Freddy castellanos Analisis Fourier

1. ANALISIS FOURIER
Las ondas armónicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya que
todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como
temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se
pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen los
instrumentos musicales.
El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por
hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de
hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la
suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la
Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más
importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.
Descripción
A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas
representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica,
se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de
un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie
armónica.
Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una
suma infinita de funciones armónicas, es decir,
donde el periodo P=2/, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados
coeficientes de Fourier.
Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del
siguiente modo

2. Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2.
En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en
otra función periódica de periodo 2, mediante un simple cambio de escala en el
eje t. Escribiendo x= t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo
2de x, y la función f(t) convertida en
Definida en el intervalo que va de - a +. La serie se expresa en la forma más
simple
donde
Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.
 Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos
 Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos
Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se
obtienen los siguientes coeficientes.

3. orden a b
0 1
1 0.6366 0
2 0 0
3 -0.2122 0
4 0 0
5 0.1273 0
6 0 0
7 -0.09097 0
8 0 0
9 0.07078 0
Actividades
El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que
representan pulsos periódicos.
 Rectangular
 Doble escalón
 Diente de sierra simétrico
 Diente de sierra antisimétrico
Una vez elegido la función, introducimos los parámetros requeridos en los
controles de edición y pulsamos el botón cuyo título da nombre a la función.
 Rectangular
 Doble escalón
 Diente de sierra 1
 Diente de sierra 2
Pulsando sucesivamente en el botón titulado Siguiente >> se representa:
1. En la parte superior, la función f(t) elegida y las sucesivas aproximaciones
de dicha función.

4. 2. En la parte central, el armónico actual, en color azul ai·cos(ix) y en color
rojo bi sin(ix).
3. En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de
los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes ai,
y a la derecha en color rojo los coeficientes bi.
Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribución del
armónico a la síntesis de la función periódica. Se puede observar, que la longitud
de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del
armónico menor es su contribución.
La separación entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al
periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la
envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua
denominada transformada de Fourier.
Pulsando en el botón titulado Anterior<< podemos volver a la aproximación
anterior y compararla con la siguiente.
Ejemplos
Pulso rectangular
El pulso rectangular nos permite verificar que son nulos los coeficientes bi en una
función cuya simetría es par. Probar el siguiente ejemplo:
 Periodo, 5.0
 Anchura, 2.0
 Traslación, 0.0.

5. Si trasladamos el pulso rectangular, la función deja de tener simetría y por tanto,
aparecen coeficientes ai y bi. Probar el siguiente ejemplo:
 Periodo, 5.0
 Anchura, 2.0
 Traslación, 0.5.
Pulso doble escalón
El pulso doble escalón nos permite verificar que son nulos los coeficientes ai en
una función cuya simetría es impar. Probar el siguiente ejemplo:
 Periodo, 3.0
 Anchura, 2.0
 Profundidad, 1.0.
Si cambiamos la profundidad del escalón derecho, la función deja de tener
simetría y por tanto, aparecen coeficientes ai y bi. Probar el siguiente ejemplo:
 Periodo, 3.0
 Anchura, 2.0
 Profundidad, 0.5.
Pulso diente de sierra simétrico

6. Ejemplo:
 Periodo, 4.0.
Observar que basta los primeros armónicos para aproximar bastante bien esta
función simétrica.
Pulso diente de sierra anti simétrico