Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.

2. ELIMINACI ´ON DE GAUSS-JORDAN
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. En esta presentaci´on, se muestra en qu´e consiste el proceso de eliminaci´on de
Gauss-Jordan y para qu´e sirve y tambi´en se hace un ejemplo de c´omo usarlo.

4. GAUSS-JORDAN
¿PARA QU ´E SE UTILIZA?
Para el estudiante, no es dificil solucionar un sistema de ecuaciones lineales
de 2 ecuaciones con 2 inc´ognitas (2 × 2) utilizando los m´etodos tradicionales:
Sustituci´on.
Igualaci´on.
Eliminaci´on.
Regla de Cramer.
Soluci´on gr´afica.

5. GAUSS-JORDAN
¿PARA QU ´E SE UTILIZA?
¿Qu´e tan dificil es resolver un sistema de tama˜no (3 × 3)?
A pesar de existir un m´etodo para hacerlo (convertir el sistema 3 × 3 en un
sistema 2 × 2), muchas veces este paso resulta bastante complicado.
PREGUNTA
¿C´omo resolver un sistema de ecuaciones lineales de un tama˜no mayor?

6. GAUSS-JORDAN
ELIMINACI ´ON DE GAUSS-JORDAN
El m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan muestra una forma un poco m´as
sencilla de resolver estos sistemas de mayor tama˜no incluyendo los sistemas
2 × 2 y 3 × 3.

7. GAUSS-JORDAN
ELIMINACI ´ON DE GAUSS-JORDAN
PROCESO DE ELIMINACI ´ON DE GAUSS-JORDAN
Consiste en llevar un sistema de ecuaciones lineales a una representaci´on
matricial de la forma Ax = b y luego llevar A a una matriz identidad,
mostrando las soluciones del sistema.







a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
...
...
...
...
...
an1 an2 an3 · · · ann







n×n
A







x1
x2
x3
...
xn







n×1
x
=







b1
b2
b3
...
bn







n×1
b
Donde cada uno de los elementos de A en rojo reciben el nombre de PIVOTES
de A y la diagonal en rojo es la diagonal principal de A.

8. GAUSS-JORDAN
ELIMINACI ´ON DE GAUSS-JORDAN
PROCEDIMIENTO
Las operaciones que se hacen en el proceso de eliminaci´on de Gauss-Jordan
es sobre las filas y de arriba hacia abajo. El proceso es el siguiente:
1 Multiplicar una fila (por un entero o una fracci´on) diferente de cero.
2 Sumar un m´ultiplo de una fila a otra fila.
3 Reescribir la nueva matriz y repetir el procedimiento.

9. GAUSS-JORDAN
EJEMPLO
EJEMPLO
Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por:



−x + y + 2z = 1
2x + 3y + z = −2
5x + 4y + 2z = 4
.
Lo primero que se hace es expresar el sistema de ecuaciones en la foma
Ax = b. Para este caso, se tiene:


−1 1 2
2 3 1
5 4 2


A


x
y
z


x
=


1
−2
4


b

10. GAUSS-JORDAN
EJEMPLO
EJEMPLO
Luego, se escribe el sistema Ax = b en la forma que se requiere para hacer la
reducci´on de Gauss-Jordan


−1 1 2 1
2 3 1 −2
5 4 2 4


El proceso consiste de ir fila por fila de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo volviendo 1 los pivotes de A (en este caso lo que est´an con color rojo).
De esta forma se tiene.

11. GAUSS-JORDAN
EJEMPLO
EJEMPLO
−1 1 2 1
2 3 1 −2
5 4 2 4
→F1:−F1 1 −1 −2 −1
2 3 1 −2
5 4 2 4
→F2:−2F1+F2
1 −1 −2 −1
0 5 5 0
5 4 2 4
→F3:−5F1+F3 1 −1 −2 −1
0 5 5 0
5 9 12 9
→F2:1
5
F2
1 −1 −2 −1
0 1 1 0
5 9 12 9
→F1:F2+F1
F3:−9F2+F3
1 0 −1 −1
0 1 1 0
0 0 3 9
→F3:1
3
F3
1 0 −1 −1
0 1 1 0
0 0 1 3
→F1:F3+F1
F2:−F3+F2
1 0 0 2
0 1 0 −3
0 0 1 3
Donde la matriz en rojo es la soluci´on al sistema utilizando eliminaci´on de
Gauss-Jordan

12. GAUSS-JORDAN
EJEMPLO
EJEMPLO
Se tiene entonces que el resultado es x = 2, y = −3 y z = 3. Si se quisiera
escribir la soluci´on como un sistema de ecuaciones, entonces:


1 0 0 2
0 1 0 −3
0 0 1 3





1x + 0y + 0z = 2
0x + 1y + 0z = −3
0x + 0y + 1z = 3



x = 2
y = −3
z = 3
Que corresponden a la soluci´on del sistema.

13. GAUSS-JORDAN
CUIDADO!
PARA TENER EN CUENTA
1 Los sistemas de ecuaciones lineales tienen tres tipos de soluciones:
Soluci´on ´unica. Una ´unica soluci´on para cada una de las variables.
Infinitas soluciones. M´as de un valor para cada una de las variables.
No tiene soluci´on. No existe una soluci´on real para el sistema.
2 Existe otro m´etodo muy similar que recibe el nombre de eliminaci´on de
Gauss, que consiste en llevar la matriz A a una matriz triangular superior,
luego escribir las soluciones mediante un sistema de ecuaciones y
encontrar f´acilmente el valor de cada una de las variables de abajo hacia
arriba.
3 Es importante llevar anotadas desde un principio las cuentas de este
proceso paso a paso con el fin de evitar errores (es bastante sencillo
equivocarse).
4 El ´exito de este proceso depende de la pr´actica que tenga el estudiante
para hacer este tipo de ejercicios.

14. GAUSS-JORDAN
CUIDADO!
PARA TENER EN CUENTA
El proceso de eliminaci´on de Gauss-Jordan es una base fundamental para la
mayor´ıa de las aplicaciones existentes en el curso de ´algebra lineal. Algunas
de ellas son:
Soluci´on de problemas de aplicaci´on de sistemas lineales.
Encontrar la ecuaci´on de la recta existente en la intersecci´on de dos
planos.
C´alculo de espacio fila, espacio columna y espacios nulos.
C´alculo de vectores propios (soluci´on del sistema homog´eneo Ax = 0).

15. UN PROBLEMA DE APLICACI ´ON
PROBLEMA DE APLICACI ´ON
Una forma ´util de resolver un problema que tenga un sistema de ecuaciones
lineales, es por medio de la eliminaci´on de Gauss-Jordan ya que permite hacer
las operaciones con mayor facilidad. Para resolver un problema se hacen los
siguientes pasos:
1 Realizar una lectura detenida del mismo.
2 Realizar el planteamiento del problema una vez entendido.
3 Identificar la inc´ognita y los datos que aporta el problema.
4 Traducir el problema a expresiones algebraicas.
5 En este tipo de problemas con m´as de una inc´ognita se debe encontrar
tantas ecuaciones como inc´ognitas se presenten. Es decir, si hay dos
inc´ognitas se debe encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres
ecuaciones y as´ı sucesivamente.
6 Resolver el sistema de ecuaciones.
7 Interpretar la soluci´on.

16. UN PROBLEMA DE APLICACI ´ON
PROBLEMA DE APLICACI ´ON
EJEMPLO
Un hotel adquiri´o un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y
edredones, gastando un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de
16 euros, el de una manta es de 50 euros y el de un edred´on es de 80 euros.
Adem´as, el n´umero de almohadas compradas es igual al n´umero de mantas
m´as el n´umero de edredones. ¿Cu´antas almohadas, mantas y edredones ha
comprado el hotel?
Se tienen las siguientes variables:
x: N´umero de almohadas.
y: N´umero de mantas.
z: Cantidad de edredones.

17. UN PROBLEMA DE APLICACI ´ON
PROBLEMA DE APLICACI ´ON
EJEMPLO
Tambi´en se sabe el precio por unidad de cada uno de los objetos:
Almohadas: 16 euros cada una.
Mantas: 50 euros cada una.
Edredones: 80 euros cada una.
Ahora, se empieza a escribir cada una de las ecuaciones. En este caso, se tiene
que el hotel compr´o un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y
edredones; es decir x + y + z = 200. Por otro lado, se dice que el hotel gast´o
un total de 7500 euros; es decir 16x + 50y + 80z = 7500. Finalmente, el
problema indica que el n´umero de almohadas compradas es igual al n´umero
de mantas m´as el n´umero de edredones; esto es x = y + z que es lo mismo
que x − y − z = 0.

18. UN PROBLEMA DE APLICACI ´ON
PROBLEMA DE APLICACI ´ON
EJEMPLO
As´ı, el sistema a resolver est´a dado por:



x + y + z = 200
16x + 50y + 80z = 7500
x − y − z = 0
Escribiendo el sistema de la forma Ax = b se tiene:
1 1 1
16 50 80
1 −1 −1
x
y
z
=
200
7500
0
Al escribirlo como una matriz aumentada, este queda:


1 1 1 | 200
16 50 80 | 7500
1 −1 −1 | 0



19. UN PROBLEMA DE APLICACI ´ON
PROBLEMA DE APLICACI ´ON
EJEMPLO
Resolviendo el sistema, se tiene:
1 1 1 | 200
16 50 80 | 7500
1 −1 −1 | 0
→
1 1 1 | 200
0 34 64 | 4300
0 −2 −2 | −200
1 1 1 | 200
0 1 32/17 | 2150/17
0 −2 −2 | −200
→
1 0 −15/17 | 1250/17
0 1 32/17 | 2150/17
0 0 30/17 | 900/17
1 0 −15/17 | 1250/17
0 1 32/17 | 2150/17
0 0 1 | 30
→
1 0 0 | 100
0 1 0 | 70
0 0 1 | 30
Luego, se concluye que el hotel compr´o un total de 100 almohada, 70 mantas
y 30 edredones.

20. UN PROBLEMA DE APLICACI ´ON
NOTA FINAL
NOTA
Es importante tener bastante claridad en el proceso de eliminaci´on de
Gauss-Jordan y una buena interpretaci´on de las variables de cada uno de los
problemas para poder llegar a la soluci´on deseada.