Integral paramétrica, derivación bajo el signo de la integral

1. Integrales Paramétricas.
Integrales paramétricas:
Algún elemento de la integral es un parámetro.
Ejemplos: Funciones Eulerianas, Transformada de Laplace,
L p  


0
e  px f x  dx,

función de distribución normal, Pz  

z

 x   2
2 2
e
 2
dx,
Pueden ser integrales propias o impropias.
Ejemplos:

2

xy
e dx,

a
f x, y dx
b
x dx,

y2
e x  y dx.
2y

f x, y'
f x, y 
a
2
2y
1
b
5
g2  y 
g1  y 
   f xdx
b
g y
f x 
x
f x, y dx
f x, y'
f x, y 
g1  y  g1  y' g 2  y  g 2  y'
g  y  g  y '
b
x
x
1

2. Sea F  y  
Integrales Paramétricas.

b
a
f x, y  dx,
con f : a, b c, d   R integrable en a, b c, d .
Proposición: (Continuidad) Si f es continua en a, b c, d  ,
entonces F es continua en c, d .
Dem: Por ser f continua en a, b c, d  compacto, es uniformemente
continua. Por tanto,   0   0 tal que si
d x, y , x' , y'   , entonces
Por otro lado,
d x, y , x' , y' 
f x, y   f x' , y' 
x  x'2   y  y'2   y  y'2
Por tanto, si d  y, y'   entonces

ba
 d x, y , x, y'  d  y, y'.
f x, y   f x, y' 

ba
.
b
b
b

a
Así,
a
a
ba
  f x, y   f x, y'dx   f x, y   f x, y'dx  
Esto es,

b
a
f x, y dx 
y F es continua.

b
a
.
 ,
f x, y'dx  F  y   F  y'   ,
2

3. Sea F  y  
Integrales Paramétricas.

b
a
f x, y  dx,
con f : a, b c, d   R integrable en a, b c, d .
Proposición: (Continuidad) Si f es continua en a, b c, d  ,
entonces F es continua en c, d .
Esto implica que
lim F  y  h  lim
h0
Ejemplo:
 f x, y  h dx   lim f x, y  h dx   f x, y dx.
b
b
a h0
h0 a

2
1
b
a
e xy dx.
2
1

e2 y  e y
xy
 e  
2
y  0,

xy
y
F  y   e dx   y
1
1
 2
 x1  1
y  0.


e2 y  e y
2e 2 y  e y
lim
 lim
 1  F 0.
y 0
y 0
y
1
3

4. Sea F  y  
Integrales Paramétricas.

b
a
f x, y  dx,
con f : a, b c, d   R integrable en a, b c, d .
Proposición: (Derivación bajo el signo de la integral) Si f es de
1
clase C en un abierto que contenga a a, b c, d , entonces F es
derivable en c, d  y
b f x, y 
F ' y 
dx y  c, d .
a
y

f x, y  h   f x, y 
dx.
a
h
Por el teorema del valor medio, para todo x fijo existe un   0,1 tal que
f x, y  h   f x, y  f x, y   h 

.
h
y
Así,
b f x, y   h 
F  y  h  F  y 
lim
 lim
dx
h0
h0 a
h
y
Dem:
F  y  h  F  y 

h

b

f
continua
y
f x, y   h 
 lim
dx 
h 0
a
y

b

b f
a
x, y  dx.
y
4

5. Sea F  y  
Integrales Paramétricas.

b
a
f x, y  dx,
con f : a, b c, d   R integrable en a, b c, d .
Proposición: (Derivación bajo el signo de la integral) Si f es de
1
clase C en un abierto que contenga a a, b c, d , entonces F es
derivable en c, d  y
b f x, y 
F ' y 
dx y  c, d .
a
y

Interpretación geométrica:
f x, y  h
f x, y 
F  y 
F  y  
Ejemplo:
a
b
x

b f
y
a
F y 
F 'y 
4
x, y  dx  y.
4
 x y
1
2
2 y
 x  y 
2
2 2
2
dx.
dx.
5

6. Sea F  y  

Integrales Paramétricas.
g2  y 
g1  y 
f x, y  dx,
donde g1  y , g 2  y   a, b y  c, d ,
con f : a, b c, d   R integrable en a, b c, d .
Proposición: (cuando los extremos de integración son
1
funciones) Si f es de clase C en un abierto que contenga a
a, b c, d  y g1 y g 2 son derivables en c, d  , entonces F es
derivable en c, d  y
g 2  y  f x, y 
F 'y 
dx  f g 2  y , y   g 2 '  y   f g1  y , y  g1 '  y .
g1  y 
y

Dem: F es composición de
G  y, u , v  

v
u
f x, y  dx,
u  g1  y , v  g 2  y .
Derivando la función compuesta y teniendo en cuenta que
G y, u, v 
  f u, y ,
u
tenemos el resultado buscado.
G y, u, v 
 f v, y ,
v
6

7. Integrales Paramétricas.
f x, y'
Interpretación
geométrica:
f x, y 
g1  y 
g1  y'
g2 y
x
g 2  y '
f x, y'
f x, y 
f g1  y , y 
f g 2  y , y 
g1  y 
g1  y'
g2 y
g '1  y  y
Ejemplo: F  y  

y 2 1
2y
g 2  y '
x
g '2  y  y
y2
xe dx.
F 'y 

y 2 1
2y
y2


2 xye dx  2 y y  1 e
2
y2
y2
 4 ye .
7