Teoría de Campos Electromagnéticos Tema 7: Ecuaciones de Maxwell - Ley de Faraday - Corriente de desplazamiento - Potenciales variables en el tiempo - Campos armónicos en el tiempo

1. Ecuaciones de Maxwell
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco Sandoval

2. Agenda
 Ley de Faraday
 Fuerza electromotriz estática y cinética
 Corriente de desplazamiento
 Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell
 Potenciales variables en el tiempo
 Campos armónicos en el tiempo

3. Quadrinho

4. Introducción

5. Introducción
 Anteriormente, análisis de campos electromagnéticos
estáticos, o invariables en el tiempo.
 Ahora, campos estáticos y magnéticos dinámicos, o
variables en el tiempo.
 Campos dinámicos son interdependientes: campo eléctrico
variable en el tiempo implica necesariamente campo magnético
correspondientemente variable en el tiempo.
 Poseen mayor valor práctico que los estáticos.
 Campos dinámicos suelen deberse a cargas aceleradas o
corrientes variables en el tiempo.

6. Introducción
Cargas estacionarias campos electrostáticos
Corrientes estacionarias campos magnetostáticos
Corrientes variables en el tiempo campos (u ondas) electromagnéticos
Diversos tipos de corriente variable en el tiempo: a) sinusoidal, b) rectangular, c) triangular

7. Ley de Faraday

8. Ley de Faraday
Faraday descubrió que la fuerza electromotriz
inducida, 𝑉𝑓𝑒 (en volts), en un circuito cerrado
es igual a la rapidez de cambio del
eslabonamiento de flujo magnético por el
circuito.
𝑉𝑓𝑒 = −
𝑑𝜆
𝑑𝑡
= −𝑁
𝑑𝜓
𝑑𝑡
𝑁, es el número de vueltas en el circuito
𝜓, flujo a través de cada una de ellas.
−, indica que el voltaje inducido es contrario al flujo que lo produce. (Ley de Lenz)

9. Ley de Faraday
 Campos eléctricos (hasta ahora) son causados por cargas
eléctricas.
 Existen otros campos, producidos por fuerza
electromotriz.
 Fuentes de fuerza electromotriz: generadores eléctricos,
baterías, pilas termoeléctricas, pilas de Grove, y pilas
fotovoltaicas. (convierten energía no eléctrica en eléctrica)
generador

10. Ley de Faraday
Circuito en el que se muestra un campo
generador de fuerza electromotriz 𝑬 𝑓 y
un campo electrostático 𝑬 𝑒
• La acción electroquímica de
la batería da como resultado
un campo producido por
fuerza electromotriz 𝑬 𝑓.
• La acumulación de carga en
las terminales de la batería
causa asimismo un campo
electrostático 𝑬 𝑒.
• El campo eléctrico total en
cualquier punto es:
𝑬 = 𝑬 𝑓 + 𝑬 𝑒

11. Ley de Faraday
 La fuerza electromotriz de la batería es la integral de línea
del campo producido por esa fuerza
𝑉𝑓𝑒 = න
𝑁
𝑃
𝑬 𝑓 ∙ 𝑑𝒍 = − න
𝑁
𝑃
𝑬 𝑒 ∙ 𝑑𝒍 = 𝐼𝑅
 Puede interpretarse como la diferencia de potencial 𝑉𝑃 − 𝑉𝑁
entre los terminales de la batería en circuito abierto.
1. Un campo electrostático 𝑬 𝑒 no puede mantener una corriente estacionaria en un
circuito cerrado, ya que ‫ׯ‬𝐿
𝑬 𝑒 ∙ 𝑑𝒍 = 0 = 𝐼𝑅
2. Un campo producido por fuerza electromotriz 𝑬 𝑓 no es conservativo.
3. Excepto en electrostática, voltaje y diferencia de potencial por lo general no son
equivalentes.

12. Fuerza electromotriz estática y
cinética

13. Fuerza electromotriz estática y cinética
𝑉𝑓𝑒 = −𝑁
𝑑𝜓
𝑑𝑡
 En el caso de circuito de una vuelta (𝑁 = 1)
𝑉𝑓𝑒 = −
𝑑𝜓
𝑑𝑡
 En términos de 𝑬 y 𝑩.
𝑉𝑓𝑒 = ර
𝐿
𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = −
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆
𝑩 ∙ 𝑑𝑺
 𝑆 es el área de la superficie del circuito delimitado por la trayectoria
cerrada 𝐿.
 Los campos eléctricos como magnéticos están presentes y se
interrelacionan en un situación de variación de tiempo.
 𝑑𝒍 y 𝑑𝑺 son acordes con la regla de la mano derecha y el teorema de
Stokes.

14. Fuerza electromotriz estática y cinética
 La variación de flujo con el tiempo, puede deberse a tres
causas:
1. Una espira estacionaria en un campo 𝑩 variable en el
tiempo.
2. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩
estático.
3. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩
variable en el tiempo.

15. Espira estacionaria en un campo 𝑩 variable
en el tiempo
 Una espira conductora estacionaria se
ubica en un campo magnético 𝑩
variable en el tiempo.
𝑉𝑓𝑒 = ර
𝐿
𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = − න
𝑆
𝜕𝑩
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑺
 A esta fuerza electromotriz inducida por
una corriente variable en el tiempo en una
espira estacionaria se le llama fuerza
electromotriz estática.
 Aplicando teorema de Stoke al termino
intermedio:
ර
𝐿
𝛻 × 𝑬 ∙ 𝑑𝑺 = − න
𝑆
𝜕𝑩
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑺 𝛻 × 𝑬 = −
𝜕𝑩
𝜕𝑡

16. Una espira de área variable en el tiempo en
un campo 𝑩 estático.
 La fuerza sobre una carga en movimiento a una velocidad
uniforme 𝒖 en un campo magnético 𝑩 es
𝑭 𝑚 = 𝑄𝒖 × 𝑩
 El campo eléctrico cinético 𝑬 𝑚
𝑬 𝑚 =
𝑭 𝑚
𝑄
= 𝒖 × 𝑩
 Suponer que una espira conductora en movimiento a una
velocidad uniforme 𝒖 se compone de gran número de
electrones libres, la fuerza electromotriz inducida en ella es:
𝑉𝑓𝑒 = ර
𝐿
𝑬 𝒎 ∙ 𝑑𝒍 = ර
𝑳
𝒖 × 𝑩 ∙ 𝑑𝒍
Fuerza electromotriz presente en máquinas eléctricas como motores, generadores y
alternadores.
Fuerza electromotriz cinética o
por corte de flujo.

17. Una espira de área variable en el tiempo en
un campo 𝑩 estático.
Fuerza electromotriz inducida debida a
una espira en un campo 𝑩 estático
Precauciones:
1. La integral de esta ecuación es igual a cero a lo largo de la porción de la espira
en la que 𝒖 = 0.
2. La dirección de la corriente inducida es la misma que la de 𝑬 𝑚 o 𝒖 × 𝑩. Los
límites de la integral de esta ecuación se seleccionan en la dirección opuesta a
la de la corriente inducida.

18. Una espira de área variable en el tiempo en
un campo 𝑩 variable en el tiempo.
 Situación general, con presencia de fuerza electromotriz
estática y cinética.

19. Ejemplo 1- Enunciado

20. Ejemplo 1 - Solución

21. Ejemplo 1 - Solución

22. Corriente de Desplazamiento

23. Corriente de Desplazamiento
 Reconsiderando ley de circuitos de Ampere, en función
de la variación en el tiempo:
𝛻 × 𝑯 = 𝑱
 La divergencia del rotacional de un campo vectorial es
idéntica a cero.
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱
 La continuidad de la corriente, exige que:
𝛻 ∙ 𝑱 = −
𝜕𝜌 𝑣
𝜕𝑡
≠ 0
 Las ecuaciones anteriores son incompatibles respecto de
variación en el tiempo.

24. Corriente de Desplazamiento
 Se añade un término a la ecuación:
𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝑱 + 𝑱 𝑑
 La divergencia del rotacional de un vector es igual a cero.

𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱 + 𝛻 ∙ 𝑱 𝑑
𝛻 ∙ 𝑱 𝑑 = −𝛻 ∙ 𝑱 =
𝜕𝜌 𝑣
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
𝛻 ∙ 𝑫 = 𝛻 ∙
𝜕𝑫
𝜕𝑡
𝛻 × 𝑯 = 𝑱 +
𝜕𝑫
𝜕𝑡
𝑱 𝑑 =
𝜕𝑫
𝜕𝑡
Densidad de corriente de desplazamiento
𝑱, densidad de corriente de conducción

25. Corriente de Desplazamiento
 Inserción de 𝑱 𝑑, una de las mayores contribuciones de
Maxwell.
 A bajas frecuencias 𝑱 𝑑 suele ser insignificante en
comparación con 𝑱, pero en radiofrecuencias son
comparables.
 La corriente de desplazamiento se define como:

26. Corriente de Desplazamiento
 La aplicación de la versión
estricta de la ley de circuitos de
Ampère a la trayectoria cerrada
𝐿 de la figura (a) resulta:
 𝐼, es la corriente a través del
conductor.
 𝑆1, superficie plana delimitada
por 𝐿.
 Para la figura (b)
 Por 𝑆2 no fluye corriente de
conducción.
 Existe contradicción.
Dos superficies de integración que
demuestran la necesidad de 𝑱 𝑑 en la ley
de los circuitos de Ampère.

27. Corriente de Desplazamiento
 Es necesario incluir la corriente de desplazamiento.
 La densidad de corriente total es 𝑱 + 𝑱 𝑑.
 Para la figura (a), 𝑱 𝑑 = 0.
 Para la figura (b), 𝑱 = 0. De modo que:

28. Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell

29. Versión definitiva de las ecuaciones de
Maxwell

30. Versión definitiva de las ecuaciones de
Maxwell

31. Versión definitiva de las ecuaciones de
Maxwell

32. Campos Armónicos en el Tiempo

33. Campos Armónicos en el Tiempo
 Además de ser de valor práctico, el análisis sinusoidal
puede prolongarse a la mayoría de las formas de ondas
por medio de técnicas de transformación de Fourier.
 Los sinusoides son de fácil expresión en fasores.
Un campo armónico en el tiempo es el que varía periódica o sinusoidalmente en el
tiempo.

34. Fasores
 𝑗 = −1
 𝑥 parte real de 𝑧
 𝑦 parte imaginaria de 𝑧
 𝑟 es la magnitud de 𝑧
 𝜙 es la fase de 𝑧
Un fasor 𝑧 es un número complejo que puede expresarse como

35. Fasores
 Efectuar adición y substracción de fasores en forma
rectangular, y la multiplicación y división en forma polar.
 Propiedades básicas
 Adición:
 Sustracción:
 Multiplicación:
 División:
 Raíz Cuadrada:
 Conjugado complejo:

36. Campos Armónicos en el Tiempo
Ecuaciones de Maxwell para campos armónicos en el tiempo suponiendo el
factor de tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡

37. Referencias

38. Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.

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