El documento trata sobre las series y transformadas de Fourier. Explica que Joseph Fourier descubrió que las funciones periódicas pueden representarse como una suma infinita de términos en senos y cosenos (serie de Fourier), mientras que las funciones no periódicas se representan mediante una integral (transformada de Fourier). Esto dio origen al análisis armónico y tiene aplicaciones en ingeniería, medicina y otros campos para descomponer señales en componentes de frecuencia.

1. SERIES DE FOURIER
Fue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, quien encontró que
una función periódica se puede representar como una suma infinita ponderada de
términos en senos y cosenos(la serie de Fourier), mientras que en el caso de funciones
no periódicas la representación se da por medio de una integral (la transformada de
Fourier).Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática que estudia la
representación de funciones o señales como superposición de ondas de base (los
armónicos). En el caso de las series de Fourier estos son sinusoidales y por tanto las
series son trigonométricas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX se aplica esta teoría
a datos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen, el clima, la mecánica
cuántica o las neurociencias. Existen también versiones discretas de la serie y de la
transformada de Fourier. Polinomios trigonométricos Una función se dice periódica de
período si La función es periódica con período para cualquier entero, y lo mismo la función
que se denomina polinomio trigonométrico de grado inferior o igual a N. Este polinomio
puede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos.
Por tanto la serie de Fourier solo contiene términos cosenos: Si la función es impar la
serie de Fourier solo tendrá términos senos
SERIE DE FOURIER
Sea una función f (t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por
la serie trigonométrica
Donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serie
también se puede representar así:
¿Para qué sirven?
Una onda es de la forma Acos(wt) (o también Asen(wt)) donde w es la frecuencia
de la onda, A su amplitud y f su fase.
La serie de Fourier descompone una función como suma de ondas. Lo cual implica
que cualquier función la podemos descomponer en ondas simples.
En telecomunicaciones es fundamental. Podemos recrear cualquier señal por

2. medio de ondas simples, es decir, dada una señal (por muy compleja que sea) la
podemos descomponer en ondas simples.
 Las series de Fourier se utilizan, en ingeniería, en todo lo que tenga que ver con el
análisis de señales en circuitos eléctricos, el análisis de señales en el dominio del
tiempo se realiza a través de las series de Fourier
Aplicaciones
* Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la
superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable
cuyas frecuencias ya están determinadas.
* Análisis en el comportamiento armónico de una señal
* Reforzamiento de señales.
* Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de
entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o
Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
APLICACIÓN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Es importante considerar la aplicación de las series de fourier, ya que estas sirven mucho en el
procesamiento digital de señales, la cual es una área de las ciencias e ingeniería que se ha
desarrollado rápidamente en los últimos 30 años.
Este rápido desarrollo es resultado de avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales
como en la fabricación de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente
rápidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar
funciones y tareas del procesado de señales que convencionalmente se realizaban
analógicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, mas barato y a menudo más fiable
APLICACIONES EN LA MEDICINA
Diagnóstico automático: La ecografía permite registrar la vibración de cada una de las membranas
del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los
primeros términos de las sucesiones (coeficientes de Fourier). En el caso de la válvula
mitral, son suficientes los dos primeros coeficientes de Fourier para diagnosticar al
paciente. Esta forma de diagnóstico disminuye costes en el sistema sanitario y, sobre
todo, evita al paciente los riesgos y molestias inherentes a las pruebas endoscópicas
Algunas de las más importantes aplicaciones de las series de Fourier son:
• El problema isoperimétrico
• Temperatura de la tierra
• Evaluación de series no triviales
• La desigualdad de Wirtinger
• Solución de ecuaciones diferenciales

3. • Flujo del calor
• Ecuación de ondas
• Formula de Poisson
• Identidad de Jacobi
La transformada de Fourier
Una transformada de Fourier es una operación matemática que transforma una señal de dominio de
tiempo a dominio de frecuencia y viceversa.
), denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para
transformar señales entre el dominio del tiempo(o espacial) y el dominio de la frecuencia, que
tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la
operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo
pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el
cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de
Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un
buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la
transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se
escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo,
sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el
cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de
frecuencias para toda la función.
Definición forma
Sea una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa
simple demuestra que la transformada de Fourier es una función acotada. Además
por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que es
continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida por:

4. Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de
Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de
inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier
inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado
indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden
ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.
La transformada de Fourier sirve en la ingeniería, especialmente para la
caracterizaciónfrecuencial de señales y sistemas lineales. Es decir, la
transformada de Fourier se utiliza para conocer las características frecuenciales
de las señales y el comportamiento de los sistemas lineales ante estas señales.
aplicaciones
6.1 El problemaisoperim´etrico
Teorema9. Si C esuna curva cerrada simple de clase C1 y de longitud1,entoncesel ´areaA
encerradapor C satisface ladesigualdadA ≤1 4π . La igualdadse satisface si ys´olosi C esuna
circunferencia.Enconsecuencia,entre todaslascurvascerradassimplesde longitud1la que
encierramayor´area esla circunferencia.
6.2 Temperaturade latierra
Un problemasencilloperomuyinteresanteesel de calcularlatemperaturade latierraa una
profundidadx apartir de la temperaturade lasuperficie.Describamoslatemperaturade la
superficie terrestre comounafunci´onf peri´odicaenel tiempotyde per´ıodo1 (una˜no).La
temperaturau(t,x) enel tiempot≥ 0 y profundidadx ≥ 0 estambi´enperi´odicaenty esnatural
asumirque |u| ≤ kfk∞.
Evaluaci´onde seriesnotriviales
La identidadde Plancherelpuedeusarse paraevaluaralgunassumasinfinitas notriviales.Por
ejemplo, demostremosque P∞n=1n −2 = π 2/6. En efecto,consid´erese lafunci´onf(x) =x
definidaenel intervalocerrado[0,1].
6.7 Ecuaci´on de ondas

5. La ecuaci´onde ondasviene dadapor:∂ 2u ∂t2 = ∂ 2u ∂x2 , t > 0, x ∈ R,58 GenaroGonz´alezcon
condicionesde borde limt→0u= f y limt→0∂u∂t = g.
Aplicaciónencircuitos