1. Pitágoras y las Matemáticas.
Nació cerca de 569 AC en Samos, Jonia, y murió cerca de 475 AC.
Pitágoras de Samos es descrito frecuentemente como el primer matemático puro.
Es una figura extremadamente importante en el desarrollo de las matemáticas, aunque es
relativamente poco lo que se conoce de sus logros matemáticos. La sociedad que dirigió,
semirreligiosa y semicientífica, seguía un código secreto, que ciertamente aún hoy hace de
Pitágoras una figura misteriosa.
Tenemos detalles de la vida de Pitágoras gracias a biografías antiguas que hicieron uso de
fuentes originales escritas por autores que le atribuyen poderes divinos, y cuyo propósito
era presentarlo como una divinidad. Lo que aquí se presenta es un intento de recolectar las
fuentes más confiables para reconstruir un relato de la vida de Pitágoras. Hay un acuerdo
bastante bueno acerca de los principales sucesos en su vida, aunque la mayor parte de las
fechas las disputan distintos estudiosos que dan fechas con diferencias de 20 años. Algunos
historiadores tratan toda esta información como meras leyendas, pero incluso si el lector así
las trata, al tratarse de registros tan antiguos, tienen un valor histórico.
Según Porfirio, el padre de Pitágoras fue Mnesarco, mientras que según Jámblico, su madre
fue Pythais nativa de Samos. Mnesarco era un mercader que vino de Tiro, Fenicia, y hay
una historia que cuenta Porfirio acerca de que Mnesarco trajo granos a Samos cuando se
había presentado una hambruna, y que con ese motivo se le reconoció otorgándole la
ciudadanía de Samos. Cuando niño, Pitágoras pasó sus años tempranos en Samos, pero
después viajó mucho con su padre. Hay relatos que cuentan que Mnesarco regresó a Tiro
con Pitágoras y que ahí recibió instrucción de los caldeos y los sabios de Siria. Parece que

2. también visitó Italia con su padre.
Se sabe poco de la infancia de Pitágoras. Todos los relatos acerca de su aspecto físico
parecen ser ficticios salvo por la descripción de un asombroso nevo materno (lunar) que
tenía Pitágoras en el muslo. Es probable que haya tenido dos hermanos, aunque algunas
fuentes dicen que tuvo tres. Ciertamente recibió una muy buena instrucción, aprendiendo a
tocar la lira, a hacer poesía y a recitar a Homero. Entre sus maestros estaban tres filósofos
que influyeron en Pitágoras durante su juventud. Uno de los más importantes fue
Feréquides, a quien muchos describen como el maestro de Pitágoras.
Los otros dos filósofos que influyeron en él y lo introdujeron al pensamiento matemático
fueron Tales y su discípulo Anaximandro, quienes vivieron en Mileto. Jámblico dice que
Pitágoras visitó a Tales en Mileto, cuando tenía entre 18 y 20 años de edad. Para entonces
Tales ya era un anciano, y aunque aún causó una fuerte impresión en Pitágoras,
probablemente ya no le enseñó mucho. Sin embargo, contribuyó al interés de Pitágoras en
las matemáticas y la astronomía, y le aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estas
disciplinas. El discípulo de Tales, Anaximandro, enseñaba en Mileto y Pitágoras asistía a
sus cursos. Anaximandro estaba ciertamente interesado en la geometría y la cosmología, y
muchas de sus ideas tuvieron influencia en los conceptos de Pitágoras.
Alrededor de 535 AC, Pitágoras fue a Egipto. Esto ocurrió unos cuantos años después de
que el tirano Polícrates se apoderara del control de la ciudad de Samos. Hay cierta
evidencia para pensar que Pitágoras y Polícrates tuvieron una amistad al principio y se
afirma que Pitágoras fue a Egipto llevando una carta de presentación de Polícrates. En
efecto, Polícrates tenía una alianza con Egipto, por lo que había fuertes vínculos entre
Samos y Egipto en esa época. Los relatos acerca de la estancia de Pitágoras en Egipto
sugieren que visitó muchos de los templos y tomó parte en muchas discusiones con los
sacerdotes. Según Porfirio filósofo neoplatónico nacido en Tiro, Pitágoras fue rechazado al
intentar visitar los templos egipcios, con la excepción del de Dióspolis, donde sí fue
aceptado para el sacerdocio después de completar los ritos necesarios para la admisión.
No es difícil relatar muchas de las creencias de Pitágoras, las que él impondría después en
la sociedad que estableció en Italia a partir de las costumbres que aprendió en Egipto. Por
ejemplo, la actitud secreta de los sacerdotes egipcios, su rechazo a ingerir leguminosas,
incluso su rechazo a usar ropas hechas de pieles de animales y su aspiración por lograr la
pureza eran todas costumbres que adoptaría Pitágoras posteriormente. Porfirio dice que
Pitágoras aprendió geometría de los egipcios, pero es probable que ya tuviera familiaridad
con la geometría, ciertamente a partir de las enseñanzas de Tales y Anaximandro.
En 525 AC, Cambises II, el rey de Persia, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza con
Egipto y envió 40 barcos a reunirse con la flota persa contra los egipcios. Después de que
Cambises había ganado la Batalla de Pelusio en el Delta del Nilo y de que había ocupado
Heliópolis y Menfis, la resistencia egipcia cedió. Pitágoras fue hecho prisionero y llevado a
Babilonia. Jámblico escribe sobre Pitágoras:
... fue transportado por los seguidores de Cambises como prisionero de guerra. Mientras estuvo ahí

3. tuvo el gusto de asociarse con los Magoi... y fue instruido en sus ritos sagrados y aprendió acerca de
una adoración muy mística de los dioses. También alcanzó la cúspide de la perfección en aritmética y
música, y en las demás ciencias matemáticas enseñadas por los Babilonios...
Alrededor de 520 AC, Pitágoras abandonó Babilonia y regresó a Samos. Polícrates había
sido asesinado alrededor de 522 AC y Cambises había muerto en el verano de ese año, ya
sea por suicidio o por causa de un accidente. Las muertes de estos gobernantes pueden
haber sido el factor para que Pitágoras regresara a Samos, pero en ningún lado se explica
cómo obtuvo su libertad. Darío de Persia había asumido el control de Samos después de la
muerte de Polícrates y parece haber estado aun en control de la isla al regreso de Pitágoras.
Esto entra en conflicto con los relatos de Porfirio y Diógenes Laercio, quienes afirman que
Polícrates todavía estaba controlando Samos cuando Pitágoras regresó.
Pitágoras hizo un viaje a Creta poco después de su regreso a Samos para estudiar el sistema
legal ahí. A su regreso a Samos fundó una escuela llamada el Semicírculo. En el tercer siglo
DC, Jámblico escribe que:
... [Pitágoras] formó una escuela en la ciudad [de Samos], el 'semicírculo' de Pitágoras, conocido
hasta hoy por ese nombre, en el cual los samios efectúan reuniones políticas. Lo hacen pues piensan
que hay que discutir cuestiones sobre bondad, justicia y conveniencia en este lugar fundado por el
hombre que hizo de todos estos temas su propio asunto. Fuera de la ciudad hizo de una cueva el sitio
privado de su propia enseñanza filosófica, pasando casi toda la noche así como el día ahí para
investigar la utilidad de las matemáticas...
Pitágoras abandonó Samos y se fue al sur de Italia cerca de 518 AC (algunos afirman que
fue mucho antes). Jámblico da algunas razones para su salida de Samos. En primer lugar los
comentarios sobre la respuesta de los samios a sus métodos de enseñanza:
... trataba de utilizar su método simbólico de enseñanza, que era semejante en todos sus aspectos a lo
que él había aprendido en Egipto. Los samios no se sentían muy entusiastas por su método y lo
trataban de una manera ruda e impropia.
Esta excusa, de acuerdo con Jámblico, fue usada en parte por Pitágoras para dejar Samos:
... Pitágoras fue arrastrado a toda clase de misiones diplomáticas por sus conciudadanos y fue forzado
a participar en asuntos públicos. ... Sabía que todos los filósofos que lo precedieron habían acabado
sus días en tierras extranjeras, por lo que decidió huir de toda responsabilidad política, alegando
como excusa, de acuerdo con algunas fuentes, el desprecio que los samios tenían por sus métodos de
enseñanza.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del
“tacón” del sur de Italia) que tenía muchos seguidores. Pitágoras era cabeza de la sociedad
con un círculo interno de seguidores conocidos como los mathematikoi.
Los mathematikoivivían permanentemente con la Sociedad, no tenían propiedad personal y
eran vegetarianos. Recibían enseñanzas del propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas.

4. Las creencias de Pitágoras eran:
(1) que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática,
(2) que la filosofía puede ser usada para la purificación espiritual,
(3) que el alma puede elevarse para su unión con lo divino,
(4) que ciertos símbolos tienen significado místico, y
(5) que todos los hermanos de la orden deben observar estricta lealtad y guardar
actitud secreta.
Tanto hombres como mujeres eran admitidos como miembros de la Sociedad; en efecto,
varias de las mujeres pitagóricas se convirtieron después en filósofas famosas. El círculo
exterior de la Sociedad era conocido como los “acusmáticos” (de “acústica” y
“matemáticos”) y vivían en sus propias casas, y sólo venían a la Sociedad durante el día.
Podían tener propiedades privadas y no se les exigía que fueran vegetarianos.
De la propia obra de Pitágoras no se sabe nada. Su escuela practicaba la actitud secreta y el
comunalismo, lo que hacía difícil distinguir entre la obra de Pitágoras y la de sus
seguidores. Ciertamente, su escuela hizo contribuciones extraordinarias a las matemáticas,
y es posible tener bastante certeza acerca de algunas de las contribuciones matemáticas de
Pitágoras. Primero debe quedar claro en qué sentido Pitágoras y los matemáticos estudiaban
matemáticas. No actuaban como un grupo de investigación en matemáticas en una
universidad u otra institución moderna. No había 'problemas abiertos' que tuvieran que
resolver, y de ninguna manera estaban interesados en tratar de formular o resolver
problemas matemáticos.
Más bien Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemáticas, el concepto de
número, el concepto de triángulo o de otras figuras matemáticas, y de la idea abstracta de
demostración. Brumbaugh escribe:
Es difícil para nosotros hoy, por más familiarizados que estemos con la abstracción matemática pura
y con el acto mental de la generalización, apreciar la originalidad de esta contribución pitagórica.
De hecho, hoy en día somos tan sofisticados que incluso ya no reconocemos a 2 como una
cantidad abstracta. Hay un paso notablemente grande entre 2 barcos + 2 barcos = 4 barcos y
el resultado abstracto 2 + 2 = 4, que se aplica no solamente a barcos, sino a plumas, gente,
casas, etc. Hay otro paso para ver que la noción abstracta de 2 es una cosa que, en cierto
sentido, es tan real como un barco o una casa.
Pitágoras creía que todas las relaciones podían reducirse a relaciones de números.
Aristóteles escribió:
Los Pitagóricos... habiéndose formado dentro del estudio de las matemáticas, pensaban que las cosas
eran números... y que todo el cosmos es una escala y un número.
Esta generalización provenía de las observaciones de Pitágoras en música, matemáticas y

5. astronomía. Pitágoras observó que las cuerdas vibrantes producen tonos armoniosos
cuando las razones de las longitudes de las cuerdas son números enteros, y que estas
razones podían considerarse en otros instrumentos. En efecto, Pitágoras hizo notables
contribuciones a la teoría matemática de la música. Era un excelente músico, que tocaba la
lira y usaba la música como medio para ayudar a los enfermos.
PITAGORAS Y SU RELACION CON LOS NÚMEROS PARES
Pitágoras estudiaba propiedades de los números que serían muy familiares para los
matemáticos de hoy, tales como NÚMEROS PARES e impares, números triangulares,
números perfectos, etc. Sin embargo, para Pitágoras los números tenían personalidades que
difícilmente reconoceríamos como matemáticas hoy:
Cada número tenía su propia personalidad - masculino o femenino, perfecto o incompleto, hermoso o
feo. Las matemáticas modernas han eliminado deliberadamente este sentimiento, pero aún lo
encontramos en la ficción y la poesía. Diez era el mejor número: contenía en sí mismo los primeros
cuatro enteros –uno, dos, tres y cuatro [1 + 2 + 3 + 4 = 10]– y escritos estos en notación de puntos
formaban un triángulo perfecto.
Por supuesto recordamos hoy a Pitágoras especialmente por su famoso teorema de
geometría. Aunque el teorema, ahora conocido como el teorema de Pitágoras, ya lo
conocían los babilonios 1000 años atrás, tal vez haya sido él quien por primera vez lo
demostró. Proclo, el último gran filósofo griego, que vivió alrededor de 450 AC
PITAGORAS Y SU FILOSOFÍA
En primera instancia, sin embargo, Pitágoras era filósofo. Además de sus creencias sobre los
números, geometría y astronomía que ya hemos descrito, tenía:
... las siguentes enseñanzas filosóficas y éticas: ... la dependencia de la dinámica que tiene la
estructura del mundo de la interacción de contrarios, o pares de opuestos; la visión del alma como un
número con movimiento propio, que experimenta una forma de metempsicosis, o reencarnación
sucesiva en diferentes especies hasta su final purificación (particularmente a través de la vida
intelectual de los pitagóricos éticamente rigurosos); y el entendimiento... de que todos los objetos
existentes estaban fundamentalmente compuestos de forma y no de sustancia material. Además, la
doctrina pitagórica... identificaba el cerebro como el lugar geométrico del alma; y prescribía ciertas
prácticas de culto secretas.
Brumbaugh también describe sus prácticas éticas:
En sus prácticas éticas, los pitagóricos eran famosos por su mutua amistad, altruismo y honestidad.
La Sociedad de Pitágoras en Crotón también fue afectada por los eventos políticos, a pesar
de su deseo de mantenerse al margen de la política. Pitágoras fue a Delos en 513 AC a
cuidar a su viejo maestro Feréquides que se estaba muriendo. Estuvo ahí unos cuantos
meses hasta la muerte de su amigo y maestro y entonces retornó a Crotón. En 510 AC
Crotón atacó y venció a su vecina Sibaris y hubo ciertas sospechas de que Pitágoras
estuviera involucrado en la disputa. Entonces, cerca de 508 AC, la Sociedad Pitagórica en
Crotón fue atacada por Cilón, un noble de la propia Crotón. Pitágoras escapó a Metaponto

6. y casi todos los autores afirman que ahí murió, y algunos dicen que se suicidó por el ataque
a su Sociedad. Jámblico cita una versión de lo ocurrido:
Cilón, un crotoniata y ciudadano importante por nacimiento, fama y riqueza, pero por otro lado un
hombre difícil, violento, molesto y con tendencias tiránicas, deseaba ansiosamente participar del
modo de vida pitagórico. Se acercó a Pitágoras, que ya estaba viejo, pero fue rechazado por sus
defectos de carácter descritos. Cuando esto ocurrió, Cilón y sus amigos se unieron para hacer un
fuerte ataque a Pitágoras y sus seguidores. Así, un celo fuerte y agresivo activó a Cilón y a sus
seguidores a perseguir a los pitagóricos hasta que no quedara ninguno. Por esto, Pitágoras partió a
Metaponto y se dice que ahí terminó sus días.
Esto parece estar aceptado por la mayoría, pero Jámblico mismo no acepta esta versión y
arguye que el ataque de Cilón fue una cuestión menor y que Pitágoras regresó a Crotón.
Ciertamente, la Sociedad Pitagórica prosperó por muchos años después de estos sucesos y
se extendió de Crotón a muchas otras ciudades italianas. Gorman sostiene que ésta es una
fuerte razón para creer que Pitágoras regresó a Crotón y cita otra evidencia, que es la edad
de Pitágoras, ampliamente difundida, de alrededor de 100 años a su muerte, y el hecho de
que muchas fuertes afirman que Pitágoras enseñó a Empédocles, para confirmar que murió
años después del 480 AC.
La evidencia de cuándo y donde murió Pitágoras es poco clara. Ciertamente, la Sociedad
Pitagórica se expandió rápidamente después de 500 AC, se tornó de naturaleza política y se
subdividió en un cierto número de facciones. En 460 AC la Sociedad:
...fue suspendida violentamente. Sus casas de reunión fueron saqueadas y quemadas en todas partes;
se hace mención, en particular, de “la casa de Milo” en Crotón, donde 50 o 60 pitagóricos fueron
sorprendidos y asesinados. Los que sobrevivieron se refugiaron en Tebas y en otros lugares.