Integral de Stieltjes

1. Integral de Stieltjes.
La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la
integral de Cauchy-Riemann.
b
b

a
f d ,
 f  x  d  x 
a
Es una integral de una función según otra función; en la
construcción de sumas para distintas particiones se emplea, en
lugar de la amplitud de cada subintervalo,  xi  xi 1  , la diferencia
de valor de la función según la cual se integra entre los extremos del
subintervalo   xi     xi 1  . Cuando esta función es la identidad,
la integral de Stieltjes es una integral de Riemann.


Algunos casos particulares:
Una integral de Stieltjes según una función escalonada es una
suma.
Una integral de Stieltjes según una función diferenciable se
puede transformar en una integral de Riemann
Una integral de Stieltjes según una función diferenciable a tramos
se puede calcular como una suma después de transformarla en cada
tramo en una integral de Riemann.
1

2. Integral de Stieltjes.
Sean
f
y  dos funciones reales definidas y acotadas en un intervalo  a, b.
Integral de Riemann: En el proceso de integración de Riemann definimos
una partición P del intervalo y una elección T  t1 , t2 ,..., tm de puntos en
cada subintervalo. La suma asociada a estos elementos es

m
  f , P, T    f  ti  xi  xi 1 .
i 1

amplitud (medida
de Lebesgue)
  
b
f x dx
La función es integrable Riemann en el intervalo y su integral es
a
si para todo   0 existe una partición suficientemente fina tal que para
cualquier otra partición P más fina que esta y para cualquier elección de T
b
se cumple que
  f , P, T    f  x  dx   .
a
Integral de Stieltjes: En el proceso de integración de Stieltjes construimos
m
las sumas
  f , P, T ,     f  ti    xi     xi 1  
b
i 1
La función f es integrable según  en  a, b  y la integral es  f  x  d  x 
a
si para todo   0 existe una partición suficientemente fina tal que para
cualquier otra partición
se cumple que
P más fina que esta y para cualquier elección de T
  f , P, T ,     f  x  d  x    .
b
a
2

3. Integral de Stieltjes.
La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de
Cauchy-Riemann.
Proposición: Sean f : D  R  R definida y acotada en  a, b  y
  x   x x   a, b . Existe la integral de Riemann-Stieltjes según 
en  a, b  si y sólo si existe la integral de Riemann. En ese caso,
ambas integrales coinciden.
Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes:
1) Linealidad: si f y g son integrables en  a, b  según  , entonces
también lo es f  g y
  f  g  x  d  x    f  x  d  x    g  x  d  x .
b
b
b
a
a
a
Además, para cualquier k real k  f es integrable según  y
  k  f  x  d  x   k  f  x  d  x .
b
b
a
a
2) Aditividad respecto al intervalo de integración: si a  c  b y f es
integrable según  en  a, b , entonces también lo es en  a, c  y  c, b 
y se cumple que b
c
b
 f  x  d  x    f  x  d  x    f  x  d  x .
a
a
c
3

4. Integral de Stieltjes.
La integral de Riemann-Stieltjes según una función escalonada  es la
suma de los valores de f en cada punto de discontinuidad de  por el
salto de  en el punto.
Proposición: Sea f : D  R  R definida y acotada en  a, b . Y
sea  una función que toma sólo un número finito de valores en  a, b  .
Sean x1 , x2 ,..., xn los puntos de discontinuidad de  .
El salto de  en cada punto de discontinuidad xk es
S xk  lim   x   lim   x  .
x  xk
x  xk
Entonces toda función f continua en las discontinuidades de  es
n
b
integrable según  y
 f  x  d  x    f  x  S
a

S x1
a
k 1
S x2
x1
x2
b
x
k
xk
.
Esta propiedad de debe a que las
diferencias   xi     xi 1  son nulas
cuando ambos puntos pertenecen al mismo
tramo constante de  , y coinciden con el
salto si los puntos pertenecen a dos tramos
distintos y consecutivos de  .
4

5. Integral de Stieltjes.
Ejemplo:

11
0
f  x  d  x ,
f  x   x2 ,

2
5

  x  
1
3

x  3,
3  x  5,
5  x  9,
9  x.
5
3
3
-4
2
2
1
0

11
0
3
5
9
11
x
x 2 d  x   3 f  3   4  f  5  2 f  9 
 3  32   4   52  2  92  27  100  162  89.
5

6. Integral de Stieltjes.
La integral de Riemann-Stieltjes según una función diferenciable  se
puede reducir al cálculo de una integral de Riemann.
Proposición: Sean  una función diferenciable y f una función
continua en  a, b  . Entonces f es integrable según  en  a, b  y se
verifica
b
b
 f  x  d  x    f  x  '  x  dx.
a
Ejemplo:

7
1

7
1
a
f  x  d  x ,
f  x   x2 ,
x 2 d  x    x 2 '  x  dx   x 2
7
1
7
1
  x   ln x.
1
dx  
1
x
7
7
x 
x dx  
2 1
2
72 12 48
  
 24.
2 2 2
6

7. Integral de Stieltjes.
Cuando  es una función diferenciable a tramos la integral de RiemannStieltjes se calcula como una suma de una integral de Riemann en cada
tramo más los valores correspondientes a los saltos.
Proposición: Sea f : D  R  R definida y acotada en  a, b . Y
sean  una función diferenciable a tramos en  a, b  y x1 , x2 ,..., xn
el conjunto de puntos dónde  no es diferenciable.
Entonces toda función f continua es integrable según  y
 f  x  d  x    f  x  '  x  dx  
b
x2
a

x1
a
x1
f  x   '  x  dx
b
n
xn
k 1
...   f  x   '  x  dx   f  xk  S xk .
S x1
a
S x2
x1
x2
b x
7

8. Integral de Stieltjes.
Ejemplo:

2 x
 2
x

f  x   x 2 ,   x   7

8
x

 f  x  d  x ,
5
0
9
-2
7
1  x  3,
3  x  4,
4  x.
S xk  lim   x   lim   x  .
x  xk
x  xk
S1  lim x 2  lim 2 x  1  2  1.


-5
x 1
2
x  1,
x 1
S3  lim 7  lim x2  7  9  2.


x 3
-1
x 3
8
S4  lim  lim 7  2  7  5.
x  4 x
x  4
x
0 1
3 4 5
5
1
3
4
5
2
2
2
2
2
2 8
x d  x    x d 2 x   x d x   x d 7   x d  12  1  32  2 
0
0
1
3
4
x
1
3
4
4
2
2
3
2
4  5   2 x dx   2 x dx   0  x dx   8dx  1  18  80.
1
0
1
3
3
8

9. Integral de Stieltjes.
Ejemplo:

 x x  2,
 2
x
2  x  4,
f  x   x2 ,   x   
2
x
 2 4  x.

 f  x  d  x ,
6

0
8
S xk  lim   x   lim   x  .
-6
x  xk
2
x  xk
x
 lim x  2  2  0.
x 2 2
x  2
x
x2
S4  lim  lim
 2  8  6.
x  4 2
x  4 2
S2  lim

2
2
0

6
0
4
x
6
6
x2
x 2
2
x d  x    x dx   x d   x d  4  6 
0
2
4
2
2
2
2
4
6 x
2
3
  x dx   x dx  
dx  96.
0
2
4 2
2
2
2
4
2
9