Euclides y Eudoxo introdujeron conceptos básicos de longitud, área y volumen. Arquímedes calculó el área del círculo. Cantor y Peano definieron la medida de conjuntos. Borel estableció una medida aditiva numerable. Los fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, con detalle a cualquier escala y dimensión fractal distinta de la topológica. Ejemplos son la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.

1. Introducción a la Teoría de la Medida
Euclides (en torno a 330 -275 a.C.).
Línea es una longitud sin anchura.
Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad.
Longitud, área y volumen en comparación con el
patrón unidad (segmento, cuadrado o cubo).
Eudoxo (en torno a 400 -347 a.C.).
El volumen de un
cono es un tercio del
volumen del cilindro
con la misma base y
altura.
1

2. Introducción a la Teoría de la Medida
Arquímedes (287- 212 a.C.).
El área de un círculo es igual la
de un triángulo rectángulo con
un cateto igual al radio y el otro
igual a la longitud de la
circunferencia.
3
10
10
   3 .
71
71
Georg Cantor (1845-1918).
Primera definición de medida   A de un conjunto
n
acotado A R .
No aditiva* salvo para conjuntos completamente
separados; un conjunto mide lo mismo que su
adherencia y, así, lo racionales y los irracionales
de 0,1 miden 1, igual que el intervalo.
(*) si A
B   ,   A    B     A B 
2

3. Introducción a la Teoría de la Medida
Giuseppe Peano (1858-1932).
Definió conjuntos medibles como aquellos cuya medida exterior
coincide con la interior.
Medida exterior  A : aproximaciones externas con polígonos.
Medida interior:  R   R A .
 
 


R
A
A
La medida de Peano es aditiva para uniones finitas.
Relación entre medida e integración:
una función acotada es integrable
Riemann en a, b si y sólo si el
conjunto E limitado por la gráfica de la
función y las rectas x  a, x  b e y  0
b
es medible, y
 f xdx  E .
a
y, f
E
a
f
b
x
3

4. Introducción a la Teoría de la Medida
Camille Jordan (1838-1922).
Simplificó la medida de Cantor empleando
cuadrados de igual lado en lugar de polígonos.
Émile Borel (1871-1956).
Estableció una medida numerable aditiva* definida
sobre conjuntos borelianos –los obtenidos mediante
uniones o diferencias de los abiertos de un espacio
topológico-.
(*) La medida de una unión numerable y disjunta de
conjuntos medibles es la suma de sus medidas.
La aditividad numerable es fundamental en la teoría de la integración
abstracta; el teorema fundamental sobre el paso al límite de la integral de
Lebesgue es consecuencia de la aditividad numerable.
Planteó una definición de los conjuntos de medida nula. Según esta, el
conjunto de los racionales de 0,1 mide 0.
4

5. Introducción a la Teoría de la Medida
Definición: Una medida en un espacio medible es una función no negativa
 : A  R  que satisface:

1)    0,
2) es aditiva. Es decir, si A B   , entonces   A B     A    B  .
Si esto es cierto también para uniones numerables, entonces es numerable
aditiva.
A
B
Como consecuencia de estas propiedades tenemos que:
 B    B  A   B  Ac ,
2) si A  B,  B     A   B A,
3) si A  B y   A  ,
 B  ,
4) si A  B,
  A   B,
5)   A  B     A  B     A   B ,
6)   A  B     A   B .
1)
B
A
A
B
5

6. Introducción a la Teoría de la Medida
Ejemplos de cálculo de medidas mediante recubrimientos con polígonos
(enlosado).
6

7. historiasdelaciencia.com
Introducción a la Teoría de la Medida
http://ciencias.fractales.googlepages.com
Los fractales son objetos cuya estructura básica,
fragmentada o irregular, se repite a diferentes
escalas. Se caracterizan porque:
-Tienen detalle a cualquier escala.
http://www.miqel.com
-Son autosemejantes (de forma exacta, aproximada o estadística).
-Se generan mediante algoritmos recursivos.
-Su dimensión topológica es estrictamente menor que su dimensión fractal.
Son fractales naturales las nubes, la línea de la costa, los sistemas
montañosos, el sistema circulatorio, etc.
7

8. Introducción a la Teoría de la Medida
La dimensión topológica de un objeto se calcula en base al orden de cierto
recubrimiento abierto del mismo.
2
2
2
2
2
3
3
3
4
De forma intuitiva, la dimensión topológica puede entenderse como el número mínimo
de bolas abiertas que deben intersecarse para recubrir el objeto -cuando el diámetro
de las mismas tiende a cero- menos uno. Así, la de un segmento es 1, la de un
cuadrado es 2 y la de un cubo es 3. La dimensión topológica de un punto es 0, y la del
conjunto vacío es -1.
La dimensión fractal de un objeto informa de en que medida el objeto llena el
espacio. Las más empleadas son la dimensión de Hausdorff-Besicovich o de
8
autosemejanza, la del recuento de cajas y la de Rényi.

9. Introducción a la Teoría de la Medida
La curva de Peano.
Dimensión topológica, 1. Dimensión de Hausdorff, 2
La curva de Hilbert.
Dimensión topológica, 1. Dimensión de Hausdorff, 2
Son “curvas que llenan un espacio”.
9

10. Introducción a la Teoría de la Medida
La curva de Koch.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,2619
El copo de Koch.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,2619
10

11. Introducción a la Teoría de la Medida
2
Ejemplo: Cálculo de dimensión fractal.
1
1
1
2
1
2
2
2d  2, d  1.
1
1
2
2
2d  4, d  2.
2d  8, d  3.
3d  4,
1
3
ln 4
d ln 3  ln 4, d 
.
ln 3
11

12. Introducción a la Teoría de la Medida
El conjunto de Cantor.
Polvo de Cantor 2D (1.2619).
Polvo de Cantor 3D (1,8928)
Dimensión topológica, 0.
Dimensión de Hausdorff-Besicovitch, 0,6309.
12

13. Introducción a la Teoría de la Medida
El triángulo de Sierpinski.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,585
13

14. Introducción a la Teoría de la Medida
La alfombra de Sierpinski.
La esponja de Menger.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 2,7268.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,9828.
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15. Introducción a la Teoría de la Medida
El conjunto de Mandelbrot.
http://webs.um.es
Dimensión topológica, 1. Dimensión de Hausdorff, 2.
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http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

16. Introducción a la Teoría de la Medida
El conjunto de Julia.
http://commons.wikimedia.org
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17. Introducción a la Teoría de la Medida
El árbol de Pitágoras.
wwww.wikimedia.org
wwww.wikimedia.org
www.sciface.com
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18. Introducción a la Teoría de la Medida
La curva del dragón.
La curva de Lévy.
wwww.wikimedia.org
jimloy.com
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http://mathforum.org