1.1 sistemas de numeracion

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS
1.11.1 Sistemas de numeraciónSistemas de numeración
Gustavo RochaGustavo Rocha
2005-22005-2

| | | | | | | | | | | | | | | | |
1.11.1 Sistemas numéricos.Sistemas numéricos.
Los números son los mismos en todos lados.Los números son los mismos en todos lados.
Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismoSus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo
significado.significado.
Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que noLos pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no
podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer suspodían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus
necesidades.necesidades.
Si querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcasSi querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcas
en una roca.en una roca.

1.11.1 Sistemas numéricos.Sistemas numéricos.
Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales,Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales,
agrupando de cinco en cinco.agrupando de cinco en cinco.
Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personasHay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas
tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco,tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco,
porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque sonporque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son
diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienendiez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen
veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, losveinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los
números que sirven para contar se llaman naturales: xnúmeros que sirven para contar se llaman naturales: x ∈∈ N.N.
Cuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma deCuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma de
representar los números de manera más sencilla, con símbolos.representar los números de manera más sencilla, con símbolos.
|||| |||| |||| |||

1.1.1 Los números egipcios.1.1.1 Los números egipcios.
Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica,Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica,
usando diferentes símbolos:usando diferentes símbolos:
|| 11 10001000 1 000 0001 000 000
∩∩ 1010 10 00010 000 10 000 00010 000 000
100100 100 000100 000
El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque noEl sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no
hace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símboloshace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símbolos
anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango deanotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de
representación de 1 a 99 999 999.representación de 1 a 99 999 999.
De izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, enDe izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, en
seguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números seseguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números se
hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos.hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos.
Ejemplo:Ejemplo:
| | || | | ∩∩∩∩∩∩
| | | || | | |∩∩ | || | | || | ∩∩∩∩∩∩
| | | || | | | | || | ∩∩∩∩∩∩
1818 102102 19971997

1.1.2 Los números romanos1.1.2 Los números romanos
Los romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema deLos romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de
numeración que resultaba algo más fácil de manejar:numeración que resultaba algo más fácil de manejar:
II VV XX LL CC DD MM
11 55 1010 5050 100100 500500 10001000
Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes,Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes,
para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantespara el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes
de los números, pero ya no para fines aritméticos.de los números, pero ya no para fines aritméticos.
Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolosLas reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos
iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretariguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar
correctamente la representación de algunos números: IV, cincocorrectamente la representación de algunos números: IV, cinco
menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC,menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC,
cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.
El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que laEl sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la
progresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el noprogresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no
uso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numeralesuso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numerales
básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:

1.1.2 Los números romanos1.1.2 Los números romanos
– Para las unidades:Para las unidades: I II III IV V VI VII VIII IXI II III IV V VI VII VIII IX
1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9
– Para las decenas:Para las decenas: X XX XXX XL L LX LXX LXXX XCX XX XXX XL L LX LXX LXXX XC
10 20 30 40 50 60 70 80 9010 20 30 40 50 60 70 80 90
– Para las centenas:Para las centenas: C CC CCC CD D DC DCC DCCC CMC CC CCC CD D DC DCC DCCC CM
100 200 300 400 500 600 700 800 900100 200 300 400 500 600 700 800 900
– Para las unidades de millar:Para las unidades de millar: M MM MMMM MM MMM
1000 2000 30001000 2000 3000
Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos,Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos,
más tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicarmás tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar
que su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo unque su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un
millón de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hastamillón de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta
el número MMMCMXCIX.el número MMMCMXCIX.
Ejemplos:Ejemplos:
XVIIIXVIII CIICII MCMXCVIIMCMXCVII
X|VIIIX|VIII C|IIC|II M|CM|XC|VIIM|CM|XC|VII
10 | 810 | 8 100 | 2100 | 2 1000 |900| 90 | 71000 |900| 90 | 7
18 10218 102 19971997

1.1.3 Los números mayas1.1.3 Los números mayas
El sistema numeral maya es semejante al romano, pero resultaEl sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta
superior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso essuperior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso es
necesario restar para interpretar un número. El sistema maya usanecesario restar para interpretar un número. El sistema maya usa
solamente tres símbolos:solamente tres símbolos:
•• 
00 11 55
Con estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 aCon estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 a
∞∞, para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos:, para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos:
00 55 1010 1515
•• 11 •• 66 •• 1111 •• 1616
•••• 22 •••• 77 •••• 1212 •••• 1717
•••••• 33 •••••• 88 •••••• 1313 •••••• 1818
•••••••• 44 •••••••• 99 •••••••• 1414 •••••••• 1919

1.1.3 Los números mayas1.1.3 Los números mayas
El sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que laEl sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que la
progresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, loprogresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo
que le da la característica de ser posicional, donde la primeraque le da la característica de ser posicional, donde la primera
posición representa unidades, la segunda veintenas, las terceraposición representa unidades, la segunda veintenas, las tercera
múltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Semúltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Se
escribe y se lee de arriba hacia abajo.escribe y se lee de arriba hacia abajo.
Ejemplos:Ejemplos:
•••••••• 4 x 400 = 16004 x 400 = 1600
5 x 20 = 1005 x 20 = 100 •••••••• 19 x 20 = 38019 x 20 = 380
•••••• 18 x 1 = 1818 x 1 = 18 •••• 2 x 1 = 22 x 1 = 2 •••• 17 x 1 = 1717 x 1 = 17
1818 102102
19971997

1.1.4 La evolución de los números.1.1.4 La evolución de los números.
Además de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más conAdemás de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más con
los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos,los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos,
multiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que hamultiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que ha
evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchasevolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas
cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo.cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo.
Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar.Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar.
La necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo laLa necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo la
noción de infinito:noción de infinito: ∞∞, descubierta por los griegos a través de un, descubierta por los griegos a través de un
elevado nivel de abstracción.elevado nivel de abstracción.
Los números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidadLos números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidad
de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron losde fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron los
números racionales: Q = {qnúmeros racionales: Q = {q || q = a/b}, (a, bq = a/b}, (a, b ∈∈ N).N).

1.1.4 La evolución de los números.1.1.4 La evolución de los números.
La aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar laLa aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar la
diferencia entre dos números idénticos y constituye el elementodiferencia entre dos números idénticos y constituye el elemento
fundamental para la construcción de los sistemas numéricosfundamental para la construcción de los sistemas numéricos
posicionales.posicionales.
Con la invención del álgebra, aparecieron los números negativosCon la invención del álgebra, aparecieron los números negativos
como solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer lacomo solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la
clasificación de los números enteros en positivos y negativos:clasificación de los números enteros en positivos y negativos:
ZZ++
= {z > 0}; Z= {z > 0}; Z--
= {z < 0}= {z < 0}
La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por losLa necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los
desarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de losdesarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de los
números irracionales:números irracionales: ππ, e,, e, √√2, etc. Q2, etc. Qcc
= {u= {u || uu ∈∈ R, uR, u ∉∉ Q}Q}
La unidad y fundamento lógico del estudio de los números seLa unidad y fundamento lógico del estudio de los números se
alcanzó a través de la construcción del sistema de los númerosalcanzó a través de la construcción del sistema de los números
reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.
Los números complejos, C, aparecieron de la misma manera queLos números complejos, C, aparecieron de la misma manera que
los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de lalos negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de la
introducción de los llamados números imaginarios.introducción de los llamados números imaginarios.

1.1.51.1.5 El sistema decimal indo-arábigo.El sistema decimal indo-arábigo.
Los numerales que han resultado más apropiados son los que usamos enLos numerales que han resultado más apropiados son los que usamos en
la actualidad. Fueron introducidos a Europa a través de los árabes, pero nola actualidad. Fueron introducidos a Europa a través de los árabes, pero no
fueron ellos quienes los inventaron, sino los hindúes, que desde hacefueron ellos quienes los inventaron, sino los hindúes, que desde hace
diecisiete siglos usaban símbolos muy similares a los guarismos que sediecisiete siglos usaban símbolos muy similares a los guarismos que se
manejan hoy en día.manejan hoy en día.
Los cálculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los árabesLos cálculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los árabes
inventaron el diez y, con él, el sistema decimal posicional que conocemos,inventaron el diez y, con él, el sistema decimal posicional que conocemos,
conviniendo en que el valor de un guarismo varía con su posición,conviniendo en que el valor de un guarismo varía con su posición,
acompañándolo de uno o varios ceros:acompañándolo de uno o varios ceros:
– 10 es diez veces uno.10 es diez veces uno.
– 100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno.100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno.
– 1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno.1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno.
– etc.etc.
Ejemplo: El numeral 853, en base diez, representa el número ochocientosEjemplo: El numeral 853, en base diez, representa el número ochocientos
cincuenta y tres, y se interpreta como sigue:cincuenta y tres, y se interpreta como sigue:
88 55 33
(8 x 10(8 x 1022
) + (5 x 10) + (5 x 1011
) + (3 x 10) + (3 x 1000
) = 800 + 50 + 3 = 853) = 800 + 50 + 3 = 853

1.1.51.1.5 El sistema decimal indo-arábigo.El sistema decimal indo-arábigo.
El sistema decimal permite manejar no solamente números enteros, sino todos losEl sistema decimal permite manejar no solamente números enteros, sino todos los
números reales, incluyendo racionales e irracionales, y también los númerosnúmeros reales, incluyendo racionales e irracionales, y también los números
complejos.complejos.
En el sistema decimal, los números reales se representan de la misma manera queEn el sistema decimal, los números reales se representan de la misma manera que
los enteros, sólo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, varíalos enteros, sólo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, varía
con su posición, anteponiéndole uno o varios ceros:con su posición, anteponiéndole uno o varios ceros:
– 0.1 es la décima parte de uno.0.1 es la décima parte de uno.
– 0.01 es la centésima parte de uno.0.01 es la centésima parte de uno.
– 0.001 es la milésima parte de uno.0.001 es la milésima parte de uno.
– etc.etc.
Ejemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representación del númeroEjemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representación del número
fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos".fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos".
.0.0 77 44 55
(7 x 10(7 x 10-2-2
) + (4 x 10) + (4 x 10-3-3
) + (5 x 10) + (5 x 10-4-4
) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745

1.1.6 El sistema binario.1.1.6 El sistema binario.
El sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugarEl sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugar
de diez y utiliza solamente dos símbolos o dígitos binarios: 0 y 1, ende diez y utiliza solamente dos símbolos o dígitos binarios: 0 y 1, en
vez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de losvez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de los
unos varía con su posición, acompañándolos de uno o varios ceros:unos varía con su posición, acompañándolos de uno o varios ceros:
– 10 es dos veces uno.10 es dos veces uno.
– 100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno.100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno.
– 1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno.1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno.
– etc.etc.
El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porqueEl sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porque
los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan sololos alambres que forman los circuitos electrónicos presentan solo
dos estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasados estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasa
o no corriente por ellos.o no corriente por ellos.

En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el número trece,En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el número trece,
representado a través de marcas simples e iguales:representado a través de marcas simples e iguales:
| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |
se agrupa por parejas, de izquierda a derecha:se agrupa por parejas, de izquierda a derecha:
| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |
luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez de izquierda a derecha:luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez de izquierda a derecha:
| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |
luego por parejas de óvalos más grandes y así, sucesivamente:luego por parejas de óvalos más grandes y así, sucesivamente:
| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |
El número de marcas agrupadas dentro de cada óvalo, e incluso la marca que queda fuera deEl número de marcas agrupadas dentro de cada óvalo, e incluso la marca que queda fuera de
ellos, corresponde a una potencia de 2.ellos, corresponde a una potencia de 2.
223
2222
2200
Sumando los valores obtenidos, se tiene: 2Sumando los valores obtenidos, se tiene: 233
+ 2+ 222
+ 2+ 200
= 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal,= 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal,
33 22 11 00

Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se obtiene el numeral:Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se obtiene el numeral:
11 11 00 11
que representa el número trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". Elque representa el número trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El
numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1
representa una unidad (2representa una unidad (200
); luego aparece un cero, lo que significa que no hay ningún); luego aparece un cero, lo que significa que no hay ningún
grupo de dos unidades (2grupo de dos unidades (211
); el siguiente 1 representa dos grupos de dos unidades); el siguiente 1 representa dos grupos de dos unidades
(2(222
); y el último 1 representa cuatro grupos de dos unidades (2); y el último 1 representa cuatro grupos de dos unidades (233
).).
Al igual que en el sistema decimal, en el binario también se pueden representarAl igual que en el sistema decimal, en el binario también se pueden representar
números fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, varíanúmeros fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, varía
con su posición, anteponiéndoles uno o varios ceros:con su posición, anteponiéndoles uno o varios ceros:
– 0.1 es la mitad de uno.0.1 es la mitad de uno.
– 0.01 es la cuarta parte de uno.0.01 es la cuarta parte de uno.
– 0.001 es la octava parte de uno.0.001 es la octava parte de uno.
– etc.etc.
Ejemplo: El numeral binario 0.1101 es la representación del número fraccionarioEjemplo: El numeral binario 0.1101 es la representación del número fraccionario
"trece dieciseisavos“"trece dieciseisavos“
.1.1 11 00 11
(1 x 2(1 x 2-1-1
) + (1 x 2) + (1 x 2-2-2
) + (0 x 2) + (0 x 2-3-3
) + (1 x 2) + (1 x 2-4-4
) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125

1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.
El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 símbolos, los cuales pueden ser losEl sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 símbolos, los cuales pueden ser los
mismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijanmismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijan
convencionalmente. El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándoloconvencionalmente. El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo
de uno o varios ceros:de uno o varios ceros:
– 10 es ocho veces uno.10 es ocho veces uno.
– 100 es sesenta y cuatro veces uno.100 es sesenta y cuatro veces uno.
– 1000 es quinientas doce veces uno.1000 es quinientas doce veces uno.
– etc.etc.
Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como se muestra:Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como se muestra:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | |
que se puede expresar: (2 x 8que se puede expresar: (2 x 811
) + (3 x 8) + (3 x 800
))
equivalente a:equivalente a: 16 + 3 = 19, en sistema decimal.16 + 3 = 19, en sistema decimal.
Considerando los coeficientes de las potencias de 8, se obtiene el numeral 23 que seConsiderando los coeficientes de las potencias de 8, se obtiene el numeral 23 que se
lee "dos, tres“ y representa al número diecinueve en sistema octal. El numerallee "dos, tres“ y representa al número diecinueve en sistema octal. El numeral
obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tresobtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres
unidades (8unidades (800
) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (8) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (811
).).

La representación de números fraccionarios en el sistema octal seLa representación de números fraccionarios en el sistema octal se
hace considerando:hace considerando:
– 0.1 es la octava parte de uno.0.1 es la octava parte de uno.
– 0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.
– 0.001 es la quinientos doceava parte de uno.0.001 es la quinientos doceava parte de uno.
– etc.etc.
El sistema hexagesimal, o de base dieciséis, requiere de 16El sistema hexagesimal, o de base dieciséis, requiere de 16
símbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dígitos del sistemasímbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dígitos del sistema
decimal, del 0 al 9, complementados, por convención, por lasdecimal, del 0 al 9, complementados, por convención, por las
primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E =primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E =
14 y F = 15 (podrían utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos14 y F = 15 (podrían utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos
cualesquiera). El valor de un guarismo varía con su posición,cualesquiera). El valor de un guarismo varía con su posición,
acompañándolo de uno o varios ceros:acompañándolo de uno o varios ceros:
– 10 es dieciséis veces uno.10 es dieciséis veces uno.
– 100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.
– 1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.
– etc.etc.

Aquí la agrupación se hace de dieciséis en dieciséis, como se muestra:Aquí la agrupación se hace de dieciséis en dieciséis, como se muestra:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | |
que se puede expresar: (1 x 16que se puede expresar: (1 x 1611
) + (3 x 16) + (3 x 1600
))
equivalente a:equivalente a: 16 + 3 = 19, en sistema decimal.16 + 3 = 19, en sistema decimal.
Considerando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 queConsiderando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 que
se lee "uno, tres“ y representa al número diecinueve en sistema hexagesimal. Else lee "uno, tres“ y representa al número diecinueve en sistema hexagesimal. El
numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representanumeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa
tres unidades (16tres unidades (1600
) y el 1 representa un grupo de dieciséis unidades (16) y el 1 representa un grupo de dieciséis unidades (1611
).).
La representación de números fraccionarios en el sistema hexagesimal se haceLa representación de números fraccionarios en el sistema hexagesimal se hace
considerando:considerando:
– 0.1 es la dieciseisava parte de uno.0.1 es la dieciseisava parte de uno.
– 0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno.0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno.
– 0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno.0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno.
– etc.etc.

1.1.81.1.8 Conversión de números enterosConversión de números enteros
de un sistema a otro.de un sistema a otro.
Conversión de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: ElConversión de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: El
entero decimalentero decimal nn se divide entre la basese divide entre la base bb (2, 8 o 16) y se registra el cociente(2, 8 o 16) y se registra el cociente cc11 y ely el
residuoresiduo rr11 resultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cocienteresultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cociente c1c1 se dividese divide
entre la baseentre la base bb, registrando el cociente, registrando el cociente cc22 y el residuoy el residuo rr22 dede igual manera; eligual manera; el
procedimiento se repite hasta alcanzar un cocienteprocedimiento se repite hasta alcanzar un cociente cckk,, que sea cero, con un residuoque sea cero, con un residuo
rrkk. El número. El número nn, expresado en base, expresado en base bb, se construye a partir de los residuos, en el, se construye a partir de los residuos, en el
orden:orden: rrkk,, rrk-1k-1, ...,, ..., rr22,, rr11..
Ejemplo: Convertir el número decimal 199710 a los sistemas binario, octal yEjemplo: Convertir el número decimal 199710 a los sistemas binario, octal y
hexagesimal.hexagesimal.
– A binario:A binario: divisiones sucesivas entre 2.divisiones sucesivas entre 2.
19971997 11
998998 00
499499 11
249249 11
124124 00
6262 00
3131 11
1515 11
77 11
33 11
11 11
00
lectura
El número 1997El número 19971010 en binario es:en binario es:
111110011011111100110122

A octal: divisiones sucesivas entre 8.A octal: divisiones sucesivas entre 8.
19971997 55
249249 11
3131 77
33 33
00
A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16.A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16.
19971997 13 = D13 = D
124124 12 = C12 = C
77 77
00
El número 1997El número 19971010 en octal es:en octal es:
3715371588
El número 1997El número 19971010 en hexagesimal es:en hexagesimal es:
7CD7CD1616

Conversión de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de losConversión de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los
dígitos que conforman el número m, expresado en binario, octal o hexagesimal, sedígitos que conforman el número m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se
multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a lamultiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la
posición del dígito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. Laposición del dígito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. La
suma de estos productos es el número m, en base decimal.suma de estos productos es el número m, en base decimal.
Ejemplo: Convertir el número binario 111001101 al sistema decimal.Ejemplo: Convertir el número binario 111001101 al sistema decimal.
1 x 21 x 288
+ 1 x 2+ 1 x 277
+ 1 x 2+ 1 x 266
+ 1 x 2+ 1 x 233
+ 1 x 2+ 1 x 222
+ 1 x 2+ 1 x 200
==
256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 461256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 4611010
Ejemplo: Convertir el número octal 543Ejemplo: Convertir el número octal 54388 al sistema decimal.al sistema decimal.
5 x 85 x 822
+ 4 x 8+ 4 x 811
+ 3 x 8+ 3 x 800
= 320 + 32 + 3 = 35510= 320 + 32 + 3 = 35510
Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B2Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B21616 al sistema decimal.al sistema decimal.
9 x 169 x 1622
+ 11 x 16+ 11 x 1611
+ 2 x 16+ 2 x 1600
= 2304 + 176 + 2 = 2482= 2304 + 176 + 2 = 24821010
La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en losLa tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los
sistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decimal aparece sólo comosistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decimal aparece sólo como
referencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversión de cualquierreferencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversión de cualquier
entero de un sistema a otro.entero de un sistema a otro.

Conversión de enteros entreConversión de enteros entre
los sistemas binario, octal y hexagesimallos sistemas binario, octal y hexagesimal..
Binario Octal Binario Hexagesimal Decimal
000000 00 00000000 00 00
001001 11 00010001 11 11
010010 22 00100010 22 22
011011 33 00110011 33 33
100100 44 01000100 44 44
101101 55 01010101 55 55
110110 66 01100110 66 66
111111 77 01110111 77 77
10001000 88 88
10011001 99 99
10101010 AA 1010
10111011 BB 1111
11001100 CC 1212
11011101 DD 1313
11101110 EE 1414
11111111 FF 1515

Conversión de enteros entreConversión de enteros entre
los sistemas binario, octal y hexagesimallos sistemas binario, octal y hexagesimal..
Ejemplo: Convertir el número binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.Ejemplo: Convertir el número binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.
A octal:A octal:
011 111 001 101011 111 001 101
3 7 1 53 7 1 5
A hexagesimal:A hexagesimal:
0111 1100 11010111 1100 1101
7 C7 C DD
Ejemplo: Convertir el número octal 543Ejemplo: Convertir el número octal 54388 a los sistemas binario y hexagesimal.a los sistemas binario y hexagesimal.
A binario:A binario:
5 45 4 33
101 100101 100 011011
0001 0110 00110001 0110 0011
1 6 31 6 3
Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B2Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B21616 a los sistemas binario y octal.a los sistemas binario y octal.
9 B 29 B 2
1001 1011 00101001 1011 0010
A octal:A octal:
100 110 110 010100 110 110 010
4 6 6 24 6 6 2
El número 11111001101El número 1111100110122 en octal es: 3715en octal es: 371588
El número 11111001101El número 1111100110122 en hexagesimal es 7CDen hexagesimal es 7CD1616
El número 543El número 54388 en binario es: 101100011en binario es: 10110001122
El número 543El número 54388 en hexagesimal es: 163en hexagesimal es: 1631616
El número 9B2El número 9B21616 en binario es: 100110110010en binario es: 10011011001022
El número 9B2El número 9B21616 en octal es: 4662en octal es: 466288

1.1.91.1.9 Conversión de númerosConversión de números
fraccionarios de un sistema a otro.fraccionarios de un sistema a otro.
Conversión de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fracciónConversión de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fracción
decimaldecimal nn se multiplica por la basese multiplica por la base bb (2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria(2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria
resultanteresultante ff11 y por el otro la parte entera correspondientey por el otro la parte entera correspondiente ee11; la fracción; la fracción ff11 se multiplica por la basese multiplica por la base
bb, registrando la fracción, registrando la fracción ff22 y el enteroy el entero ee22 asociado; el procedimiento se repite ocho veces ó hastaasociado; el procedimiento se repite ocho veces ó hasta
alcanzar una fracciónalcanzar una fracción ffkk,, que sea cero o cercana a cero (que sea cero o cercana a cero (ffkk 0.9961 ó0.9961 ó ffkk 0.0039 con su entero0.0039 con su entero
asociadoasociado eekk. El número. El número nn, expresado en base, expresado en base bb, se construye a partir de los enteros, en el, se construye a partir de los enteros, en el
orden:orden: ee11,, ee22, ...,, ..., eek-1k-1,, eekk..
Ejemplo: Convertir la fracción decimal 0.1997Ejemplo: Convertir la fracción decimal 0.19971010 a los sistemas binario, octal y hexagesimal.a los sistemas binario, octal y hexagesimal.
A binario: multiplicaciones sucesivas por 2.A binario: multiplicaciones sucesivas por 2.
.1997.1997
.3994.3994 00
.7988.7988 00
.5976.5976 11
.1952.1952 11
.3904.3904 00
.7808.7808 00
.5616.5616 11
.1232.1232 11
.2464.2464 00
El número 1997El número 19971010 en binario esen binario es aproximadamenteaproximadamente: 0.00110011: 0.0011001122

A octal: multiplicaciones sucesivas por 8.A octal: multiplicaciones sucesivas por 8.
.1997.1997
.5676.5676 11
.7808.7808 44
.2464.2464 66
.9712.9712 11
.7696.7696 77
.1568.1568 66
.2544.2544 11
.0352.0352 22
.2816.2816 00
A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16.A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16.
.1997.1997
.1952.1952 33
.1232.1232 33
.9712.9712 11
.5392.5392 15 = F15 = F
.6272.6272 88
.0352.0352 10 = A10 = A
.5632.5632 00
.0112.0112 99
.1792.1792 00
El número 1997El número 19971010 en octal es aproximadamente: 0.14617612en octal es aproximadamente: 0.1461761288
El número 1997El número 19971010 en hexagesimal es aproximadamente:en hexagesimal es aproximadamente: 0.331F8A090.331F8A091616

Conversión de fracciones de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal.Conversión de fracciones de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal.
Cada uno de los dígitos que conforman la fracción m, expresado en binario, octal oCada uno de los dígitos que conforman la fracción m, expresado en binario, octal o
hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a unahexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una
potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia menos uno, depotencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia menos uno, de
izquierda a derecha. La suma de estos productos es el número m, en base decimal.izquierda a derecha. La suma de estos productos es el número m, en base decimal.
Ejemplo: Convertir el número binario 0.11100110110 al sistema decimal.Ejemplo: Convertir el número binario 0.11100110110 al sistema decimal.
1 x 21 x 2-1-1
+ 1 x 2+ 1 x 2-2-2
+ 1 x 2+ 1 x 2-3-3
+ 1 x 2+ 1 x 2-6-6
+ 1 x 2+ 1 x 2-7-7
+ 1 x 2+ 1 x 2-9-9
==
0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 0-001953125 = 0.90039060.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 0-001953125 = 0.90039061010
Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.543Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.54388 al sistema decimal.al sistema decimal.
5 x 85 x 8-1-1
+ 4 x 8+ 4 x 8-2-2
+ 3 x 8+ 3 x 8-3-3
= 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.6933593= 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.69335931010
Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B2Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B21616 al sistema decimal.al sistema decimal.
9 x 169 x 16-1-1
+ 11 x 16+ 11 x 16-2-2
+ 2 x 16+ 2 x 16-3-3
= 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882= 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882
= 0.6054687= 0.60546871010

Conversión de fracciones entre losConversión de fracciones entre los
sistemas binario, octal y hexagesimalsistemas binario, octal y hexagesimal
Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla delConversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del
apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemasapartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas
binario, octal y hexagesimal, sirve también para hacer la conversión de cualquier fracción de unbinario, octal y hexagesimal, sirve también para hacer la conversión de cualquier fracción de un
sistema a otro.sistema a otro.
Ejemplo: Convertir la fracción binaria 0.11111001101Ejemplo: Convertir la fracción binaria 0.1111100110122 a los sistemas octal y hexagesimal.a los sistemas octal y hexagesimal.
A octal:A octal:
0.111 110 011 0100.111 110 011 010
0. 7 6 3 20. 7 6 3 2
0.1111 1001 10100.1111 1001 1010
0. F 9 A0. F 9 A
Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.543Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.54388 a los sistemas binario y hexagesimal.a los sistemas binario y hexagesimal.
0. 5 4 30. 5 4 3
0.101100 0110.101100 011
0.1011 0001 10000.1011 0001 1000
0. B 1 80. B 1 8
El número 11111001101El número 1111100110122 en octal es: 0.7632en octal es: 0.763288
El número 11111001101El número 1111100110122 en hexagesimal es: 0.F9Aen hexagesimal es: 0.F9A1616
El número 543El número 54388 en binario es: 0.101100011en binario es: 0.10110001122
El número 543El número 54388 en hexagesimal es: 0.B18en hexagesimal es: 0.B181616

Conversión de fracciones entre losConversión de fracciones entre los
sistemas binario, octal y hexagesimalsistemas binario, octal y hexagesimal
Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B2Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B21616 a los sistemas binario y octal.a los sistemas binario y octal.
0. 9 B 20. 9 B 2
0.1001 1011 00100.1001 1011 0010
A octal:A octal:
0.100 110 110 0100.100 110 110 010
0. 4 6 6 20. 4 6 6 2
El número 9B2El número 9B21616 en binario es: 0.100110110010en binario es: 0.10011011001022
El número 9B2El número 9B21616 en octal es: 0.4662en octal es: 0.466288

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