La serie de Fourier permite expresar una función periódica como la suma de una componente continua y términos en seno y coseno que representan las componentes armónicas. Los coeficientes de Fourier se pueden determinar mediante integrales de la función en el periodo. Existen diferentes tipos de ondas en función de si cumplen condiciones de paridad: ondas simétricas pares tienen solo términos en coseno, las impares solo en seno, y las alternadas solo términos impares. La serie de Fourier exponencial reduce los coeficientes a una

1. Serie de Fourier
L serie de Fourier permite demostrar una función periódica en la que existe una
componente continua y un número finito de términos en seno y coseno los cuales
corresponden a las componentes armónicas, así pues en términos sencillos una función
periódica puede expresarse de la siguiente manera trigonométrica como serie de Fourier:
𝑓( 𝑡) = 𝑎0 + ∑ (𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡)
∞
𝑛=1
Siendo ao la componente continua mientras el resto de la expresión representa la
componente alterna denominada frecuencia fundamental. La suma tanto de la componente
continua y el número ilimitado de fuentes alternas representa la onda periódica en la serie
de Fourier.
- Coeficientes de Fourier
Los coeficientes de Fourier se pueden determinar mediante las siguientes ecuaciones:
𝑎0 =
1
𝑇0
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0
2
−𝑇0
2
𝑎 𝑛 =
2
𝑇0
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑇0
2
−
𝑇0
2
𝑏 𝑛 =
2
𝑇0
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑇0
2
−𝑇0
2
Considerando que los intervalos de integración pueden ser cualquiera siempre y cuando
sean medidos en el mismo periodo.
Tomando como ejemplo el cálculo de una señal rectangular, resolviendo las integrales,
evaluándolos según los intervalos de integración y asumiendo el valor de la función
periódica como una constante “A” podemos deducir la ecuación de cada coeficiente:
𝑎0 =
1
𝑇0
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0
2
−𝑇0
2
=
𝐴𝑇
𝑇0
𝑎 𝑛 =
2
𝑇0
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑇0
2
−
𝑇0
2
=
2𝐴
𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑇
𝑇0

2. 𝑏 𝑛 =
2
𝑇0
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑇0
2
−𝑇0
2
= 0
Al sustituir dichos coeficientes en la serie de Fourier obtenemos que:
𝑓( 𝑡) =
𝐴𝑇
𝑇0
+ ∑
2𝐴
𝑛𝜋
∞
𝑛=!
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑇
𝑇0
𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡
Una vez obtenida la ecuación solo hay que asumir valores de “n” para obtener la amplitud
de cada componente armónico.
-Onda Simétrica
Para el caso de una onda simétrica par se debe cumplir que la onda f(t) sea igual a la onda
f(-t), al aplicar esta ley a la serie de Fourier obtenemos las siguientes ecuaciones
𝑓( 𝑡) = 𝑎0 + ∑ (𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡)∞
𝑛=1 (1)
𝑓(−𝑡) = 𝑎0 + ∑ (𝑎 𝑛cos(𝑛𝜔(−𝑡))+ 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔(−𝑡)) (2)
∞
𝑛=1
Por las propiedades de senos y cosenos podemos reescribir la ecuación (2) como:
𝑓(−𝑡) = 𝑎0 + ∑ (𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 − 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡)∞
𝑛=1 (3)
Así pues, analizando la ecuación y tomando en consideración que para que la serie de
Fourier pueda ser considerada par solo deben existir los cosenos, tomando en consideración
esto y aplicándolo a la ecuación (1) y (3) se puede concluir que para que ocurra la igualdad
f(t)=f(-t) entonces bn=0.
En el caso contrario se puede encontrar la onda simétrica impar se debe cumplir que
–f(-t)=f(t), al tomar la ecuación (1) y aplicando la condición obtenemos:
−𝑓(−𝑡) = 𝑎0 + ∑ (−𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡) (4)
∞
𝑛=1
Al contrario del caso anterior para que la serie de Fourier pueda ser considerada impar solo
deben existir las variables de seno entonces todos los valores de an deben ser 0
El último caso es la onda simétrica alternada para la cual debe cumplirse la siguiente
condición:
−𝑓 (−𝑡 −
𝑇0
2
) = 𝑓(𝑡)

3. Si se desarrolla la serie se encuentra que solo existen términos impares es decir que para los
términos pares todos los términos pares ao,an y bn debe ser igual a cero si “n” es par.
- Serie de Fourier exponencial
La principal ventaja que ofrece la serie de Fourier exponencial es que reduce las variables
de an y bn a una sola variable que se puede indicar como cn a la distribución de estas
variables se le llama espectro. Para hacer esto el parámetro se define como:
𝑐 𝑛 =
𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 𝑗
2
Para el caso de valores de “n” negativos se puede escribir la ecuación de la siguiente
manera:
𝑐−𝑛 =
𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑗
2
Al cambiar también las variables continuas de ao=co y sustituyendo en la serie de Fourier se
obtiene la siguiente ecuación:
𝑓( 𝑡) = ∑ 𝑐 𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝑤 𝑏 𝑡
∞
𝑛=0
+ ∑ 𝑐−𝑛 𝑒−𝑗𝑛𝑤 𝑏 𝑡
∞
𝑛=1
Para simplificar la ecuación se incluyó co en el primer término evaluándolo con n=0;
además se puede modificar c-n por cn y modificando los intervalos por n=-1 y n=-∞ se
puede obtener la siguiente ecuación simplificada.
𝑓( 𝑡) = ∑ 𝑐 𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝑤 𝑏 𝑡
+∞
𝑛=−∞