teoria

1. PROCESO DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA
En nuestro curso el término optimización hará referencia a la optimización matemática, que implica utilizar
un conjunto de técnicas matemáticas para encontrar la mejor solución posible a un problema de gestión
comercial o industrial. Una solución basada en optimización implica:
 Un modelo de optimización, definido en términos de variables de decisión, restricciones y una
función objetivo.
 Datos para crear una instancia del modelo.
 Un motor de optimización (algoritmo) que resuelva la instancia del modelo
El proceso de optimización busca valores para las variables de decisión que satisfagan todas las restricciones y
optimicen la función objetivo. La optimización es una herramienta de ayuda a la toma de decisiones que tiene
aplicaciones en casi todas las industrias. Se pueden optimizar un amplio rango de decisiones, por ejemplo: La
cantidad de productos a fabricar, cuando fabricarlos y dónde fabricarlos, Cómo transportar artículos
elaborados, personas o materias primas, Cómo mezclar materias primas, Cómo planificar mano de obra,
tareas o máquinas, Cómo ubicar y asignar instalaciones y equipos, Cómo invertir capital.
ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
 Variables de decisión
Las variables de decisión en un modelo de optimización representan valores o decisiones que pueden fijarse
por el motor de optimización para conseguir el mejor valor posible de la función objetivo.
Ejemplos de variables de decisión serían los siguientes:
o Cantidad a fabricar de un producto dado.
o Número de personas a contratar para realizar una tarea dada.
o Elegir la localización de un nuevo almacén.
o El tiempo de inicio de una tarea dada.
Algunas características de las variables de decisión son las siguientes:
o Su valor se calcula durante el proceso de solución.
o Inicialmente son desconocidas en el modelo, aunque es posible proporcionar una pista inicial para
ayudar a la optimización.
o Las variables de decisión tienen un dominio: el conjunto de todos los valores posibles de la
variable.
o Las variables de decisión tienen límites impuestos por los límites de su dominio.
o Las variables de decisión tienen tipo, por ejemplo, real, entero, booleano o intervalo (utilizado
sólo en CP).
La elección de las variables de decisión es importante porque tienen un impacto significativo en la
formulación de las restricciones y el método de optimización utilizado.
 Restricciones
Las restricciones definen las relaciones entre diferentes variables de decisión y relacionan también los datos
con dichas variables.
Representan los límites dentro de los cuales debe existir la solución. Los siguientes son ejemplos de
restricciones: La cantidad fabricada de un producto dado debe ser menor que la capacidad de producción. Las
personas contratadas para realizar una tarea dada deben tener un conjunto mínimo de habilidades

2. profesionales. El coste total para construir un nuevo almacén debe ser menor que la cantidad de dinero
presupuestada. La salida de un proceso debe ser igual al rendimiento multiplicado por la entrada. Una cierta
tarea sólo puede comenzar una vez que se haya completado otra tarea relacionada.
 Función objetivo
La función objetivo de un modelo de optimización es una representación matemática de los logros industriales
que se desean conseguir.
Las funciones objetivos son de maximización o minimización y suelen involucrar un objetivo simple o una
expresión compleja que involucra varios objetivos industriales.
Algunos ejemplos de objetivos son los siguientes: Maximizar un beneficio. Minimizar un coste. Minimizar
retrasos. Maximizar el servicio a los clientes
Clasificación de los problemas de optimización atendiendo a su solución
En optimización una solución es una propuesta de valores específicos para las variables de decisión. Una
solución puede ser:
 Factible: una solución que satisface todas las restricciones.
 Optima: una solución factible que alcanza el mejor valor posible de la función objetivo.
 No factible: Una solución que viola una o más restricciones.
 No acotada: Una solución que produce un valor de la función objetivo que tiende a más o menos
infinito dependiendo de si se trata de un problema de maximización o minimización.
El conjunto de todas las soluciones factibles se denomina región factible.
PROBLEMA DE OPTIMIZACION
La formulación del modelo de optimización no es un procedimiento formal estructurado, sino más bien es un
proceso que requiere de experiencia y creatividad. Una vez generado el modelo, la etapa siguiente es resolver
y validar dicho modelo. Esta etapa puede considerarse suficientemente formalizada puesto que los modelos de
problemas de optimización han sido muy estudiados y se han desarrollado innumerables métodos y estrategias
para resolverlos. En este capítulo se describe una estrategia para formular el modelo y un ejemplo de
aplicación. Posteriormente se presenta una descripción conceptual de la teoría y de los principales algoritmos
asociados a un grupo particular de modelos matemáticos de optimización denominados programación lineal y
programación no lineal.
FORMULACIÓN DEL MODELO
Si bien, como se mencionara anteriormente, el proceso de modelado es esencialmente cualitativo y requiere de
la habilidad y la experiencia de quien desarrolla el modelo, en términos generales se pueden definir los
siguientes pasos a seguir para la formulación del modelo:
 Identificar las Variables de Decisión
 Identificar y/o fijar las restricciones
 Definición de los Objetivos
 Análisis de la Información Disponible
 Identificar las Variables de Decisión: Las variables de decisión representan las alternativas de decisión
del problema. Pertenecen a la propia naturaleza del problema y no pueden ser establecidas arbitrariamente.
 Identificar y/o fijar las restricciones: Las restricciones de un problema de optimización definen el
conjunto de valores que pueden tomar las variables de decisión. En el caso de restricciones de igualdad,

3. éstas además generan dependencia entre variables, reduciendo los grados de libertad del problema. El
conjunto de todas las variables del problema se divide así en el subconjunto de variables independientes y
el subconjunto de las variables dependientes.
Las restricciones pueden pertenecer a la naturaleza del problema, como lo son las restricciones físicas
(límites de presión y temperatura, equilibrio liquido vapor, etc.), pero también puede haber restricciones
fijadas arbitrariamente por quien debe decidir, según su propio criterio.
 Definición de los Objetivos: Los objetivos no pertenecen a la naturaleza del problema sino que son fijados
arbitrariamente por quien debe decidir. El mismo puede definir un único objetivo o varios objetivos a ser
considerados simultáneamente. Por ejemplo se suelen definir como objetivos: la rentabilidad del proceso,
la calidad del producto, la seguridad del proceso, la satisfacción del cliente, etc. En este capítulo, sólo se
considerarán los problemas con objetivo único. Para problemas con múltiples objetivos se puede consultar
la bibliografía del final del capítulo.
 Análisis de la Información Disponible: La información acerca de los parámetros del proceso permitirá
definir el criterio de decisión a adoptar. Si se conoce con certeza el valor de los parámetros, el criterio
seleccionado será el de maximizar o minimizar el objetivo propuesto. En el extremo opuesto es posible
encontrar parámetros cuyo valor es incierto. Usualmente en estos casos con algún criterio es posible
definir para cada parámetro sujeto a incertidumbre un rango de valores posibles, quedando así definida
una región paramétrica. Los criterios de decisión a utilizar en estos problemas son generalmente
conservativos, aspirando a asegurar lo mejor para los peores valores que pueden ocurrir. Como ejemplo
puede mencionarse el trabajo de Sargent & Grossmann 1983, quienes determinan la existencia de un
punto paramétrico crítico (peor caso), tal que el diseño calculado para ese punto es factible para cualquier
valor de la región paramétrica que puedan tomar los parámetros.
En el caso que para estos parámetros cuyo valor está sujeto a incertidumbre, se dispusiera de una función de
densidad de probabilidad, el tomador de decisión podría arriesgarse a tomar decisiones en función de esa
información probabilística, adoptando como criterio de decisión optimizar el valor esperado del objetivo
elegido.
Nuevamente, en virtud del carácter introductorio del presente capítulo, se limitará el desarrollo del tema a los
problemas de optimización bajo certidumbre.
Adoptado el criterio de decisión, el paso que sigue es expresar las restricciones y el objetivo como funciones
matemáticas de las variables de decisión.
Se obtiene así un modelo matemático del problema de optimización. El modelo matemático resultante tendrá
la siguiente estructura general:
Cuando la función objetivo y todas las restricciones son lineales esta estructura matemática se denomina
modelo de Programación Lineal, (Linear Programming, LP), mientras que si al menos una de las funciones
descriptas es no lineal, se denomina modelo de Programación No Lineal (Nonlinear Programmig, NLP). En el
caso en que las variables del modelo son enteras, se denomina modelo de Programación Lineal Entero,
(Integer Linear Programming, ILP) y modelo de Programación No Lineal Entero (Integer Nonlinear
Programmig, INLP) respectivamente.
Puede ocurrir que el modelo posea variables continuas y enteras mezcladas, en este caso se denomina modelo
de Programación Lineal Entero Mixto, (Mixed Integer Linear Programming, MILP) y modelo de
Programación No Lineal Entero Mixto (Mixed Integer Nonlinear Programmig, MINLP) respectivamente. Es

4. este el modelo asociado al problema general de diseño, según se vio en el capítulo II, con múltiples objetivos
y generalmente con incertidumbre en la información. Cada tipo de modelo de programación matemática tiene
asociado elementos teóricos y algoritmos particulares. Este capítulo presenta una breve descripción conceptual
de elementos teóricos y algoritmos de los modelos LP y NLP exclusivamente.
Algunos conceptos asociados a los modelos matemáticos de optimización son los siguientes:
 Región Factible: es el conjunto RF de puntos x_ Rn que satisfacen simultáneamente todas las
restricciones del Programa Matemático.
 Punto Factible: es todo punto x_ RF.
 Punto No Factible: es todo punto xÕ RF.
 Solución Óptima del Modelo: es todo punto factible x* que brinda el mejor valor de la función
objetivo. x* es un punto óptimo y f(x*) el valor óptimo de la función objetivo. Es necesario destacar
aquí que el concepto de óptimo está asociado al modelo y no al problema. Es decir, el óptimo
corresponde al modelo y podrá aproximar más o menos bien al óptimo del problema dependiendo de
cuán bien el modelo representa al problema de optimización en cuestión.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Hay varias maneras de clasificar los problemas de optimización, teniendo en cuenta las
características de la función objetivo y las del conjunto factible. Para los fines de esta investigación,
tomaremos como criterio de tipificación de un problema de optimización la naturaleza del conjunto
factible, y como referencia el libro de Pinto Carvalho et al (2003). Así, desde este punto de vista, hay
cuatro clases de problemas de optimización: continua, discreta, combinatoria y variacional, que
pasamos a describirlos brevemente:
 Problema de optimización continua: cuando su conjunto factible es un subconjunto continuo de
R
n
; es decir, cuando todos los elementos del conjunto factible son puntos de acumulación.
 Problema de optimización discreta: cuando su conjunto factible es un conjunto discreto; es decir,
cuando el conjunto factible no tiene puntos de acumulación. Lo más frecuente es que tal conjunto
discreto sea un subconjunto de Z o de Z
n
 Problema de optimización combinatoria: cuando su conjunto factible es finito. Cabe aclarar que
en estos problemas los elementos del conjunto factible no están explícitamente determinados,
sino indirectamente especificados mediante relaciones combinatorias. Un problema conocido de
este tipo es el del agente viajero, que desea encontrar el camino de mínima longitud que
comience en un determinado pueblo, recorra los n pueblos que debe visitar y regrese al pueblo de
partida. El estudio de este tipo de problemas y de métodos eficientes de solución está muy
relacionado con los avances en computación.
 Problema de optimización variacional: cuando su conjunto factible es un subconjunto de
dimensión infinita de un espacio de funciones. El problema de la braquistócrona, los del cálculo
de variaciones y los de la teoría de control óptimo son ejemplos de problemas de optimización
variacional. Un ejemplo sencillo de formular y examinar es la determinación del camino más
corto sobre una determinada superficie, que une a dos puntos dados de tal superficie.

5. Otros criterios de clasificación de los problemas de optimización son:
 Teniendo en cuenta el tipo de restricciones en las variables
• Con restricciones dadas por igualdades
• Con restricciones dadas por desigualdades
 Teniendo en cuenta las propiedades de la función objetivo y de las que definen las restricciones
• Lineales
• No lineales
• Convexas, etc.
Ejemplos y comentarios
Problema 1
Encontrar dos números cuya suma sea 15 y cuyo producto sea máximo.
Tal como está planteado, sin restricciones explícitas para los números, es un problema de
optimización continua; sin embargo, si se plantea en primaria o cuando sólo se conocen los números
enteros, es un problema de optimización discreta.
 Formalización
Presentado formalmente, este problema es el de maximizar la función f(x
1
, x
2
) = x
1
x
2
, sabiendo que
x
1
+ x
2
= 15. Así, la función objetivo está claramente identificada y la variable x tiene dos
componentes. Según el nivel en el que se use el problema, o los objetivos que se busquen, x
1
y x
2
pueden variar en los números enteros, en los números racionales o en los números reales. En el caso
más amplio, f está definida en el conjunto Rx R ( el plano R
2
) , el conjunto factible F es el conjunto
de puntos (x
1
, x
2
) del plano, que cumple la ecuación x
1
+ x
2
= 15 (una recta) y el conjunto C es todo
el conjunto R.
 Distintos niveles
Según el nivel en el que se explote didácticamente este problema, puede ser aritmético, algebraico o
de geometría analítica. Como problema aritmético se usan las operaciones de adición y
multiplicación y el ensayo y error; como problema algebraico se usan ecuaciones y un sistema de
ecuaciones con dos variables que no es lineal; y como problema de geometría analítica, se usan las
gráficas de una recta y de una familia de hipérbolas equiláteras. En el marco más amplio de la
optimización matemática, es un problema de programación no lineal.

6. Problema 2
Se tiene dos láminas rectangulares: una de 9 cm de largo por 7 cm de ancho y otra de 6 cm de largo
por 2 cm de ancho. Moviendo libremente las láminas en el plano y juntándolas de modo que uno de
los lados de una lámina esté completamente unido a uno de los lados de la otra lámina, se forman
nuevas figuras planas. Dibuja una de esas figuras: la que tú consideras que tiene el mayor perímetro.
Escribe cuál es ese perímetro y explica por qué consideras que es el mayor.
Formalización
El conjunto F está formado por las infinitas figuras planas que resultan de juntar las dos láminas,
según lo indicado en el problema. A cada figura corresponde un perímetro y así queda definida la
función objetivo, con valores numéricos. Esta definición no necesariamente es algebraica. Lo
importante es que a cada figura formada juntando las láminas, le corresponde un número, que es su
perímetro. Al resolver el problema se van a encontrar situaciones equivalentes, que formalmente
determinan dos clases de equivalencia en el conjunto F, en las que se cumple la relación “tener el
mismo perímetro que”.
Distintos niveles
Tal como está planteado, es un problema que se puede usar en clases de primaria. Basta conocer el
concepto de perímetro de una figura plana y efectuar operaciones aritméticas.
Si al problema se le hace la ligera modificación de permitir que al unir las láminas por sus lados, la
parte común no necesariamente sea de la longitud de uno de los lados, ya tenemos un problema de
optimización continua. El conjunto C ya no es finito, aunque es acotado superior e inferiormente.
Ciertamente este nuevo problema requiere el conocimiento de los números reales. Puede usarse en
clases de secundaria. Si ya se conocen funciones, se puede expresar algebraicamente la función
objetivo: f(x) = 48 – 2x , donde x es la longitud de la parte común al unir las láminas. 48 es la suma
de los perímetros de ambas láminas.
Si a la modificación explicada en el párrafo anterior se le añade que la parte común al unir las
láminas no puede reducirse a un solo punto, el problema brinda la oportunidad de relacionar
conceptos de intervalos semiabiertos, funciones lineales afines, el máximo de funciones lineales
afines, etc. y de trabajar con un problema de optimización que queda resuelto cuando se justifica que
no es posible encontrar un valor máximo. Está en juego el concepto de supremo.
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:
1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una
variable.
3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.
5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

7. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
EJERCICIO #1
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
Relacionamos las variables:
2 x + 2 y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un
triángulo cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima
sería un triangulo equilatero.
EJERCICIO #2
Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un
cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que
volumen de dicha caja sea máximo.

8. EJERCICIO #3
Una hoja de papel debe tener 18 cm2
de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y
márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie
del papel.
EJERCICIO #4
Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo
del cuadrado del segundo sea un mínimo.

9. EJERCICIO #5
Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos
placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
EJERCICIO #6
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
EJERCICIO #7
Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un
círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la
suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

10. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
ESTUDIO DE LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
f(x) = x3
− 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad
(si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Si f''(x) > 0 es convexa.
Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.
4. Escribimos los intervalos:
Convexidad: (0, ∞)
Concavidad: (−∞, 0)

11. EJERCICIOS
EJERCICIO #1
Dominio
EJERCICIO #2

12. EJERCICIO #3
MÁXIMOS
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
MÍNIMOS
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0

13. CÁLCULO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
f(x) = x3
− 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2
− 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada
primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3
− 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3
− 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
EJERCICIO 1:
EJERCICIO 2: