Aplicación de la Transformada Wavelet sobre señales e imágenes biomédicas

1. ANÁLISIS DE SEÑALES BIOMÉDICAS
MEDIANTE TRANSFORMADA WAVELET
AUTORES: MARCOS CABRERA GOÑI
ALEJANDRO PEREZ DE LA HOZ
DOCENTES: Dr. CARLOS ENRIQUE D'ATTELLIS
Dr. EDUARDO SERRANO
34 as. JAIIO
Concurso de Trabajos Estudiantiles EST 2005
Categoría: Trabajos de Cátedra
Área : Otros – Procesamiento De Señales Biomédicas.
Materia: Onditas En Señales Biomédicas, Escuela de Ciencia y
Tecnología, Carrera de Licenciatura en Física Médica.

2. ANÁLISIS DE SEÑALES BIOMÉDICAS
MEDIANTE TRANSFORMADA WAVELET
ÁREA – OTROS: PROCESAMIENTO DE SEÑALES BIOMÉDICAS
1.- RESUMEN
Dentro del marco actual de la investigación biomédica y de la electromedicina nos
encontramos con gran cantidad de profesionales: biólogos, físicos, médicos, etc. que han de
convivir con un sinfín de datos obtenidos de instrumentos electrónicos, que muchas veces son la
única manera de evaluar a los pacientes, analizar la viabilidad de algún estudio e infinidad de casos
similares. Pero en muchos casos, debe existir un correcto procesamiento de los datos adquiridos a
fin de obtener la correcta señal de los instrumentos y la información multimedia.
En este punto es donde los ingenieros deben aportar su conocimiento del mundo de la
informática y los sistemas de comunicación para facilitar la labor de los profesionales de las
distintas áreas. La función de estos profesionales es, sin un vasto conocimiento de biología,
medicina, física, etc. tratar de elaborar herramientas e instrumentos que puedan ayudar en la
investigación de las distintas áreas, pero no sólo pensando en aparatos que midan señales por
métodos complejos, si no en el manejo de la información entre distintos equipos, o cualquier otro
enfoque que se nos pueda ocurrir. Es por todo ello que se precisa de una labor multidisciplinaria
entre ingenieros y los distintos expertos para realizar proyectos que además de ser técnicamente
eficientes tengan algún valor en la tarea diaria del investigador o el diagnóstico médico.
En nuestro caso concreto estamos cercanos al área de la investigación médica
principalmente. Es claro que el mundo de la medicina se dirige a una época en que toda la
información irremisiblemente se encontrará en formato digital, facilitando con ello su
procesamiento, almacenamiento físico, transporte, etc. Los problemas actuales que engloba este
formato son el tamaño de los equipos necesarios para el almacenamiento de tanta información, son
cientos de pacientes al día los que pasan por un hospital medio; la calidad de dicha información, en
ciertos estudios se precisa una calidad altísima; la velocidad de transmisión de la misma, en
determinados casos se necesita casi quot;tiempo realquot;. Además de que mediante distintos
procesamientos de las señales se pueden obtener diversos parámetros que podamos evaluar para
llevar a cabo un estudio o análisis. Entonces los ingenieros principalmente han de desarrollar una
labor de implementar nuevos métodos de procesamiento de las señales y las imágenes, buscando
ayudar a los profesionales en obtener diagnósticos más precisos, y transformaciones de la
información que faciliten el transporte y almacenamiento de tal magnitud de información.
Dentro de esta situación actual hemos analizado, como ingenieros, la viabilidad de la
utilización de una herramienta matemática para el análisis de señales biomédicas. Sabiendo que
dicho instrumento nos podía aportar beneficios tanto a nivel de compresión de la información como
en la elaboración de métodos de procesamiento que ayuden a los profesionales del área biomédica.
Nos hemos planteado el estudio en dos partes claramente diferenciadas. Un primer análisis
donde desconocemos la naturaleza de nuestras señales, a pesar de que sabemos que pertenecen a
algún fenómeno o medición biomédico. Y en segundo lugar un análisis con mayor profundidad, una
vez conocida la naturaleza de las señales.

3. En el primer caso buscábamos, principalmente, determinar qué herramientas íbamos a
utilizar para poder obtener información a partir de nuestras muestras. Además de intentar conseguir
elaborar algún tipo de hipótesis sobre las señales. En esta primera etapa mostramos cómo nos
enfrentamos al estudio de señales desconocidas.
Una vez conocida la naturaleza de las mismas, buscamos comprobar o desmentir las
primeras hipótesis planteadas; a la vez que acreditamos que el empleo de la herramienta
seleccionada en la primera etapa resulta la más conveniente para conseguir información útil. Debido
a la naturaleza de las señales podemos intentar concluir con un somero análisis clínico. En este
segundo punto mostramos cómo obtener datos útiles al profesional médico a partir del procesado de
nuestras señales con la Transformada Wavelet.
En ningún caso buscamos reemplazar al facultativo, si no, ayudar al mismo con
instrumental que procese al máximo las señales medidas en los pacientes. Y este proceso se realiza
con la mayor eficiencia, es decir, que el tiempo de computación no sea intolerable, a la par que los
resultados obtenidos pueden ser verdaderamente útiles en el estudio del paciente.
2.- INTRODUCCIÓN TEÓRICA AL ANÁLISIS MEDIANTE
WAVELETS
El problema de la resolución tiempo-frecuencia es el resultado del principio de
incertidumbre de Heisenberg, que establece que no puede conocerse la información puntual de una
señal en el plano tiempo-frecuencia. Es decir, no pueden determinarse exactamente qué frecuencias
existen en un instante dado. Sin embargo es posible analizar en tiempo y escala una señal
empleando una técnica llamada Análisis Multirresolución. Éste analiza la señal para distintas
frecuencias con diferentes resoluciones. Dicho análisis está diseñado para proporcionar una buena
resolución temporal y pobre resolución en frecuencia para las altas frecuencias y buena resolución
en frecuencia y baja en tiempo para bajas frecuencias. Además es la idea básica que subyace detrás
de la Transformada Wavelet, y de ella resulta la gran ventaja que presenta frente a la Transformada
de Fourier con ventanas. En este último caso una vez que hemos elegido la escala de nuestra
ventana analizaremos toda la señal con la misma resolución, mientras que en el caso de la
transformada Wavelet tenemos una resolución variable.
Este tipo de análisis se basa en obtener las componentes espectrales de una señal como
amplitudes de una serie de funciones especiales, que denominaremos wavelets. Y a la pregunta ¿qué
es una Wavelet? responderemos, como primer acercamiento, con la definición dada por Subhais
Saha: “Las wavelets son funciones definidas en intervalos finitos que tienen un valor promedio de
cero”1 . Es preciso que el conjunto de funciones que utilicemos formen una base. Lo cual implica
que cualquier señal tenga una única descomposición posible y que podamos invertir esta
descomposición obteniendo la señal original. Si además es ortonormal, podemos computar
fácilmente la transformada.
Existen diversas familias de funciones que actúan como estas bases. Se busca que estas
funciones sean suaves, oscilantes, que rápidamente caigan a cero, es decir con buena localización
tanto en frecuencia como en tiempo. El conjunto de funciones que actuará como una base es:
1
Saha, S., Image Compresión – from DCT to wavelets: A review. ACM Crossroads Student Magazine.

4. [ ]
j
[n] = 2
−
⋅ψ 2 − j n − k
ψ j, k ∈ Ζ
2
j, k
Observamos que todas las funciones se obtienen a partir de las dilataciones y traslaciones de
una wavelet madre (ø). Para las dilataciones usamos el parámetro j mientras que para las
traslaciones utilizamos k. Vemos que están dispuestos de tal forma que tenemos una escala diádica.
Entonces, la Transformada Wavelet va a consistir en multiplicar nuestra señal de estudio
( x[n ] ) por la wavelet en cada escala j mientras esta última recorre todo nuestro eje de tiempos. El
proceso se repite pero con escalas diferentes hasta que obtengamos el número de bandas o escalas
deseado. Lo que vamos a obtener son una serie de coeficientes para cada banda:
C [ j, k ] = ∑ x [n]ψ [n] j ,k
n∈Ζ
El análisis puede interpretarse como una medida de la similitud entre las funciones bases
(ψ j, k [n] ) y la señal de estudio ( x [n ] ), donde esta similitud es en el sentido de un similar contenido
en frecuencia , por lo tanto, los coeficientes calculados ( C [ j, k ] ) indican qué tan próxima es la señal
a la wavelet en una determinada escala.
Como ya hemos indicado si tenemos una base ortonormal podemos deshacer nuestra
descomposición y obtener la señal original, lo que se conoce como transformada inversa:
x[n ] = ∑ ∑ C [ j, k ] ⋅ψ [n ] j, k
j∈Ζ k∈Ζ
Es decir, recuperamos nuestra señal original ( x [n ] ) a partir de nuestra base wavelet
(ψ j, k [n] ) y los coeficientes obtenidos mediante la Transformada Wavelet ( C [ j , k ] ).
Nos gustaría puntualizar que en todo momento aludimos a la Transformada Discreta
Wavelet (DWT), que es distinta a evaluar discretamente la Transformada Wavelet Continua. Este
comentario resulta crucial a la hora de implementar la transformada Wavelet en un entorno de
computación. Ya que los algoritmos que se usan para ello se basan, como hemos indicado
anteriormente, en el Análisis Multirresolución . Donde a la señal de estudio la vamos a pasar por
filtros con distintas frecuencias de corte en diferentes escalas: filtros paso bajo para analizar las
componentes de baja frecuencia y filtros paso alto para analizar las componentes de alta frecuencia
en diferentes escalas. Estas operaciones cambian la resolución de la señal, y la escala se cambia
mediante operaciones de interpolación y submuestreo2 .
El procedimiento para obtener la DWT comienza pasando la secuencia de la señal de
estudio por un filtro digital de paso bajo y media banda, tras ello y según la regla de Nyquist
podemos eliminar la mitad de las muestras. Para ello submuestreamos por dos, con lo que se duplica
la escala, y así obtenemos lo que se llama aproximación de baja frecuencia de nuestra señal en
primer orden. Esta misma operación nos produce que se duplique la resolución en frecuencia ya que
ahora la banda de frecuencia de la señal abarca solamente la mitad de la banda de frecuencias
anteriores. Para obtener la componente de alta frecuencia el procedimiento es similar pero el filtro
2
Submuestrear por dos significa tomar una de cada dos muestras. Mientras que interpolar por dos supone
agregar una muestra extra entre dos muestras de nuestra señal, usualmente agregaremos un cero.

5. digital que empleamos será paso alto, obteniendo tras ello lo que denominamos detalle de la señal
para el primer nivel. Para los sucesivos niveles de descomposición seguimos filtrando la
componente en baja frecuencia. Por lo que finalmente tendremos nuestra señal descompuesta en
tantos detalles como niveles utilicemos y una aproximación del último nivel empleado.
f=0~π
x[n]
Pasa alto Pasa bajo
2 2
Pasa alto Pasa bajo
2 2
3.1.- ANÁLISIS DE SEÑALES BIOMÉDICAS
DESCONOCIDAS
En esta primera parte de nuestro análisis vamos a trabajar con señales biomédicas de
naturaleza desconocida. Es decir, sabemos que tenemos dos señales que corresponden a un mismo
evento, pero no sabemos cuál es. Por ende, no sabemos si pertenecen a un único individuo tomadas
en distintos momentos o corresponden a individuos diferentes. Sólo podemos afirmar que estamos
ante dos mediciones de un mismo fenómeno.
Con este primer análisis buscamos el tipo de herramientas que podemos aplicar cuando nos
enfrentamos a señales por completo desconocidas. Y a partir de los resultados arrojados por
nuestras herramientas intentaremos obtener ciertas hipótesis de trabajo.
En cualquier caso al desconocer la naturaleza de las señales nos vamos a centrar en un
análisis frecuencial buscando algún patrón o fenómeno que nos arroje luz sobre el tipo de señales
que tenemos.

6. 3.1.1.- DATOS ELEVADOS Y DISTINTOS
Notamos en el primer análisis de nuestra señal que estamos frente a un número muy
elevado de muestras y que, a primera vista, ambas señales son muy distintas.
Fig.1: Gráficas de las señales rr1 y rr2
Otro problema que surge es que estamos ante señales con distinto número de muestras. En
este punto, planteamos una nueva hipótesis de trabajo. Como estamos ante un mismo fenómeno,
medido en condiciones similares, podemos suponer que un mayor número de muestras simplemente
equivale a un periodo de medición más prolongado. Por ello vamos a seleccionar un segmento de la
señal rr2 con la misma longitud que la señal rr1. La selección del segmento debido a las extensiones
de ambas señales se realizará de forma arbitraria ya que desconocemos las condiciones específicas
de medición de cada señal.
Si nos fijamos en la longitud de la señal rr1 observaremos que tratamos con una señal de
más de 50.000 muestras. Lo que nos va a suponer un tiempo de cálculo elevado debido a la
capacidad de calculo de la máquina que estemos empleando. Por ello decidimos abordar ambas
señales analizándolas por segmentos. Suponiendo que estamos frente a señales estacionarias nuestro
primer acercamiento lo vamos a realizar sobre un único segmento de ambas señales seleccionado
arbitrariamente. Pensando en las herramientas futuras que deseamos utilizar elegiremos un número
de muestras tal que cumplan 2n para facilitarnos la tarea.

7. Fig.2 Tenemos la señal rr2 comprendida entre la muestra 10.000 y la 18.192
Fig.3: Tenemos la señal rr1comprendida entre la muestra 10.000 y la 18.192
3.1.2.- FOURIER Y ESPECTROGRAMA
Vamos a utilizar la herramienta más difundida a la hora de obtener información frecuencial:
la Transformada de Fourier. Además nos servirá para comprobar que al elegir un único segmento de
cada señal tenemos las mismas componentes frecuenciales que en la totalidad de las muestras.

8. Fig.4: Espectro de Fourier de la señal rr2, Fig. 5: espectro de Fourier de la señal rr1,
pero de nuestro trozo de 8192 muestras pero de nuestro trozo de 8192 muestras
Observamos que mediante este análisis sólo obtenemos información frecuencial y en este
caso, además tan sólo una componente de baja frecuencia. De hecho, aún llevando la escala a su
valor mínimo sólo alcanzamos a discernir un valor elevado cercano al cero. Para tratar de añadir
información temporal se nos ocurre calcular el espectrograma, y los resultados obtenidos son los
siguientes:
Fig. 6 Espectrograma de nuestro segmento Fig. 7: Espectrograma de nuestro pedazo de
de señal rr2 señal rr1
Hemos añadido información temporal, pero seguimos sin obtener ningún dato realmente útil
para concretar nuestros análisis.

9. 3.1.3.- WAVELETS
Es por todo ello que, llegados a este punto, planteamos realizar el análisis mediante
wavelets. Lo primer o que debemos hacer es seleccionar el número de bandas que deseamos utilizar
en dicho análisis. Esto depende del número de muestras que vayamos a analizar. Ya que las bandas
reducen el número de muestras incluidas en un factor por dos. Así con 8 muestras, no podremos
utilizar más de 4 bandas.
3.1.3.1.- Energías
En nuestro caso particular creemos que utilizar 10 bandas será suficiente para obtener unos
datos satisfactorios:
Fig. 8: Energía de nuestra señal rr2 según las Fig. 9: Energía de nuestra señal rr1
10 sub-bandas según las 10 sub-bandas
Estas imágenes nos muestran que la mayor energía en nuestras señales se encuentra en las
bandas bajas, que corresponde con alta frecuencia y en menor medida en las bandas altas, bajas
frecuencias.
3.1.3.2.- Reconstrucción por bandas
Por ello a la hora de reconstruirlas vamos a intentar obtener dos señales, una de bajas
frecuencias y otra de altas:
Fig. 10: Reconstrucción de rr2 utilizando las bandas comprendidas entre la primera y la cuarta

10. Fig. 11: Reconstrucción de rr1 utilizando las bandas comprendidas entre la segunda y la quinta
Para demostrarnos que hemos conseguido quedarnos con la parte de alta frecuencia de
nuestra señal realizamos el análisis de Fourier a esta señal reconstruida, obteniendo:
Fig. 12: Espectro de Fourier de la señal rr2 Fig.13: Espectro de Fourier de la señal rr1
reconstruida mediante las bandas reconstruida mediante las bandas de la
de la primera a la cuarta. segunda a la quinta.
Realizamos el proceso análogo para la baja frecuencia, obteniendo:
Fig. 14: Reconstrucción de rr2 utilizando las bandas comprendidas entre la séptima y la décima

11. Fig. 15: Reconstrucción de rr1 utilizando las bandas comprendidas entre la sexta y la novena
Y como en el caso de altas frecuencias realizamos el espectro de Fourier de las
reconstrucciones para asegurarnos de que hemos realmente conservado la baja frecuencia.
Fig. 16: Espectro de Fourier de rr2 reconstruida Fig.17: Espectro de Fourier de rr1 mediante las
mediante las bandas de las séptima a la décima. bandas de las sexta a la novena
3.1.4.- HIPÓTESIS
3.1.4.1.-HIPÓTESIS SOBRE RR2
Gracias al análisis mediante wavelets realizado hemos podido ver que nuestro espectro de
Fourier tenía componentes en alta frecuencia, además de una fuerte componente de continua.
Utilizando únicamente las bandas bajas (altas frecuencias) para la reconstrucción hemos obtenido
una señal que, a priori, presenta las características de ruido en alta frecuencia. Mientras que al hacer
lo propio con las bandas altas (frecuencias bajas) hemos conseguido la imagen de una señal
portadora, con cierta periodicidad y bastante similar a una sinusoide. Se podría continuar con el
análisis en bajas frecuencia para estudiar esa segunda portadora que vemos que hace que nuestra
señal sinusoidal a su vez tenga un offset variable. Por todo ello y teniendo en cuenta el espectro de
Fourier podemos inferir que tratamos con una señal que presenta una portadora a muy baja
frecuencia, así como un ruido de alta frecuencia, y los datos útiles se encuentran a baja frecuencia.

12. 3.1.4.2.- HIPÓTESIS SOBRE RR1
Lo primero que observamos diferente a rr2 es que el espectro ya no está extremadamente
concentrado en la señal continua. En este caso parece más marcado que en altas frecuencias
tenemos un ruido mientras que en bajas podemos leer nuestra información. De hecho vemos que la
reconstrucción en bajas frecuencias mantiene de forma casi perfecta las subidas y bajadas de nuestra
señal. Además de que en este caso no vemos una portadora de muy baja frecuencia, lo que podría
explicar la menor concentración cerca de la señal continua del espectro.
En este caso como en el de rr2 nos sorprende ver las energías presentes en cada banda, ya
que analizando el espectro de Fourier en ningún caso deberíamos obtener bandas de alta frecuencia
con energías comparables a las bandas de baja. Podemos explicarlo debido a que las bandas de alta
frecuencia presentan mayor número de puntos (lo que resulta en esa mejor resolución temporal que
conocemos) que las de baja frecuencia.
3.1.5.- COMENTARIOS ADICIONALES
Nos gustaría añadir que aplicando las funciones y rutinas sobre Wavelets provistas con el
Matlab pudimos apreciar problemas en los extremos de nuestros segmentos de análisis debido a
efectos de bordes. Para evitarlos la Cátedra nos proporcionó rutinas propias. Para mostrar lo
comentado efectuamos una reconstrucción de la totalidad de la señal rr2 mediante las bandas
octava, novena y décima a través de la s funciones propias de Matlab y del algoritmo proporcionado
por la Cátedra.
Fig. 18: Señales reconstruidas de las bandas 8 a 10 mediante los dos tipos de análisis que hemos
estudiado

13. Si aceptamos como buenas las hipótesis que hemos supuesto al estudiar rr2 podemos ver
una de las propiedades más utilizadas en la reconstrucción mediante wavelets: la compresión de la
información. Si nos fijamos en las señales reconstruidas observaremos que la información sigue
presente en éstas, pero la gran ventaja que presentan sobre la señal original, es que sólo hemos
utilizado para la reconstrucción las siguientes bandas:
Banda Muestra inicial Muestra final
Octava 32513 32640
Novena 32641 32704
Décima 32705 32736
Es decir que conservamos la información presente en la señal de 32.736 muestras en tan
solo 224 muestras. Lo cual nos explica porqué la base de huellas dactilares del F.B.I. se encuentra
almacenada a través de la Transformada Wavelet de las mismas.
3.2.- ANÁLISIS DE SEÑALES BIOMÉDICAS CONOCIDAS
En este estudio vamos a comparar las señales rr1 y rr2 atendiendo a la naturaleza de ambas.
Sabemos que corresponden a la medición del intervalo de tiempo entre latidos. Es decir, en nuestro
eje X tenemos una sucesión de números que nos da la posición relativa de cada latido, mientras que
en el eje Y leemos el tiempo que transcurre entre dos latidos consecutivos. Mediante esta señal
podemos calcular fácilmente la frecuencia cardiaca. Cada señal corresponde a un individuo
diferente.
3.2.1.- PRESENCIA DE RUIDO
Podríamos pensar en la existencia de ruido blanco, debido a la presencia constante de un
rizado en alta frecuencia. Para aclarar este punto buscamos realizar la suma acumulativa de las
muestras de nuestra señal y graficamos dicha suma.
Fig. 19: Gráficas de la suma acumulativa de rr1, rr2 y un ruido generado mediante función random

14. Si estuviésemos ante la presencia de ruido deberíamos obtener una recta creciente perfecta
(Fig. 19-3) debido a las características de este ruido, pero en nuestro caso (Fig. 19-1 y 19-2)
podemos ver que esto no se cumple. Así que descartamos la hipótesis de la existencia de ruido
blanco.
3.2.2.- MEDIA Y VARIABILIDAD
Sabiendo la naturaleza de nuestras señales podemos intentar inferir algunos datos médicos
de nuestros pacientes a partir de estas señales. Calculamos la media y la desviación típica de ambas
señales:
» mediarr1=mean(rr1) mediarr1 = 0.6734
» mediarr2=mean(rr2) mediarr2 = 0.8775
» desvrr1=std(rr1) desvrr1 = 0.0928
» desvrr2=std(rr2) desvrr2 = 0.1389
La información de la media por si sola no nos aporta demasiada información, podemos
saber la variabilidad cardiaca de cada individuo y suponiendo una frecuencia normal comprendida
entre 60 y 90 pulsaciones vemos que ambos individuos se encuentran dentro de dichos límites.
Información más interesante obtenemos de las desviaciones ya que nos da una idea de las
variaciones que se producen en el ritmo cardiaco de cada individuo. Y podemos suponer que un
ritmo más estable no necesariamente corresponde con un individuo, en líneas generales, más sano.
Como vemos simplemente con la información de la media y la desviación de cada señal
obtenemos un primer análisis de nuestros individuos, para afinar más con este tipo de análisis nos
proponemos hacer lo mismo para cada intervalo de nuestra señal, dichos intervalos vamos a
considerarlos de 8192 muestras, por ejemplo:
Primer Segundo Tercer Cuarto Quinto Sexto Total
intervalo intervalo intervalo intervalo intervalo intervalo
Mediarr1 0.6867 0.6533 0.6325 0.6050 0.6868 0.7242 0.6734
Desvrr1 0.0768 0.0836 0.0788 0.0548 0.0924 0.0789 0.0928
Mediarr2 0.7711 1.0029 1.0063 0.9690 0.7556 0.7666 0.8775
Desvrr2 0.0856 0.0905 0.0690 0.0886 0.0793 0.0937 0.1389
La tónica general que habíamos visto al analizar nuestra señal queda confirmada al realizar
este análisis más profundo, ya que vemos que la media de rr1 es más o menos estable, mientras que
en el caso de rr2 podemos observar los cambios que se producen. Y además viendo las desviaciones
típicas observamos que se confirman nuestras sospechas.
3.2.3.- FOURIER
Una vez realizado este primer análisis nos planteamos continuar con un análisis frecuencial
de ambas señales. Lo primero que estudiamos es la transformada de Fourier. Para ello emplearemos
la función qofft, implementada por la Cátedra.

15. Fig. 20: Espectros de las señales rr1 y rr2
Como ya vimos en el Análisis de señales biomédicas desconocidas el espectro de nuestras
señales tiene una componente altísima en baja frecuencia. Y es técnicamente imposible discernir
algo más a parte del valor elevado cercano al origen. Vamos a eliminar el offset presente en ambas
señales, con la intención de quitar esa componente que nos enmascara todo el espectro. Esto lo
haremos eliminando en nuestras señales sus respectivas medias.
Fig. 21: Espectros de las señales rr1 y rr2 sin su valor medio

16. En el caso de rr1 seguimos teniendo el espectro muy concentrado en bajas frecuencias, pero
el caso especialmente relevante es el de rr2, donde la componente es tan considerable, que podemos
plantearnos que nuestra señal sufra algún tipo de modulación de baja frecuencia.
3.2.4.- WAVELETS
Ahora continuamos nuestro análisis mediante el uso de wavelets. Vamos a aplicarlas a
intervalos, como anteriormente hemos hecho. Para ello a cada intervalo le aplicaremos la siguiente
rutina:
3.2.4.1.- Energías
Lo primero que analizaremos será la energía presente en cada una de las bandas en las que
dividimos a cada intervalo de nuestra señal.
PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO QUINTO SEXTO
INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO
BAN e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2
DAS
-1 0.8659 3.7380 1.0546 3.9561 0.9649 4.0242 0.5653 3.8969 1.0648 4.0632 1.2341 3.8729
-2 1.7474 2.6589 2.4544 2.5298 2.2420 2.6060 1.3029 2.6607 3.0445 2.5334 3.8573 2.6725
-3 4.2874 1.3454 6.8340 1.2605 6.9670 1.3274 4.4330 1.3261 9.4830 1.3257 9.4717 1.2653
-4 3.8716 0.7469 6.6551 0.6737 5.5768 0.7049 3.6329 0.7285 6.8415 0.6884 6.0596 0.7494
-5 3.8975 0.4325 3.8806 0.4631 2.9402 0.4439 2.2598 0.4189 4.6244 0.4513 4.6920 0.4620
-6 2.6039 0.4460 2.9975 0.2971 1.9790 0.3541 2.1922 0.3381 2.8988 0.3752 2.8278 0.3937
-7 2.9825 0.7030 4.0027 0.4991 2.0050 0.3880 3.4970 0.3547 2.9989 0.6146 2.4060 0.5015
-8 5.3137 0.9527 7.0260 0.8370 4.2483 0.6054 2.3756 0.7226 1.9498 1.0149 1.7724 0.8633
-9 3.1608 0.6322 4.5738 1.0591 3.4281 1.1405 2.1543 1.3981 5.7200 1.9555 3.6591 2.5917
-10 6.2196 5.2219 3.0719 2.3173 12.642 5.3577 2.2035 0.3410 3.9673 1.9154 6.8508 7.1918
Fig. 22: Tabla con la energías para cada banda y en cada intervalo para las señales rr1 y rr2
Hasta este nivel solo hemos dado los primeros pasos para llevar a cabo nuestro análisis
mediante wavelets.
3.2.4.2.- Estudio de la primera banda del análisis mediante wavelets
A continuación calculamos los coeficientes de cada banda en las dos señales. Nos van a
interesar los coeficientes correspondientes con la primera banda del análisis mediante wavelets.
Según la teoría de wavelets sabemos que estos nos dan una idea de las diferencias entre muestras
evaluadas de 2-i = 2-(-1) = 2 en 2. Mostramos a continuación dichos coeficientes.

17. Fig.23: Gráfica de los coeficientes de la banda -1 Fig.24: Gráfica de los coeficientes de la banda –1
para el primer intervalo de las señales para el segundo intervalo de ambas
señales
Fig.25: Gráfica de los coeficientes de la banda –1 Fig.26: Gráfica de los coeficientes de la banda –1
para el tercer intervalo de ambas señales para el cuarto intervalo de ambas señales
Fig.27: Gráfica de los coeficientes de la banda –1 Fig.28: Gráfica de los coeficientes de la banda –1
para el quinto intervalo de ambas señales para el sexto intervalo de ambas señales
Podemos observar como el paciente rr2 tiene un ritmo muy variable, mientras que el
paciente rr1 tiene episodios con cambios muy bruscos aunque temporalmente cortos.

18. A continuación estudiamos los coeficientes desde un punto de vista más estadístico,
tratando de ver la distribución de los mismos. Para ello simplemente graficamos el histograma de
distribución de los mismos:
Fig. 29: Gráficas de los histogramas de los Fig. 30: Gráficas de los histogramas de los
coeficientes del primer intervalo coeficientes del segundo intervalo
Fig. 31: Gráficas de los histogramas de los Fig. 32: Gráficas de los histogramas de los
coeficientes del tercer intervalo coeficientes del cuarto intervalo
Fig. 33: Gráficas de los histogramas de los Fig. 34: Gráficas de los histogramas de los
coeficientes del quinto intervalo coeficientes del sexto intervalo

19. Podemos comprobar que la distribución de los coeficientes corresponde con una
distribución gaussiana. Pero lo más importante, gracias a este análisis, podemos inferir cuál de las
dos señales corresponde a una situación más saludable. Como los coeficientes de la banda –1 en el
caso de la señal rr1 están menos dispersos alrededor del origen esto significa que el periodo RR es
mucho más estable en este caso que en rr2. Se confirman de esta manera nuestras sospechas.
3.2.4.3.- Comprobación
Para comprobar que las herramientas utilizadas son válidas efectuamos la reconstrucción de
nuestras señales en diversos segmentos para comprobar que el análisis ha sido correcto. Mostramos
para distintos segmentos de ambas señales, las gráficas correspondientes al intervalo original, la
aproximación o banda –1 y la señal correspondiente al conjunto de las restantes bandas, conocidas
como detalles.
Fig.35: Aproximación, detalles y original para rr1 Fig.36: Aproximación, detalles y original para rr2
en el primer intervalo en el primer intervalo
Fig.37: Aproximación, detalles y original para rr1 Fig.38: Aproximación, detalles y original para rr2
en el cuarto intervalo en el cuarto intervalo

20. 3.2.4.5.- Conclusión
Volvemos a comprobar la capacidad del análisis mediante Wavelets a la hora de comprimir
la información. En este caso hemos utilizado los coeficientes de la banda –1 para inferir datos útiles
sobre nuestros pacientes. De tal forma que ya no precisamos de todas las muestras, si no que con la
mitad de información, ya hemos visto que la banda –1 tiene la mitad de las muestras que la señal
original, podemos inferir datos precisos. Además nuestro estudio se ha basado en el uso de la banda
–1 pero las conclusiones habrían sido análogas utilizando la banda –2 y estaríamos empleando un
cuarto del número de muestras originales.
El análisis de los parámetros fisiológicos suministrados por las señales, permitirían inferir
que la señal rr1 presenta una menor variabilidad, que podría asociarse a una disminución en la
compliance del sistema vascular, con un consecuente mayor riesgo de afección del arco vascular.
Si asumimos que el ritmo cardiaco normal supone 75 pulsaciones por minuto, tendremos que en 60
seg. se producen 75 pulsos (60 seg. / 75 pulsos). Pensando que en nuestra señal tenemos 53298
pulsos en vez de 75, multiplicando el factor 60 / 75 por la longitud de la señal (número de pulsos)
deberíamos obtener una primera aproximación de la longitud temporal de nuestra señal. Es decir,
obtendríamos el tiempo al que equivalen las muestras estudiadas. En este caso nos encontramos con
una duración aproximada de 12h. Por lo que podemos ver que no son normales las anomalías
aparecidas en la señal rr1.
3.- REFERENCIAS
[1] Mallat, S. quot;A Wavelet Tour of Signal Processingquot; Ed. Acade mic Press, 2000
[2] Anaya, M.; Cavallaro, M.; Villaverde, F.; D'Attellis, C. quot;Introducción a las Onditasquot; Ed.
Nueva Librería, 1995
[3] García de Jalón, J.; Rogríguez, J.; Brazález, Alfonso. quot;Aprenda Matlab 6.1 como si
estuviera en primeroquot; E.T.S.I.I. (Universidad Politécnica de Madrid), 2001
[4] Misiti, M.; Oppenheim, G.; Poggi J.M. quot;Wavelet Toolbox User's Guidequot;, The
Mathworks Inc., 2001
[5] Martínez, J.; María de Castro, R. quot;Análisis de la Teoría de Ondículas orientada a las
aplicaciones en ingeniería eléctrica: Fundamentosquot; E.T.S.I.I. (Universidad Politécnica de Madrid),
2002
[6] Mohlencamp, M.J. quot;A tutorial on Wavelets and their Applicationsquot; University of
Colorado at Boulder Department of Applied Mathematics, 2002
[7] Reissell, L.M. quot;Multiresolution and Waveletsquot; University of British Columbia, 1995
[8] Hijar, H.A.; Newman, J.P.; Rodríguez, M.A.; Peñazola, R. quot;Waveletsquot; Instituto
Tecnológico Autónomo de México, 2003
[9] Figliola, A.; Rosso, O.; Serrano, E. quot;Atenuación de frecuencias indeseadas us ando
Transformada Wavelet Discretaquot;

21. [10] Serrano, E. quot;Transformada Wavelet Semidiscreta usando Funciones Splinequot; XI
Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, 2005