resistencia de materiales

DPTO.FISICAAPLICADAII-EUAT
Cap´ıtulo 4
Estática del sólido r´ıgido
4.1. Introducción
La estática del sólido r´ıgido es un tema central dentro del programa de la
asignatura de Fundamentos F´ısicos de la Arquitectura Técnica. Empezaremos
recordando qué conceptos de los que vamos a manejar han sido introducidos
en cap´ıtulos anteriores.
En el cap´ıtulo 2 admit´ıamos que las fuerzas se comportan como vectores.
Enunciábamos las leyes de Newton y las condiciones de equilibrio de un punto
material libre. Introduc´ıamos el concepto de ligadura y el principio de liberación,
que nos facilitaba el estudio del equilibrio de sistemas de puntos materiales
sometidos a ligaduras. También all´ı aparec´ıan por vez primera los conceptos de
configuración y grados de libertad de un sistema mecánico.
En el cap´ıtulo 3 defin´ıamos sólido r´ıgido como es un sistema de puntos
materiales en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellos no cambia ante
la acción de un sistema de fuerzas. Ve´ıamos que las fuerzas aplicadas a sólidos
r´ıgidos se comportan como vectores deslizantes (principio de transmisibilidad).
Mostrábamos que cualquier sistema de fuerzas aplicadas sobre un sólido r´ıgido
siempre se puede reducir a una fuerza y un par.
4.2. Equilibrio del sólido r´ıgido libre
4.2.1. Sólido r´ıgido libre
Un sólido r´ıgido libre es aquél que no está sometido a ligaduras externas, sólido r´ıgido libre
es decir, v´ınculos que lo liguen a otros cuerpos. Debe notarse que entre las
part´ıculas del sólido r´ıgido s´ı existen ligaduras (internas).
101

102 Estática del sólido r´ıgido
FIGURA 4.1: Sólido r´ıgido inicial-
mente en reposo respecto a un sis-
tema de referencia inercial y sobre
el que actúa un conjunto de n fuer-
zas exteriores F1, F2, . . . , Fn (izda.).
Algunas de las fuerzas que actúan
sobre la part´ıcula i del sólido r´ıgido
(dcha.).
F1
Fn
z
yO
x
Fi
fij
z
yO
x
j
i
F3
F2
4.2.2. Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio
Iniciaremos el estudio de la estática del sólido r´ıgido discutiendo las condi-
ciones que deben satisfacerse para garantizar el equilibrio del sólido r´ıgido libre
en el espacio. En el cap´ıtulo 2 dec´ıamos que un punto material se encuentra
en equilibrio si su posición respecto a un sistema de referencia inercial elegido
permanece invariable a lo largo del tiempo. Para que as´ı fuese, mostramos que
es necesario y suficiente con que:
El punto material esté inicialmente en reposo respecto del sistema de
referencia inercial elegido.
La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el punto material sea
nula.
Basándonos en este hecho, introduciremos a continuación las condiciones que
se requieren para mantener en equilibrio un sólido r´ıgido.
Condiciones necesarias de equilibrio
Supongamos un sólido r´ıgido que está inicialmente en reposo respecto a un
sistema de referencia inercial y sobre el que actúa un conjunto de n fuerzas exte-
riores F1, F2, . . . , Fn (fig. 4.1 izda.). Consideremos las fuerzas que actúan sobre
una cualquiera de las N part´ıculas que forman ese sólido r´ıgido, la part´ıcula i.
Sobre ésta actúan dos tipos de fuerzas (fig. 4.1 dcha.):
Las fuerzas externas, que son aquéllas debidas a la presencia de campos
externos (gravitatorio, eléctrico, magnético) o al contacto con cuerpos
adyacentes o con otras part´ıculas que no forman parte del sólido r´ıgido.
Llamaremos Fi a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre
la part´ıcula i.
Las fuerzas internas, que son aquéllas que ejercen sobre una part´ıcula
del sólido r´ıgido las restantes part´ıculas que lo forman. En el caso de
un sólido r´ıgido las fuerzas internas son las que mantienen unidas y a
distancia invariable las part´ıculas del sólido r´ıgido. Denotaremos por fij

4.2 Equilibrio del sólido r´ıgido libre 103
la fuerza que la j-ésima part´ıcula ejerce sobre la i-ésima, y por fi la
resultante de todas las fuerzas internas sobre la part´ıcula i,
fi =
N
j=1
(j=i)
fij. (4.1)
Si la part´ıcula i está en equilibrio, por la primera ley de Newton,
Fi + fi = 0. (4.2)
Al aplicar la primera ley de Newton a las demás part´ıculas obtendremos
ecuaciones similares. Sumándolas todas ellas, obtendremos
N
i=1
Fi +
N
i=1
fi = 0. (4.3)
Además, por la tercera ley de Newton sabemos que las fuerzas internas en el
sólido r´ıgido ocurren en pares de la misma magnitud y de sentidos opuestos,
es decir, fij = −fji. Por tanto la resultante de las fuerzas internas ha de ser el
vector nulo,
N
i=1
fi = 0. (4.4)
El sistema de fuerzas externas que actúan sobre el sólido r´ıgido es equi-
valente al formado por las resultantes Fi de las fuerzas externas que actúan
sobre los N puntos materiales que forman el sólido r´ıgido. Sin embargo, no es
ésta la forma usual de describir un sistema de fuerzas externas cuando se es-
tudia un problema real de Estática del sólido r´ıgido. Lo habitual es considerar
que el sólido es un único objeto extenso sobre el que actúa un conjunto de
fuerzas externas, discretas y continuas (que reducimos a discretas), las Fj que
introduc´ıamos al principio, varias de las cuales podr´ıan actuar sobre la misma
part´ıcula. Teniendo en cuenta que la suma extendida a todas las part´ıculas de
las fuerzas externas que se ejercen sobre cada una de ellas no es más que la
suma de las n fuerzas externas que actúan sobre el sólido r´ıgido,
N
i=1
Fi =
n
j=1
Fj. (4.5)
Por tanto, usando además las ecs. (4.3) y (4.4), la primera condición que debe
satisfacer un sólido r´ıgido en equilibrio:
n
i=1
Fi = 0, (4.6)
es decir, que la suma de las fuerzas externas sea el vector nulo.
Otra condición necesaria para el equilibrio del sólido r´ıgido es la que se
deduce del siguiente razonamiento. Consideremos ahora los momentos de las
fuerzas que actúan sobre la part´ıcula i en un punto arbitrario O. Utilizando la
ec. (4.2) y la propiedad distributiva del producto vectorial obtenemos:
ri × Fi + fi = ri × Fi + ri × fi = 0. (4.7)

Podemos obtener ecuaciones análogas para las restantes part´ıculas del sólido
r´ıgido. Sumándolas todas, tenemos:
N
i=1
ri × Fi +
N
i=1
ri × fi = 0. (4.8)
El segundo término es nulo puesto que las fuerzas internas ocurren en pares
colineales, iguales en módulo pero de sentidos opuestos, y el momento de cada
uno de estos pares en el punto O es nulo. De ah´ı que utilizando la notación
MO(Fi) = ri × Fi, (4.9)
podemos escribir la ec. (4.8) como
N
i=1
MO(Fi) = 0, (4.10)
o, recordando que el sistema que forman las Fj es equivalente al que forman
las Fi, como
n
i=1
MO(Fi) = 0, (4.11)
es decir, que la suma de los momentos de las fuerzas externas sea el vector nulo.
Condiciones suficientes de equilibrio
Hasta ahora, todo lo que hemos dicho es aplicable no sólo a un sólido r´ıgido
sino también a un sistema de puntos materiales que no formen un sólido r´ıgido.
Es decir, las ecs. (4.6) y (4.11) son condiciones necesarias para el equilibrio, no
sólo de un sólido r´ıgido, sino también para el de cualquier sistema de puntos
materiales. Ahora vamos a demostrar que las ecs. (4.6) y (4.11) son condiciones
suficientes para garantizar el equilibrio del sólido r´ıgido (pero no de un sistema
arbitrario de puntos materiales).
Por reducción al absurdo. Supongamos que se verifican las ecs. (4.6) y (4.11)
y que el sólido r´ıgido está inicialmente en reposo pero no en equilibrio. Acepte-
mos además que para conseguir que un sólido r´ıgido que no está en equilibrio
pase a estar en equilibrio basta con aplicar una fuerza F y un momento M
adicionales. Obsérvese que esta suposición no es válida en general para un siste-
ma de puntos que no sea un sólido r´ıgido, ya que entonces las fuerzas aplicadas
no se pueden representar por vectores deslizantes (sino por vectores ligados).
Por el mismo razonamiento seguido antes, en el equilibrio se debe cumplir que:
F +
n
i=1
Fi = 0, (4.12)
M +
n
i=1
MO(Fi) = 0. (4.13)
Pero si se han de cumplir estas dos ecuaciones y se cumpl´ıan las ecs. (4.6)
y (4.11), ello quiere decir que:
F = 0, (4.14)
M = 0. (4.15)

Por tanto, si el sistema de fuerzas que habr´ıa que añadir es nulo, es que las
condiciones (4.6) y (4.11), por s´ı solas, garantizaban el equilibrio.
Resumen
Un sólido r´ıgido libre estará en equilibrio siempre y cuando:
Todas las part´ıculas del sólido estén inicialmente en reposo respecto del
sistema de referencia inercial.
La resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido r´ıgido sea
nula.
La suma de los momentos de todas las fuerzas externas en un punto sea
nula.
Las ecs. (4.6) y (4.11) son dos ecuaciones vectoriales que podemos escribir como
6 ecuaciones escalares. Por ejemplo, usando coordenadas cartesianas:
n
i=1
Fxi = 0, (4.16)
n
i=1
Fyi = 0, (4.17)
n
i=1
Fzi = 0, (4.18)
donde Fxi es la componente según la dirección x de la fuerza externa Fi, etc.,
y
n
i=1
MOx(Fi) = 0, (4.19)
n
i=1
MOy(Fi) = 0, (4.20)
n
i=1
MOz(Fi) = 0, (4.21)
donde MOx(Fi) es la componente según la dirección x del momento de la fuerza
externa Fi en el punto O, MO(Fi), etc. Las ecs. (4.16)–(4.18) garantizan que
no se altera el equilibrio por movimientos de traslación, y las ecs. (4.19)–(4.21)
que no lo hace por movimientos de rotación. Otras elecciones de coordenadas
conducir´ıan a expresiones diferentes para las ecuaciones de equilibrio.
4.2.3. Equilibrio del sólido r´ıgido en el plano
Importancia del caso plano
En este texto nos vamos a limitar al estudio del sólido r´ıgido plano por su
mayor sencillez. Además, en muchos casos es posible estudiar la Estática de
un sistema espacial analizando la estática de un sólido r´ıgido plano sometido
a un sistema de fuerzas contenido en ese mismo plano. Esto ocurre cuando el

sistema de fuerzas que actúa sobre un sólido r´ıgido espacial puede reducirse a
un sistema de fuerzas coplanario, por ejemplo:
(a) Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el sólido r´ıgido están conteni-
das en un plano.
(b) Cuando la disposición de fuerzas que actúan sobre el sólido r´ıgido sea
simétrica respecto de un plano.
(c) Cuando la distribución de fuerzas que actúan sobre el sólido r´ıgido tenga
simetr´ıa traslacional.
(d) Cuando se estudien las fuerzas del sólido sobre un plano dado1
.
Numerosos problemas en Arquitectura Técnica caen en alguno de esos casos,
de ah´ı que dediquemos especial atención al equilibrio de sólidos r´ıgidos planos
sometidos a sistemas de fuerzas contenidos en ese mismo plano. Por otro lado,
el estudio de los sistemas planos también es útil en la medida que sirve de
introducción al estudio de la estática de los sistemas espaciales.
Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio del sólido r´ıgido en el plano
Las condiciones establecidas antes para el equilibrio de un sólido r´ıgido se
simplifican considerablemente en el caso de un plano. Eligiendo los ejes x e y
en el plano del sólido, se tiene
Fzi = 0, (4.22)
MOx(Fi) = 0, (4.23)
MOy(Fi) = 0, (4.24)
para cada una de las fuerzas exteriores aplicadas al sólido. Nótese que las
ecs. (4.23) y (4.24) son ciertas siempre que el punto O sea un punto del plano
del sólido (mientras que en las ecs. (4.19) y (4.20) eran ciertas en un punto
arbitrario del espacio).
Las 6 ecuaciones de equilibrio (4.16)–(4.21) se reducen, por tanto, a 3 ecua-
ciones:
n
i=1
Fxi = 0, (4.25)
n
i=1
Fyi = 0, (4.26)
n
i=1
MOz(Fi) = 0. (4.27)
El punto O es un punto arbitrario del plano del sólido.
En resumen, las condiciones necesarias y suficientes de equilibrio para un
sólido r´ıgido plano son:
1En este último caso, las condiciones de equilibrio plano que se enunciarán a continuación
para un sólido plano son necesarias pero no suficientes para garantizar el equilibrio del sólido
espacial. En los tres casos anteriores son necesarias y suficientes.

Que todas las part´ıculas del sólido estén inicialmente en reposo respecto
del sistema de referencia inercial.
Que el sistema de fuerzas exteriores que actúan sobre él sea equivalente
a un sistema nulo, esto es, que su resultante sea nula (que se verifiquen
las ecs. (4.25) y (4.26)) y que su momento sea nulo (que se verifique la
ec. (4.27)).
Las ecs. (4.25) y (4.26) dan las condiciones bajo las cuales el sólido no ex-
perimenta traslaciones según el eje x ni según el eje y, respectivamente. La
ec. (4.27) da la condición bajo la cual el sólido no experimenta rotaciones en el
plano x-y en torno al punto O.
Se puede demostrar que en el caso del sólido r´ıgido plano, las condiciones
necesarias y suficientes de equilibrio del sólido r´ıgido pueden expresarse, alter-
nativamente, exigiendo que la suma de los momentos en tres puntos del plano
no alineados, A, B y C, sea nula. Esto da lugar nuevamente a 3 ecuaciones
independientes de equilibrio:
n
i=1
MAz(Fi) = 0, (4.28)
n
i=1
MBz(Fi) = 0, (4.29)
n
i=1
MCz(Fi) = 0. (4.30)
Teorema de las tres fuerzas
Presentaremos ahora un resultado que será de utilidad en numerosos pro-
blemas de Estática:
Si un sólido r´ıgido se encuentra en equilibrio, sometido a la acción de
tres fuerzas coplanarias y no paralelas, las rectas de acción de éstas se
intersecan en un mismo punto.
F2
F3
O
F1
A1 A2
A3
FIGURA 4.2: Sistema de tres fuerzas
coplanarias que actúan sobre un sóli-
do r´ıgido.
En efecto, supongamos que un sólido r´ıgido se encuentra en equilibrio bajo
la acción de tres fuerzas coplanarias, F1, F2 y F3, aplicadas, respectivamente,
en los puntos A1, A2 y A3 (fig. 4.2). Calculemos los momentos de las tres
fuerzas en el punto de intersección O de las rectas de acción de dos de ellas,
por ejemplo F1 y F2. En ese punto, MO(F1) = MO(F2) = 0. Para que un sólido
r´ıgido esté en equilibrio la suma de todos los momentos debe ser el vector nulo,
por tanto también debe de ocurrir que MO(F3) = 0. Por tanto, la recta de
acción de F3 también debe pasar por O.
Nota 1: La concurrencia de tres fuerzas en un mismo punto implica que la
ecuación de equilibrio de los momentos se satisface en dicho punto. Sin embargo,
no necesariamente ha de satisfacerse la ecuación de equilibrio de las fuerzas.
Nota 2: Un sistema de fuerzas formado por 3 sistemas de fuerzas cada uno
concurrente en un punto diferente puede reducirse a un sistema de tres fuerzas,
cada una de ellas aplicada en uno de esos puntos.
Nota 3: También puede haber equilibrio si las tres fuerzas son paralelas
(intersecan en el infinito) puesto que en esa circunstancia s´ı podr´ıa verificarse
la ecuación de momentos.

Nota 4: El adjetivo “coplanarias” puede omitirse en las condiciones del teo-
rema de las tres fuerzas ya que, si un sistema de tres fuerzas está en equilibrio,
estas fuerzas necesariamente han de ser coplanarias.
En efecto, consideremos tres fuerzas F1, F2, F3 —no necesariamente copla-
narias—, tomemos un punto arbitrario P sobre la recta de acción de F3. De
la segunda condición de equilibrio (que la suma de los momentos en cualquier
punto debe ser el vector nulo)
MP = MP (F1) + MP (F2) = 0, (4.31)
es decir, obtendremos
MP (F1) = −MP (F2). (4.32)
Por tanto, los vectores MP (F1) y MP (F2) han de estar sobre la misma recta
y tener sentidos opuestos. Recordando la definición de momento de una fuerza
(como producto vectorial del vector posición del punto de aplicación de la fuerza
por el vector fuerza) se puede concluir que el plano subtendido por el vector
F1 y el punto P debe coincidir con el plano subtendido por el vector F2 y el
punto P. Por tanto, F1, F2 y P están en el mismo plano. Como P es un punto
arbitrario de la recta de acción de F3, la misma demostración es válida para
cualquier otro punto de la recta de acción de F3. Por tanto, concluimos que F1,
F2 y F3 están en el mismo plano.
4.3. Grados de libertad del sólido r´ıgido libre
4.3.1. Grados de libertad de un sólido r´ıgido libre en el espacio
Como vimos en el cap´ıtulo 2, el número de grados de libertad de un sis-
tema es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar
completamente su configuración.
Vamos a calcular cuántos grados de libertad tiene un sólido r´ıgido libre
en el espacio. Recordemos que un sólido r´ıgido es un sistema formado por N
part´ıculas tal que la distancia entre dos cualesquiera de esas part´ıculas per-
manece constante. Para ver cuántos grados de libertad tiene un sólido r´ıgido
podemos usar el siguiente razonamiento. Para determinar la posición de un
punto A del sólido r´ıgido son necesarias tres coordenadas. Conocida la posición
de A, para determinar la posición de un segundo punto B del sólido r´ıgido sólo
hacen falta dos coordenadas adicionales, puesto que B está sobre una superficie:
la esfera con centro en A y radio la distancia entre A y B, dAB, que sabemos
que es constante (fig. 4.3 arriba). Finalmente, conocidas las posiciones de A
FIGURA 4.3: Conocido un punto de
un sólido r´ıgido, un segundo punto
está necesariamente sobre una esfe-
ra con centro en el primero (arriba).
Conocidos dos puntos, un tercer pun-
to está necesariamente sobre una cir-
cunferencia (abajo).
y B, para determinar la posición de un tercer punto C necesitamos sólo una
nueva coordenada, puesto que C está sobre una curva: la circunferencia que
se obtiene al intersecar la esfera con centro en A y radio dAC con otra esfera
con centro en B y radio dBC (fig. 4.3 abajo). Si A, B y C no están alineados,
cualquier otro punto del sólido r´ıgido quedará determinado por las distancias
(fijas y conocidas) entre él y estos tres puntos2
.
2El sistema de posicionamiento global (GPS) se basa precisamente en la unicidad de esta
triangulación: las distancias del receptor de GPS a tres satélites emisores de señales de radio
que están en posiciones conocidas permiten determinar la posición del primero.

4.4 Equilibrio del sólido r´ıgido plano ligado 109
Otro razonamiento equivalente es el siguiente: Cuando sólo haya un pun-
to material, su número máximo de grados de libertad será tres. Al añadir un
segundo punto, se podr´ıan introducir otros tres grados de libertad, pero si se
encuentra r´ıgidamente unido al primero (separación constante) habrá una ecua-
ción de v´ınculo que reducirá estos tres grados de libertad a dos. As´ı pues, un
cuerpo r´ıgido de “dos puntos” podrá tener como máximo cinco grados de liber-
tad. Un tercer punto podr´ıa introducir tres más, pero si estuviera fijo respecto
a los otros dos, las dos ecuaciones de v´ınculo reducir´ıan estos tres a uno, dando
un total de seis grados de libertad para el cuerpo r´ıgido de “tres puntos”. Un
cuarto punto fijo respecto a los tres primeros tendr´ıa tres ecuaciones de v´ınculo
que expresaran este hecho, por lo que no introducirá nuevos grados de libertad.
Un quinto punto tendr´ıa cuatro ecuaciones de v´ınculo, pero es posible demos-
trar que sólo tres de ellas son independientes y, por tanto, tampoco introducir´ıa
nuevos grados de libertad. Análogamente suceder´ıa al añadir los demás puntos
materiales que componen el sólido r´ıgido.
En resumen, un sólido r´ıgido libre en el espacio tiene seis grados de liber-
tad. La elección de coordenadas independientes no es única. Puede ser, por
ejemplo, las tres coordenadas cartesianas de uno de los puntos, y tres ángulos
que determinen la orientación del sólido en el espacio. Por otro lado, podemos
interpretar los seis grados de libertad de un sólido r´ıgido como, por ejemplo,
la posibilidad de desplazamientos según los tres ejes coordenados y rotaciones
respecto de dichos ejes.
4.3.2. Grados de libertad de un sólido r´ıgido libre en el plano
Vamos a ver cuántos grados de libertad tiene un sólido r´ıgido libre en el
plano. Para especificar la configuración de un sólido r´ıgido basta conocer la
posición de dos puntos del sólido. Si se tratase de puntos libres en el plano,
para especificar su configuración ser´ıan necesarias cuatro coordenadas. Como
son puntos de un sólido r´ıgido, su distancia es constante. Luego el número de
coordenadas independientes necesario para especificar la configuración de un
sólido r´ıgido plano libre es tres. Tres son pues los grados de libertad del sólido
r´ıgido plano libre. Podemos, por ejemplo, elegir como coordenadas indepen-
dientes las dos coordenadas cartesianas de un punto y el ángulo que forma
el segmento que une dos puntos del sólido con la horizontal. Los grados de
libertad se pueden entender entonces como la posibilidad de desplazamientos
según las direcciones de los dos ejes coordenados y la rotación respecto a un
eje perpendicular al plano que contiene al cuerpo.
4.4. Equilibrio del sólido r´ıgido plano ligado
4.4.1. Condiciones de equilibrio
Un sólido r´ıgido ligado es aquél que está sometido a ligaduras externas. sólido r´ıgido ligado
En el cap´ıtulo 2 introdujimos el principio de liberación según el cual cual-
quier ligadura pod´ıa sustituirse por un sistema de fuerzas. En el cap´ıtulo 3
vimos que un sistema de fuerzas siempre se puede reducir a otro equivalente
formado por una fuerza y un par. Por tanto, la acción de una ligadura puede

representarse por una fuerza y un momento, que llamaremos fuerza y momento
de reacción vincular.
Supongamos un sólido sometido a m ligaduras. Las ecuaciones de equili-
brio (4.6) y (4.11) que obten´ıamos para el caso libre se convierten en:
n
i=1
Fi +
m
j=1
φj = 0, (4.33)
n
i=1
MO(Fi)+
m
j=1
MO(φj) +
m
j=1
µj = 0, (4.34)
donde, Fi son las fuerzas exteriores, MO(Fi) sus momentos en un punto arbi-
trario fijo O, φj las fuerzas de reacción vincular, MO(φj) sus momentos en O,
y µj los momentos de reacción vincular (recuérdese que el momento de un par
es independiente del punto de reducción).
En el caso plano y usando coordenadas cartesianas, las ecuaciones vectoria-
les (4.33) y (4.34) dan lugar a las siguientes ecuaciones escalares:
n
i=1
Fxi +
m
j=1
φxj = 0, (4.35)
n
i=1
Fyi +
m
j=1
φyj = 0, (4.36)
n
i=1
MOz(Fi)+
m
j=1
MOz(φj) +
m
j=1
µzj = 0. (4.37)
Dependiendo del v´ınculo de que se trate podrán ser cero una o más de las
3 incógnitas de reacción vincular φxj, φyj y µzj asociadas al v´ınculo j.
4.4.2. Tipos de ligaduras en el plano
Clasificación atendiendo al número de coacciones
El objetivo de esta sección es clasificar las ligaduras posibles de un sóli-
do r´ıgido plano, atendiendo a las limitaciones elementales de movimiento que
producen.
Se denominan coacciones a las limitaciones elementales de movimiento ori-coacciones
ginadas por cada ligadura.
Las coacciones son t´ıpicamente impedimentos de traslaciones y/o giros. Una
coacción, por consiguiente, equivale a la cancelación de un grado de libertad.
Las fuerzas y momentos de reacción vincular que sustituyen a una ligadura
introducen incógnitas de reacción vincular en el problema, en número igual al
de coacciones.
Según el número de coacciones que ejercen, las ligaduras las clasificamos en:
Simples: son aquéllas que ejercen una única coacción. Las hay de dos
tipos:
• Aquéllas que obligan a un punto del sólido r´ıgido a permanecer sobre
una curva dada o a que una curva del sólido r´ıgido (por ejemplo su
contorno) permanezca en contacto con un punto fijo. Estas ligaduras

se sustituyen por una única fuerza de reacción vincular de dirección
conocida (perpendicular a la curva) y módulo y sentido desconoci-
dos. Son ligaduras que introducen, por tanto, una sola incógnita de
reacción vincular (que se suele identificar con el módulo y sentido
de la fuerza desconocida). Ejemplos de este tipo de ligaduras son el
apoyo simple, la biela y el cable.
• Aquéllas que impiden la rotación del sólido r´ıgido pero no las tras-
laciones. Estas ligaduras se sustituyen por un par cuyo momento de
reacción vincular tiene dirección conocida (perpendicular al plano
del sólido r´ıgido) y módulo y sentido desconocidos. En este texto no
veremos ejemplos de este tipo de ligaduras.
Dobles: son aquéllas que ejercen dos coacciones. Las hay de dos tipos:
• Aquéllas que obligan a un punto del sólido r´ıgido a permanecer fijo.
Estas ligaduras se sustituyen por una fuerza de reacción vincular con
módulo, dirección y sentido desconocidos. Son ligaduras que intro-
ducen, por tanto, dos incógnitas de reacción vincular (que se suele
identificar con las dos componentes cartesianas de dicha fuerza).
Ejemplo de este tipo es la articulación.
• Aquéllas que obligan a un punto del sólido r´ıgido a permanecer sobre
una curva e impiden además su rotación. Estas ligaduras se susti-
tuyen por una fuerza con dirección conocida pero módulo y sentido
desconocidos, y un par cuyo momento es de módulo y sentido desco-
nocidos. Introducen dos incógnitas de reacción vincular (que se suele
identificar con los módulos y sentidos de la fuerza y el momento).
Ejemplo de este tipo es la deslizadera r´ıgida.
Triples: son aquéllas que ejercen tres coacciones. Inmovilizan completa-
mente el sólido r´ıgido. Estas ligaduras se sustituyen por una fuerza con
módulo, dirección y sentido desconocidos y un par cuyo momento es de
módulo y sentido desconocidos. Por tanto, introducen tres incógnitas de
reacción vincular (las dos componentes de la fuerza y el módulo y sentido
del momento). Ejemplo de este tipo de ligaduras es el empotramiento.
Pasamos a estudiar en detalle algunas ligaduras.
Apoyo simple
Un apoyo simple (apoyo sin rozamiento o apoyo móvil) es un contacto pun-
tual sin rozamiento, directo o mediante un dispositivo intermediario, del sólido
r´ıgido con una curva de apoyo. Es una ligadura simple, ya que ejerce una sola
coacción sobre el sólido r´ıgido al impedir su traslación en la dirección perpen-
dicular a la de desplazamiento sobre la curva de apoyo. Permite la traslación
en la dirección de desplazamiento de la curva de apoyo y el giro alrededor del
punto de apoyo. Su acción se sustituye por una fuerza de dirección conocida y
módulo y sentido desconocidos.
La dirección de esta fuerza es la perpendicular a la tangente en el punto de
apoyo de la l´ınea sobre la que se apoya o desliza. En el caso de que el punto de
apoyo no tenga tangente bien definida (por ejemplo, cuando tenemos un apoyo
simple sobre un escalón) la dirección será la perpendicular a la tangente en el
punto de apoyo de la l´ınea que describe el borde del sólido r´ıgido.

FIGURA 4.4: Diversos modos en
que un sólido r´ıgido puede estar apo-
yado y fuerzas de reacción vincular
correspondientes.
En el caso de los apoyos simples unilaterales el sentido de la fuerza de
reacción vincular va del apoyo al sólido apoyado. En el caso de los apoyos
de doble efecto o bilaterales el sentido no se puede determinar a priori puesto
que depende del sistema de fuerzas externas que actúa sobre el sólido y de la
disposición del resto de los v´ınculos.
En la fig. 4.4 se ilustran diversos modos en que un sólido r´ıgido puede estar
apoyado directamente sobre distintas paredes y se ilustran las direcciones y
sentidos de las correspondientes fuerzas de reacción vincular.
Dispositivos también permiten implementar apoyos simples son:
Rodillo, fig. 4.5 (a).
Rueda, fig. 4.5 (b).
Soporte de rodillos, fig. 4.5 (c).
Balanc´ın, fig. 4.5 (d).
FIGURA 4.5: Diversas maneras de
construir apoyos simples: (a) rodillo,
(b) rueda, (c) soporte de rodillos, (d)
balanc´ın circular.

FIGURA 4.6: (a) Pasador en ranura
lisa y (b) deslizadera sobre árbol liso.
Apoyos simples bilaterales o de doble efecto son:
El pasador en ranura lisa, fig. 4.6 (a).
La deslizadera o collar sobre árbol liso, fig. 4.6 (b).
Nótese que mientras que en las ligaduras de las figs. 4.4 y 4.5 un movimiento
del sólido puede hacer que esa ligadura desaparezca (al perderse el contacto),
tal cosa no puede suceder en un apoyo simple de doble efecto.
Comentario: tres apoyos simples adecuadamente dispuestos inmovilizan com-
pletamente al sólido r´ıgido plano (donde “adecuadamente dispuestos” quiere
decir evitando las situaciones de ligadura impropia que describiremos más ade-
lante).
Biela
Una biela consiste en un sólido r´ıgido articulado en dos puntos y sobre el
que no actúa ninguna fuerza con componentes normales al eje de la biela. El eje
de la biela es la recta que une las dos articulaciones. En particular, el peso de la
biela debe ser despreciable frente a las fuerzas que actúan sobre el sólido r´ıgido.
La biela es una ligadura simple, ya que ejerce una única coacción sobre el sólido
r´ıgido al impedir su traslación en la dirección del eje de la barra, permitiendo su
traslación en la dirección perpendicular. Su acción se sustituye por una fuerza
FIGURA 4.7: Biela.
de reacción vincular cuya dirección coincide con el eje de la biela, y de módulo
y sentido desconocidos. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.7.
Cable
El cable (tenso) es un hilo inextensible de peso despreciable. Es una liga-
dura simple que se sustituye por una única a la fuerza de reacción vincular de
dirección conocida (la del cable) y módulo desconocido. Esta fuerza de reacción
vincular se llama tensión, pues coincide con la tensión del cable. Esta ligadura
se ilustra en la fig. 4.8. El sentido de la fuerza de reacción vincular que sustitu-
ye a un cable tenso es siempre hacia fuera del sólido, mientras que en la biela
puede tener ambos sentidos.
FIGURA 4.8: Cable tenso.
Es importante saber distinguir cuando un cable aplicado a un sólido r´ıgido
actúa como una ligadura (cuando limita las posibles posiciones del sólido) y
cuando actúa como un transmisor de una fuerza activa.

FIGURA 4.9: Ligaduras dobles: (a)
Articulación y (b) deslizadera r´ıgida.
Articulación
Una articulación. (apoyo fijo, apoyo doble, perno liso o bisagra) impide
las dos posibles traslaciones del sólido r´ıgido y le permite sólo girar alrededor
del punto de articulación. Es una ligadura doble, ejerce dos coacciones sobre
el sólido r´ıgido. Su acción se sustituye por una fuerza de reacción vincular
de módulo, dirección y sentido desconocidos. Las dos incógnitas de reacción
vincular son, por ejemplo, las dos componentes de esta fuerza según un sistema
de ejes cualesquiera con origen en la articulación. Esta ligadura se ilustra en la
fig. 4.9 (a).
Deslizadera r´ıgida
La deslizadera r´ıgida impide el giro y la traslación en la dirección perpen-
dicular al eje de deslizamiento de la deslizadera. Es una ligadura doble.
La deslizadera r´ıgida ejerce sobre el sólido un sistema de fuerzas distribuidas
paralelas y coplanarias (con el plano que contiene al sólido r´ıgido). Dicho siste-
ma puede ser reducido a una fuerza de reacción vincular R perpendicular el eje
de deslizamiento y a un par de momento M perpendicular al plano del sólido.
Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.9 (b). Una deslizadera r´ıgida es equivalente
a dos apoyos simples cuyas rectas de acción sean paralelas.
Empotramiento y soldadura
El empotramiento (nudo r´ıgido o apoyo triple) impide cualquier movimiento
del sólido r´ıgido. Es una ligadura triple, ejerce tres coacciones sobre el sólido
r´ıgido. El empotramiento ejerce sobre el sólido un sistema de fuerzas distribui-
das coplanarias (con el plano que contiene al sólido r´ıgido). Dicho sistema puede
ser reducido a una fuerza de reacción vincular R de dirección desconocida y a
un par de momento M perpendicular al plano del sólido. Las tres incógnitas de
FIGURA 4.10: Empotramiento.
reacción vincular son las magnitudes del momento M y las dos componentes
de R, según un sistema de ejes cualesquiera con origen en G. Esta ligadura se
ilustra en la fig. 4.10.
Cuando el empotramiento actúa como v´ınculo interno (entre sólidos de un
sistema de sólidos) se le denomina expresamente nudo r´ıgido y los sistemas
cuyos v´ınculos internos son nudos r´ıgidos, se les llama sistemas continuos.

FIGURA 4.11: Ligaduras impropias
en un sólido r´ıgido plano individual:
(a) G = 1, puede trasladarse; (b)
G = 1, puede girar.
Una ligadura de caracter´ısticas similares a las del empotramiento es la sol-
dadura.
Ligaduras propias y ligaduras impropias
Se define como ligadura propia a la que impide el movimiento del siste-
ma coartando el movimiento para el que se establece. Se dice que un sistema
está propia o correctamente ligado, cuando los ligaduras están dispuestos de
tal modo que son capaces de impedir los movimientos para los que están pen-
sados. En caso contrario diremos que la ligadura es impropia y que el sistema
está impropia o incorrectamente ligado.
Un sistema plano puede estar impropiamente ligado en los siguientes casos:
Si las rectas de acción de tres o más de las fuerzas de reacción vincular son
paralelas, ya que entonces (en ausencia de otras ligaduras) hay posibilidad
de traslación a lo largo de una dirección perpendicular, fig. 4.11 (a).
Si tres o más de las rectas de acción de las fuerzas de reacción vincular se
cortan en un mismo punto O, entonces (en ausencia de otras ligaduras)
se puede producir un giro alrededor de O, fig. 4.11 (b).
4.4.3. Grados de libertad del sólido r´ıgido plano ligado
Sólidos isostáticos, hiperestáticos e inestables
Un sistema mecánico estable es aquél que no se puede mover sea cual sea sistema mecánico estable
el sistema de fuerzas externas que actúe sobre él. Equivalentemente, que no le
quedan grados de libertad. Un sistema estable siempre está en equilibrio. Un
sistema puede ser inestable y estar en equilibrio bajo la acción de un sistema
de fuerzas concreto.
En esta sección vamos clasificar los sólidos r´ıgidos atendiendo a su estabi-
lidad. Esta clasificación se extenderá en el cap´ıtulo 5 a los sistemas de varios
sólidos r´ıgidos.
Al detenernos en la, relativamente sencilla, clasificación en el caso de un solo
sólido r´ıgido pretendemos que el estudiante se concentre en el concepto f´ısico de

FIGURA 4.12: Clasificación de los
sólidos r´ıgidos individuales atendien-
do a su estabilidad: (a) isostáti-
co, (b) hiperestático, (c) mecanis-
mo, (d) pseudoisostático. La estabi-
lidad del sólido r´ıgido no depende de
qué sistema de fuerzas externas apli-
que el monigote. Los apoyos simples
se suponen bilaterales.
la estabilidad sin dejarse distraer por la extensa casu´ıstica que encontraremos
en el cap´ıtulo 5.
Para impedir cualquier movimiento posible del sólido r´ıgido es preciso que
las ligaduras externas ejerzan al menos tantas coacciones como grados de liber-
tad tenga el sistema. En el caso de un sólido r´ıgido plano, las ligaduras estricta-
mente necesarias para impedir cualquier movimiento han de ejercer tres coac-
ciones (adecuadamente dispuestas, véase lo dicho sobre ligaduras impropias).
Cada una de ellas queda definida por un parámetro o incógnita de reacción
vincular. Si eso sucede, ante cualquier sistema de fuerzas el sólido permane-
cerá en equilibrio, será estable; si no, será inestable. Si el número de coacciones
es exactamente el necesario para lograr la estabilidad entonces, conocido el sis-
tema de fuerzas externas, las ecuaciones de equilibrio permitirán determinar
las incógnitas de reacción vincular. Si el número de coacciones es superior en-
tonces las ecuaciones de la Estática no serán suficientes (salvo simetr´ıas) para

determinar todas las incógnitas de reacción vincular. Atendiendo a esta idea,
los sistemas mecánicos formados por un sólido r´ıgido ligado se clasifican en:
Isostáticos.
Hiperestáticos.
Inestables o mecanismos.
Los sistemas isostáticos son aquéllos en los que el número coacciones inde- sistemas isostáticos
pendientes (C) es exactamente igual al de grados de libertad del sistema libre
(Gl), por tanto, el número de grados de libertad del sistema ligado (que se
calcula como G = Gl − C) es cero. Conocido el sistema de fuerzas externas
que actúa, las ecuaciones de equilibrio por s´ı solas permiten resolver todas las
incógnitas de reacción vincular, as´ı se dice que los sistemas isostáticos están
estáticamente determinados. Son estables, pero si se elimina una ligadura dejan
de serlo. Se presenta un ejemplo en la fig. 4.12 (a).
Los sistemas hiperestáticos son aquéllos en los que C es estrictamente mayor sistemas hiperestáticos
que Gl (se dice entonces que las incógnitas de reacción vincular son superabun-
dantes). Se dice que tienen grado de hiperestaticidad o grado de indeterminación
estática H = C − Gl (y G = 0). Las ecuaciones de equilibrio por s´ı solas no
permiten resolver todas las incógnitas de reacción vincular, por ello se dice
que los sistemas hiperestáticos están estáticamente indeterminados. Para su
determinación es preciso abandonar el modelo de sólido r´ıgido, adoptar el mo-
delo de sólido deformable y aplicar, además de las ecuaciones de la Estática,
métodos propios de la Elasticidad. Son estables y pueden seguir siéndolo elimi-
nando H incógnitas de reacción vincular independientes. Hay un ejemplo en la
fig. 4.12 (b).
Los sistemas inestables o mecanismos son aquéllos en los que C es estricta- sistemas inestables o mecanismos
mente menor que Gl, por tanto G es positivo. Basta con un subconjunto de las
ecuaciones de equilibrio para resolver todas las incógnitas de reacción vincular.
Las restantes G ecuaciones pueden usarse para averiguar los valores concre-
tos de las G coordenadas generalizadas cuando el sólido se haya en equilibrio
sometido a un sistema particular de fuerzas externas conocidas, o para averi-
guar qué fuerzas exteriores son necesarias para que el sistema se encuentre en
equilibrio en determinada configuración.
Estos sólidos son inestables y sólo se hacen estables si se añaden v´ınculos
que introduzcan G (o más) incógnitas independientes de reacción vincular. Un
ejemplo de este tipo aparece en la fig. 4.12 (c).
Sólidos con ligaduras impropias
En el caso de que entre las ligaduras a las que está sometido el sólido
aparezcan ligaduras impropias, el número “aparente” de grados de libertad,
que es el que se obtiene al sustraer del número de grados de libertad del sistema
libre el número de incógnitas de reacción vincular sin tener en cuenta si éstas
son impropias (no independientes), no coincide con el número real de grados
de libertad, que es el que se obtiene teniendo en cuenta qué grados de libertad
eliminan realmente las ligaduras. As´ı, por ejemplo, tendremos sólidos en los
que aparentemente el número de incógnitas de reacción vincular es igual al de
grados de libertad del sistema libre, con lo cual el sistema es aparentemente
isostático (o pseudo-isostático) aunque en realidad se trata de un mecanismo.
Hay un ejemplo en la fig. 4.12 (d).

PROBLEMA RESUELTO 4.1:
El sólido r´ıgido de la figura es de peso P = 10 kp, homogéneo y con vástagos o
brazos de grosor despreciable. Está sometido a la acción de tres fuerzas activas de
módulos |F1| = 100 N, |F2| = 500 N y |F3| = 500 N, y está vinculado al exterior
mediante una articulación en el punto A y un apoyo simple en el punto B.
(a) Determina en qué punto del vástago horizontal habr´ıa que aplicar una fuerza
única cuyo efecto mecánico sea equivalente al de las tres fuerzas activas F1,
F2, F3. ¿Qué valor tendrá dicha fuerza?
(b) ¿Es posible aplicar una fuerza equivalente a las tres fuerzas en algún punto
del vástago vertical? En caso afirmativo halla el punto y el valor de la fuerza.
(c) Determina los vectores fuerza de reacción vincular en los puntos A y B en
el equilibrio.
PROBLEMA RESUELTO 4.1
A B
F3
←
F2
←
F1
←
0,6 m 1,2 m 0,9 m
0,6 m
0,6 m
Solución:
(a) La fuerza equivalente al sistema de fuerzas activas F1, F2, F3 será una fuerza
única igual a la resultante R aplicada sobre un punto Q del sólido r´ıgido, tal que su
momento en un punto cualquiera sea el mismo que el momento total del sistema
en dicho punto. Eligiendo los ejes horizontal y vertical como ejes coordenados,
tenemos: F1 = (100, 0)N; F2 = (0, −500)N; F3 = (500, 0)N. R = (100, 0) +
(0, −500) + (500, 0) = (600, −500)N.
Tomemos como centro de reducción O la intersección de los brazos de la cruz;
resulta: MO = −0,6 100 − 0,9 500 + 0,6 500 = −210 N m; MO = −210 k N m
Si Q está situado en el vástago horizontal sus coordenadas son (x, 0), de donde:
MO = −210k = OQ × R = (x, 0) × (600, −500) = −500x k y, por tanto,
x = 0,42 m.
Aunque no lo piden, es útil saber que entonces el eje central es la recta paralela
a la dirección de R que contiene al punto Q(0,42, 0) m: x−0,42
600 = y−0
−500 ; y =
−0,83x + 0,35 m.
(b) Será posible aplicar la fuerza única equivalente sobre el vástago vertical si
el eje central lo interseca en algún punto Q . As´ı, para x = 0 obtenemos y =
0,35 m < 0,6 m, luego s´ı es posible aplicar la fuerza R en el punto Q (0, 0,35) m.
También podr´ıamos obtener este punto repitiendo el cálculo del apartado (a) para
el punto (0, y).
A B
fA
←
fA x
fA y fB
←
R
←
Q
Q'
G
O
y
x
1,49 m
2,22 m
0,35 m
0,6 m
+
FIGURA P1a: Resolución del aparta-
do (c).

(c) Por comodidad de cálculo, en el diagrama de fuerzas que actúan sobre el sólido
r´ıgido (fig. P1a) sustituimos las tres fuerzas activas por su equivalente R previa-
mente calculada (aplicada en Q, aunque ser´ıa indiferente considerarla aplicada en
Q ), y colocamos la cuarta fuerza activa que actúa sobre el sólido r´ıgido, el peso,
en el centro de masa G del sólido r´ıgido. Completamos el diagrama con las fuerzas
de reacción en los v´ınculos A (articulación) y B (apoyo simple).
Fuerzas que actúan: φA, φB, R, P.
Articulación en A: φA = (φAx, φAy).
Apoyo simple en B: φB = (0, φB).
Para conocer el punto de aplicación de la fuerza peso P = (0, −10) kp ≈ (0, −100)N,
determinamos previamente la posición del centro de masa G del conjunto de ambos
vástagos:
Por simetr´ıa y ser el sólido homogéneo, G se encuentra sobre el vástago horizontal,
de modo que yG = 0. Desde el extremo A calculamos la coordenada xG. La
posición del centro de masa de la barra horizontal es xH = 2,7
2 m. En la barra
vertical directamente observamos xV = 1,8 m. La posición del centro masa es la
del centroide por ser homogéneo: xG = lH xH +lV xV
lH +lV
= 1,49 m.
Entonces, finalmente, las ecuaciones de equilibrio son:
Fx = 0 :
φAx + 600 = 0, (P1.1)
Fy = 0 :
φAy + φB − 500 − 100 = 0, (P1.2)
MA = 0 :
0,6 φB − 1,49 100 − 500 2,22 = 0, (P1.3)
de donde obtenemos:
φAx = −600 N, (P1.4)
φB = 2098 N, (P1.5)
φAy = −1498 N, (P1.6)
donde el signo menos de φAx significa que el sentido se esa componente es contrario
al que elegimos en el diagrama de fuerzas.
Luego φA = (−600, −1498)N y φB = (0, 2098)N.
El extremo A de la barra homogénea AB de la figura puede deslizar por un riel
vertical. La superficie esférica sobre la que se apoya AB tiene 5 cm de radio. Calcula:
(a) La longitud AB de la barra para que en su posición de equilibrio forme 60◦
con la vertical. Hacerlo anal´ıtica y geométricamente.

A
C
B
O 5 m
60o
(b) Las fuerzas de reacción vincular en A y en C si la masa de la barra es 30 kg.
Nota: Desprecia los rozamientos en la deslizadera y el apoyo.
Solución:
(a) Que la barra esté en equilibrio en esa configuración significa que la suma de
fuerzas sobre la barra y la suma de sus momentos en cualquier punto deben ser
nulas, teniendo en cuenta las fuerzas que aparecen en el siguiente diagrama de
sólido libre con la configuración dada:
Comenzamos resolviendo el apartado (a) de manera anal´ıtica (planteando las ecua-
ciones de equilibrio). Teniendo en cuenta los ejes coordenados elegidos en la
fig. P2a, y tomando momentos en el punto A, resultan las siguientes condicio-
nes de equilibrio:
Fx = 0 :
φA + φC cos 60◦
= 0, (P2.1)
Fy = 0 :
−P + φC sen 60◦
= 0, (P2.2)
MAz = 0 :
−P AB
2 sen 60◦
+ φCAC = 0. (P2.3)
Tenemos as´ı 3 ecuaciones escalares con parece que cinco incógnitas: φA, φC, P, AB, AC,
de las cuales nos interesa en este apartado la longitud AB de la barra. Pero volvien-
do a la fig. P2a, si observamos el triángulo ACO vemos que tan 60◦
= 5/AC ⇒
AC = 5√
3
2,89 m, y el peso P lo vamos a considerar como un parámetro (el
valor numérico de 30 kp es para el apartado (b)), de modo que realmente tenemos
3 ecuaciones con las tres incógnitas φA, φC y AB.
C
B
O
5 m
5m
60o
P
G
φC
A
60o
φA
y
x
+
←
←
←
FIGURA P2a: Resolución anal´ıtica
del apartado (a).
Resolviendo el sistema resulta:
φC =
2
√
3
P 1,15 P, (P2.4)
φA = −
1
√
3
P −0,58 P, (P2.5)

AB =
20
3
φC
P
=
40
√
3
9
7,70 m. (P2.6)
Para terminar este apartado (a), debemos resolverlo de forma geométrica. Eso
significa usar la trigonometr´ıa en el diagrama de fuerzas, tras haber aplicado en él
la condición necesaria de equilibrio que proporciona el teorema de las tres fuerzas.
Esto es as´ı porque del diagrama P2a observamos que la barra tiene justamente
aplicadas tres fuerzas (una activa —el peso— y dos de reacción vincular), y además
suponemos que la barra está en equilibrio en la configuración dada; cumpliéndose
entonces necesariamente la conclusión del teorema de las tres fuerzas: las tres
fuerzas han de ser coplanarias y, o bien concurrentes en un punto o bien paralelas.
As´ı, construimos un nuevo diagrama de fuerzas en el que expl´ıcitamente se ven
concurrir en un punto I las l´ıneas de acción de las tres fuerzas (ya coplanarias; de
partida se ve que no pueden ser paralelas):
C
B
O
5m
G
A
60o
60o
60o
I
FIGURA P2b: Resolución geométrica
del apartado (a).
De los triángulos rectángulos AIG, AIC y ACO vamos a deducir el valor AB que
nos interesa, usando que AB es el doble de AG, y que AG es la hipotenusa del
primer triángulo:
AIG: sen 60◦
= AI/AG; AG = 2√
3
AI;
AIC: sen 60◦
= AC/AI; AI = 2√
3
AC;
ACO: tan 60◦
= 5/AC; AC = 5√
3
; AC 2,89 m,
de donde obtenemos AI = 10
3 3,33 m y AG = 20
3
√
3
3,85 m, y finalmente:
AB = 2AG =
40
√
3
9
7,70 m, (P2.7)
como antes.
(b) Si mAB = 30 kg, entonces el peso de la barra es P = 30 kp, de forma que
sustituyendo en las soluciones (P2.4) y (P2.5) obtenemos las fuerzas de reacción
pedidas:
φC =
60
√
3
34,64 kp, (P2.8)
φA = −
30
√
3
−17,32 kp, (P2.9)
donde el signo menos de φA significa que esta reacción va a tener sentido contrario
al que nosotros elegimos en el diagrama de fuerzas.
Y finalmente expresamos las fuerzas de reacción en forma vectorial:
φC = (
30
√
3
, 30) kp, (P2.10)
φA = (0, −
30
√
3
) kp, (P2.11)
donde hemos usado que φCx = φC cos 60◦
, φCy = φC sen 60◦
, y que el signo
menos de φA cambiar´ıa el sentido del vector en el diagrama P2a, quedando as´ı en
el sistema coordenado elegido con la componente horizontal negativa.

4.5. Rozamiento
4.5.1. Introducción
Un sólido r´ıgido en contacto con una superficie sufre un sistema de fuerzas S
distribuido sobre la superficie de contacto. Ese sistema se puede reducir en un
punto P a una fuerza deslizante con las mismas componentes que la resultante
de S y un par de momento igual al momento en P de S.
En el caso de un sólido r´ıgido plano, S es un sistema de fuerzas coplanario;
por tanto, S siempre se puede reducir a una única fuerza deslizante, R, con
las mismas componentes que la resultante de S aplicada en un punto del eje
central de S. Como S es un sistema de fuerzas distribuido cuyo sentido es
siempre desde la superficie de apoyo hacia el sólido r´ıgido, el punto donde se
ha de aplicar esta fuerza está comprendido entre los extremos que limitan la
superficie de contacto.
La fuerza resultante R tiene dos componentes: una perpendicular a la su-
perficie de contacto, que se llama fuerza normal y se representa por N, y una
tangente a C, que se llama fuerza de rozamiento y se denota por FR. En un
problema de rozamiento siempre suele haber tres incógnitas: el módulo de N,
el módulo de FR y el valor de la coordenada que indica el punto Q donde se
ha de colocar R (o equivalentemente, donde se han de colocar N y FR). Como
se ha señalado antes, este punto debe estar comprendido entre los extremos
que limitan a la superficie de contacto. No obstante, ha de recordarse que una
vez conocido Q, no hace falta colocar N y FR exactamente sobre Q, ya que N
y FR se describen mediante vectores deslizantes puesto que son fuerzas sobre
un sólido r´ıgido.
4.5.2. Leyes de Amontons-Coulomb del rozamiento estático
y en deslizamiento
Aún en nuestros d´ıas no existe una teor´ıa capaz de abarcar todos los as-
pectos de rozamiento. Para la mayor parte de las aplicaciones en el ámbito
de la Arquitectura basta con estudiar lo que se llama el rozamiento estático o
rozamiento seco, que es el que existe mientras hay equilibrio. Este equilibrio se
puede romper bien por deslizamiento, bien por vuelco. Fuera del equilibrio se
habla de rozamiento dinámico. El estudio experimental del rozamiento estático
y del rozamiento dinámico en deslizamiento se debe a Amontons y Coulomb.
Guillaume Amontons (Par´ıs,
1663; Par´ıs, 1705): Estudió ex-
perimentalmente el rozamiento
y supuso, por vez primera, la
existencia del cero absoluto de
temperatura.
Charles Augustin de Coulomb
(Angoulême, 1736; Par´ıs, 1806):
Estudió el rozamiento y la torsión
y descubrió la ley de Coulomb de
la electrostática (1795).
Una situación t´ıpica es la siguiente: Supongamos un sólido r´ıgido plano,
homogéneo de peso P de forma rectangular que se encuentra sobre una super-
ficie horizontal. Sobre el vértice superior derecho de este cuerpo tira una fuerza
horizontal F de módulo creciente (e inicialmente cero). Para un cierto rango de
valores del módulo de F el sólido permanece en equilibrio. Cuando el módulo
de F alcanza un cierto valor cr´ıtico, el sólido pierde el equilibrio y empieza a
deslizar hacia la derecha.
Experimentalmente se puede encontrar una relación entre F y FR similar
a la que se ilustra en la fig. 4.13. De ese estudio experimental se deducen las
siguientes leyes aproximadas:
1. La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en
contacto.

4.5 Rozamiento 123
Superficies en contacto µe µd
acero sobre acero 0,74 0,57
aluminio sobre acero 0,61 0,47
cobre sobre acero 0,53 0,36
caucho sobre hormigón 1,0 0,8
madera sobre madera 0,25–0,5 0,2
vidrio sobre vidrio 0,94 0,4
madera encerada sobre nieve mojada 0,14 0,1
madera encerada sobre nieve seca – 0,04
metal sobre metal (lubricado) 0,15 0,06
hielo sobre hielo 0,1 0,03
teflón sobre teflón 0,04 0,04
TABLA 4.1: Coeficientes de rozamiento estático µe y dinámico µd. para diferentes superficies en contacto. Los valores dependen
del grado de pulimento de las superficies y de la temperatura.
2. Cuando el cuerpo está en reposo, el módulo de la fuerza de rozamiento
está comprendido entre 0 y un cierto valor máximo. Dicho valor máximo
es directamente proporcional al módulo de la fuerza normal. Esta relación
de proporcionalidad se expresa de la siguiente manera:
|FR max| = µe|N|, (4.38)
donde µe es una constante adimensional que se llama coeficiente de ro-
zamiento estático, cuyo valor depende de la naturaleza de las superficies
en contacto (véase la tabla 4.1). Cuando la fuerza de rozamiento alcanza
su valor máximo se dice que el sólido se encuentra en estado de desliza-
miento inminente. Mientras que el sólido permanece en reposo, la fuerza
de rozamiento que experimenta se llama fuerza de rozamiento estático.
FR
FRd
FR máx
FO
FIGURA 4.13: Relación aproximada
entre F y FR.
3. Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento es práctica-
mente constante e independiente de la velocidad relativa de los cuerpos
en contacto. Se llama entonces fuerza de rozamiento dinámico y se deno-
ta por FR d. Su módulo es proporcional al de la normal. Esta relación de
proporcionalidad se expresa:
|FR d| = µd|N|, (4.39)
donde µd es una constante adimensional que se llama coeficiente de ro-
zamiento dinámico o cinético, cuyo valor depende de la naturaleza de las
superficies de contacto (véase la tabla 4.1). Se cumple que
|FR max| ≥ |FR d|, (4.40)
o, equivalentemente, que
µe ≥ µd. (4.41)
En adelante denotaremos simplemente por µ el coeficiente de rozamiento estáti-
co µe.

4.6. Deslizamiento y vuelco inminentes
Nos limitaremos a estudiar el deslizamiento y el vuelco de un bloque rec-
tangular homogéneo situado sobre un plano y sometido a un sistema particular
de fuerzas externas. El estudio del deslizamiento y el vuelco de sólidos r´ıgidos
homogéneos con otras formas geométricas y otros sistemas de fuerzas externas
es similar.
4.6.1. Deslizamiento de un bloque rectangular sobre un plano
horizontal
Consideremos un bloque rectangular homogéneo de 2 m de base, 1 m de
altura y peso 10 N, inicialmente en equilibrio sobre una superficie horizontal.
El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie horizontal
es µ = 0,4. Sobre el vértice superior derecho del rectángulo hay aplicada una
fuerza horizontal hacia la derecha de, respectivamente,
(a) F = 0 N.
(b) F = 2 N.
(c) F = 4 N.
(d) F = 6 N.
Nuestro objetivo es estudiar si el bloque está o no en equilibrio, y averiguar FR
y N en cada uno de los casos (a)–(d). Si no hay equilibrio, también nos intere-
sará saber cuál de las 3 ecuaciones de equilibrio es la que no se verifica.
(b)
FR
xO
y
P
N
x
F
(d)
xO
y
P
N
(a)
(c)
FR
xO
y
P
N
x
F
FR
xO
y
P
N
x
F
FIGURA 4.14: Diagramas de fuerzas
correspondientes a los casos (a)–(d).
En el caso (d) no hay equilibrio: el
bloque desliza.
Empezaremos dibujando los diagramas de fuerzas correspondientes a ca-
da caso (fig. 4.14). Luego elegiremos un sistema de referencia y expresaremos
vectorialmente las fuerzas que intervienen (nótese que la recta de acción de la
fuerza normal suele ser una incógnita). Hecho esto, escribiremos las ecuaciones
escalares del equilibrio. En este caso, dichas ecuaciones son:
F − FR = 0, (4.42)
N − P = 0, (4.43)
Nx − Fh = 0, (4.44)
donde h es la altura del bloque. La ec. (4.44) se obtiene al calcular los momentos
en el punto O.
Resolviendo ese sistema de ecuaciones usando los datos conocidos obtene-
mos que, para que el sólido esté en equilibrio, N debe estar aplicada, respecti-
vamente, en
(a) x = 0 m.
(b) x = 0,2 m.
(c) x = 0,4 m.
(d) x = 0,6 m < 1 m = xmax.
En todos los casos, el módulo de N vale 10 N, mientras que el módulo de FR
deber´ıa valer, respectivamente,

4.6 Deslizamiento y vuelco inminentes 125
(a) FR = 0 N.
(b) FR = 2 N.
(c) FR = 4 N = FR max.
(d) FR = 6 N > 4 N = FR max.
En los casos (a), (b) y (c) el bloque está en equilibrio pues FR ≤ FR max. En
el caso (c) el bloque está en la situación de deslizamiento inminente hacia la
derecha, puesto que FR alcanza su valor máximo. En el caso (d), como la fuerza
de rozamiento real no puede ser mayor que FR max, no se podrá satisfacer la
primera ecuación de equilibrio, la ec. (4.42), resultando entonces que
i=1
Fix > 0. (4.45)
Por tanto, el bloque desliza hacia la derecha.
4.6.2. Vuelco de un bloque rectangular sobre un plano hori-
zontal
Consideremos un bloque rectangular homogéneo de 1 m de base, 2 m de
altura y peso 8 N, inicialmente en equilibrio sobre una superficie horizontal.
El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie horizontal
es µ = 0,5. Sobre el vértice superior derecho del rectángulo hay aplicada una
fuerza horizontal hacia la derecha de, respectivamente,
(a) F = 0 N.
(b) F = 1 N.
(c) F = 2 N.
(d) F = 3 N.
Nuestro objetivo es estudiar si el bloque está o no en equilibrio, y averiguar FR
y N en cada uno de los casos (a)–(d). Si no hay equilibrio, también nos intere-
sará saber cuál de las 3 ecuaciones de equilibrio es la que no se verifica.
Empezaremos dibujando los diagramas de fuerzas correspondientes a ca-
da caso (fig. 4.15). Luego elegiremos un sistema de referencia y expresaremos
vectorialmente las fuerzas que intervienen (nótese que la recta de acción de la
fuerza normal suele ser una incógnita). Hecho esto, escribiremos las ecuaciones
escalares del equilibrio. En este caso, las ecuaciones son las mismas que antes,
(4.42)–(4.44).
(b)
FR
xO
y
P
N
x
F
xO
y
P
FR
N
x
(d)
F
xO
y
P
N
(a)
xO
y
P
F
FR
N
x
(c)
FIGURA 4.15: Diagramas de fuerzas
correspondientes a los casos (a)–(d).
En el caso (d) no hay equilibrio: el
bloque vuelca.
Resolviendo ese sistema de ecuaciones usando los datos conocidos obte-
nemos que, para que el sólido esté en equilibrio, N deber´ıa estar aplicada,
respectivamente, en
(a) x = 0 m.
(b) x = 0,25 m.
(c) x = 0,5 m = xmax.
(d) x = 0,75 m > 0,5 m = xmax.

En todos los casos el módulo de N vale 8 N, mientras que el módulo de FR
debe valer, respectivamente,
(a) FR = 0 N.
(b) FR = 1 N.
(c) FR = 2 N.
(d) FR = 3 N < 4 N = FR max.
En los casos (a), (b) y (c) el bloque está en equilibrio pues x ≤ xmax. En el
caso (c) el bloque está en la situación de vuelco inminente en sentido horario,
puesto que para que se satisfagan la tercera ecuación de equilibrio, N debe estar
aplicada justo en la frontera derecha de la superficie de contacto entre el bloque
y el plano, x = xmax. En el caso (d), como N no puede estar aplicada fuera de
la superficie de contacto entre el bloque y el plano, no se podrá satisfacer la
tercera ecuación de equilibrio, la ec. (4.44), resultando que
i=1
Mi < 0. (4.46)
Por tanto, el bloque vuelca girando en sentido horario.
En general, lo que nos interesará es conocer cuándo y cómo pierde el equili-
brio el sólido r´ıgido. Para ello deberemos estudiar independientemente cuándo
desliza hacia la derecha, cuándo desliza hacia la izquierda, cuándo vuelca ho-
rariamente y cuándo vuelca antihorariamente.
4.6.3. Deslizamiento y vuelco de un bloque rectangular sobre
un plano inclinado
Consideremos un sólido r´ıgido homogéneo rectangular de base b, altura h y
peso P, apoyado con rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo α respecto
a la horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el sólido y el plano
es µ.
x
y
x
P
O
a
a
N
FR
FIGURA 4.16: Bloque rectangular en
equilibrio sobre un plano inclinado
con rozamiento. Nótese que el sen-
tido de la fuerza de rozamiento FR
se ha elegido de manera que se opon-
ga al deslizamiento hacia la izquier-
da. Análogamente, el punto de apli-
cación de la normal N se ha elegi-
do de manera que el momento de N
en O se oponga al giro antihorario en-
torno a O.
Nuestro objetivo es averiguar bajo qué condiciones el sólido perderá el equi-
librio por deslizamiento (hacia la izquierda) y bajo qué condiciones perderá el
equilibrio por vuelco (giro antihorario). Para ello supongamos que el sólido
está en equilibrio. Eligiendo el sistema de referencia de la fig. 4.16 y si x es la
distancia que hay entre la normal y el punto O, las ecuaciones de equilibrio
son:
−P sen α + FR = 0, (4.47)
N − P cos α = 0, (4.48)
−Nx +
h
2
P sen α = 0. (4.49)
Para averiguar cuándo deslizará hacia la izquierda supondremos que nos
encontramos en la situación de deslizamiento inminente, es decir, justo cuando
la fuerza de rozamiento alcanza el valor máximo permitido por la naturaleza.
Es decir supondremos que
FR = FR max = µ N. (4.50)

Entonces, de la ec. (4.47),
FR = P sen α. (4.51)
De la ec. (4.48),
N = P cos α. (4.52)
Sustituyendo las ecs. (4.51) y (4.52) en la ec. (4.50), se llega a que, en la
situación de deslizamiento inminente
tan α = µ. (4.53)
Es decir, el bloque deslizará hacia la izquierda si
tan α > µ. (4.54)
El estudio del vuelco es completamente independiente del estudio del desli-
zamiento. Para averiguar cuándo vuelca supondremos que nos encontramos en
la situación de vuelco inminente, que es justo cuando la normal está colocada
en el l´ımite de la superficie de contacto. En nuestro caso, la condición de vuelco
inminente corresponde a
x =
b
2
. (4.55)
De la ec. (4.49),
x =
h P sen α
2N
. (4.56)
Sustituyendo la ec. (4.52) en la ec. (4.56) y el resultado en (4.55), se llega a
que, en la situación de vuelco inminente,
tan α =
b
h
. (4.57)
Es decir, el bloque volcará girando en sentido antihorario si
tan α >
b
h
. (4.58)
Sólo nos interesa determinar cómo se perderá el equilibrio y no lo que su-
ceda una vez que se ha perdido el equilibrio. Si suponemos que el ángulo α es
inicialmente cero y va aumentando progesivamente, deberemos averiguar cómo
se pierde el equilibrio, es decir cuál de las dos cosas (deslizar o volcar) se pro-
duce antes. Si µ < b
h el bloque perderá el equilibrio por deslizamiento. El sólido
deslizará cuando tan α > µ. Si µ > b
h el bloque perderá el equilibrio por vuelco.
El sólido volcará cuando tan α > b
h .
Un bloque de piedra de 5000 kg de masa es arrastrado por un suelo rugoso con la
ayuda de una cuerda que forma un ángulo de 30◦
con la horizontal.
(a) ¿Cuál es la fuerza m´ınima con la que debe tirarse de la cuerda para poder
deslizar el bloque?

30o
l/2
l l/4
(b) El suelo está interrumpido en un tramo de longitud l/4. Si los obreros tiran
con la fuerza antes calculada y el bloque se desplazara cuasiestáticamente,
¿podrán salvar esta separación o por el contrario el bloque volcará antes?
Dato adicional: coeficiente de rozamiento µ = 1
4 .
Solución:
(a) La fuerza m´ınima para que el bloque deslice es igual a la fuerza que ha de
aplicarse en la situación de deslizamiento inminente. La condición de deslizamiento
inminente se da cuando la fuerza de rozamiento en el apoyo rugoso alcanza su
valor máximo:
FR = FR max = µN. (P3.1)
Además, contamos con las tres condiciones escalares de equilibrio del sólido r´ıgido
plano:
Fx = 0, (P3.2)
Fy = 0, (P3.3)
MOz = 0. (P3.4)
Las fuerzas que actúan sobre el bloque de piedra las indicamos en el diagrama de
sólido libre de ligaduras (sólo el apoyo rugoso, pues la cuerda en este caso es un
mero trasmisor de la fuerza —activa— de los obreros, horizontal inicialmente, a
una dirección de 30◦
respecto de la horizontal) de la fig. P3a:
30o
l/2
l/2
O
G
B
A
P
FR
N
x
y
x+
←
←
←
T = F
← ←
FIGURA P3a: Resolución del aparta-
do (a).
Eligiendo los ejes coordenados y el punto O como en la fig. P3a, y teniendo en
cuenta que F = T = (F cos 30◦
, −F sen 30◦
), las cuatro condiciones anteriores
se convierten en las siguientes 4 ecuaciones con 4 incógnitas (F, N, FR, x), de las
cuales nos interesa F = Fmax eq:
FR = µN, (P3.5)
F cos 30◦
− FR = 0, (P3.6)
−F sen 30◦
− P + N = 0, (P3.7)
−F cos 30◦ l
2
− F sen 30◦ l
2
+ N x = 0. (P3.8)

Resolviendo el sistema obtenemos los siguientes resultados:
F =
104
4
√
3 − 1
1,69 × 103
kp, (P3.9)
N =
2
√
3 × 104
4
√
3 − 1
5,84 × 103
kp, (P3.10)
FR =
5
√
3 × 103
4
√
3 − 1
1,46 × 103
kp, (P3.11)
x =
√
3 + 1
4
√
3
l
2
0,4
l
2
, (P3.12)
de los cuales, el que nos ped´ıan en este apartado es F = Fmax eq = 1,69 × 103
kp.
Podemos comprobar, de paso, que el bloque no ha llegado a la situación de vuelco
inminente, ya que − l
2 < x < l
2 y, por tanto, el punto de aplicación de la normal y
de la fuerza de rozamiento está dentro de la superficie de apoyo.
(b) Como la fuerza Fmax eq calculada anteriormente puede considerarse también
como la fuerza m´ınima para poner en movimiento al bloque, ahora vamos a suponer
que es eso lo que ocurre: los obreros han puesto en movimiento el bloque con la
menor fuerza posible, de modo que es un movimiento el del bloque sin aceleración
alguna, con velocidad constante.
Entonces, desde un sistema de referencia que se moviera con la velocidad del
bloque, viéndolo as´ı en reposo en todo instante (es decir, en equilibrio) se cumplirán
las condiciones de equilibrio (suma de fuerzas y suma de momentos iguales a
cero) que se usan desde un sistema de referencia solidario a la Tierra (sistema de
referencia inercial); y ello es válido porque el sistema móvil respecto de la Tierra
también es inercial por ser su velocidad constante.
Nos preguntan si el bloque pasa por el hueco en el suelo, de longitud l
4 , sin volcar
o, por el contrario, si volcar´ıa antes.
Si el suelo no tuviera huecos, estar´ıamos en cualquier instante en la situación
“cuasiestática” que modela el diagrama de fuerzas de la fig. P3a, de modo que a
la pregunta de si vuelca o no el bloque se contestar´ıa negativamente, tal y como
se hace al final de la resolución del apartado (a).
Pero es que cuando el bloque va pasando por el hueco sucede que el bloque va
perdiendo apoyo, de forma que el punto de aplicación de la normal y de la fuerza
de rozamiento queda restringido a una superficie de apoyo menor.
La situación más desfavorable para el punto de aplicación es cuando el bloque
sobresale respecto del borde izquierdo del hueco justo la misma longitud de éste,
l
4 (justo antes de tocar el borde derecho del hueco), como se ilustra en la fig. P3b:
30o
l/2
l/2
l/4 l/4
O
G
B
A
P
FR
N
x
←
←
T = F
← ←
←
FIGURA P3b: Resolución del aparta-
do (b).
Es entonces, en esa situación más desfavorable, cuando debemos ver si el bloque
vuelca con la fuerza aplicada en el apartado (a) o si continúa sin volcar, en “cua-
siequilibrio”, lográndose as´ı con seguridad (incluso en el caso más desfavorable)
salvar el hueco.
Vemos en la fig. P3b que ahora la condición de no-vuelco, es decir, que el punto
de aplicación de la normal y de la fuerza de rozamiento esté en la superficie de
apoyo, pasa a ser − l
2 < x < l
4 .
Como sigue siendo x 0,4 l
2 = 0,8 l
4 , pues no han variado respecto del apartado (a)
ninguna de las fuerzas activas aplicadas ni sus puntos de aplicación, comprobamos

que se cumple la condici´on de no-vuelco, y el bloque puede salvar el hueco en las
condiciones del enunciado.

Problemas propuestos 131
Problemas propuestos
4.1. Un sólido r´ıgido plano homogéneo de 10 N de peso y
forma cuadrada de 6 m de lado, se encuentra en equilibrio
bajo la acción de una fuerza horizontal hacia la izquierda de
módulo F aplicada en el vértice superior derecho del cua-
drado. Supondremos que en el equilibrio el cuadrado tiene
dos lados completamente verticales. Calcula el número de
grados de libertad, el valor de F y las fuerzas y momentos
de reacción vincular en caso de que en el vértice inferior
izquierdo del cuadrado haya
(a) una articulación.
(b) una deslizadera r´ıgida con gu´ıa horizontal.
(c) un empotramiento.
¿Qué sucede si
(d) en el vértice inferior izquierdo hay un apoyo simple
sobre una base horizontal?
(e) hay dos articulaciones, una en el vértice inferior iz-
quierdo y otra en el vértice inferior derecho?
4.2. La marquesina de un establecimiento se modela por
una barra homogénea r´ıgida de longitud l = OB = 1 m y
peso P = 230 N, vinculada a la fachada exterior mediante
una articulación en el punto O y una biela en el punto A,
según se muestra en la figura. Sobre la marquesina se ejer-
cen además dos fuerzas activas F1 y F2, que actúan sobre
los puntos C y B de la barra. En esas condiciones:
(a) Calcula el número de grados de libertad de la marque-
sina, y clasif´ıcala según su estabilidad.
(b) Determina los vectores fuerza de reacción vincular en
el punto O y en el punto A.
Datos adicionales:
OC = l/4, OA = l/3, α = 37◦
;
|F1| = 100 N, |F1x| = 60 N;
|F2x| = 20 N, tan β = 3
4 .
Nota: Usa sen 37◦
= 3
5 cos 37◦
= 4
5 .
O B
C
A
x
y
b
a
F1
¬
F2
¬
PROBLEMA 4.2
4.3. El triángulo rectángulo de la figura representa un sóli-
do r´ıgido homogéneo y de peso P = 90 kp, que se apoya
sin rozamiento en los puntos A y C. Las fuerzas F1 y F2
están aplicadas en los puntos medios de los lados BC y
AB, respectivamente, y sus módulos son: F1 = 20 kp y
F2 = 50 kp.
(a) Calcula el número de grados de libertad del sistema.
(b) Calcula la resultante y el momento en B del sistema
de fuerzas activas {F1, F2, P} que actúan sobre el sólido.
(c) Encuentra un punto Q del lado AB en el que dicho
sistema de fuerzas activas puede reducirse a una única
fuerza y calcula las componentes de dicha fuerza.
(d) Calcula la ecuación del eje central del sistema de fuer-
zas activas.
(e) ¿Estará el sólido r´ıgido en equilibrio en las condiciones
del enunciado? Justifica la respuesta. En caso de respon-
der negativamente, ¿es posible conseguir el equilibrio del
sólido r´ıgido en dicha posición añadiendo una fuerza en B?
Datos adicionales: Considera cos 53◦
= 3
5 , sen 53◦
= 4
5 .
6 m
3 m
O C
BA
x
y
37º
F1
F2
PROBLEMA 4.3

4.4. Sobre el sólido r´ıgido de la figura, homogéneo y de
peso P = 12 kp, actúan las fuerzas F1 y F2, de módulos
respectivos |F1| = 8 kp y |F2| = 10 kp. F2 está aplicada en
el punto medio del lado AB. El sólido está articulado en O
y del punto A parte un cable tenso, que forma 30◦
con la
horizontal. Calcula:
(a) El número de grados de libertad del sistema.
(b) La resultante y el momento en O del sistema de fuer-
zas activas que actúan sobre el sólido.
(c) En qué punto del lado OA es posible aplicar una úni-
ca fuerza equivalente al sistema de fuerzas activas y las
componentes de dicha fuerza única.
(d) La ecuación del eje central de ese sistema de fuerzas.
(e) Si es posible reducir el sistema de fuerzas activas a
una única fuerza en un punto del lado OB.
(f) El vector fuerza de reacción vincular en O y la tensión
del cable.
(g) El módulo y sentido de una fuerza vertical F3 que,
aplicada en A y añadida a las fuerzas activas indicadas,
permite eliminar el cable manteniendo el equilibrio del sóli-
do en la posición indicada.
Datos adicionales: OA = 6 m, OB = 2 m. Considera
cos 53◦
= 3
5 , sen 53◦
= 4
5 .
y
x
A
B
O
F1
F2
30o
53o
←
←
PROBLEMA 4.4
4.5. La figura muestra un dispositivo elevador de carga que
consideraremos un sólido r´ıgido, constituido por una plata-
forma, un mástil vertical y un brazo horizontal de espesores
despreciables. La plataforma tiene peso de módulo Q, mien-
tras que el mástil y el brazo tienen pesos despreciables. Del
brazo pende una carga P de módulo 1200 N. Para asegurar
el equilibrio, el punto medio del mástil está sujeto al suelo
por medio de un tensor inclinado 53◦
respecto del mástil.
El tensor consiste en un muelle de longitud natural nula,
constante elástica k = 1000 N/m y alargado ∆l = 2 m,
el cual está unido a un cable anclado al suelo. En estas
condiciones:
(a) Reduce las fuerzas debidas al muelle y a la carga P
a una fuerza única aplicada sobre el mástil, indicando el
punto de aplicación sobre el mástil.
Si la plataforma tiene una base de 2 m de longitud y
está apoyada con rozamiento sobre una superficie horizon-
tal, siendo el coeficiente de rozamiento µ = 0,5:
(b) Calcula el valor m´ınimo del módulo del peso Q de la
plataforma para garantizar el equilibrio frente al desliza-
miento y al vuelco.
Datos adicionales: Considera: sen 53◦
= 4
5 , cos 53◦
= 3
5 .
PROBLEMA 4.5
4.6. En la figura se muestra el mecanismo que regula la in-
clinación del toldo de un establecimiento comercial. La tela
del toldo descansa sobre la barra homogénea de aluminio
AB, de peso 15 kp, que se encuentra vinculada a la pared
vertical mediante la biela CD y un apoyo con rozamiento
en A. Para mantener en equilibrio el toldo, se dispone el
muelle AA , de longitud natural nula y constante elástica
k = 110 kp/m. El peso de la tela del toldo, de valor 20 kp,
puede suponerse aplicado en el punto E.
(a) Enumera las fuerzas activas que actúan sobre el toldo.
(b) Halla la resultante del sistema de fuerzas activas y su
momento en el punto A.
(c) Reduce el sistema de fuerzas activas a una fuerza úni-
ca mecánicamente equivalente e indica a qué distancia del
punto A, sobre la barra AB, habrá de aplicarse dicha fuer-
za.

Problemas propuestos 133
(d) Para la situación de equilibrio mostrada en la figu-
ra, determina los vectores fuerza de reacción vincular que
actúan sobre la barra en los puntos A y C.
(e) ¿Qué valor m´ınimo del coeficiente de rozamiento en
el contacto A garantiza este equilibrio?
Datos adicionales: AB = 2 m, AC = 4
3 m, AE = 3
2 m,
AA = 1
2 m. Considera: sen 37◦
= cos 53◦
= 3
5 , cos 37◦
=
sen 53◦
= 4
5 .
x
E
A
A'
B
C
D
37o
53o
PROBLEMA 4.6
4.7. El sistema elevador de carga de un pozo está forma-
do por un motor pesado, apoyado con rozamiento sobre el
suelo, y unido mediante una cuerda a una plataforma que
sostiene la carga Q. En las condiciones indicadas, el motor
deslizar´ıa por la acción de la carga, por lo que se ha dis-
puesto un cable metálico que une la base del motor a un
punto fijo de una pared. Cuando el sistema está en reposo:
(a) Determina el valor máximo de la carga Q que puede
sostener el motor si la tensión de rotura del cable metálico
es Tmax = 9 × 103
N.
(b) Para la situación del apartado (a), calcula el punto de
aplicación de la reacción del suelo sobre la base del motor.
(c) Si se sustituye el cable anterior por otro mucho más
resistente, de forma que quede descartada su rotura, de-
termina el valor máximo de la carga Q que puede sostener
el motor sin que éste vuelque.
Otros datos: Pmotor = 105
N, µ = 0,4. Usa sen 37◦
=
3
5 cos 37◦
= 4
5 .
37
o
Q
3 m
3,05 m
PROBLEMA 4.7
4.8. Un sólido r´ıgido plano y homogéneo de peso P, con
forma de triángulo rectángulo está sobre un plano inclina-
do un ángulo α respecto a la horizontal, tal como se indica
en la figura. El coeficiente de rozamiento estático entre el
triángulo y el plano es µ = 3
2 . El triángulo está sometido
a una fuerza horizontal hacia la izquierda aplicada en el
vértice V , cuyo módulo es P/2.
(a) Calcula a partir de qué valor de α el triángulo desli-
zar´ıa hacia la izquierda.
(b) Calcula a partir de qué valor de α el triángulo volcar´ıa.
(c) Explica razonadamente qué le pasar´ıa al triángulo
(desliza, vuelca, o permanece en equilibrio) en los casos
α = 20◦
y α = 28◦
.
Sugerencia: Expresa todas las fuerzas en el sistema de re-
ferencia indicado en la figura.
6 m
3 m
O
V
x
y
a
F
←
PROBLEMA 4.8
4.9. Una viga uniforme de peso P y espesor desprecia-
ble descansa sobre un soporte horizontal rugoso, según se
muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento entre la
viga y el soporte es µ = 0,388. Si se tira desde el extre-
mo con una fuerza de módulo W = P/
√
3 y a un ángulo
0 ≤ θ ≤ 90◦
, determina el intervalo de ángulos θ para los
cuales la viga puede permanecer en equilibrio.
Recuerda: cos θ =
√
1 − sen2θ.

L/3 L/3 L/3
W
q
←
PROBLEMA 4.9
Cuestiones
4.1. Para que un sólido r´ıgido, que está inicialmente en re-
poso respecto de un sistema de referencia inercial, esté en
equilibrio es necesario y suficiente que el sistema de fuerzas
que actúa sobre él
(a) sea nulo.
(b) tenga invariante escalar nulo.
(c) tenga resultante nula e invariante escalar nulo.
(d) tenga momento nulo.
4.2. Sea un sólido r´ıgido rectangular ligado externamente
mediante tres apoyos simples bilaterales: dos de ellos so-
bre una misma superficie horizontal y el tercero sobre una
superficie vertical. Es correcto afirmar que el sólido
(a) está en equilibrio, con seguridad.
(b) no puede estar en equilibrio porque no cumple el teo-
rema de las tres fuerzas.
(c) únicamente estará en equilibrio si no está sometido a
ninguna fuerza activa.
(d) únicamente estará en equilibrio si también está some-
tido a fuerzas activas de resultante no nula.
4.3. Sobre un sólido r´ıgido libre actúa un sistema de fuerzas
activas coplanarias integrado sólo por tres fuerzas F1, F2
y F3. Las tres fuerzas son paralelas, y sus rectas de acción
no coincidentes: F1 y F2 tienen el mismo módulo (ambas
500 N) y el mismo sentido; F3 tiene de módulo 1000 N, y
sentido opuesto a las anteriores. Señala la opción correcta:
(a) El sólido r´ıgido está necesariamente en equilibrio de-
bido al paralelismo de las fuerzas, de acuerdo con el enun-
ciado del teorema de las tres fuerzas.
(b) Con seguridad, el sólido r´ıgido no está en equilibrio:
un sistema como éste equivale siempre a un par.
(c) El sólido estará en equilibrio sólo si la recta de acción
de F3 equidista de las rectas de acción de F1 y F2.
(d) El sólido con seguridad no está en equilibrio, dado que
no hay ninguna ligadura que lo inmovilice externamente.
4.4. Sobre un sistema de puntos materiales arbitrario actúa
un sistema de fuerzas exteriores e interiores. Supóngase que
se cumple que la resultante de las fuerzas exteriores es nu-
la, Rext
= 0, y que el momento de las fuerzas exteriores
respecto a un punto Q es nulo, Mext
Q = 0. Señala la opción
correcta:
(a) Tenemos la garant´ıa de que el sistema de puntos ma-
teriales está en equilibrio.
(b) El sistema de puntos materiales estará en equilibrio
sólo si se trata de un sólido r´ıgido, pero es seguro que no
lo estará en caso contrario.
(c) Si el sistema de puntos materiales es un sólido r´ıgido,
el equilibrio está garantizado.
(d) Podemos afirmar que la suma de las fuerzas que
actúan sobre cualquier part´ıcula del sistema es nula: las
interiores cancelarán a las exteriores en cada punto.
4.5. Las fuerzas y momentos de reacción vincular
(a) producen movimientos compatibles con los v´ınculos a
los que sustituyen.
(b) forman un sistema nulo si hay equilibrio.
(c) aseguran el equilibrio bajo cualquier sistema de fuerzas
aplicadas.
(d) ejercen las mismas funciones mecánicas que los v´ıncu-
los a los que sustituyen.
4.6. De las fuerzas de reacción vincular que se ejercen sobre
un sólido r´ıgido ligado siempre podemos afirmar que
(a) independientemente de que esté en equilibrio o no, en
general sus módulos, direcciones y sentidos dependen de
las fuerzas activas a las que el sólido está sometido.

Cuestiones 135
(b) independientemente de que esté en equilibrio o no,
sus módulos dependen de las fuerzas activas, no as´ı sus
direcciones, que siempre vienen determinadas por el tipo
de ligadura.
(c) si el sólido está en equilibrio, la suma de sus momentos
respecto de un punto cualquiera es cero.
(d) independientemente de que esté en equilibrio o no, su
resultante tiene el mismo módulo y dirección que la resul-
tante de las fuerzas activas, pero sentido contrario.
4.7. El v´ınculo plano denominado deslizadera (o, con más
precisión, deslizadera móvil sobre árbol liso)
(a) es una ligadura doble (ejerce dos coacciones).
(b) obliga a que un punto del sólido permanezca sobre
una l´ınea.
(c) introduce dos incógnitas de reacción vincular que se
suelen identificar con las componentes cartesianas de la
fuerza de reacción vincular.
(d) cancela tres grados de libertad.
4.8. Sean dos sólidos r´ıgidos en el plano que tienen un con-
tacto extenso con rozamiento. Señala la opción falsa.
(a) El v´ınculo equivale a una fuerza igual a la resultante
del sistema de fuerzas distribuidas en la zona de contacto,
aplicada en un punto Q del contacto, y un par de momento
igual al momento de dicho sistema respecto a Q.
(b) El v´ınculo se puede sustituir por una única fuerza igual
a la resultante del sistema de fuerzas distribuidas en la zo-
na de contacto, en el punto donde el momento de dicho
sistema sea nulo.
(c) El coeficiente de rozamiento estático tiene dimensio-
nes de fuerza/longitud.
(d) La fuerza de rozamiento estático puede ser menor que
la fuerza de rozamiento dinámica.
4.9. Dos cuerpos A y B de igual peso P, pero de distinto
material, están en equilibrio sobre un plano inclinado un
ángulo α. Sean µA y µB los coeficientes de rozamiento
estático respectivos con el plano. Si µA < µB ¿cómo serán
las fuerzas de rozamiento correspondientes FRA y FRB en
cada contacto?
(a) Serán nulas por estar en equilibrio ambos bloques.
(b) Serán iguales en módulo, |FRA| = |FRB|, y no nulas.
(c) Se cumplirá que |FRB| > |FRA|.
(d) Se cumplirá que |FRA| > |FRB|.
4.10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
(a) El valor máximo de la fuerza de rozamiento estático
es µN, donde µ es el coeficiente de rozamiento estáti-
co y N es el módulo de la fuerza normal en el contacto
considerado.
(b) La fuerza de rozamiento máxima es la fuerza que hay
que vencer para que dos superficies en contacto empiecen
a deslizar una respecto de otra.
(c) Para un contacto dado entre dos superficies, el coefi-
ciente de rozamiento cinético o dinámico es menor que el
estático.
(d) Dos cuerpos en contacto empezarán a deslizar relati-
vamente cuando la fuerza de rozamiento del contacto haya
disminuido hasta hacerse nula.
4.11. Un bloque homogéneo de sección rectangular, con ba-
se b y altura h, está apoyado con rozamiento sobre una
superficie horizontal. Sobre el vértice superior se ejerce una
fuerza horizontal igual en módulo a su peso. Si el bloque
está en equilibrio podemos asegurar que
(a) la altura h puede tomar cualquier valor menor o igual
que la base b.
(b) el coeficiente de rozamiento estático en el contacto es
menor que la unidad.
(c) la altura h es menor o igual que la mitad de la base.
(d) el coeficiente de rozamiento estático en el contacto
puede tomar cualquier valor mayor o igual que 0,5.
4.12. Sea un sólido r´ıgido en equilibrio y dispuesto sobre una
superficie con la que tiene rozamiento.
(a) En estado de deslizamiento inminente la fuerza de ro-
zamiento se anula.
(b) Tanto en el estado de deslizamiento inminente como
de vuelco inminente la fuerza de rozamiento adquiere su
valor máximo.
(c) En estado de vuelco inminente la reacción del con-
tacto está aplicada en el extremo de la base de apoyo, y
en el estado de deslizamiento inminente la fuerza normal
está aplicada en el punto medio de la base.
(d) En la situación de vuelco inminente la fuerza de roza-
miento adquiere un valor menor o igual que la fuerza de
rozamiento máxima.

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