son los únicos en
los que ganamos dos
partidos seguidos.
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5. Para simplificar los cálculos, podemos agrupar los resultados para
los que los dos primeros partidos tienen el mismo ganador, siempre
que pertenezcan al mismo grupo (el que nos da acceso al club o el
que nos deja fuera).
Ganamos
el reto
Perdemos
el reto
GGG
GGP
PGG
GPG
GPP
PGP
PPG
PPP
5

6. Ahora debemos calcular la probabilidad con que se da cada grupo
de resultados, en cada uno de las opciones que nos ofrecen.
EME
Ganamos
el reto
Perdemos
el reto
GGG
qp
GGP
P G G (1-q) p q
GPG
q (1-p)
GPP
P G P (1-q) p (1-q)
P P G (1-q) (1-p)
PPP
Total
1
MEM
pq
(1-p) q p
p (1-q)
(1-p) q (1-p)
(1-p)(1-q)
1
6

7. Pero las probabilidades que nos interesan son las de los resultados
que nos permiten ser aceptados en el club
EME
Ganamos
el reto
GGG
GGP
PGG
Total
y, como p > q,
MEM
qp
pq
(1-q) p q
(1-p) q p
p q (2-q)
p q (2-p)
p q (2-q)
> p q (2-p)
¡Es más probable ganar el torneo si
jugamos contra dos contrincantes
expertos!
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8. ¿Cómo es posible? La explicación es más sencilla de lo que parece
a primera vista.
En cualquiera de las dos opciones de torneo debemos ganar dos
partidos seguidos. Como el orden de los rivales es alterno en los
dos casos, en ambos debemos ganar a un jugador experto y a uno
medio. En este sentido las dos opciones parecen equivalentes.
Pero, además, para ganar dos partidos seguidos es indispensable
ganar el segundo. Cuando nos enfrentamos a dos rivales expertos,
el segundo es un jugador medio. Sin embargo, si elegimos la
segunda opción, ¡debemos ganar el segundo partido contra un
jugador experto!
En otras palabras, en la primera opción debemos ganar a un
experto, pero puede ser a cualquiera de los dos contra los que
jugamos, el primero o el tercer partido. Las probabilidades de éxito
en el segundo caso son menores porque estamos obligados a
ganar el único partido contra un experto al que nos enfrentamos.
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9. Referencias
Admittance to a tennis club, por A. Bogomolny, en http://www.cutthe-knot.org/Probability/TennisClub.shtml
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