SlideShare una empresa de Scribd logo

16934834 matematicas-financieras

•
•
C
Carlos Guillermo Triana Lopez
Educación
1 de 166
Descargar para leer sin conexión
1  UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA­UNAD  FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS  MATEMATICAS  FINANCIERAS  ARTURO ROSERO GÓMEZ  BOGOTA – COLOMBIA  2005
2  COMITÉ DIRECTIVO  Jaime Alberto Leal  Afanador  Rector  Roberto Salazar Ramos  Vicerrector Académico  Sheifar Ballesteros Moreno  Vicerrector Administrativo y Financiero  Maribel Córdoba Guerrero  Secretaría General  Edgar Guillermo Rodríguez  Director de Planeación  La edición de este módulo estuvo a cargo de la  Facultad de Ciencias Administrativas de la UNAD.  Decano: Roque Julio Rodríguez Parra  MODULO  CURSO COMPONENTE DISCIPLINAR  @Copy Rigth  Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD  Isbn  2005­10­30
3  Centro Nacional de Medios  CONTENIDO  Pág.  Presentación  6  Introducción  8  UNIDAD DIDACTICA UNO  COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO  10  Explorando conocimientos previos  11  Capítulo Uno. Interés  12  1.  Interés  13  1.1  Conceptos  13  1.1.1 Concepto de interés  13  1.1.2 Concepto de interés simple  14  1.1.3 Concepto de interés compuesto  25  1.2    Tasas de interés  34  1.2.1Tasa de interés nominal  34  1.2.2 Tasa de interés efectiva  35  1.2.3 Conversión de tasas  42  Ejercicios para profundización de las temáticas  55  Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas  58  2.      Equivalencias con cuotas fijas  59  2.1    Cuotas fijas vencidas  59  2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas  vencidas  59  2.1.2 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotas  fijas vencidas  60  2.2  Cuotas fijas anticipadas  61  2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas  anticipadas  61  2.2.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas  anticipadas  61
4  2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas  vencidas con interés anticipado  62  Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables  64  3.        Equivalencias con cuotas variables  65  3.1.    Gradientes  65  3.1.1 Gradiente Aritmético  65  3.1.2 Gradiente Geométrico  69  3.2.    Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente  70  3.2.1 Equivalencias entre un valor presente y un Gradiente  Aritmético  70  3.2.2 Gradiente Aritmético Creciente  72  3.2.3 Gradiente Aritmético Decreciente  74  3.2.4 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente  Geométrico  76  3.3    Amortizaciones  78  3.3.1Tablas de amortización  78  3.3.2 Perpetuidades  90  Ejercicios para    profundización de las temáticas  92  UNIDAD DIDACTICA DOS  EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION  94  Actividades de exploración de conocimientos previos  95  Capitulo Uno. Clases de evaluaciones y criterios de decisión  96  1.  Clases o tipos de evaluaciones  97  1.1    Evaluación de proyectos sociales  97  1.1.1 Características  97  1.1.2 Relación Beneficio/Costo  98  1.1.3 Costo Capitalizado  98  1.2    Criterios para evaluar proyectos de inversión  103  1.2.1Tasa de descuento  103  1.2.2 Costo promedio Ponderado de Capital­WACC  104  1.2.3 Valor Presente Neto –VPN  105  1.2.4 Relación Valor Presente de los de los ingresos/ egresos  106  1.2.5 Tasa interna de Retorno –TIR  106  1.2.6 Costo Anual Uniforme Equivalente ­CAUE  109
5  2.        Análisis de Riesgos en los proyectos de inversión  112  2.1    Sistemas de Análisis  113  2.1.1 Distribución Beta 2  13  2.1.2 Distribución Beta  120  Capítulo Tres. Alternativas Mutuamente Excluyentes y no  Excluyentes  126  3.1    Alternativas Mutuamente Excluyentes  127  3.1.1 Comparación de alternativas  127  3.1.2 Tasa Verdadera  129  3.1.3 Tasa Ponderada  133  3.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento  136  3.1.5 Proyectos con vidas diferentes  139  Ejercicios para profundización de las temáticas  141  3.2.    Racionamiento de Capital  146  3.2.1 Modelo de Optimización  146  3.2.2 Planteamiento del Modelo  146  Ejercicios para la profundización de las temáticas  154  Apéndice. Sistema de financiación con UVR  155  Bibliografía y Cibergrafìa  165
6  PRESENTACION  La nueva    Universidad Nacional Abierta y a Distancia­ UNAD, recorrió    presurosa  toda su historia; inició un    proceso de reflexión que por principio se convirtió en  permanente  y  con  base  en  las  realidades  detectadas  mediante  el  proceso  de  “planificación  estratégica,  prospectiva  y  situacional”,  estructuró  un  conjunto  de  transformaciones    que la asoman al siglo XXI    como la fuente dinamizadora del  desarrollo del país y de la región. Por eso y por sus innovaciones organizacionales  la UNAD de hoy es una organización inteligente, es decir, una organización que  aprende.  Desde esta perspectiva, la nueva UNAD redefinió su misión y su accionar cada  vez es más coherente con ella y mediante su pedagogía propia de la metodología  de  la  educación  abierta  y  a  distancia  ofrecerá  oportunidades  tangibles  a  los  colombianos  mas  vulnerables,  para  ingresar  a  la  educación  superior  contribuyendo efectivamente a la educación para todos.  La  implementación  de  las  tecnologías  de la  información  y  de la  comunicación,  TIC’s, la ponen más cerca del nuevo paradigma educativo mundial, de conformar  redes  interactivas  con  todas  las  comunidades  y  organizaciones  nacionales  e  internacionales  interesadas  en  gestar  procesos  de  crecimiento  individual  y  colectivo.  Y los  cambios  e innovaciones que  viene  adelantando la pondrán a la  vanguardia, en el siglo XXI, de la Educación Abierta y a Distancia.  La producción de material didáctico hace parte de los cambios estructurales que  se vienen dando; es una de las actividades docentes; aquí es donde se tiene la  gran  oportunidad  de  actualizar  y  contextualizar  las  temáticas  de  los  cursos  académicos;  planear,  diseñar  y  actualizar  los  currículos  y  operacionalizar  el  modelo planteado desde el Proyecto Académico Pedagógico­PAP­ por el cual se  orienta  la  institución.  En  consecuencia  ­como  lo  expone  el  PAP­  el  material  didáctico  tiene  como  fin  apoyar  el  trabajo  académico  del aprendiente,  mediante  la planificación  de los  procesos  de  aprendizaje,  acorde  con las  competencias  e  intencionalidades formativas propuestas en los cursos académicos que componen  los campos de formación de un programa.  El  módulo  que  se presenta hace  parte  del material  didáctico  correspondiente  al  Curso  Académico  de  Matemáticas  Financieras  en  el  Ciclo  Tecnológico  del  Programa de Administración de Empresas. Es un rediseño al texto escrito por el  Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó esta decisión  con  base  en  el  levantamiento  del  estado  del  arte  del  material  que  se  venia  trabajando hasta enero de 2005, en consecuencia se determinó que el texto del  Doctor Rosillo además de presentar las temáticas correlacionadas con el currículo
7  del programa académico, está planteado desde lo básico hasta lo más complejo,  elemento esencial en el diseño de material didáctico.  El  producto  resultante  de  esta  mediación,  tiene  en  cuenta  los  elementos  estructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera que,  conjuntamente con la Guía Didáctica, sirva como soporte pedagógico al curso de  Matemáticas  Financieras,  el  cual  esta  estructurado  por  el  sistema  de  créditos  académicos.  Como  material  didáctico,      su  intencionalidad  es  apoyar  el  trabajo  académico de los aprendientes y el trabajo tutorial    en función del aprendizaje y el  desarrollo  cognitivo  y  metacognitivo  de los aprendientes,  en  correlación  con las  intencionalidades formativas del curso.  En  atención  a  que  el  nuevo  ordenamiento  mundial    está  provocando  nuevas  dinámicas en la economía; que la cultura, la comunicación y el mercado están en  un  proceso  de  globalización  acelerado  y  que  las  matemáticas  financieras  evolucionan constantemente en la medida en que cambian los escenarios sobre  los  cuales  actúan,  serán  bien  venidas  las  sugerencias  y  los  aportes  de  estudiantes,  tutores  y  cualesquiera  personas  que  quieran  contribuir  para  el  mejoramiento  de  este  material,  tanto  en  lo  temático    como  en  lo  pedagógico,  didáctico y metodológico.
8  INTRODUCCIÓN  El  administrador  de  empresa  puede  desenvolverse  profesionalmente  en  el  nivel  operativo  de  la  organización  aplicando  las  cuatro  funciones  principales  de  la  administración:  planeación,  organización,  dirección  y  control;  en  el  nivel  medio  como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los  tres  niveles  se  encarga    de  que los  recursos  sean  productivos  y  contribuyan  al  logro de las metas corporativas.  La  comprensión,  interpretación  y  aplicación  de  los  conceptos  propios  de  las  matemáticas financieras le permiten al aprendiente    el desarrollo de habilidades  en  el    manejo  de  las  herramientas  financieras  que  le  permitirán  en  el  ejercicio  profesional  proponer  con  argumentos  sólidos  alternativas  de  solución  a  las  problemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre  evaluación  de  alternativas  de  inversión    o  de  uso  y  aplicación  de  recursos  financieros.  Entre  las  posibilidades  inmediatas  de  aplicación  de  las  diferentes  herramientas  financieras  apropiadas  mediante  el  estudio  juicioso  de  las  temáticas  que  conforman  el  presente  módulo,  se  encuentran:  el  Proyecto  de  Desarrollo  Empresarial   (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemas  prácticos  que  se  identifiquen  en  las  actividades  de  proyección    y  apoyo  a  la  comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es la mayor atractivo  del estudio de esta rama del las matemáticas aplicadas.  Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas y  transversales  que  permitan  al  estudiante,  identificar,  apropiar  y  transferir  los  conceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y    evaluación de  proyectos  de  inversión  y  aplicar  ese  conocimiento  en  situaciones  de  toma  de  decisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financiera  de una organización o como miembro activo de su comunidad.  El presente módulo conjuntamente con la guía didáctica (protocolo académico y  guía  de  actividades),  conforman  el  material  didáctico  que  apoyará  el  trabajo  académico del aprendiente en el estudio del curso y con el propósito particular de  presentar la información en forma inteligible, está escrito en un lenguaje simple,  sin apartarse del léxico técnico pertinente a las cuestiones financieras.  En atención a que el curso, curricularmente responde a dos crédito académicos,  coherentemente el módulo se compone de dos unidades didácticas: 1. Costo del  dinero en el tiempo; 2. Evaluación de alternativas de inversión.    La primera unidad  la constituyen tres capítulos, los cuales contienen las temáticas relacionadas con  el  manejo  del  dinero,  tratado  como  mercancía  y  de  lo  cual  se  encargan  sustancialmente las matemáticas financieras; la segunda unidad integra otros tres  capítulos  que  tratan  los  temas  que  permiten  la  toma  de  decisiones  sobre  la
9  viabilidad o no de un proyecto y la elección de la alternativa más conveniente y  rentable para el uso de los fondos de las organizaciones.  La  metodología  propuesta  para  lograr  los  objetivos  esperados  se  orienta  al  autoaprendizaje, a través de la lectura con propósito de las temáticas, para lo cual  se recomienda desarrollar la estrategia SQA dispuesta al inicio de cada unidad;  resolver  los  ejercicios  propuestos  para  la  profundización  de  las  temáticas  y  la  aplicación  inmediata  en  el  PDE  o  en  casos  prácticos  para  la  solución  de  problemas en la comunidad.  Como  se  anotó  anteriormente,  este  material  viene  acompañado  de  la  guía  didáctica,  la  cual  además  de  la  información  sobre  las  características  del  curso  académico contiene la guía de actividades con    los elementos metodológicos de  evaluación y seguimiento del proceso de aprendizaje del curso.
10  UNIDAD UNO  COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO  Justificación  Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como:  interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá el  principio  de  equivalencia  financiera  y  conocerá  la  manera  de  realizar  todas  las  conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.  Objetivo General  A partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulas  de  interés  simple  e  interés  compuesto  y  establecer  los  parámetros  para  su  aplicación en las cuestiones financieras.  Objetivos específicos · Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto · Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de  Interés nominal dada o viceversa. · Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos · Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre  saldos mínimos · Encontrar  los  parámetros  que  permitan  calcular  las  sumas  presentes  equivalentes    a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal · Determinar  una  expresión  matemática  que  el  cálculo  del  valor  de  la  primera  cuota  para  con  base  en  el  sistema  de  amortización  se  pueda  calcular  las  restantes · Elaborar  tablas  y  gráficas  de  amortización  de  amortización  para  sistemas  de  amortización diferentes
11  El  desarrollo  de  esta  actividad  permite  indagar  los  conocimientos  que  se  tiene  sobre los contenidos a estudiar, de tal forma que    facilita la recepción de la nueva  información y genera mayor comprensión de las temáticas.  Después de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestar  las siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. “SQA”.  ¿Qué SE acerca de?  ¿Interés;  Interés simple; interés compuesto; tasas de interés; tasa de interés  nominal;  tasa  de  interés  efectiva,  crédito  con  cuotas  fijas;  crédito  con  cuotas  variables; amortización de créditos?  Una vez realizada la reflexión sobre los vacíos encontrados al tratar de responder  los interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 “SQA”, lo  que se desea conocer sobre los temas tratados. Así se resuelve la pregunta:  ¿Qué Quiero Saber?  Después de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolver  las  actividades  de  profundización  y  de  socializar  las  temáticas  con  los  demás  estudiantes  del  curso,  se  debe  completar  el  cuadro  “SQA”    registrando  en  la  tercera  columna  el  conocimiento  nuevo,  construido  mediante  el  estudio  de  la  unidad. El registro de los logros, responde la pregunta:  ¿Qué Aprendí?  Cuadro 1 “SQA”  ¿QUÉ SÉ  QUÉ QUIERO SABER  QUÉ APRENDÍ  Saberes previos:  Meas de aprendizaje:  Logros: nuevo conocimiento  Qué se  sobre…..?  ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN  DE CONOCIMIENTOS PREVIOS
12  CAPITULO UNO  INTERÉS  Justificación  Una vez el aprendiente haya terminado el estudio de este capítulo estará en  capacidad  de  comprender  el  concepto  del  valor  del  dinero  respecto  del  tiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas  de índole financiero y realizar los cálculos para las operaciones financieras  Objetivo General  A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas el estudiante  debe  deducir  las  fórmulas  de  interés  simple  e  interés  compuesto  y  encontrar  una  tasa  de  interés  efectiva  equivalente  a  una  tasa  de  Interés  nominal dada o viceversa.  Objetivos específicos · Establecer las diferencias precisas entre las diferentes clases de interés · Interpretar los diagramas económicos · Calcular operaciones financieras con interés simple e interés compuesto · Definir e interpretar el concepto de tasa de interés · Calcular la tasa de interés efectiva a partir de la tasa nominal y viceversa · Calcular el interés real en el año
13  El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se  caracterizó  por  la    división  del  trabajo;  esta  sociedad  estaba  formada  por  carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc.  Quienes  no  solamente  producían  para  su  consumo,  sino  que  generaban  excedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer sus  necesidades    de alimentación, vivienda, vestuario y educación.  Por  ejemplo,  el  productor  de  papa  sólo  satisfacía  parte  de  su  necesidad  de  alimento y    para que el    producto de su trabajo le sirviera como medio de vida,  debía  intercambiar    sus  excedentes  por  otros  productos,  debía  buscar  otro  individuo  que  estuviera  interesado  en  adquirir  su    producto.    Se  requería  la  existencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ella  era imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos se  debía  fijar  cuántas  unidades  del  producto  “A”  serían  necesarias  para  adquirir  el  producto  “B”,  la  relación  entre  la  cantidad  de  un  producto  que  se  entrega  para  obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del  otro bien.  1.1 CONCEPTOS  1.1.1  Concepto de Interés  El concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más  actores por el intercambio de bienes y servicios.  La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y  las limitantes del intercambio que generaba la “necesidad recíproca”, fue haciendo  germinar  el  establecimiento  de  un  bien  que  fuera  aceptado  por  todos  para  negociar.    Inicialmente, este bien fue el ganado y servía    para expresar el precio  de cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la  plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio  de  cambio  desplazando  a  otros  sistemas  de  cambio  por  su  fácil  manejo  hasta  llegar  a  nuestro  días  con  el  papel  moneda  de  aceptación  universal,  como  instrumento de intercambio.  De la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes para  poder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero de  1. INTERÉS  En  la  sociedad  primitiva  los  seres  humanos  se  autoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar o  pescar para conseguir alimento o vestido    y la mujer se  dedicaba  a  cuidar  el  fuego  y  a  recoger  frutos;  no  se  cazaba más de lo que se consumía.
14  los  individuos  que  no  se  consumen  se  llaman  AHORRO,  los  cuales  pueden  invertirse  o  cederse  a  otros  en  el  instante  del  tiempo  que  los  soliciten  para  satisfacer sus necesidades.    El costo o el rendimiento de estas transacciones se  llama INTERÉS.  Partamos  de  un  ejemplo  para  fundamentar  este  concepto:  supongamos  que  tenemos  dos  personas  que  tienen  el  mismo  dinero  para  invertir  y  ambos  son  comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero  tienen diferentes negocios;    el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e  importa  joyas  de  Panamá  y  el  segundo  es  don  Armando  Rico,  quien  ofrece  al  mercado perfumes importados de Francia.  Mensualmente  estos  individuos  adquieren  $10.000,000  en  mercancías,  pero  los  dos  obtienen  resultados  diferentes.    Doña    Linda  obtiene  una  ganancia  de  $300.000  en  el    mes  y  don  Armando  $500,000  en  el  mismo  lapso  de  tiempo.  Observemos  que  teniendo  la  misma  inversión  reciben  beneficios  diferentes,  podemos  definir  entonces  el  INTERÉS  como  la  utilidad  que  se  tiene  sobre  una  inversión en “X” tiempo, o sea:  Siendo el interés del comerciante en joyas    = 300,000 / 10,000,000    = 3%  mensual  y el interés del comerciante en perfumes    =500,000 / 10,000,000 = 5% mensual.  Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite  $10,000,000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si le  reconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al  5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre    de TASA DE  INTERÉS  DE  OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista está  dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superior  a la que rinden sus inversiones.  1.1.2  Concepto de Interés    Simple  Siendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterior  en el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente  $300,000 con $10,000,000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente,  es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:  Utilidad  Interés  =  Inversión
15  MES  DINERO  INVERTIDO  GANANCIA  DINERO  ACUMULADO  1  2  3  .  .  N  $10,000,000  $10,000,000  $10,000,000  $10,000,000  $300,000  $300,000  $300,000  $300,000  $10,300,000  $10,600,000  $10,900,000  Si:  Utilidades = 3% x $10.000,000 = $300,000 en cada período, para este caso cada  mes.  Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:  Dinero invertido = P  Tasa de Interés = i  MES  DINERO  INVERTIDO  UTILIDADES  1  2  3  .  .  n  P  P  P  P  Pi  Pi  Pi  Pi  Lo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)  por    período y    si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desde  el  momento  en  que  la  realizó,  simplemente  deberá  multiplicar  las  utilidades  de  cada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento  en que realizó la inversión.  Utilidad  Interés =  Inversión  Utilidad    = Inversión x Tasa de interés  Utilidad    = Pi
16  Generalizando  a  n  los  períodos,  se  tendrían  en  este  punto  unas  utilidades  acumuladas  Pin  y  el  total  de  dinero  acumulado  sería  igual  a la inversión inicial  más  las  utilidades  acumuladas;  a  esta  suma  se  le  conoce  con  el  nombre  de  MONTO  o  VALOR  FUTURO  y  en  términos  simbólicos  se  representa  de  la  siguiente forma:  P    =  Valor de la inversión ó valor actual  F    =  Valor futuro  N =  Número de períodos  % i =  Tasa de interés  Nótese  que  en  el  ejemplo  doña  Linda  Plata,  no  reinvirtió  las  ganancias  sino  siempre  invirtió  la  misma  cantidad  ($10  millones);  es  decir,  cuando  no  hay  reinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉS  SIMPLE.  Ejemplo 1  ¿Cuánto  dinero  acumularía  Juan  Pérez  dentro  de  5  años,  si  invierte  hoy  $4.000.000 a    una tasa de interés simple del 3% mensual?  El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de  flujo de la siguiente manera:  Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos  con  una  flecha  hacia  abajo,  en  una  escala  de  tiempo  que  pueden  ser  años,  semestres, meses, días.    La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo  período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés  está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o  sea 60 meses.  F = P + Pin  F = inversiones + Utilidades Acumuladas  F = p (1 + in)
17  F = P (1 + in)  F= 4,000,000(1 + 0.03 (60))  F= 11,200,000  Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7,200,000 en los 5 años y  adicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4,000,000.  SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempo  considerado.  Ejemplo 2  Armando Rico recibió hoy $3,450,000 del Banco de Bogotá por    una inversión que  realizó  hace  tres  semestres;  si  la  tasa  de  interés  es  del  2%  mensual,  ¿cuánto  dinero invirtió don Armando?  Como se explicó anteriormente, el punto de   partida es realizar el gráfico o flujo  de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:  En  razón  a  que  la  tasa  es  mensual  se  deben  expresar  los  tres  semestres  en  meses, para que los elementos estén en la misma base.  1 = 3% mensual  F  60 meses  P = 4.000.000  0  P  1=2% mensual  F = 3.450.000  18 meses = 3  Semestres
18  Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:  F = P (1 + in)  F = $3.450.000      porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades  I = 2% mensual  N = 3 semestres = 18 meses  Entonces,  3,450,000 = P (1 + 2% (18))  3,450,000 = P (1 + 0.36)  P = 3,450,000 / (1.36)  P = $2,536,764.71  Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.  Ejemplo 3  Patricia  Fernández  recibió  un  préstamo  de  $3,000,000,  que  debe  paga  en  18  meses;  si  al  final  del  plazo  debe  cancelar  $3,850,000,  calcular  tasa  de  interés  simple del préstamo.  P = 3.000.000  18 meses  F = 3,850,000 0
19  Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se  está  tomando  como  referente  a  Patricia  Fernández;  al  recibir  el  dinero  del  préstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso,  por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.  Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente:  Reemplazando los datos de la ecuación se tiene:  F = P (1 + in)  3,850,000    =    3,000,000 (1 + i% (18))  3,850,000/3,000,000= (1 + i18)  1.2833 – 1 = i18  i = 0.2833/18  i = 0.015740  Expresándolo en términos porcentuales se tiene,  I = 1,5740% mensual simple.  0  P = 3.000.000  F = 3.850.000  18 meses
20  Ejemplo 4  Armando  Mendoza  recibió  un  préstamo  de  $7,000,000  de  Beatriz  Pinzón  Solano,  si  canceló  $10,500,000  y  la  tasa  de  interés  fue  del  2%  mensual  simple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?  Gráfico para Armando Mendoza  Gráfico para Beatriz Pinzón Solano  Reemplazando en la ecuación se tiene:  F = P (1 + in)  10,500,000 = 7,000,000 (1 +(2%)n)  10,500,000/7,000,000 = 1 + 2%n;      2% = 0.02  1.5 – 1 = 0.02n  P = 7.000.000  1 = 2% mensual  F    = 10.500.000  0  0  P = 7,000,000  i = 2% mensual  F = 10.5000.000
21  0.5  = 0.02n  0.5/0.02 = n  n = 25 meses  Nótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.  Ejemplo 5  Sofía  Vergara  recibió  un  préstamo  del  Banco  Santander  que  debe  pagar  de  la  siguiente forma: $3,000,000 dentro    de 6 meses, $4,000,000 dentro de un año y  $5,000,000 en año y medio.  Si la tasa de interés es del    10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero le  prestó el Banco Santander a Sofía?  Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la  tasa de interés, se tiene:  6 meses = un semestre  Un año = dos semestres  Año y medio =    tres semestres  Gráfico para el Banco Santander  0  P  3.000.000  1  4.000.000  5.000.000  3  Semestre 2  i = 10% semestral
22  Gráfico para Sofía Vergara  Observando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepción  diferente  a la  tratada en los  ejemplos  anteriores  en los  cuales  se  tenía  un  solo  ingreso y un solo pago o viceversa.    Este ejemplo plantea tres desembolsos en el  futuro para el caso de Sofía.   La solución de este tipo de problema se basa en el  mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro  de manera independiente.  Cada  pago  se  hace  Sofía,  se  considera  dentro  del  toral  de  la  cuota  una  parte  correspondiente  a  intereses  y  otra  un  abono  al  préstamo.    Para  el  Banco  Santander,  los  intereses  serían  las  utilidades  y  el  abono  al  préstamo  una  devolución  de  una  parte  de  la  inversión.    Este  concepto  es  congruente  con  la  definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades  explicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión se  devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.  F = P (1 + in)  P = F/(1 + in)  Analizando cada pago independiente se tiene:  Pago 1 = P1 = 3,000,000/(1 + 0.10 (1)) = $2,727,272.73  Pago 2 = P2 = 4,000,000/(1 + 0.10 (2)) = $3,333,333.33  Pago 3 = P3 = 5,000,000/(1 + 0.10 (3)) = $3,846,153.85  i = 10% semestral  0  1  2  3  Semestre  P  3,000,000  4,000,000  5,000,000
23  Por lo tanto el valor del préstamo sería:  P1 = P1 + P2 + P3  P2 = 2,727,272.73 + 3,333,333.33 + 3,846,153.85  P3 = $9,9060759.91  Ejemplo 6  Natalia  París  desea  realizar  un  viaje  por  el  continente  europeo  de  un  año  y  se  propone  el  siguiente  plan  de  ahorros  para  realizar  su  sueño:  hoy,  ahorra  $1,000,000; dentro de tres meses, ahorrará $1,000,000; dentro de un semestre,  ahorrará $1,500,000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1,700,000.  ¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le  paga el Banco es del 1% mensual simple?  Gráfico para Natalia  0  1      2       3       4      5         6        7        8        9     10       11     12  i = 1% mensual, 1% = 0.01  Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el  mismo período de tiempo que la tasa de interés.  Retomando  el  ejemplo  anterior,  cada  ahorro  o  inversión  se  trata  de  manera  independiente por lo tanto se tiene:  Ahorro o inversión #1 = F1  Ahorro o inversión #2 = F2  Ahorro o inversión #3 = F3  meses  1,700,000  1,500,000  1,000,000  1,000,000  F = ?
24  Ahorro o inversión #4 = F4  La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #1 dura exactamente  en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.  F1 = P1 (1 + in)  F1 = 1,000,000 (1 + 0.01(12)) = $1,120,000  La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #3 dura exactamente  en el banco 9 meses (12 meses­3meses), por tanto n = 9.  F2 = P2 (1 +   in)  F2 = 1,000,000 (1 + 0.01(9)) = $1,090,000  La  inversión  o  ahorro  de  $1,500,000  que  hace  Natalia  en  el  período  #6  dura  exactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses),    por lo tanto    n = 6.  F3 = P3 (1 + in)  F3 = 1,500,000 (1 + 0.01(6) = $1,590,000  La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace en el período #10 dura exactamente  en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2.  F4 = P4 (1 + in)  F4 = 1,700,000 (1 + 0.01(2)) = $1,734,000  Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:  F = F1 + F2 + F3 + F4  F = $5,534,000
25  1.1.3  Concepto de Interés Compuesto  En  el  caso  de interés  simple  se  consideró que las ganancias  eran iguales  para  todos  los  períodos,  puesto  que  la  inversión  permanecía  constante.    Cuando  se  trata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodos  puesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidades  obtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.  Tomando  nuevamente  el  ejemplo  con  el  que  se  inicio  el  capítulo,  donde  la  inversionista  Linda  Plata  tenía  $10,000,000  disponibles;  si  doña  Linda  invierte  estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría el  siguiente resultado:  MES  DINERO  INVERTIDO  GANANCIA  DINERO  ACUMULADO  1  2  3  .  .  n  $10,000,000  $10,300,000  $10,609,000  10,000,000 * 0.03 = 300,000  10,300,000 * 0.03 = 309,000  10,609,000 * 0.03 = 318,270  10,000,000+300,0  00  =10,300,000  10,300,000+309,0  00  = 10,609,000  10,609,000+318,2  70  =10,927,270  Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:  P =  Inversión  % i =  Tasa de Interés  Utilidad =  Inversión X i = Pi  F =  Valor futuro
26  MES  DINERO  INVERTIDO  GANANCIA  DINERO ACUMULADO  1  P  P (i)  P + Pi = P(1 +i)  2  P(1+i)  P(1+i) (i)  P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i) 2  3  P(1+i) 2  P(1+i) 2  (i)  P(1+i) 2  +P(1+i) = P(1+i) 2  (1+i) = P(1+i) 3  4  .  .  .  .  .  .  .  .  .  n  P(1+i) n  Generalizando,  se  concluye  que  cuando  se  reinvierten  las  utilidades  (interés  compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:  Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear el  siguiente ejercicio:  Cuánto  dinero  acumulará  (valor  futuro)  doña  Linda  dentro  de  tres  meses  a  una  tasa de interés del 3% mensual, si invierte $10,000,000 inicialmente:  F = P(1+i) n  F= $10,000,000 (1+0.03) 3  F = $10,927,270  Valor que coincide con los $10,927,270 obtenidos en la primera tabla.  En conclusión, gran diferencia entre el interés compuesto radica en la reinversión  de utilidades.    Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el  caso de doña Linda con una inversión de $10,000,000 al 3% mensual, se obtienen  los siguientes resultados:  F = P (1+i) n
27  Interés simple:  dinero acumulado al tercer mes $10,900,000  Interés compuesto:  dinero acumulado al tercer mes $10,927,270  Ejemplo 1  ¿Cuánto  dinero  acumularía  Juan  Pérez  dentro  de  5  años,  si  invierte  hoy  $4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?  El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de  flujo de la siguiente manera:  Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos  con  una  flecha  hacia  abajo  en  una  escala  de  tiempo  que  pueden  ser  años,  semestres, meses, días.    La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo  período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés  está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o  sea 60 meses.  F = P (1 + i ) n  F = 4,000,000 (1 + 0. 03) 60  = 23,566,412.42  Este  mismo  ejemplo  con  tasa  de  interés  simple,  obtuvo  un  valor  futuro  de  $11,200,000.  Ejemplo 2  Armando Rico recibió hoy $3, 450,000 del Banco de Bogotá por una inversión que  realizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto,  ¿Cuánto dinero invirtió don Armando?  Como se explico anteriormente el punto de partida    es realizar el gráfico o flujo de  caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:  I = 3% mensual  F  60 meses  P = 4,000,000
28  En  razón  d  que  la  tasa  es  mensual,  se  deben  expresar  los  tres  semestres  en  meses, para que los dos elementos estén la misma base:  Reemplazando en la  ecuación que relaciona estas variables se tiene:  F =  P ( i  + i) n  F = $ 3.450,000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades  i= 2% mensual  n= 3 semestres = 18 meses  Entonces,  3,450.000 = P (1 + 0.02) 18  3,450,000 = P (1.42824624758)  P = 3.450.000/1.42824624758  P = $2,415,549.84  Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.  Ejemplo 3  Patricia Fernández recibió un préstamo de $3,000,000, que debe pagar en 18 meses;  si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular la tasa de interés del préstamo.  P = 3,000.000  0 P  I = 2% mensual  F = 3,450,000  18 meses = 3 semestres  0  18 meses
29  Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se  está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo  tiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual se  dibuja con una flecha hacia abajo.  Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente:  Reemplazando los datos de la ecuación se tiene  F = P(1 +i ) n  3,850,000 = 3,000,000(1 + i) 1  3,850,000/3,000,000 = (1 + i) 1  18  1.283333  =  18  (1+ i) 18  1.013955 = 1+l  1.013955­1 = i  0.013955 = i  En términos porcentuales,i = 1.3955% mensual  Ejemplo 4  Armando Mendoza recibió un préstamo de $7,000,000 de Beatriz inzón Solano, si  canceló  $10,500,000  y  la  tasa  de  interés  fue  del  2%  mensual  compuesto,  calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?  F = 3,850,000  18 mesea  P = 3,000,000  0
30  Gráfico para Armando Mendoza  Gráfico para Beatriz Pinzón Solano  Reemplazando en la ecuación se tiene:  F = P(1 + i ) n  2% = 0.02  10,500,000 = 7,000,000 (1 + 0.02) n  10,500,000/7,000,000 = (1 .02) n  1.5 =1.02 n  Aplicando logaritmos en base 10 se tiene:  log 1.5 =nlog 1.02  0. 17609 125 =n (0.0086001 71 7)  n =0.17609125/0.0086001717  n = 20.47 meses  P = 7,000,000  I = 2% mensual  F = 10,500,000  0  P = 7,000,000  i =    2 % mensual  F = 10,500,000  0
31  Nótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada en  meses.  Ejemplo 5  Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente  forma: $ 3,000,000 dentro de 6 meses, $ 4,000,000 dentro de un año y $ 5,000,000 en año  y medio.  Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuánto dinero le  prestó el Banco Santander a Sofía?  Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa  de interés, se tiene:  6 meses =   un semestre  un año   =  dos semestres  :  año y medio = tres semestres  Gráfico para el Banco Santander  Gráfico para Sofía Vergara  0  1  3 2  P  3,000,000  5,000,000  i = 10% semestral  semestres  0  1  3 2  4,000,000 3,000,000  i = 10% semestral  semestres  P  5,000,000
32  del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores  en  los  cuales  se  tenía  un  solo  ingreso  y  un  solo  pago  o  viceversa.  Este  ejemplo  plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo  de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o  desembolso en el futuro de manera independiente.  Cada  pago  que  hace  Sofía  se  considera  dentro  del  total  de  la  cuota  una  parte  correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander,  los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte  de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el  consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo:  en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en  uno.  F = P(1+i) n  P = F / (1+i) n  Analizando cada pago independientemente se tiene:  Pago 1 = P1  = 3,000,0007(1+0.10) 1  = 2,727,272.73  Pago 2 = P2  =4,000,000/(1+0.10) 2  =3,305,785.12  Pago 3 = P3  =5,000,0007(1+0.10) 3  =3,756,574  Por lo tanto, el valor del préstamo sería:  P = P1 +P2 +P3  P = $9,789,631.86  Ejemplo 6  Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y se  propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1,000,000;  dentro de tres meses, ahorrará $ 1,000,000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1,500,000 y  dentro de 10 meses, ahorrará $ 1,700,000.
33  ¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el  Banco es del 1% mensual compuesto?  Gráfico para Natalia  0  1  2  3  4  5  6  7    8  9  10  11  12  Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente,  por lo tanto se tiene:  Ahorro o inversión # 1 = F1  Ahorro o inversión # 2 = F2  Ahorro o inversión # 3 = F3  Ahorro o inversión # 4 = F4  La inversión o ahorro de $1,000,000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en el  banco 12 meses, por lo tanto n = 12  F1  =    P1  (1+ i) n  F1  = 1,000,000(1+0.01)  =$1,126,825.03  La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período 3 dura exactamente en el  banco 9 meses (12 meses ­ 3 meses) por lo tanto n = 9  F2  =    P2 (1+ i) n  1,500,000  1,000,000  meses  1,700,000  F =?  1,000,000
34  F      = 1,000,000(1+0.01 ) 9  =$1,093,685.27  2  La inversión o ahorro de $ 1 ,500,000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente en  el banco 6 meses (12 meses ­ 6 meses) por lo tanto n = 6  F3  =    P3 (1+ i) n  F3  = 1,500,000(1 +0.01 ) 6  =$1,592,280.22  La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamente  en el banco 2 meses (12 meses ­ 10 meses) por lo tanto n = 2  F4  =P3 (1+ i) n  F4  = 1,700,000(1 +0.01 ) 2  =$1,734,170  Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:  F = F1 + F2 + F3  + F4  F = $5.546,960.53  1.2    TASAS DE INTERÉS  El concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar como  interés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés en  un tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclatura  es: i%.  1.2.1 Tasa de Interés Nominal  Es la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y  que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende  que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.
35  1.2.2 Tasa de Interés Efectiva  Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las  transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se  realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.  La  mayoría  de  ejecutivos  en  finanzas  o  ejecutivos  comerciales  de  empresas  del  sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente  a la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Será  esto cierto?  Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase;  que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino  hasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de  Bogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba  y antiguo compañero de la universidad. El le ofrece que le pagará por los $100 millones  una  tasa  del  40%  anual  y  que  los  intereses  se  liquidarán  trimestre  vencido, doña  Linda,  administradora  de  empresas  de  gran  prestigio  profesional  en  la  capital  colombiana, hace el siguiente cálculo:  Plazo:  Un año  Tasa de interés:  40% anual  Liquidación de interés:  Trimestre vencido  Inversión:  $100 millones  Número de liquidaciones por año:  4  Tasa trimestral o del período:  40% / 4 = 10%
36  TRIMESTRE  SALDO INICIAL  INTERESES  i = 10%  SALDO FINAL  1  100.00  $10.00  $ 110.00  2  110  $11.00  $ 121.00  3  121  $12.10  $ 133.10  4  133.10  $13.31  $ 146.41  TOTAL  $46.41  La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; en  este caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46.41 en el año,  si  la  inversión  fue  de  $100  millones  quiere  decir  que  se  obtuvo  un  interés  (%)  o  rentabilidad de $46.41/100 = 46.41% en un año.  Si  el  40%  de  interés  se  hubiera  liquidado  solo  al  final  del  año,  doña  Linda  habría  obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número de  liquidaciones  de  intereses  que hay  en el  plazo  fijado  (para este  caso  son  4 las  liquidaciones en el año).  Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se  derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un año  pero  con  diferentes  formas  de  liquidar  los  intereses  por  ejemplo,  bimestralmente,  semestralmente, etc.  TASA  FORMA DE LIQUIDACIONES  40%  Semestre vencido  40%  Trimestre vencido  40%  Bimestre vencido  40%  Mes vencido  40%  Día vencido  Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la  tasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) sería  igual a 0% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral;  si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40%  anual trimestre vencido, es decir:
37  Plazo:  Un año  Tasa de interés:  40% anual  Liquidación de interés:  Semestre vencido  Inversión:  $100 millones  Número de liquidaciones por  año:  2  Tasa trimestral o del período:  40% / 2 =20%  SEMESTRE  SALDO INICIAL  INTERESES  SALDO FINAL  1  100  20  120  2  120  24  144  Total  44  Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interés  Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20  Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses  Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120  ;  El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.  intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24  saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144  Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión de  utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad de ó sea  $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión.  En relación con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos  de la reinversión de las utilidades ó intereses; cuando esto no se da se obtiene lo que se  llama tasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés  simple y la tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no  se tiene en cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.
38  Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual se  expresa de la siguiente forma:  ie =  Tasa de interés efectiva  ip =  Tasa periódica  n =  Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijado  ie  =    (1+ i) n  ­1  Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:  1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?  Tasa periódica = ip  ie = (1 + 0.1)  ­ 1 = 0.4641 ó 46.41 % efectivo anual  Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar  de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral  ip = 0.40 74 = 0.10 ó 10% semestral  n = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestre  ie = (1 + 0.10) 2  ­ 1 = 0.21 = 21% efectiva semestral  2) Si se tiene una tasa anual del 40%  semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual  ip = 0.40 / 2 = 0.20 ó 20% semestral  n = número de liquidaciones = 2  ie= (1 + 0.20) 2  ­1 = 0.44  ó  44%  efectiva anual  Tasa anual  ip = ——————————————— 0.40 / 4 = 0.1 = 10% trimestral  # de períodos en el año
39  Con base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:  TASA ANUAL  FORMA DE LIQUIDACIÓN  DE INTERESES  NÚMERO DE  LIQUIDACIONES  POR AÑO  i  PERIÓDICA  40%  Semestre vencido  2  20% semestral  40%  Trimestre vencido  4  10% trimestral  40%  Bimestre vencido  6  6.67% bimestral  40%  Mes vencido  12  3.33% mensual  40%  Día vencido  360  0.11% diario  Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen las  restantes:  40% anual bimestre vencido  i  bimestral = 0.40 / 6 = 6.67%  Número de liquidaciones en un año: 6  ie anual = (1+0.0667) 6  ­ 1 = 0.4732  40% anual mes vencido  i mensual = 0.407 12 = 0.0333 = 3.33%  Número de liquidaciones en un año: 12  ie anual = (1+0.0333) 12  ­1 = 0.4816  40% anual día vencido  i diario = 0.40 / 360 = 0.001111 = 0.11 %  Número de liquidaciones en un año: 360  ie anual = (1+0.001111) 360  ­ 1 = 0.4914
40  De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras:  TASA  ANUAL  FORMA DE LIQUIDACIÓN  DE INTERESES  NUMERO DE  LIQUIDACIONES  POR AÑO  TASA  EFECTIVA  40%  Semestre vencido  2  44.00%  40%  Trimestre vencido  4  46.41%  40%  Bimestre vencido  6  47.32%  40%  Mes vencido  12  48.16%  40%  Día vencido  360  49.14%  Como  se  observa  en  la  tabla  anterior,  a  medida  que  se  aumenta  el  número  de  liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos  casos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que le  liquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada  8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene:  40% anual liquidando intereses cada 12 horas  ip = 0.40 7720 = 0.0005555  n = 360 x 2 = 720 períodos  ie anual = (1+0.0005555) 720  ­ 1 = 0.491659  Ahora analizando  el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas  ip = 0.40 / 1080 = 0.00037037  n = 360 x 3 = 1,080 periodos  le anual  = (1 +0.00037037) 1080  ­ 1 =  0.491714  Como  se  observa,  a  medida  que  se  aumenta  el  número  de  liquidaciones  se  incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,  es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráfico siguiente.
41  Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas  vencidas  0  2  4  6  8  10  12  14  NUMERO DE CAPITALIZACIONES  Con lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interés  continuo, que se expresa así:  Que para el caso del 40% anual se obtiene:  Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguen  aumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmula  anterior se conoce con el nombre de interés continuo ó capitalización continua.  ie = e i  ­ 1  i e = e 0.40  ­1 = 2.718281 0.40  ­1  i e  = 0.49182  T  A  S  A  S  E  F  E  C  T  I  V  A  S  60.000%  50.000%  40.000%  30.000%  20.000%  10.000%  0.000%
42  Con  base  en  los  cálculos  realizados  anteriormente,  se  concluye  que  la  tasa  de  interés  electiva  está  íntimamente  ligada  con  el  interés  compuesto,  es  decir,  considera la reinversión de utilidades.  1.2.3 Conversión de tasas  El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente;  este concepto es  de  gran  utilidad en  Matemáticas  Financieras,  por  cuanto permite  solucionar  situaciones  recurrentes,  donde  los  períodos  de  los  flujos  de  caja  (ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.  Ejemplo 1  Con  una  tasa  del  40%  anual  trimestre  vencido,  ¿calcular  la  tasa  semestral  equivalente?  Este ejercicio se puede resolver de varias formas:  Primera forma  i= 40% anual trimestre vencido  i  periódica = i anual   / # períodos en el año  i  periódica = i trimestral =0.40 / 4 =0.10  Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anual  ie = tasa de interés efectiva anual  Donde n es el número de liquidaciones en el año.  La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo  que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al  año e liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:  = (1+0.10) 4  ­! = 0.4641  Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de  calcular la efectiva anual.  iea = (1+ip) n  ­1  0.4641 =  (1+i semestral) 2  ­  1
43  n = 2,  porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres)  1.4641  =  (1+i semestral) 2  2  1.4641  =  2  (1+i semestral) 2  1.21 = 1 + i semestral  1.21 ­1 =   i semestral  0.21 = 2 1 %  Segunda forma  i = 40% anual trimestre vencido  i  periódica  = i  trimestral  =0.40/4 =0.10  Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación de  intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempre  aparece adyacente a la tasa de interés anual.  Con base en la tasa trimestral se puede calcular la trimestral, utilizando la ecuación de  tasa efectiva.  iea = (1+ip) n  ­1  i semestral  = (1+  i trimestral ) 2  ­1  i semestral  =(1 + 0.10 ) 2  ­ 1 = 0.21  Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.  Ejemplo  2  Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:  a. La tasa semestral equivalente.
44  b. La tasa mensual equivalente.  a. Tasa Semestral  Primera forma  i = 30% anual bimestre vencido  Bimestre = cada 2 meses  i periódica = i bimestral  = 0.30/6 =0.05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.  iea = (1+ ip) n  ­1  i semestral  =(1 + 0.10 ) 2  ­ 1 = 0.21  ia  = (1 +0.05) 6  ­!  = 0.3400  Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral  Iea  =    (1+ ip) n  ­1  0.34 =  (1+ i semestral ) 2  ­1  1.34 =    (1+ i semestral) 2  2  1.34    =  2  (1+ i semestral) 2  1.157625 =1+ i semestral
45  1.157625 ­1 = i semestral  0.157625 = i semestral  15.7625% = i semestral  Segunda forma  i = 30% anual bimestre vencido  Bimestre = cada 2 meses  i periódica = i bimestral  = 0.30/6 =0.05  iea = (1+ i periódico) n  ­1  i semestral  =(1 + 0.05 ) 3  ­ 1 = 0.157625 ó 15.7625%  n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.  b. Tasa mensual  Primera forma  i periódica = i bimestral  = 0.30/6 =0.05  ia = (1+0.05) 6  ­!  = 0.3400  Combase en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual  ia = 0.34  i    =(1+i periódica) n  ­1  0.34 =  (1 +i mes ) 12  ­ 1  n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12  veces en el año.  1.34 =  (1 +i mes ) 12  12  1.34 =  12  (1 +i mes ) 12
46  1.02469 = 1 +i mes  1.02469­1=1 +i mes  0.02469 = i mes  2.469%    = i mes  Segunda forma  i = 30% anual bimestre vencido  iperiódica = i bimestral 0.30 / 6 =0.05  Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  0.05            = (1 + i mes) 2  – 1  1.05 = (1+ i mes) 2  12  I .05 =  12  (1 + i mes) 2  1.02469 =1 + i mes  0.2469 = i mes  i mes  = 2.469%  Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón es  muy  sencilla,  los  meses  están  contenidos  dentro  del  bimestre.  Lo  mismo  sucedería  si  se  tuviera  una  tasa  del  3%  mensual  y  se  preguntara  la  tasa  quincenal;  como la  quincena  está  contenida dentro del  mes,  el 3%  se  tomaría  como efectiva.  Ejemplo 3  Justo  Pastor  Malo  recibió  un  préstamo  del  Banco  Popular  de  $7,000,000  que  debe  ¡pagar  en  una  sola  cuota  dentro  de  2  años.  Si  la  tasa  de  interés  es  del  24%  anual  semestre  vencido,  ¿calcular  el  valor  de  la  cuota  que  debe  pagar  Justo Pastor al Banco Popular?  P = 7,000,000  I = 24 % anual semestre vencido  2 años  0  F = ?
Obsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera en  semestres  y  la  segunda  en  años;  por  lo  anterior  se  debe  efectuar  la  conversión:  correspondiente.  Primera forma  Se debe hallar la tasa de interés efectivo anual para que coincida con el período del  plazo que está dado en años, por lo tanto:  iea = (1+ i periódico) n  ­1  i periódica = i semestral  = 0.24 / 2  = 0.12  iea = (1+0.12) 2  ­1=0.2544  F =P(1+ i ) n  F = 7,000,000 (1+0.2544) 2  F = $11,014,635.52  • Segunda forma  i = 24% anual semestre vencido  i periódica = i semestral  = 0.24 / 2  = 0.12  Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguiente  manera:  i = 12% semestral  F =P(1+ i ) n  F = 7,000,000(1+0.2544) 2  = $11,014,635.52  0  1  2  3  4  P = 7,000,000  semestres  F    = ?
· Tasas anticipadas  Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase que  doña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su  gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado.  Veamos  cómo  sería  el  comportamiento  con  un  gráfico,  doña  Linda  no  necesita  el  dinero sino hasta dentro de un año.  En el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo  momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo  invirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico:  $100 millones  1 año  $60 millones (Inversión)  En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro  dentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia  (ver capítulo 1) se puede hallar el interés:  F= P (1 + i) n  F = $100  P = $60  N = 1 año  100= 60(1+i) 1  100/60 = (l+i)  $ 40 millones “hoy”  Interés anticipado  $ 100 millones  inversión  $ 100 millones devolución de  la inversión Un año
1.6667 = 1+ i  i =   1 .6667 ­ 1 = 0.6667 = 66.67% anual  Lo anterior  quiere decir  que  para  doña Linda Reina  es  equivalente  el  40%  anual  año  anticipado ó el 66.67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definición  dada  en  el  primer  capítulo,  en  el  cual  se  dice  que  interés  es  igual  a  utilidad  sobre  inversión se obtiene lo siguiente  i= Utilidad / Inversión = 407(100­40)= 40/60= 0.6667 ó 66.67%  Si se expresa en términos porcentuales se tiene:  i=0.40/(l­0.40)=0.40/0.60=0.6667 ó 66.67% anual  De lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula:  ia  i vencido =  ­­­­­­­­­­­­­­­­­  (1­ ia)  donde:  iv =   i vencido  ia = interés anticipado  i vencido = 0.407(1­0.40) = 0.40/0.6 = 0.6667 = 66.67% anual  Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando son  anticipadas.  Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero con  diferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales  correspondientes.  TASA ANUAL  LIQUIDACIÓN DE INTERESES  40%  Semestre anticipado  40%  Trimestre anticipado  40%  Bimestre anticipado  40%  Mes anticipado  40%  Día anticipado  40%  Cada 12 horas anticipado
(1)  40% anual semestre anticipado  i periódica = i semestral anticipada = 40%/2 = 20% semestre anticipado  i semestre vencida = 0.20 / (1­0.20) = 0.20/0.80 = 0.25  i efectiva anual = (1+0.25) ­1 = 0.5625  (2)    40% anual trimestre anticipado  i periódica = i trimestral anticipada = 40% / 4 = 10% trimestre anticipado  i trimestre vencido = 0.10 / (1 ­0.10) = 0.111111  i efectiva anual = (1+0.1111II) 4  ­1 =0.524157  (3) 40% anual bimestre anticipado  i bimestral anticipado = 40% 16 = 6.67%  i bimestral vencida = 0.0667 /(I­0.0667) = 0.07143  i efectiva anual = (1+0.07143) 6  ­1 = 0.51282484  (4) 40% anual mes anticipado  i mes anticipado = 0.40 /12 = 0.03333  i vencida = 0.033333 /(1­0.0333) = 0.03447919  i efectiva anual = (1+0.03447919) 12  ­ 1 = 0.50196949  (5) 40% anual día anticipado  i día anticipado = 0.40/360 = 0.001111  i vencida = 0.001111 / (l­0.001111) = 0.00111235  i efectivo anual = (1+0.00111235) 360  ­1 =0.4921565  (6) 40% anual cada 12 horas anticipado  i cada 12 horas anticipado = 0.40/720 = 0.00055556  i vencida = 0.00055556 / (1­0.00055556) =0.00055586  i efectiva anual = (1+0.00055556) 720  ­1 = 0.49199053
Los cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:  Con base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando  diferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,  se puede obtener el siguiente resumen  TASAS VENCIDAS  TASAS ANTICIPADAS  Tasa nominal  # de  liquidaciones  por año  T.E.A.  Tasa nominal  #de  liquidaciones  por año  T.E.A.  40% anual A. V.  1  40.00%  40% anual A. A.  1  66.67%  40% anual S.V.  2  44.00%  40% anual S.A.  2  56.25%  40% anual T.V.  4  46.41%  40% anual T.A.  4  52.42%  40% anual B.V.  6  47.32%  40% anual B.A.  6  51.28%  40% anual M.V.  12  48.16%  40% anual M.A.  12  50.20%  40% anual D.V.  360  49.14%  40% anual D.A.  360  49.22%
Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a  medida  que  aumenta  el  número  de  liquidaciones  aumenta  la  tasa  efectiva  anual  logrando como tasa máxima la capitalización continua (ie=ei ­1). El comportamiento de  las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número de liquidaciones  disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva máxima en el caso  de las anticipadas cuando es una sola liquidación.  En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y  anticipada.  Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas · Tasas efectivas con tasa de interés anticipadas  Este tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente  incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadas  en periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la  anticipada.  Ejemplo  Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual.  Primera forma  i = 20% anual trimestre anticipado
i  =  i  =0.20/4 =0.05  periódica  trimestral anticipada  i vencido  =       i anticipado  /  (1­ i anticipado)  i trimestre vencido =  I trimestre anticipado / (1­ i trimestre anticipado'  i trimestre vencido = (0.05 / ( I ­0.05) = 0.05/0.95  i trimestre vencido = 0.052631578  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  i ea  = (1 + 0.052631578) 4  ­1  i        = 0.2277 o 22.77%  Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  i ea  = 0.2277 = ( 1+ imes) 12  ­1  1.2277 = (l+imes) 12  12  I.2277 =  12  (l + i mes  ) 12  1.017244= 1+  imes  1.017244 – 1  =  imes0.017244 = imes  imes  = 1.7244%  Segunda forma  i = 20% anual trimestre anticipado  iperiodica  = i  trimestral anticipada = 0.20 / 4 = 0.05  i vencido    =  i anticipado / (1­i anticipado)  i trimestre vencido    =  i trimestre anticipado / (1­i trimestre anticipado)
i trimestre vencido    =  0.05 /(I ­0.05) = 0.05/0.95  i trimestre vencido    =  0.052631578  Con  base  en  la  tasa  trimestral  vencida  se  puede  calcular la  tasa  mensual  y  en  razón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede  considerar como efectiva.  i trimestre vencido    =  0.052631578  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  0.052631578 = (1+imes) 3  ­ 1  1.052631578= (1+imes) 3  3  1.052631578 =  3  (1+imes) 3  1.017244 = 1+i mes  0.017244 = i mes = 1.7244%
EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS  1.  Sandra  Muñoz  canceló hoy  $7,560,000 al  Banco  de Bogotá  por  un préstamo  que le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si:  a. La tasa de interés es del 3% mensual simple  b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto  c. La tasa de interés es del 4% mensual simple  2.  Lady  Noriega  recibió  un  préstamo  del  Banco  Santander  de  $10,000,000;  si  canceló $13,500,000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si:  a. La tasa de interés es del 2% mensual simple.  b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto  c. La tasa de interés es del 1.5% mensual compuesto.  3. Pastor Bueno desea tener $20, 000,000 dentro de 2 años para la cuota inicial  de un vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:  Hoy, ahorra $1,000,000  Dentro de 2 bimestres, 3,000,000  Dentro de 8 meses, $5,000,000 ;  Dentro de 1 año, $2,000,000  Dentro de año y medio, $7,000,000  El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:  Plan A: i = 1% mensual simple  Plan B: i = 2% mensual compuesto  Plan C: i = 2% bimestral simple (Un bimestre = 2 meses)  Nota: No  olvidar  que  el plazo  y  la  tasa de interés  deben  estar  expresados  en  el  mismo período  a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes.  b. ¿Cuál es el mejor plan?  4.  En  los  ejemplos  1  a  6  de  interés  simple  y  1  a  6  de  interés  compuesto  que  se  desarrollaron anteriormente, comparar el ejemplo 1 de interés simple con el ejemplo 1  de  interés  compuesto  y  así  sucesivamente  hasta  el  6.  Sacar  las  conclusiones  respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.  5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:  a. Tasa trimestral
b. Tasa semestral  c. Tasa efectiva .anual  2. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:  a. Tasa trimestral;  b. Tasa semestral  c. Tasa efectiva anual;  d. Tasa trimestral vencida  3. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y  sacar conclusiones:  a. 25% anual semestre vencido  b. 25% anual trimestre vencido  c. 25% anual bimestre vencido  d. 25% anual mes vencido  e. 25% anual día vencido  f. 25% anual año anticipado  g. 25%) anual semestre anticipado  h. 25%) anual trimestre anticipado  i. 25% anual bimestre anticipado  j. 25% anual mes anticipado  k. 25% anual día anticipado  4. Si se tiene una tasa del 24%> anual trimestre anticipado, calcular:  a. Tasa mensual  b. Tasa semestral  c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral  5.  Cuánto  dinero  tendrá  acumulado  dentro  de  5  años  Juan  Pérez  si  invierte  hoy  5  millones  en  el  Banco  Santander,  que  le  paga  una  tasa  de  interés  del  20%  anual  semestre anticipado.  6. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio. Si  Linda pagó hoy a Armando $12,133,450 y la tasa pactada fue del 28% anual mes  vencido, calcular el valor el préstamo.  7.      En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interés  fuera del 32% anual bimestre anticipado?  8.  Linda de  Bonito  planea  adquirir  un vehículo CITROEN  dentro de 2 años  y  se  ha  propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:  Hoy, ahorra $1,500,000  Dentro de 2 bimestres, $4,000,000
Dentro de 2 trimestres, $6,000,000;  Dentro de un año, $3,000,000  Dentro de 18 meses, $5,000,000  Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de  $23,500,000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anual  trimestre  vencido,  ¿tendrá  doña  Linda  el  dinero  suficiente  para  la  cuota  inicial  del  vehículo?
CAPÍTULO DOS  EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS  Justificación  El  sistema  de  cuotas  constantes  y  periódicas,  conocido  mas  generalmente  como  anualidades,  es  el  más  utilizado  en  el  ámbito  financiero  en  el  tratamiento  de  pago  de  cuotas  o  en  operaciones de ahorro y su aplicación se da en la necesidad de  encontrar el valor de sumas futuras o presentes equivalentes a  una serie de cuotas fijas iguales vencidas o anticipadas.  Objetivo General  Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de  pagos uniformes ya sea en forma vencida o anticipada.  Objetivos específicos · Establecer el valor futuro de una serie de pagos uniformes en  forma vencida · Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes  de manera anticipada · Encontrar  el  calor  presente  de  una  serie  de  cuotas  fijas  vencidas liquidadas con intereses anticipados
2.    EQUIVALENCIA CON CUOTAS FIJAS  Una de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés­  tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llama  anualidades  o  rentas.  La  relación  que  existe  entre  las  cuotas  fijas  y  un  valor  presente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.  2.1. CUOTAS FIJAS VENCIDAS  2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas  Cuotas fijas = A  Valor futuro = F  N = Número de períodos  i% = Tasa de interés por período  Para poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un :  futuro  F,  considere  que  el  señor  Armando  Casasbuenas  tiene  excedentes  de  liquidez cada período y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el  suficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se  harán  al  final  de  cada  período  a  una  tasa  de  interés  del  i%.  Gráficamente  el  comportamiento del problema sería el siguiente:  0  1  2  3     4  12  Con base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el  cual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en el  cual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro.  Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n­1 que tiene un valor de SA sí se  considera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente será  igual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).  Si tomamos el ahorro de $A en el período n­2 su valor futuro será A(1+i) 2  , para el  período  n­3  se  obtendría  A(1+i) 3  ,  para  el  período  n­4  se  obtendría  A(1+i) 4  y  así  sucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor  futuro del ahorro  A sería  A(1+i)(n­1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro del  F  n­1  n  n­2
dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0  o sea A porque  toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.  Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período se  obtiene:  F = A + A(1+i) + A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + ...... + A(1+i) (n­1)  Ecuación # 1  Si  se  multiplica  esta  ecuación  por  (1+  i)  y  se  le  llama  Ecuación  2,  se  obtiene  lo  siguiente:  F(1+i) = A(1+i) + A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + A(1+i) 4  +......... + A(1+i) n  Ecuación # 2  Si restamos la ecuación 2 de la ecuación 1 se obtiene:  F(1+i)­F = A(1+ i) n  ­ A , despejando se tiene  F + Fi­F = A(1+ i) n  ­ A  F+Fi­F = A(1+ i) n  ­ 1  F = A[(1+i) n  ­1]  F = A[((1+i) n  ­1) / i]  Fórmula 1  La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o  anualidad.  2.1.2  Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas  La  equivalencia  entre  un  valor  presente  y  una  cuota  fija  se  deduce  de  la  fórmula  número 1 simplemente reemplazando F por P(1+i) n  , que es la fórmula base de las  Matemáticas Financieras.  P(1+i) n  = A[(1+i) n  ­1/i]  P = A[{ (1+i) n  ­1} / { (1+i) n  }]  Fórmula 2  De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la  siguiente forma:  A =    F [{ i} /{ (1+i) n  ­1}]  Fórmula 3  A =    P [{i (1+i) n  } / { (1+i) n  ­1 }]  Fórmula 4
2.2  CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS  2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas  Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas  anticipadas  y  los  valores  presente  y  futuro;  utilicemos  el  gráfico  que  tomamos  como  referencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas se  realizan anticipadamente o sea:  F  0  1  2  3  4  n­3  n­2  n­1  n  El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en el  período n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay con  respecto  al  gráfico  de  las  cuotas  vencidas,  pues  las  cuotas  fijas  se  consideran  anticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido con  base en el diagrama anterior sería:  F =  A(1+i) + A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + A(1+i) 4  +......... + A(1+i) n  Si a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i)  obtenemos la ecuación número 2.  F (1+i) =  A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + ...... + A(1+i) (n+1)  Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones se obtiene:  F (1+i)­F =  A(1+i) (n+1)  ­­­ A(1+i)  F + Fi­F = A[(1+i) (n+1)  ­ (1+i)]  F = A[{(1+i) (n+l)  ­ (1+i)}/ i]  Fórmula 5  2.2.2 Eequivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas  Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada se  puede  obtener  la  existente  entre  un  valor  presente  y  una  cuota  fija  anticipada,  simplemente reemplazando F por P(l+i) n  P(l+i) n  = A[{(1+i) (n+l)  ­ (1+i)}/ i]  P = A[{ (1+i) (n+l)  ­ (1+i) } / { i(1+i) n  }]  Fórmula 6
De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valor  presente o del valor futuro.  A = F[{ i } / {(1+i) (n+1)  ­ (1+i) ]  Fórmula 7  A= P[{ i ( 1+i) n  } / { (1+i) (n+1)  ­(1+i)} ]                              Fórmula 8  Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.  2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas  con intereses anticipados  Este    caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidas  pero  le  cobran  intereses  anticipadamente,  es  decir  en  el  momento  de  recibir  el  préstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del  crédito y los intereses correspondientes al primer período.  En  este  caso  como  el  usuario  pago  los  intereses  anticipadamente,  en  la  última  cuota  no se  pagarían intereses,  sino la totalidad  del valor  pagado sería  abono a  capital.  La    equivalencia a usar en este caso sería:  A = P[ i / ((1­(1­ i) n  ))]  Fórmula 9  A  continuación  se  tratan    casos  prácticos  relacionados  con  las  equivalencias  expuestas anteriormente.  Ejemplo 1  Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por $10 millones para  cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular  el valor de las cuotas.  Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:  10,000.000
1 2 3  4 5 6 7  8  9     10     11     12  0  Se debe utilizar la fórmula 4  A = P[{ ¡ ( 1+¡) n  / {(1+i) n  ­1}]  P = Valor presente, es en este caso, el valor  del préstamo o sea $ 10.000.000  i = 3%  n = 12 meses  Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A  A = 10.000.000 [ {3%(1+3%) 12  } / { (1+3%) 12  ­1}]  Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03  A=10.000.000[{0.03(1+0.03) 12  }/{(1+0.03) 12  ­1}] A= $1.004.620.85  CAPÍTULO TRES  A= ?  I = 3%  Meses
EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES  Justificación  Una  serie  de  pagos  puede  hacerse    en  forma  uniforme  en  cuanto  al  tiempo,  pero  aumentar  o  disminuir  en  una  cantidad  constante denominada gradiente. Esto lo que se conoce como  cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejo  de  los  créditos  en  el  sistema  financiero.  Con  el  estudio  del  capítulo, el aprendiente estará en condiciones de establecer la  correspondencia entre unaa serie de pagos variables y un valor  presente.  Objetivo General  Determinar  la  equivalencia  entre  una  cuota  variable  y  un  valor presente  Objetivos específicos · Establecer el valor de cada cuota en un sistema de cuotas  con incremento previamente pactados · En  un  sistema  de  cuotas  crecientes  o  decrecientes  determinar el valor de la primera cuota. · Utilizar  la  hoja  electrónica  para  el  cálculo  de  las  cuotas  variables
3.  EQUIVALENCIA CON CUOTAS VARIABLES  3.1. GRADIENTES  El sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos para  sus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pago  es realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este punto  de vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos en  cantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; o  incremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre de  gradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.  3.1.1. Gradiente Aritmético  Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones al  Banco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementos  de $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular el  valor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.  Gráficamente el problema se expresa así:  $I 5.000.000  0  6 semestres  A+100.000  A+200.000  A+300.000  A+400.000  A+500.000  El  problema  se  puede  resolver  utilizando  la  equivalencia,  base  de  las  matemáticas  financieras  explicada  en  el  capítulo  1,  o  sea,  F  =  P(l  +  i) N  ,  que  para  el  problema  planteado sería de la siguiente manera:  1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:  A
A/(1+0.15)' + (A + $100.000) / (1+0.15) 2  + (A + $200.000) / (1 + 0.15) 3  +  (A + $300.000)/(1+0.15) 4  + (A + $400.000)/(1+0.15) 5  + (A+$500.000)/(1+0.15) 6  2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las  cuotas, es decir:  $15.000.000. =A/(1+0.15)' + (A + $100.000)7 (1+0.15) 2  + (A + $200.000)/  (1+0.15) 3  +(A + $300.000) /(1+0.15) 4  + (A + $400.000) / (1+0.15) 5  +  (A + $500.000) / (1 + 0.15) 6  3. Hallar el valor de A  4. A = $3.753.834.56  Alternativamente  se  puede  utilizar  las  fórmulas  de  gradiente  aritmético  que  se  derivan'  de la  fórmula  matriz  para resolver  el problema  planteado;  sin  embargo  el  problema  se  j  puede  resolver  fácilmente,  utilizando  del  menú  principal  de  Excel  herramientas de la I siguiente forma:  Hoja de Excel  A  B  C  D  E  F  G  1  2  0  ­150000000  Valor  préstamo 3  1  20  ———— >  Colocar  cualquier valor  4  2  =B3+1 00000  5  3  =B4+1 00000  =VNA (0.15, B3:B8)+B2  4  =B5+100000  7  5  =86+100000  8  6  =B7+100000  El  primer  paso  es  colocar  sobre  la  hoja  de  cálculo  los  ingresos  y  desembolso  de  dinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de la
entidad  financiera,  el  desembolso  lo  hace  cuando  entrega  el  dinero  al  cliente,  los  ingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de  Si5.000.000  como  es  desembolso  para  el  Banco  le  colocamos  signo  negativo,  los  ingresos  de  dinero  que  corresponde  a  los  pagos  del  cliente  no  los  conocemos  solo  sabemos que se incrementan en $100.000, cada uno de ellos.  Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todo  en la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodos  de los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la última  columna B con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y  egresos  de  la  transacción  para  la  entidad  financiera  comenzando  con  el  valor  del  préstamo que colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que  hace el cliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor,  pero con signo contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el  pago 2 sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el  pago  3  como  =B4  +100.000  y  así  sucesivamente,  hasta  llegar  al  pago  6  que  se  formularía como =B7 +100.000, como muestra la figura.  Una vez  terminado de  formular los ingresos  y  desembolsos  de la  transacción de la i  transacción se coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del  valor  presente  neto  (VNA),  de  los  flujos  de  caja  a  la  tasa  dada  (1%  semestral),  que  quedan; de la siguiente forma:  = VNA (0.15, B3:B8) + B2  TASA DE INTERÉS  0.15  Corresponde al 15% de tasa de interés.  B3 :B8 Es el rango de los pagos que hará el cliente, los cuales se traen a valor presente.  :  B2    Valor del préstamo  Seguidamente,  se  busca  en  el  menú  principal  del  Excel  herramientas,  y  allí  se  selecciona buscar objetivo y aparece el siguiente menú:  En definir la celda  se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de la  transacción.  DEFINIR CELDA:  CON EL VALOR:  PARA CAMBIAR CELDA:
Con  el  valor  se  coloca  cero  (0),  partiendo  del  concepto  de  equivalencia  de  toda  la  transacción, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor del  préstamo a la tasa de interés dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. En  nuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular traídos a valor presente a la  tasa de interés del 1 5% deben ser iguales a los $ 1 5 .000 .000 del préstamo, este concepto  debe cumplirse para cualquier transacción, por lo tanto al sacar la diferencia entre el  préstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros ésta debe ser CERO.  Para cambiar la celda: se coloca la celda en la cual se colocó cualquier valor  en nuestro caso es la B3 que tiene un valor de 20.  En resumen, buscar objetivo debió quedar definido de la siguiente manera:  Se registra "aceptar" y automáticamente en las celdas que se formularon los pagos  debe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presente  neto, debe aparecer cero.  La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentación:  A  B  C  D  E  F  G  1  Semestre  Flujo de Caja  2  0  ­15.000.000.00  3  1  3.753.834.56  4  2  3.853.834.56  5  3  3.953.834.56  0.00  6  4  4.053.834.56  7  5  4.153.834.56  8  6  4.253.834.56  9  DEFINIR CELDA:  G5  CON EL VALOR:  O  PARA CAMBIAR CELDA:  B 3
3.1.2 Gradiente Geométrico  Otra forma alterna  de cuota variable es el gradiente geométrico, es decir cuando una  cuota varía respecto a otra no en una cantidad específica, por ejemplo $100.000, sino en  un porcentaje ejemplo 10%.  Con base en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico que­recibió un préstamo de su  amigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una año y medio en 3  cuotas semestrales con un interés del 20% semestral, con incrementos de la cuota en un  10%, gráficamente se expresaría para don Pastor Bueno:  A(1.10)  A  Tasa de interés: 20% semestral  $ 5,000,000  El ejercicio anterior se puede desarrollar utilizando la primera fórmula de equivalencia vista  en el capítulo 1, es decir, P = F/(l + i ) n  , de la siguiente forma:  Primero se trae a valor presente los pagos futuros que debe hacer doña Linda a don  Pastor.  P= A/ 1 I +0.20) +A(1.10)/ (1 +0.20) 2  +A(1.21)/ (1 + 0.20) 3  Luego, se iguala el valor presente de los pagos futuros al valor del préstamo, es decir:  $5.000.000 =     A/(1+0.20) +A(1.10)/ (1+0.20) 2  +A(1.21)/ (1+0.20) 3  Finalmente, se calcula A haciendo el despeje respectivo de la siguiente forma:  $5.000.000= A/1.2 + 1.10 A/1.44 + 1.21 A /1.728  $5.000.000 = 0.83333 A + 0.7638 A + 0.70023 A  $ 5.000.000 = 2.2974537037 A  A = $2.176.322 42  1  2  3  semestres  A(1.10)(1.10)  = A (1.21)
Como se observa cualquier cálculo en matemática financiera se puede hacer utilizando la  primera equivalencia utilizada en este libro, y que se definió de la siguiente manera:  F = P( 1 + i)  Y despejando P se tiene:  P = F / (I1+ i ) N  3.2  EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE  3.2.1 Equivalencia entre un  valor presente y un  gradiente  aritmético  Se define el gradiente aritmético a las cuotas variables en un plazo dado que aumenta una  cantidad g en cada período  n semestres  A+g  A+2g  A+3g  A+4g  A+(n­1)g  Obsérvese en el gráfico anterior que en cada una de las cuotas permanece A como una  constante, simplemente aumenta una cantidad fija g con respecto al período anterior.  Nótese que el incremento en el período 3 es 2g en el 4 es 3g y así sucesivamente, por lo  cual se puede concluir que en el período n será (n­1)g.  Para deducir la equivalencia que permite a través de una sola fórmula hacer los cálculos que  se hicieron antes, lo primero que hay que identificar es que las cuotas variables tienen 2  componentes, uno fijo y otro variable; el fijo como se anotó anteriormente es A y su valor  presente se definió de la siguiente forma:  P = A[{(1+i) n  ­  1} / { i (1+i)n} n  ]
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras
16934834 matematicas-financieras

Recomendados

La Funcion Financiera Mapa Conceptual.docx
La Funcion Financiera Mapa Conceptual.docxLa Funcion Financiera Mapa Conceptual.docx
La Funcion Financiera Mapa Conceptual.docxYennifer61
 
Finanzas y Responsabilidad Social
Finanzas y Responsabilidad SocialFinanzas y Responsabilidad Social
Finanzas y Responsabilidad Socialekonomistak
 
Monografia de estados financieros
Monografia de estados financierosMonografia de estados financieros
Monografia de estados financierosCONTABILIDAD FINANCIERA
 
La inflación
La inflaciónLa inflación
La inflaciónjose sanchez
 
Situación Actual del Sistema Financiero en Venezuela
Situación Actual del Sistema Financiero en VenezuelaSituación Actual del Sistema Financiero en Venezuela
Situación Actual del Sistema Financiero en Venezuelamariaazv10
 
Direccion y control primer actividad
Direccion y control primer actividadDireccion y control primer actividad
Direccion y control primer actividadAnaBarrn2
 
PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO
PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO
PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO Walter Punk
 
Nic niif-supuestos-practicos
Nic niif-supuestos-practicosNic niif-supuestos-practicos
Nic niif-supuestos-practicosRoyer Gonzales Sinche
 

Recomendados

La Funcion Financiera Mapa Conceptual.docx
La Funcion Financiera Mapa Conceptual.docxLa Funcion Financiera Mapa Conceptual.docx
La Funcion Financiera Mapa Conceptual.docxYennifer61
 
Finanzas y Responsabilidad Social
Finanzas y Responsabilidad SocialFinanzas y Responsabilidad Social
Finanzas y Responsabilidad Socialekonomistak
 
Monografia de estados financieros
Monografia de estados financierosMonografia de estados financieros
Monografia de estados financierosCONTABILIDAD FINANCIERA
 
La inflación
La inflaciónLa inflación
La inflaciónjose sanchez
 
Situación Actual del Sistema Financiero en Venezuela
Situación Actual del Sistema Financiero en VenezuelaSituación Actual del Sistema Financiero en Venezuela
Situación Actual del Sistema Financiero en Venezuelamariaazv10
 
Direccion y control primer actividad
Direccion y control primer actividadDireccion y control primer actividad
Direccion y control primer actividadAnaBarrn2
 
PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO
PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO
PRESUPUESTO DE CAJA Y MANEJO DE EFECTIVO Walter Punk
 
Nic niif-supuestos-practicos
Nic niif-supuestos-practicosNic niif-supuestos-practicos
Nic niif-supuestos-practicosRoyer Gonzales Sinche
 
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptxCuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptxJosAndradeGarca
 
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANACONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANALoraine Polo
 
LA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓN
LA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓNLA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓN
LA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓNGabrielErreyesArmijo
 
Sectores
Sectores Sectores
Sectoresluiscmp
 
Ensayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoEnsayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoleidy cuellar
 
Invetigacion salarial
Invetigacion salarialInvetigacion salarial
Invetigacion salarialGabrielBracamonte9
 
Factores de Economía Laboral.
Factores de Economía Laboral.Factores de Economía Laboral.
Factores de Economía Laboral.UFT
 
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorrosProyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorroskenyo isasi rivas
 
Mapa conceptual capital de trabajo
Mapa conceptual capital de trabajoMapa conceptual capital de trabajo
Mapa conceptual capital de trabajoaudiany7
 
Mecanismos de Fijacion de Precios
Mecanismos de Fijacion de PreciosMecanismos de Fijacion de Precios
Mecanismos de Fijacion de PreciosLeccionesWeb
 
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresaObjetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresaarielpadillaisaza
 
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españaModelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españaJairo Rodriguez
 
Ensayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoEnsayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoyuliethbracho
 
Análisis del entorno de Estados Unidos
Análisis del entorno de Estados UnidosAnálisis del entorno de Estados Unidos
Análisis del entorno de Estados UnidosLitlesweetkat
 
La inflacion -pdf
La inflacion -pdfLa inflacion -pdf
La inflacion -pdfyurani03-04
 
Estructura de las nif
Estructura de las nifEstructura de las nif
Estructura de las nifPedro Luviano
 
Generalidades de la administración financiera
Generalidades de la administración financieraGeneralidades de la administración financiera
Generalidades de la administración financieraSergio Paez Hernandez
 
Grupo 2 paul romer
Grupo 2 paul romerGrupo 2 paul romer
Grupo 2 paul romerHarbel Huancaruna Torres
 
Qué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
Qué es el Offshoring: Ventajas y DesventajasQué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
Qué es el Offshoring: Ventajas y DesventajasDAQS Group
 
Grupo Carso Andrea Sánchez
Grupo Carso Andrea SánchezGrupo Carso Andrea Sánchez
Grupo Carso Andrea SánchezAndreaSnchezCorrea
 
Metodo de juicio
Metodo de juicioMetodo de juicio
Metodo de juicioSam Mg
 
Modelos causales
Modelos causalesModelos causales
Modelos causalesLeón Leon
 

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptxCuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptxJosAndradeGarca
 
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANACONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANALoraine Polo
 
Sectores
Sectores Sectores
Sectoresluiscmp
 
Ensayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoEnsayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoleidy cuellar
 
Factores de Economía Laboral.
Factores de Economía Laboral.Factores de Economía Laboral.
Factores de Economía Laboral.UFT
 
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorrosProyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorroskenyo isasi rivas
 
Mapa conceptual capital de trabajo
Mapa conceptual capital de trabajoMapa conceptual capital de trabajo
Mapa conceptual capital de trabajoaudiany7
 
Mecanismos de Fijacion de Precios
Mecanismos de Fijacion de PreciosMecanismos de Fijacion de Precios
Mecanismos de Fijacion de PreciosLeccionesWeb
 
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresaObjetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresaarielpadillaisaza
 
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españaModelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españaJairo Rodriguez
 
Ensayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoEnsayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoyuliethbracho
 
Análisis del entorno de Estados Unidos
Análisis del entorno de Estados UnidosAnálisis del entorno de Estados Unidos
Análisis del entorno de Estados UnidosLitlesweetkat
 
La inflacion -pdf
La inflacion -pdfLa inflacion -pdf
La inflacion -pdfyurani03-04
 
Estructura de las nif
Estructura de las nifEstructura de las nif
Estructura de las nifPedro Luviano
 
Generalidades de la administración financiera
Generalidades de la administración financieraGeneralidades de la administración financiera
Generalidades de la administración financieraSergio Paez Hernandez
 
Qué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
Qué es el Offshoring: Ventajas y DesventajasQué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
Qué es el Offshoring: Ventajas y DesventajasDAQS Group
 

La actualidad más candente (20)

Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptxCuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
Cuadro sinóptico Jorge Sarmiento.pptx
 
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANACONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
CONVERGENCIA Y ADOPCIÓN DE LAS NIIF EN LATINOAMERICANA
 
LA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓN
LA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓNLA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓN
LA EMPRESA Y SU CLASIFICACIÓN
 
Sectores
Sectores Sectores
Sectores
 
Ensayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoEnsayo de presupuesto
Ensayo de presupuesto
 
Invetigacion salarial
Invetigacion salarialInvetigacion salarial
Invetigacion salarial
 
Factores de Economía Laboral.
Factores de Economía Laboral.Factores de Economía Laboral.
Factores de Economía Laboral.
 
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorrosProyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
Proyecto de tesis como la educacion financiera afecta a tus ahorros
 
Mapa conceptual capital de trabajo
Mapa conceptual capital de trabajoMapa conceptual capital de trabajo
Mapa conceptual capital de trabajo
 
Mecanismos de Fijacion de Precios
Mecanismos de Fijacion de PreciosMecanismos de Fijacion de Precios
Mecanismos de Fijacion de Precios
 
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresaObjetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
Objetivo básico financiero, flujo de caja y valor de la empresa
 
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españaModelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
Modelo de negocios internacionales 16 telefonica de españa
 
Ensayo de presupuesto
Ensayo de presupuestoEnsayo de presupuesto
Ensayo de presupuesto
 
Análisis del entorno de Estados Unidos
Análisis del entorno de Estados UnidosAnálisis del entorno de Estados Unidos
Análisis del entorno de Estados Unidos
 
La inflacion -pdf
La inflacion -pdfLa inflacion -pdf
La inflacion -pdf
 
Estructura de las nif
Estructura de las nifEstructura de las nif
Estructura de las nif
 
Generalidades de la administración financiera
Generalidades de la administración financieraGeneralidades de la administración financiera
Generalidades de la administración financiera
 
Grupo 2 paul romer
Grupo 2 paul romerGrupo 2 paul romer
Grupo 2 paul romer
 
Qué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
Qué es el Offshoring: Ventajas y DesventajasQué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
Qué es el Offshoring: Ventajas y Desventajas
 
Grupo Carso Andrea Sánchez
Grupo Carso Andrea SánchezGrupo Carso Andrea Sánchez
Grupo Carso Andrea Sánchez
 

Destacado

Metodo de juicio
Metodo de juicioMetodo de juicio
Metodo de juicioSam Mg
 
Modelos causales
Modelos causalesModelos causales
Modelos causalesLeón Leon
 
Matematicas financieras 2011-2
Matematicas financieras 2011-2Matematicas financieras 2011-2
Matematicas financieras 2011-2malaji7nestir111
 
Métodos para determinar la tendencia de la demanda
Métodos para determinar la tendencia de la demandaMétodos para determinar la tendencia de la demanda
Métodos para determinar la tendencia de la demandaSachiko Nakata
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)Videoconferencias UTPL
 
Administracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La Demanda
Administracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La DemandaAdministracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La Demanda
Administracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La Demandaguestb9bf58
 
Conversión de tasas de interés
Conversión de tasas de interésConversión de tasas de interés
Conversión de tasas de interésLyntik
 

Destacado (10)

Metodo de juicio
Metodo de juicioMetodo de juicio
Metodo de juicio
 
Modelos causales
Modelos causalesModelos causales
Modelos causales
 
Matematicas financieras 2011-2
Matematicas financieras 2011-2Matematicas financieras 2011-2
Matematicas financieras 2011-2
 
Métodos para determinar la tendencia de la demanda
Métodos para determinar la tendencia de la demandaMétodos para determinar la tendencia de la demanda
Métodos para determinar la tendencia de la demanda
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS ( II Bimestre Abril Agosto 2011)
 
Pronostico de venta
Pronostico de ventaPronostico de venta
Pronostico de venta
 
Presentacion pronósticos[1]
Presentacion pronósticos[1]Presentacion pronósticos[1]
Presentacion pronósticos[1]
 
Administracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La Demanda
Administracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La DemandaAdministracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La Demanda
Administracion De Operaciones I Unidad Ii Pronosticos De La Demanda
 
Conversión de tasas de interés
Conversión de tasas de interésConversión de tasas de interés
Conversión de tasas de interés
 
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos
 

Similar a 16934834 matematicas-financieras

Guia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerra
Guia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerraGuia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerra
Guia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerraJorge Luis Baquero Guerra
 
Guia propedeutica matematicas financiera 2015 Uniguajira
Guia propedeutica matematicas financiera 2015 UniguajiraGuia propedeutica matematicas financiera 2015 Uniguajira
Guia propedeutica matematicas financiera 2015 UniguajiraJorge Luis Baquero Guerra
 
PEA ECONOMIA INTERNACIONAL
PEA ECONOMIA INTERNACIONAL PEA ECONOMIA INTERNACIONAL
PEA ECONOMIA INTERNACIONAL Geovanny Taco
 
LECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdf
LECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdfLECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdf
LECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdfKalessySurez
 
Bt calculo diferencial
Bt calculo diferencialBt calculo diferencial
Bt calculo diferencialMaryRuiz68
 
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas13 filosofia ciencias_economica_y_politicas
13 filosofia ciencias_economica_y_politicassierra123mira
 
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)SaraPea28
 
Examen complexivo uc
Examen complexivo ucExamen complexivo uc
Examen complexivo ucGERARDOT1959
 
Informe versión final Manual didáctico Andragogico
Informe versión final Manual didáctico AndragogicoInforme versión final Manual didáctico Andragogico
Informe versión final Manual didáctico AndragogicoSergio Coc
 
Planificador de proyectos plantilla edualaloalonso
Planificador de proyectos plantilla edualaloalonsoPlanificador de proyectos plantilla edualaloalonso
Planificador de proyectos plantilla edualaloalonsomelomanoedua
 
Plan area filosofia ciencias economicas y politicas medellin
Plan area filosofia ciencias economicas y politicas medellinPlan area filosofia ciencias economicas y politicas medellin
Plan area filosofia ciencias economicas y politicas medellinJhoani Rave Rivera
 
Programa de estudios Contextualizacion
Programa de estudios ContextualizacionPrograma de estudios Contextualizacion
Programa de estudios ContextualizacionSalvador Cotero
 

Similar a 16934834 matematicas-financieras (20)

Guia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerra
Guia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerraGuia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerra
Guia propedeuitica matematica financiera 2015 actualizada jorge baquero guerra
 
Geo econo
Geo econoGeo econo
Geo econo
 
Guia propedeutica matematicas financiera 2015 Uniguajira
Guia propedeutica matematicas financiera 2015 UniguajiraGuia propedeutica matematicas financiera 2015 Uniguajira
Guia propedeutica matematicas financiera 2015 Uniguajira
 
PEA ECONOMIA INTERNACIONAL
PEA ECONOMIA INTERNACIONAL PEA ECONOMIA INTERNACIONAL
PEA ECONOMIA INTERNACIONAL
 
LECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdf
LECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdfLECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdf
LECT. 1-Guia-de-Investigacion-de-Economia-PUCP.pdf
 
8.-INVESTIGACION_II.pdf
8.-INVESTIGACION_II.pdf8.-INVESTIGACION_II.pdf
8.-INVESTIGACION_II.pdf
 
Bg1 eso
Bg1 esoBg1 eso
Bg1 eso
 
Gestión curricular
Gestión curricularGestión curricular
Gestión curricular
 
Programa EstudiosBt Lògica
Programa EstudiosBt LògicaPrograma EstudiosBt Lògica
Programa EstudiosBt Lògica
 
Modulo 4.currículo-de-primer-año
Modulo 4.currículo-de-primer-añoModulo 4.currículo-de-primer-año
Modulo 4.currículo-de-primer-año
 
Programa de fisica 2018
Programa de fisica 2018Programa de fisica 2018
Programa de fisica 2018
 
Bt calculo diferencial
Bt calculo diferencialBt calculo diferencial
Bt calculo diferencial
 
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas13 filosofia ciencias_economica_y_politicas
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas
 
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)
13 filosofia ciencias_economica_y_politicas (1)
 
Examen complexivo uc
Examen complexivo ucExamen complexivo uc
Examen complexivo uc
 
Informe versión final Manual didáctico Andragogico
Informe versión final Manual didáctico AndragogicoInforme versión final Manual didáctico Andragogico
Informe versión final Manual didáctico Andragogico
 
Planificador de proyectos plantilla edualaloalonso
Planificador de proyectos plantilla edualaloalonsoPlanificador de proyectos plantilla edualaloalonso
Planificador de proyectos plantilla edualaloalonso
 
Plan area filosofia ciencias economicas y politicas medellin
Plan area filosofia ciencias economicas y politicas medellinPlan area filosofia ciencias economicas y politicas medellin
Plan area filosofia ciencias economicas y politicas medellin
 
Programa de estudios Contextualizacion
Programa de estudios ContextualizacionPrograma de estudios Contextualizacion
Programa de estudios Contextualizacion
 
programación economía 1º
programación economía 1ºprogramación economía 1º
programación economía 1º
 

Último

TRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPC
TRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPCTRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPC
TRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPCCarlosEduardoSosa2
 
Los avatares para el juego dramático en entornos virtuales
Los avatares para el juego dramático en entornos virtualesLos avatares para el juego dramático en entornos virtuales
Los avatares para el juego dramático en entornos virtualesMarisolMartinez707897
 
Tema 17. Biología de los microorganismos 2024
Tema 17. Biología de los microorganismos 2024Tema 17. Biología de los microorganismos 2024
Tema 17. Biología de los microorganismos 2024IES Vicent Andres Estelles
 
🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docxEliaHernndez7
 
ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024Juan Martín Martín
 
prostitución en España: una mirada integral!
prostitución en España: una mirada integral!prostitución en España: una mirada integral!
prostitución en España: una mirada integral!CatalinaAlfaroChryso
 
Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024
Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024
Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024IES Vicent Andres Estelles
 
TIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADO
TIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADOTIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADO
TIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADOPsicoterapia Holística
 
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdfFactores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdfJonathanCovena1
 
SESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.doc
SESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.docSESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.doc
SESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.docRodneyFrankCUADROSMI
 
Posición astronómica y geográfica de Europa.pptx
Posición astronómica y geográfica de Europa.pptxPosición astronómica y geográfica de Europa.pptx
Posición astronómica y geográfica de Europa.pptxBeatrizQuijano2
 
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESOPrueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESOluismii249
 
Feliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdf
Feliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdfFeliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdf
Feliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdfMercedes Gonzalez
 
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docxPLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docxiemerc2024
 
Desarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
Desarrollo y Aplicación de la Administración por ValoresDesarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
Desarrollo y Aplicación de la Administración por ValoresJonathanCovena1
 

Último (20)

TRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPC
TRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPCTRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPC
TRABAJO FINAL TOPOGRAFÍA COMPLETO DE LA UPC
 
Los avatares para el juego dramático en entornos virtuales
Los avatares para el juego dramático en entornos virtualesLos avatares para el juego dramático en entornos virtuales
Los avatares para el juego dramático en entornos virtuales
 
Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicasUsos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
 
Tema 17. Biología de los microorganismos 2024
Tema 17. Biología de los microorganismos 2024Tema 17. Biología de los microorganismos 2024
Tema 17. Biología de los microorganismos 2024
 
🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
 
ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
 
prostitución en España: una mirada integral!
prostitución en España: una mirada integral!prostitución en España: una mirada integral!
prostitución en España: una mirada integral!
 
Tema 11. Dinámica de la hidrosfera 2024
Tema 11. Dinámica de la hidrosfera 2024Tema 11. Dinámica de la hidrosfera 2024
Tema 11. Dinámica de la hidrosfera 2024
 
Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024
Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024
Tema 19. Inmunología y el sistema inmunitario 2024
 
TIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADO
TIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADOTIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADO
TIENDAS MASS MINIMARKET ESTUDIO DE MERCADO
 
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdfFactores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
 
SESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.doc
SESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.docSESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.doc
SESION DE PERSONAL SOCIAL. La convivencia en familia 22-04-24 -.doc
 
Posición astronómica y geográfica de Europa.pptx
Posición astronómica y geográfica de Europa.pptxPosición astronómica y geográfica de Europa.pptx
Posición astronómica y geográfica de Europa.pptx
 
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESOPrueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
 
Interpretación de cortes geológicos 2024
Interpretación de cortes geológicos 2024Interpretación de cortes geológicos 2024
Interpretación de cortes geológicos 2024
 
Feliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdf
Feliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdfFeliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdf
Feliz Día de la Madre - 5 de Mayo, 2024.pdf
 
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docxPLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
 
Desarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
Desarrollo y Aplicación de la Administración por ValoresDesarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
Desarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
 
Supuestos_prácticos_funciones.docx
Supuestos_prácticos_funciones.docxSupuestos_prácticos_funciones.docx
Supuestos_prácticos_funciones.docx
 

16934834 matematicas-financieras

  • 3. 3  Centro Nacional de Medios  CONTENIDO  Pág.  Presentación  6  Introducción  8  UNIDAD DIDACTICA UNO  COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO  10  Explorando conocimientos previos  11  Capítulo Uno. Interés  12  1.  Interés  13  1.1  Conceptos  13  1.1.1 Concepto de interés  13  1.1.2 Concepto de interés simple  14  1.1.3 Concepto de interés compuesto  25  1.2    Tasas de interés  34  1.2.1Tasa de interés nominal  34  1.2.2 Tasa de interés efectiva  35  1.2.3 Conversión de tasas  42  Ejercicios para profundización de las temáticas  55  Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas  58  2.      Equivalencias con cuotas fijas  59  2.1    Cuotas fijas vencidas  59  2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas  vencidas  59  2.1.2 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotas  fijas vencidas  60  2.2  Cuotas fijas anticipadas  61  2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas  anticipadas  61  2.2.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas  anticipadas  61
  • 4. 4  2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas  vencidas con interés anticipado  62  Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables  64  3.        Equivalencias con cuotas variables  65  3.1.    Gradientes  65  3.1.1 Gradiente Aritmético  65  3.1.2 Gradiente Geométrico  69  3.2.    Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente  70  3.2.1 Equivalencias entre un valor presente y un Gradiente  Aritmético  70  3.2.2 Gradiente Aritmético Creciente  72  3.2.3 Gradiente Aritmético Decreciente  74  3.2.4 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente  Geométrico  76  3.3    Amortizaciones  78  3.3.1Tablas de amortización  78  3.3.2 Perpetuidades  90  Ejercicios para    profundización de las temáticas  92  UNIDAD DIDACTICA DOS  EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION  94  Actividades de exploración de conocimientos previos  95  Capitulo Uno. Clases de evaluaciones y criterios de decisión  96  1.  Clases o tipos de evaluaciones  97  1.1    Evaluación de proyectos sociales  97  1.1.1 Características  97  1.1.2 Relación Beneficio/Costo  98  1.1.3 Costo Capitalizado  98  1.2    Criterios para evaluar proyectos de inversión  103  1.2.1Tasa de descuento  103  1.2.2 Costo promedio Ponderado de Capital­WACC  104  1.2.3 Valor Presente Neto –VPN  105  1.2.4 Relación Valor Presente de los de los ingresos/ egresos  106  1.2.5 Tasa interna de Retorno –TIR  106  1.2.6 Costo Anual Uniforme Equivalente ­CAUE  109
  • 5. 5  2.        Análisis de Riesgos en los proyectos de inversión  112  2.1    Sistemas de Análisis  113  2.1.1 Distribución Beta 2  13  2.1.2 Distribución Beta  120  Capítulo Tres. Alternativas Mutuamente Excluyentes y no  Excluyentes  126  3.1    Alternativas Mutuamente Excluyentes  127  3.1.1 Comparación de alternativas  127  3.1.2 Tasa Verdadera  129  3.1.3 Tasa Ponderada  133  3.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento  136  3.1.5 Proyectos con vidas diferentes  139  Ejercicios para profundización de las temáticas  141  3.2.    Racionamiento de Capital  146  3.2.1 Modelo de Optimización  146  3.2.2 Planteamiento del Modelo  146  Ejercicios para la profundización de las temáticas  154  Apéndice. Sistema de financiación con UVR  155  Bibliografía y Cibergrafìa  165
  • 6. 6  PRESENTACION  La nueva    Universidad Nacional Abierta y a Distancia­ UNAD, recorrió    presurosa  toda su historia; inició un    proceso de reflexión que por principio se convirtió en  permanente  y  con  base  en  las  realidades  detectadas  mediante  el  proceso  de  “planificación  estratégica,  prospectiva  y  situacional”,  estructuró  un  conjunto  de  transformaciones    que la asoman al siglo XXI    como la fuente dinamizadora del  desarrollo del país y de la región. Por eso y por sus innovaciones organizacionales  la UNAD de hoy es una organización inteligente, es decir, una organización que  aprende.  Desde esta perspectiva, la nueva UNAD redefinió su misión y su accionar cada  vez es más coherente con ella y mediante su pedagogía propia de la metodología  de  la  educación  abierta  y  a  distancia  ofrecerá  oportunidades  tangibles  a  los  colombianos  mas  vulnerables,  para  ingresar  a  la  educación  superior  contribuyendo efectivamente a la educación para todos.  La  implementación  de  las  tecnologías  de la  información  y  de la  comunicación,  TIC’s, la ponen más cerca del nuevo paradigma educativo mundial, de conformar  redes  interactivas  con  todas  las  comunidades  y  organizaciones  nacionales  e  internacionales  interesadas  en  gestar  procesos  de  crecimiento  individual  y  colectivo.  Y los  cambios  e innovaciones que  viene  adelantando la pondrán a la  vanguardia, en el siglo XXI, de la Educación Abierta y a Distancia.  La producción de material didáctico hace parte de los cambios estructurales que  se vienen dando; es una de las actividades docentes; aquí es donde se tiene la  gran  oportunidad  de  actualizar  y  contextualizar  las  temáticas  de  los  cursos  académicos;  planear,  diseñar  y  actualizar  los  currículos  y  operacionalizar  el  modelo planteado desde el Proyecto Académico Pedagógico­PAP­ por el cual se  orienta  la  institución.  En  consecuencia  ­como  lo  expone  el  PAP­  el  material  didáctico  tiene  como  fin  apoyar  el  trabajo  académico  del aprendiente,  mediante  la planificación  de los  procesos  de  aprendizaje,  acorde  con las  competencias  e  intencionalidades formativas propuestas en los cursos académicos que componen  los campos de formación de un programa.  El  módulo  que  se presenta hace  parte  del material  didáctico  correspondiente  al  Curso  Académico  de  Matemáticas  Financieras  en  el  Ciclo  Tecnológico  del  Programa de Administración de Empresas. Es un rediseño al texto escrito por el  Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó esta decisión  con  base  en  el  levantamiento  del  estado  del  arte  del  material  que  se  venia  trabajando hasta enero de 2005, en consecuencia se determinó que el texto del  Doctor Rosillo además de presentar las temáticas correlacionadas con el currículo
  • 7. 7  del programa académico, está planteado desde lo básico hasta lo más complejo,  elemento esencial en el diseño de material didáctico.  El  producto  resultante  de  esta  mediación,  tiene  en  cuenta  los  elementos  estructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera que,  conjuntamente con la Guía Didáctica, sirva como soporte pedagógico al curso de  Matemáticas  Financieras,  el  cual  esta  estructurado  por  el  sistema  de  créditos  académicos.  Como  material  didáctico,      su  intencionalidad  es  apoyar  el  trabajo  académico de los aprendientes y el trabajo tutorial    en función del aprendizaje y el  desarrollo  cognitivo  y  metacognitivo  de los aprendientes,  en  correlación  con las  intencionalidades formativas del curso.  En  atención  a  que  el  nuevo  ordenamiento  mundial    está  provocando  nuevas  dinámicas en la economía; que la cultura, la comunicación y el mercado están en  un  proceso  de  globalización  acelerado  y  que  las  matemáticas  financieras  evolucionan constantemente en la medida en que cambian los escenarios sobre  los  cuales  actúan,  serán  bien  venidas  las  sugerencias  y  los  aportes  de  estudiantes,  tutores  y  cualesquiera  personas  que  quieran  contribuir  para  el  mejoramiento  de  este  material,  tanto  en  lo  temático    como  en  lo  pedagógico,  didáctico y metodológico.
  • 8. 8  INTRODUCCIÓN  El  administrador  de  empresa  puede  desenvolverse  profesionalmente  en  el  nivel  operativo  de  la  organización  aplicando  las  cuatro  funciones  principales  de  la  administración:  planeación,  organización,  dirección  y  control;  en  el  nivel  medio  como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los  tres  niveles  se  encarga    de  que los  recursos  sean  productivos  y  contribuyan  al  logro de las metas corporativas.  La  comprensión,  interpretación  y  aplicación  de  los  conceptos  propios  de  las  matemáticas financieras le permiten al aprendiente    el desarrollo de habilidades  en  el    manejo  de  las  herramientas  financieras  que  le  permitirán  en  el  ejercicio  profesional  proponer  con  argumentos  sólidos  alternativas  de  solución  a  las  problemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre  evaluación  de  alternativas  de  inversión    o  de  uso  y  aplicación  de  recursos  financieros.  Entre  las  posibilidades  inmediatas  de  aplicación  de  las  diferentes  herramientas  financieras  apropiadas  mediante  el  estudio  juicioso  de  las  temáticas  que  conforman  el  presente  módulo,  se  encuentran:  el  Proyecto  de  Desarrollo  Empresarial   (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemas  prácticos  que  se  identifiquen  en  las  actividades  de  proyección    y  apoyo  a  la  comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es la mayor atractivo  del estudio de esta rama del las matemáticas aplicadas.  Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas y  transversales  que  permitan  al  estudiante,  identificar,  apropiar  y  transferir  los  conceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y    evaluación de  proyectos  de  inversión  y  aplicar  ese  conocimiento  en  situaciones  de  toma  de  decisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financiera  de una organización o como miembro activo de su comunidad.  El presente módulo conjuntamente con la guía didáctica (protocolo académico y  guía  de  actividades),  conforman  el  material  didáctico  que  apoyará  el  trabajo  académico del aprendiente en el estudio del curso y con el propósito particular de  presentar la información en forma inteligible, está escrito en un lenguaje simple,  sin apartarse del léxico técnico pertinente a las cuestiones financieras.  En atención a que el curso, curricularmente responde a dos crédito académicos,  coherentemente el módulo se compone de dos unidades didácticas: 1. Costo del  dinero en el tiempo; 2. Evaluación de alternativas de inversión.    La primera unidad  la constituyen tres capítulos, los cuales contienen las temáticas relacionadas con  el  manejo  del  dinero,  tratado  como  mercancía  y  de  lo  cual  se  encargan  sustancialmente las matemáticas financieras; la segunda unidad integra otros tres  capítulos  que  tratan  los  temas  que  permiten  la  toma  de  decisiones  sobre  la
  • 9. 9  viabilidad o no de un proyecto y la elección de la alternativa más conveniente y  rentable para el uso de los fondos de las organizaciones.  La  metodología  propuesta  para  lograr  los  objetivos  esperados  se  orienta  al  autoaprendizaje, a través de la lectura con propósito de las temáticas, para lo cual  se recomienda desarrollar la estrategia SQA dispuesta al inicio de cada unidad;  resolver  los  ejercicios  propuestos  para  la  profundización  de  las  temáticas  y  la  aplicación  inmediata  en  el  PDE  o  en  casos  prácticos  para  la  solución  de  problemas en la comunidad.  Como  se  anotó  anteriormente,  este  material  viene  acompañado  de  la  guía  didáctica,  la  cual  además  de  la  información  sobre  las  características  del  curso  académico contiene la guía de actividades con    los elementos metodológicos de  evaluación y seguimiento del proceso de aprendizaje del curso.
  • 10. 10  UNIDAD UNO  COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO  Justificación  Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como:  interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá el  principio  de  equivalencia  financiera  y  conocerá  la  manera  de  realizar  todas  las  conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.  Objetivo General  A partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulas  de  interés  simple  e  interés  compuesto  y  establecer  los  parámetros  para  su  aplicación en las cuestiones financieras.  Objetivos específicos · Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto · Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de  Interés nominal dada o viceversa. · Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos · Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre  saldos mínimos · Encontrar  los  parámetros  que  permitan  calcular  las  sumas  presentes  equivalentes    a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal · Determinar  una  expresión  matemática  que  el  cálculo  del  valor  de  la  primera  cuota  para  con  base  en  el  sistema  de  amortización  se  pueda  calcular  las  restantes · Elaborar  tablas  y  gráficas  de  amortización  de  amortización  para  sistemas  de  amortización diferentes
  • 11. 11  El  desarrollo  de  esta  actividad  permite  indagar  los  conocimientos  que  se  tiene  sobre los contenidos a estudiar, de tal forma que    facilita la recepción de la nueva  información y genera mayor comprensión de las temáticas.  Después de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestar  las siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. “SQA”.  ¿Qué SE acerca de?  ¿Interés;  Interés simple; interés compuesto; tasas de interés; tasa de interés  nominal;  tasa  de  interés  efectiva,  crédito  con  cuotas  fijas;  crédito  con  cuotas  variables; amortización de créditos?  Una vez realizada la reflexión sobre los vacíos encontrados al tratar de responder  los interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 “SQA”, lo  que se desea conocer sobre los temas tratados. Así se resuelve la pregunta:  ¿Qué Quiero Saber?  Después de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolver  las  actividades  de  profundización  y  de  socializar  las  temáticas  con  los  demás  estudiantes  del  curso,  se  debe  completar  el  cuadro  “SQA”    registrando  en  la  tercera  columna  el  conocimiento  nuevo,  construido  mediante  el  estudio  de  la  unidad. El registro de los logros, responde la pregunta:  ¿Qué Aprendí?  Cuadro 1 “SQA”  ¿QUÉ SÉ  QUÉ QUIERO SABER  QUÉ APRENDÍ  Saberes previos:  Meas de aprendizaje:  Logros: nuevo conocimiento  Qué se  sobre…..?  ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN  DE CONOCIMIENTOS PREVIOS
  • 12. 12  CAPITULO UNO  INTERÉS  Justificación  Una vez el aprendiente haya terminado el estudio de este capítulo estará en  capacidad  de  comprender  el  concepto  del  valor  del  dinero  respecto  del  tiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas  de índole financiero y realizar los cálculos para las operaciones financieras  Objetivo General  A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas el estudiante  debe  deducir  las  fórmulas  de  interés  simple  e  interés  compuesto  y  encontrar  una  tasa  de  interés  efectiva  equivalente  a  una  tasa  de  Interés  nominal dada o viceversa.  Objetivos específicos · Establecer las diferencias precisas entre las diferentes clases de interés · Interpretar los diagramas económicos · Calcular operaciones financieras con interés simple e interés compuesto · Definir e interpretar el concepto de tasa de interés · Calcular la tasa de interés efectiva a partir de la tasa nominal y viceversa · Calcular el interés real en el año
  • 13. 13  El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se  caracterizó  por  la    división  del  trabajo;  esta  sociedad  estaba  formada  por  carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc.  Quienes  no  solamente  producían  para  su  consumo,  sino  que  generaban  excedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer sus  necesidades    de alimentación, vivienda, vestuario y educación.  Por  ejemplo,  el  productor  de  papa  sólo  satisfacía  parte  de  su  necesidad  de  alimento y    para que el    producto de su trabajo le sirviera como medio de vida,  debía  intercambiar    sus  excedentes  por  otros  productos,  debía  buscar  otro  individuo  que  estuviera  interesado  en  adquirir  su    producto.    Se  requería  la  existencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ella  era imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos se  debía  fijar  cuántas  unidades  del  producto  “A”  serían  necesarias  para  adquirir  el  producto  “B”,  la  relación  entre  la  cantidad  de  un  producto  que  se  entrega  para  obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del  otro bien.  1.1 CONCEPTOS  1.1.1  Concepto de Interés  El concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más  actores por el intercambio de bienes y servicios.  La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y  las limitantes del intercambio que generaba la “necesidad recíproca”, fue haciendo  germinar  el  establecimiento  de  un  bien  que  fuera  aceptado  por  todos  para  negociar.    Inicialmente, este bien fue el ganado y servía    para expresar el precio  de cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la  plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio  de  cambio  desplazando  a  otros  sistemas  de  cambio  por  su  fácil  manejo  hasta  llegar  a  nuestro  días  con  el  papel  moneda  de  aceptación  universal,  como  instrumento de intercambio.  De la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes para  poder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero de  1. INTERÉS  En  la  sociedad  primitiva  los  seres  humanos  se  autoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar o  pescar para conseguir alimento o vestido    y la mujer se  dedicaba  a  cuidar  el  fuego  y  a  recoger  frutos;  no  se  cazaba más de lo que se consumía.
  • 14. 14  los  individuos  que  no  se  consumen  se  llaman  AHORRO,  los  cuales  pueden  invertirse  o  cederse  a  otros  en  el  instante  del  tiempo  que  los  soliciten  para  satisfacer sus necesidades.    El costo o el rendimiento de estas transacciones se  llama INTERÉS.  Partamos  de  un  ejemplo  para  fundamentar  este  concepto:  supongamos  que  tenemos  dos  personas  que  tienen  el  mismo  dinero  para  invertir  y  ambos  son  comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero  tienen diferentes negocios;    el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e  importa  joyas  de  Panamá  y  el  segundo  es  don  Armando  Rico,  quien  ofrece  al  mercado perfumes importados de Francia.  Mensualmente  estos  individuos  adquieren  $10.000,000  en  mercancías,  pero  los  dos  obtienen  resultados  diferentes.    Doña    Linda  obtiene  una  ganancia  de  $300.000  en  el    mes  y  don  Armando  $500,000  en  el  mismo  lapso  de  tiempo.  Observemos  que  teniendo  la  misma  inversión  reciben  beneficios  diferentes,  podemos  definir  entonces  el  INTERÉS  como  la  utilidad  que  se  tiene  sobre  una  inversión en “X” tiempo, o sea:  Siendo el interés del comerciante en joyas    = 300,000 / 10,000,000    = 3%  mensual  y el interés del comerciante en perfumes    =500,000 / 10,000,000 = 5% mensual.  Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite  $10,000,000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si le  reconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al  5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre    de TASA DE  INTERÉS  DE  OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista está  dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superior  a la que rinden sus inversiones.  1.1.2  Concepto de Interés    Simple  Siendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterior  en el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente  $300,000 con $10,000,000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente,  es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:  Utilidad  Interés  =  Inversión
  • 15. 15  MES  DINERO  INVERTIDO  GANANCIA  DINERO  ACUMULADO  1  2  3  .  .  N  $10,000,000  $10,000,000  $10,000,000  $10,000,000  $300,000  $300,000  $300,000  $300,000  $10,300,000  $10,600,000  $10,900,000  Si:  Utilidades = 3% x $10.000,000 = $300,000 en cada período, para este caso cada  mes.  Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:  Dinero invertido = P  Tasa de Interés = i  MES  DINERO  INVERTIDO  UTILIDADES  1  2  3  .  .  n  P  P  P  P  Pi  Pi  Pi  Pi  Lo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)  por    período y    si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desde  el  momento  en  que  la  realizó,  simplemente  deberá  multiplicar  las  utilidades  de  cada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento  en que realizó la inversión.  Utilidad  Interés =  Inversión  Utilidad    = Inversión x Tasa de interés  Utilidad    = Pi
  • 16. 16  Generalizando  a  n  los  períodos,  se  tendrían  en  este  punto  unas  utilidades  acumuladas  Pin  y  el  total  de  dinero  acumulado  sería  igual  a la inversión inicial  más  las  utilidades  acumuladas;  a  esta  suma  se  le  conoce  con  el  nombre  de  MONTO  o  VALOR  FUTURO  y  en  términos  simbólicos  se  representa  de  la  siguiente forma:  P    =  Valor de la inversión ó valor actual  F    =  Valor futuro  N =  Número de períodos  % i =  Tasa de interés  Nótese  que  en  el  ejemplo  doña  Linda  Plata,  no  reinvirtió  las  ganancias  sino  siempre  invirtió  la  misma  cantidad  ($10  millones);  es  decir,  cuando  no  hay  reinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉS  SIMPLE.  Ejemplo 1  ¿Cuánto  dinero  acumularía  Juan  Pérez  dentro  de  5  años,  si  invierte  hoy  $4.000.000 a    una tasa de interés simple del 3% mensual?  El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de  flujo de la siguiente manera:  Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos  con  una  flecha  hacia  abajo,  en  una  escala  de  tiempo  que  pueden  ser  años,  semestres, meses, días.    La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo  período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés  está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o  sea 60 meses.  F = P + Pin  F = inversiones + Utilidades Acumuladas  F = p (1 + in)
  • 17. 17  F = P (1 + in)  F= 4,000,000(1 + 0.03 (60))  F= 11,200,000  Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7,200,000 en los 5 años y  adicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4,000,000.  SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempo  considerado.  Ejemplo 2  Armando Rico recibió hoy $3,450,000 del Banco de Bogotá por    una inversión que  realizó  hace  tres  semestres;  si  la  tasa  de  interés  es  del  2%  mensual,  ¿cuánto  dinero invirtió don Armando?  Como se explicó anteriormente, el punto de   partida es realizar el gráfico o flujo  de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:  En  razón  a  que  la  tasa  es  mensual  se  deben  expresar  los  tres  semestres  en  meses, para que los elementos estén en la misma base.  1 = 3% mensual  F  60 meses  P = 4.000.000  0  P  1=2% mensual  F = 3.450.000  18 meses = 3  Semestres
  • 18. 18  Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:  F = P (1 + in)  F = $3.450.000      porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades  I = 2% mensual  N = 3 semestres = 18 meses  Entonces,  3,450,000 = P (1 + 2% (18))  3,450,000 = P (1 + 0.36)  P = 3,450,000 / (1.36)  P = $2,536,764.71  Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.  Ejemplo 3  Patricia  Fernández  recibió  un  préstamo  de  $3,000,000,  que  debe  paga  en  18  meses;  si  al  final  del  plazo  debe  cancelar  $3,850,000,  calcular  tasa  de  interés  simple del préstamo.  P = 3.000.000  18 meses  F = 3,850,000 0
  • 19. 19  Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se  está  tomando  como  referente  a  Patricia  Fernández;  al  recibir  el  dinero  del  préstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso,  por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.  Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente:  Reemplazando los datos de la ecuación se tiene:  F = P (1 + in)  3,850,000    =    3,000,000 (1 + i% (18))  3,850,000/3,000,000= (1 + i18)  1.2833 – 1 = i18  i = 0.2833/18  i = 0.015740  Expresándolo en términos porcentuales se tiene,  I = 1,5740% mensual simple.  0  P = 3.000.000  F = 3.850.000  18 meses
  • 20. 20  Ejemplo 4  Armando  Mendoza  recibió  un  préstamo  de  $7,000,000  de  Beatriz  Pinzón  Solano,  si  canceló  $10,500,000  y  la  tasa  de  interés  fue  del  2%  mensual  simple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?  Gráfico para Armando Mendoza  Gráfico para Beatriz Pinzón Solano  Reemplazando en la ecuación se tiene:  F = P (1 + in)  10,500,000 = 7,000,000 (1 +(2%)n)  10,500,000/7,000,000 = 1 + 2%n;      2% = 0.02  1.5 – 1 = 0.02n  P = 7.000.000  1 = 2% mensual  F    = 10.500.000  0  0  P = 7,000,000  i = 2% mensual  F = 10.5000.000
  • 21. 21  0.5  = 0.02n  0.5/0.02 = n  n = 25 meses  Nótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.  Ejemplo 5  Sofía  Vergara  recibió  un  préstamo  del  Banco  Santander  que  debe  pagar  de  la  siguiente forma: $3,000,000 dentro    de 6 meses, $4,000,000 dentro de un año y  $5,000,000 en año y medio.  Si la tasa de interés es del    10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero le  prestó el Banco Santander a Sofía?  Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la  tasa de interés, se tiene:  6 meses = un semestre  Un año = dos semestres  Año y medio =    tres semestres  Gráfico para el Banco Santander  0  P  3.000.000  1  4.000.000  5.000.000  3  Semestre 2  i = 10% semestral
  • 22. 22  Gráfico para Sofía Vergara  Observando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepción  diferente  a la  tratada en los  ejemplos  anteriores  en los  cuales  se  tenía  un  solo  ingreso y un solo pago o viceversa.    Este ejemplo plantea tres desembolsos en el  futuro para el caso de Sofía.   La solución de este tipo de problema se basa en el  mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro  de manera independiente.  Cada  pago  se  hace  Sofía,  se  considera  dentro  del  toral  de  la  cuota  una  parte  correspondiente  a  intereses  y  otra  un  abono  al  préstamo.    Para  el  Banco  Santander,  los  intereses  serían  las  utilidades  y  el  abono  al  préstamo  una  devolución  de  una  parte  de  la  inversión.    Este  concepto  es  congruente  con  la  definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades  explicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión se  devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.  F = P (1 + in)  P = F/(1 + in)  Analizando cada pago independiente se tiene:  Pago 1 = P1 = 3,000,000/(1 + 0.10 (1)) = $2,727,272.73  Pago 2 = P2 = 4,000,000/(1 + 0.10 (2)) = $3,333,333.33  Pago 3 = P3 = 5,000,000/(1 + 0.10 (3)) = $3,846,153.85  i = 10% semestral  0  1  2  3  Semestre  P  3,000,000  4,000,000  5,000,000
  • 23. 23  Por lo tanto el valor del préstamo sería:  P1 = P1 + P2 + P3  P2 = 2,727,272.73 + 3,333,333.33 + 3,846,153.85  P3 = $9,9060759.91  Ejemplo 6  Natalia  París  desea  realizar  un  viaje  por  el  continente  europeo  de  un  año  y  se  propone  el  siguiente  plan  de  ahorros  para  realizar  su  sueño:  hoy,  ahorra  $1,000,000; dentro de tres meses, ahorrará $1,000,000; dentro de un semestre,  ahorrará $1,500,000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1,700,000.  ¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le  paga el Banco es del 1% mensual simple?  Gráfico para Natalia  0  1      2       3       4      5         6        7        8        9     10       11     12  i = 1% mensual, 1% = 0.01  Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el  mismo período de tiempo que la tasa de interés.  Retomando  el  ejemplo  anterior,  cada  ahorro  o  inversión  se  trata  de  manera  independiente por lo tanto se tiene:  Ahorro o inversión #1 = F1  Ahorro o inversión #2 = F2  Ahorro o inversión #3 = F3  meses  1,700,000  1,500,000  1,000,000  1,000,000  F = ?
  • 24. 24  Ahorro o inversión #4 = F4  La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #1 dura exactamente  en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.  F1 = P1 (1 + in)  F1 = 1,000,000 (1 + 0.01(12)) = $1,120,000  La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #3 dura exactamente  en el banco 9 meses (12 meses­3meses), por tanto n = 9.  F2 = P2 (1 +   in)  F2 = 1,000,000 (1 + 0.01(9)) = $1,090,000  La  inversión  o  ahorro  de  $1,500,000  que  hace  Natalia  en  el  período  #6  dura  exactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses),    por lo tanto    n = 6.  F3 = P3 (1 + in)  F3 = 1,500,000 (1 + 0.01(6) = $1,590,000  La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace en el período #10 dura exactamente  en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2.  F4 = P4 (1 + in)  F4 = 1,700,000 (1 + 0.01(2)) = $1,734,000  Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:  F = F1 + F2 + F3 + F4  F = $5,534,000
  • 25. 25  1.1.3  Concepto de Interés Compuesto  En  el  caso  de interés  simple  se  consideró que las ganancias  eran iguales  para  todos  los  períodos,  puesto  que  la  inversión  permanecía  constante.    Cuando  se  trata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodos  puesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidades  obtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.  Tomando  nuevamente  el  ejemplo  con  el  que  se  inicio  el  capítulo,  donde  la  inversionista  Linda  Plata  tenía  $10,000,000  disponibles;  si  doña  Linda  invierte  estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría el  siguiente resultado:  MES  DINERO  INVERTIDO  GANANCIA  DINERO  ACUMULADO  1  2  3  .  .  n  $10,000,000  $10,300,000  $10,609,000  10,000,000 * 0.03 = 300,000  10,300,000 * 0.03 = 309,000  10,609,000 * 0.03 = 318,270  10,000,000+300,0  00  =10,300,000  10,300,000+309,0  00  = 10,609,000  10,609,000+318,2  70  =10,927,270  Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:  P =  Inversión  % i =  Tasa de Interés  Utilidad =  Inversión X i = Pi  F =  Valor futuro
  • 26. 26  MES  DINERO  INVERTIDO  GANANCIA  DINERO ACUMULADO  1  P  P (i)  P + Pi = P(1 +i)  2  P(1+i)  P(1+i) (i)  P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i) 2  3  P(1+i) 2  P(1+i) 2  (i)  P(1+i) 2  +P(1+i) = P(1+i) 2  (1+i) = P(1+i) 3  4  .  .  .  .  .  .  .  .  .  n  P(1+i) n  Generalizando,  se  concluye  que  cuando  se  reinvierten  las  utilidades  (interés  compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:  Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear el  siguiente ejercicio:  Cuánto  dinero  acumulará  (valor  futuro)  doña  Linda  dentro  de  tres  meses  a  una  tasa de interés del 3% mensual, si invierte $10,000,000 inicialmente:  F = P(1+i) n  F= $10,000,000 (1+0.03) 3  F = $10,927,270  Valor que coincide con los $10,927,270 obtenidos en la primera tabla.  En conclusión, gran diferencia entre el interés compuesto radica en la reinversión  de utilidades.    Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el  caso de doña Linda con una inversión de $10,000,000 al 3% mensual, se obtienen  los siguientes resultados:  F = P (1+i) n
  • 27. 27  Interés simple:  dinero acumulado al tercer mes $10,900,000  Interés compuesto:  dinero acumulado al tercer mes $10,927,270  Ejemplo 1  ¿Cuánto  dinero  acumularía  Juan  Pérez  dentro  de  5  años,  si  invierte  hoy  $4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?  El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de  flujo de la siguiente manera:  Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos  con  una  flecha  hacia  abajo  en  una  escala  de  tiempo  que  pueden  ser  años,  semestres, meses, días.    La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo  período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés  está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o  sea 60 meses.  F = P (1 + i ) n  F = 4,000,000 (1 + 0. 03) 60  = 23,566,412.42  Este  mismo  ejemplo  con  tasa  de  interés  simple,  obtuvo  un  valor  futuro  de  $11,200,000.  Ejemplo 2  Armando Rico recibió hoy $3, 450,000 del Banco de Bogotá por una inversión que  realizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto,  ¿Cuánto dinero invirtió don Armando?  Como se explico anteriormente el punto de partida    es realizar el gráfico o flujo de  caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:  I = 3% mensual  F  60 meses  P = 4,000,000
  • 28. 28  En  razón  d  que  la  tasa  es  mensual,  se  deben  expresar  los  tres  semestres  en  meses, para que los dos elementos estén la misma base:  Reemplazando en la  ecuación que relaciona estas variables se tiene:  F =  P ( i  + i) n  F = $ 3.450,000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades  i= 2% mensual  n= 3 semestres = 18 meses  Entonces,  3,450.000 = P (1 + 0.02) 18  3,450,000 = P (1.42824624758)  P = 3.450.000/1.42824624758  P = $2,415,549.84  Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.  Ejemplo 3  Patricia Fernández recibió un préstamo de $3,000,000, que debe pagar en 18 meses;  si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular la tasa de interés del préstamo.  P = 3,000.000  0 P  I = 2% mensual  F = 3,450,000  18 meses = 3 semestres  0  18 meses
  • 29. 29  Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se  está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo  tiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual se  dibuja con una flecha hacia abajo.  Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente:  Reemplazando los datos de la ecuación se tiene  F = P(1 +i ) n  3,850,000 = 3,000,000(1 + i) 1  3,850,000/3,000,000 = (1 + i) 1  18  1.283333  =  18  (1+ i) 18  1.013955 = 1+l  1.013955­1 = i  0.013955 = i  En términos porcentuales,i = 1.3955% mensual  Ejemplo 4  Armando Mendoza recibió un préstamo de $7,000,000 de Beatriz inzón Solano, si  canceló  $10,500,000  y  la  tasa  de  interés  fue  del  2%  mensual  compuesto,  calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?  F = 3,850,000  18 mesea  P = 3,000,000  0
  • 30. 30  Gráfico para Armando Mendoza  Gráfico para Beatriz Pinzón Solano  Reemplazando en la ecuación se tiene:  F = P(1 + i ) n  2% = 0.02  10,500,000 = 7,000,000 (1 + 0.02) n  10,500,000/7,000,000 = (1 .02) n  1.5 =1.02 n  Aplicando logaritmos en base 10 se tiene:  log 1.5 =nlog 1.02  0. 17609 125 =n (0.0086001 71 7)  n =0.17609125/0.0086001717  n = 20.47 meses  P = 7,000,000  I = 2% mensual  F = 10,500,000  0  P = 7,000,000  i =    2 % mensual  F = 10,500,000  0
  • 31. 31  Nótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada en  meses.  Ejemplo 5  Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente  forma: $ 3,000,000 dentro de 6 meses, $ 4,000,000 dentro de un año y $ 5,000,000 en año  y medio.  Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuánto dinero le  prestó el Banco Santander a Sofía?  Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa  de interés, se tiene:  6 meses =   un semestre  un año   =  dos semestres  :  año y medio = tres semestres  Gráfico para el Banco Santander  Gráfico para Sofía Vergara  0  1  3 2  P  3,000,000  5,000,000  i = 10% semestral  semestres  0  1  3 2  4,000,000 3,000,000  i = 10% semestral  semestres  P  5,000,000
  • 32. 32  del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores  en  los  cuales  se  tenía  un  solo  ingreso  y  un  solo  pago  o  viceversa.  Este  ejemplo  plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo  de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o  desembolso en el futuro de manera independiente.  Cada  pago  que  hace  Sofía  se  considera  dentro  del  total  de  la  cuota  una  parte  correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander,  los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte  de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el  consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo:  en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en  uno.  F = P(1+i) n  P = F / (1+i) n  Analizando cada pago independientemente se tiene:  Pago 1 = P1  = 3,000,0007(1+0.10) 1  = 2,727,272.73  Pago 2 = P2  =4,000,000/(1+0.10) 2  =3,305,785.12  Pago 3 = P3  =5,000,0007(1+0.10) 3  =3,756,574  Por lo tanto, el valor del préstamo sería:  P = P1 +P2 +P3  P = $9,789,631.86  Ejemplo 6  Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y se  propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1,000,000;  dentro de tres meses, ahorrará $ 1,000,000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1,500,000 y  dentro de 10 meses, ahorrará $ 1,700,000.
  • 33. 33  ¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el  Banco es del 1% mensual compuesto?  Gráfico para Natalia  0  1  2  3  4  5  6  7    8  9  10  11  12  Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente,  por lo tanto se tiene:  Ahorro o inversión # 1 = F1  Ahorro o inversión # 2 = F2  Ahorro o inversión # 3 = F3  Ahorro o inversión # 4 = F4  La inversión o ahorro de $1,000,000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en el  banco 12 meses, por lo tanto n = 12  F1  =    P1  (1+ i) n  F1  = 1,000,000(1+0.01)  =$1,126,825.03  La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período 3 dura exactamente en el  banco 9 meses (12 meses ­ 3 meses) por lo tanto n = 9  F2  =    P2 (1+ i) n  1,500,000  1,000,000  meses  1,700,000  F =?  1,000,000
  • 34. 34  F      = 1,000,000(1+0.01 ) 9  =$1,093,685.27  2  La inversión o ahorro de $ 1 ,500,000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente en  el banco 6 meses (12 meses ­ 6 meses) por lo tanto n = 6  F3  =    P3 (1+ i) n  F3  = 1,500,000(1 +0.01 ) 6  =$1,592,280.22  La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamente  en el banco 2 meses (12 meses ­ 10 meses) por lo tanto n = 2  F4  =P3 (1+ i) n  F4  = 1,700,000(1 +0.01 ) 2  =$1,734,170  Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:  F = F1 + F2 + F3  + F4  F = $5.546,960.53  1.2    TASAS DE INTERÉS  El concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar como  interés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés en  un tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclatura  es: i%.  1.2.1 Tasa de Interés Nominal  Es la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y  que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende  que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.
  • 35. 35  1.2.2 Tasa de Interés Efectiva  Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las  transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se  realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.  La  mayoría  de  ejecutivos  en  finanzas  o  ejecutivos  comerciales  de  empresas  del  sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente  a la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Será  esto cierto?  Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase;  que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino  hasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de  Bogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba  y antiguo compañero de la universidad. El le ofrece que le pagará por los $100 millones  una  tasa  del  40%  anual  y  que  los  intereses  se  liquidarán  trimestre  vencido, doña  Linda,  administradora  de  empresas  de  gran  prestigio  profesional  en  la  capital  colombiana, hace el siguiente cálculo:  Plazo:  Un año  Tasa de interés:  40% anual  Liquidación de interés:  Trimestre vencido  Inversión:  $100 millones  Número de liquidaciones por año:  4  Tasa trimestral o del período:  40% / 4 = 10%
  • 36. 36  TRIMESTRE  SALDO INICIAL  INTERESES  i = 10%  SALDO FINAL  1  100.00  $10.00  $ 110.00  2  110  $11.00  $ 121.00  3  121  $12.10  $ 133.10  4  133.10  $13.31  $ 146.41  TOTAL  $46.41  La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; en  este caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46.41 en el año,  si  la  inversión  fue  de  $100  millones  quiere  decir  que  se  obtuvo  un  interés  (%)  o  rentabilidad de $46.41/100 = 46.41% en un año.  Si  el  40%  de  interés  se  hubiera  liquidado  solo  al  final  del  año,  doña  Linda  habría  obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número de  liquidaciones  de  intereses  que hay  en el  plazo  fijado  (para este  caso  son  4 las  liquidaciones en el año).  Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se  derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un año  pero  con  diferentes  formas  de  liquidar  los  intereses  por  ejemplo,  bimestralmente,  semestralmente, etc.  TASA  FORMA DE LIQUIDACIONES  40%  Semestre vencido  40%  Trimestre vencido  40%  Bimestre vencido  40%  Mes vencido  40%  Día vencido  Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la  tasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) sería  igual a 0% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral;  si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40%  anual trimestre vencido, es decir:
  • 37. 37  Plazo:  Un año  Tasa de interés:  40% anual  Liquidación de interés:  Semestre vencido  Inversión:  $100 millones  Número de liquidaciones por  año:  2  Tasa trimestral o del período:  40% / 2 =20%  SEMESTRE  SALDO INICIAL  INTERESES  SALDO FINAL  1  100  20  120  2  120  24  144  Total  44  Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interés  Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20  Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses  Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120  ;  El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.  intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24  saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144  Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión de  utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad de ó sea  $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión.  En relación con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos  de la reinversión de las utilidades ó intereses; cuando esto no se da se obtiene lo que se  llama tasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés  simple y la tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no  se tiene en cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.
  • 38. 38  Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual se  expresa de la siguiente forma:  ie =  Tasa de interés efectiva  ip =  Tasa periódica  n =  Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijado  ie  =    (1+ i) n  ­1  Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:  1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?  Tasa periódica = ip  ie = (1 + 0.1)  ­ 1 = 0.4641 ó 46.41 % efectivo anual  Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar  de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral  ip = 0.40 74 = 0.10 ó 10% semestral  n = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestre  ie = (1 + 0.10) 2  ­ 1 = 0.21 = 21% efectiva semestral  2) Si se tiene una tasa anual del 40%  semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual  ip = 0.40 / 2 = 0.20 ó 20% semestral  n = número de liquidaciones = 2  ie= (1 + 0.20) 2  ­1 = 0.44  ó  44%  efectiva anual  Tasa anual  ip = ——————————————— 0.40 / 4 = 0.1 = 10% trimestral  # de períodos en el año
  • 39. 39  Con base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:  TASA ANUAL  FORMA DE LIQUIDACIÓN  DE INTERESES  NÚMERO DE  LIQUIDACIONES  POR AÑO  i  PERIÓDICA  40%  Semestre vencido  2  20% semestral  40%  Trimestre vencido  4  10% trimestral  40%  Bimestre vencido  6  6.67% bimestral  40%  Mes vencido  12  3.33% mensual  40%  Día vencido  360  0.11% diario  Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen las  restantes:  40% anual bimestre vencido  i  bimestral = 0.40 / 6 = 6.67%  Número de liquidaciones en un año: 6  ie anual = (1+0.0667) 6  ­ 1 = 0.4732  40% anual mes vencido  i mensual = 0.407 12 = 0.0333 = 3.33%  Número de liquidaciones en un año: 12  ie anual = (1+0.0333) 12  ­1 = 0.4816  40% anual día vencido  i diario = 0.40 / 360 = 0.001111 = 0.11 %  Número de liquidaciones en un año: 360  ie anual = (1+0.001111) 360  ­ 1 = 0.4914
  • 40. 40  De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras:  TASA  ANUAL  FORMA DE LIQUIDACIÓN  DE INTERESES  NUMERO DE  LIQUIDACIONES  POR AÑO  TASA  EFECTIVA  40%  Semestre vencido  2  44.00%  40%  Trimestre vencido  4  46.41%  40%  Bimestre vencido  6  47.32%  40%  Mes vencido  12  48.16%  40%  Día vencido  360  49.14%  Como  se  observa  en  la  tabla  anterior,  a  medida  que  se  aumenta  el  número  de  liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos  casos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que le  liquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada  8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene:  40% anual liquidando intereses cada 12 horas  ip = 0.40 7720 = 0.0005555  n = 360 x 2 = 720 períodos  ie anual = (1+0.0005555) 720  ­ 1 = 0.491659  Ahora analizando  el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas  ip = 0.40 / 1080 = 0.00037037  n = 360 x 3 = 1,080 periodos  le anual  = (1 +0.00037037) 1080  ­ 1 =  0.491714  Como  se  observa,  a  medida  que  se  aumenta  el  número  de  liquidaciones  se  incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,  es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráfico siguiente.
  • 41. 41  Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas  vencidas  0  2  4  6  8  10  12  14  NUMERO DE CAPITALIZACIONES  Con lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interés  continuo, que se expresa así:  Que para el caso del 40% anual se obtiene:  Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguen  aumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmula  anterior se conoce con el nombre de interés continuo ó capitalización continua.  ie = e i  ­ 1  i e = e 0.40  ­1 = 2.718281 0.40  ­1  i e  = 0.49182  T  A  S  A  S  E  F  E  C  T  I  V  A  S  60.000%  50.000%  40.000%  30.000%  20.000%  10.000%  0.000%
  • 42. 42  Con  base  en  los  cálculos  realizados  anteriormente,  se  concluye  que  la  tasa  de  interés  electiva  está  íntimamente  ligada  con  el  interés  compuesto,  es  decir,  considera la reinversión de utilidades.  1.2.3 Conversión de tasas  El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente;  este concepto es  de  gran  utilidad en  Matemáticas  Financieras,  por  cuanto permite  solucionar  situaciones  recurrentes,  donde  los  períodos  de  los  flujos  de  caja  (ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.  Ejemplo 1  Con  una  tasa  del  40%  anual  trimestre  vencido,  ¿calcular  la  tasa  semestral  equivalente?  Este ejercicio se puede resolver de varias formas:  Primera forma  i= 40% anual trimestre vencido  i  periódica = i anual   / # períodos en el año  i  periódica = i trimestral =0.40 / 4 =0.10  Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anual  ie = tasa de interés efectiva anual  Donde n es el número de liquidaciones en el año.  La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo  que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al  año e liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:  = (1+0.10) 4  ­! = 0.4641  Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de  calcular la efectiva anual.  iea = (1+ip) n  ­1  0.4641 =  (1+i semestral) 2  ­  1
  • 43. 43  n = 2,  porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres)  1.4641  =  (1+i semestral) 2  2  1.4641  =  2  (1+i semestral) 2  1.21 = 1 + i semestral  1.21 ­1 =   i semestral  0.21 = 2 1 %  Segunda forma  i = 40% anual trimestre vencido  i  periódica  = i  trimestral  =0.40/4 =0.10  Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación de  intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempre  aparece adyacente a la tasa de interés anual.  Con base en la tasa trimestral se puede calcular la trimestral, utilizando la ecuación de  tasa efectiva.  iea = (1+ip) n  ­1  i semestral  = (1+  i trimestral ) 2  ­1  i semestral  =(1 + 0.10 ) 2  ­ 1 = 0.21  Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.  Ejemplo  2  Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:  a. La tasa semestral equivalente.
  • 44. 44  b. La tasa mensual equivalente.  a. Tasa Semestral  Primera forma  i = 30% anual bimestre vencido  Bimestre = cada 2 meses  i periódica = i bimestral  = 0.30/6 =0.05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.  iea = (1+ ip) n  ­1  i semestral  =(1 + 0.10 ) 2  ­ 1 = 0.21  ia  = (1 +0.05) 6  ­!  = 0.3400  Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral  Iea  =    (1+ ip) n  ­1  0.34 =  (1+ i semestral ) 2  ­1  1.34 =    (1+ i semestral) 2  2  1.34    =  2  (1+ i semestral) 2  1.157625 =1+ i semestral
  • 45. 45  1.157625 ­1 = i semestral  0.157625 = i semestral  15.7625% = i semestral  Segunda forma  i = 30% anual bimestre vencido  Bimestre = cada 2 meses  i periódica = i bimestral  = 0.30/6 =0.05  iea = (1+ i periódico) n  ­1  i semestral  =(1 + 0.05 ) 3  ­ 1 = 0.157625 ó 15.7625%  n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.  b. Tasa mensual  Primera forma  i periódica = i bimestral  = 0.30/6 =0.05  ia = (1+0.05) 6  ­!  = 0.3400  Combase en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual  ia = 0.34  i    =(1+i periódica) n  ­1  0.34 =  (1 +i mes ) 12  ­ 1  n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12  veces en el año.  1.34 =  (1 +i mes ) 12  12  1.34 =  12  (1 +i mes ) 12
  • 46. 46  1.02469 = 1 +i mes  1.02469­1=1 +i mes  0.02469 = i mes  2.469%    = i mes  Segunda forma  i = 30% anual bimestre vencido  iperiódica = i bimestral 0.30 / 6 =0.05  Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  0.05            = (1 + i mes) 2  – 1  1.05 = (1+ i mes) 2  12  I .05 =  12  (1 + i mes) 2  1.02469 =1 + i mes  0.2469 = i mes  i mes  = 2.469%  Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón es  muy  sencilla,  los  meses  están  contenidos  dentro  del  bimestre.  Lo  mismo  sucedería  si  se  tuviera  una  tasa  del  3%  mensual  y  se  preguntara  la  tasa  quincenal;  como la  quincena  está  contenida dentro del  mes,  el 3%  se  tomaría  como efectiva.  Ejemplo 3  Justo  Pastor  Malo  recibió  un  préstamo  del  Banco  Popular  de  $7,000,000  que  debe  ¡pagar  en  una  sola  cuota  dentro  de  2  años.  Si  la  tasa  de  interés  es  del  24%  anual  semestre  vencido,  ¿calcular  el  valor  de  la  cuota  que  debe  pagar  Justo Pastor al Banco Popular?  P = 7,000,000  I = 24 % anual semestre vencido  2 años  0  F = ?
  • 47. Obsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera en  semestres  y  la  segunda  en  años;  por  lo  anterior  se  debe  efectuar  la  conversión:  correspondiente.  Primera forma  Se debe hallar la tasa de interés efectivo anual para que coincida con el período del  plazo que está dado en años, por lo tanto:  iea = (1+ i periódico) n  ­1  i periódica = i semestral  = 0.24 / 2  = 0.12  iea = (1+0.12) 2  ­1=0.2544  F =P(1+ i ) n  F = 7,000,000 (1+0.2544) 2  F = $11,014,635.52  • Segunda forma  i = 24% anual semestre vencido  i periódica = i semestral  = 0.24 / 2  = 0.12  Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguiente  manera:  i = 12% semestral  F =P(1+ i ) n  F = 7,000,000(1+0.2544) 2  = $11,014,635.52  0  1  2  3  4  P = 7,000,000  semestres  F    = ?
  • 48. · Tasas anticipadas  Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase que  doña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su  gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado.  Veamos  cómo  sería  el  comportamiento  con  un  gráfico,  doña  Linda  no  necesita  el  dinero sino hasta dentro de un año.  En el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo  momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo  invirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico:  $100 millones  1 año  $60 millones (Inversión)  En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro  dentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia  (ver capítulo 1) se puede hallar el interés:  F= P (1 + i) n  F = $100  P = $60  N = 1 año  100= 60(1+i) 1  100/60 = (l+i)  $ 40 millones “hoy”  Interés anticipado  $ 100 millones  inversión  $ 100 millones devolución de  la inversión Un año
  • 49. 1.6667 = 1+ i  i =   1 .6667 ­ 1 = 0.6667 = 66.67% anual  Lo anterior  quiere decir  que  para  doña Linda Reina  es  equivalente  el  40%  anual  año  anticipado ó el 66.67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definición  dada  en  el  primer  capítulo,  en  el  cual  se  dice  que  interés  es  igual  a  utilidad  sobre  inversión se obtiene lo siguiente  i= Utilidad / Inversión = 407(100­40)= 40/60= 0.6667 ó 66.67%  Si se expresa en términos porcentuales se tiene:  i=0.40/(l­0.40)=0.40/0.60=0.6667 ó 66.67% anual  De lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula:  ia  i vencido =  ­­­­­­­­­­­­­­­­­  (1­ ia)  donde:  iv =   i vencido  ia = interés anticipado  i vencido = 0.407(1­0.40) = 0.40/0.6 = 0.6667 = 66.67% anual  Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando son  anticipadas.  Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero con  diferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales  correspondientes.  TASA ANUAL  LIQUIDACIÓN DE INTERESES  40%  Semestre anticipado  40%  Trimestre anticipado  40%  Bimestre anticipado  40%  Mes anticipado  40%  Día anticipado  40%  Cada 12 horas anticipado
  • 50. (1)  40% anual semestre anticipado  i periódica = i semestral anticipada = 40%/2 = 20% semestre anticipado  i semestre vencida = 0.20 / (1­0.20) = 0.20/0.80 = 0.25  i efectiva anual = (1+0.25) ­1 = 0.5625  (2)    40% anual trimestre anticipado  i periódica = i trimestral anticipada = 40% / 4 = 10% trimestre anticipado  i trimestre vencido = 0.10 / (1 ­0.10) = 0.111111  i efectiva anual = (1+0.1111II) 4  ­1 =0.524157  (3) 40% anual bimestre anticipado  i bimestral anticipado = 40% 16 = 6.67%  i bimestral vencida = 0.0667 /(I­0.0667) = 0.07143  i efectiva anual = (1+0.07143) 6  ­1 = 0.51282484  (4) 40% anual mes anticipado  i mes anticipado = 0.40 /12 = 0.03333  i vencida = 0.033333 /(1­0.0333) = 0.03447919  i efectiva anual = (1+0.03447919) 12  ­ 1 = 0.50196949  (5) 40% anual día anticipado  i día anticipado = 0.40/360 = 0.001111  i vencida = 0.001111 / (l­0.001111) = 0.00111235  i efectivo anual = (1+0.00111235) 360  ­1 =0.4921565  (6) 40% anual cada 12 horas anticipado  i cada 12 horas anticipado = 0.40/720 = 0.00055556  i vencida = 0.00055556 / (1­0.00055556) =0.00055586  i efectiva anual = (1+0.00055556) 720  ­1 = 0.49199053
  • 51. Los cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:  Con base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando  diferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,  se puede obtener el siguiente resumen  TASAS VENCIDAS  TASAS ANTICIPADAS  Tasa nominal  # de  liquidaciones  por año  T.E.A.  Tasa nominal  #de  liquidaciones  por año  T.E.A.  40% anual A. V.  1  40.00%  40% anual A. A.  1  66.67%  40% anual S.V.  2  44.00%  40% anual S.A.  2  56.25%  40% anual T.V.  4  46.41%  40% anual T.A.  4  52.42%  40% anual B.V.  6  47.32%  40% anual B.A.  6  51.28%  40% anual M.V.  12  48.16%  40% anual M.A.  12  50.20%  40% anual D.V.  360  49.14%  40% anual D.A.  360  49.22%
  • 52. Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a  medida  que  aumenta  el  número  de  liquidaciones  aumenta  la  tasa  efectiva  anual  logrando como tasa máxima la capitalización continua (ie=ei ­1). El comportamiento de  las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número de liquidaciones  disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva máxima en el caso  de las anticipadas cuando es una sola liquidación.  En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y  anticipada.  Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas · Tasas efectivas con tasa de interés anticipadas  Este tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente  incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadas  en periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la  anticipada.  Ejemplo  Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual.  Primera forma  i = 20% anual trimestre anticipado
  • 53. i  =  i  =0.20/4 =0.05  periódica  trimestral anticipada  i vencido  =       i anticipado  /  (1­ i anticipado)  i trimestre vencido =  I trimestre anticipado / (1­ i trimestre anticipado'  i trimestre vencido = (0.05 / ( I ­0.05) = 0.05/0.95  i trimestre vencido = 0.052631578  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  i ea  = (1 + 0.052631578) 4  ­1  i        = 0.2277 o 22.77%  Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  i ea  = 0.2277 = ( 1+ imes) 12  ­1  1.2277 = (l+imes) 12  12  I.2277 =  12  (l + i mes  ) 12  1.017244= 1+  imes  1.017244 – 1  =  imes0.017244 = imes  imes  = 1.7244%  Segunda forma  i = 20% anual trimestre anticipado  iperiodica  = i  trimestral anticipada = 0.20 / 4 = 0.05  i vencido    =  i anticipado / (1­i anticipado)  i trimestre vencido    =  i trimestre anticipado / (1­i trimestre anticipado)
  • 54. i trimestre vencido    =  0.05 /(I ­0.05) = 0.05/0.95  i trimestre vencido    =  0.052631578  Con  base  en  la  tasa  trimestral  vencida  se  puede  calcular la  tasa  mensual  y  en  razón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede  considerar como efectiva.  i trimestre vencido    =  0.052631578  i ea  = (1 + iperiódica) n  ­ 1  0.052631578 = (1+imes) 3  ­ 1  1.052631578= (1+imes) 3  3  1.052631578 =  3  (1+imes) 3  1.017244 = 1+i mes  0.017244 = i mes = 1.7244%
  • 55. EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS  1.  Sandra  Muñoz  canceló hoy  $7,560,000 al  Banco  de Bogotá  por  un préstamo  que le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si:  a. La tasa de interés es del 3% mensual simple  b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto  c. La tasa de interés es del 4% mensual simple  2.  Lady  Noriega  recibió  un  préstamo  del  Banco  Santander  de  $10,000,000;  si  canceló $13,500,000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si:  a. La tasa de interés es del 2% mensual simple.  b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto  c. La tasa de interés es del 1.5% mensual compuesto.  3. Pastor Bueno desea tener $20, 000,000 dentro de 2 años para la cuota inicial  de un vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:  Hoy, ahorra $1,000,000  Dentro de 2 bimestres, 3,000,000  Dentro de 8 meses, $5,000,000 ;  Dentro de 1 año, $2,000,000  Dentro de año y medio, $7,000,000  El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:  Plan A: i = 1% mensual simple  Plan B: i = 2% mensual compuesto  Plan C: i = 2% bimestral simple (Un bimestre = 2 meses)  Nota: No  olvidar  que  el plazo  y  la  tasa de interés  deben  estar  expresados  en  el  mismo período  a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes.  b. ¿Cuál es el mejor plan?  4.  En  los  ejemplos  1  a  6  de  interés  simple  y  1  a  6  de  interés  compuesto  que  se  desarrollaron anteriormente, comparar el ejemplo 1 de interés simple con el ejemplo 1  de  interés  compuesto  y  así  sucesivamente  hasta  el  6.  Sacar  las  conclusiones  respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.  5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:  a. Tasa trimestral
  • 56. b. Tasa semestral  c. Tasa efectiva .anual  2. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:  a. Tasa trimestral;  b. Tasa semestral  c. Tasa efectiva anual;  d. Tasa trimestral vencida  3. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y  sacar conclusiones:  a. 25% anual semestre vencido  b. 25% anual trimestre vencido  c. 25% anual bimestre vencido  d. 25% anual mes vencido  e. 25% anual día vencido  f. 25% anual año anticipado  g. 25%) anual semestre anticipado  h. 25%) anual trimestre anticipado  i. 25% anual bimestre anticipado  j. 25% anual mes anticipado  k. 25% anual día anticipado  4. Si se tiene una tasa del 24%> anual trimestre anticipado, calcular:  a. Tasa mensual  b. Tasa semestral  c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral  5.  Cuánto  dinero  tendrá  acumulado  dentro  de  5  años  Juan  Pérez  si  invierte  hoy  5  millones  en  el  Banco  Santander,  que  le  paga  una  tasa  de  interés  del  20%  anual  semestre anticipado.  6. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio. Si  Linda pagó hoy a Armando $12,133,450 y la tasa pactada fue del 28% anual mes  vencido, calcular el valor el préstamo.  7.      En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interés  fuera del 32% anual bimestre anticipado?  8.  Linda de  Bonito  planea  adquirir  un vehículo CITROEN  dentro de 2 años  y  se  ha  propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:  Hoy, ahorra $1,500,000  Dentro de 2 bimestres, $4,000,000
  • 58. CAPÍTULO DOS  EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS  Justificación  El  sistema  de  cuotas  constantes  y  periódicas,  conocido  mas  generalmente  como  anualidades,  es  el  más  utilizado  en  el  ámbito  financiero  en  el  tratamiento  de  pago  de  cuotas  o  en  operaciones de ahorro y su aplicación se da en la necesidad de  encontrar el valor de sumas futuras o presentes equivalentes a  una serie de cuotas fijas iguales vencidas o anticipadas.  Objetivo General  Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de  pagos uniformes ya sea en forma vencida o anticipada.  Objetivos específicos · Establecer el valor futuro de una serie de pagos uniformes en  forma vencida · Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes  de manera anticipada · Encontrar  el  calor  presente  de  una  serie  de  cuotas  fijas  vencidas liquidadas con intereses anticipados
  • 59. 2.    EQUIVALENCIA CON CUOTAS FIJAS  Una de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés­  tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llama  anualidades  o  rentas.  La  relación  que  existe  entre  las  cuotas  fijas  y  un  valor  presente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.  2.1. CUOTAS FIJAS VENCIDAS  2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas  Cuotas fijas = A  Valor futuro = F  N = Número de períodos  i% = Tasa de interés por período  Para poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un :  futuro  F,  considere  que  el  señor  Armando  Casasbuenas  tiene  excedentes  de  liquidez cada período y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el  suficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se  harán  al  final  de  cada  período  a  una  tasa  de  interés  del  i%.  Gráficamente  el  comportamiento del problema sería el siguiente:  0  1  2  3     4  12  Con base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el  cual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en el  cual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro.  Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n­1 que tiene un valor de SA sí se  considera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente será  igual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).  Si tomamos el ahorro de $A en el período n­2 su valor futuro será A(1+i) 2  , para el  período  n­3  se  obtendría  A(1+i) 3  ,  para  el  período  n­4  se  obtendría  A(1+i) 4  y  así  sucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor  futuro del ahorro  A sería  A(1+i)(n­1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro del  F  n­1  n  n­2
  • 60. dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0  o sea A porque  toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.  Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período se  obtiene:  F = A + A(1+i) + A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + ...... + A(1+i) (n­1)  Ecuación # 1  Si  se  multiplica  esta  ecuación  por  (1+  i)  y  se  le  llama  Ecuación  2,  se  obtiene  lo  siguiente:  F(1+i) = A(1+i) + A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + A(1+i) 4  +......... + A(1+i) n  Ecuación # 2  Si restamos la ecuación 2 de la ecuación 1 se obtiene:  F(1+i)­F = A(1+ i) n  ­ A , despejando se tiene  F + Fi­F = A(1+ i) n  ­ A  F+Fi­F = A(1+ i) n  ­ 1  F = A[(1+i) n  ­1]  F = A[((1+i) n  ­1) / i]  Fórmula 1  La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o  anualidad.  2.1.2  Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas  La  equivalencia  entre  un  valor  presente  y  una  cuota  fija  se  deduce  de  la  fórmula  número 1 simplemente reemplazando F por P(1+i) n  , que es la fórmula base de las  Matemáticas Financieras.  P(1+i) n  = A[(1+i) n  ­1/i]  P = A[{ (1+i) n  ­1} / { (1+i) n  }]  Fórmula 2  De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la  siguiente forma:  A =    F [{ i} /{ (1+i) n  ­1}]  Fórmula 3  A =    P [{i (1+i) n  } / { (1+i) n  ­1 }]  Fórmula 4
  • 61. 2.2  CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS  2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas  Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas  anticipadas  y  los  valores  presente  y  futuro;  utilicemos  el  gráfico  que  tomamos  como  referencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas se  realizan anticipadamente o sea:  F  0  1  2  3  4  n­3  n­2  n­1  n  El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en el  período n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay con  respecto  al  gráfico  de  las  cuotas  vencidas,  pues  las  cuotas  fijas  se  consideran  anticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido con  base en el diagrama anterior sería:  F =  A(1+i) + A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + A(1+i) 4  +......... + A(1+i) n  Si a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i)  obtenemos la ecuación número 2.  F (1+i) =  A(1+i) 2  + A(1+i) 3  + ...... + A(1+i) (n+1)  Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones se obtiene:  F (1+i)­F =  A(1+i) (n+1)  ­­­ A(1+i)  F + Fi­F = A[(1+i) (n+1)  ­ (1+i)]  F = A[{(1+i) (n+l)  ­ (1+i)}/ i]  Fórmula 5  2.2.2 Eequivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas  Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada se  puede  obtener  la  existente  entre  un  valor  presente  y  una  cuota  fija  anticipada,  simplemente reemplazando F por P(l+i) n  P(l+i) n  = A[{(1+i) (n+l)  ­ (1+i)}/ i]  P = A[{ (1+i) (n+l)  ­ (1+i) } / { i(1+i) n  }]  Fórmula 6
  • 62. De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valor  presente o del valor futuro.  A = F[{ i } / {(1+i) (n+1)  ­ (1+i) ]  Fórmula 7  A= P[{ i ( 1+i) n  } / { (1+i) (n+1)  ­(1+i)} ]                              Fórmula 8  Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.  2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas  con intereses anticipados  Este    caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidas  pero  le  cobran  intereses  anticipadamente,  es  decir  en  el  momento  de  recibir  el  préstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del  crédito y los intereses correspondientes al primer período.  En  este  caso  como  el  usuario  pago  los  intereses  anticipadamente,  en  la  última  cuota  no se  pagarían intereses,  sino la totalidad  del valor  pagado sería  abono a  capital.  La    equivalencia a usar en este caso sería:  A = P[ i / ((1­(1­ i) n  ))]  Fórmula 9  A  continuación  se  tratan    casos  prácticos  relacionados  con  las  equivalencias  expuestas anteriormente.  Ejemplo 1  Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por $10 millones para  cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular  el valor de las cuotas.  Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:  10,000.000
  • 63. 1 2 3  4 5 6 7  8  9     10     11     12  0  Se debe utilizar la fórmula 4  A = P[{ ¡ ( 1+¡) n  / {(1+i) n  ­1}]  P = Valor presente, es en este caso, el valor  del préstamo o sea $ 10.000.000  i = 3%  n = 12 meses  Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A  A = 10.000.000 [ {3%(1+3%) 12  } / { (1+3%) 12  ­1}]  Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03  A=10.000.000[{0.03(1+0.03) 12  }/{(1+0.03) 12  ­1}] A= $1.004.620.85  CAPÍTULO TRES  A= ?  I = 3%  Meses
  • 64. EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES  Justificación  Una  serie  de  pagos  puede  hacerse    en  forma  uniforme  en  cuanto  al  tiempo,  pero  aumentar  o  disminuir  en  una  cantidad  constante denominada gradiente. Esto lo que se conoce como  cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejo  de  los  créditos  en  el  sistema  financiero.  Con  el  estudio  del  capítulo, el aprendiente estará en condiciones de establecer la  correspondencia entre unaa serie de pagos variables y un valor  presente.  Objetivo General  Determinar  la  equivalencia  entre  una  cuota  variable  y  un  valor presente  Objetivos específicos · Establecer el valor de cada cuota en un sistema de cuotas  con incremento previamente pactados · En  un  sistema  de  cuotas  crecientes  o  decrecientes  determinar el valor de la primera cuota. · Utilizar  la  hoja  electrónica  para  el  cálculo  de  las  cuotas  variables
  • 65. 3.  EQUIVALENCIA CON CUOTAS VARIABLES  3.1. GRADIENTES  El sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos para  sus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pago  es realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este punto  de vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos en  cantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; o  incremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre de  gradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.  3.1.1. Gradiente Aritmético  Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones al  Banco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementos  de $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular el  valor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.  Gráficamente el problema se expresa así:  $I 5.000.000  0  6 semestres  A+100.000  A+200.000  A+300.000  A+400.000  A+500.000  El  problema  se  puede  resolver  utilizando  la  equivalencia,  base  de  las  matemáticas  financieras  explicada  en  el  capítulo  1,  o  sea,  F  =  P(l  +  i) N  ,  que  para  el  problema  planteado sería de la siguiente manera:  1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:  A
  • 66. A/(1+0.15)' + (A + $100.000) / (1+0.15) 2  + (A + $200.000) / (1 + 0.15) 3  +  (A + $300.000)/(1+0.15) 4  + (A + $400.000)/(1+0.15) 5  + (A+$500.000)/(1+0.15) 6  2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las  cuotas, es decir:  $15.000.000. =A/(1+0.15)' + (A + $100.000)7 (1+0.15) 2  + (A + $200.000)/  (1+0.15) 3  +(A + $300.000) /(1+0.15) 4  + (A + $400.000) / (1+0.15) 5  +  (A + $500.000) / (1 + 0.15) 6  3. Hallar el valor de A  4. A = $3.753.834.56  Alternativamente  se  puede  utilizar  las  fórmulas  de  gradiente  aritmético  que  se  derivan'  de la  fórmula  matriz  para resolver  el problema  planteado;  sin  embargo  el  problema  se  j  puede  resolver  fácilmente,  utilizando  del  menú  principal  de  Excel  herramientas de la I siguiente forma:  Hoja de Excel  A  B  C  D  E  F  G  1  2  0  ­150000000  Valor  préstamo 3  1  20  ———— >  Colocar  cualquier valor  4  2  =B3+1 00000  5  3  =B4+1 00000  =VNA (0.15, B3:B8)+B2  4  =B5+100000  7  5  =86+100000  8  6  =B7+100000  El  primer  paso  es  colocar  sobre  la  hoja  de  cálculo  los  ingresos  y  desembolso  de  dinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de la
  • 67. entidad  financiera,  el  desembolso  lo  hace  cuando  entrega  el  dinero  al  cliente,  los  ingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de  Si5.000.000  como  es  desembolso  para  el  Banco  le  colocamos  signo  negativo,  los  ingresos  de  dinero  que  corresponde  a  los  pagos  del  cliente  no  los  conocemos  solo  sabemos que se incrementan en $100.000, cada uno de ellos.  Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todo  en la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodos  de los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la última  columna B con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y  egresos  de  la  transacción  para  la  entidad  financiera  comenzando  con  el  valor  del  préstamo que colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que  hace el cliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor,  pero con signo contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el  pago 2 sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el  pago  3  como  =B4  +100.000  y  así  sucesivamente,  hasta  llegar  al  pago  6  que  se  formularía como =B7 +100.000, como muestra la figura.  Una vez  terminado de  formular los ingresos  y  desembolsos  de la  transacción de la i  transacción se coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del  valor  presente  neto  (VNA),  de  los  flujos  de  caja  a  la  tasa  dada  (1%  semestral),  que  quedan; de la siguiente forma:  = VNA (0.15, B3:B8) + B2  TASA DE INTERÉS  0.15  Corresponde al 15% de tasa de interés.  B3 :B8 Es el rango de los pagos que hará el cliente, los cuales se traen a valor presente.  :  B2    Valor del préstamo  Seguidamente,  se  busca  en  el  menú  principal  del  Excel  herramientas,  y  allí  se  selecciona buscar objetivo y aparece el siguiente menú:  En definir la celda  se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de la  transacción.  DEFINIR CELDA:  CON EL VALOR:  PARA CAMBIAR CELDA:
  • 68. Con  el  valor  se  coloca  cero  (0),  partiendo  del  concepto  de  equivalencia  de  toda  la  transacción, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor del  préstamo a la tasa de interés dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. En  nuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular traídos a valor presente a la  tasa de interés del 1 5% deben ser iguales a los $ 1 5 .000 .000 del préstamo, este concepto  debe cumplirse para cualquier transacción, por lo tanto al sacar la diferencia entre el  préstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros ésta debe ser CERO.  Para cambiar la celda: se coloca la celda en la cual se colocó cualquier valor  en nuestro caso es la B3 que tiene un valor de 20.  En resumen, buscar objetivo debió quedar definido de la siguiente manera:  Se registra "aceptar" y automáticamente en las celdas que se formularon los pagos  debe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presente  neto, debe aparecer cero.  La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentación:  A  B  C  D  E  F  G  1  Semestre  Flujo de Caja  2  0  ­15.000.000.00  3  1  3.753.834.56  4  2  3.853.834.56  5  3  3.953.834.56  0.00  6  4  4.053.834.56  7  5  4.153.834.56  8  6  4.253.834.56  9  DEFINIR CELDA:  G5  CON EL VALOR:  O  PARA CAMBIAR CELDA:  B 3
  • 69. 3.1.2 Gradiente Geométrico  Otra forma alterna  de cuota variable es el gradiente geométrico, es decir cuando una  cuota varía respecto a otra no en una cantidad específica, por ejemplo $100.000, sino en  un porcentaje ejemplo 10%.  Con base en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico que­recibió un préstamo de su  amigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una año y medio en 3  cuotas semestrales con un interés del 20% semestral, con incrementos de la cuota en un  10%, gráficamente se expresaría para don Pastor Bueno:  A(1.10)  A  Tasa de interés: 20% semestral  $ 5,000,000  El ejercicio anterior se puede desarrollar utilizando la primera fórmula de equivalencia vista  en el capítulo 1, es decir, P = F/(l + i ) n  , de la siguiente forma:  Primero se trae a valor presente los pagos futuros que debe hacer doña Linda a don  Pastor.  P= A/ 1 I +0.20) +A(1.10)/ (1 +0.20) 2  +A(1.21)/ (1 + 0.20) 3  Luego, se iguala el valor presente de los pagos futuros al valor del préstamo, es decir:  $5.000.000 =     A/(1+0.20) +A(1.10)/ (1+0.20) 2  +A(1.21)/ (1+0.20) 3  Finalmente, se calcula A haciendo el despeje respectivo de la siguiente forma:  $5.000.000= A/1.2 + 1.10 A/1.44 + 1.21 A /1.728  $5.000.000 = 0.83333 A + 0.7638 A + 0.70023 A  $ 5.000.000 = 2.2974537037 A  A = $2.176.322 42  1  2  3  semestres  A(1.10)(1.10)  = A (1.21)
  • 70. Como se observa cualquier cálculo en matemática financiera se puede hacer utilizando la  primera equivalencia utilizada en este libro, y que se definió de la siguiente manera:  F = P( 1 + i)  Y despejando P se tiene:  P = F / (I1+ i ) N  3.2  EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE  3.2.1 Equivalencia entre un  valor presente y un  gradiente  aritmético  Se define el gradiente aritmético a las cuotas variables en un plazo dado que aumenta una  cantidad g en cada período  n semestres  A+g  A+2g  A+3g  A+4g  A+(n­1)g  Obsérvese en el gráfico anterior que en cada una de las cuotas permanece A como una  constante, simplemente aumenta una cantidad fija g con respecto al período anterior.  Nótese que el incremento en el período 3 es 2g en el 4 es 3g y así sucesivamente, por lo  cual se puede concluir que en el período n será (n­1)g.  Para deducir la equivalencia que permite a través de una sola fórmula hacer los cálculos que  se hicieron antes, lo primero que hay que identificar es que las cuotas variables tienen 2  componentes, uno fijo y otro variable; el fijo como se anotó anteriormente es A y su valor  presente se definió de la siguiente forma:  P = A[{(1+i) n  ­  1} / { i (1+i)n} n  ]