matematicas de negocios

1. MATEMÁTICAS PARA TOMA DE
DECISIONES
M.A OSCAR GUZMAN ORTIZ

2. OBJETIVO GENERAL
se aplicara las técnicas matemáticas como
herramientas de tomas de decisiones de
planeación dentro del proceso administrativo,
para la acertada toma de decisiones dentro de
una empresa u organización

3. UNIDAD I PROGRAMACIÓN LINEAL
1.1 Las Herramientas matemáticas en la toma de decisiones
1.2 Programación matemáticas
1.2.1 Modelos matemáticos de programación lineal
1.2.2 Solución a los modelos matemáticos
1.2.2.1 Método gráfico
1.2.2.2 Método Simplex primal
1.2.2.1 Método Simplex dual
1.2.3 Análisis de Sensibilidad
UNIDAD II ASIGNACIÓN Y TRANSPORTE
2.1 Modelo de transporte
2.2 Solución al modelo de transporte
2.2.1 Costo mínimo
2.2.2 Esquina noroeste
2.2.3 Vogel
2.3 Prueba de optimidad
2.4 Modelo de asignación
2.5 Solución al modelo de asignación por el método Húngaro

4. UNIDAD III PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON PERT -CPM
3.1 Representación con diagrama de flechas
3.2 Cálculos de ruta critica
3.2.1 Determinación de ruta critica
3.2.2 Determinación de las holguras
3.3 Construcción del diagrama de tiempo y nivelación de recursos
3.4 Consideración de probabilidad en la programación de proyectos
UNIDAD IV PRONÓSTICOS
4.1 Importancia de los pronósticos
4.2 Tipos de pronósticos
4.3 Componentes de la demanda
4.4 Análisis de series de tiempo
4.4.1 promedio móvil simple
4.4.2 Promedio móvil ponderado
4.4.3 Suavización exponencial
4.4.4 Error del pronóstico, fuentes de error, medición del error
4.4.5 Análisis de regresión lineal
4.4.6 Descomposición de una serie de tiempo

5. RESOLUCION DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE CASOS 10%
ANALISIS Y REVISION DE CUESTIONARIOS Y RESUMENES 10%
INVESTIGACIÓN BIBLIOGRAFICA Y DE CAMPO 10%
REPORTES DE LECTURA 10%
EXPOSICION DE TEMAS 50%
50%
EXAMEN DE CONOCIMIENTOS 50%
PRESENTACIÓN DE UN PROYECTO DONDE APLIQUE LAS
MATEMATICAS PARA TOMA DE DECISIONES DENTRO DE
UNA EMPRESA

7. • Proyecto
• Seleccionar una empresa
• Aplicar cada una de las herramientas vistas en
la toma de decisiones

8. • UNIDAD I PROGRAMACIÓN LINEAL
• 1.1Las Herramientas matemáticas en la toma
de decisiones

9. SOLUCION DE PROBLEMAS
ES EL PROCESO DE IDENTIFICAR UNA
DIFERENCIA ENTRE EL ESTADO ACTUAL DE LAS
COSAS Y EL ESTADO DESEADO Y LUEGO
EMPRENDER ACCIONES PARA REDUCIR O
ELIMINAR LA DIFERENCIA.

10. • Las herramientas para las decisiones tecnológicas
tales como los modelos matemáticos han sido
aplicados a una amplia gama de situaciones en la
toma de decisiones dentro de diversas áreas de la
gerencia. En la toma consciente de decisiones
bajo incertidumbre, siempre realizamos
pronósticos o predicciones. Podríamos pensar
que no estamos pronosticando, pero nuestras
opciones estarán dirigidas por la anticipación de
resultados de nuestras acciones o inacciones

11. ¿Cual es el proceso para solución de
problemas?

12. ¿Cual es el proceso para tomar
decisiones?

13. Considere el ejemplo siguiente del
proceso de toma de decisiones.
Suponga que por el momento está
desempleado y que le gustaría ocupar
un puesto que le permita tener una
carrera satisfactoria. Imagine que su
búsqueda de empleo da como
resultado ofertas de empresas en
acayucan (Veracruz), Cancún
(Quintana Roo), Monterrey (Nuevo
león) y san pedro martir ( a 41 km de
Querétaro). Por tanto, las alternativas
para su problema de decisión pueden
plantearse como sigue:
1. Aceptar el puesto en Veracruz.
2. Aceptar el puesto en Cancún.
3. Aceptar el puesto en Monterrey.
4. Aceptar el puesto en Querétaro.

14. El paso siguiente del proceso de solución de problemas consiste
en determinar los criterios que se utilizarán para evaluar las
cuatro alternativas. Como es lógico, el sueldo inicial es un factor
importante. Si el sueldo fuera el único criterio importante para
usted, la alternativa seleccionada como “mejor” sería aquella
con el sueldo inicial más alto.
Alternativa Sueldo
inicial
Veracruz $48,500
Cancún $40,000
Monterrey $46,000
Querétaro $47,000
El paso siguiente en este proceso es evaluar cada una de las alternativas con respecto a
cada criterio. Por ejemplo, la evaluación de cada alternativa con respecto al criterio de
sueldo inicial se realiza sencillamente al registrar el sueldo inicial para cada alternativa
de trabajo. Sin embargo, es más difícil evaluar cada alternativa de trabajo con respecto a
la posibilidad de crecimiento y la ubicación del trabajo, debido a que estas evaluaciones
se basan principalmente en factores subjetivos que con frecuencia es difícil cuantificar.
Suponga que decide medir la posibilidad de crecimiento y la ubicación del trabajo al
calificar cada uno de estos criterios como malo, medio, bueno o excelente. Los datos que
recolecta se muestran en la tabla
Imagine también que llega a la conclusión de que la posibilidad de crecimiento y la
ubicación del trabajo son otros dos criterios importantes. Por tanto, los tres criterios
en su problema de decisión son el sueldo inicial, la posibilidad de crecimiento y la
ubicación.
Los problemas en los cuales el objetivo es encontrar la mejor
solución con respecto a un criterio único se conocen como
problemas de decisión con un solo criterio.
Los problemas que involucran más de un criterio
se conocen como problemas de decisión con
criterios múltiples.

15. Alternativa Sueldo inicial Posibilidad
de
crecimiento
Ubicación del
trabajo
Veracruz $48,500 Media Media
Cancún $40,000 Excelente Buena
Monterrey $46,000 Buena Excelente
Querétaro $47,000 Media Buena
Ahora está listo para elegir una de las alternativas disponibles. Lo que hace tan difícil
esta fase de elección es que tal vez no todos los criterios tengan la misma importancia y
que ninguna alternativa sea “mejor” que el resto de los criterios. Aun cuando se
presentará más adelante un método para lidiar con situaciones como ésta, por ahora
suponga que después de una evaluación detallada de los datos de la tabla, usted decide
seleccionar la alternativa 3. Por tanto la alternativa 3 es la decisión.
En este punto el proceso de toma de decisiones está completo. En resumen, este
proceso implica cinco pasos:

16. RELACIÓN ENTRE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LA
TOMA DE DECISIONES

18. El proceso de solución de problemas
implica los pasos siguientes:
1. Identificar y definir el problema.
2. Determinar el conjunto de soluciones alternas.
3. Determinar el criterio o criterios que se
utilizarán para evaluar las alternativas.
4. Evaluar las alternativas.
5. Elegir una alternativa.
6. Implementar la alternativa seleccionada.
7. Evaluar los resultados para determinar si se ha
obtenido una solución satisfactoria.

19. La toma de decisiones esta
muchas veces relacionada con
los antecedentes,
conocimientos, cultura y
vivencias.
la realizamos por intuición, por
experiencias, o por modelos
matemáticos probados o
experimentales (sin saberlo)

20. Como administradores nuestra función es
la optimizar los recursos (maximizar las
utilidades y minimizar los recursos)
Recursos:
Humanos
Materiales
Financieros
Técnicos
Por lo tanto cuando construimos nuestra función
objetivo ( es decir lo que queremos lograr) lo que
esperamos obtener es maximizarlas
utilidades o minimizar (disminuir ) el uso de los
recursos o costos.

21. Para el uso de estos métodos es necesario contar con
solo un objetivo, maximizar o minimizar,
La optimización está sujeta a diversas variables que
afectan directamente al objetivo, por ejemplo si
deseamos preparar un producto estaremos limitados por
la cantidad de insumos (materia prima) con los que
contemos o podamos obtener, también estaremos
limitados por los costos de producción o ventas, ect.
A este grupo de variables que afectan directamente
al logro del objetivo las llamaremos restricciones.
Las restricciones deberán ser:
• iguales, mayores y/o menores a cierta cantidad
• no deberán ser negativas (no deseamos tener
perdidas, o no es posible tener menos de cero
productos o material)

22. Herramientas

23. Programación Lineal: La programación lineal es un método de
solución de problemas que se ha desarrollado para situaciones
que implican la maximización o la minimización de una
función lineal sujeta a restricciones lineales que limitan la
medida en la que se puede tender hacia la función objetivo.
Programación Lineal según enteros: Esta programación lineal es
un método que se utiliza para problemas que pueden ser planteados
como programas lineales, con el requisito adicional de que algunas o
todas las decisiones recomendadas deben asumir valores enteros.
Modelos de redes: Una red es una representación gráfica de un
problema que consiste en pequeños círculos, a los que se
denomina nodos, interconectados por líneas a las que se
denomina arcos. Existen procedimientos de solución especializados
para este tipo de problemas que permiten resolver rápidamente
muchos problemas gerenciales en áreas como diseño de sistemas de
transporte, diseño de sistemas de información y programación de
proyectos.

24. Administración de proyectos (PERT/CPM): En muchos casos los
administradores asumen la responsabilidad de la planeación, la
programación y el control de proyectos que constan de numerosas
tareas o trabajos que son llevados a cabo por diversos departamentos,
personas, etc. PERT y CPM son técnicas que ayudan a los
administradores a cumplir con sus responsabilidades en la
administración de proyectos.
Modelos de inventarios Estos modelos se utilizan para auxiliar a
administradores que enfrentan los problemas duales de mantener
suficientes inventarios para satisfacer la demanda de bienes y, al
mismo tiempo, de incurrir en los menores costos posibles por el
mantenimiento de esos inventarios.
Modelos de líneas de espera (colas): Se han desarrollado los
modelos de líneas de espera (colas o filas) para ayudar a los
administradores a comprender y a tomar mejores decisiones con
respecto a la operación de sistemas que implican líneas de espera.

25. Programación de metas: Ésta es una técnica que se utiliza
para resolver problemas de decisiones con criterios múltiples,
por lo general dentro de una estructura de programación lineal.
Análisis de decisiones: El análisis de decisiones puede servir para
determinar estrategias óptimas en situaciones en las que existen
varias alternativas de decisión y un patrón de eventos incierto o
lleno de riesgos.
Proceso analítico de jerarquización: Es una técnica de toma
de decisiones con criterios múltiples que permite la inclusión de
factores subjetivos para llegar a la decisión que se recomienda.
Pronóstico: Los métodos de pronóstico se pueden emplear para
predecir aspectos futuros de una operación de negocios.
Simulación en computadora: Esta es una técnica que se utiliza para
ensayar modelos de la operación de un sistema en el tiempo. Tal
técnica emplea un programa computacional para modelar la operación
y realizar cálculos sobre la simulación.

26. Modelos de procesos de Markov: Los modelos de procesos de Markov
son útiles para estudiar la evolución de ciertos sistemas después de varias
repeticiones. Por ejemplo, se han usado procesos de Markov para describir
la probabilidad de que una máquina que está funcionando en un periodo
continúe operando o se descomponga en otro periodo.
Programación dinámica: Esta programación es una
técnica que permite descomponer un problema grande de
manera que, una vez que se han resuelto los problemas
más pequeños obtenidos en la descomposición, se tiene
una solución óptima para el problema completo.

27. •PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SIMPLEX, DUAL
• TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN
•PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS PERT/CPM
•PRONÓSTICOS

28. Utilización de las Metodologías de la Ciencia de la Administración y de
Investigación de Operaciones Frecuencia de uso (% de respuestas)
Nunca Moderada Frecuente
Estadística 1.6 38.7 59.7
Simulación en
computadora
12.9 53.2 33.9
PERT/CPM 25.8 53.2 21.0
Programación lineal 25.8 59.7 14.5
Teoría de las colas 40.3 50.0 9.7
Programación no
lineal
53.2 38.7 8.1
Programación
dinámica
61.3 33.9 4.8
Teoría de los juegos 69.4 27.4 3.2

29. Modelos

30. 2 X 3 X+ 5=
2 X 3 Y+ =2 X 3 Y+
X
a) 6X2
b) 5X2
c) 6X
d) 5X

31. Desarrollo de modelos
Los modelos son
representaciones de objetos o
situaciones reales y pueden
presentarse en varias formas.
modelos icónicos
Una segunda clasificación incluye
modelos que tienen la misma
forma física pero no la misma
apariencia que el objeto
modelado.
Modelos análogos
Una tercera clasificación de modelos, el tipo que
estudiaremos principalmente, incluye representaciones
de un problema mediante un sistema de símbolos y
relaciones o expresiones matemáticas. Estos modelos se
conocen como modelos matemáticos y son parte
fundamental de cualquier método cuantitativo para la
toma de decisiones
MAXIMIZAR Z = 800 X + 1000 Y
10 X + 20 Y ≤700
20 X + 10 Y ≤ 500
X ,Y ≤ 0
modelos matemáticos

32. 50 gr 250 ml
Que ingredientes se requieren para preparar una taza de chocolate de
agua

33. 50 gr 250 ml50 250
¿Cuanto producto de chocolate y cuanto de agua se requiere para preparar
500 tazas?
¿Cuánto? ¿Cuánto?
500600800

34. 25050

36. modelo matemático

37. Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:
Variables de decisión
y parámetros
Restricciones
Las variables de decisión son incógnitas que
deben ser determinadas a partir de la
solución del modelo.
Los parámetros representan los valores
conocidas del sistema o bien que se
pueden controlar.
Las restricciones son relaciones entre las
variables de decisión y magnitudes que dan
sentido a la solución del problema y las acotan
a valores factibles.
Por ejemplo si una de las variables de decisión
representa el número de empleados de un
taller, es evidente que el valor de esa variable
no puede ser negativa.
La cantidad de productos no debe rebasar
cierta cifra

38. La función objetivo es una relación matemática
entre las variables de decisión, parámetros y
una magnitud que representa el objetivo o
producto del sistema.
Por ejemplo si el objetivo del sistema es
minimizar los costos de operación, la función
objetivo debe expresar la relación entre el
costo y las variables de decisión.
Maximizar la producción de x producto
Función Objetivo

39. Función Objetivo
MAXIMIZAR
MINIMIZAR
Sujeto a restricciones
Enteros
No negatividad (Positivos)
etc

40. A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o
mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8
de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el
grande y de 4000 el chico
Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible
variables
X1 X2

41. A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o
mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8
de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el
grande y de 4000 el chico
Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible
objetivo
$9,000 $4,000
minimizar
Z $9,000 $4,000X1 X2

42. A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o
mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8
de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el
grande y de 4000 el chico
Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible
restricciones
40 20
X1 X2
LOS ALUMNOS QUE ENTREN EN CIERTO NUMERO DE
AUTOBUSES GRANDES, MAS LOS QUE ENTREN EN
AUTOBUSES
≥ 320
40 20 ≥ 320
Z= 9000X1 +4000 X2
objetivo

43. A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o
mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8
de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el
grande y de 4000 el chico
Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible
10
X1
X2
LA EMPRESA TRANSPORTISTA TIENE 10 AUTOBUSES DE
20 ASIENTOS Y 8 DE 42 ASIENTOS
8
8
10
≤
≤
≤
≤
restricciones
X1 ≤ 8
X2 ≤ 10
Z= 9000X1 +4000 X2
40X1 +20 X2 ≥ 320
objetivo

44. A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o
mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8
de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el
grande y de 4000 el chico
Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible
restricciones
LA EMPRESA TRANSPORTISTA DISPONE DE 9
CONDUCTORES ( ES DECIR NO SE PUEDE ASIGNAR MAS
DE 9 AUTOBUSSES EN TOTAL)
X1 X2
≤ 9
≤ 9X1 ≤ 8
X2 ≤ 10
Z= 9000X1 +4000 X2
40X1 +20 X2 ≥ 320
X1 + X2 ≤ 9
objetivo

45. A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o
mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8
de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el
grande y de 4000 el chico
Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible
restricciones
LOS VALORES TIENEN QUE SER ENTEROS POSITIVOS
(AUTOBUSES)
≥ 0
X1 ≤ 8
X2 ≤ 10
Z= 9000X1 +4000 X2
40X1 +20 X2 ≥ 320
X1 + X2 ≤ 9
objetivo
≥ 0
X1 , X2 ≥ 0

46. restricciones
40X1 +20 X2 ≥ 320
objetivo
X1 , X2 ≥ 0
Z= 9000X1 +4000 X2
X1 ≤ 8
X2 ≤ 10
X1 + X2 ≤ 9

48. EL MODELO GENERAL DE
PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
La Programación Matemática (PM) provee
modelos matemáticos asociados con
situaciones-problema que involucran
decisiones de corto o mediano plazo, en que
se intenta optimizar (maximizar o minimizar)
un determinado objetivo, pudiendo existir
restricciones a las decisiones posibles para
lograrlo.

49. • Una aplicación típica de la PM
corresponde a situaciones en
que se debe asignar un conjunto
de recursos limitados entre
actividades que compiten por su
utilización, existiendo la
intención de realizar la
asignación de recursos en una
forma tal que se maximicen
utilidades o se minimicen
costos.

51. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL EN MARKETING
SELECCIÓN DE MEDIOS PUBLICITARIOS: La Programación Lineal se
utiliza en el campo del marketing y la publicidad como una
herramienta que nos permite determinar cuál es la combinación
más efectiva de medios para anunciar nuestros productos. En
muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad
fijo y nuestro objetivo será distribuirlo entre las distintas opciones
que se nos ofrecen (televisión, radio, periódicos, revistas, etc.) de
forma que nuestros productos tengan la mayor difusión posible.
En otros casos, las restricciones no serán presupuestarias sino que
vendrán dadas por la disponibilidad de cada medio y por las
políticas publicitarias de nuestra propia empresa.

52. • Método grafico
• Método simplex primal
• Método simplex dual
– Análisis de sensibilidad
• Método transporte
• Método asignación

55. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL EN PRODUCCIÓN
COMBINACIÓN ÓPTIMA DE BIENES: A menudo las técnicas de PL permiten
decidir sobre la cantidad más adecuada que una empresa debe producir de cada
uno de sus productos a fin maximizar los beneficios sin dejar de cumplir con
unos determinados requisitos (financieros, de demanda, contractuales, de
disponibilidad de materias primas, etc.).
PLANIFICACIÓN DE LA PRODUCCIÓN: El establecer un plan de producción para
un período de semanas o meses resulta ser una tarea difícil e importante en la
mayoría de las plantas de producción. El director de operaciones debe
considerar muchos factores: mano de obra, costes de inventario y
almacenamiento, limitaciones de espacio, demanda, etc. Por lo general la
mayoría de las plantas producen más de un bien, con lo que la tarea anterior se
complica aún más. Como veremos en el siguiente ejemplo, el problema de la
planificación se asemeja bastante al de la combinación óptima de bienes,
pudiendo ser el objetivo maximizar beneficios o bien minimizar los costes de
producción más almacenamiento.

56. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA DISTRIBUCIÓN DE ÁREAS
ASIGNACIÓN DE TRABAJOS: El objetivo aquí será asignar de la forma más eficiente posible un
trabajo a cada empleado o máquina. Ejemplos de este tipo de asignación serían la distribución de
coches patrulla por las calles de una ciudad o la destino de cada jefe de ventas a una determinada
zona geográfica. El objetivo puede ser bien minimizar los tiempos o costes de desplazamiento, o
bien maximizar la efectividad de las asignaciones.
Aparte de poder utilizar los algoritmos tradicionales (Simplex y Karmarkar), este tipo de problemas
también puede resolverse usando técnicas especialmente diseñadas para sus características como
el método húngaro, el cual necesita de menos iteraciones para dar con la solución.
Una propiedad particular de los problemas de asignación es que tanto los coeficientes tecnológicos
cómo los términos independientes (right-hand-side) siempre toman el valor 1. Además, todas las
variables serán binarias, tomando el valor 1 si la asignación propuesta se lleva a cabo y 0 en caso
contrario.
PLANIFICACIÓN DE HORARIOS: La planificación de horarios intenta dar una respuesta efectiva a las
necesidades de personal durante un período concreto de tiempo. La aplicación de la PL a este tipo
de problemas resulta especialmente útil cuando los directivos disponen de cierta flexibilidad a la
hora de asignar tareas a empleados polifuncionales. Un sector típico donde se hace uso de la PL
para tomar decisiones sobre planificación de horarios son las entidades bancarias.

57. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LAS FINANZAS
SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES: Un problema al que se tienen que
enfrentar de forma habitual los directivos de bancos, fondos de inversión, y
compañías de seguros es la selección de una serie de inversiones concretas de
entre la gran variedad de alternativas existentes en el mercado. Por norma
general, el objetivo de estos directivos es maximizar los beneficios esperados de
estas inversiones, las cuales se ven sometidas a un conjunto de restricciones,
algunas legales y otras provenientes de la propia empresa (como puede ser el
nivel de riesgo que se desea asumir o la cantidad máxima que se permite
invertir).

58. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA LOGÍSTICA
El PROBLEMA DEL TRANSPORTE: El llamado problema del transporte se refiere al
proceso de determinar el número de bienes o mercancías que se han de
transportar desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos posibles.
El objetivo suele ser minimizar costes de transporte, y las restricciones vienen
dadas por las capacidades productivas de cada origen y las necesidades de cada
destino. Este tipo de problema es un caso específico de PL, por lo que existen
métodos y algoritmos especiales que facilitan su resolución (Regla de la Esquina
NorOeste, Método de Vogel, Método de Paso Secuencial, y Método de
distribución modificada o MODI).

59. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A MEZCLAS
El PROBLEMA DE LA DIETA: Este problema representa una de las primeras
aplicaciones de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la
dieta más económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas
especificaciones nutritivas mínimas. En la actualidad también se aplica con éxito
en el ámbito agrícola con la misma idea de encontrar la combinación óptima de
alimentos que, logrando un aporte nutritivo mínimo, suponga el menor coste
posible.

65. Todos los problemas de PL (Programación Lineal) tiene cuatro
propiedades en común:
1. Los problemas de PL buscan maximizar o minimizar una cantidad (generalmente beneficios
o costos). Nos referimos a ello como la Función Objetivo de un PL. El principal objetivo de
una empresa tipo es maximizar los beneficios a largo plazo. En el caso de un sistema de
distribución, el objetivo puede ser minimizar los costos de transporte.
2. La presencia de restricciones limita el grado en que podemos perseguir el objetivo. Por
ejemplo, decidir cuántas unidades se deben fabricar para una línea de productos de una
empresa está restringido por la disponibilidad de horas de mano de obra y máquinas. Se
quiere por tanto, maximizar o minimizar una cantidad (función objetivo) sujeta a las
limitaciones de recursos (restricciones).
3. Deben existir diferentes alternativas donde poder elegir. Por ejemplo, si una empresa
fabrica tres productos, los directivos pueden utilizar PL para decidir cómo asignar entre
ellos sus recursos de producción limitados (trabajo, máquinas y demás). Si no existen
alternativas evidentes que seleccionar, no necesitaremos la PL.
4. La función objetivo y las restricciones de un PL deben ser expresadas en términos de
ecuaciones lineales o inecuaciones.
Una de las aplicaciones más comunes de la programación lineal es el problema del plan de
producción. Do o más productos se fabrican con recursos limitados. La empresa desea saber
cuántas unidades deben fabricarse de cada producto, maximizando los beneficios globales y
teniendo en cuenta las limitaciones de recursos.

67. El método gráfico se emplea para resolver problemas que
presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento
consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un
eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de
soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las
restricciones).
Método Gráfico
La solución óptima del problema
se encuentra en uno de los
vértices de esta área de
soluciones creada, por lo que se
buscará en estos datos el valor
mínimo o máximo del problema.
Solución óptima
X1
X2
Z
Z
X1
X2
L2 L1
Área de
soluciones
factibles

68. 1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan
todas las restricciones en forma simultánea.
2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en
primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de
una línea recta.
4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción
cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la
línea recta asociada.
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen
todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la
solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la
función objetivo.
7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la
asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual
crece o decrece el valor de la función objetivo.
Siete pasos necesarios para realizar el método

70. El análisis de sensibilidad

71. “En forma genérica, el análisis de sensibilidad busca investigar los efectos
producidos por los cambios del entorno sobre el sistema. El propósito general es
identificar los parámetros relativamente sensibles (es decir, aquellos que no pueden
cambiarse mucho sin cambiar la solución óptima), con el fin de estimarlos con
mayor precisión y seleccionar entonces una solución que siga siendo buena sobre
los intervalos de valores probables de los parámetros sensibles.
Desde el punto de vista de la programación lineal, el análisis de sensibilidad,
llamado también análisis paramétrico, es un método que permite investigar los
efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros
sobre la solución óptima. Es necesario no perder de vista que los cambios en la
solución del primal repercuten automáticamente en la solución de su modelo dual.
Por lo tanto, puede elegirse qué modelo (primal o dual) se va a utilizar para
investigar los efectos,

72. Mediante el análisis de sensibilidad, podemos responder preguntas como las
siguientes:
1. ¿Cómo afectará el cambio de un coeficiente de la función objetivo a la
solución óptima?
2. ¿Cómo afectará el cambio de un valor del lado derecho de una restricción a
la solución óptima?

73. El análisis de sensibilidad es importante para los tomadores de
decisiones debido a que los problemas reales ocurren en un
entorno en constante cambio.
• Los precios de las materias primas,
• La demanda de productos,
• Las capacidades de producción,
• Los precios de las acciones,
• Etc,
todo ello cambia.
Si un modelo de programación lineal se utiliza en un entorno
como éste, podemos esperar que algunos de los coeficientes del
modelo cambien con el tiempo y tal vez queramos determinar
cómo afectan estos cambios a la solución óptima. El análisis de
sensibilidad proporciona la información necesaria para responder
a estos cambios sin requerir una solución radical de un programa
lineal modificado.

74. CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DEL MODELO
“El análisis de sensibilidad se lleva a cabo en:
• Cambios en los niveles de recursos escasos.
• Cambios en los coeficientes de la función objetivo (coeficientes de
variables básicas y coeficientes de variable no básicas).
• Cambios en los coeficientes tecnológicos (variaciones en las aij para
variables básicas y no básicas).
• Supresión y adición de restricciones.
• Adición de nuevas variables.”

75. Conceptos básicos en Análisis de Sensibilidad
El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas
diferenciadas del problema:
(1) Los coeficientes de la función objetivo
(2) Los coeficientes tecnológicos
(3) Los recursos disponibles.

76. Conceptos básicos en Análisis de Sensibilidad
El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas
diferenciadas del problema:
(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo). Los cambios en los
coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectarán a
la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo).

77. Conceptos básicos en Análisis de Sensibilidad
El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas
diferenciadas del problema:
(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo).
(2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las
restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes
provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible. Gráficamente (en el
caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que representan las
restricciones.

78. Conceptos básicos en Análisis de Sensibilidad
El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas
diferenciadas del problema:
(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo).
(2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las
restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad)
(3) Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la
derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS
suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual
hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima.

82. Variables de decisión:
x1: cantidad de articulo a a producir
x2: cantidad de articulo b a producir
Función objetivo:
Max U = 150x1 + 200x2
Restricciones:
Mano de obra: 8x1 + 8x2 ≤ 64 horas
Matérias primas: 4x1 + 2x2 ≤ 24 unidades
Demanda: 2 ≤x 6 artículos

83. Su solución grafica se indica que la solución optima será 2 unidades del artículos a y 6 del b,
obteniendo una utilidad de $1 500.
Optimal Decisions (x1, x2) : (2, 6)
: 8x1 + 8x2 64
: 4x1 + 2x2 24
: 0x1 + 1x2 6

84. Análisis del vector recursos
Comenzaremos a analizar que pasaría si cambia el vector de recursos. Hay que señalar
que el análisis de sensibilidad se hace para cada una de las restricciones por separado,
dejando todos los demás parámetros como estaban.
¿Que pasara si la mano de obra pasa de 64 a 65 horas, o a 66?, y si continua
aumentando, ¿hasta cuanto vale la pena que lo haga?

85. se muestra como al
incrementarse la
cantidad de horas
hombre disponibles,
la región factible se
agranda , y el punto
solución se desplaza
y aumenta la
utilidad.
después de cierto valor, la
forma de la región factible
cambia, y la solución que
inicialmente se encontraba
en la intersección de las
rectas correspondientes a las
restricciones de mano de
obra y demanda pasa a un
nuevo vértice en el que los
recursos que ahora
determinan la máxima
producción son la demanda
y la disponibilidad de
materias primas.

86. En las graficas se muestra como al incrementarse la cantidad de
horas hombre disponibles, la región factible se agranda, y el
punto solución se desplaza y aumenta la utilidad.
Pero después de cierto valor, la forma de la región factible
cambia, y la solución que inicialmente se encontraba en la
intersección de las rectas correspondientes a las restricciones de
mano de obra y demanda pasa a un nuevo vértice en el que los
recursos que ahora determinan la máxima producción son la
demanda y la disponibilidad de materias primas.
En el cuadro se muestran los valores de las variables de
decision, las variables de holgura y de la utilidad total.

87. Valores de las variables para distintos
valores de la disponibilidad de mano de obra
De las graficas y el cuadro se pueden obtener las siguientes conclusiones:
a) Si se aumentan las horas de mano de obra disponibles, aumenta la utilidad.
b) Cuando se aumenta una hora, de 64 a 65, la utilidad aumenta en $18.75; si se
aumentan dos horas, de 64 a 66, el incremento de la utilidad es de $37.50, que
equivale a 37.50/2 = 18.75 $/hora.
c) Este incremento por hora agregada o incremento marginal se mantiene hasta
que se llega a las 72 horas de mano de obra. En las graficas se observa que la
región factible aumenta exactamente hasta ese valor.

88. Valores de las variables para distintos
valores de la disponibilidad de mano de obra
d) Las holguras iguales a cero indican que se esta cumpliendo exactamente
con esa restriccion. Inicialmente los recursos escasos o restricciones activas
corresponden a la mano de obra y a la demanda. Si se aumenta la mano de
obra por encima de 72 horas, el recurso que ahora limita el incremento de la
utilidad es el de las materias primas. La solucion cambio de vertice y por lo
tanto de variables basicas.
De las graficas y el cuadro se pueden obtener las siguientes conclusiones:
a) Si se aumentan las horas de mano de obra disponibles, aumenta la utilidad.
b) Cuando se aumenta una hora, de 64 a 65, la utilidad aumenta en $18.75; si se
aumentan dos horas, de 64 a 66, el incremento de la utilidad es de $37.50, que
equivale a 37.50/2 = 18.75 $/hora.
c) Este incremento por hora agregada o incremento marginal se mantiene hasta
que se llega a las 72 horas de mano de obra. En las graficas se observa que la
región factible aumenta exactamente hasta ese valor.

90. Una vez identificados los componentes del informe, su interpretación es casi
inmediata: la solución óptima sería producir 200 televisores, 200 equipos Hi-Fi, y
ningún altavoz. La columna de Coste (Gradiente) Reducido nos indica que no resultará
rentable producir altavoces a menos que el beneficio que éstos generen aumente en
2,5 € (llegando a 37,5 €). Examinando los Rangos de los Coeficientes Objetivo,
observamos que la solución actual no variaría si el beneficio generado por cada
televisor se moviese en el rango 70-100 €, o si el generado por los equipos Hi-Fi lo
hiciese en el rango 37,5-75 €, o si el de los altavoces no se incrementase en más
de 2,5 €. Los Precios Duales determinan, junto con los Rangos del Right-Hand-Side,
que estaríamos dispuestos a pagar hasta 12,5 € por cada unidad adicional de conos
hasta un máximo de 100 conos, y hasta 25 € por cada unidad adicional de
componentes electrónicos hasta un máximo de 50 componentes. Observar que, por el
contrario, perderíamos 25 € por cada componente electrónico que “nos quitasen” de
los 600 disponibles, hasta un máximo de 200 unidades (cifra a partir de la cual será
necesario volver a programar).

98. Tarea .
• Detectar al menos dos aplicaciones de modelos en la organización elegida
• Construir los modelos matemáticos
• Resolverlos
• Identificar un problema de transporte y uno de asignación de tareas

100. 1.8 PROBLEMA 1
“Alagh le Cheve” vende cuatro tipos de licores
(productos). Los recursos necesarios de cada
uno y los precios de venta se presentan en la
tabla. En la actualidad se dispone de 4600
unidades de materia prima y 5000 horas de
mano de obra. Para cumplir con la demanda
de los clientes, se tienen que producir
exactamente un total de 750 botellas de licor.
Los clientes demandan también que por lo
menos se elaboren 550 unidades de licor de la
botella 4. Determine una programación lineal
con el cual se maximicen los ingresos por las
ventas de Alagh le cheve.