Evaluación 5to semestre Analisis de señales IUTAJS

1. Autor
Br. Naín Hernández
Electrónica
5to Semestre
Análisis de Señales
Prof: Ing. Ranielina Rondón
San Felipe Abril 2019
Representación en Series de Fourier

2. REPRESENTACIÓN EN SERIES DE
FOURIER
Una serie de
Fourier es una
serie infinita que
converge
puntualmente a
una función
periódica y
continua a trozos
(o por partes).
La idea básica de
las series de
Fourier es que toda
función periódica
de periodo T puede
ser expresada como
una suma
trigonométrica de
senos y cosenos del
mismo periodo T .
Es una aplicación
usada en muchas
ramas de la
ingeniería,
además de ser
una herramienta
sumamente útil
en la teoría
matemática
abstracta.
El nombre se
debe al
matemático
francés Joseph
Fourier, que
desarrollo la
teoría cuando
estudiaba la
ecuación del
calor.

3. Historia
Fourier introdujo las series con le propósito de resolver la
ecuación de conducción del calor en una lamina de metal
publicando sus resultados es 1807.
Desde un punto de vista más actual, los resultados de
Fourier son algo informales debido a la falta de precisión en
la noción de la función matemática y la integración a inicios
del siglo XIX.
Después, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard
Riemann expresaron los resultados de Fourier con mayor
precisión y formalidad.
Biografía
Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre Francia 1768- París
1830) Matemático y científico francés. La transformada de
Fourier recibe su nombre en su honor.
Conocido por sus trabajos sobre la descomposición de
funciones periódicas en series trigonométricas convergentes
llamadas series de Fourier, método con el cual consiguió
resolver la ecuación del calor.
Publicó LA TEORIAANALITICA DEL CALOR en 1822
seguido de la teoría matemática de la conducción del calor.
Asistió a la escuela militar local dirigida por monjes y
benedictinos y mostró tal habilidad para la matemática.

4. Formulas
La serie de Fourier de una función periódica 𝑓(x) de periodo
T, también conocida como señal, definida en un intervalo de
longitud T esta dada por:
𝑓 𝑥 = 𝑎0
2
+σ 𝑛=1
∞ (𝑎 𝑛cos(𝑛𝜔0 𝑥)+𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑥))
Donde
La series de Fourier tiene la forma
𝑎0
2
+ ෍
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos
2𝑛𝜋𝑥
𝑇
+ 𝑏 𝑛 sin
2𝑛𝜋𝑥
𝑇

5. Teorema
de
Fourier
Es una transformación
matemática empleada para
transformar señales entre el
dominio del tiempo ( o
espacial) y el domino de la
frecuencia, que tiene
muchas aplicaciones en la
física y la ingeniería.
La transformada de Fourier se
puede simplificar para el cálculo
de un conjunto discreto de
amplitudes complejas, llamado
coeficiente de las series de
Fourier. Ellos representan el
espectro de frecuencia de la
señal del dominio-tiempo
original.
La transformada de Fourier
es una aplicación que hace
corresponder a una función
F con otra función g
definida de la siguiente
manera: 𝑔 ξ =
1
2𝜋
‫׬‬−∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑒−𝑖ξ𝑥
𝑑𝑥
La transformada de Fourier es
básicamente el espectro de
frecuencias de una función. Un
buen ejemplo de eso es lo que
hace el oído humano, ya que
recibe una onda auditiva y la
transforma en una
descomposición en distintas
frecuencias ( que es lo que
finalmente se escucha).

6. Coeficientes de Fourier
• El cálculo de los coeficientes de
Fourier se define como una
transformada matemática del
dominio de tiempo hacia el dominio
de frecuencia.
• Para hallar un coeficiente 𝑎ⱴ se ha
de integrar cada una de las funciones
𝑓𝑘 que definen la función
periódica 𝑓 𝑡 , efectuar el cambio de
escala cambiando la variable 𝑡 por la
variable 𝑥, multiplicarla por la
función cos(𝑖𝑥), y sumando los
resultados para todos los intervalos
(𝑥 𝑘, 𝑥 𝑘+1).
• 𝑎𝑖 =
1
𝜋
σ 𝑘=0
𝑛−1
‫׬‬𝑥 𝑘
𝑥 𝑘+1
𝑓𝑘
𝑃𝑥
2𝜋
cos(𝑖𝑥) 𝑑𝑥
Ortogonalidad
• El adjetivo ortogonal proviene del
griego orthos (recto) y gonia (ángulo).
Este denota entonces la
perpendicularidad entre dos elementos.
• La Ortogonalidad es un concepto
fundamental para la comprensión del
análisis de funciones por medio de las
transformadas de Fourier, Laplace y la
transformada z.
• Se puede usar la formula del sumatorio
para probar una relación de
Ortogonalidad.
• σ 𝑘=0
𝑛−1
𝑒−2𝜋𝑖𝑗𝑘/𝑛
∙ 𝑒2𝜋𝑖𝑗´𝑘/𝑛
=𝑛𝛿𝑗,𝑗′
• Donde δ es la Delta de kronecker. Las
raíces n-ésimas de la unidad se pueden
usar para formar una matriz n x n, cuyo
elemento Aij es
• 𝑈𝑗,𝑘 = 𝑛
−1
2 𝑒−2𝜋𝑖𝑗𝑘/𝑛
• De lo anterior, las columnas de esta
matriz son ortogonales y por tanto es
unitaria.

7. Series de Fourier
trigonométricas
Son denominadas
series de Fourier
cuando los términos
𝐴 𝑛 y 𝐵𝑛 tienen la
forma:
𝐴 𝑛 =
1
𝜋
න
0
2𝜋
𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥 (𝑛 = 0,1,2,3 … ) 𝐵𝑛 =
1
𝜋
න
0
2𝜋
𝑓 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 (𝑛 = 1,2,3 … )
Donde 𝑓 es una función integrable
Las series
trigonométricas son
un tipo de series con
la forma:
𝐴0
2
+ ෍
𝑛=1
∝
(𝐴 𝑛 𝐶𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝐵𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥)

8. Series de Fourier de senos
Si 𝑓 es una función definida en
el intervalo [0,p], y se busca
ahora obtener un desarrollo en
serie de Fourier de solo cosenos
que la represente, se debe hacer
una extensión impar de la
función al intervalo simétrico[-p,
p], y realizar el desarrollo de esta
nueva función en el intervalo [-p,
p]. Para ello, se define entonces
𝑔(𝑥) como:
𝑔 𝑥
= ቊ
𝑓 𝑥 ,
−𝐹 −𝑥 ,
𝑥 ∈ [0, 𝑝]
𝑥 ∈ [−𝑝, 0]
Verifiquemos que g es una función impar:
Si 0 < 𝑥 < 𝑝,entonces −𝑝 < −𝑥 < 0, por lo tanto g(-x)= −𝑓 − −𝑥 = −𝑓 𝑥 = −𝑔 𝑥
Si −𝑝 < 𝑥 < 0 entonces 0 < −𝑥 < 𝑝, resultando g(-x) = 𝑓 −𝑥 = −𝑔 𝑥 , siendo entonces 𝑔 𝑥 =
− 𝑔(−𝑥).
Queda entonces demostrado que g es una función impar.
Por lo tanto, si desarrollamos la función g(x)definida en [-p, p] en una serie de Fourier, como es una
función impar resultará una serie de sólo senos. Los coeficientes bn resultan:
𝑏 𝑛 =
1
𝑝
න
−𝑝
𝑝
𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥 =
2
𝑝
න
0
𝑝
𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥 =
2
𝑝
න
0
𝑝
𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥

9. Series de Fourier de
cosenos
Si 𝑓 es una función definida en
el intervalo [0,p], y se busca
ahora obtener un desarrollo en
serie de Fourier de solo cosenos
que la represente, se debe hacer
una extensión par de la función
al intervalo simétrico[-p, p], y
realizar el desarrollo de esta
nueva función en el intervalo [-p,
p]. Para ello, se define entonces
𝑔(𝑥) como:
𝑔 𝑥 = ቊ
𝑓 𝑥 ,
𝑓 −𝑥 ,
𝑥 ∈ [0, 𝑝]
𝑥 ∈ [−𝑝, 0]
Verifiquemos que g es una función par:
Si 0 < 𝑥 < 𝑝,entonces −𝑝 < −𝑥 < 0, por lo tanto g(-x)= 𝑓 − −𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
Si −𝑝 < 𝑥 < 0 entonces 0 < −𝑥 < 𝑝, resultando g(-x) = 𝑓 −𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑓(−𝑥), siendo entonces
𝑔 −𝑥 = 𝑔(𝑥).
Queda entonces demostrado que g es una función par.
Por lo tanto, si desarrollamos la función g(x)definida en [-p, p] en una serie de Fourier, como es una
función par resultará una serie de sólo cosenos. Los coeficientes a0 y an resultan:
𝑎0 =
1
𝑝
න
−𝑝
𝑝
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
2
𝑝
න
0
𝑝
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
2
𝑝
න
0
𝑝
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

10. Series de
Fourier
exponenciales
Está basada en los siguientes
2 postulados:
*Ortogonalidad de las
funciones base.
*Facilidad y ciclo de la
diferenciación temporal de las
funciones base.
La función exponencial
cumple siempre con ambos
postulados a diferencia de
los senos y cosenos cuya
diferenciación es cíclica
par, es decir, la función
vuelve a ser la misma en la
2n derivada.
Mediante el teorema
de Euler se obtiene la
forma exponencial
del seno y coseno.
𝑓 𝑡
= ෍
𝑘=−∞
∞
𝑑 𝑘 𝑒 𝑗𝑘𝜔0 𝑡

11. Una función es par si:
𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)
Una función es impar si:
𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
Series de Fourier
funciones pares
e impares

12. Al multiplicar
funciones pares o
impares se observan
las siguientes reglas:
Par x Par = Par Impar x Impar = Par Par x Impar = Impar

13. Series de
Fourier
Discretas
𝑥 𝑛
= ෍
𝑘
𝑐 𝑘 𝑒𝑥𝑝 𝑗
2𝑘𝜋
𝑁
𝑛
La
representación
de 𝑥[𝑛] es de
la forma:
Para señales de
variable discreta,
recordemos que 𝑥[𝑛]
es periódica si y solo
si existe un número
entero N tal que, para
todo n se cumple:
𝑥 𝑛 + 𝑁 = 𝑥[𝑥]

14. Convergencias de las series de Fourier: Sea
𝑓(𝑥) una función definida para todo 𝑥, con periodo 2π.
Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de
Fourier de 𝑓 converge a 𝑓 𝑥 para todo 𝑥.
La serie de Fourier de una función 𝑓(𝑥) continua a trozos, de periodo 2π
converge a 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 .
Idea de la demostración de la convergencia. Nos basamos en el concepto de
la función delta de Dirac δ(t). Esta función surge al estudiar la densidad.
Para la masa distribuida a lo largo del eje 𝑥, habrá una densidad ρ(𝑥) tal
que: ‫׬‬𝑎
𝑏
𝜌 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑦 𝑏
Supongamos que la masa total es 1 y sigamos un proceso de limite,
concentrando la masa más y más cerca de 𝑥 = 0. La función δ(𝑥) se
define como la densidad limite cuando la masa tiende a
concentrarse en el punto 1𝑥 = 0. Como el total de masa es 1, para
𝑎 < 0 < 𝑏 debemos tener: ‫׬‬𝑎
𝑏
𝛿 𝑥 𝑑𝑥 = 1
Sin embargo, δ 𝑥 = 0 para todo 𝑥 excepto 0 y δ 0 = +∞. Es
posible fundamentar de maneras razonables estas propiedades en
cierto modo notable. Podemos pensar en 𝛿(𝑥) como la densidad de
una partícula de masa unitaria en 𝑥 = 0 o como el caso limite de la
densidad 𝜌(𝑥) cuando la amplitud del pulso tiende a 0.
Para una partícula de masa unitaria en 𝑥0, la densidad
correspondiente es 𝛿(𝑥 − 𝑥0). Para varias partículas de
masa 𝑚1,…,𝑚 𝑛 en 𝑥1, … , 𝑥𝑛, respectivamente, la densidad
es m1δ 𝑥 − 𝑥1 + ⋯ + 𝑚 𝑛 𝛿(𝑥 − 𝑥 𝑛).

15. Aplicaciones
Generación
de formas de
onda de
corriente o
tensión
eléctrica por
medio de la
superposición
de sinusoides
generados por
osciladores
electrónicos
de amplitud
variable
cuyas
frecuencias
ya están
determinadas.
Reforzamiento de
Señales
Campos de
la Física
Temperatura
de la Tierra
Flujo
de
Calor
Ecuaciones
de Onda
En
medicina
la
ecografía
permite
registrar
la
vibració
n de
cada una
de las
membra
nas del
corazón,
proporci
onando
una
curva
periódica
.

16. BIBLIOGRAFÍA
• http://19e37.com/wiki/index.php/Representaci%C3%B3n_en_seri
es_de_Fourier_de_se%C3%B1ales_peri%C3%B3dicas_discretas
• https://w3.ual.es/~vruiz/Docencia/Apuntes/Signals/Fourier_Analy
sis/index.html
• https://www.geogebra.org/m/t6tuMtrW
• https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
• http://informatica.uv.es/iiguia/SS/Capitulo_3_05-06.pdf
• https://wiki.seg.org/wiki/Dictionary:Fourier_series/es
• https://es.wikiversity.org/wiki/Serie_de_Fourier