1. Mecánica y Resistencia de materiales (DI1013)
Tema 1: Fuerzas
TEMA 1: FUERZAS
1. Tema 1: FUERZAS
1.1. Concepto de fuerza. Principios de la estática.
1.2. Concepto de momento.
1.3. Composición de fuerzas.
1.4. Condiciones de equilibrio.
1.1 CONCEPTO DE FUERZA. PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA.
•
Definición: Una fuerza representa la acción que un cuerpo realiza sobre otro.
Ejemplos: El peso es la fuerza que la tierra ejerce sobre nosotros, el esfuerzo
que hacemos para desplazar un objeto.
La fuerza es la causa que puede producir 2 efectos diferentes:
•
Deformaciones
•
Desplazamiento
Una fuerza cualquiera viene definida por las siguientes características:
•
Punto de aplicación
•
Dirección (línea de acción de la fuerza)
•
Sentido (en el que se aplica la fuerza)
•
Magnitud (valor de la fuerza)
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Estas son las características correspondientes a un vector, por tanto, las
fuerzas se podrán representar por vectores. Recordemos que se podía distinguir entre
magnitudes escalares, que venían definidas únicamente por un número (ej: Altura de
1.72m, temperatura de 13ºC), y magnitudes vectoriales, se definían mediante vectores
(ej: si se dice que se hace una fuerza de 20N sobre la mesa no es suficiente para
definirla, porque no sé donde se aplica ni hacia donde).
Los vectores pueden ser de 3 tipos:
•
•
•
Libres: Aquellos cuyo punto de aplicación puede ser cualquiera del
espacio, quedan definidos mediante su sentido y módulo.
El vector libre está representado por cualquiera de los segmentos AB ,
A' B' , … paralelos entre sí, iguales y del mismo sentido trazados a partir
de cualquier punto A, A’, …
Deslizantes: Vectores que además de sentido y módulo, están
determinados por la recta soporte del vector (dirección).
Ligados: Precisan la definición de las 4 características de un vector para
estar determinados.
Clasificación de fuerzas:
•
•
Puntuales: Aplicadas en un punto.
Distribuidas:
o Fuerzas de volumen: están distribuidas en el volumen del cuerpo y
aplicadas a cada una de sus partículas. Ejemplos: el peso, las fuerzas
magnéticas, …
o Fuerzas de superficie: están distribuidas en la superficie el cuerpo, y
representan las acciones de contacto de los cuerpos. Ejemplos: El
rozamiento, el empuje el agua sobre una presa, el empuje de la tierra
sobre un muro de contención, …
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En realidad, las fuerzas siempre son distribuidas, no existen las fuerzas
puntuales o concentradas, pero en muchos casos se pueden modelizar como
puntuales para realizar su estudio.
en realidad tenemos
Unidades de fuerza:
Sistema internacional ⇒ Newton (N)
⎫
⎬ 1kgf = 9,81N
Sistema técnico ⇒ Kilogramo fuerza (kgf)⎭
r
r
F = m·a
⎛1N = 1kg·1 m ⎞
⎜
⎟
s2 ⎠
⎝
En el S.I., 1N es la fuerza que hay que aplicarle a 1kg de masa para que su
aceleración sea la de la gravedad.
Principios de la estática:
Un punto material (en mecánica) es un cuerpo cuyas dimensiones pueden
despreciarse cuando se describe su movimiento. Se considera que los cuerpos están
formados por puntos materiales.
Un cuerpo rígido es un sistema de puntos materiales en el que la distancia
entre cualquier pareja de puntos permanece constante. Los cuerpos rígidos tampoco
existen en realidad, sin embargo, la mayoría de los cuerpos con los que trabajamos se
pueden considerar como tales a efectos prácticos, ya que las deformaciones que
padecen son muy pequeñas.
En esta asignatura sólo se trabajará con sólidos rígidos, en concreto, se
estudiará el comportamiento estático de los mismos, es decir, sin movimiento. Al
campo que estudia esto se le denomina estática.
La estática del cuerpo rígido se basa en los siguientes principios:
1) Principio de las 2 fuerzas iguales y directamente opuestas:
“El estado de un cuerpo rígido no se modifica si se aplican o se suprimen 2
fuerzas iguales y opuestas que tengan la misma línea de acción”
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Ejemplo:
Aplicando estas 2 fuerzas iguales y
directamente opuestas la mesa no se
mueve, aunque su estado tensional es
diferente al que tenía cuando no se
aplicaban las dos fuerzas.
De este principio se deriva el teorema de transibilidad: “El efecto que una
fuerza ejerce sobre un cuerpo rígido no se modifica si traslada la fuerza a cualquier
punto de su línea de acción, con tal de que dicho punto esté rígidamente unido al
cuerpo”
De acuerdo con este principio, una fuerza aplicada a un cuerpo rígido se
representa con un vector deslizante.
2) Principio de las fuerzas concurrentes:
"El efecto que produce sobre un cuerpo rígido la aplicación de un sistema de
r
fuerzas concurrentes en un punto, es equivalente a una única fuerza, R , aplicada en
dicho punto, denominada Resultante, que está representada por un vector igual a la
suma vectorial de las fuerzas concurrentes”
n
R = ∑ Fi = F1 + F2 + L + Fn
i =1
En el caso de que sólo existan 2 fuerzas, se puede aplicar la regla del
paralelogramo:
3) Principio de la igualdad de acción y reacción (3ª Ley de Newton):
"La acción que un cuerpo A ejerce sobre otro cuerpo B, es igual y directamente
opuesta a la que ejerce el cuerpo B sobre el cuerpo A”
Ejemplo: Soportar un peso
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1.2 CONCEPTO DE MOMENTO.
r
El momento de una fuerza F , aplicada en un punto A, respecto de un punto O,
es la magnitud vectorial representada por el producto vectorial:
r
i
M O = OA × F = OAx
Fx
v
j
OA y
Fy
r
k
OAz =
Fz
r
r
r
= (OA y ·Fz − OAz ·F y )i + (OAz ·Fx − OAx ·Fz ) j + (OAx ·F y − OA y ·Fx )k
Por definición de producto vectorial, el momento de una fuerza respecto a un
r
punto, es un vector perpendicular al plano definido por OA y F , y su magnitud es:
M O = OA · F ·sin θ = F ·d
donde d es la distancia mínima delr punto
O a la línea de acción de la fuerza F . Y el
sentido viene dado por la regla del
sacacorchos (o del tornillo o de la mano
derecha)
El momento es independiente del punto de aplicación de la fuerza sobre su
línea de acción. Observar que d es la distancia mínima, que no cambia con el punto de
aplicación de la fuerza (siempre que se mantenga en su línea de acción).
La simbología utilizada para representar el sentido del momento suele ser:
Ya se ha visto que los efectos que puede ocasionar una fuerza son
desplazamientos y deformaciones, pues si la causa es un momento, el efecto es un
giro:
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6. Mecánica y Resistencia de materiales (DI1013)
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Unidades de momento:
Sistema internacional ⇒ Newton · metro (N·m)
Sistema técnico ⇒ Kilogramo fuerza · metro (kgf·m)
Teoremas del momento de una fuerza respecto de un punto:
a)
“El momento de una fuerza respecto de un punto cualquiera (O’), es igual a la
suma de su momento respecto a otro punto (O), y el momento respecto a O’ de una
fuerza igual a F aplicada en O”
O
O’
F
A
M O ' = O' A × F = (O' O + OA) × F = O' O × F + OA × F = O' O × F + M O
Esto quiere decir que, a efectos de cálculo, los dos sistemas siguientes son
equivalentes:
b) TEOREMA DE VARIGNON:
“El momento respecto a un punto O de la resultante de un sistema de fuerzas
concurrentes es igual a la suma de los momentos respecto a O de todas las fuerzas
del sistema”
n
∑M
O'
i =1
= OA × F1 + OA × F2 + L + OA × Fn =
= OA × ( F1 + F2 + L + Fn ) =
= OA ×
n
∑F
n
i =1
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= OA × R

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Par de fuerzas:
El par de fuerzas (o simplemente par) es un caso particular de momento, es un
sistema de dos fuerzas de igual magnitud y sentidos opuestos, aplicados a un cuerpo
rígido según dos líneas de acción paralelas:
El momento M del par de fuerzas respecto de un punto cualquiera O viene
dado por:
MO =
2
∑M
i =1
Oi
= OA1 × F1 + OA2 × F2
Al ser F2 = − F1 , se tiene ⇒
M = OA1 × F1 − OA2 × F1 = (OA1 − OA2 ) × F1 = −( A1O + OA2 ) × F1 = − A1 A2 × F1 = A2 A1 × F1
Se ha realizado la demostración para un punto O pero al final se observa que el
momento no depende para nada del punto O elegido.
El vector M es un vector perpendicular al plano definido por A1 A2 y F1 , es
decir, al plano que contiene al par. Su magnitud es F1 · A1 A2 ·sin θ = F ·d , siendo F la
magnitud de las fuerzas del par, y d la distancia entre ellas, o brazo del par. Se vuelve
a observar que el momento del par respecto a un punto cualquiera tiene su magnitud,
dirección y sentido independientes del punto elegido.
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1.3 COMPOSICIÓN DE FUERZAS.
“Un sistema de fuerzas cualesquiera que actúa sobre un cuerpo rígido puede
siempre reducirse a una fuerza resultante aplicada en un punto elegido arbitrariamente
y a un par resultante”.
Si consideramos un cuerpo rígido sometido a una serie de
esfuerzos
En un punto O cualquiera del cuerpo rígido se aplican 2
fuerzas F1 ' y F1 ' ' iguales y directamente opuestas, de la
misma magnitud y dirección que F1 , lo que no modifica el
estado del cuerpo por el principio de las dos fuerzas iguales
y opuestas
De este modo, se sustituye la acción de la fuerza F1
aplicada en el punto A1 , por la acción conjunta de:
- La fuerza F1 ' , aplicada en O
+
- El par de fuerzas formado por F1 y F1 ' ' (que como hemos
visto antes es independiente del punto considerado)
Si realizamos análogas sustituciones con las restantes fuerzas, el sistema de
fuerzas dado se transforma en un sistema equivalente formado por las fuerzas
F1 , F2 ,..., Fn aplicadas en O y los pares de fuerzas correspondientes.
Componiendo las fuerzas concurrentes den O, se obtiene la fuerza resultante
aplicada en O, y componiendo los pares, se obtiene su par resultante de momento
MO =
n
∑M
O ( Fi )
. La composición de fuerzas realizada de esta manera se denomina
i =1
Reducción del sistema de fuerzas al punto O:
R = F1 + F2 + L + Fn
MO =
n
∑M
O ( Fi )
i =1
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= OA1 × F1 + OA2 × F2 + L + OAn × Fn

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1.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO.
Se llaman fuerzas externas a un cuerpo rígido, a las acciones que ejercen
sobre los cuerpos los puntos materiales del mismo, los puntos materiales de otro
sistema:
Un sistema de cuerpos se encuentra en equilibrio cuando su estado no se
modifica con el tiempo, es decir, cuando no se deforma y permanece en reposo, o en
movimiento con velocidad constante.
La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo rígido esté en equilibrio,
es que el sistema de fuerzas externas aplicadas al cuerpo sea equivalente a cero. Esta
condición exige que el sistema de fuerzas externas aplicadas al cuerpo rígido tenga
nulos la resultante general, R , y el momento resultante, M , relativo a cualquier punto:
⎧ n
⎪ Fxi = 0
⎪ i =1
⎪ n
⎪
R = 0 ⎨ F yi = 0
⎪ i =1
⎪ n
⎪ Fz = 0
⎪ i =1 i
⎩
⎧ n
⎪ M xi = 0
⎪ i =1
⎪ n
⎪
M = 0⎨ M yi = 0
⎪ i =1
⎪ n
⎪ Mz =0
i
⎪ i =1
⎩
∑
∑
∑
∑
∑
∑
De las 2 ecuaciones vectoriales, podemos pasar a 6 ecuaciones escalares
(correspondientes a las proyecciones de R y M sobre los ejes) que se denominan
ecuaciones generales de equilibrio del cuerpo rígido.
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