1. MARAVILLOSOS
PROBLEMAS DE
MATEMÁTICAS
Libro 17
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2. Dada la ecuación
calcula α para que posea una raíz que sea doble de otra.
SOLUCIÓN
Sean , 2 , las raíces de la ecuación:
− × − 2 × − = − 7 + ⇒ − 3 + 2 × − = − 7 + ⇒
⇒ − + 3 × + 3 + 2 × − 2 = − 7 + ⇒
− + 3 = 0
3 + 2 = −7
−2 =
⇒
= −3
3 + 2 = −7
−2 =
,
por lo que
= −3
−9 + 2 = −7
6 =
⇒
= −3
= 1 ⇒ = ±1
6 =
De lo anterior, surgen los casos
= −1 ⇒ = 6 × −1 = −6
= 1 ⇒ = 6 × 1 = 6
Entonces,
α = ±6

3. Diremos que un número entero positivo n es exquisito si es igual a la multiplicación
de todos sus divisores propios, o sea, igual a la multiplicación de todos sus divisores
distintos de 1 y de n. Por ejemplo, 35 es exquisito porque sus divisores propios son 5
y 7 y 5×7=35; en cambio 16 no es exquisito porque sus divisores propios son 2, 4 y 8
y 2×4×8≠16.
Halla los doce enteros exquisitos más pequeños.
SOLUCIÓN
Evidentemente, los números exquisitos deben ser tales que posean exactamente 4 divisores distintos, dos de
ellos propios y los otros dos construyendo el número multiplicándose entre sí.
Por lo tanto deben ser
• del tipo × , siendo , primos y, así, el número de divisores es 1 + 1 × 1 + 1 = 4 siendo ellos
1, , , ×
• del tipo , siendo primo y el número de divisores es 1 + 3 = 4 siendo ellos 1, , ,
Tomando los primos más pequeños y construyendo los números tenemos los diez más pequeños:
2×3 = 6 (tipo 1)
2×22
= 8 (tipo 2)
2×5 = 10 (tipo 1)
2×7 = 14 (tipo 1)
3×5 = 15 (tipo 1)
3×7 = 21 (tipo 1)
2×11 = 22 (tipo 1)
2×13 = 26 (tipo 1)
3×32
= 27 (tipo 2)
3×11 = 33 (tipo 1)
2×17 = 34 (tipo 1)
5×7 = 35 (tipo 1)

4. Halla los pares de números naturales que son solución de la ecuación
SOLUCIÓN
− 14 − 256 = ⇒ − 14 + 49 − 49 − 256 = ⇒ − 7 − 49 − 256 = ⇒
⇒ − 7 − 305 = ⇒ − 7 − = 305 ⇒ − 7 − × − 7 + = 1 × 305 = 5 × 61
Las posibilidades son:
− 7 − = 1
− 7 + = 305
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = 306
2 = 304
⇒
2 = 320
2 = 304
⇒
= 160
= 152
− 7 − = 305
− 7 + = 1
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = 306
2 = −304
⇒ < 0 Imposible
− 7 − = −1
− 7 + = −305
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = −306
2 = −304
⇒ < 0 Imposible
− 7 − = −305
− 7 + = −1
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = −306
2 = 304
⇒ < 0 Imposible
− 7 − = 5
− 7 + = 61
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = 66
2 = 56
⇒
2 = 80
2 = 56
⇒
= 40
= 28
− 7 − = 61
− 7 + = 5
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = 66
2 = −56
⇒ < 0 Imposible
− 7 − = −5
− 7 + = −61
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = −66
2 = −56
⇒ < 0 Imposible
− 7 − = −61
− 7 + = −5
ª→ ª ª
ª→ ª ª 2 − 14 = −66
2 = 56
⇒ < 0 Imposible
Los pares-solución son dos:
(160, 152) ; (40, 28)

5. Calcula la suma de todos los números enteros positivos de cuatro dígitos con sus cuatro dígitos
impares.
SOLUCIÓN
Los números enteros positivos de cuatro cifras impares, al haber cinco (1, 3, 5, 7,9), son , = 5 = 625, de los
cuales en = 125 cada dígito está ocupando una posición concreta.
Como 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, la suma pedida es
125 × 25 × 1000 + 125 × 25 × 100 + 125 × 25 × 10125 × 25 × 1 = 125 × 25 × 1111 =
3471875

6. Halla el menor número natural de tres cifras acabado en 5 tal que al dividir su triple por 11 da de
resto 6.
SOLUCIÓN
Sea el número 5 = 10 + 5, siendo un número natural de dos cifras.
Según el enunciado, 3 × 10 + 5 = 11 + 6 ⇒ 30 + 15 = 11 + 6 ⇒ 11 = 30 + 9 ⇒ = ⇒
⇒ = 2 + ∈
Hacemos = ∈ ⇒ 8 + 9 = 11 ⇒ 8 = 11 − 9 ⇒ = ⇒ = − 1 +
Posibilidades:
• = 3 ⇒ = 3 − 1 +
×
= 3, no válido al ser de una cifra.
• = 3 ⇒ = 11 − 1 +
×
= 14, de dos cifras.
En este último caso = 14 ⇒ =
×
= 39 y 3 × 145 = 11 × 39 + 6, luego el número es 5 =
145

7. Sea ABCD un cuadrado de lado 4 y M el punto medio del lado CD.
Se traza la circunferencia que pasa por A, B y M.
Calcula la longitud del radio de la circunferencia.
SOLUCIÓN
Dibujamos la circunferencia, de centro , y llamamos a su radio.
Llamamos al punto medio del lado
Por construcción, el triángulo es rectángulo y las medidas de sus lados son:
= , = 2 y = − = − = 4 −
Por el teorema de Pitágoras tenemos que = + ⇒ = 4 − + 2 ⇒
⇒ = 16 − 8 + + 4 ⇒ 8 = 20
÷
2 = 5 ⇒ =
5/2 = 2,5 unidades lineales

8. Todos los números naturales menores de 15 y múltiplos de 5 o 7, obtenemos 5, 10, 7 y 14.
La suma de todos ellos es 36.
Encuentra la suma de todos los múltiplos de 5 o 7 menores de 1000.
SOLUCIÓN
En principio, pensemos que cada lista que consideremos es una progresión aritmética cuya diferencia es el
número clave.
Si tenemos en cuenta los múltiplos de 5 y los múltiplos de 7 debemos tener en cuenta que los múltiplos de
5 × 7 están en las dos listas, por lo que, si hacemos las sumas generales, estaremos contándolos dos veces.
O sea, que si calculamos la suma solicitada deberemos hallar la suma de los múltiplos de 5, sumarle la de los
múltiplos de 7 y restarle la de los múltiplos de 5 × 7 para que esta se cuente una sola vez.
El mayor número múltiplo de 5 menor de 1000 es 995 = 199 × 5 por lo que la suma de todos los naturales
múltiplos de 5 y menores de 1000 es =
×
= 500 × 199 = 99500
El mayor número múltiplo de 7 menor de 1000 es 994 = 142 × 7 por lo que la suma de todos los naturales
múltiplos de 5 y menores de 1000 es =
×
= 1001 × 71 = 71071
El mayor número múltiplo de 5 × 7 = 35 menor de 1000 es 980 = 28 × 35 por lo que la suma de todos los
naturales múltiplos de 5 y menores de 1000 es =
×
= 1015 × 14 = 14210
Por lo tanto, la suma pedida es + − = 99500 + 71071 − 14210 =
156361

9. Juan Carlos pesca n truchas y le da a Mariano las tres truchas
más grandes, de modo que el peso total de lo que ha pescado
disminuye en un 35%.
Luego le da a su gato las tres truchas más pequeñas de modo
que el peso de lo que le queda baja en 5/13 .
Determina cuántas truchas ha pescado y da todas las
posibilidades.
SOLUCIÓN
Sea el peso total de las truchas 3 más pesadas, el de las 3 más pequeñas e el peso total de las restantes,
− 6 truchas.
Si es el peso total de todas las truchas tenemos, según el enunciado,
+ + = 100% ×
+ = 65% ×
= × +
⇒
+ + =
+ = =
13 = 5 × + ⇒ 5 = 8
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = −
+ #
=
$
#
=
= #
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
%
=
#
= #
×
#
⇒
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
%
=
= &
Según los pesos, deberá cumplirse que, en promedio,
'
(
≤
*'
+
,-
≤
.'
*/
÷
1
2 ≤
× ,-
≤
%
⇒
%
≤
,-
≤ 12 ⇒
⇒ %
≤
,-
,-
≤ 12
⇒ 4
120 ≤ 35 − 210
5 − 30 ≤ 24
⇒ 4
330 ≤ 35
5 ≤ 54
⇒
= 9,43 ≤
≤
&
= 10,8
⇒ =
10 truchas

10. Tres estudiantes, Amador, Manuela y Tomás, realizan una serie de exámenes.
En cada prueba el que queda primero recibe x puntos, el segundo
recibe y puntos y el tercero z puntos, todos números enteros mayores que
cero y tales que x>y>z.
En total, Manuela consigue 20 puntos, Tomás 10 puntos y Amador 9 puntos,
quedando Manuela segunda en el examen de Historia.
¿Quién quedó segundo en el examen de Lengua?
SOLUCIÓN
Sea la cantidad de exámenes realizados y + + el número de puntos conseguido en cada examen.
Notemos que, al menos, hay dos exámenes, luego > 1 y las mínimas puntuaciones que pueden conseguirse
son 3, 2, 1, distintas entre sí, por lo que + + > 5
Entonces, × + + = 20 + 10 + 9 = 39 = 3 × 13 ⇒
= 3
+ + = 13
Como hay 3 exámenes, los valores asignados a los puntos recibidos en cada examen deben ser dos pares y un
impar por existir algún total par.
Además, por las puntuaciones totales recibidas, es evidente que
3 ≥ 20 ⇒ ≥ = 6,67 ⇒ > 6
3 ≤ 9 ⇒ ≤ = 3 ⇒ < 4
Estudiamos las posibilidades:
• = 9 es imposible porque no hay asignaciones válidas para ,
• = 8
o = 3, = 2 es imposible porque hay combinación que permita conseguir 20 puntos
o = 4, = 1 ⇒ "
Amador: 4 + 4 + 1 = 9 puntos
Manuela: 8 + 8 + 4 = 20 puntos
Tomás: 8 + 1 + 1 = 10 puntos
• = 7 ⇒ = 4, = 2 es imposible porque no hay combinación que permita obtener 20 puntos
Como Manuela fue segunda en el examen de Historia, Amador quedo segundo en los otros dos exámenes.
En el examen de Lengua quedó segundo
Amador

11. Sea PQR un triángulo isósceles con PQ=PR=3 y QR=2.
Dada la circunferencia que pasa por P, Q y R, la recta tangente a ella por Q corta a la recta PR
en X.
Halla la longitud del segmento RX.
SOLUCIÓN
Según el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia calculamos la
de de dos maneras: × = ⇒ × + 3 = [*]
Consideramos ahora el triángulo rectángulo derecho de los dos en que queda dividido el
isósceles por la altura correspondiente al vértice .
En él, cos = ⇒ cos = cos 180° − = − cos = −
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo :
= + − 2 × × × cos
[∗]
⇒
⇒ × + 3 = 2 + − 2 × 2 × × −
1
3
⇒
⇒ + 3 × = 4 + +
4
3
× ⇒ 3 −
4
3
× = 4 ⇒
5
3
× = 4 ⇒ =
12/5 = 2,4

12. Según una noticia de hace 25 años, el 20% de la humanidad disponía del
80% de la riqueza mundial.
Suponiendo que la afirmación es cierta, ¿cuántas veces era más rica, en
promedio y en esa época, una persona incluida en este 20% que otra del
resto de la humanidad?
SOLUCIÓN
La proporción será
%riqueza mundial
%humanidad
%riqueza mundial
%humanidad
=
80%
20%
100% − 80%
100% − 20%
=
80%
20%
20%
80%
=
6400
400
= 16
Es 16 veces más rica

13. En cada cara de un cubo hay escrito un número entero positivo y a cada vértice del cubo
se le asigna la multiplicación de los números de las tres caras que tienen ese vértice en
común.
Si la suma de los 8 números asignados a los vértices es 455, determina la suma de los
números de las caras dando todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
Llamamos , , , , , a los números asignados a las caras del cubo. En la
imagen pueden verse los productos que resultan para cada vértice.
Su suma es = + + + + + + + = 455 ⇒
⇒ = × + + + + × + + + = 455 ⇒
⇒ = + × + + + = 455 ⇒
⇒ = + × × + + × + = 455 ⇒
⇒ = + × + × + = 455 = 5 × 7 × 13
Los números de las caras son enteros positivos luego la suma de dos caras debe ser mayor que la unidad por lo
que, salvo asignaciones simétricas, + = 5, + = 7, + = 13 y + + + + + = 5 + 7 + 13 =
25

14. Los puntos A, B y C están, en ese orden, en línea recta.
La distancia entre A y B es de un metro, la misma distancia de un cuarto punto D
a los puntos B y C.
Si A equidista de C y de D, ¿cuál es la distancia entre B y C?
SOLUCIÓN
Construimos la figura, que se observa a la derecha, y marcamos los elementos
que nos permiten resolver el problema, siendo = ℎ la altura del triángulo
correspondiente al lado
Llamamos = ⇒ = al ser un triángulo isósceles.
Además, = , y como = = + ⇒ = 1 +
Consideramos los triángulos rectángulos y , aplicando en ellos el teorema de Pitágoras:
+ =
+ =
⇒
ℎ +
2
= 1
ℎ + 1 +
2
=
⇒
ℎ = 1 −
2
ℎ = 1 + − 1 +
2
⇒
⇒ 1 + − 1 +
2
= 1 −
2
⇒ 1 + 2 + − 1 − −
4
= 1 −
4
⇒
⇒ + − 1 = 0 ⇒ =
−1 ± 1 − 4 × 1 × −1
2 × 1
=
−1 ± √5
2
En nuestro contexto, como es una distancia, > 0 ⇒ =
√!"#
=
0,618 (= ɸ – 1) metros

15. Un número natural n tiene 90 dígitos todos distintos de 0 y cada uno de ellos aparece 10 veces.
Se forman dos nuevos números a y b: a agregando el dígito 1 al comienzo de n y b agregando el dígito 1 al
final de n y, luego, se calcula el número
Halla la suma de los dígitos de m.
SOLUCIÓN
La suma de los dígitos de es 10 × 1 + 2 + 3 + ⋯ + 8 + 9 = 10 ×
×
= 10 × 45 = 450
Además, = 1 = 10 + y = 1 = 10 + 1
Por lo tanto,
=
−
9
=
10 + 1 − 10 +
9
=
9 − 10 − 1
9
= −
999 … 999
í"#$%&
9
= − 111. . .111
í"#$%&
Como ningún dígito de es nulo, para calcular se le resta una unidad a cada dígito y, como hay 90 en , la
suma de los dígitos de es 450 − 90 =
360

16. Se celebra una carrera de motos campo a través en un recorrido de ida y vuelta de 70 km
cada tramo.
La moto número 1 mantiene una media de 80 km/h durante la ida, pero tiene problemas
con el embrague y sólo consigue 60 km/h en la vuelta.
La moto número 2 sólo consigue poner su moto a 70 km/h, pero mantiene esa velocidad
durante toda la carrera.
¿Qué moto gana la carrera?, ¿cuánto tiempo tarda cada moto en hacer el recorrido?
SOLUCIÓN
Calculamos el tiempo que tarda cada moto según la fórmula tiempo =
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
Moto 1:
tramo 1: t =
70
80
=
7
8
tramo 2:t " =
7
6
$ ⇒ Total moto 1: 7 × )
1
8
+
1
6
+ = 7 ×
7
24
=
49
24
= 2,042 horas
Moto 2:
tramo 1: t" =
70
70
= 1
tramo 2: t " =
70
70
= 1
$ ⇒ Total moto 2: 1 + 1 = 2 horas
$
Por lo tanto
Gana la moto 2 haciendo el recorrido en 2 horas y la moto 1
lo hace en 2,042 = 2 horas 2 minutos 30 segundos

17. Dado el cuadrado ABCD, sea E en el lado BC tal que EC=2×BE. La recta
por A y E corta a la recta que contiene al lado CD en F.
Si área el área del polígono ABEFD es 60, calcula el área del cuadrado
ABCD.
SOLUCIÓN
Sea 3 la longitud del lado del cuadrado, por lo que = ; = 2
Observamos que hay tres triángulos rectángulos semejantes en la figura,
, , , y se puede establecer una relación de semejanza entre
y : = ⇒ =
×
=
×
⇒ = 6 ⇒
⇒ = + = 3 + 6 ⇒ = 9
El área del polígono es la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos y , por lo que
×
+
×
= 60 ⇒
×
+
×
= 60 ⇒ = 60 ⇒ =
!
⇒ = 4
Y, entonces, el área del cuadrado es = #3 $ = 9 = 9 × 4 =
36 unidades cuadradas

18. Halla una terna de números naturales que sea solución de la ecuación
y cuyos valores sean, todos, superiores a 100.
SOLUCIÓN
Sea = + 1 y, entonces, + = + 7 ⇒ + = + 1 + 7 ⇒ + = + 2 + 1 + 7 ⇒
⇒ = 2 + 8 ⇒ 2 = − 8 ⇒ = ⇒ = − 4
Tal y como se ha planteado el problema para valores mayores de 100, es la cantidad más pequeña y debe ser
par para que sea un número natural
Hacemos = 102 ⇒ = − 4 = 5198 ⇒ = + 1 = 5198 + 1 = 5199
Una terna pedida es, pues,
(5198 , 102, 5199)

19. Teresa debe elegir tres números distintos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que
la suma de los tres elegidos sea un número par.
Determina de cuántas maneras puede hacer su elección.
SOLUCIÓN
Para que la suma sea par, la elección puede ser de dos impares y un par o de tres pares.
Hay cuatro cifras pares y cinco impares, por lo que la suma de dos impares y un par se puede hacer de × 4
formas diferentes.
La suma de tres pares puede hacerse de formas diferentes.
Las distintas maneras de elección son, entonces, × 4 + =
!
!× !
× 4 +
!
!× !
= 10 × 4 + 4 =
44

20. Pedro baja hasta la calle por la escalera desde el piso del edificio donde reside.
Habiendo bajado ya 7 escalones su hermano Juan está en la entrada del edificio
disponiéndose, en ese momento, a subir al mismo piso.
Pedro baja con ritmo regular y se cruza con Juan, que sube de la misma manera.
Cuando aún le faltan 4 escalones por bajar, Juan llega al piso.
Si Juan sube dos escalones cuando que Pedro baja uno, ¿cuántos escalones tiene
la escalera desde el piso hasta la planta baja?
SOLUCIÓN
Sea el número de escalones de la escalera.
Mientras Juan está subiendo los escalones, Pedro baja − 7 − 4 = − 11 escalones.
Como Juan sube los escalones de dos en dos, Pedro baja tantos escalones como la mitad de los que sube Juan:
− 11 = ⇒ 2 − 22 = ⇒ =
22 escalones

21. Sea ABC un triángulo rectángulo con ^A=90o
, ^B=60o
y AB=6.
Se considera el punto D tal que el triángulo BCD sea equilátero y sólo comparta con el
triángulo ABC el lado BC.
Si las rectas BD y AC se cortan en E, calcula las medidas de los lados del triángulo CDE.
SOLUCIÓN
Dibujamos la figura que se propone en el enunciado y quedan construidos dos
triángulos rectángulos con medidas idénticas, y , y un triángulo
rectángulo semejante a los anteriores: .
En el triángulo ⇒ tan 60° = ⇒ = × tan 60° ⇒ = 6 × √3 ⇒
⇒ = 2 × = 2 × 6 × √3 ⇒ = 12 × √3
También, cos 60° = ⇒ = °
= ⇒ = 12
Aplicamos la semejanza entre los triángulos y y tenemos
• =
!
⇒ =
"#×√$
×√$
= 2 ⇒ = 12
•
!
=
!
⇒
!
"#
=
"#×√$
×√$
= 2 ⇒ = 24
Resumiendo, las medidas de los lados del triángulo son
CD = 12
CE = 12×√3
DE = 24

22. Halla una solución (a,b,c,d) de la ecuación
en la que todos los valores sean números naturales.
SOLUCIÓN
Tomamos, al haber tres sumandos, = 3 ; = 3 ; = 3 ; = 3 , , , ∈ y tal que = = ,
por lo que
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ + + = 3 × = ⇒ 3 × 3 = 3 ⇒ 3 + 1 = 7
+ + = 3 × = ⇒ 3 × 3 = 3 ⇒ 4 + 1 = 7
+ + = 3 × = ⇒ 3 × 3 = 3 ⇒ 5 + 1 = 7
% ⇒ 3 × 4 × 5 × & + 1 = 7 , con algún & ∈
Entonces, 3 × 4 × 5 × & + 1 = 7 ⇒ 60& + 1 = 7 ⇒ =
)*+,-
= 8& +
+,-
El primer valor satisfactorio es & = 5 ⇒ = 8 × 5 +
× ,-
⇒ = 43
De ahí,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧3 + 1 = 7 × 43 = 301 ⇒ =
**
⇒ = 100
4 + 1 = 7 × 43 = 301 ⇒ =
**
⇒ = 75
5 + 1 = 7 × 43 = 301 ⇒ =
**
⇒ = 60
%
En resumen, una solución de la ecuación es
(3100
, 375
, 360
, 343
)

23. Diremos que un número entero positivo es alternado si sus
dígitos se alternan entre pares e impares.
Por ejemplo, 5838 y 2109 son alternados y 2134 no lo es.
Halla la cantidad de números alternados de 4 dígitos tales que al multiplicarlos por 2 el resultado es también
un número alternado de 4 dígitos.
SOLUCIÓN
Un número alternado de cuatro cifras al multiplicarlo por dos dará como resultado un número par, y si es
alternado será del tipo − − −
Según la definición, nos encontramos dos casos de números alternados de cuatro cifras:
1. donde los dígitos son − − −
Al multiplicarlo por dos, el resultado de los productos por cada cifra siempre será par, por lo que deberá
arrastrar una unidad del producto de las unidades al de las decenas y otra del producto de las centenas
a los miles. De lo anterior se deduce que deberán ser , ≥ 5
El número resultante es del tipo − − − y de cuatro cifras, los productos de
decenas y miles no deben arrastrar ninguna unidad, por lo que , ≤ 4 y, por supuesto, > 0
Observamos entonces que los valores posibles para los dígitos son:
= 2, 4; = 5, 7, 9; = 0, 2, 4; = 5, 7, 9
En total, 2 × 3 × 3 × 3 = 54 números
2. donde los dígitos son − − −
Al multiplicarlo por dos, el resultado de los productos por cada cifra siempre será par, por lo que deberá
arrastrar una unidad del producto de las unidades al de las decenas y otra del producto de las centenas
a los miles. De lo anterior se deduce que deberán ser , ≥ 6
El número resultante es del tipo − − − y de cuatro cifras, los productos de
decenas y miles no deben arrastrar ninguna unidad, por lo que , ≤ 3 y, por supuesto, > 0
Observamos entonces que los valores posibles para los dígitos son:
= 1, 3; = 6,8; = 1, 3; = 6, 8
En total, 2 × 2 × 2 × 2 = 16 números
Definitivamente, de números alternados de cuatro cifras hay 54 + 16 =
70

24. Se lanzan dos dados y, con los números que aparecen, se forma una fracción menor o
igual que uno.
¿Cuál es la probabilidad de que, en la próxima tirada, la fracción sea irreducible?
SOLUCIÓN
La cantidad de fracciones menores o iguales que 1 que pueden formarse son (diferenciando los dos dados) 11
cuyo numerador es 1, 9 cuyo numerador es 2, 7 cuyo numerador es 3, 5 cuyo numerador es 4, 3 cuyo
numerador es 5 y 1 cuyo numerador es 6. En total, 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36 fracciones.
De ellas, son reducibles las fracciones 1 , , , 5 , , 3 , , 3 , 1 y 1 . En total hay, de esas
fracciones, 1 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 = 14, por lo que hay 36 − 14 = 22 fracciones irreducibles.
La probabilidad de que la fracción sea irreducible es =
11/18 = 0,611

25. Determina todos los tríos (a, b, c) de números enteros positivos tales que
donde a, b y c son números primos y a≤2020.
SOLUCIÓN
Se observa que, al ser , , primos ⇒ > 2, luego es impar y, por lo tanto, uno de los dos , debe ser par
⇒ = 2 o = 2
1. = 2 ⇒ = 2 + ⇒ = − 16
Como ≤ 2020 ⇒ = − 16 ≤ 2020 − 16 ⇒ ≤ 2004 ⇒ ≤ √2004 = 12,61 ⇒ < 12
Los valores primos impares menores de 12 son 3, 5, 7, 11, por lo que las soluciones posibles son:
= 3 ⇒ = + 16 = 3 + 16 = 43, primo: Solución = 43; = 2; = 3
= 5 ⇒ = + 16 = 5 + 16 = 141 = 3 × 47, no es primo ###
= 7 ⇒ = + 16 = 7 + 16 = 359, primo: Solución = 359; = 2; = 7
= 11 ⇒ = + 16 = 11 + 16 = 1347 = 3 × 449, no es primo ###
2. = 2 ⇒ = + 2 ⇒ = − 8
Como ≤ 2020 ⇒ = − 8 ≤ 2020 − 8 ⇒ ≤ 2012 ⇒ ≤ √2012 = 6,70 ⇒ < 6
Los valores primos impares menores de 6 son 3, 5, por lo que las soluciones posibles son:
= 3 ⇒ = + 8 = 3 + 8 = 89, primo: Solución = 89; = 3; = 2
= 5 ⇒ = + 8 = 5 + 8 = 633 = 3 × 211, no es primo ###
Las soluciones pedidas son
(43 , 2 , 3)
(359 , 2 , 7)
(89 , 3 , 2)

26. Escribe el siguiente término de la sucesión
SOLUCIÓN
Escribiendo los dígitos de la sucesión en el mismo orden y formando números de dos cifras tendremos
101, 316, 192, 225, 283, … → 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 3? , …
Se observa que los números forman una progresión aritmética de diferencia 3, por lo que continuará con
10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, … → 101, 316, 192, 225, 283, 134, …
El término pedido es
134

27. Sea ABC un triángulo rectángulo tal que ^C=90o
, ^A=30o
y AB=10. Sea D un punto interior del
triángulo ABC tal que ^BDC=90o
y ^ACD=^DBA.
Sea E el punto de intersección de la hipotenusa AB y la recta CD.
Calcula la medida del segmento AE.
SOLUCIÓN
Señalamos los datos y los valores desconocidos en la imagen. Además, = 10 y
= 90° − = 90° − 30° ⇒ = 60°
Sean = = y = , valor pedido.
Como cos = ⇒ = × cos = 10 × cos 60° = 10 × ⇒ = 5
En el cuadrilátero se verifica que 30° + + 360° − 90° + = 360° ⇒
⇒ 2 = 360° − 30° − 270° ⇒ 2 = 60° ⇒ = 30°
En el triángulo el ángulo = 90° − = 90° − 30° ⇒ = 60°, por lo que el
triángulo citado es equilátero ya que también = 60°
Por lo tanto, = = 5 ⇒ = = − = 10 − 5 ⇒ =
5

28. Una estructura piramidal con 14 cubos de 1 m de lado está formada por tres capas,
donde los vértices extremos de cada una se apoyan en el centro de las caras de los
cubos-esquinas de la capa respectiva inferior, según se ve en la imagen adjunta.
Si se desea que se vea completamente de color azul, calcula los metros cuadrados de la
superficie a pintar.
SOLUCIÓN
Tengamos en cuenta que cada cara de los cubos tiene una superficie completa de 1 m2
Calculamos por capas:
1. La capa inferior posee 4 × 3 = 12 caras laterales lo que suponen 12 m2
Además, las cuatro caras superiores de las esquinas están en sus tres cuartas partes a la vista, por lo que
su superficie es de 4 × = 3 m2
Por último, las cuatro restantes caras superiores tienen sus mitades a la vista y su superficie es
4 × = 2 m2
En total, en la capa inferior deben pintarse 12 + 3 + 2 = 17 m2
2. La capa media posee 4 × 2 = 8 caras laterales lo que suponen 8 m2
Además, las cuatro caras superiores de las esquinas están en sus tres cuartas partes a la vista, por lo que
su superficie es de 4 × = 3 m2
En total, en la capa media deben pintarse 8 + 3 = 11 m2
3. La capa superior posee 5 caras a la vista del único cubo que posee, lo que suponen 5 m2
En total, la superficie a pintar es 17 + 11 + 5 =
33 m2

29. Lola multiplicó dos o más números enteros positivos consecutivos y obtuvo como resultado el número
Determina que números multiplicó Lola y da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
El producto de dos cifras consecutivas nunca da un número cuya última cifra sea 4, por lo que Lola no pudo
multiplicar sólo dos números consecutivos.
Hay dos casos en los que el producto de tres números consecutivos acabe en 4: números que acaban en 2, 3, 4 y
números que acaban en 7, 8, 9
Como √470074 = 77, … y √479974 = 78, … estudiamos 77 × 78 × 79 = 474474 … Ok
Casos en los que el producto de cuatro números consecutivos acabe en 4: números que acaban en 1, 2, 3, 4 y
números que acaban en 6, 7, 8, 9
Como √470074 = 26, … y √479974 = 26, … estudiamos 26 × 27 × 28 × 29 = 570024 … ###
No puede haber casos en los que el producto de cinco o más números consecutivos acabe en 4 porque siempre
intervendrán las cifras 5 y/o 0 y el producto siempre acabará en cero.
Lola multiplicó los números
77, 78 y 79

30. En una batalla han participado 4000 personas. De las supervivientes, el 56,5656…%
no fuma y el 56,756756...% no bebe alcohol.
¿Cuántas han muerto?
(Interprétense los porcentajes como decimales periódicos puros)
SOLUCIÓN
Como 56, 56 = = y 56, 756 = = = y el número de supervivientes es un valor
entero, este debe ser múltiplo de 99 y de 37, por lo que será también múltiplo de 99 × 37 = 3663
Dado que en la batalla participaron 4000 personas, el número de supervivientes será, necesariamente, 3663
por lo que habrán muerto 4000 − 3663 =
337 personas

31. Sea ABC un triángulo rectángulo con ^C=90o
, AB=20 y AC=12 y sea M el punto
medio de AB.
La recta perpendicular a AB por M corta al lado BC en N. Calcula el área del
cuadrilátero AMNC.
SOLUCIÓN
Indicamos las longitudes conocidas. Además, = = = 10
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo , = − = 20 − 12 = 256 ⇒ = 16
Se trata de calcular la superficie del cuadrilátero , que es la diferencia
entre los triángulos rectángulos y
Estos triángulos son semejantes porque son rectángulos y tienen un ángulo
común no recto:
Se puede establecer entre ellos la proporción = ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ =
Entonces, Á = Á − Á =
×
−
×
=
×
−
×
= 96 −
"
=
117/2 = 58,5 unidades cuadradas

32. De siete números consecutivos, Manuela suma seis de ellos y obtiene 2021.
¿Cuáles son esos números?
SOLUCIÓN
Buscamos los valores aproximados que pueden ser dividiendo el número entre seis: = 336,83 …
Tomamos entonces 336 + 337 + 338 + 339 + 340 + 341 + 342 = 2373. Restamos 2373 − 2021 = 352,
que no es de la serie de consecutivos.
Cada valor inicial de la serie con una unidad menos supone que la suma tenga siete unidades menos, por lo que
la serie adecuada se debe tomar con un valor inicial de dos unidades menos:
334 + 335 + 336 + 337 + 338 + 339 + 340 = 2359, y 2359 − 2021 = 338
Es decir, Manuela ha tomado la serie anterior y hemos sumado todos los números menos el 338, obteniendo
334 + 335 + 336 + 337 + 339 + 340 = 2021.
La respuesta es
334, 335, 336, 337, 338, 339, 340

33. Se escriben en una fila todos los números enteros desde 1 hasta 30000:
Determina cuántas veces aparece el número 2018 en la sucesión de números escritos, o sea, cuántas veces
aparecen el 2, el 0, el 1 y el 8 en forma consecutiva.
SOLUCIÓN
Analizamos cinco posibilidades de aparición en los números escritos:
1. Número acabado en 2018:
, 1 , 2
Total, 3 casos
2. Número acabado en 201 y continúa otro empezando con 8:
8 − 202
Total: 1 caso
3. Número acabado en 20 y continúa otro empezando con 18:
18 − 21
180 − 021, 181 − 121, 182 − 221, … , 189 − 921
Total: 1 + 10 = 11 casos
4. Número acabado en 2 y continúa otro empezando con 018:
Evidentemente, no hay casos por no ser lógica la escritura del segundo número.
5. Número empezando con 2018:
0, 1, 2, … , 9
Total: 10 casos
Hay, por lo tanto, 3 + 1 + 11 + 0 + 10 =
25 apariciones

34. Calcula el mayor valor entero que puede tomar x para que la siguiente fracción sea un número entero:
SOLUCIÓN
Dividiendo numerador entre denominador obtenemos un cociente − 1 y resto + 3348:
+ 4 + 212 + 3132
+ 5 + 216
= − 1 +
+ 3348
+ 5 + 216
Se observa claramente que la fracción disminuye conforme aumenta en valor absoluto, por lo que
el mayor entero de para que la fracción sea entera será si = 1 ⇒ + 3348 = + 5 + 216 ⇒
⇒ + 4 − 3132 = 0 ⇒ = −2 ± √2 + 3132 = −2 ± √3136 = −2 ± 56 por lo que, en el contexto del
problema, = −2 + 56 =
54

35. Se define una sucesión de números de la siguiente manera:
• el primer término es igual a 2,
• si un término es igual a x el siguiente término es igual a (x-1)/(x+1).
Calcula el término de la posición 2021.
SOLUCIÓN
La sucesión es = 2; = , ∀ ∈
Calculamos términos:
= 2
=
2 − 1
2 + 1
⇒ =
1
3
=
1
3 − 1
1
3
+ 1
=
−2
4
⇒ = −
1
2
=
−
1
2
− 1
−
1
2 + 1
=
−3
1
⇒ = −3
=
−3 − 1
−3 + 1
=
−4
−2
⇒ = 2
y los términos vuelven a repetir valores de tal forma que
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 2
=
1
3
= −
1
2
= −3
, ∀ ∈
Como 2021 = 4 × 505 + 1 = 4 × 506 − 3 ⇒ $ = × $% =
2

36. En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda
desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103,
104, 105 y 106 gramos.
¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa
más?
SOLUCIÓN
La cantidad de combinaciones de tres pesos en los que interviene el peso 106 kg es el número de
combinaciones de los otros cinco pesos tomados de dos en dos: ,
Como 101 + 102 + 103 + 104 + 105 + 106 = 621, la suma de los dos pesos que acompañen al peso de 106
kg en el platillo más pesado cumple, llamándola , que + 106 > ⇒ > − 106 ⇒ > 204,5, y esto
ocurre con cualquier par excepto en 2 casos: eligiendo 101 + 102 = 203 y eligiendo 101 + 103 = 204 como
pesos acompañantes de 106.
Entonces, la probabilidad pedida es = ,
,
= =
!
!× !
!
!× !
=
×
× = = =
0,8 = 80%

37. Sea ABCD un cuadrado de lados AB, BC, CD y DA. Se considera el punto E en el
interior del cuadrado tal que AB=EB y ^DAE=26o
.
Si F es el punto de intersección de AC y BE, calcula las medidas de los ángulos del
triángulo BCF.
SOLUCIÓN
= 90° − = 90° − 26° ⇒ = 64°
Como = , el triángulo es isósceles ⇒ = = 64° ⇒
⇒ = 180° − − = 180° − 64° − 64° ⇒ = 52°
Entonces = = 90° − = 90° − 52° ⇒ = 38°
Además = = 45° ⇒ = 180° − − = 180° − 38° − 45° ⇒
⇒ = 97°
Los ángulos del triángulo son
38o
– 45o
– 97o

38. Carlos tiene juguetes con forma de coches, aviones, tractores y motos
en cantidades idénticas para cada una de las cuatro categorías.
En el día de su cumpleaños invitó a unos amigos a jugar y tras su marcha
comprobó que le faltaban un tercio de sus juguetes.
Comprobó también que le quedan tantas motos como tractores le faltan
y le quedan dos coches de cada tres.
¿Cuántos aviones se llevaron?
SOLUCIÓN
Sean el número de coches, aviones, tractores y notos. En total tiene 4 juguetes.
Llamando al número de tractores que le faltan y al número de aviones que le faltan, le faltan entonces
− = coches, aviones, tractores y − motos y la suma de todas esas cantidades es un tercio del total
de juguetes originales:
3
+ + + − =
4
3
⇒ =
4
3
−
3
− ⇒ = 0
Por lo tanto,
no se llevaron ningún avión

39. Aurora debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive, dados en cualquier
orden y tales que la multiplicación de los tres números sea múltiplo de 4.
Determina de cuántas maneras puede hacer su elección.
SOLUCIÓN
La cantidad de elecciones distintas de tres números del 1 al 20 es ,
De ellos, los que su producto no es múltiplo de 4 son
• conjuntos de tres impares: , , al haber diez impares entre los números dados.
• conjuntos de un par no múltiplo de 4 y dos impares: 5 × , , pues hay cinco pares de esas
características (2, 6, 10, 14, 18)
El número de elecciones cuyo producto es múltiplo de 4 es
= , − , − 5 × , =
20
3
−
10
3
− 5 ×
10
2
=
20 × 19 × 18
3!
−
10 × 9 × 8
3!
− 5 ×
10 × 9
2!
⇒
⇒ = 1140 − 120 − 225 =
795

40. Halla los valores enteros que son solución del sistema
SOLUCIÓN
+ + = 1 ⇒ = 1 ⇒ = + + = 36
+ + = + + + 2 + 2 + 2 = + + + 2 × + +
+ + = 49 + 2 × 36 = 121 ⇒ + + = √121 = 11
Por lo tanto,
+ + = 49
+ + = 36
+ + = 1
" ⇒ #
+ + = 11
+ + = 36
= 36
"
Hacemos ahora × + + = 11 ⇒ + + = 11 ⇒ + = 11 −
+ 11 − = 36 ⇒ = − 11 + 36 × − 11 + 36 = 36 ⇒
⇒ − 11 + 36 − 36 = 0
Resolviendo por Ruffini obtenemos
1 − 11 36 − 36
2 2 − 18 36
− − − − − − − − − − − −
1 − 9 18 // 0
⇒ = 2
Se sigue que − 9 + 18 = 0 ⇒ =
±√) *+
=
±
⇒ ,
= 3
= 6
"
Como las tres incógnitas cumplen idénticas condiciones, los valores hallados se pueden asignar respectivamente
a cada una de las tres incógnitas en el orden que se desee y la solución será la terna
2; 3; 6

41. Ana, Blanca y Clara tienen diferentes cantidades de caramelos que en
total suman 343.
Ana tiene menos que Blanca, Blanca tiene menos que Clara, y estas
cantidades están en progresión geométrica.
Durante la semana, Ana come 5 de sus caramelos, Blanca come 12 de los
suyos y Clara come 47 de los suyos; y resulta que las cantidades actuales
de caramelos están en progresión aritmética.
Determina cuántos caramelos tenían inicialmente cada uno de las tres chicas.
SOLUCIÓN
Al estar en progresión geométrica, sean , , la cantidad respectiva de caramelos que tienen Ana, Blanca y
Clara.
Como la diferencia entre dos términos consecutivos de una progresión aritmética es siempre la diferencia de la
progresión, después de comerse cada una los caramelos que se citan resulta que
− 12 − − 5 = − 47 − − 12 ⇒ − 2 + = 28
Además, según el enunciado, + + = 343 =
!
"
⇒
#
#
=
!
"
⇒
⇒ 343 − 686 + 343 = 28 + 28 + 28 ⇒ 315 − 714 + 315 = 0
÷
105 − 238 + 105 = 0
Resolvemos: =
##'±√##' #*+×#*+
#*+
=
##'±√##' #*+×#*+
#*+
=
##'±√ # -
#*+
=
##'±+-
#*+
⇒ .
=
#/+
#*+
÷ +
=
+
=
-
#*+
÷ #
= +
0
El caso =
+
< 1 queda descartado por hipótesis inicial, al tener Ana tiene menos caramelos que Blanca y
Blanca tiene menos que Clara.
Por tanto, =
+
: − 2 + = 28 ⇒ =
"
#
=
"
#
=
"
2
3
4
#5
=
"
6
7
÷!
=
/
8
7
⇒ = 63
Los caramelos que poseen al principio cada una son: = 63: = 63 ×
+
= 105; = 63 × 2
+
5 = 175
En resumen, inicialmente
Ana posee 63 caramelos
Blanca posee 105 caramelos
Clara posee 175 caramelos

42. Encuentra todos los conjuntos de seis números naturales consecutivos que cumplen que si multiplicamos
dos de ellos y le sumamos el producto de otros dos, obtenemos lo mismo que si multiplicamos los otros
dos restantes.
SOLUCIÓN
Sean los números , + 1, + 2, + 3, + 4, + 5. En ellos hay tres números pares y tres impares.
Si hubiera un producto de dos pares habría otro de par e impar y otro de dos impares, por lo que habría dos
productos de resultado par y uno de resultado impar y esto es imposible.
En conclusión, cada uno de los productos debe ser de un par por un impar.
Por otro lado hay exactamente dos múltiplos de 3, uno par y otro impar. Si fueran en productos separados, ambos
serían múltiplos de 3 y el tercero no. Eso es imposible dada la relación entre los tres productos.
Resumiendo, los múltiplos de 3 deben conformar uno de los productos.
Casos razonables:
1) Los múltiplos de 3 son , + 3
a. × + 3 + + 1 × + 2 = + 4 × + 5 ⇒ 2 + 6 + 2 = + 9 + 20 ⇒
⇒ − 3 − 18 = 0 ⇒ =
±√ ×
=
±√
! = = 6: los números son 6, 7, 8, 9, 10, 11
b. × + 3 + + 1 × + 4 = + 2 × + 5 ⇒ 2 + 8 + 4 = + 7 + 10 ⇒
⇒ + − 6 = 0 ⇒ =
# ±√ ×$
=
# ±√ %
! =
# %
= 2, que no es múltiplo de 3 ###
c. × + 3 + + 1 × + 5 = + 2 × + 4 ⇒ 2 + 9 + 5 = + 6 + 8 ⇒
⇒ + 3 − 3 = 0 ⇒ =
# ±√ ×
=
# ±√
, que no es número natural ###
2) Los múltiplos de 3 son + 1, + 4
a. + 1 × + 4 + × + 2 = + 3 × + 5 ⇒ 2 + 7 + 4 = + 8 + 15 ⇒
⇒ − − 11 = 0 ⇒ =
±√ ×
=
±√ %
, que no es número natural ###
b. + 1 × + 4 + × + 3 = + 2 × + 5 ⇒ 2 + 8 + 4 = + 7 + 10 ⇒
⇒ + − 6 = 0 ⇒ =
# ±√ ×$
=
# ±√ %
! =
# %
= 2: los números son 2, 3, 4, 5, 6, 7
c. + 1 × + 4 + × + 5 = + 2 × + 3 ⇒ 2 + 10 + 4 = + 5 + 6 ⇒
⇒ + 5 − 2 = 0 ⇒ =
#%±√ % ×
=
#%±√
, que no es número natural ###
3) Los múltiplos de 3 son + 2, + 5
a. + 2 × + 5 + × + 1 = + 3 × + 4 ⇒ 2 + 8 + 10 = + 7 + 12 ⇒
⇒ + − 2 = 0 ⇒ =
# ±√ ×
=
# ±√
! =
#
= 1: los números son 1, 2, 3, 4, 5, 6
b. + 2 × + 5 + × + 3 = + 1 × + 4 ⇒ 2 + 10 + 10 = + 5 + 4 ⇒
⇒ + 5 + 6 = 0 ⇒ =
#%±√ %# ×$
=
#%±√
, que no es número natural ###
En los demás casos el producto suma es menor que uno de los sumandos con valores de positivos.
Los conjuntos válidos son
{1, 2, 3, 4, 5, 6}; {2, 3, 4, 5, 6, 7}; {6, 7, 8, 9, 10, 11}

43. El cuadrado grande de la figura está dividido en nueve cuadrados pequeños e
iguales.
El lado del cuadrado grande vale a.
Halla, en función de a, cuánto vale el área verde.
SOLUCIÓN
El área verde es el área de un cuadrado pequeño menos el área del triángulo
rectángulo ′ ′ ′
Observamos que el lado de un cuadrado pequeño mide , por lo que el área de un
cuadrado pequeño vale =
Los triángulos rectángulos ′ ′ ′ y son semejantes y, además, = =
por simetría.
Entonces, = ⇒ = ⇒ =
×
= y el área del triángulo ′ ′ ′ es
×
=
×
=
La superficie verde vale, pues, − =
11a2
/108 unidades cuadradas

44. Si, en la figura, AD=AB+CD, ¿qué valor tiene α?
SOLUCIÓN
Llamamos = y =
Entonces, = + = +
En el triángulo , = 180° − − 2 = 180° − 3 ⇒ = 180° − = 180° − 180° − 3 ⇒
⇒ = 3
Por lo tanto, en el triángulo , = = 3 y se sigue que es isósceles ⇒ = = ⇒
⇒ = + = + = ⇒ el triángulo es isósceles, por lo que = = 4 y
+ + = 180° ⇒ 4 + 4 + 2 = 180° ⇒ 10 = 180° ⇒
α=18o

45. Si calcula
SOLUCIÓN
= √9 + √3 + 1 ⇒ =
√9 + √3 + 1 × √3 − 1
√3 − 1
=
3 + √9 + √3 − √9 − √3 − 1
√3 − 1
=
2
√3 − 1
⇒
⇒
+ 2
=
2
√3 − 1
+ 2
2
√3 − 1
=
⎝
⎜
⎛
2 + 2 × √3 − 2
√3 − 1
2
√3 − 1
⎠
⎟
⎞
=
2 × √3
2
= √3 = 3 = 3 =
81

46. Un motorista hace un viaje de 20 km por una carretera de montaña. Empieza en
el punto A y sube una cuesta hasta el punto B a 15 km/h, después baja hasta C a
60 km/h. Vuelve a subir hasta D a 25 km/h y sigue hasta E a 30 km/h.
Las cuestas AB y CD son de la misma longitud y suman la mitad del total del
recorrido, mientras que la distancia DE es el triple de larga que BC.
Si el motorista arranca en el punto A a las 9:00 h, ¿cuándo llega a E?
SOLUCIÓN
Según el enunciado, llamamos = = e = ⇒ = 3
Además, + = + = = 10 ⇒ 2 = 4 = 10 ⇒ = 5 km e = 2,5 km
Como = ! " # #
, el tiempo que tarda en cada tramo es
• $% =
$%
&'
=
'
&'
=
&
(
horas
• %) =
%)
*
=
,'
*
=
&
+
horas
• ), =
),
'
=
'
'
=
&
'
horas
• ,- =
,-
(
=
.,'
(
=
&
+
horas
El tiempo total es $% + % + ), + ,- =
&
(
+
&
+
+
&
'
+
&
+
=
+ /'/ +/(
&
=
00
&
h =
00
&
× 60 = 49,5 min
Es decir, el motorista llega a a las 9 h + 49,5 min =
9 h 49 min 30 seg

47. Cuatro amigos, Antonio, Bernardo, Carlos y Daniel, son de
distintas alturas. Antonio es más bajo que Bernardo,
Bernardo es más bajo que Carlos y Carlos es más bajo que
Daniel.
Además, la diferencia de altura entre Antonio y Bernardo
es igual a la diferencia de altura entre Bernardo y Carlos e
igual a la diferencia de altura entre Carlos y Daniel.
Se sabe que Carlos mide 184 cm y que el promedio de las
alturas de los cuatro amigos es 178 cm.
Determina las alturas de todos los amigos.
SOLUCIÓN
Llamamos , , , a las alturas respectivas de Antonio, Bernardo, Carlos y Daniel.
Según el enunciado, − = − = − ; = 184; = 178
Entonces,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ − = − ⇒ = 2 − ⇒ = 2 − 184
− = − ⇒ = 2 − ⇒ = 368 −
= 178 ⇒ + + 184 + = 712
, luego 2 − 184 + + 184 + 368 − = 712 ⇒
⇒ 2 = 712 − 368 = 344 ⇒ = = 172
De lo anterior,
= 2 − 184 = 2 × 172 − 184 = 160
= 368 − = 368 − 172 = 196
Las alturas son:
Antonio, 160 cm
Bernardo, 172 cm
Carlos, 184 cm
Daniel, 196 cm

48. ¿Qué porcentaje de la superficie del cuadrado está pintada de rojo?
SOLUCIÓN
Sea la longitud del lado del cuadrado y nombramos todos los vértices que aparecen
en la figura y que pueden ser relevantes para la resolución del problema.
La superficie pintada de rojo será igual a la mitad del sector circular , de radio ,
menos el segmento circular perteneciente al sector circular , de radio :
=
Á
2
− Á
En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras: + =
⇒ + = ⇒ ⇒ =
Entonces, Á = Á ! − Á " á ! =
$%
&
−
%×%
⇒
⇒ Á =
($) *×%
&
=
($) *×
+
&
⇒ Á =
($) *×
,
Por lo tanto,
=
Á
2
− Á =
.
4
2
−
(. − 2* ×
8
=
.
8
−
(. − 2* ×
8
⇒
⇒ =
2
8
=
4
La proporción, respecto al área del cuadrado, es
+
1
=
2
&
, por lo que el porcentaje buscado es
2
&
× 100% =
25%

49. Sea ABC un triángulo isósceles con AB=AC=12 y ^A=30°.Sea D el punto interior al triángulo
ABC tal que BD=CD y ^BDC=150°.
Si la recta BD corta al lado AC en E, calcula el área del triángulo ABE.
SOLUCIÓN
Como el triángulo es isósceles, = =
°
=
° °
= 75°
Por otro lado como = ⇒ el triángulo es isósceles y, por lo tanto,
= =
°
=
° °
= 15°
En conclusión, = − = 75° − 15° ⇒ = 60°
Además, en el triángulo , = 180° − − = 180° − 30° − 60° = 90° ⇒
el triángulo es rectángulo de hipotenusa = 12
Sus catetos son = × cos = 12 × cos30° = 12 ×
√
⇒ = 6 × √3 y
= × sen = 12 × sen30° = 12 × ⇒ = 6
La superficie del triángulo es
&× &
=
'×'×√
=
18×√3 = 31,1769 unidades cuadradas

50. Indica los números de la última fila del esquema según un razonamiento lógico:
SOLUCIÓN
Se puede observar en la caja superior que, dividiendo la primera fila en tres pares de números sucesivos, la
suma de cada par da como resultado un número de dos cifras y cada una de ellas está debajo de cada uno de
los dos números del par:
8 + 5 = 13; 9 + 16 = 25; 8 + 2 = 10
Por lo tanto, como las sumas de los pares correspondientes en la primera fila de la segunda caja son
4 + 7 = 11; 12 + 6 = 18; 14 + 8 = 22
la solución es

51. Siendo
halla el valor de
SOLUCIÓN
+ + = 0
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧⇒ − = + ⇒
−
=
+ +
÷
−
=
+ +
⇒ − = + ⇒
−
=
+ +
÷
−
=
+ +
⇒ − = + ⇒
−
=
+ +
÷
−
=
+ +
⇒
−
+
−
+
−
=
+ +
+
+ +
+
+ +
=
+ +
+ +
=
1

52. Cuando dividimos los números 702, 787 y 855 entre el mismo número entero positivo m, obtenemos el mismo
resto r.
Cuando dividimos los números 412, 722 y 815 entre el entero positivo n, el resto siempre es s.
Si m y n son distintos de la unidad, halla
SOLUCIÓN
Según el enunciado,
702 = × +
787 = × +
855 = × +
⇒
× − = 787 − 702 = 85 = 5 × 17
× − = 855 − 787 = 68 = 2 × 17
⇒ = 17 ⇒
⇒
702 = 17 × 41 + 5
787 = 17 × 46 + 5
855 = 17 × 50 + 5
⇒ = 5
Además,
412 = × +
722 = × +
815 = × +
⇒
× − = 722 − 412 = 310 = 2 × 5 × 31
× − = 815 − 722 = 93 = 3 × 31
⇒ = 31 ⇒
⇒
412 = 31 × 13 + 9
722 = 31 × 23 + 9
815 = 31 × 26 + 9
⇒ = 9
Entonces, + + + = 17 + 31 + 5 + 9 =
62

53. Las filas de un tablero 8×8 están numeradas de 1 a 8 de arriba hacia
abajo y las columnas están numeradas de 1 a 8 de izquierda a derecha.
Tomás colocó en cada casilla una cantidad de fichas igual a la suma del
número correspondiente a su fila más el correspondiente a su columna.
Por ejemplo, en la casilla ubicada en la segunda fila y la tercera columna
colocó 5 fichas.
¿Cuántas fichas colocó Tomás en el tablero?
SOLUCIÓN
La suma total de fichas en la fila será = + 1 + + 2 + ⋯ + + 8 = 8 + 1 + 2 + ⋯ + 8 ⇒
⇒ = 8 +
×
= 8 + 36, usando la fórmula de la suma de términos de una progresión aritmética.
Por lo tanto, la suma total de fichas es = + + ⋯ + = 8 × 1 + 36 + 8 × 2 + 36 + ⋯ + 8 × 8 + 36 ⇒
⇒ = 8 × 1 + 2 + ⋯ + 8 + 8 × 36 = 8 ×
×
+ 8 × 36 = 8 × 36 + 8 × 36 = 16 × 36 =
576 fichas

54. La Lotería Primitiva es un sorteo en el que se extraen 6 bolas de un bombo con 49 bolas
numeradas sucesivamente del 1 al 49.
¿Cuál es la probabilidad de que esas seis bolas salgan con los números ordenados de menor
a mayor?
SOLUCIÓN
Suponiendo que tengamos las seis bolas extraídas, las posibles ordenaciones son la cantidad de permutaciones
de 6 números: = 6!
De ellas solo una es la válida, por lo que la probabilidad es = !
=
1/720 = 0,00138888… ≈ 0,14%

55. En el triángulo isósceles ABC, con AB=AC, sea P el punto de AC tal que BP es
perpendicular a AC, y sea Q el punto de BC tal que PQ es perpendicular a BC.
Si BP=5 y PQ=3, calcula la medida de los lados del triángulo ABC.
SOLUCIÓN
Según el enunciado, en el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras: = − ⇒
⇒ = 5 − 3 = 16 ⇒ = √16 = 4
Por el teorema de la altura, = × ⇒ = = ⇒ =
De todo lo anterior, = + = 4 + ⇒ =
En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras: = − = − 5 ⇒
⇒ = − 25 = ⇒ = =
Observamos que, por ser isósceles el triángulo , = + = ⇒ = − ⇒ = −
En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras: = + = − + 5 ⇒
⇒ = − 2 × × + + 5 = − × + + 25 ⇒ × = ⇒ =
×
×
⇒
⇒ =
×
×
=
÷
"
#
$ =
Los lados pedidos miden
AB = AC = 125/24 ≈ 5,21 unidades
BC = 25/4 = 6,25 unidades

56. Halla la superficie del cuadrilátero rojo de la figura, intersección de dos cuadrados de 2 cm
de lado.
SOLUCIÓN
Evidentemente, la superficie pedida será igual a la superficie del cuadrado menos
la del triángulo rectángulo cuyo cateto mide 2 cm y menos la del triángulo
rectángulo cuyo cateto mide cm.
Por el teorema de Pitágoras, 2 + = 2 + 2 = 8 ⇒ 2 + = √8 = 2 × √2 ⇒
⇒ = 2 × √2 − 2 = 2 × √2 − 1 cm
Entonces, la superficie buscada es
2 × 2 −
2 × 2
2
−
2 × √2 − 1 × 2 × √2 − 1
2
= 4 − 2 − 2 × √2 − 1 =
2 − 2 × 2 + 1 − 2 × √2 = 2 − 6 + 4 × √2 =
4×(√2-1) = 1,65685 cm2

57. Sea A el conjunto de todos los números enteros desde 1 hasta 300 inclusive.
Consideramos todos los tríos que se pueden formar utilizando tres números
distintos de A y, para cada trío, calculamos su suma.
Determina para cuántos de estos tríos la suma es múltiplo de 3.
SOLUCIÓN
De esos 300 números habrá 100 del tipo 3 , 100 del tipo 3 + 1 y 100 del tipo 3 + 2.
Los casos posibles para estos tríos son:
• Tres números del tipo 3 , y habrá , tríos.
• Tres números del tipo 3 + 1, y habrá , tríos.
• Tres números del tipo 3 + 2, y habrá , tríos.
• Un número del tipo 3 , un número del tipo 3 + 1, un número del tipo 3 + 2 y habrá
100 × 100 × 100 tríos.
En resumen, habrá 3 × , + 100 = 3 ×
!
!× !
+ 100 = 3 ×
× ×
×
+ 1000000 =
1485100 tríos

58. Si
halla el valor de
SOLUCIÓN
+ + 3 = 0 ⇒ = − − 3
×
= − − 3
+ + 3 = 0 ⇒ = − − 3
×
= − − 3
⇒
⇒ − − 2 + 2 − 6 − 5 = − − 3 + + 3 − 2 + 2 − 6 − 5 ⇒
⇒ − − 2 + 2 − 6 − 5 = −3 − 3 − 5 = −3 × + 3 + 3 + 4 = −3 × 0 + 4 =
4

59. Sea una circunferencia de radio a tal que un cuadrado tiene sus vértices sobre ella.
Otro cuadrado tiene dos vértices consecutivos sobre la circunferencia y los otros dos
vértices sobre uno de sus diámetros.
Calcula la proporción entre la superficie del cuadrado pequeño y la del cuadrado grande.
SOLUCIÓN
La superficie del cuadrado grande, teniendo en cuenta que su diagonal es la longitud
del diámetro de la circunferencia, es
×
= 2
Por otro lado si la longitud del lado del cuadrado pequeño
es , duplicando el cuadrado como se ve en la figura
izquierda puede observarse que la diagonal del rectángulo
creado es un diámetro de la circunferencia, por lo que se
crea un triángulo rectángulo de catetos y e hipotenusa .
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo, + = ⇒ + = ⇒
⇒ = ⇒ = , que es el valor de la superficie del cuadrado perqueño.
La proporción pedida es =
2/5

60. Si
calcula x+y.
SOLUCIÓN
Calculamos posibilidades:
1. ≥ 0; ≥ 0 ⇒
| | + + = 5
+ | | − = 10
es
+ + = 5
+ − = 10
⇒
2 + = 5
= 10
⇒ 2 × 10 + = 5 ⇒
⇒ = −15 < 0, lo cual se contradice con la hipótesis.
2. ≥ 0; < 0 ⇒
| | + + = 5
+ | | − = 10
es
+ + = 5
− − = 10
⇒
2 + = 5
− 2 = 10
ª × ª
× ª ª 5 = −15
5 = 20
⇒
⇒
= −3
= 4
⇒ + = 4 + −3 = 1
3. < 0; ≥ 0 ⇒
| | + + = 5
+ | | − = 10
es
− + + = 5
+ − = 10
⇒
= 5
= 10 > 0
, lo cual se contradice con la
hipótesis.
4. < 0; < 0 ⇒
| | + + = 5
+ | | − = 10
es
− + + = 5
− − = 10
⇒
= 5 > 0
− 2 = 10
, lo cual se contradice con la
hipótesis.
La única opción válida es la segunda por lo que
x + y = 1

61. Sean p y q dos números primos menores que 100, no necesariamente
distintos.
Sea n el número que resulta de escribir p y a continuación, a su derecha,
escribir q.
Sea k el producto de p por q. Si n-k=208, halla p y q dando todas las
posibilidades.
SOLUCIÓN
= ; = × ; , < 100
Estudiamos las posibilidades.
1. es un número primo de una cifra.
− = − × = 10 + − × = 208 ⇒ × 10 − = 208 − ⇒ =
208 −
10 −
• Si = 2 ⇒ = = no es un valor entero
• Si = 3 ⇒ = = no es un valor entero
• Si = 5 ⇒ = = no es un valor entero
• Si = 7 ⇒ = = = 67, primo *****
2. es un número primo de dos cifras.
− = − × = 100 + − × = 208 ⇒ × 100 − = 208 − ⇒ =
208 −
100 −
Calculamos:
• = = 2 ⇒ 208 − = 200 − 2 ⇒ = −8 no es primo
• = = 3 ⇒ 208 − = 300 − 3 ⇒ 2 = 92 ⇒ = 46 no es primo
• = = 5 ⇒ 208 − = 500 − 5 ⇒ 4 = 292 ⇒ = 73, primo *****
• = = 7 ⇒ 208 − = 700 − 7 ⇒ 6 = 492 ⇒ = 82 no es primo
• = = 11 ⇒ 208 − = 1100 − 11 ⇒ 10 = 892 ⇒ =
#
=
$$
no es primo
• = = 13 ⇒ 208 − = 1300 − 13 ⇒ 12 = 1092 ⇒ = 91 no es primo
• = = 17 ⇒ 208 − = 1700 − 17 ⇒ 16 = 1492 ⇒ =
$#
=
$
no es primo
• = = 19 ⇒ 208 − = 1900 − 19 ⇒ 18 = 1692 ⇒ = 94 no es primo
• = = 23 ⇒ 208 − = 2300 − 23 ⇒ 22 = 2092 ⇒ =
#
=
$
no es primo
• = = 29 ⇒ 208 − = 2900 − 29 ⇒ 28 = 2692 ⇒ =
#
#
= no es primo
• = = 31 ⇒ 208 − = 3100 − 31 ⇒ 30 = 2892 ⇒ =
#
=
$
no es primo
• = = 37 ⇒ 208 − = 3700 − 37 ⇒ 36 = 3492 ⇒ = 97, primo *****
• Y como 97 es el mayor primo menor de 100, ya no hay más valores admisibles.
Los pares, solución del problema, son:
p=5, q=73; p=37, q=97; p=67, q=7

62. Si seis niños se comen seis pasteles en seis minutos, ¿cuántos niños hacen falta para comer cien
pasteles en cincuenta minutos?
SOLUCIÓN
Si 6 niños se comen 6 pasteles en 6 minutos entonces, en cada minuto, 6 niños se comen 1 pastel.
Por eso en 50 minutos 6 niños se comen 50 pasteles, lo que implica que para que se coman el doble de pasteles
en los mismos minutos debe haber el doble de niños:
12 niños
Es claro que puede resolverse también aplicando la regla de tres de manera explícita.

63. Se hace la lista de los números enteros positivos que tienen la suma
de sus dígitos igual a 2021, ordenada de menor a mayor.
Determina qué número ocupa la posición 225 de esta lista.
SOLUCIÓN
El número más pequeño de la lista que se cita es el que tendrá todas las de cifras igual a 9, en su composición,
salvo la primera. Esto será debido a que tendrá la menor cantidad de cifras posibles.
Como 2021 = 224 × 9 + 5, el primer número de la lista es 5 999 … 999
í
Los siguientes de la lista serán, sucesivamente, 6 899 … 999
í
, 6 989 … 999
í
, … … …, 6 999 … 989
í
, 6 999 … 998
í
Si nos fijamos, hay precisamente 224 números en el párrafo anterior, por lo que el que ocupa el lugar 225 de
toda la lista es el último:
…
í

64. Cada una de las 2021 personas que viven en un pueblo son, o bien
mentirosas (mienten siempre) o veraces (siempre dicen la verdad).
Más de 200 de ellas asisten a un banquete, sentadas todas alrededor de
una mesa redonda.
Cada una de ellas dice: “De las dos personas que hay sentadas junto a mí,
una es mentirosa y la otra es veraz”.
¿Cuántas personas veraces, a lo sumo, hay en el pueblo?
SOLUCIÓN
Si suponemos que hay una persona veraz, esta tendrá a ambos lados a una persona veraz y a otra mentirosa:
− −
Entonces, al otro lado de la nueva veraz habrá una mentirosa y al otro lado de la primera mentirosa habrá una
veraz:
− − − −
Con la misma lógica, los extremos de la cadena que estamos construyendo añadirán dos veraces, uno en cada
lado:
− − − − − −
Manteniendo el razonamiento y cerrando el círculo del banquete observamos que habrá dos personas veraces
por cada mentirosa, luego el número mínimo de personas en el banquete será múltiplo de 3: 201 personas, y
contendrá al menor número posible de personas mentirosas si consideramos veraces a todas las que no
asistieron al banquete.
Por lo tanto, el mayor número posible de personas veraces que puede haber en el pueblo es
2021 −
201
3
= 2021 − 67 =
1954

65. Halla el mayor número capicúa de 5 dígitos que es divisible por 101.
SOLUCIÓN
Sea = 10000 + 1000 + 100 + 10 + = 10001 + 1010 + 100 divisible por 101
Entonces, 10001 + 1010 + 100 es divisible por 101 ⇒ 101 × 99 + 2 × + 101 × 10 × + 101 × −
es divisible por 101 ⇒ 101 × 99 + 10 + + 2 − es divisible por 101 ⇒ 2 − = 0 pues y son
dígitos.
Como se está buscando el mayor número que cumple las condiciones debe ser = 4, = 8 y = 9
El capicúa pedido es
49894

66. Encuentra las soluciones de la ecuación
siendo x e y números capicúas de tres cifras.
SOLUCIÓN
Resolvemos la ecuación diofántica: 5 − 7 = 1 ⇒ 5 = 7 + 1 ⇒ = ⇒ = +
= ⇒ 2 = 5 − 1 ⇒ = ⇒ = 2 + ; = ⇒ = 2 + 1
Entonces,
= 2 + = 2 × 2 + 1 + ⇒ = 5 + 2
= + = 5 + 2 +
×
⇒ = 7 + 3
, siendo
Si = ⇒ 5 + 2 = 100 + 10 + ⇒ 5 = 100 + 10 + − 2 ⇒ = 20 + 2 +
"
Como es cifra y ⇒ = 2 o = 7
Casos posibles:
1. = 2 ⇒ = 40 + 2 ⇒ = 7 × 40 + 2 + 3 ⇒ = 283 + 14
Como es cifra, la única por la que se obtiene capicúa es = 5 ⇒ %
= 252
= 283 + 14 × 5 ⇒ = 353
2. = 7 ⇒ = 141 + 2 ⇒ = 7 × 141 + 2 + 3 ⇒ = 990 + 14
Como es cifra y es de tres cifras ⇒ = 0 ⇒ = 990, que no es capicúa.
Por tanto, la única solución del problema es
x = 353; y = 252

67. Decimos que tres números naturales a, b, c forman una familia si se cumplen
las siguientes condiciones:
• a+b+c=900
• existe un natural n≥2 tal a/(n-1)=b/n=c/(n+1) es, también, natural
Halla la cantidad de familias que hay.
SOLUCIÓN
Hacemos = = = ∈ ⇒ = − ; = ; = +
De lo anterior, + + = 900 ⇒ − + + + = 900 ⇒ 3 = 900 ⇒ = = ⇒ ≥ 2 es
divisor de 300
Como 300 = 2 × 3 × 5 , el número de divisores de 300 es 2 + 1! × 1 + 1! × 2 + 1! = 3 × 2 × 3 = 18
Entonces puede tomar 18 − 1 = 17 valores, pues hay que excluir el caso de = 1
Como cada valor de da lugar a una familia, hay
17 familias

68. Determina la cifra de las unidades del número que es resultado de la suma
SOLUCIÓN
Determinemos la última cifra de cada sumando:
1. 2016 – Cualquier potencia, de exponente natural de un número acabado en 6, acaba en 6
2. 2017 – Observamos que 7 = 7 ⇒ acaba en 7; 7 = 49 ⇒ acaba en 9; 7 = 343 ⇒ acaba en 3;
7 = 2401 ⇒ acaba en 1; 7 = 16807 ⇒ acaba en 7; … repitiéndose el proceso cada cuatro potencias
sucesivas.
Se deduce de lo anterior que 7 acaba en
7 si = 4 − 3
9 si = 4 − 2
3 si = 4 − 1
1 si = 4
, ∀ ∈
Como 2018 = 4 × 505 − 2, 2017 acaba en 9
3. 2018 #
– Observamos que 8 = 8 ⇒ acaba en 8; 8 = 64 ⇒ acaba en 4; 8 = 512 ⇒ acaba en 2;
8 = 4096 ⇒ acaba en 6; 8 = 32768 ⇒ acaba en 8; … repitiéndose el proceso cada cuatro potencias
sucesivas.
Se deduce de lo anterior que 8 acaba en
8 si = 4 − 3
4 si = 4 − 2
2 si = 4 − 1
6 si = 4
, ∀ ∈
Como 2019 = 4 × 505 − 1, 2018 #
acaba en 2
4. 2019 – Observamos que 9 = 9 ⇒ acaba en 9; 9 = 81 ⇒ acaba en 1; 9 = 729 ⇒ acaba en 9; …
repitiéndose el proceso cada dos potencias sucesivas.
Se deduce de lo anterior que 9 acaba en $
9 si es impar
1 si es par
, ∀ ∈
Como 2020 es par, 2019 acaba en 1
5. 2020 – Cualquier potencia, de exponente natural de un número acabado en 0, acaba en 0
La suma de las últimas cifras de cada sumando es 6 + 9 + 2 + 1 + 0 = 18, por lo que el resultado de la suma
indicada tiene, por última cifra,
8

69. Un rectángulo está dividido en 9 pequeños rectángulos. En la figura se indican los
valores de las áreas de tres de ellos.
¿Cuál es valor del área del rectángulo azul en la esquina inferior derecha?
SOLUCIÓN
Si llamamos , , , a las longitudes de los rectángulos con el valor de las áreas
dado, la superficie pedida es ×
Como × = 8; x× = 18; × = 12 ⇒ × =
× × ×
×
⇒ × =
×
=
27 unidades cuadradas

70. Demuestra que el número
es un múltiplo de 100 para cualquier número natural n.
SOLUCIÓN
Llamamos = 47 + 53 × 147
Lo hacemos por inducción:
1. Para = 1, = 47 + 53 × 147 = 47 + 53 × 1 = 100 múltiplo de 100
2. Supongamos que, para cierto natural , ∃ ∈ ∋ = 47 + 53 × 147 = 100 , múltiplo de
100, y evaluamos la expresión para + 1:
= 47 + 53 × 147 = 47 + 53 × 147 = 47 + 147 × 53 × 147 =
= 47 + 147 × 47 + 53 × 147 − 47 = 47 + 147 × − 47 =
= 47 + 147 × 100 − 47 = 47 + 147 × 100 − 47 × 147 =
= 147 × 100 + 47 × 47 − 147 = 147 × 100 − 47 × 100 ⇒
⇒ = 100 × 147 − 47 ⇒
En+1 es múltiplo de 100, c.q.d.

71. En 1.999, las edades de dos personas, padre e hijo, cumplían una propiedad un tanto
curiosa: en ese año la edad del padre estaba representada en las dos cifras finales del
año de nacimiento del hijo y la edad del hijo coincidía con las dos cifras finales del año
de nacimiento del padre.
Sabiendo que la diferencia de los años de nacimiento es de 25 años, ¿qué edad cumplió
cada uno?
SOLUCIÓN
Sean , las edades respectivas de padre e hijo en el año 1999
Según el enunciado,
1999 − = 19
1999 − = 19
− = 25
⇒
1900 + 99 − = 1900 +
1900 + 99 − = 1900 +
− = 25
⇒ + = 99
− = 25
ª ª→ ª
ª ª→ ª
ª ª→ ª
ª ª→ ª 2 × = 99 + 25 = 124
2 × = 99 − 25 = 74
⇒ = 62
= 37
En 1999, el padre tenía 62 años y el hijo tenía 37 años

72. Consideramos un cuadrado de lado 8.
Al unir los puntos medios de cada par de lados adyacentes obtenemos un segundo
cuadrado y si continuamos así, uniendo los puntos medios de los lados adyacentes de cada
cuadrado dibujado, obtenemos un nuevo cuadrado.
¿Cuál es el área del sexto cuadrado construido?
SOLUCIÓN
Como el proceso de construcción es idéntico en todos los casos, llamando a la longitud del lado de uno de los
cuadrados observamos que el lado del siguiente cuadrado es el valor de la hipotenusa del triángulo formado por
dicho lado y los dos medios lados adyacentes del cuadrado previo:
2
+
2
= 2 ×
4
=
× √2
2
por el teorema de Pitágoras y la superficie de ese cuadrado es, entonces,
×√
= = , la mitad de la
superficie del cuadrado anterior.
Las áreas de cada cuadrado forman una progresión geométrica de razón = y como por el área del primer
cuadrado es 8 = 64, la superficie del sexto cuadrado es 64 × = 64 × = 64 × =
2 unidades cuadradas
(También puede observarse a simple vista la relación entre las áreas de un cuadrado y su siguiente y deducir
inmediatamente el resultado)

73. En la figura, ABCD y EFGD son cuadrados.
Si conocemos la longitud de BF, que llamamos d, y el área de BCGF, que llamamos S,
calcula el área del cuadrado ABCD en función de esos datos.
SOLUCIÓN
Llamamos al lado del cuadrado e al lado del cuadrado
La superficie del trapecio es × = ⇒ × − = ⇒ − = 2
Vamos a calcular :
En el triángulo rectángulo obtenemos que = + = + = 2 ⇒ = × √2,
aplicando el teorema de Pitágoras. Entonces, = − = × √2 −
es la diagonal del cuadrado . Si aplicamos en dicho cuadrado el teorema de Pitágoras obtenemos que
= + ⇒ × √2 − = + = 2 ⇒ × √2 − = × √2 ⇒ =
×√
√
⇒ = −
√
De todo lo anterior, − = 2 ⇒ − ! −
√
" = 2 ⇒ − + 2 × ×
√
−
#
= 2 ⇒
⇒ √2 × × = 2 +
#
⇒ =
$
×√
×
%& #
⇒ =
$
# ×
%& # #
%
=
'( )* *
+)* unidades cuadradas

74. Si, para cualquier valor de a, se cumple que
determina el valor de n.
SOLUCIÓN
+ 2 × − 2 = + 2 × − 4 ⇒ + 2 × − 2 = + 2 × + 2 × − 2 ⇒
⇒ + 2 × − 2 = + 2 × − 2 , ∀ ∈
Por tanto,
n = 2

75. Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes.
Si tenemos entre los dos 119 años, ¿cuáles son nuestras edades actuales?
SOLUCIÓN
Sea mi edad actual e la tuya.
Cuando yo tenía tu edad actual ( años) fue hace − años, por lo que tú tenías − − = 2 − años.
El enunciado dice, en su primera afirmación, que
De lo anterior, = 2 × 2 − ⇒ = 4 − 2 ⇒ 3 − 4 = 0
Además, según la segunda afirmación, + = 119
Resolvemos el sistema:
+ = 119
3 − 4 = 0
ª→ × ª 3 + 3 = 357
3 − 4 = 0
ª ª
7 = 357 ⇒ = ⇒ = 51
Por tanto, + = 119 ⇒ + 51 = 119 ⇒ = 119 − 51 ⇒ = 68
Yo tengo 68 años y tú tienes 51 años

76. En la pizarra están escritas tres fracciones iguales:
en las que se han usado exactamente una vez cada uno de los dígitos entre 1 y 9.
Se escriben otras tres fracciones iguales, en las mismas condiciones, y luego se reemplazan algunos de los
dígitos por letras
Calcula la suma a + c + 7 + e
SOLUCIÓN
= =
7
15
⇒ 15 × = 7 ×
Y tenemos en cuenta que 1 ≤ , , , , , ≤ 9 son dígitos distintos entre sí.
Estudiamos los valores de , teniendo en cuenta que los dígitos 1, 5, 7 ya están usados:
1. = 2 ⇒ 152 × = 7 × ⇒ 8 × 19 × = 7 × , por lo que 19 divide a 7 ⇒ = 6 pues
76 = 4 × 19
Tenemos entonces que = = = = , y quedan por asignar los dígitos 3, 4, 8, 9 que no pueden
cumplir las condiciones.
2. = 3 ⇒ 153 × = 7 × ⇒ 9 × 17 × = 7 × , por lo que 17 debería dividir a 7 , y esto es
imposible porque 17 × 4 = 68 y 17 × 5 = 85.
3. = 4 ⇒ 154 × = 7 × ⇒ 2 × 7 × 11 × = 7 × , por lo que 11 divide a 7 ⇒ = 7 pues
77 = 7 × 11, y esto es imposible porque el dígito ya está asignado.
4. = 6 ⇒ 156 × = 7 × ⇒ 3 × 4 × 13 × = 7 × , por lo que 13 divide a 7 ⇒ = 8 pues
78 = 6 × 13
Tenemos entonces que = = = = , y quedan por asignar los dígitos 2, 3, 4, 9 que no pueden
cumplir las condiciones.
5. = 8 ⇒ 158 × = 7 × ⇒ 2 × 79 × = 7 × , por lo que 79 divide a 7 ⇒ = 9 pues
79 = 1 × 79
Tenemos entonces que =
!
= = = , y quedan por asignar los dígitos 2, 3, 4, 6 que cumplen
las condiciones si = 2, = 3, = 4, = 6: =
!
= =
"
=
#
6. = 9 ⇒ 159 × = 7 × ⇒ 3 × 53 × = 7 × , por lo que 53 debe dividir a 7 y eso es imposible.

77. En conclusión, la única opción válida es la número 5, en la que = 2, = 4, = 3, = 6, = 9, = 8, por lo
que + + 7 + = 2 + 3 + 7 + 9 =
21
Permutando los valores de & , otra posible solución válida, se obtiene el mismo resultado.

78. Obtén el múltiplo más pequeño de 23 tal que su número siguiente es múltiplo de 29 y,
ambos, están formados exclusivamente por las cifras 1 y 2.
SOLUCIÓN
Sean y + 1 tales que = 23 y + 1 = 29
Evidentemente, + 1 − = 29 − 23 ⇒ 23 = 29 − 1 ⇒ = = +
Hacemos = ⇒ 23 = 6 − 1 ⇒ 6 = 23 + 1 ⇒ = , siendo , , valores naturales.
Entonces, = 23 = 23 × = 29 − 1 ⇒ = 29 × − 1
Casos posibles:
a) = 1 ⇒ = 29 × − 1 = 115
b) = 7 ⇒ = 29 ×
×
− 1 = 782
c) = 13 ⇒ = 29 ×
×
− 1 = 1449
d) …
que forman una progresión aritmética de diferencia 782 − 115 = 667:
a) = 115
b) = 115 + 667 = 782
c) = 115 + 2 × 667 = 1449
d) …
e) = 115 + !" − 1# × 667
Los términos sucesivos acaban en 5, 2, 9, 6, 3, 0, 7, 4, 1, 8, 5, …, por lo que los términos que acaban en 1 o 2 son
& y & ) respectivamente.
De ahí,
1. Para " = 1 ⇒ *
= 115 + 667 = 782
= 115 + 8 × 667 = 545
+
2. Para " = 2 ⇒ *
= 115 + 11 × 667 = 7452
= 115 + 18 × 667 = 12121 y el número siguiente es 12122
+
Por lo tanto, el número pedido es
12121

79. Halla x en la expresión
SOLUCIÓN
Haciendo = 7! ⇒ ! =
! !
!
=
!
=
× × ×…× × ×
⇒ ! = 1 × 2 × 3 × … × − 2 × − 1 ⇒
⇒ ! = − 1 ! ⇒ = − 1 ⇒
x = 7! – 1 = 5039

80. Indica el siguiente término de la serie
SOLUCIÓN
Observando la secuencia se aprecia que cada término está construido concatenando su número de orden y el
número correspondiente a ese puesto en la lista ordenada de los números primos:
1 ∪ primo 1º: 2 → 12
2 ∪ primo 2º: 3 → 23
3 ∪ primo 3º: 5 → 35
4 ∪ primo 4º:7 → 47
5 ∪ primo 5º: 11 → 511
6 ∪ primo 6º: 13 → 613
7 ∪ primo 7º: 17 → 717
y el siguiente es
8 ∪ primo 8º: 19 →
819

81. En el triángulo ABC el punto D del lado BC es tal que AB=AD. Además, BÂD=40o
y E es
el punto del segmento AD tal que EĈD=25o
.
Calcula la medida del ángulo AÊC.
SOLUCIÓN
Cono = ⇒ es un triángulo isósceles ⇒ = =
°
==
° º
⇒ = 70°
Entonces, = 180° − = 180° − 70° ⇒ = 110°
Por tanto, en el triángulo , = 180° − − = 180° − 110° − 25° ⇒ = 45°
De lo anterior, = 180° − = 180° − 45° =
135o

82. Un número de tres cifras, todas diferentes de cero, es un cuadrado
perfecto.
Si escribimos el número con las cifras en orden inverso obtenemos un
número menor que el inicial.
Si los restamos, obtenemos un número múltiplo de 8.
¿Cuál es el número de tres cifras que teníamos al principio?
SOLUCIÓN
Sea el número , con , , ≠ 0 y >
Según el enunciado, − = 8 ⇒ 100 + 10 + − 100 + 10 + = 8 ⇒ 99 − 99 = 8
Es decir, 99 × − = 8
Como 99 es primo con 8 y > , ambos dígitos no nulos ⇒ − = 8 ⇒ = 9, = 1
El número que buscamos es 9 1, cuadrado perfecto. El único de estas características es 31 =
961

83. Sabiendo que
halla el valor de
SOLUCIÓN
4 + 2 = 56 ⇒ 2 + 2 = 56 ⇒ 2 ×
+ 2 = 56 ⇒ 2 + 2 = 56
Si = 2 > 0; 2 + 2 = 56 ⇒ + = 56 ⇒ + − 56 = 0 ⇒ =
± ×
=
±√
⇒ =
!
⇒ = 7 ⇒ 2 = 7
Por lo tanto, 2
#
= 2$
=
128

84. Al pagar un cheque, el cajero invirtió los valores de euros y céntimos.
Ya fuera del banco, a la persona que había cobrado el cheque se le cayó por
una rejilla una moneda de cinco céntimos perdiéndola.
Al contar el dinero que le quedaba se dio cuenta que tenía una cantidad dos
veces superior a la que indicaba el cheque.
¿Cuál era el valor del cheque?
SOLUCIÓN
Sea el número de euros e el número de céntimos que señalaba el cheque.
Debería haber cobrado 100 + céntimos de euro en total, pero cobró 100 + céntimos.
Al perder los cinco céntimos y contar el dinero, observó que 100 + − 5 = 2 × 100 + ⇒
⇒ 100 + − 5 = 200 + 2 ⇒ 98 = 199 + 5 ⇒ = ⇒ = 2 + ∈
Hacemos = ∈ ⇒ 3 = 98 − 5 ⇒ = ⇒ = 32 − 1 + ∈
Estudiamos casos posibles:
• = 1 ⇒ = 32 × 1 − 1 +
×
= 31 ⇒ = 2 × 31 +
×
= 63
• = 4 ⇒ = 32 × 4 − 1 +
×!
= 129 ⇒ = 2 × 129 +
×
= 262, lo cual es absurdo escribirlo
en cheque, ya que cada 100 céntimos debe indicarse como un euro.
• Para valores superiores de el problema sería el mismo que en el caso anterior.
Resumiendo, la única solución factible es la primera y el valor del cheque era de
31 euros y 63 céntimos

85. Halla un número entero positivo N tal que la suma de N más su mayor divisor propio sea igual
a 933.
SOLUCIÓN
Sea el mayor divisor propio de ⇒ ∃ ∈ ∋ > 1 y =
Entonces, + = + = + 1 × = 933 = 3 × 311 ⇒
= 311
+ 1 = 3 ⇒ = 2
⇒ = 2 × 311 ⇒
N = 622

86. Una sucesión an se define de la siguiente manera: a1=6, a2=9 y an+1=an/an-1 para valores de
n mayores que 1.
Encuentra el valor de la suma de los términos a2020+a2021
SOLUCIÓN
Calculando términos sucesivos obtenemos,
= 6, = 9, = , = = , = = , = =
= = 6, = = 9, = , … … …
Podemos observar que la sucesión es cíclica, de manera que
= 6, = 9, = , = , = , = , ∀ ∈
Como 2020 = 6 × 336 + 4 = 6 × 337 − 2 y 2021 = 6 × 336 + 5 = 6 × 337 − 1 ⇒
⇒ + = × + × = + =
5/18

87. Sea el trapecio isósceles ABCD tal que sus tres lados distintos están en progresión
geométrica creciente y ^D=60o
.
Halla la razón de dicha progresión.
SOLUCIÓN
Llamamos = , = = , = , siendo > 1 la razón de la
progresión y el primer término.
Trazando la altura, por , al trapecio obtenemos el triángulo rectángulo tal
que cos60º =
Observamos que = = =
×
Entonces, cos 60º = ⇒
!× " #$
= ⇒ = 1 ⇒ − 1 = ⇒ − − 1 = 0 ⇒ =
±√ ()× ×
×
*
+
,
-
⇒ =
(√.
=
ɸ = 1,618033988749…, número de oro

88. Zipi es una niño muy cuidadoso al que le gusta tener todo ordenado. Puede
ordenar el cuarto de juegos en dos horas.
Zape, en cambio, es un niño muy despreocupado que deja todo desordenado.
Puede desordenar el cuarto de juegos en tres horas.
Un día coincidieron en el cuarto de juegos que estaba totalmente desordenado y
mientras Zipi se puso a ordenar, Zape se dedicó a deshacer el orden.
¿Cuánto tiempo tardó Zipi en ordenar todo el cuarto de juegos en aquella extraña
ocasión?
SOLUCIÓN
Si Zipi tarda 2 horas en ordenar el cuarto y Zape 3 horas en desordenarlo, al cabo de dos horas de empezar cada
uno su labor, Zape había desordenado 2/3 del cuarto.
Por tanto, cada 2 horas quedaba ordenado 1/3 del cuarto y Zipi tardó en dejarlo todo ordenado (1 = 3/3 = 3×1/3
ordenado)
3×2 = 6 horas

89. Dado un triángulo isósceles ABC con AB=AC, se consideran el punto D en el lado AC y el
punto E en el segmento BD.
Se sabe que AD=BD y BE=CE=CD.
Calcula la medida del ángulo BÂC.
SOLUCIÓN
Tengamos en cuenta que = y que = =
Llamamos = y =
Por las medidas definidas, el triángulo es isósceles y, de ahí, se sigue que
= = ⇒ = es la medida buscada.
En el triángulo isósceles , + + = + 2 × = 180° ⇒
⇒ + 2 × + = 180° ⇒ 3 + 2 = 180°
Por otro lado,
• en el triángulo isósceles , = 180° − − = 180° − 2 × ⇒ = 180° − 2
Entonces, = 180° − = 2
• en el triángulo isósceles , = 180° − − = 180° − 2 × ⇒ = 180° − 2
Entonces, = 180° − = 2
Como el triángulo es isósceles, = ⇒ 2 = 2 ⇒ =
Por lo tanto, 3 + 2 = 180° 5 = 180° ⇒ =
!°
"
=
36o

90. x e y son dos números naturales tales que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones
siguientes:
(x + y)(x² – y²) = 4
(x – y)(x² + y²) = 25/8
Calcula el valor de x/y
SOLUCIÓN
+ × − = 4
− × + =
25
8
×
+ × − = 4
− × + =
25
8
ª
ª
⇒
⇒
+ × −
− × +
=
4
25 8
⁄
⇒
+
+
=
4 × 8
25
⇒
+ + 2
+
=
32
25
⇒
⇒ 1 +
2
+
=
32
25
!
2
+
+ 1 −
32
25
= 0 ⇒
2
# $ + 1
−
7
25
= 0
Haciendo = & > 1 ya que > > 0, tenemos
(
(
−
)
*
= 0 ⇒ 7& − 50& + 7 = 0
Entonces, & =
*±√ * )×)
)
=
*±√*)-
)
=
*± .
)
= /
7 > 1
)
< 1 , por lo que =
7

91. La figura adjunta se compone de un rectángulo que contiene, en su interior,
un círculo amarillo tangente a tres de sus lados.
Su cuarto lado es el cateto de un triángulo rectángulo azul que tiene su
segundo cateto sobre otro lado del rectángulo y la hipotenusa tangente al
círculo.
Halla la longitud del segmento HJ que une dos puntos de tangencia.
SOLUCIÓN
En el triángulo rectángulo , = + = 8 + 6 = 100 ⇒ = 10
Observamos que = y = = ⇒ + = − ⇒ 6 + = 10 − ⇒ 2 × = 4 ⇒
⇒ = 2 y = = + = 6 + 2 ⇒ = = 8
Aplicamos el teorema del coseno en el triángulo isósceles : = + − 2 × × × cos
Ahora bien, usando el triángulo rectángulo , cos = cos 90° − = sen = =
!
"#
=
$
%
Resumiendo, = + − 2 × × × cos ⇒ = 8 + 8 − 2 × 8 × 8 ×
$
%
= 128 −
$&'
%
⇒
⇒ =
%!
%
⇒ = (
%!
%
=
"!
√%
=
16×√5/5 = 7,1554 unidades lineales

92. Una persona decidió regalar 2156 libros, repartidos equitativamente, entre sus
vecinos.
Sabiendo que eran más de 78 vecinos y menos de 100, ¿cuántos vecinos había y a
cuántos libros tocaron en el reparto?
SOLUCIÓN
Como = 27,29 … y = 21,77 …, la cantidad de libros repartidos a cada vecino está comprendida entre
22 y 27: 22 ≤ ≤ 27
Como el número de vecinos y el de libros son, ambos, cantidades enteras, serán también números divisores de
2156
2156 = 2 × 7 × 11 y el único divisor admisible entre los valores posibles de es 2 × 11 = 22, por lo que
esta cantidad es el número de libros y el de vecinos es = 98.
Había 98 vecinos y obtuvo, cada uno, 22 libros

93. ¿Cuántas soluciones (x,y) tiene la ecuación
con x,y números naturales?
SOLUCIÓN
3 + 5 = 2020 ⇒ 5 = 2020 − 3 ⇒ =
2020 − 3
5
⇒ = 404 −
3
5
Como 3 y 5 son primos entre sí, los valores naturales de que hacen a natural deben ser múltiplos de 5 y
tales que < 404 ⇒ 3 < 404 × 5 ⇒ <
×
⇒ < 673,33 ≤ 670
Como = 134, hay 134 valores naturales de a los que corresponde otro valor natural de != 404 − "
que verifican la ecuación dada:
#5 , 401$, #10 , 398$, #15 , 395$, … … … , #665 , 5$, #670 , 2$
Hay
134 soluciones

94. Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la
igualdad siguiente:
SOLUCIÓN
Sea + + = 2 +
Si = 0, = 0 ⇒ 0 + 0 + 0 = 2 × 0 + 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ 0 = 0 = 0
Si = 0, = 0 ⇒ 0 + 0 + 0 = 2 × 0 + 0 ⇒ ⇒ 0 = 2 × 0
De ambos resultados, 2 × 0 = 0 ⇒ 0 = 0
Según la expresión original, si = 0 ⇒ 0 + 0 + = 2 × 0 + = , ∀ ∈
En la misma expresión, si = 0 ⇒ + + 0 = 2 + 0 ⇒ + = 2 , ∀ ∈ ⇒
⇒ + = 2 , ∀ ∈
,∀ ∈
+ = 2 , ∀ ∈ ⇒
f(x) = x, para todo x real

95. Halla
en función de x.
SOLUCIÓN
En el triángulo , sen 2 = ⇒ =
En el triángulo , por el teorema de los senos, = ⇒ = =
°
⇒ =
! "
Por lo tanto, =
! "
⇒ # =
× ! "
=
× × ! × ! "
⇒ # = 2 × cos 3 × cosα ⇒
! )* ! + × !
,-.
/
× !
,0.
/
1222222222222222222222223 # = cos4 + cos 2α
! )+ × ! / )
122222222222223 # = 2 × cos 2 − 1 + cos2α
Hacemos 8 = cos 2α ⇒ x = 2t − 1 + t ⇒ 2t + t − 1 − # = 0 ⇒ 8 =
±= *>× × *
>
⇒ 8 =
±√ *@
>
Es decir,
ABC DE =
−F ± √G + HI
J

96. Un equipo de baloncesto sabe que tiene que ganar al menos el 60% de sus partidos si
quiere clasificarse para una segunda fase.
Después de jugar 8 partidos, de los que ganó solamente el 50%, ¿qué porcentaje tiene que
ganar, como mínimo, de los 12 que le quedan si quiere clasificarse?
SOLUCIÓN
El total de partidos a jugar son 8 + 12 = 20
Llamando % al porcentaje pedido debe cumplirse que 8 × 50 + 12 × = 20 × 60 ⇒ 400 + 12 = 1200 ⇒
12 = 1200 − 400 = 800 ⇒ = = 66,67
Para pasar a la segunda fase necesita ganar, de los 12 últimos partidos, el
66,67%

97. El área del rectángulo ABCD es de 24 cm2
. Si las áreas de los rectángulos ABE y ADF
son, respectivamente, de 4 cm2
y 9 cm2
, calcula el área del triángulo AEF.
SOLUCIÓN
Según el enunciado,
× = 24
×
2
= 9
⇒
× = 24
× = 18
ª ª
⁄
=
18
24
=
3
4
⇒ =
3
4
=
1
4
× = 24
×
2
= 4
⇒
× = 24
× = 8
ª ª
⁄
=
8
24
=
1
3
⇒ =
1
3
=
2
3
Entonces, el área del triángulo es × × = × !
× "
= × × = × 24 = 2 cm2
El área pedida es
Á$%&' = Á$%&' − Á$%&' − Á$%&' − Á$%& = 24 − 4 − 9 − 2 =
9 cm2

98. Cuatro amigos de edades diferentes tienen 322 monedas en total.
Cada uno de ellos (excepto el menor) tiene 55 monedas más que la mitad
de las monedas que tienen, en conjunto, todos los amigos más jóvenes
que él.
Determina la cantidad de monedas que tiene el menor de los amigos.
SOLUCIÓN
Sean , , , la cantidad de monedas que posee cada uno de los amigos, ordenados de menor a mayor edad.
Según el enunciado,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+ + + = 322
= 55 +
= 55 +
= 55 +
⇒
+ + = 322 −
2 = 110 +
2 = 110 + +
2 = 110 + + +
Entonces, usando la primera ecuación en la última: 2 = 110 + + + ! 2 = 110 + 322 − ⇒
⇒ 3 = 432 ⇒ =
#
= 144 monedas
Sustituyendo en la última, 2 = 110 + + +
$##
! 2 × 144 = 110 + + + ⇒ + = 178 −
Con la tercera, 2 = 110 + +
$()
! 2 = 110 + 178 − ⇒ 3 = 288 ⇒ =
))
= 96 monedas
Sustituyendo, 2 = 110 + +
,-
! 2 × 96 = 110 + + ⇒ = 82 −
Con la segunda, 2 = 110 +
)
! 2 = 110 + 82 − ⇒ 3 = 192 ⇒ =
$,
= 64 monedas
Sustituyendo, 2 = 110 +
-#
! 2 × 64 = 110 + ⇒ = 2 × 64 − 110 =
18 monedas

99. Determina los números reales x>1 tales que existe un triángulo cuyos lados miden
SOLUCIÓN
Llamamos a los lados
: + + 2 + + 1
: 2 + + 2 + 1
: − 1
Para que exista triángulo debe cumplirse que la suma de dos cualesquiera de sus lados debe ser mayor que el
tercer lado.
Vamos a localizar el lado de mayor longitud: evidentemente, + + 2 + + 1 > − 1, ∀ > 1 >
Por otro lado,
− = + + 2 + + 1 − 2 + + 2 + 1 = + + + + + 1 − 2 + 2 + + 1 ⇒
⇒ − = × + + 1 + + + 1 − 2 × + 1 + + 1 ⇒
⇒ − = + 1 × + + 1 − + 1 × 2 + 1 = + 1 × + + 1 − 2 − 1 ⇒
⇒ − = + 1 × − ⇒ − > 0 si > 1 >
En conclusión, es el lado de mayor longitud.
Por tanto, para que exista triángulo deberá verificarse que + > ⇔ + − > 0
Calculamos: + − = 2 + + 2 + 1 + − 1 − + + 2 + + 1 =
= + 1 × 2 + 1 + + 1 × − 1 − + 1 × + + 1 =
= + 1 × 2 + 1 + − 1 − + + 1 ! = + 1 × 2 + 1 + − 1 − − − 1 ⇒
⇒ + − = + 1 × − 1 ⇒ + − > 0 si > 1 ⇒ + > si > 1
En resumen,
Los lados citados forman siempre triángulo, ꓯx>1

100. Dada la figura ABCD con las medidas indicadas, calcula su superficie.
SOLUCIÓN
Señalamos algunas longitudes y puntos
interesantes.
Según los triángulos y , los ángulos
= 180° − 145° − 20º = 15° y
= 180° − 110° − 55º = 15° son
iguales por lo que los lados y son
paralelos y la figura es un trapecio.
Trazamos, por , la perpendicular al lado que lo corta en y llamamos ℎ = , altura del trapecio.
Sean = , = y =
La superficie del trapecio, que buscamos, es = × ℎ
Aplicamos ahora el teorema de los senos:
En el triángulo , °
= !"#°
y, en el triángulo , !! °
= ##°
⇒ =
× !! °
##°
De lo anterior,
°
=
× !! °
!"#°× ##°
⇒ =
× !! °× °
!"#°× ##°
=
× %& ° °'× °
%& ° ##°'× ##°
=
×() °× °
() ##°× ##°
⇒
*+ × *×() *
,----------------. =
× " °
!! °
En el triángulo rectángulo , ℎ = × sen 35° y, en el triángulo ,
3
!#°
= !"#°
⇒ =
!#°
!"#°
×
Entonces, ℎ = × sen 35° =
!#°
!"#°
× × sen 35° =
!#°
!"#°
×
× !! °
##°
× sen 35° ⇒
⇒ ℎ =
!#°
!"#°
×
× !! °
##°
× sen 35° ⇒ ℎ =
× !! °× !#°× 4#°
##°× !"#°
=
× × ##°×() ##°× !#°× 4#°
##°× %& ° ##°'
⇒
⇒ ℎ = 4 × sen 15° × sen 35°, pues cos 55° = sen %90° + 55°'
La superficie pedida es, entonces,
=
2 +
2
× ℎ =
2 +
2 × sen 40°
sen 110°
2
× 4 × sen 15° × sen 35° =
sen 110° + sen 40°
sen 110°
× 4 × sen 15° × sen 35° ⇒
* 9+ ×
* 9
×()
*:9
,-------------------------. = 4 ×
2 × sen 75° × cos 35°
sen 110°
× sen 15° × sen 35° ⇒
*+ %!< °:*'
,--------------. =
8 × sen 75° × sen 15° × sen 35° × cos 35°
sen %180° − 110°'
⇒
⇒ = 2 ×
2 × sen 75° × sen %90° − 75°' × 2 × sen 35° × cos 35°
sen 70°
⇒
%& °:*'+() *
,------------. =
2 × sen 150° × sen 70°
sen 70°
= 2 × sen 30° = 2 ×
1
2
=
1 unidad cuadrada

101. Un albañil necesita 10000 ladrillos para cierto trabajo.
Por su experiencia sabe que no más del 8% de los que le traigan se le van a
romper.
Si los ladrillos vienen en cajas de 100, ¿cuál es el mínimo número de cajas que
debe pedir para estar seguro de acabar el trabajo?
SOLUCIÓN
Sea el mínimo número de cajas de 100 ladrillos que necesitará para estar seguro de que el trabajo resulta
satisfactorio.
De cada una de las cajas, como mínimo, usará 100 − 8% × 100 = 100 −
×
= 100 − 8 = 92 ladrillos
válidos.
De lo anterior, para estar seguro de que tiene al menos 10000 ladrillos válidos deberá cumplirse que
92 > 10000 ⇒ > = 108,69565 … y necesitará
109 cajas

102. Calcula la medida de la superficie amarilla.
SOLUCIÓN
Si llamamos a la diagonal de los cuadrados y al centro del semicírculo,
trazando los segmentos que se ven determinamos un triángulo rectángulo
de catetos y e hipotenusa igual a 5
Aplicando el teorema de Pitágoras,
+
2
= 5 ⇒ +
4
= 5 ⇒ 5 = 4 × 5
÷
= 20
La superficie amarilla es la que abarcan los dos cuadrados iguales: 2 × = =
20 unidades cuadradas