s

1. Pitágoras, Matemático y filósofo griego
(isla de Samos, actual Grecia, h. 582-Metaponto, actual Italia, h. 500 a.C.)
Pitágoras de Samos es descrito a menudo como el primer matemático puro. Es una figura
extremadamente importante en el desarrollo de las matemáticas aunque a diferencia de
muchos matemáticos griegos posteriores, de los que al menos tenemos algunos de los libros
que escribieron, no tenemos ninguno de los escritos de Pitágoras.
La sociedad en la que vivió, mitad religiosa y mitad científica, seguía un código de
secretismo que da como resultado que Pitágoras sea hoy una figura misteriosa.
Tenemos detalles de la vida de Pitágoras a partir de biografías antiguas que usan
importantes fuentes originales a pesar de estar escritas por autores que le atribuyen poderes
divinos, y cuya finalidad era presentarle como una figura divinizada. Existe un consenso
bastante aceptable sobre los principales hechos de su vida pero la mayoría de las fechas son
discutibles, aportando fechas que difieren en unos 20 años.
El padre de Pitágoras fue Mnesarchus, mientras que su madre fue Pythais y era nativa de
Samos. Mnesarchus fue un mercader que vino de Tiro, y existe una historia de que trajo el
maíz a Samos en una época de hambruna y fue recompensado con la ciudadanía de Samos
como señal de gratitud. Como niño Pitágoras pasó sus primeros años en Samos pero viajó
mucho con su padre. Hay crónicas de Mnesarchus regresando a Tiro con Pitágoras y de que
fue instruido allí por los Caldeos y por los hombres sabios de Siria. Parece que también
visitó Italia con su padre.
Se sabe poco de la infancia de Pitágoras. Todas las crónicas de su apariencia física son
probablemente ficticias excepto la descripción de una llamativa marca de nacimiento que
Pitágoras tenía en su muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes
dicen que tenía tres. Ciertamente fue bien educado, aprendiendo a tocar la lira, poesía y a
recitar a Homero. Hubo entre sus profesores tres filósofos que habrían sido de gran
influencia en Pitágoras durante su juventud. Uno de los más importantes fue Ferékides
(Pherekydes) al que muchos describen como el profesor de Pitágoras.
Los otros dos filósofos que influyeron en Pitágoras, y le introdujeron en las ideas
matemáticas, fueron Tales y su pupilo Anaximandro, ambos de Mileto. Se dice que

2. Pitágoras visitó a Tales en Mileto cuando tenía entre 18 y 20 años. Por esta época Tales era
un anciano y, aunque creó una fuerte impresión en Pitágoras, probablemente no le enseñó
gran cosa. Sin embargo contribuyó al interés de Pitágoras en las matemáticas y la
astronomía, y le aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estas materias. El pupilo
de Tales, Anaximandro, enseñaba en Mileto y Pitágoras asistió a sus clases. Anaximandro
ciertamente estaba interesado en la geometría y la cosmología y muchas de sus ideas
influirían en la opinión de Pitágoras.
Alrededor del 535 a.C Pitágoras fue a Egipto. Esto sucedió unos años después de que el
tirano Polícrates se hiciera con el control de la ciudad de Samos. Hay algunas pruebas que
sugieren que Pitágoras y Polícrates fueron amigos al principio y se dice que Pitágoras fue a
Egipto con una carta de presentación escrita por Polícrates. De hecho Polícrates tenía una
alianza con Egipto y que por tanto había fuertes lazos entre Samos y Egipto por aquella
época. Las crónicas de la etapa de Pitágoras en Egipto sugieren que visitó muchos de los
templos y tomó parte en muchos debates con los sacerdotes. Según Porfirio, Pitágoras fue
rechazado de todos los templos excepto del de Diospolis en el que fue aceptado en el
sacerdocio tras completar los ritos necesarios para su admisión.
No es difícil relacionar muchas de las creencias de Pitágoras, aquellas que más adelante
impondría en la sociedad que estableció en Italia, con las costumbres que encontró en
Egipto. Por ejemplo el secreto de los sacerdotes egipcios, su negativa a comer alubias, su
negativa a vestir incluso ropas hechas de piel de animal, y su afán por la pureza eran todas
costumbres que Pitágoras adoptaría mas adelante. Porfirio en dice que Pitágoras aprendió
geometría de los egipcios pero es probable que ya estuviera familiarizado con la geometría,
ciertamente tras las enseñanzas de Tales y Anaximandro.
En el 525 a.C Cambyses II, el rey de Persia, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza
con Egipto y envió 40 barcos para unirse a la flota persa contra los egipcios. Después de
que Cambises hubo ganado la batalla de Pelusio (Pelusium) en el delta del Nilo y de
capturar Heliópolis y Menfis, la resistencia egipcia se desplomó. Pitágoras fue hecho
prisionero y llevado a Babilonia. Jámblico escribe que Pitágoras: fue transportado por los
seguidores de Cambyses como prisionero de guerra. Mientras estuvo allí se asoció de
corazón con los Magoi (Magos) ... y fue instruido en sus ritos sagrados y aprendió sobre un
místico culto de los dioses. También alcanzó la cima de la perfección en aritmética y
música y las otras ciencias matemáticas enseñadas por los Babilonios.
Alrededor del 520 a.C Pitágoras abandonó Babilonia y regresó a Samos. Polícrates había
sido asesinado alrededor del 522 a.C y Cambyses murió en el verano del 522 a.C. bien
suicidándose o como resultado de un accidente. Las muertes de estos gobernantes pueden
haber sido un factor en el regreso de Pitágoras a Samos pero en ningún sitio se explica
cómo obtuvo Pitágoras su libertad. Darío de Persia había tomado el control de Samos tras la
muerte de Polícrates y habría controlado la lista cuando Pitágoras regresó. Esto entra en
conflicto con las crónicas de Porfirio y de Diógenes Laercio que afirman que Polícrates
todavía controlaba Samos cuando Pitágoras regresó allí.
Pitágoras hizo un viaje a Creta poco después de su regreso a Samos para estudiar el sistema
de leyes de allí. De regreso a Samos fundó una escuela que fue llamada el semicírculo.
Jámblico escribe en el siglo tercero d.C que en el ‘semicírculo’ de Pitágoras, se mantenían
reuniones donde se discutían cuestiones sobre el bien, la justicia y la oportunidad. Fuera de
la ciudad hizo de una cueva el lugar privado para su enseñanza filosófica particular,
empleando la mayor parte de la noche y del día allí e investigando en los usos de las
matemáticas.

3. Pitágoras abandonó Samos y fue al sur de Italia alrededor del 518 a.C. (algunos dicen que
mucho antes). Jámblico da algunas razones para su partida. En primer lugar comenta sobre
la respuesta de los habitantes de Samos a sus métodos de enseñanza: intentó usar su método
simbólico de enseñanza que era similar en todos los aspectos a las lecciones que había
aprendido en Egipto. Los Samianos no estaban muy contentos con este método y le trataron
de una manera irrespetuosa e incorrecta.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del
talón del sur de Italia) que tuvo muchos seguidores. Pitágoras fue la cabeza de la sociedad
con un círculo cercano de seguidores conocido como los matematikoi. Los matematikoi
vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían posesiones personales y eran
vegetarianos. Fueron enseñados por el mismo Pitágoras y obedecían estrictas reglas. Las
creencias que mantenía Pitágoras eran: (1) que en su nivel más profundo, la realidad es
matemática en la naturaleza, (2) que la filosofía puede ser usada para la purificación
espiritual, (3) que el alma puede alcanzar la unión con la divinidad, (4) que ciertos símbolos
tienen un significado místico, y (5) que todos los hermanos de la orden deben observar una
estricta lealtad y secreto.
Tanto a hombres como a mujeres se les permitía llegar a ser miembros de la Sociedad, de
hecho varias mujeres pitagóricas posteriores llegaron a ser famosas filósofas. El círculo
exterior de la Sociedad era conocido como los Akousmáticos y vivían en sus propias casas,
yendo a la Sociedad sólo durante el día. Se les permitían sus propias posesiones y no se les
exigía ser vegetarianos.
Del trabajo real de Pitágoras nada se sabe. Su escuela practicó el secreto y la comuna
haciendo difícil distinguir entre el trabajo de Pitágoras y el de sus seguidores. Ciertamente
su escuela hizo contribuciones destacadas a las matemáticas, y muchas se atribuyen al
propio Pitágoras. Primero deberíamos tener claro de en qué sentido Pitágoras y los
matematikoi estaban estudiando las matemáticas. No estaban actuando como un grupo de
investigación en matemáticas lo hace en una moderna universidad u otra institución. No
había ‘problemas abiertos’ para resolver, y no estaban interesados en ningún sentido en
intentar formular o resolver problemas matemáticos.
En su lugar Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemáticas, el concepto de
número, el concepto de un triángulo u otra figura matemática y la idea abstracta de una
prueba. Es esto la principal contribución de Pitágoras y en su día fue completamente
original.
Pitágoras creía que todas las relaciones podían ser reducidas a relaciones numéricas. Como
escribió Aristóteles: Los pitagóricos habiendo sido educados en el estudio de las
matemáticas, creían que las cosas son números y que todo el cosmos es una gama y un
número.
Esta generalización resulta de las observaciones de Pitágoras en música, matemáticas y
astronomía. Pitágoras advirtió que las cuerdas vibrantes producen tonos armónicos cuando
las proporciones de las longitudes de las cuerdas son números enteros, y que estas
proporciones podían ser extendidas a otros instrumentos. De hecho Pitágoras hizo
destacables contribuciones a la teoría matemática de la música. Fue un músico experto,
tocaba la lira, y usó la musica como un medio para ayudar a los enfermos.
Pitágoras estudió propiedades de los números que serían familiares a los matemáticos de
hoy, tales como los números pares e impares, números triangulares, números perfectos, etc.
Sin embargo para Pitágoras los números tenían personalidades que dificilmente
reconoceríamos hoy como matemáticas. Decía que cada número tiene su propia

4. personalidad – masculina o femenina, perfecta o incompleta, bella o fea. Este sentimiento
ha sido deliberadamente eliminado por los matemáticos modernos, pero aun encontramos
resonancias de ello en la ficción y la poesía. El diez era el mejor de los números ya que
contiene a los primeros cuatro enteros, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, y éstos escritos en notación de
puntos forman un triángulo perfecto.
Por supuesto hoy recordamos particularmente a Pitágoras por su famoso teorema
geométrico. Aunque el teorema, ahora conocido como de Pitágoras, era conocido para los
babilonios 1000 años antes, él puede haber sido en primero en probarlo. Proclo (Proclus), el
último de los filósofos griegos importantes, que vivió alrededor del 450 d.C escribió:
después de Tales, Pitágoras transformó el estudio de la geometría en una educación liberal,
examinando los principios de la ciencia desde el principio y probando los teoremas de una
forma inmaterial e intelectual. Fue él quien descubrió la teoría de los irracionales y la
construcción de las figuras cósmicas.
Heath [7] da una lista de teoremas atribuidos a Pitágoras, o mejor más generalmente a los
pitagóricos. (i) La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
También los pitagóricos conocían la generalización que constata que un polígono con n
lados tiene la suma de sus ángulos interiores igual a 2n - 4 ángulos rectos y la suma de sus
ángulos exteriores igual a cuatro ángulos rectos. (ii) El teorema de Pitágoras – para un
triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados. Deberíamos destacar aquí que para Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa
no estaría pensado como un número multiplicado por si mismo, sino como un cuadrado
geométrico construido sobre el lado. Decir que la suma de dos cuadrados es igual a un
tercer cuadrado significaba que los dos cuadrados podrían ser cortados y reensamblados
para formar un cuadrado idéntico al tercer cuadrado. (iii) Construir figuras de un área dada
y el álgebra geométrica. Por ejemplo resolvieron ecuaciones como a (a – x) = x2 por
métodos geométricos. (iv) El descubrimiento de los irracionales. Esto es ciertamente
atribuido a los pitagóricos pero parece improbable que haya sido debido al mismo
Pitágoras. Iba contra la filosofía de Pitágoras que todas las cosas fueran números, ya que
por un número él entendía la razón de dos números enteros. Sin embargo, a causa de su
creencia de que todas las cosas son números sería natural intentar probar que la hipotenusa
de un triángulo rectángulo isósceles tenía una longitud correspondiente a un número. (v)
Los cinco sólidos regulares. Se cree que Pitágoras mismo sabía como construir los primeros
tres pero es improbable que hubiera llegado a saber construir los otros dos. (vi) En
astronomía Pitágoras enseñó que la Tierra era una esfera en el centro del universo. También
reconoció que la órbita de la Luna estaba inclinada hacia el ecuador de la Tierra y fue uno
de los primeros en comprender que Venus como estrella de la tarde era el mismo planeta
que Venus como la estrella de la mañana.
Ante todo, sin embargo, Pitágoras fue un filósofo. Además de sus creencias sobre los
números, la geometría y la astronomía descritos arriba, el mantuvo otras enseñanzas
filosóficas y éticas y prescribía ciertas prácticas de culto secreto. En sus prácticas morales,
los pitagóricos fueron famosos por su mutua amistad, altruismo y honestidad.
La Sociedad de Pitágoras en Crotona no permaneció al margen de los acontecimientos
políticos a pesar de su deseo de mantenerse al margen de la política. Pitágoras fue a Delos
en el 513 a.C para cuidar a su viejo maestro Pherekydes que estaba muriéndose.
Permaneció allí unos cuantos meses hasta la muerte de su amigo y maestro y despues
regresó a Crotona.

5. En el 510 a.C Crotona atacó y derrotó a su vecina Sybaris y hay ciertamente algunas
sugerencias de que Pitágoras se vio envuelto en la disputa. Despues, alrededor del 508 a.C.
la Sociedad Pitagórica de Crotona fue atacada por Cilón, un noble de la misma Crotona.
Pitágoras escapó a Metapontium y la mayoría de los autores dicen que murió allí, algunos
afirmando que se suicidó a causa del ataque a su Sociedad.
Esto parece aceptado por la mayoría pero el mismo Jámblico no acepta esta versión y
arguye que el ataque de Cilón fue un asunto menor y que Pitágoras regresó a Crotona.
Ciertamente la Sociedad Pitagórica floreció durante muchos años después de esto y se
difundió desde Crotona a muchas otras ciudades italianas. Gorman arguye que esta es una
poderosa razón para creer que Pitágoras regresó a Crotona y cita otras pruebas tales como
la ampliamente reportada edad de Pitágoras de alrededor de 100 años en el momento de su
muerte, así como el hecho de que muchas fuentes dicen que Pitágoras enseñó a
Empédocles, para proclamar que debió haber vivido bastante después del 480 a.C.
La prueba no es clara al igual que el dónde y el cuándo ocurrió la muerte de Pitágoras.
Ciertamente la Sociedad Pitagórica se expandió rápidamente tras el 500 a.C, se convirtió en
política en su naturaleza y se dividió en gran número de facciones. En el 460 a.C. la
Sociedad fue violentamente suprimida. Sus casas de reunión fueron saqueadas y quemadas;
se hace mención en particular de “la casa de Milo” en Crotona, en la que 50 o 60
pitagóricos fueron sorprendidos y asesinados. Aquellos que sobrevivieron se refugiaron en
Tebas y otros lugares. Algunos pitagóricos se exiliaron a Tarento donde se fundó su tercera
escuela.