Presentación con conceptos básicos de combinación lineal, espacio generado e independencia lineal. También contiene algunos ejemplos de como usar las definiciones al momento de calcular dependencia y combinación lineal.

2. COMBINACI ´ON LINEAL, ESPACIO GENERADO E
INDEPENDENCIA LINEAL
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. CONTENIDO
1 COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO
Combinaci´on Lineal
Espacio Generado
2 INDEPENDENCIA LINEAL

4. En esta presentaci´on, se mencionan los conceptos de espacio generado, conjun-
to generador e independencia lineal, dando las definiciones b´asicas y algunos
ejemplos.

5. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO COMBINACI ´ON LINEAL
DEFINICI ´ON
Sean v1, v2, v3, · · · , vn vectores en un espacio vectorial V . Entonces
cualquier vector de la forma:
α1v1 + α2v2 + α3v3 + · · · + αnvn
donde α1, α2, α3, · · · , αn son escalares, recibe el nombre de una
combinaci´on lineal de v1, v2, v3, · · · , vn.

6. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO COMBINACI ´ON LINEAL
Se debe tener en cuenta que solo se debe combinar elementos para tener unos
nuevos elementos que pertenezcan al mismo espacio. As´ı, se pueden tener los
siguientes ejemplos:
EJEMPLO
En R3:


4
8
10

 = 2


−2
1
4

 + 1


8
6
2


As´ı, α1 = 2 y α2 = 1.

7. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO COMBINACI ´ON LINEAL
EJEMPLO
En M2×3:
−3 2 8
−1 9 3
= −3
1 0 −4
−1 −1 −5
+ 2
0 1 −2
−2 3 −6
As´ı, α1 = −3 y α2 = 2.
En Pn(x), todo polinomio se puede escribir como una combinaci´on
lineal de los monomios 1, x, x2, x3, · · · , xn.

8. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
DEFINICI ´ON
Se dice que los vectores v1, v2, v3, · · · , vn de un espacio vectorial V genera a
V si todo vector en V se puede escribir como una combinaci´on lineal de los
mismos. Es decir, para todo v ∈ V , existen escalares α1, α2, α3, · · · , αn tales
que:
v = α1v1 + α2v2 + α3v3 + · · · + αnvn

9. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
Algunos conjuntos generadores son:
Los vectores de la matriz identidad Im.
El conjunto K dado por
K =
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
genera a M2×2.

10. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
PREGUNTA
¿Alg´un polinomio de grado finito genera a P?

11. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
DEFINICI ´ON
Sean v1, v2, v3, · · · , vk, k vectores de un espacio vectorial V . El espacio
generado por {v1, v2, · · · , vk}, es el conjunto de combinaciones lineales v1,
v2, · · · , vk. Es decir:
gen{v1, v2, · · · , vk} = {v : v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn}
donde α1, α2, · · · , αk son escalares arbitrarios.

12. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
COROLARIO
El espacio generado por vectores, es un espacio vectorial.
COROLARIO
El espacio generado por dos vectores diferentes de 0 en R3 que no son
paralelos es un plano que pasa por el origen.

13. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
EJEMPLO
Sean v1 = (2, −1, 4) y v2 = (4, 1, 6). Entonces:
H = gen{v1, v2} = {v : v = α1(2, −1, 4) + α2(4, 1, 6)}
Si v = (x, y, z) ∈ H, entonces:
x = 2α1 + 4α2,
y = −1α1 + 1α2,
z = 4α1 + 6α2.

14. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
EJEMPLO
Si el vector (x, y, z) es fijo, entonces, se puede resolver un sistema de tres
ecuaciones con dos inc´ognitas. Al resolver se tiene:


−1 1 | y
2 4 | x
4 6 | z

 →


1 0 | x
6 − 2y
3
0 1 | x
6 + y
3
0 0 | −5x
3 + 2y
3 + z


Se sabe que el sistema tiene una soluci´on ´unicamente si −5x
3 + 2y
3 + z = 0.
As´ı:
5x − 2y − 3z = 0

15. COMBINACI ´ON LINEAL Y ESPACIO GENERADO ESPACIO GENERADO
EJEMPLO
Dados los siguientes vectores en P2: v1 = 2t2 + t + 2, v2 = t2 − 2t,
v3 = 5t2 − 5t + 2, v4 = −t2 − 3t − 2. Determinar si el vector
u = t2 + t + 2 ∈ gen{v1, v2, v3, v4}. Considerar
α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4 = u
y resolver el sistema de ecuaciones.
OBSERVACI ´ON
Para concluir espacios generados, se debe analizar la consistencia o
inconsistencia del sistema de ecuaciones lineales que se plantea.

16. LINEALIDAD
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos pue-
de ser escrito con una combinaci´on lineal de los restantes. La dependencia e
independencia lineal es ´util para encontrar soluciones generales a ecuaciones
diferenciales que tienen miles de aplicaciones: Ingenier´ıa, f´ısica, qu´ımica, etc.

17. LINEALIDAD
DEFINICI ´ON
Sean v1, v2, · · · , vn, n vectores en un espacio vectorial V . Entonces, se dice
que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares
c1, c2, · · · , cn, no todos cero tales que:
c1v1 + c2v2 + c3v3 + · · · + cnvn = 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente
independientes.

18. LINEALIDAD
DETERMINACI ´ON DE DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA LINEAL
El procedimiento para determinar so los vectores v1, v2, · · · , vn son
linealmente dependientes o linealmente independiente es:
1 Se plantea la ecuaci´on de la definici´on, para llegar a un sistema
homog´eneo.
2 Si el sistema homog´eneo posee s´olo la soluci´on trivial, entonces los
vectores dados son linealmente independientes; si tiene una soluci´on no
trivial, entonces los vectores son linealmente dependientes.

19. LINEALIDAD
EJEMPLO
EJEMPLO
Los vectores u1 =




4
0
−2
7



 y u2 =




−8
0
4
−14



 son linealmente dependientes, ya
que u2 = 2u1.

20. LINEALIDAD
EJEMPLO
EJEMPLO
Los vectores u1 =


1
0
1

 y u2 =


0
1
1

 y u3 =


1
1
0

son linealmente
independientes. Al hacer las operaciones se tiene:
αu1 + βu2 + γu3 = 0
α


1
0
1

 + β


0
1
1

 + γ


1
1
0

 =


0
0
0





α + γ = 0
β + γ = 0
α + β = 0
Se observa que α = β = γ = 0. Son linealmente independientes.

21. LINEALIDAD
EJEMPLO
EJEMPLO
Determinar si los polinomios x − 2x2, x2 − 4x y −7x + 8x2 son linealmente
independientes.
En este caso, se aplica la ecuaci´on de linealidad quedando
α(x − 2x2) + β(x2 − 4x) + γ(−7x + 8x2) = 0. La ecuaci´on se debe cumplir
para todo x s´ı y s´olo s´ı
αx − 2αx2
+ βx2
+ 4βx − 7γx + 8γx2
= 0
x2
(−2α + β + 8γ) + x(α − 4β − 7γ) = 0

22. LINEALIDAD
EJEMPLO
EJEMPLO
El sistema a resolver es:
−2α + β + 8γ = 0
α − 4β − 7γ = 0
Al utilizar el proceso de eliminaci´on de Gauss-Jordan se tiene:
1 −4 −7 | 0
−2 1 8 | 0
→
1 0 −25/7 | 0
0 1 6/7 | 0
As´ı, el sistema a resolver es:
x = 25
7 z
y = −6
7z

23. LINEALIDAD
EJEMPLO
EJEMPLO
El sistema resultante tiene infinitas soluciones (muchas diferentes a cero). As´ı
se concluye que los polinomios son linealmente dependientes.
por ejemplo, si z = 1, entonces x = 25
7 y y = −6
7 y cumple con la ecuaci´on.

24. LINEALIDAD
COMENTARIO FINAL
NOTA
Tenga claro que los vectores son linealmente independientes si la ´unica
soluci´on a la ecuaci´on de linealidad se cumple si αi = 0 ∀i, 1 < i < n. Si hay
un solo valor de αi diferente de cero, entonces de forma autom´atica los
vectores son linealmente dependientes.