ELECTROMAGNETISMO

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4. Interacción Electromagnética
Teoría Clásica
Joan Costa Quintana
Profesor Titular de Física Aplicada
Departamento de Física
Universidad Autónoma de Barcelona
Fernando López Aguilar
Catedrático de Física Aplicada
Departamento de Física
Universidad Autónoma de Barcelona

5. Interacción electromagnética. Teoría clásica
Copyright © Joan Costa Quintana
Copyright © Fernando López Aguilar
Edición en e-book:
© Editorial Reverté. S.A., 2012
ISBN: 978-84-291-9282-7
Edición en papel:
© Editorial Reverté. S.A., 2009
ISBN: 978-84-291-3058-4
Propiedad de:
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6. A Beatriz, Teresa y Daniel.
JCQ
A Sergio, Idoia, Eva y Fernando, y
a la memoria de Conchita.
FLA

12. Prefacio
En este libro se estudia y analiza la interacción electromagnética desde un
punto de vista clásico. Esta interacción es la que se produce entre partı́culas
con carga eléctrica, ya sea en reposo, en movimiento uniforme o movimiento
acelerado. Durante el estudio de este libro es posible que los cálculos ma-
temáticos necesarios para encontrar la solución de las ecuaciones que rigen
la dinámica de la interacción electromagnética hagan perder de vista la co-
nexión con la realidad y con sus aplicaciones prácticas. Por ello, para que el
lector se haga una idea de la importancia del conocimiento de la evolución
espacio-temporal del campo electromagnético, nos parece conveniente comen-
tar de manera breve los fenómenos inducidos directa o indirectamente por
ese campo, fenómenos que afectan de manera fundamental tanto a la propia
constitución de la materia como a hechos tan simples y cotidianos como en-
cender un televisor, hablar por un teléfono móvil o calentar un desayuno en
un horno de microondas. Antes de especializarse en alguna de las numero-
sas ramas del saber que se fundamentan en el electromagnetismo es preciso
hacer un estudio global y analı́tico del campo electromagnético. Las activida-
des profesionales que requieren conocimientos del campo electromagnético son
muchas y variadas, las cuales no se podrán dominar completamente si no se
conocen las ecuaciones de Maxwell, es decir, las ecuaciones fundamentales que
determinan el comportamiento clásico de la interacción electromagnética. No
obstante, debemos decir que el hecho de dominar muy bien estas ecuaciones
de evolución no significa que necesariamente se tenga soltura suficiente a la
hora de aplicarlas en todas la áreas de conocimiento donde intervienen. Un
intento sencillo y no exhaustivo de clasificación de las áreas de influencia del
electromagnetismo podrı́a ser el siguiente.
vii

13. viii Prefacio
1. En relación con las diversas ramas de la ciencia
Es una de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza.
En la escala espacial correspondiente a la corteza electrónica de
los átomos es la interacción fundamental más importante, ya que
determina la energı́a de los electrones y la espectroscopia de los
átomos.
Las moléculas son el resultado de la unión de los átomos, y la fuerza
de esa unión es de origen electromagnético; por lo tanto, la quı́mica
y la bioquı́mica se basan, en última instancia, en la interacción
electromagnética.
Todos los procesos biológicos tienen lugar gracias a la interacción
entre macromoléculas cuyas estructuras se sostienen por fuerzas
electromagnéticas.
Los materiales sólidos también se forman gracias a la existencia de
fuerzas electromagnéticas entre los átomos que los componen. El
hecho de que un edificio soporte su peso se debe a la existencia de
los campos electromagnéticos entre las moléculas de los materiales
con los que está construido.
Si bien hay disciplinas que han construido su identidad de forma in-
dependiente del estudio de la interacción electromagnética en sı́ mis-
ma, como la óptica (que versa sobre el campo electromagnético en
el intervalo de frecuencias del espectro visible), la electrónica, etc.,
éstas lo han hecho más en virtud de la extensión y progreso que han
alcanzado sus aplicaciones que por la existencia de otros principios
rectores de su desarrollo epistemológico.
La bioelectricidad y el biomagnetismo estudian la relación de los
campos eléctrico y magnético con los seres vivos. Como ejemplos
podemos citar el estudio del potenciales eléctricos en el corazón
y en el cerebro humano (electrocardiograma y electroencefalogra-
ma) o los efectos de los campos de baja frecuencia (lı́neas de alta
tensión y telefonı́a móvil) sobre la salud de las personas. En ocasio-
nes, el conocimiento del electromagnetismo permite detectar cier-
tas actitudes, a veces fraudulentas, de algunas pseudociencias que,
aprovechándose de la ignorancia de mucha gente sobre el campo
electromagnético, proponen remedios “mágicos” para todo tipo de
enfermedades y disfunciones con el fin de obtener pingües bene-
ficios económicos, como es el caso, por ejemplo, de las supuestas
propiedades magnéticas y de capacidad de memoria del agua.

14. Prefacio ix
2. En relación con las aplicaciones técnicas
Con el desarrollo de la técnica, actualmente tiene mucha impor-
tancia la comunicación a larga distancia mediante ondas electro-
magnéticas, como es el caso de la radio, la telefonı́a sin hilos, la
televisión, etc. No obstante, también tiene una gran importancia la
comunicación a través de cables: teléfono, fax, televisión por cable,
comunicación entre ordenadores, etc. La transmisión de informa-
ción desde un emisor con objeto de que sea recogida por un número
ilimitado de receptores se hace por medio de antenas, cuyos tipos
y propiedades pueden variar en función de las caracterı́sticas de
la información transmitida (distancia de la transmisión, potencia,
direccionalidad, frecuencia de la señal, etc.).
En el siglo XXI es indispensable el suministro eléctrico, tanto para
uso doméstico (luz, electrodomésticos, etc.) como industrial o de
transporte. Cuando la red eléctrica deja de suministrar potencia
durante algunas horas, las alteraciones que se producen en la vida
diaria de los ciudadanos son innumerables.
En el campo de la salud podemos mencionar numerosos aparatos
que utilizan el campo electromagnético. Estos aparatos se utilizan
tanto para detectar señales biológicas (electrocardiograma, elec-
troencefalograma, etc.) como para realizar exploraciones clı́nicas
(rayos X, resonancia magnética nuclear, endoscopios, etc.), e in-
cluso como métodos terapéuticos (rayos gamma, magnetoterapia,
láser, aceleradores, etc.), que hoy en dı́a son indispensables en los
centros hospitalarios. Algunas técnicas (como la ecografı́a, por ejem-
plo) no utilizan el campo electromagnético de una manera directa
e inmediata pero sı́ lo hacen de una manera indirecta: en la propia
generación de los ultrasonidos y en el tratamiento de las imágenes
suministradas.
Algunas otras aplicaciones son: aparatos ópticos, hornos de micro-
ondas domésticos e industriales, láseres para todo tipo de usos,
sistemas para la navegación (brújula, radar, satélites de navega-
ción, etc.), investigación cientı́fica con campos magnéticos extraor-
dinariamente intensos para obtener recintos inmateriales en los que
concentrar gases a altı́simas temperaturas con objeto de obtener la
fusión nuclear controlada (proyecto ITER), etc.

15. x Prefacio
3. En relación con la vida cotidiana
Sin la radiación electromagnética a frecuencias ópticas que nos llega
del Sol no habrı́a vida en la Tierra, al menos en su forma actual.
Sin la protección del campo magnético de la Tierra probablemen-
te tampoco existirı́an las formas de vida que hoy conocemos. Hay
quien especula con la posibilidad de que la desaparición de los di-
nosaurios se debió a la anulación del campo magnético de la Tierra
como consecuencia de sus inversiones periódicas, lo cual favore-
ció cambios cromosómicos que esta especie no pudo resistir.
La comunicación visual entre humanos y con el entorno ocupa un
lugar destacado en toda civilización. Las otras formas de comunica-
ción (las que no se basan directamente en las ondas electromagnéti-
cas) son subsidiarias, como la auditiva, o casi inexistentes, como el
tacto, el olfato y el gusto. En algunos animales predominan otros
sentidos, como la presión en los peces, el sonido (que también es
presión) en los murciélagos y el olfato en las serpientes, pero en
los seres humanos predomina claramente el sentido de la vista que
funciona gracias al campo electromagnético a frecuencias ópticas.
Las comunicaciones con todo lo que está más allá de la superficie
de la Tierra son posibles casi exclusivamente gracias a las ondas
electromagnéticas. Pensemos en la contemplación de las estrellas,
en la observación del Universo con telescopios ópticos o con radio-
telescopios, en la comunicación con los satélites artificiales o con
las naves exploradoras del sistema solar, o incluso en los proyectos
que intentan comunicar con civilizaciones extraterrestres. Casi to-
da la información que nos llega del exterior de la Tierra procede de
fotones; la información procedente de otras partı́culas (neutrinos,
viento solar, parte de los rayos cósmicos, etc.) es muy pequeña.
Contenido del libro
El libro se basa en la experiencia adquirida por ambos autores durante los más
de 28 años que están dedicados a la enseñanza de esta materia, entre otras,
a nivel de primero y segundo ciclo universitario. Pretende ser un complemen-
to en la formación básica para estudiantes de Ingenierı́a Superior y Técnica
Eléctricas, Electrónicas, Informáticas, Industriales y de Telecomunicaciones,

16. Prefacio xi
y cómo no, para estudiantes de Ciencias Fı́sicas (en dos asignaturas tronca-
les, Electromagnetismo y Electrodinámica Clásica). Puede servir también para
estudiantes de Quı́mica y Geofı́sica.
Aunque existen textos que tratan de estas materias, no suelen ajustarse de
forma completa a los programas de las asignaturas que se explican en los
centros universitarios y por tanto los alumnos suelen demandar que se les
proporcione apuntes de los contenidos exigidos en los currı́cula de sus planes
de estudios. Está pensado como libro de texto y guı́a del alumno.
El libro toma como base lo estudiado en un primer curso tanto de Ingenierı́a
como en Ciencias Fı́sicas y se ajusta a los conocimientos de Matemáticas que
los alumnos tienen cuando van a iniciar el segundo curso. La idea fundamental
de este libro es el de conducirles a una situación de comprensión y asimila-
ción de esta parte fundamental de la Fı́sica que les permita abordar cualquier
especialidad que tenga relación con la dinámica de partı́culas cargadas.
El contenido del libro puede dividirse en cuatro partes:
I) Capı́tulos 1 a 7.- Introducción al campo electromagnético, empezando
por la electrostática y acabando en las ecuaciones de Maxwell.
En el capı́tulo 1 se estudian elementos de cálculo vectorial y otras herra-
mientas matemáticas. Se pone especial énfasis en el concepto de gradien-
te, divergencia y rotacional, ya que se utilizan continuamente en todo
el resto del libro. A continuación, capı́tulo 2, analizamos la interacción
entre cargas en reposo. Introducimos el concepto de campo eléctrico a
partir de la fuerza de Coulomb, tanto para el caso de cargas puntua-
les como de distribuciones de carga. Determinamos las propiedades del
campo electrostático desde el punto de vista de los conceptos de diver-
gencia y rotacional. También explicamos diferentes maneras de calcular
el campo eléctrico en el vacı́o y en un sistema de conductores. Final-
mente tratamos la energı́a eléctrica de una distribución de cargas. En el
capı́tulo 3 ampliamos el estudio del campo eléctrico en el caso de medios
materiales no conductores, es decir, dieléctricos, y ponemos énfasis en
los conceptos de campo macroscópico y microscópico, ası́ como en las
diferentes escalas espaciales en las que están definidos dichos campos.
En los capı́tulos 4 y 5 se sigue un paralelismo con los dos capı́tulos
anteriores para analizar las interacciones y fuerzas entre corrientes esta-
cionarias (campo magnético), en lugar de la interacción entre cargas en
reposo (campo eléctrico). Partimos del principio de conservación de la

17. xii Prefacio
carga para llegar a la ecuación de continuidad y la definición de corrientes
estacionarias. Luego analizamos las fuerzas sobre cargas en movimiento
a velocidades pequeñas frente a la de la luz en el vacı́o. De esta fuerza y
de la expresión de la fuerza de Lorentz se deduce el concepto de campo
magnético, y a continuación se estudian las propiedades de este campo
con las herramientas matemáticas del capı́tulo primero. En el capı́tulo 5
presentamos el desarrollo multipolar del potencial vector dentro de un
material con comportamiento magnético, e introducimos el concepto de
corrientes de imanación o corrientes equivalentes. Finalmente estudiamos
los diferentes comportamientos magnéticos de la materia.
Hasta el capı́tulo 5 los campos eléctricos y magnéticos se estudian de
forma independiente del tiempo, y en el capı́tulo 6 damos un nuevo paso
adelante considerando los campos B y E con evolución espacio-temporal.
Iniciamos el tema con el estudio de los fenómenos de inducción mediante
la ley del flujo e inductancia entre circuitos. Analizamos las diferentes
limitaciones o excepciones de dicha ley, explicando las causas de este
comportamiento excepcional. Después damos expresiones para la energı́a
magnética, en analogı́a a lo que se hizo en el capı́tulo 3 en relación con
la energı́a eléctrica.
Las corrientes estacionarias dan lugar a un campo magnético determi-
nado según la ley de Biot y Savart (campo magnético estático o mag-
netostático), sin embargo estas expresiones no son válidas en el caso de
corrientes no continuas. Con la ayuda del principio de conservación de
la carga explicamos cómo Maxwell estableció la corriente de desplaza-
miento que de forma coherente servı́a para determinar los campos de
inducción magnética para el caso de corrientes no estacionarias. Con
ello, y con una generalización de la ley de Ampère y Gauss para sis-
temas de cargas en movimiento, se presentan las ecuaciones locales del
campo electromagnético que propuso Maxwell y que actualmente aún
se utilizan para sistemas macroscópicos. En el capı́tulo 7 estudiamos to-
do esto, y, además, también demostramos el teorema de conservación
de la energı́a en sistemas electromagnéticos, o teorema de Poynting, y
determinamos los momentos lineales y angulares del campo.
II) Capı́tulos 8 a 11.- Desarrollo de las ecuaciones de Maxwell: radiación
y propagación de ondas electromagnéticas.
Primero, en el capı́tulo 8, definimos los potenciales electromagnéticos
como funciones intermedias que son útiles para resolver las ecuaciones
de Maxwell. Planteamos y resolvemos las ecuaciones de ondas para esos
potenciales. A continuación establecemos las primeras soluciones de las

18. Prefacio xiii
ecuaciones de Maxwell, estudiando los potenciales y los campos debidos
a una carga puntual en movimiento arbitrario. Ello nos permite introdu-
cir el concepto de campo de radiación y analizarlo cuando las partı́culas
tienen movimientos paralelos o perpendiculares a su aceleración. Este
análisis es especialmente importante porque es la base de los acelera-
dores lineales y circulares, que son instrumentos de gran utilidad en
aplicaciones médicas y en el análisis de materiales.
En el capı́tulo 9 abordamos la generación de ondas electromagnéticas
a partir de sistemas cuya evolución se realiza a velocidades pequeñas
o cuyas corrientes evolucionan a bajas frecuencias, lo cual nos permi-
te estudiar los primeros órdenes del desarrollo multipolar del campo de
radiación. Estudiamos la radiación de sistemas extensos, es decir, intro-
ducimos el estudio de antenas simples como la antena lineal y la circular.
Una vez conocido el procedimiento de generación de ondas electro-
magnéticas, dado en los capı́tulos anteriores, estudiamos la propagación
de éstas. Primero, en el capı́tulo 10, lo hacemos en medios infinitos o
semiinfinitos cuando existen superficies de separación entre dos medios
materiales. Posteriormente, en el capı́tulo 11, tratamos la propagación
de ondas en medios finitos, es decir, ondas electromagnéticas confina-
das tanto en guı́as de onda y cavidades resonantes como en lı́neas de
transmisión.
III) Capı́tulos 12 a 16.- Tratamiento relativista del campo electromagnéti-
co y su formulación a partir del principio de mı́nima acción (contenido
éste que a veces se denomina Electrodinámica Clásica).
Dedicamos un primer capı́tulo, el 12, a un repaso de la relatividad espe-
cial de Einstein en la que la transformación de Lorentz es su eje central.
Esta transformación, que se utiliza para cambiar de sistema de referen-
cia, la aplicamos a los cuadrivectores más conocidos y extraemos algunas
consecuencias que se utilizan en los temas siguientes (capı́tulos 13 a 16)
de Electrodinámica.
Si en los primeros temas, del 2 al 7, estudiamos las ecuaciones del Electro-
magnetismo de forma inductiva, a partir de resultados experimentales,
en el capı́tulo 13 y siguientes, lo hacemos deductivamente a partir de pri-
meros principios. Aplicamos el principio de mı́nima acción a un sistema
formado por una partı́cula en un campo con el que interacciona. Dedu-
cimos, como consecuencia de dicha aplicación, la formulación covariante
de la fuerza de Lorentz, y demostramos el primer par de ecuaciones de
Maxwell. También definimos el tensor electromagnético en función de
los campos E y B, definición que nos permite hacer la transformación

19. xiv Prefacio
de Lorentz del campo. En la parte final del capı́tulo estudiamos el movi-
miento de cargas en campos electromagnéticos a velocidades relativistas.
El capı́tulo 14 es continuación del capı́tulo 8, y en él estudiamos de for-
ma no exhaustiva algunos procedimientos de generación de ondas elec-
tromagnéticas con partı́culas cuyas velocidades son comparables con la
velocidad de la luz. Analizamos los aceleradores de partı́culas y la radia-
ción sincrotrón, ası́ como la denominada radiación de frenado y radiación
Cherenkov.
El capı́tulo 15 es una continuación natural del capı́tulo 13. En él se
propone una densidad lagrangiana para el campo electromagnético y
utilizando el principio de mı́nima acción se deduce el segundo par de
ecuaciones de Maxwell tanto en el vacı́o como en medios materiales.
Completamos todos estos temas estudiando la fuerza de frenado que se
ejerce sobre las partı́culas cargadas cuando emiten radiación (capı́tulo
16). Esta fuerza de frenado surge cuando se considera la interacción entre
una partı́cula con el campo generado por ella misma. Las ecuaciones
deducidas plantean ciertos problemas en el seno de la Electrodinámica
Clásica, y, consecuentemente, llegamos a los lı́mites de esta disciplina.
IV) Capı́tulo 17.- Una aplicación concreta de la interacción electromagnéti-
ca: la superconductividad. En este capı́tulo analizamos las ecuaciones de
Maxwell en condiciones de resistencia eléctrica cero, bien en conductores
perfectos, o bien en superconductores. Analizamos el apantallamiento de
campo magnético y efecto Meissner-Ochsenfeld.
El campo electromagnético no siempre es fácil de analizar, pues se basa en dos
campos vectoriales interdependientes, E y B, y además existen cuatro funcio-
nes correspondientes a las fuentes de campo, ρ y J. Todas estas magnitudes
fı́sicas dependen de cuatro variables, las tres de posición, r, y el tiempo, t.
En consecuencia existen diez funciones que dependen de cuatro variables, y
para obtener sus soluciones disponemos de las ocho ecuaciones de Maxwell y
tres ecuaciones diferenciales más procedentes de la fuerza de Lorentz. La apa-
rente dificultad procedente de tener once ecuaciones y diez magnitudes fı́sicas
diferentes queda eliminada por el hecho de que las ecuaciones de Maxwell no
son totalmente independientes unas de otras. Por último, es necesario poner
de manifiesto que los efectos del campo electromagnético, ası́ como los de la
teorı́a de la relatividad, suelen ser a veces poco o nada intuitivos. Por ejemplo,
Feynman decı́a que es más fácil imaginarse una habitación llena de ángeles in-

20. Prefacio xv
visibles, que imaginarse el campo de ondas electromagnético.1 Aunque la frase
nos parece un poco exagerada, sı́ que da una idea de la dificultad que existe a
la hora de formarse conceptos intuitivos acerca del campo electromagnético.
Es necesario mencionar que en el libro hay algunos apartados con letra más
pequeña, lo cual significa que no es indispensable estudiarlos para seguir los
razonamientos lógicos de los contenidos fundamentales y por lo tanto se pueden
eludir si no se dispone de mucho tiempo para su estudio, aunque cierto es que
en aras de la total coherencia y completitud de lo que en el libro se estudia nos
parece que deben incluirse. En cada capı́tulo proponemos algunas cuestiones de
autoevaluación y ejercicios, relativamente sencillos, que pueden ser utilizados
para comprobar el nivel de comprensión adquirido con la lectura del mismo.
Por último queremos mostrar nuestro agradecimiento a todas las personas que
de una manera u otra han contribuido a que este libro viera la luz: en primer
lugar, a los docentes que son o han sido miembros del Grupo de Electro-
magnetismo de la Universidad Autónoma de Barcelona, por las experiencias
compartidas relativas a las diferentes asignaturas cuyos contenidos son estu-
diados en el presente trabajo; en segundo lugar, a los discentes que con el
planteamiento de sus dudas y cuestiones nos ha permitido mejorar en claridad
la presentación de sus contenidos, y por último, aunque no en último lugar,
deseamos agradecer especialmente a Julio Bueno el esmero y cuidado que ha
puesto en la producción editorial de este libro.
Los autores.
Bellaterra, 20 de diciembre de 2006.
1
R.P. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, Feynman. Fı́sica. Vol. II p. 20-9 (Addison-
Wesley Iberoamericana, 1987). ISBN: 0-201-06622-X

22. Índice general
1. Análisis vectorial 1
1.1. Álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Flujo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. Integral de lı́nea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 16
1.8. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11. Coordenadas curvilı́neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.13. Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.14. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.15. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. Electrostática 41
2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. Campo eléctrico: divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . 46
2.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5. Potencial eléctrico: ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . 55
2.6. Unicidad de la solución de la ecuación de Poisson . . . . . . . 57
xvii

23. xviii Índice general
2.7. Solución de la ecuación de Laplace en sistemas
con simetrı́a rectangular, cilı́ndrica y esférica . . . . . . . . . . 61
2.8. Conductores en equilibrio electrostático . . . . . . . . . . . . 65
2.9. Sistema de N conductores en equilibrio . . . . . . . . . . . . . 68
2.10. Energı́a de una distribución de cargas . . . . . . . . . . . . . 71
2.11. Energı́a de un sistema de conductores cargados . . . . . . . . 75
2.12. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3. Electrostática en medios materiales 85
3.1. Desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2. Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3. Campo creado por un dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5. Susceptibilidad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6. Clases de dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7. Condiciones de contorno o frontera . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8. Energı́a en función del campo en dieléctricos . . . . . . . . . . 111
3.9. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4. Magnetostática 121
4.1. Corriente eléctrica: ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3. Fuerza entre circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4. Inducción magnética: ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . 130
4.5. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6. Rotacional de la inducción magnética: teorema de Ampère . . 134
4.7. Divergencia de la inducción magnética . . . . . . . . . . . . . 137
4.8. Potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.9. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

24. Índice general xix
5. Magnetismo en medios materiales 147
5.1. Desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2. Dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3. Campo creado por un material magnético . . . . . . . . . . . 153
5.4. Intensidad magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5. Tipos de materiales magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.6. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7. Circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.8. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6. Campos de variación lenta 179
6.1. Inducción electromagnética: ley de Faraday . . . . . . . . . . 180
6.2. Limitaciones a la ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.3. Inductancia mutua y autoinductancia . . . . . . . . . . . . . . 193
6.4. Energı́a magnética de circuitos acoplados . . . . . . . . . . . . 195
6.5. Energı́a en función del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.6. Fuerza magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.7. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7. Ecuaciones de Maxwell 209
7.1. Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4. Unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.5. Energı́a electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.6. Impulso del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . 226
7.7. Momento angular del campo EM . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.8. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

25. xx Índice general
8. Potenciales electromagnéticos y campo de radiación 235
8.1. Potencial escalar y potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2. Ecuaciones de ondas para los potenciales . . . . . . . . . . . . 238
8.3. Soluciones de las ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . . 239
8.4. Método de las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.5. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.6. Potenciales de Liénard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.7. Campos creados por una carga en movimiento arbitrario . . . 250
8.8. Distribución angular de la radiación . . . . . . . . . . . . . . 257
8.9. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9. Radiación por fuentes extensas 271
9.1. Potenciales electromagnéticos a grandes
distancias del emisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.2. Campos de radiación en el caso general . . . . . . . . . . . . . 277
9.3. Campos de un dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.4. Campos de un dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.5. Desarrollo multipolar de la radiación . . . . . . . . . . . . . . 290
9.6. Antena de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.7. Antenas receptoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.8. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10. Ondas electromagnéticas 305
10.1. Movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.2. Ecuación de ondas para los campos . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.3. Onda plana en un dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.4. Espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.5. Onda plana en un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.6. Descomposición en frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.7. Medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10.8. Reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

26. Índice general xxi
10.9. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
10.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11. Ondas en medios confinados 335
11.1. Ecuaciones de Maxwell en una guı́a . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.2. Guı́as dieléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.3. Modos en una guı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.4. Velocidad de propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
11.5. Guı́a rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
11.7. Lı́neas de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
11.8. Régimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.9. Régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11.10. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
12. Relatividad 367
12.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.2. Transformación de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
12.3. Tensores en un espacio de N-dimensiones . . . . . . . . . . . 375
12.4. Ejemplos de tensores en la teorı́a de la relatividad . . . . . . . 378
12.5. Partı́cula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.6. Formulación tensorial o covariante . . . . . . . . . . . . . . . 383
12.7. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
12.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
13. Cargas en campos electromagnéticos 389
13.1. Lagrangiano de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
13.2. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
13.3. Formulación covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.4. Transformaciones de contraste (gauge) . . . . . . . . . . . . . 395
13.5. Transformadas del campo electromagnético . . . . . . . . . . 397
13.6. Invariantes del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . 399

27. xxii Índice general
13.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
13.8. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
13.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
14. Radiación de partı́culas 415
14.1. Carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
14.2. Acelerador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.3. Acelerador circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.4. Sincrotrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
14.5. Radiación espectral del sincrotrón . . . . . . . . . . . . . . . . 427
14.6. Radiación de frenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
14.7. Radiación de Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
14.8. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
14.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
15. Formulación lagrangiana del campo electromagnético 445
15.1. Transición de un sistema discreto a otro continuo . . . . . . . 446
15.2. Formulación lagrangiana de un campo . . . . . . . . . . . . . 448
15.3. Tensor energı́a-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
15.4. Cuadrivector corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
15.5. Lagrangiano del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . 456
15.6. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
15.7. Tensor energı́a-impulso del campo electromagnético . . . . . . 458
15.8. Ecuaciones de Maxwell en medios materiales . . . . . . . . . . 462
15.9. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
15.10. Velocidad de la luz en un medio en movimiento . . . . . . . . 470
15.11. Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
15.12. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
15.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
16. Frenado por radiación 481
16.1. Radio clásico del electrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
16.2. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

28. Índice general xxiii
16.3. Masa electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
16.4. Ecuación del Abraham-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
16.5. Fuerza de rozamiento relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
16.6. Anchura de lı́nea de un oscilador armónico . . . . . . . . . . . 492
16.7. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
16.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
17. Superconductividad 497
17.1. Resistividad cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
17.2. Apantallamiento del campo magnético . . . . . . . . . . . . . 500
17.3. Penetración del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . 501
17.4. Comportamiento termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . 506
17.5. Modelo de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
17.6. Energı́a libre superficial en superconductores . . . . . . . . . . 513
17.7. Heurı́stica del análisis microscópico . . . . . . . . . . . . . . . 516
17.8. Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

30. Capı́tulo 1
Análisis vectorial
El conocimiento de los fenómenos de la Fı́sica en general y del Electromag-
netismo en particular requiere que su explicación se establezca dentro de un
modelo matemático que nos proporcione leyes de evolución espacio-temporal
de los sistemas en los que tiene lugar esta fenomenologı́a. Ello implica la utili-
zación de herramientas matemáticas, como la teorı́a de funciones, las formula-
ciones algebraicas, etc., que nos permitan describir dichas leyes de evolución.
En este capı́tulo se analizan las herramientas matemáticas necesarias para el
estudio posterior del campo electromagnético.
1.1. Álgebra vectorial
En el Electromagnetismo, un buen número de variables y magnitudes fı́sicas
tienen naturaleza vectorial. Es por ello que se requiere disponer de habilidad
en el tratamiento de funciones vectoriales y operadores derivacionales que apa-
recen en las leyes fı́sicas. Los vectores se puede definir desde varios puntos de
vista: geométrico, algebraico y tensorial.
Según la definición geométrica, un escalar queda plenamente definido por un
número real, y en algunos casos por un número complejo. Un vector, por el
contrario, puede definirse como un segmento de recta de longitud y dirección
especificados, que empieza en un punto, acaba en otro y puede ser representa-
do mediante una flecha cuya longitud viene dada por la separación de ambos
puntos. Una forma intuitiva de entender una magnitud vectorial es indicar-
1

31. 2 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
la mediante un valor, que viene dado por la longitud del segmento de recta
antes mencionado, y una dirección. Un ejemplo de magnitud vectorial es la
velocidad de una partı́cula. Por el contrario, un escalar puede ser representado
asignándole únicamente un valor, un número real o complejo.
La definición algebraica parte del concepto matemático de espacio vectorial, el
cual viene definido a partir de la estructura de grupo conmutativo y de cuerpo.
Un grupo conmutativo es un conjunto de elementos V = {A, B, C, . . .} con
una operación interna definida [A ⊕ B ∈ V] que satisface:
1. propiedad asociativa [A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C],
2. existencia de neutro [A ⊕ 0 = A],
3. existencia de simétrico [A ⊕ (−A) = 0] y
4. propiedad conmutativa [A ⊕ B = B ⊕ A].
Además, podemos definir otra operación tal que para cualquier elemento
[α, β, . . . ] de un cuerpo {K, +, ·} se cumple:
1. α ∗ A ∈ V;
2. (α · β) ∗ A = α ∗ (β ∗ A);
3. (α + β) ∗ A = (α ∗ A) ⊕ (β ∗ A);
4. α ∗ (A ⊕ B) = (α ∗ A) ⊕ (α ∗ B); y
5. 1 ∗ A = A
(donde 1 es el elemento neutro para la multiplicación definida en K), de esta
forma V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Se llaman vectores a los
elementos del grupo conmutativo y escalares a los elementos del cuerpo K.
En este libro los vectores vendrán dados por un conjunto de tres (en caso relati-
vista, cuatro) números reales y el cuerpo será, en general, el de los números rea-
les (que en ciertos casos puede extenderse al cuerpo de los números complejos),
con lo que no se utilizarán sı́mbolos diferentes para la operación ⊕ y +. Tam-
poco se usarán sı́mbolos distintos para ∗ y ·, que incluso se suprimirán cuando
ello no cause confusión. Ası́, por ejemplo, (α + β) ∗ A = α ∗ A ⊕ β ∗ A se escri-
birá (α+β)A = αA+βA y (α·β)∗A = α∗(β∗A) se escribirá (αβ)A = α(βA).
La definición tensorial de vector se hace necesaria cuando se analiza el com-
portamiento de las magnitudes vectoriales ante una rotación del sistema de
coordenadas.
En el espacio euclı́deo tridimensional elegimos tres rectas perpendiculares entre
sı́ que se corten en un punto (se llama sistema de coordenadas rectangular o
cartesiano). Estas tres rectas se denominan ejes x, y y z. Se elige una escala

32. 1.1. Álgebra vectorial 3
Figura 1.1: Coordenadas
rectangulares según la regla
de la mano derecha.
sobre esos ejes y un sentido de incremento positivo de la longitud, a partir del
punto cruce de la tres rectas. Este sentido de incremento positivo de los ejes x e
y puede ser cualquiera, pero para el eje z hay dos posibilidades no equivalentes.
La que se utiliza es la definida por la denominada regla de la mano derecha: se
hace coincidir la mano derecha con el eje x, la muñeca en el origen, de manera
que el dedo ı́ndice apunte en el sentido del incremento positivo de este eje y
los demás dedos excepto el pulgar se curvan en la dirección del eje y positivo,
entonces el pulgar, que se mantiene perpendicular al resto de los dedos, señala
la dirección positiva del eje z. Esta dirección también se puede determinar a
partir del avance de un tornillo de rosca derecha cuando se hace girar el semieje
positivo x sobre el semieje positivo y por el camino más corto. Una tercera
forma serı́a situarse en el plano z = 0 y trasladarse desde un punto positivo
del eje x a un punto positivo del eje y en el sentido contrario a las agujas del
reloj y por el camino más corto, la cabeza indicarı́a la dirección positiva del
eje z.
Figura 1.2: Formas de apli-
car la regla de la mano de-
recha.

33. 4 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
Figura 1.3: Sistema de
coordenadas rectangulares
según la regla de la mano
izquierda. No se utiliza.
A partir de estos ejes podemos determinar la posición de cualquier punto P
del espacio mediante tres números reales (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z). El valor de x1
viene dado por la intersección del eje x con un plano perpendicular a dicho
eje x y que pase por el punto P. Los números x2 y x3 se determinan de forma
parecida.
Figura 1.4: Vector A =
(4, 5, 3) ≡ 4ex + 5ey + 3ez.
En una rotación del sistema de coordenadas, el origen, o punto de corte de los
tres ejes, no se modifica, y la perpendicularidad entre los tres ejes se conserva.
Por el contrario, las coordenadas de un punto dado se modifican y resultan
ser (x0
1, x0
2, x0
3). Se puede demostrar, teniendo en cuenta que (x1, x2, x3) =
x1(1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) + x3(0, 0, 1), que
x0
i =
3
X
j=1
Rijxj, (1.1)

34. 1.1. Álgebra vectorial 5
donde Rij es una matriz ortonormal que define algebraicamente el giro
geométrico del sistema de coordenadas.
Ası́, un escalar es una magnitud que no se modifica si se hace una rotación del
sistema de coordenadas.
Un trivector es una trı́ada, (A1, A2, A3), que en una rotación del sistema de
coordenadas se transforma de manera similar a las coordenadas de un punto,
es decir,
A0
i =
3
X
j=1
RijAj. (1.2)
Las formas en que se suele escribir un vector son
A ≡ (A1, A2, A3) ≡ (Ax, Ay, Az) ≡ Axex + Ayey + Azez ≡
X
j
Ajej, (1.3)
donde se han definido los vectores unitarios en las direcciones x, y, z como
ex ≡ (1, 0, 0); ey ≡ (0, 1, 0); ez ≡ (0, 0, 1), que son perpendiculares entre sı́.
Con los vectores se puede definir varias operaciones, algunas de ellas coinci-
dentes con las que se definieron cuando se estableció la estructura algebraica
de espacio vectorial sobre un cuerpo. La suma de dos vectores A y B es otro
Figura 1.5: Vector suma de
dos vectores a partir de la
regla del paralelogramo.
vector, C = A + B, cuya primera (segunda, tercera) componente se obtiene
sumando las primeras (segundas, terceras) componentes de los vectores A y
B. Matemáticamente
C = A + B; Ci = Ai + Bi (i = 1, 2, 3). (1.4)
Esta definición es equivalente a la conocida regla del paralelogramo, y con ella
los vectores tienen una estructura matemática de un grupo conmutativo.
El producto de un vector A por un escalar α es otro vector cuyas componentes
se obtienen mediante la multiplicación de cada componente por el número real
α, es decir,
αA ≡ (αAx, αAy, αAz). (1.5)

35. 6 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
Con estas dos operaciones el conjunto de vectores en tres dimensiones consti-
tuye, como hemos dicho, un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números
reales.
1.1.1. Producto escalar
El producto escalar, o producto interno, es una operación entre dos vectores
(A, B) tal que el resultado es un escalar, A·B. Se define como el número real
A · B ≡ AxBx + AyBy + AzBz. (1.6)
A partir del producto escalar podemos definir el módulo de un vector, |A| ≡ A,
como la raı́z cuadrada del producto escalar consigo mismo, es decir,
|A|2
≡ A2
≡ A · A = A2
x + A2
y + A2
z. (1.7)
El módulo del vector es la longitud de la flecha de la que se ha hablado en la
definición geométrica de vector. A partir de ahı́ se puede dar una expresión
geométrica del producto escalar. Si se considera el triángulo formado por los
Figura 1.6: Construcción
para evaluar el producto es-
calar a partir del ángulo en-
tre los vectores.
vectores A, B y B − A, la ley de los cosenos estudiada en trigonometrı́a nos
permite determinar el módulo del vector diferencia de dos vectores dados
|B − A|2
= |A|2
+ |B|2
− 2|A||B| cos θ,
siendo θ el ángulo entre los vectores A y B. Calculando el módulo a partir del
producto escalar obtenemos
|B − A|2
= (B − A) · (B − A) = A · A + B · B − 2A · B,
y por lo tanto
A · B = AB cos θ. (1.8)

36. 1.1. Álgebra vectorial 7
1.1.2. Producto vectorial
El producto vectorial o producto interno de dos vectores (A, B) es otro vector,
A × B, cuyas componentes se obtienen a partir de las de A y B de la forma
siguiente:
A × B ≡ (AyBz − AzBy)ex + (AzBx − AxBz)ey + (AxBy − AyBx)ez. (1.9)
Este resultado es coincidente con el que se obtiene a partir del siguiente de-
terminante
A × B =

43. ex ey ez
Ax Ay Az
Bx By Bz

50. . (1.10)
El módulo del producto vectorial se puede calcular fácilmente y resulta
|A × B|2
= (A2
x + A2
y + A2
z)(B2
x + B2
y + B2
z ) − (AxBx + AyBy + AzBz)2
= A2
B2
− (A · B)2
= A2
B2
− A2
B2
cos2
θ,
es decir,
|A × B| = AB sen θ, (1.11)
que es el área del paralelogramo de lados A y B.
La dirección del vector A × B se puede deducir fácilmente de (1.6) y (1.10),
ya que A · (A × B) = B · (A × B) = 0 y, en consecuencia, el vector A × B es
perpendicular al plano generado por los vectores A y B. Para elegir los dos
posibles sentidos del vector perpendicular se usa la regla de la mano derecha
(fig. 1.7). Se hace coincidir la mano derecha plana con el vector A (la flecha
apunta en la dirección del dedo ı́ndice). Se curvan los dedos en la dirección
de B, y el pulgar, que se mantiene perpendicular al resto de los dedos, señala
el sentido de A × B. También se pueden aplicar los otros procedimientos
explicados para la elección del sistema de coordenadas: el tornillo de rosca
derecha (al girar A sobre B la dirección de avance es la de A × B), y andar
en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano formado por A y B (la
cabeza apunta en la misma dirección que A × B.

51. 8 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
Figura 1.7: Producto vecto-
rial de dos vectores A × B.
1.1.3. Otras operaciones entre vectores
También se puede definir un producto exterior o diádico que da como resultante
una matriz
AB ≡



AxBx AxBy AxBz
AyBx AyBy AyBz
AzBx AzBy AzBz


 . (1.12)
El producto mixto es otra operación entre tres vectores A, B y C cuyo resul-
tado es un número real que se determina mediante el producto escalar de un
vector por el vector resultante del producto vectorial de otros dos, A · B × C.
Este número real se obtiene como sigue:
A · B × C =

58. A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3

65. = B · C × A = C · A × B. (1.13)
Dadas las propiedades de los determinantes, cualquier transposición de filas
implica solamente un cambio de signo en el valor del producto mixto. Por lo
tanto, un número par de transposiciones mantiene el resultado, mientras que
uno impar cambia el signo pero conserva el valor absoluto. En consecuencia,
si utilizamos el simbolismo A · B × C = {A, B, C}, todas las permutaciones
cı́clicas dentro de los paréntesis mantienen el signo, mientras que las otras tres
permutaciones únicamente cambian el signo.
El triple producto vectorial se puede escribir
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B), (1.14)

66. 1.2. Concepto de campo 9
(A × B) × C = B(A · C) − A(B · C). (1.15)
Otras operaciones son
(A×B)·(C×D) = (A·C)(B·D)−(A·D)(B·C) = A·[B×(C×D)], (1.16)
(A × B) × (C × D) = C[A · (B × D)] − D[A · (B × C)]
= B[A · (C × D)] − A[B · (C × D)]. (1.17)
1.1.4. Pseudovectores
Además de las rotaciones del sistema de coordenadas existen otras posibles
operaciones que se pueden realizar con vectores. Una de ellas es, por ejemplo,
la inversión, que consiste en invertir los tres ejes x, y y z. El vector de posición
invierte todas sus componentes, o sea (x0, y0, z0) = −(x, y, z). Los vectores que
con una inversión de los ejes se comportan igual que el vector de posición
(cambian de signo sus componentes) se llaman vectores polares o simplemente
vectores. Si un vector no modifica el signo de sus componentes con la inversión,
se denomina vector axial o pseudovector. Ejemplos de pseudovectores son todos
los vectores que proceden de un producto vectorial.
1.2. Concepto de campo
Un campo escalar es, por definición, cuando cada punto del espacio tiene aso-
ciado un escalar. Ejemplos de campos escalares son la temperatura, la presión
y la altura de una montaña (este último está definido en dos dimensiones). Un
campo escalar sirve para explicitar el valor de una magnitud escalar en todos
y cada uno de los puntos del espacio y en cada instante de tiempo. Por ello, la
forma más correcta de representar un campo escalar es mediante una función
dependiente de las tres coordenadas que también puede depender del tiempo.
Estas funciones suelen ser cero en el infinito de cada una de las coordenadas.
Otra manera más intuitiva de representar un campo escalar es dibujar las
superficies en las que la magnitud escalar tiene el mismo valor. En un ma-
pa (campo en dos dimensiones) estas lı́neas se llaman isopletas, isaritmas o
isolı́neas, pero tienen distinto nombre según el campo de que se trate: isóba-
ra (presión), isóbata (profundidad), isocasma (visibilidad de auroras), isoclina

67. 10 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
(inclinación magnética terrestre), isócrona (instante de un mismo fenómeno),
isodinámica (componente horizontal del campo magnético terrestre), isodo-
sis (dosis de radiación absorbida), isofota (luminosidad), isógona (declinación
magnética terrestre o dirección del viento), isohelia (insolación durante un
tiempo), isohieta o isoyeta (pluviosidad anual), isohipsa (misma altitud), iso-
nefa (nubosidad), isoquı́mena (temperatura media en invierno), isosı́smica o
isosista (intensidad de un terremoto), isotaca o isovela (misma velocidad del
viento en módulo), isótera (temperatura media en verano), isoterma (tempe-
ratura), isoxera (ı́ndice termopluviométrico), equipotencial (potencial), etc.
Un campo vectorial es, por definición, cuando cada punto del espacio tiene aso-
ciado un vector. Ejemplos de campos vectoriales son la velocidad del viento y
la aceleración de las moléculas de un gas. La forma más correcta de representar
un campo vectorial es mediante una función vectorial matemática que da el
vector en función de la posición. Pero existen otras formas de representación
que son más intuitivas.
Figura 1.8: Vectores en al-
gunos puntos de un campo
vectorial.
Dibujar los vectores, como flechas que tienen un módulo y una dirección,
en algunos puntos del espacio.

68. 1.3. Gradiente 11
Figura 1.9: Lı́neas de cam-
po para el campo de la fi-
gura anterior.
Dibujar lı́neas tangentes al vector del campo en cada punto, que constitu-
yen las denominadas lı́neas de campo. Un convenio que se suele utilizar
es que el número de lı́neas dibujadas que atraviesan la unidad de su-
perficie sea proporcional al módulo del vector; de esta forma, este tipo
de representación nos puede dar una idea de la intensidad y dirección
del campo. Este método es intuitivo, ya que establece un sı́mil entre la
perturbación en el espacio libre, debida a la existencia de la magnitud
fı́sica que queda definida por dicho campo, con las caracterı́sticas de un
“fluido”. No obstante, aunque este método es muy ilustrativo y conve-
niente para explicar el concepto de campo de forma didáctica, es preciso
utilizarlo con cautela cuando se pretenden hacer análisis cuantitativos.
1.3. Gradiente
Se define el gradiente (∇ψ ≡ gradψ) como un vector tal que multiplicado
escalarmente por el diferencial de longitud, dl = (dx, dy, dz), da la variación
de la función entre dos puntos, (x, y, z) y (x + dx, y + dy, z + dz), es decir,
dψ ≡ ∇ψ · dl, (1.18)
donde dl es el vector infinitesimal que da la dirección en la que se establece la
variación de la función o campo escalar ψ. Dado que
dψ = |∇ψ| |dl| cos θ, (1.19)
siendo θ el ángulo que forman los vectores ∇ψ y dl, cuando θ = 0 (ambos vec-
tores son paralelos y apuntan en el mismo sentido) el valor de dψ será máximo.
Por lo tanto, el gradiente en un punto indica la dirección de máxima variación

69. 12 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
y el sentido es el que apunta hacia el valor creciente de ψ en dicho punto. El
gradiente define un vector en cada punto donde existe un valor de la función
ψ, es decir, del campo escalar; por lo tanto, el gradiente de un campo escalar
es un campo vectorial.
En coordenadas rectangulares
dψ =
∂ψ
∂x
dx +
∂ψ
∂y
dy +
∂ψ
∂z
dz = ∇ψ · dl, (1.20)
por lo tanto,
∇ψ ≡ gradψ =
∂ψ
∂x
ex +
∂ψ
∂y
ey +
∂ψ
∂z
ez. (1.21)
El operador nabla se puede definir como
∇ ≡ ex
∂
∂x
+ ey
∂
∂y
+ ez
∂
∂z
. (1.22)
Ası́, podemos considerar de forma funcional u operacional que el gradiente es
el operador nabla aplicado a una función o campo escalar.
El operador ∇ es un vector operacional y por ello es preciso tratarlo con
cautela. Para un vector cualquiera, A, Aψ × Aφ siempre es cero, sean cuales
sean las funciones escalares, ψ y φ, pero el vector definido por ∇ψ × ∇φ no
tiene por qué ser cero. Esto es debido a que ∇ es un operador vectorial y no
una función vectorial.
Si consideramos la familia de superficies (que si el campo es en dos dimensiones
son curvas) en las que la función ψ tiene el mismo valor, entonces entre dos
puntos de una cualquiera de éstas se cumplirá dψ = 0, y por lo tanto ∇ψ ·
dl = 0. En consecuencia, podemos concluir que el gradiente es un vector
perpendicular a las superficies con el mismo valor de ψ.
1.4. Flujo de un vector
Como hemos dicho al definir un campo vectorial, éste puede entenderse, usando
una figura intuitiva, como una perturbación en el espacio cuyas lı́neas de campo
pueden asemejarse al movimiento de un fluido. De hecho, en el movimiento
de un fluido, las velocidades de las partes elementales o infinitesimales que lo
componen, que en cierta manera podemos denominar partı́culas, constituyen

70. 1.5. Divergencia 13
un campo vectorial. La asimilación de las lı́neas de un campo cualquiera con el
campo de velocidades de un fluido facilita la comprensión del concepto fı́sico
de aquellos campos, que al no estar constituidos por movimientos de elementos
materiales, son más difı́ciles de imaginar, ya que resultan más abstractos. En
un fluido, la idea de flujo como cantidad de lı́neas del campo de velocidades
que atraviesa una superficie es fácil de aceptar. Ası́ pues, podemos utilizar
esta imagen concreta de flujo de un lı́quido o un gas para ayudar a entender
intuitivamente el flujo de cualquier campo vectorial como la suma de las lı́neas
de campo que atraviesan una superficie cualquiera. Su formulación matemática
vendrá dada por la integral de superficie del producto escalar de dicho vector
con el vector unitario del elemento de superficie definido por dS, es decir, el
flujo de un vector A a través de una superficie S se define como
Φ =
Z
S
A · n dS, (1.23)
donde n es un vector unitario perpendicular al elemento infinitesimal de la
superficie, dS. Obviamente, si la integral se realiza sobre una superficie cerrada,
el flujo a través de dicha superficie tendrá el significado de la cantidad de lı́neas
de campo que entran (si dicho producto es negativo) o salen (si es positivo) a
través de dicha superficie. Este concepto de flujo es fundamental en la teorı́a de
campos vectoriales, que, como podemos deducir de su definición, corresponde
a un escalar no local; es decir, es una cantidad que no tiene por qué aplicársele
el concepto de campo escalar, pues es una cantidad integrada y no localizada.
1.5. Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es un escalar definido en cada punto del
espacio y por lo tanto es un campo escalar. Si consideramos una superficie S
Figura 1.10: En el punto
A la divergencia es positi-
va (las lı́neas de campo sa-
len) y en el punto B, ne-
gativa (las lı́neas de campo
entran).

71. 14 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
que encierra un volumen ∆V donde está contenido el punto genérico donde
deseamos determinar la divergencia, ésta viene dada por el flujo del vector a
través de dicha superficie dividido por el volumen cuando éste tiende a cero.
Por lo tanto, la divergencia de un campo vectorial A se define matemática-
mente por
divA ≡ ∇ · A ≡ lı́m
∆V→0
1
∆V
I
S
A · n dS, (1.24)
donde n es el vector unitario perpendicular al elemento de superficie dS y que
apunta hacia el exterior del volumen (∆V) encerrado por la superficie S. De la
definición puede comprobarse fácilmente que la divergencia es un operador que
si se aplica a un campo vectorial da un campo escalar. No existe contradicción
en que el flujo total de un vector a través de una superficie de dimensiones
finitas sea una cantidad escalar no local y la definición de divergencia como
campo escalar local aunque se defina como un flujo a través de una superficie,
dado que ésta es infinitesimal. Por consiguiente, el significado geométrico de
divergencia es el de flujo que sale de la superficie infinitesimal que rodea al
punto, de tal forma que si la divergencia es positiva hay una fuente de campo y
si es negativa hay un sumidero. Si se dibujan las lı́neas de campo, la integral de
superficie (flujo del campo) es proporcional al número de lı́neas que atraviesan
la superficie.
En coordenadas rectangulares podemos considerar un paralelepı́pedo de lados
∆x, ∆y y ∆z muy pequeños, en cuyo centro se encuentra el punto en el cual
se determina la divergencia. De este modo, podemos hacer un desarrollo en
Figura 1.11: Superficie para
demostrar la ecuación de la
divergencia en coordenadas
rectangulares.
serie de Taylor de la función campo, A, respecto de su valor en el centro del
paralelepı́pedo, A0. El resultado de este desarrollo es el siguiente:
∇ · A ≡ lı́m
∆V→0
1
∆V
I
S
A · n dS

72. 1.6. Teorema de la divergencia 15
= lı́m
∆x,∆y,∆z→0
1
∆x ∆y ∆z
A0 +
∂A
∂x
∆x
2
· ex ∆y ∆z −
A0 −
∂A
∂x
∆x
2
· ex ∆y ∆z
+
A0 +
∂A
∂y
∆y
2
· ey ∆x ∆z −
A0 −
∂A
∂y
∆y
2
· ey ∆x ∆z
+
A0 +
∂A
∂z
∆z
2
· ez ∆x ∆y −
A0 −
∂A
∂z
∆z
2
· ez ∆x ∆y
= lı́m
∆x,∆y,∆z→0
1
∆x ∆y ∆z
∂A
∂x
· ex +
∂A
∂y
· ey +
∂A
∂z
· ez
∆x ∆y ∆z,
es decir,
∇ · A =
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
. (1.25)
Un caso particular muy utilizado en Fı́sica es determinar la divergencia de un
vector que procede del gradiente de un escalar. La divergencia del gradiente
de un campo escalar ψ se denomina laplaciana de dicho campo escalar
∇2
ψ ≡ ∇ · ∇ψ. (1.26)
En coordenadas rectangulares podemos definir también la laplaciana de un
vector que viene dada por la suma de laplacianas de sus componentes
∇2
A = ∇2
Ax ex + ∇2
Ay ey + ∇2
Az ez. (1.27)
1.6. Teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, relaciona el
flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada que contiene un
volumen con la integral de la divergencia en dicho volumen
Z
V
∇ · A dV =
I
S
A · n dS. (1.28)
Es fácil de demostrar a partir de la definición de la divergencia. Sólo hace
falta subdividir el volumen en una suma de volúmenes infinitesimales que, sin

73. 16 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
pérdida de generalidad, pueden considerarse en forma de cubos cuyos lados
tienden a longitud cero. Por definición de integral de volumen
Z
V
∇ · A dV = lı́m
∆Vj→0
X
j
∇ · A ∆Vj =
X
j
I
Sj
A · n dS =
I
S
A · n dS.
En las superficies comunes a dos cubos infinitesimales adyacentes, las integrales
de superficie suman cero, ya que el vector unitario, n, perpendicular a la
superficie y que apunta hacia el exterior, tiene dirección opuesta en cada uno de
los volúmenes contiguos. En consecuencia, únicamente contribuye al resultado
final el flujo a través de las superficies de los cubos infinitesimales que no
tienen contigüidad con ningún otro cubo, es decir, quedan exclusivamente las
contribuciones de la superficie exterior que encierra al volumen total.
1.7. Integral de lı́nea de un campo vectorial
Sean un campo vectorial A y una curva C, que puede ser cerrada o no. La
integral de lı́nea del campo A a lo largo de la curva C entre dos puntos cuyos
radios vectores son r1 y r2 se define como
I =
Z r2
r1
A · dl, (1.29)
siendo dl un elemento diferencial de longitud tomado sobre la recta tangente a
la curva en un punto dado, donde se evalúa su producto escalar con el vector
A. Un ejemplo de integral de lı́nea serı́a el trabajo realizado por una fuerza
F al recorrer una distancia entre dos puntos del espacio sobre una trayectoria
dada. Cuando el campo vectorial procede del gradiente de un campo escalar
φ, la integral de lı́nea de este vector entre dos puntos depende exclusivamente
de éstos y es independiente de la trayectoria seguida entre ellos (se denomina
campo conservativo). Este corolario es de fácil demostración:
I(r1, r2) =
Z r2
r1
A · dl =
Z r2
r1
∇φ · dl =
Z r2
r1
dφ = φ(r2) − φ(r1). (1.30)
Cuando la integral de lı́nea correspondiente a un vector se realiza sobre una
curva cerrada, se denomina circulación de dicho vector. En consecuencia, la
circulación de un campo vectorial puede formularse
I =
I
C
A · dl. (1.31)
Sólo en los casos en que el campo A proceda del gradiente de un campo
escalar, φ, podemos asegurar que esta integral, que no tiene lı́mites, es cero.
Pues, obviamente,
H
C ∇φ · dl =
H
C dφ = 0, independientemente de la curva C.

74. 1.8. Rotacional 17
1.8. Rotacional
El rotacional de un campo vectorial es un nuevo campo vectorial. Para definir
el vector rotacional de un campo vectorial en un punto dado, consideramos
una superficie S que encierra un volumen ∆V, en cuyo centro se ubica el punto
genérico en el que calculamos el rotacional, entonces:
curlA ≡ rotA ≡ ∇ × A ≡ lı́m
∆V→0
1
∆V
I
S
n × A dS. (1.32)
En esta definición, el concepto de rotacional es aparentemente muy parecido al
de divergencia, pero, en realidad, es totalmente distinto. Puesto que se obtiene
cambiando el producto escalar por un producto vectorial, el resultado es un
vector, a diferencia de la divergencia, que al ser un flujo da como resultado un
escalar.
Si ∆S es una superficie abierta bilátera cuyo contorno es una curva cerrada
C que no se corta a sı́ misma (curva cerrada simple), se puede establecer una
definición equivalente:
(∇ × A) · eS ≡ lı́m
∆S→0
1
∆S
I
C
A · dl, (1.33)
donde eS es un vector unitario perpendicular a la superficie, ∆S. El sentido
de recorrido de la curva C no puede ser cualquiera, sino que está relacionado
por la regla de la mano derecha con el vector unitario eS. Si se gira un tornillo
de rosca derecha en el sentido de recorrido del circuito, el tornillo avanza en la
dirección de eS. O también, si se camina por la curva de manera que el lado
derecho quede hacia el exterior, la cabeza indica el sentido de eS.
Para demostrar la equivalencia de las dos definiciones se considera el volu-
men determinado por un desplazamiento ξ de la superficie ∆S en la dirección
Figura 1.12: Superficie pa-
ra demostrar la equivalen-
cia de las dos definiciones
de rotacional.

75. 18 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
perpendicular eS. Aplicando la primera definición
(∇ × A) · eS = lı́m
∆S→0
1
ξ ∆S
I
S
eS · n × A dS,
por las propiedades del triple producto, eS · n × A = A · eS × n, y sólo
contribuirá la superficie lateral; además eS × n está en la dirección de dl, por
lo tanto, eS × n dS = dl ξ y resulta
(∇ × A) · eS = lı́m
∆S→0
1
ξ ∆S
I
C
A · dl ξ = lı́m
∆S→0
1
∆S
I
C
A · dl,
que es la segunda definición.
En coordenadas rectangulares es fácil encontrar un expresión diferencial (ope-
racional). Considerando un rectángulo de dimensiones ∆y, ∆z perpendicular
Figura 1.13: Superficie para
encontrar la componente x
del rotacional.
al eje x, entonces aplicando la segunda definición obtenemos:
(∇ × A) · ex = lı́m
∆y, ∆z→0
1
∆y ∆z
I
C
A · dl
= lı́m
∆y, ∆z→0
1
∆y ∆z
A0 +
∂A
∂y
∆y
2
· ez ∆z −
A0 −
∂A
∂y
∆y
2
· ez ∆z
−
A0 +
∂A
∂z
∆z
2
· ey ∆y +
A0 −
∂A
∂z
∆z
2
· ey ∆y
= lı́m
∆y, ∆z→0
1
∆y ∆z
∂A
∂y
· ez −
∂A
∂z
· ey
∆y ∆z =
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
.
Este cálculo se puede aplicar, mutatis mutandis, a las otras componentes con-
siderando de forma análoga los correspondientes rectángulos. Ası́, como resul-
tado final del rotacional obtendremos
∇ × A =
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
ex +
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
ey +
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
ez. (1.34)

76. 1.9. Teorema de Stokes 19
De forma intuitiva podrı́amos decir que un campo de fuerzas harı́a girar un
molinete si el rotacional fuese diferente de cero.
1.9. Teorema de Stokes
De manera similar al caso de la divergencia también se puede demostrar de
forma sencilla un teorema integral para el rotacional de un campo vectorial.
Según este teorema, la integral de superficie del rotacional de un campo vec-
torial es igual a la circulación de dicho campo determinada sobre la curva
cerrada que contiene esa superficie. La forma matemática de este teorema
requiere considerar una superficie S abierta y bilátera cuyo contorno es una
curva cerrada C que no se corta a sı́ misma (curva cerrada simple), entonces
Z
S
(∇ × A) · n dS =
I
C
A · dl. (1.35)
La demostración de este teorema es similar a la que hicimos en el caso de la di-
vergencia. Podemos partir de la definición de la ec. (1.33), y de forma parecida
a lo que hicimos en el caso del teorema de Gauss, subdividimos la superficie
en superficies infinitesimales, ∆Sj, que pueden ser de forma geométrica arbi-
traria, pero que para mayor facilidad de comprensión podemos elegirlas que
sean cuadradas. Aplicamos la definición de rotacional a cada uno de los cua-
drados, de tal forma que las integrales de lı́nea en lados que pertenecen a dos
cuadrados contiguos se anulan, por tener direcciones opuestas de integración
en cada uno de ellos. Como consecuencia, la suma da cero y a la integral que
define el teorema sólo contribuyen aquellos lados que no son compartidos por
cuadrados contiguos y que corresponden a superficies ∆Sj cuyos lı́mites están
sobre la curva C. Es decir, en los circuitos interiores las integrales de lı́nea se
compensan. Matemáticamente,
Z
S
(∇ × A) · n dS = lı́m
∆Sj→0
X
j
(∇ × A) · n ∆Sj =
X
j
I
Cj
A · dl =
I
C
A · dl.
1.10. Teorema de Helmholtz
En la teorı́a de campos, aquellas variables fı́sicas que de forma causal dan
lugar a la existencia de los mismos suelen denominarse fuentes de campo. Es

77. 20 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
decir, estas fuentes son las que generan las perturbaciones espacio-temporales
que denominamos campos. Las curvas seguidas por las lı́neas de campo sólo
pueden ser de dos tipos: las abiertas que se inician en un punto y terminan
en otro o las cerradas sobre sı́ mismas que no tienen ni principio ni final. La
primera posibilidad implica una divergencia no nula y la segunda un rotacio-
nal diferente de cero. Ası́, podemos demostrar matemáticamente que cualquier
campo vectorial queda plenamente definido si se conoce su divergencia y su ro-
tacional. Es decir, las divergencias y los rotacionales de los campos constituyen
lo que podı́amos denominar las fuentes de campo. El teorema de Helmholtz
es importante en toda teorı́a general de campos clásicos y en particular en el
electromagnetismo, pues con él demostramos matemáticamente que un campo
está totalmente determinado en todo punto y en todo instante de tiempo si se
conocen las fuentes de campo.
Podemos enunciar el teorema de la siguiente forma: sean ρ y J la divergencia
y rotacional de un campo vectorial F , entonces se cumple que
∇ · F = ρ
∇ × F = J
)
⇒ F = −∇φ + ∇ × A, (1.36)
donde φ y A son campos auxiliares que se denominan potenciales, en concre-
to, potencial escalar y potencial vector de dicho campo F . Estos potenciales
vienen determinados por ρ y J de la forma siguiente
φ(r) ≡
1
4π
Z
V
ρ(r0)
|r − r0|
d3
r0
−
1
4π
I
S
F (r0) · n
|r − r0|
dS0
,
A(r) ≡
1
4π
Z
V
J(r0)
|r − r0|
d3
r0
+
1
4π
I
S
F (r0) × n
|r − r0|
dS0
.
Es preciso tener en cuenta que −F (r0) · n es la expresión de la divergencia de
F en los puntos de la superficie S si en el exterior de S el campo se anula, y
que F (r0) × n es la del rotacional de F en estos mismos puntos. Por tanto,
si en la integral de volumen incluimos los puntos de la superficie, las primeras
integrales de volumen de las expresiones de arriba de φ y A son suficientes
para la evaluación tanto de φ como de A.
Demostración
El vector J ha de tener divergencia nula, por coherencia interna, ya que en
general para cualquier campo se cumple
∇ · J = ∇ · ∇ × F = 0. (1.37)

78. 1.10. Teorema de Helmholtz 21
En el apartado de la delta de Dirac, en este mismo capı́tulo, demostramos que
∇2 1
|r − r0|
= −4πδ(r − r0
)
y entonces
F (r) = −
1
4π
Z
F (r0
) ∇2 1
|r − r0|
d3
r0
.
Como ∇×(∇×F ) = ∇(∇·F )−∇2
F para cualquier campo vectorial, tenemos
que
F (r) = −
1
4π
Z
F (r0
)∇2 1
|r − r0|
d3
r0
= −
1
4π
∇2
Z
F (r0
)
1
|r − r0|
d3
r0
= −
1
4π
∇∇ ·
Z
F (r0
)
1
|r − r0|
d3
r0
+
1
4π
∇ × ∇ ×
Z
F (r0
)
1
|r − r0|
d3
r0
. (1.38)
Si se tiene en cuenta que ∇ · (ψa) = ψ∇ · a + a · ∇ψ, entonces
∇ ·
F (r0
)
|r − r0|
= F (r0
) · ∇
1
|r − r0|
= −F (r0
) · ∇0 1
|r − r0|
=
∇0
· F (r0
)
|r − r0|
− ∇0
·
F (r0
)
|r − r0|
, (1.39)
donde ∇0
· quiere decir que las derivadas son con respecto a r0
. Integrando,
usando el teorema de la divergencia y la ec. (1.36)
1
4π
∇ ·
Z
V
F (r0
)
|r − r0|
d3
r0
=
1
4π
Z
V
ρ(r0
)
|r − r0|
d3
r0
−
1
4π
I
S
F (r0
) · n0
|r − r0|
dS0
≡ φ(r).
(1.40)
El primer término de (1.38) tendrá una contribución de −∇φ(r) en el cálculo
de F (r). El segundo término se evalúa de forma similar, pero se tiene en cuenta
que ∇ × (ψa) = ψ∇ × a + ∇ψ × a, entonces
∇ ×
F (r0
)
|r − r0|
= −F (r0
) × ∇
1
|r − r0|
= F (r0
) × ∇0 1
|r − r0|
=
∇0
× F (r0
)
|r − r0|
− ∇0
×
F (r0
)
|r − r0|
. (1.41)
Integrando, empleando el teorema del rotacional (F.22) y (1.36)
1
4π
∇ ×
Z
V
F (r0
)
|r − r0|
=
1
4π
Z
V
J(r0
)
|r − r0|
d3
r0
+
1
4π
I
S
F (r0
) × n0
|r − r0|
dS0
≡ A(r)
(1.42)
con lo que el segundo término de (1.38) tendrá una contribución de ∇ × A(r)
en el cálculo de F (r). Juntando la contribución de los términos primero y
segundo, F = −∇φ(r) + ∇ × A(r), tal como se querı́a demostrar.

79. 22 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
1.11. Coordenadas curvilı́neas
Sean las coordenadas rectangulares de un punto expresadas en función de las
variables u1, u2, u3, de manera que
x = x(u1, u2, u3); y = y(u1, u2, u3); z = z(u1, u2, u3) (1.43)
(si se modifica u1 con u2 y u3 constantes, se dibuja la curva u1).
Figura 1.14: Sistema de
coordenadas curvilı́neas.
Entonces
dl ≡ dr =
∂r
∂u1
du1 +
∂r
∂u2
du2 +
∂r
∂u3
du3. (1.44)
Si se definen los vectores unitarios tales que
e1 ≡
1
f1
∂r
∂u1
; e2 ≡
1
f2
∂r
∂u2
; e3 ≡
1
f3
∂r
∂u3
, (1.45)
donde fi son factores tales que |ei| = 1, es decir,
fi =

83. ∂r
∂ui

87. , (1.46)
entonces el diferencial de longitud es
dl = f1 du1 e1 + f2 du2 e2 + f3 du3 e3. (1.47)
Si el sistema de coordenadas es ortogonal, es decir, los vectores ei son ortogo-
nales entre sı́, el diferencial de longitud es
dl =
q
(f1 du1)2 + (f2 du2)2 + (f3 du3)2, (1.48)

88. 1.11. Coordenadas curvilı́neas 23
los diferenciales de superficie perpendiculares a e1, e2 y e3 son, respectiva-
mente, dS1, dS2 y dS3,
dS1 = f2f3 du2 du3 dS2 = f1f3 du1 du3 dS3 = f1f2 du1 du2
(1.49)
y el diferencial de volumen
dV = f1f2f3 du1du2du3. (1.50)
Se puede comprobar que f1f2f3 es el jacobiano de la transformación.
A partir de la definición de gradiente es fácil demostrar que para coordenadas
ortogonales
∇ψ =
1
f1
∂ψ
∂u1
e1 +
1
f2
∂ψ
∂u2
e2 +
1
f3
∂ψ
∂u3
e3. (1.51)
De la definición de divergencia
∇ · A =
1
f1f2f3
∂
∂u1
(f2f3A1) +
∂
∂u2
(f3f1A2) +
∂
∂u3
(f1f2A3)
, (1.52)
y de la definición de rotacional
∇ × A =
1
f1f2f3

95. f1e1 f2e2 f3e3
∂/∂u1 ∂/∂u2 ∂/∂u3
f1A1 f2A2 f3A3

102. =
1
f1f2f3
∂
∂u2
(f3A3) −
∂
∂u3
(f2A2)
f1e1
+
1
f1f2f3
∂
∂u3
(f1A1) −
∂
∂u1
(f3A3)
f2e2
+
1
f1f2f3
∂
∂u1
(f2A2) −
∂
∂u2
(f1A1)
f3e3. (1.53)
Por otro lado, la laplaciana de un escalar se puede escribir
∇ · ∇ψ ≡ ∇2
ψ =
1
f1f2f3
∂
∂u1
f2f3
f1
∂ψ
∂u1
+
∂
∂u2
f3f1
f2
∂ψ
∂u2
+
∂
∂u3
f1f2
f3
∂ψ
∂u3
#
(1.54)
y la laplaciana de un vector se define por la expresión
∇2
A ≡ ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A, (1.55)
que el caso de coordenadas rectangulares coincide con la ec. (1.27)

103. 24 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
Figura 1.15: Coordenadas
cilı́ndricas.
1.11.1. Coordenadas cilı́ndricas
Vienen dadas por las definiciones siguientes
x = ρ cos ϕ, y = ρ sen ϕ, z = z, (1.56)
es decir,
f1 =

107. ∂r
∂ρ

111. = |(cos ϕ, sen ϕ, 0)| = 1,
f2 =

115. ∂r
∂ϕ

119. = |(−ρ sen ϕ, ρ cos ϕ, 0)| = ρ, (1.57)
f3 =

123. ∂r
∂z

127. = 1.
1.11.2. Coordenadas esféricas
Están determinadas por las definiciones siguientes
y = r sen θ cos ϕ, x = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ, (1.58)
es decir ,
f1 =

131. ∂r
∂r

135. = |(sen θ cos ϕ, sen θ sen ϕ, cos θ)| = 1,
f2 =

139. ∂r
∂θ

143. = |(r cos θ cos ϕ, r cos θ sen ϕ, −r sen θ)| = r, (1.59)
f3 =

147. ∂r
∂ϕ

151. = |(−r sen θ sen ϕ, r sen θ cos ϕ, 0| = r sen θ.

152. 1.12. Delta de Dirac 25
Figura 1.16: Coordenadas
esféricas.
1.12. Delta de Dirac
Sea una función
gn(x − x0) =









n si |x − x0|
1
2n
0 si |x − x0|
1
2n
(1.60)
Figura 1.17: Sucesión de
funciones g1, g2, g3, g4, . . . ,
cuyo lı́mite es la delta de
Dirac.
Es evidente que
lı́m
n→∞
Z ∞
−∞
ϕ(x)gn(x − x0) dx =
ϕ(x0)
n
n = ϕ(x0). (1.61)

153. 26 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
Se define la delta de Dirac como
lı́m
n→∞
gn(x − x0) ≡ δ(x − x0) (1.62)
y para simplificar se escribe simbólicamente
lı́m
n→∞
Z ∞
−∞
ϕ(x) gn(x − x0) dx ≡
Z ∞
−∞
ϕ(x) δ(x − x0) dx. (1.63)
Pero fı́sicamente no hace falta considerar el lı́mite de n → ∞, pues basta
considerar un n suficientemente grande tal que todas las funciones fı́sicas sean
constantes en el intervalo 1/n.
A veces se escribe la definición de la ‘función’ delta de Dirac como
δ(x − x0) = 0 si x 6= x0,
Z ∞
−∞
ϕ(x)δ(x − x0) dx = ϕ(x0), (1.64)
que no es una definición rigurosa desde el punto de vista matemático, ya que
una función que se anule en toda la recta excepto en un punto no puede tener
integral no nula.
Algunas propiedades de la función delta de Dirac son:
1) Es una función par
δ(−x) = δ(x). (1.65)
La demostración de esta paridad positiva es muy simple
Z ∞
−∞
ϕ(x)δ(−x) dx = −
Z −∞
∞
ϕ(−y)δ(y) dy =
Z ∞
−∞
ϕ(−y)δ(y) dy = ϕ(0).
Otra forma de demostrar esta propiedad es a partir de la ec. (1.60).
2) De una manera similar, si se hace un cambio de variable y = |α|x,
Z ∞
−∞
ϕ(x) δ(αx) dx =
Z ∞
−∞
ϕ
y
|α|
δ(y)
dy
|α|
=
ϕ(0)
|α|
,
es decir,
δ(αx) =
1
|α|
δ(x). (1.66)

154. 1.12. Delta de Dirac 27
3) Si la función delta de Dirac tiene por argumento otra función g(x) tal
que se anula en puntos aj, [g(aj) = 0], entonces
Z ∞
−∞
ϕ(x)δ[g(x)] dx =
X
j
Z aj+η
aj−η
ϕ(x)δ[g(x)] dx,
donde η → 0. La demostración de esta propiedad de la función delta es
también simple. Si el intervalo η es pequeño y g(x) es continua
g(x) ' g0
(aj) (x − aj)
y por (1.66)
Z ∞
−∞
ϕ(x)δ[g(x)] dx =
X
j
ϕ(aj)
|g0(aj)|
,
es decir,
δ[g(x)] =
X
j
1
|g0(aj)|
δ(x − aj). (1.67)
En tres dimensiones, la delta de Dirac se define como
δ(r − r0) ≡ δ(x − x0) δ(y − y0) δ(z − z0). (1.68)
Ası́, una carga puntual q en r0 se puede representar con una densidad ρ =
q δ(r − r0).
La función delta de Dirac, δ, puede ser aproximada mediante series de funcio-
nes que tienden a δ. Ejemplos de estas series son
δ(x) =
1
π
lı́m
n→∞
n
n2x2 + 1
=
1
π
lı́m
η→0
η
x2 + η2
(1.69)
δ(x) =
1
π
lı́m
n→∞
sen nx
x
(1.70)
δ(x) =
1
π
lı́m
n→∞
1 − cos nx
nx2
(1.71)
δ(x) =
1
π
lı́m
n→∞
sen2 nx
nx2
(1.72)
δ(x) =
1
√
π
lı́m
n→∞
ne−n2x2
. (1.73)
Se puede comprobar que todas estas funciones cumplen la ec. (1.63).

155. 28 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
En la demostración del teorema de Helmholtz hemos utilizado que
∇2 1
|r − r0|
= −4πδ(r − r0
). (1.74)
Ahora se trata de demostrarlo.
Para r 6= r0
∇
1
|r − r0|
= ∇
(x − x0
)2
+ (y − y0
)2
+ (z − z0
)2
−1/2
= −
(x − x0
)ex + (y − y0
)ey + (z − z0
)ez
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2
3/2
= −
r − r0
|r − r0|3
(1.75)
y por lo tanto
∇2 1
|r − r0|
= −∇ ·
r − r0
|r − r0|3
= −
1
|r − r0|3
∇ · (r − r0
) − (r − r0
) · ∇
1
|r − r0|3
= −
3
|r − r0|3
+ 3(r − r0
) ·
r − r0
|r − r0|5
= 0.
Para evaluar la laplaciana en el punto r = r0
se añade una constante η para
evitar la divergencia
∇
1
[(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 + η2]1/2
= −
(x − x0
)ex + (y − y0
)ey + (z − z0
)ez
[(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 + η2]3/2
(1.76)
y después se hará el lı́mη→0. La laplaciana queda
∇2 1
[(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 + η2]1/2
= −
∇ · (r − r0
)
[(r − r0)2 + η2]3/2
+
3(r − r0
) · (r − r0
)
[(r − r0)2 + η2]5/2
= −
3η2
[(r − r0)2 + η2]5/2
.
Si η es suficientemente pequeño, al hacer una integral sólo contribuirá el valor
de la función en r, ya que para r = r0
la función varı́a como 1/η3
, es decir,
Z
f(r0
)∇2 1
p
(r − r0)2 + η2
d3
r0
' −f(r)
Z
3η2
[(r − r0)2 + η2]5/2
d3
r0
= −f(r)
Z
3
(R2 + 1)5/2
R2
dR sen θ dθ dϕ
= −12πf(r)
Z ∞
0
R2
(R2 + 1)5/2
dR = −4πf(r).
Se ha hecho el cambio de variable R ≡ (r −r0
)/η. La integral se puede calcular
con el cambio de variable
R ≡ tan x ⇒ dR =
1
cos2 x
dx = (1 + tan2
x) dx,

156. 1.13. Transformadas de Fourier 29
es decir,
Z ∞
0
R2
(R2 + 1)5/2
dR =
Z π/2
0
tan2
x
cos2 x
cos5
x dx =
Z π/2
0
sen2
x cos x dx
=
sen3
x
3

160. π/2
0
=
1
3
.
Otra forma de llegar al mismo resultado serı́a a partir del teorema de la diver-
gencia en un volumen esférico suficientemente pequeño para que f(r0
) ' f(r),
pero de radio R mucho más grande que η, entonces
Z
f(r0
)∇ · ∇
1
p
(r − r0)2 + η2
d3
r0
=
Z
f(r0
)∇0
· ∇0 1
p
(r − r0)2 + η2
d3
r0
' f(r)
I
∇0 1
p
(r − r0)2
· n0
dS0
= f(r)
I
(r − r0
) · n0
|r − r0|3
dS0
= −f(r)
I
R
R3
R2
sen θ dθ dϕ = −4πf(r).
Es decir, de las dos maneras se demuestra que
Z
∇2 1
|r − r0|
f(r0
)d3
r0
= −4πf(r). (1.77)
1.13. Transformadas de Fourier
Hacer una transformada de Fourier es expresar una función como una suma
de funciones sinusoidales. Hay quien dice1 que para calcular una transformada
de Fourier hay que escuchar. De hecho el oı́do transforma las ondas de presión
(provocadas, por ejemplo, por un altavoz de un equipo de música) en suma de
ondas a frecuencia diferente. Ası́ se pueden distinguir los sonidos agudos de
los más graves (en los agudos la frecuencia es mayor). También, en la mayorı́a
de los equipos de música, se puede controlar a voluntad la intensidad de cada
tipo de sonido, es decir, se puede aumentar o disminuir la amplitud de las
sinusoides.
Un vector se puede expresar siempre como combinación lineal de otros vectores
base, es decir,
v = v1e1 + v2e2 + v3e3 =
X
i
viei. (1.78)
1
R.L. Bracewell, Investigación y Ciencia p. 56 (agosto 1989).

161. 30 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
Si la base es ortonormal, es decir, ei · ej = δij, entonces multiplicando esca-
larmente los dos miembros de la igualdad se pueden encontrar los coeficientes
ej · v = vj. (1.79)
Se dice que v pertenece a un espacio vectorial de dimensión 3. Se podrı́an
representar las componentes de v en una gráfica en la que la abscisa tendrı́a
los valores 1, 2 ó 3. También se puede hacer en un espacio de dimensión superior
a 3.
Las funciones, f(x), periódicas en el intervalo X0 x X0 + L forman
también un espacio vectorial
λ(f + g) = λf + λg
(λ + µ)f = λf + µf
λ(µf) = (λµ)f
1f = f
y se pueden expresar como
f(x) =
X
n
cnψn(x), (1.80)
donde las ψn(x) son una base. Si es una base ortonormal, es decir, si
Z X0+L
X0
ψ∗
m(x)ψn(x) dx = δm,n, (1.81)
entonces multiplicando por ψ∗
m(x) e integrando los dos miembros de la igualdad
cm =
Z X0+L
X0
ψ∗
m(x) f(x) dx. (1.82)
Se puede demostrar (aquı́ no se demostrará) que un conjunto de funciones que
forman una base es
ψn(x) =
1
√
L
ei2πnx/L
=
1
√
L
eikx
, k ≡
2πn
L
, (1.83)
donde la constante
√
L es de normalización y n un número entero. Para n 6= m
1
L
Z X0+L
X0
e−i2πnx/L
ei2πmx/L
dx =
ei2π(m−n)x/L
i2π(m − n)

166. X0+L
X0
= 0
y para n = m está normalizada.

167. 1.13. Transformadas de Fourier 31
La serie de Fourier en forma compleja será
f(x) =
1
√
L
∞
X
n=−∞
cnei2πnx/L
, cn =
1
√
L
Z X0+L
X0
e−i2πnx/L
f(x) dx.
(1.84)
La función f(x) se podrı́a representar por una gráfica en la que a cada punto
del eje, k = 2πn/L, le correspondiera un valor cn.
Si la función f(x) es real
c−n = c∗
n, (1.85)
entonces
cnei2πnx/L
+ c−ne−i2πnx/L
= (cn + c−n) cos
2πnx
L
+ i(cn − c−n) sen
2πnx
L
(1.86)
y definiendo los coeficientes reales an y bn por
an ≡ cn + c−n = 2Re cn, bn ≡ i(cn − c−n) = 2Im cn, (1.87)
resulta que una función real, periódica en el intervalo X0 x X0 + L, se
puede expresar como
f(x) =
a0
2
+
∞
X
n=1
an cos
2nπx
L
+ bn sen
2nπx
L
, (1.88)
siendo los coeficientes
an ≡
2
L
Z X0+L
X0
f(x) cos
2nπx
L
dx, bn ≡
2
L
Z X0+L
X0
f(x) sen
2nπx
L
dx.
(1.89)
Todo lo cual constituye la denominada serie de Fourier de una función.
Otra manera de formular la serie de Fourier para una función periódica en el
tiempo T, definiendo ω ≡ 2π/T, es
f(t) =
∞
X
n=−∞
fne−inωt
, fn ≡
1
T
Z T
0
f(t) einωt
dt. (1.90)
A medida que aumenta el intervalo de periodicidad L, la separación entre dos
k consecutivas, ∆k, se hace cada vez más pequeño y tiende a cero si L → ∞.
La suma en n se puede transformar en una integral a partir de la definición
de k
f(x) =
1
√
L
∞
X
n=−∞
cnei2πnx/L
=
1
√
L
∞
X
n=−∞
cnei2πnx/L L
2π
∆k,

168. 32 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
en el lı́mite
f(x) =
L
2π
1
√
L
Z
cneikx
dk,
si se define
Fk ≡
s
L
2π
cn =
s
L
2π
1
√
L
Z X0+L
X0
e−ikx
f(x) dx =
1
√
2π
Z ∞
−∞
e−ikx
f(x) dx,
(1.91)
entonces
f(x) =
1
√
2π
Z
Fkeikx
dk. (1.92)
Es costumbre expresarlo
f(x) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(k) eikx
dx, f(k) ≡
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(x) e−ikx
dx. (1.93)
La función f(k) ahora está definida para todos los puntos de la recta real, y
se denomina transformada de Fourier de f(x).
La transformada de Fourier de una función del tiempo se escribe
f(t) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(ω) e−iωt
dω, f(ω) ≡
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(t) eiωt
dt. (1.94)
En cuatro dimensiones (tres espaciales y una temporal)
f(r, t) =
1
(2π)2
Z ∞
−∞
f(k, ω) ei(k·r−ωt)
d3
k dω, (1.95)
f(k, ω) ≡
1
(2π)2
Z ∞
−∞
f(r, t) e−i(k·r−ωt)
d3
r dt. (1.96)
Hay que observar que el signo de las componentes espaciales es positivo, y
el de la temporal es negativo. Esto sólo es un convenio, y se podrı́a hacer al
revés.
Si aplicamos estas expresiones a la función delta de Dirac
1
√
2π
Z ∞
−∞
δ(t) eiωt
dt =
1
√
2π
y por lo tanto
δ(t) =
1
2π
Z ∞
−∞
e−iωt
dω =
1
2π
Z ∞
−∞
eiωt
dω. (1.97)

169. 1.14. Cuestiones de autoevaluación 33
1.14. Cuestiones de autoevaluación
Comente si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas y justifique breve-
mente la respuesta.
1. Un campo escalar φ(r, t) puede proceder de una operación entre campos
vectoriales.
2. El producto mixto A · (B × C) es igual al A · (C × B).
3. Se tienen dos superficies equipotenciales, φ(r) = C1 y φ(r) = C2, distin-
tas (C1 C2) y no infinitesimalmente próximas, entonces la dirección del
gradiente siempre es la dirección de máxima variación, es decir, aquella
que viene dada por un vector a, que une dos puntos de las dos superficies,
tal que la cantidad (C1 − C2)/ |a| es máxima.
4. El trabajo realizado en una superficie de energı́a equipotencial sólo es
nulo cuando no existen fuerzas disipativas (de rozamiento).
5. Las unidades de la divergencia de un vector son las de dicho vector por
longitud−1, es decir, [divA] =
AL−1
, donde [· · ·] significa unidades de
la cantidad encerrada en paréntesis y L−1 metro elevado a menos 1.
6. La divergencia de un campo tal como A = err sen θ + eφr cos φ +
eθr sen θ cos φ es igual a sen θ − r sen φ + r cos θ cos φ.
7. Una de las definiciones del rotacional de un vector viene dada por una
integral de superficie cuyo integrando es un vector. Por lo tanto, esa
definición del rotacional se corresponde con un flujo de un vector a través
de dicha superficie.
8. El flujo a través de una superficie cerrada de todo campo A que se pueda
definir como rotacional de otro campo B es cero.
9. La siguiente igualdad es cierta,
∇ (∇ · A) =
∂2Ax
∂x2
+
∂2Ay
∂y2
+
∂2Az
∂z2
.
10. La integral de lı́nea en una curva cerrada de un campo A puede no ser
cero.

170. 34 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
11. Se cumple que
lı́m
η→0
Z ∞
−∞
sen x
π
η dx
(x − π/2)2 + η2
= 1.
12. La densidad de carga de una carga puntual q situada en r0 es ρ(r) =
4πδ(r − r0).
1.15. Ejercicios
1. Dados los tres vectores
A = ey + 3ez, B = ex − 2ez, C = ex + 2ey + 4ez,
demuestre que son coplanarios y encuentre la ecuación del plano en el
que están localizados.
2. Demuestre que ∇ · (∇ × a) = 0 y que ∇ × ∇ψ = 0.
3. Calcule ∇ × (1
2 C × r), donde r es el vector posición y C es un vector
constante definido por C = (0, 0, C).
4. El vector R ≡ r −r0 tiene su origen en el punto r0 y termina en el punto
r. Si el punto r0 es fijo y consideramos variable r, demuestre que
∇
1
|r − r0|
= −
r − r0
|r − r0|3
= −
R
R3
.
Por el contrario, si el punto r se considera fijo y r0 variable, demuestre
que
∇0 1
|r − r0|
=
r − r0
|r − r0|3
=
R
R3
.
5. La fuerza sobre una partı́cula que sigue una trayectoria elı́ptica 4x2+y2 =
16, es
f = xy ex + x2
ey + 3yx3
ez.
Calcule la energı́a adquirida por la partı́cula al recorrer la trayectoria
entre los puntos (2, 0, 0) y (0, 4, 0), con x ≥ 0.
6. Evalúe Z
y2
ex · n dS
sobre la superficie de un cubo de lado a centrado en la posición
(a/2, a/2, a/2).

171. 1.15. Ejercicios 35
7. Calcule el flujo de r a través de una superficie esférica de radio R direc-
tamente y mediante el teorema de Gauss.
8. Un fluido gira alrededor del eje z con velocidad angular ω constante.
¿Cuál es el valor del rotacional de v? Calcule el valor de ∇ × v si
ω = K/ρ2, siendo K una constante.
9. Considere una circunferencia en el plano z = 0, de radio R y centrada
en el origen. Calcule la integral del gradiente de la función (dada en
coordenadas cilı́ndricas)
ψ = ρ2
sen ϕ + 3ρ2
cos ϕ
en la lı́nea recta que va del punto (0, −R, 0) a (0, R, 0). Repita el cálculo
por la semicircunferencia con x 0 que une los mismos puntos.
10. Sean los campos vectoriales
A1(x, y, z) = aex + bey + cez,
A2(ρ, ϕ, z) = aeρ + beϕ + cez,
A3(r, θ, ϕ) = aer + beθ + ceϕ,
donde a, b y c son constantes. ¿Son campos constantes en el espacio?
Calcule ∇· y ∇× de todos ellos en coordenadas esféricas.
11. Demuestre que el diferencial de longitud en coordenadas cilı́ndricas se
puede escribir
dl = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez.
Con la ayuda de esta expresión y considerando que dψ = ∇ψ·dl, calcule
el gradiente en coordenadas cilı́ndricas.
12. Considere el campo vectorial A = −yzex + xzey + 3z2ez para compro-
bar el teorema de la divergencia utilizando el cilindro definido por las
superficies
x2
+ y2
= 9, z = 2, z = 0.
Hágalo en coordenadas cartesianas y cilı́ndricas. Si la base inferior estu-
viera situada a z = −2, ¿cuál serı́a el flujo de A a través de la superficie
del cilindro? ¿Por qué?
13. Demuestre que el campo
F (x, y, z) = y2
ex + (2xy + z4
)x2
ey + 4yz3
ez
es conservativo. ¿Cuál es el potencial asociado?

172. 36 Capı́tulo 1. Análisis vectorial
14. Demuestre que ∇ψ es un vector perpendicular a la superficie ψ(x, y, z) =
K, donde K es una constante.
Encuentre el vector perpendicular a la superficie x2+y2+z2 = 14 (esfera)
en el punto (−2, 1, 3), y a la superficie z = x2 + y2 − 2 (paraboloide de
revolución) en el mismo punto. Calcule el ángulo que forman las dos
superficies anteriores en el punto (−2, 1, 3).
15. Sea la superficie dada por el trozo de plano 2x + y + 2z = 4 situado en
el primer octante (x, y y z positivos).
a) Encuentre los puntos de corte del plano con los ejes x, y y z.
b) Encuentre la ecuación de la recta que da la intersección con el plano
z = 0.
c) Calcule el vector unitario (n) perpendicular al plano.
d) Demuestre que un diferencial de superficie (dS) del plano se puede
escribir
dS =
dx dy
n · ez
.
e) Evalúe la integral del vector A(x, y, z) = 6zex − 4ey + yez sobre
esta superficie Z
A · n dS.
16. Encuentre el gradiente de ψ(r, θ, ϕ) = Ar cos θ sen2 ϕ, y compruebe si
cumple la ecuación de Laplace (∇2ψ = 0).
17. Demuestre que la serie de Fourier de la función
f(x)
(
1 0 x π
−1 −π x 0
es
f(x) =
4
π
sen x +
1
3
sen 3x +
1
5
sen 5x + · · ·
.
18. Calcule la transformada de Fourier de las funciones
f(t) =
A sen(Ωt)
t
; g(x) =







A
1 −
|x|
∆
si |x| ∆
0 si |x| ∆

173. 1.15. Ejercicios 37
19. Un paquete de ondas está formado por la superposición de ondas planas
de diferente frecuencia. La amplitud está dada por una gaussiana
f(ω) = F0e−(ω−ω0)2/(∆ω)2
,
donde F0, ω0 y ∆ω son constantes. Encuentre la anchura del paquete
en función del tiempo en el punto r = 0. Determine la relación entre la
duración del paquete, ∆t, y el intervalo de frecuencias que contribuyen,
∆ω.
20. Se construye un paquete de ondas en una dimensión f(x, 0) a t = 0 en
la que la amplitud es una gaussiana
f(k, 0) = F0e−(k−k0)2/(∆k)2
y F0, k0 y ∆k son constantes. Halle la relación entre la anchura del
paquete ∆x y el intervalo del número de ondas, ∆k, que contribuye
significativamente en el paquete.

174. 38 Fórmulas útiles
Productos entre vectores
a · b × c =

181. a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

188. = b · c × a = c · a × b (F.1)
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) (F.2)
(a × b) × c = b(a · c) − a(b · c) (F.3)
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) = a · [b × (c × d)] (F.4)
(a × b) × (c × d) = c[a · (b × d)] − d[a · (b × c)] (F.5)
= b[a · (c × d)] − a[b · (c × d)] (F.6)
Operador nabla
∇(ψφ) = ψ∇φ + φ∇ψ (F.7)
∇(a · b) = (b · ∇)a + (a · ∇)b + b × (∇ × a) + a × (∇ × b) (F.8)
∇
1
|r − r0|
= −
r − r0
|r − r0|3
; ∇0 1
|r − r0|
=
r − r0
|r − r0|3
(F.9)
∇ · (ψa) = (∇ψ) · a + ψ(∇ · a) (F.10)
∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b) (F.11)
∇ · (∇ × a) = 0 ⇒ ∇ · b = 0 ⇔ b = ∇ × a (F.12)
∇ · ∇ψ ≡ ∇2
ψ (F.13)
∇2 1
|r − r0|
= −4πδ(r − r0
) (F.14)
∇ × (ψa) = (∇ψ) × a + ψ(∇ × a) (F.15)
∇ × (a × b) = (b · ∇)a − (a · ∇)b + (∇ · b)a − (∇ · a)b (F.16)
∇ × ∇ψ = 0 ⇒ ∇ × a = 0 ⇔ a = ∇ψ (F.17)
∇ × ∇ × a = ∇(∇ · a) − ∇2
a (F.18)
∇ × r = 0; ∇ ×
r − r0
|r − r0|
= 0 (F.19)
Si n ≡
r − r0
|r − r0|
(a · ∇)n =
1
|r − r0|
[a − n(a · n)] ≡
a⊥
|r − r0|
(F.20)

189. Fórmulas útiles 39
Teoremas de integrales vectoriales
Z
V
∇ · A dV =
I
S
A · n dS (de la divergencia) (F.21)
Z
V
∇ × A dV =
I
S
n × A dS (del rotacional) (F.22)
Z
V
∇ψ dV =
I
S
ψ n dS (del gradiente) (F.23)
Z
S
(∇ × A) · n dS =
I
C
A · dl (de Stokes) (F.24)
Z
S
n × ∇ψ dS =
I
C
ψ dl (F.25)
Coordenadas rectangulares: dl =
p
dx2 + dy2 + dz2; dV = dx dy dz
∇ψ =
∂ψ
∂x
ex +
∂ψ
∂y
ey +
∂ψ
∂z
ez (F.26)
∇ · A =
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
(F.27)
∇ × A =
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
ex +
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
ey +
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
ez (F.28)
∇2
ψ =
∂2ψ
∂x2
+
∂2ψ
∂y2
+
∂2ψ
∂z2
(F.29)

190. 40 Fórmulas útiles
Coordenadas cilı́ndricas: dl =
p
dρ2 + (ρ dϕ)2 + dz2; dV = ρ dρ dϕ dz
∇ψ =
∂ψ
∂ρ
eρ +
1
ρ
∂ψ
∂ϕ
eϕ +
∂ψ
∂z
ez (F.30)
∇ · A =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
∂Az
∂z
(F.31)
∇ × A =
1
ρ
∂Az
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂z
eρ +
∂Aρ
∂z
−
∂Az
∂ρ
eϕ +
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
ez
(F.32)
∇2
ψ =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂ψ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2ψ
∂ϕ2
+
∂2ψ
∂z2
=
∂2ψ
∂ρ2
+
1
ρ
∂ψ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2ψ
∂ϕ2
+
∂2ψ
∂z2
(F.33)
Coordenadas esféricas:
dl =
p
dr2 + (r dθ)2 + (r sen θ dϕ)2; dV = r2 sen θ dr dθ dϕ
∇ψ =
∂ψ
∂r
er +
1
r
∂ψ
∂θ
eθ +
1
r sen θ
∂ψ
∂ϕ
eϕ (F.34)
∇ · A =
1
r2
∂
∂r
(r2
Ar) +
1
r sen θ
∂
∂θ
(Aθ sen θ) +
1
r sen θ
∂Aϕ
∂ϕ
(F.35)
∇ × A =
1
r sen θ
∂
∂θ
(Aϕ sen θ) −
∂Aθ
∂ϕ
er +
1
r
1
sen θ
∂Ar
∂ϕ
−
∂
∂r
(rAϕ)
eθ
+
1
r
∂
∂r
(rAθ) −
∂Ar
∂θ
eϕ (F.36)
∇2
ψ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ψ
∂r
+
1
r2 sen θ
∂
∂θ
sen θ
∂ψ
∂θ
+
1
r2 sen2 θ
∂2ψ
∂ϕ2
(F.37)

191. Capı́tulo 2
Electrostática
2.1. Carga eléctrica
Los antiguos griegos (en concreto, en tiempos de Thales de Mileto, en el año
−600) ya conocı́an que cuando se frotaba el ámbar (una resina fósil) con un
trozo de ropa de lana, esta resina fósil era capaz de atraer pequeños trozos
de papel. El vocablo griego para el ámbar es ‘electron’ (ηλκτρoν), de donde
deriva la palabra eléctrico. Cuando ocurre este fenómeno, se dice que el objeto
se carga eléctricamente. El comportamiento de los materiales ante estos pro-
cesos de fricción no es siempre el mismo, pues es bien conocido que frotando
una barra de ámbar (o de madera seca) con seda y otra con un trozo de po-
liéster, las barras se atraen, mientras que si ambas se frotan con seda (o bien
con poliéster) se repelen. Profundizando más en la clasificación de los mate-
riales según sean de atracción o de repulsión las fuerzas existentes entre las
barras de ámbar frotadas con ellos, se ha llegado a una verdadera clasificación
de materiales en una tabla denominada triboeléctrica, palabra procedente del
término griego tribos que significa rozamiento. En esta tabla, los materiales se
ordenan, de mayor a menor, según la intensidad de electrificación obtenida al
frotar con ellos una barra de ámbar. Ası́, los materiales situados en la mitad
de la lista son aquellos cuya intensidad tiende a anularse, para cambiar de
signo y aumentar la electrificación de menor a mayor según nos acercamos al
otro extremo. De esta forma, cuando dos barras de ámbar se frotan con dos
materiales de cada una de las dos mitades de la tabla, las barritas se atraen,
y esta atracción es mayor cuanto más separados estén en la tabla. Por el con-
trario, cuando se utilizan materiales situados en la misma mitad de la lista
41