El documento describe las series de Fourier, que permiten descomponer una señal periódica en una suma de ondas seno con diferentes frecuencias y fases. Explica que las series de Fourier son una herramienta matemática fundamental para el análisis de funciones periódicas mediante su descomposición en funciones senoidales más simples. Además, detalla algunas aplicaciones de las series de Fourier en ingeniería, como el análisis vibratorio y el procesamiento de señales.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
Series de Fourier
(Aplicaciones en la Ingeniería)
Autor: Pedro Bolívar
Docente de la Asignatura: Lcdo. Domingo Méndez
Asignatura: Matemáticas IV

2. San Cristóbal, Febrero 2017
APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOUERIRE EN LA
INGENIERIA
El análisis de Fourier surgió a partir del intento del matemático francés Jean-Baptiste
Joseph Fourier por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un
anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma
de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo
que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como
Lagrange, Laplace.
En las Series de Fourier permiten descomponer una señal periódica compuesta en una
serie, posiblemente infinita, de ondas seno, cada una con una frecuencia y fase distintas.
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier
empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha
función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como
combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).Es una aplicación usada en
muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría
matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica,
procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de
los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de
frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal
portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier
tienen la forma:
Donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
función f(x).

3. Hace algún tiempo, Fourier, demostró que cualquier señal periódica se puede
representar como una composición de ondas seno (sin = sen). Veamos una onda periódica.
Esta es la gráfica de una señal que se repite cada segundo.
Claramente se ve que esta señal no es senoidal y pareciera que no tiene ninguna relación
con las señales seno. Sin embargo Fourier demostró que una señal periódica siempre se
puede representar como una suma de senoidales (senos y cosenos, o senos desfasados). En
su honor, a esta representación se le llama ahora
Series de Fourier.
Fourier no solo mostró que es posible representar una señal periódica mediante
senoidales sino que además mostró el método para hacerlo. Asumiendo que la señal se
repite cada T segundos, se puede describir como una suma de senoidales. Fourier
proporcionó la manera explícita de obtener los coeficientes en una Serie de Fourier.
Primero veamos cómo se puede construir una señal a partir de una suma de senoidales.
Como un ejemplo ilustrativo, empezaremos analizando una señal seno simple.

4. La expresión para esta señal es:
Sig(t) = 1 * sen(2πt/T) y T = 1 segundo.
Ahora, le vamos a sumar otra senoidal a la señal seno original. La senoidal que le
sumamos será el triple de la frecuencia original y será un tercio de la amplitud original.
Ahora se ve algo diferente. Si agregamos una nueva señal seno de 5 veces la frecuencia
original y de un quinto de la amplitud original, se tenemos: Sig(t) = 1 * sen(2πt/T) + (1/3) *
sen(6πt/T) + (1/5) * sen(10πt/T).

5. Solo se está añadiendo los términos impares múltiplos de la frecuencia original Así se ve la
señal después de anexar la décima primera componente.
Es señal está cerca de ser una onda cuadrada. Sigamos agregando términos y veamos lo que
sucede. Esta es la señal después de anexar 49 componentes.

6. En este punto parece que el proceso nos da una señal que es cada vez más cercana a la señal
de onda cuadrada. Sin embargo, parece que aún le falta un poco para ser una onda cuadrada
perfecta. Agreguemos más términos para ver qué
sucede. Aquí tenemos la señal con los términos impares hasta la componente 79. Ahora ve
mos claramente una señal cuadrada con amplitud poco menor a 0.8. La forma en la que
hemos construido esta señal es mediante el uso de los resultados de Fourier. Conocemos la
fórmula para la serie que converge a una onda cuadrada.
Para una representación más exacta se requiere que el número de términos aumente y tienda
a infinito. Esta es la fórmula

7. A continuación se presenta el uso de un simulador interactivo para experimentación. Permit
e controlar el número de términos de la sumatoria de la fórmula anterior. También se puede
controlar la frecuencia de la primera componente.
Series de FourierSeries de Fourier
Una función periódica v(t) con período fundamental T0, puede representarse como una
suma infinita de sinusoidales.
Señal periódica v(t)
Tal sumatoria, llamada Serie de Fourier, puede ser descrita de diversas formas:
0
1 0 0
2 2
( ) cos sinn n
n
nt nt
v t a a b
T T
π π∞
=
     
= + +  ÷  ÷
     
∑ (1.1-1)
Reemplazando
0
0
2
T
π
ω = resulta:
( ) ( )( )0 0 0
1
( ) cos sinn n
n
v t a a n t b n tω ω
∞
=
= + +∑ (1.1-2)
Donde los coeficientes de la serie de Fourier están dados por:
v(t)
t
T0

8. 0
0
2
0
0
2
1
( )
T
T
a v t dt
T −
= ∫ (1.1-3)
0
0
2
0
0
2
2
( ) ( )
T
n
T
b v t sen n t dt
T
ω
−
= ∫ (1.1-4)
Vale la pena destacar que el valor que adquiere el término ao corresponde al valor medio de
la señal de estudio.
0
0
2
0
0
2
2
( )cos( )
T
n
T
a v t n t dt
T
ω
−
= ∫ (1.1-5)
Representación polar de la Serie de FourierRepresentación polar de la Serie de Fourier
La representación polar de la serie de Fourier queda definida según:
( )0 0
1
( ) cosn n
n
v t c c n tω θ
∞
=
= + −∑ (1.1.1-1)
Donde:
)/(
22
00
nnn
nnn
abArctg
bac
ac
=
+=
=
θ
(1.1.1-2)
Los coeficientes cn, corresponden a lo que se denomina “Amplitudes Espectrales a
frecuencia nω o“, es decir, cn corresponde a la componente espectral de nωo.

9. “Espectro de amplitudes, Cn”.
Cada armónica está representada mediante una línea de longitud correspondiente a la
amplitud de la armónica respectiva.
Forma exponencial de la serie de FourierForma exponencial de la serie de Fourier
Una expresión alternativa a las anteriores y que resulta ser la más adecuada para el estudio
en teoría de comunicaciones es la llamada forma exponencial, donde
0
( ) jn t
nv t V e ω
∞
−∞
= ∑ (1.2-1)
( )
0
0
0
2
0
2
1
T
jn t
n
T
V v t e dt
T
ω−
−
= ∫ (1.2-2)
Se puede demostrar que:
2
k k
n
a jb
V =
m
(1.2-3)
0 0V a=
(1.2-4)

10. Representación Bilateral de componentes espectrales
Secuencias de impulsosSecuencias de impulsos
Determinar la representación espectral de la siguiente secuencia de impulsos:
Secuencia de ImpulsosSecuencia de Impulsos
Solución:Solución:
∑
∞
−∞=
−δ=
n
)nTt(I)t(v 0
(1.3-1)
2
0
0
2
( )
o
o
T
T
I
a t dt
T
δ
−
= ∫ (1.3-2)
2
0
0 0
2
2 2
( )cos( )
o
o
T
n
T
I I
a t n t dt
T T
δ ω
−
= =∫ (1.3-3)
0nb = (1.3-4)
Utilizando representación polar se obtiene
::
0
0 0
2
0n n
I I
c c
T T
θ= = = (1.3-5)
tT0
-T0
0
I
)( 0Tt +δ )( 0Tt −δ
)(tδ
v(t)

11. Resultando entonces:
0 0
10 0
2
( ) ( ) cos( )
n n
I I
v t I t nT n t
T T
δ ω
∞ ∞
=−∞ =
= − = +∑ ∑ (1.3-6)
∑
∞
−∞=
ϖ
=
n
tjn
e
T
I
)t(v 0
0
(1.3-7)
Densidad espectral de secuencia de impulsos
Secuencia de pulsos y función Sampling
Determinar la representación de la siguiente secuencia de pulsos:
Figura 1.4-1. Secuencia temporal de pulsos
Solución:
0
0
2
0 0 0
0
2
1
( )
T
To
A
a c v v t dt
T T
τ
−
= = = =∫ (1.4-1)
0
0
2
0
2
2
2 ( )cos( )
T
n n n
To
a c v v t n t dt
T
ω
−
= = = ∫ (1.4-2)

12. 0
0 0
sin( / )2
·
( / )
n
n TA
a
T n T
πττ
πτ
= (1.4-3)
0=nb (1.4-4)
Reemplazando los coeficientes se obtiene:
0
0
10 0 0
sin( / )2
( ) cos( )
( / )n
n TA A
v t n t
T T n T
πττ τ
ω
πτ
∞
=
= + ∑ (1.4-5)
00
0 0
sin( / )
( )
( / )
jn t
n
n TA
v t e
T n T
ωπττ
πτ
∞
=−∞
= ∑ (1.4-6)
a) Función Sampling. Sa(x) b) Espectro del tren de pulsos
Potencia normalizadaPotencia normalizada
Supóngase una señal v(t) aplicada a una resistencia de 1 [W], la potencia disipada está dada
por:
][
)t(v
P
Ω
=
1
2
(1.5-1)
0
0
2
2
0
2
1
( )
T
T
P v t dt
T −
= ∫ (1.5-2)
x
Sa(x)

13. Entonces llamaremos a v2(t) Potencia normalizada. (Está referida a 1[W]).
Para la especificación de razones de potencia resulta conveniente adoptar la siguiente
simplificación:
1
2
10log [dB]
S
k
S
 
=  ÷
 
(1.5-3)
Donde S1 y S2, corresponden a potencias normalizadas de las señales s1(t) y s2(t).
La adopción de esta forma de especificación presenta dos ventajas destacables:
• Permite expresar razones muy grandes mediante números pequeños.
• Tratamiento de multiplicaciones a través de sumas y de divisiones a través
de restas.
De esta forma surgen dos especificaciones de potencia: dBm y dBW
[ ]
10log
1[ ]
P mW
dBm
mW
 
=  ÷
 
(1.5-4)






=
]W[
]W[P
logdBW
1
10 (1.5-5)
En la tabla sigueinte se muestra una equivalencia entre % y dB.
Comparaciones % v/s dB.
dB % dB % dB %
0 100 -20 1.000 -40 0.0100
-1 79.4 -21 0.794 -41 0.0079
-2 63.1 -22 0.631 -42 0.0063
-3 50.1 -23 0.501 -43 0.0050
-4 39.8 -24 0.398 -44 0.0040
-5 31.6 -25 0.316 -45 0.0032
-6 25.1 -26 0.251 -46 0.0025
-7 20.0 -27 0.200 -47 0.0020
-8 15.8 -28 0.158 -48 0.0016
-9 12.6 -29 0.126 -49 0.0013
-10 10.0 -30 0.100 -50 0.0010
-11 7.9 -31 0.079 -51 0.0008
-12 6.3 -32 0.063 -52 0.0006
-13 5.0 -33 0.050 -53 0.0005
-14 4.0 -34 0.040 -54 0.0004
-15 3.2 -35 0.032 -55 0.0003
-16 2.5 -36 0.025 -56 0.0003
-17 2.0 -37 0.020 -57 0.0002
-18 1.6 -38 0.016 -58 0.0002
-19 1.3 -39 0.013 -59 0.0001
-20 1.0 -40 0.010 -60 0.0001

14. )cos()(
)cos()(
0 θ+=
=
wtVtv
wtVtv
o
ii
Ejemplo 1:Ejemplo 1:
1 [mW] ≈ 0 [dBm] ≈ -30 [dBW]
2 [mW] ≈ 3 [dBm] ≈ -27 [dBW]
4 [mW] ≈ 6 [dBm] ≈ -24 [dBW]
10 [mW] ≈ 10 [dBm] ≈ -20 [dBW]
100 [mW] ≈ 20 [dBm] ≈ -10 [dBW]
1000 [mW] ≈ 30 [dBm] ≈ 0 [dBW]
Ejemplo 2:
Sea v1(t)=V1 sin (w1t) y v2(t)=V2 sin (w2t)
2
2
2
2
2
2
1
1
V
S
V
S
=
=






=






=












=






=
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
log20
log10
2
2log10
log10
V
V
K
V
V
V
V
K
S
S
K
Ejemplo 3:
Sea

15. Potencia real de entrada Potencia real de salida
i
i
i
R
V
P
2
2
=
o
o
o
R
V
P
2
2
=






=












=
oi
i
i
i
real
RV
RV
R
V
R
V
K 2
2
0
2
0
2
0
log10
2
2
log10
Si y sólo si R0 = Ri
onormalizad
i
real K
V
V
K =





= 0
log20
Potencia normalizada en expansión de FourierPotencia normalizada en expansión de Fourier
Si consideramos la expresión polar de la serie de Fourier:
( )∑
∞
=
−+=
1
00 cos)(
n
nn tncctv θω (1.6-1)
y de ella sólo la primera y segunda fundamental:
)2cos()cos()(' 0201 θωθω −+−= tctctv (1.6-2)
( )
0 0
0 0
2 2
22
1 0 2 0
0 0
2 2
1 1
' ' ( ) cos( ) cos(2 )
T T
T T
S v t dt c t c t dt
T T
ω θ ω θ
−
−
= = − + −∫ ∫ (1.6-3)
al ser los cosenos son ortogonales se da que:
∑
∞
=
+=
1
2
2
0
2n
nc
cS (1.6-4)
Análogamente, utilizando la expresión tradicional:

16. ∑∑
∞
=
∞
=
++=
1
2
1
2
2
0
22 m
m
n
n ba
aS (1.6-5)
Y mediante la expresión exponencial:
0
( ) jn t
nv t V e ω
∞
−∞
= ∑ (1.6-6)
∑
∞
−∞=
−=
n
nn V·VS (1.6-7)
∑
∞
−∞=
=
n
n |V|S 2
(Teorema de Parseval) (1.6-8)
Densidad espectralDensidad espectral
La densidad espectral de una señal caracteriza la distribución de la señal de energía o
potencia en el dominio de la frecuencia.
Este concepto es particularmente importante cuando se considera el filtraje en sistemas de
comunicación. Es necesario saber evaluar la señal y el ruido a la salida del filtro. Para tal
efecto se utilizan las señales de potencia o energía.
• Diferencia entre una señal de potencia y energía
Anteriormente se definió la potencia normalizada como:
0
0
2 2
2
0
2
( ) 1
( )
1[ ]
T
T
x t
P x t dt
T −
= =
Ω ∫ (1.7.1-1)
Representando la energía disipada durante un intervalo [-T0/2, T0/2] por una señal real que
tiene por potencia instantánea x2
(t).
De la misma forma, se puede definir la energía disipada en el período como
2
2
2
( )
T
T
x
T
E x t dt
−
= ∫ (1.7.1-2)

17. El rendimiento en comunicaciones está dado por la detección de señales de energía. La
energía transmitida es quien realiza el trabajo; la potencia es la razón a la cual la energía es
liberada. Es decir, la potencia determina el voltaje que debe ser aplicado para
transmitir y la intensidad de los campos electromagnéticos.
••Señales de EnergíaSeñales de Energía
Se define a x(t) si y sólo si tiene no cero, pero finita energía para todo tiempo t.
2
2
2
( )
T
x T
T
E lím x t dt→∞
−
= ∫ (1.7.1-3)
••Señales de PotenciaSeñales de Potencia
Con el objeto de trabajar con señales periódicas y aleatorias, las cuales poseen energía
infinita, es necesario definir una nueva clase de señal: señal de potencia.
x(t) será una señal de potencia, si y sólo si tiene potencia no nula, pero finita, para
todo tiempo t.
2
2
2
1
( )
T
x T
T
S lím x t dt
T
→∞
−
= ∫ (1.7.1-4)
Las señales de potencia y energía son mutuamente excluyentes. A modo práctico se puede decir:
Señales de energía : Determinísticas y no-periódicas.
Señales de potencia : Aleatorias y periódicas
Densidad espectral de potenciaDensidad espectral de potencia
La Figura 1.7.2-1 muestra la potencia normalizada de una señal v(t) mediante el teorema
de Parseval.

18. Densidad espectral de potencia normalizada
Si se intenta graficar la S(f) en función de la frecuencia se obtiene
:
S(f) en función de la frecuencia

19. Como se pudo apreciar, resulta mucho más cómodo definir la densidad espectral de
potencia, como la potencia normalizada en un rango df a frecuencia f.
La potencia normalizada dS(f) está dada por:
df
df
fdS
fdS ·
)(
)( = (1.7.2-1)
Se define entonces como densidad espectral de potencia a
df
fdS
fG
)(
)( = (1.7.2-2)
de donde resulta
∫
∞
∞−
= dffGS )( (1.7.2-3)
Luego, la potencia normalizada en un intervalo de tiempo, se puede definir como
:
∫∫ +=≤≤
−
−
2
1
1
2
)()()||( 21
f
f
f
f
dffGdffGfffS (1.7.2-4)
Para obtener la densidad espectral de potencia se debe diferenciar S(f) haciendo G(f)=0
entre armónicas, con fuerza igual al salto en S(f), es decir:
∑
∞
−∞=
−=
n
n nffVfG )(||)( 0
2
δ (1.7.2-5)
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Consideramos una señal periódica, cuya representación espectral son impulsos de
frecuencia n/T0. Si T0→∞, implica que f0→0, por lo tanto, las frecuencias de las
componentes espectrales pasan de ser una variable discontinua, a una variable continua. En
otras palabras, la sumatoria de la serie de Fourier Exponencial pasa a ser una integral:

20. ( ) ( ) j t
F f f t e dtω
∞
−
−∞
= ∫ (1.8-1)
1
( ) lim ( ) ( )
2
j t
T
T
f t f t F j e dω
ω ω
π
∞
−∞→∞
= = ∫ (1.8-2)
A continuación se exhiben algunas de las propiedades de la transformada de Fourier, junto
a transformaciones de algunas señales simples.
Propiedades de la transformada de Fourier

21. *Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.
Transformada de Fourier

22. *Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.
La transformada de Fourier de una señal sinusoidal (u otra señal
periódica), consiste en impulsos localizados en cada frecuencia armónica
de la señal. La fuerza (energía) de cada impulso es igual a la amplitud del
coeficiente de la serie en la forma exponencial