Estructuras Discretas

1. Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Unidad I
Estructuras Discretas
Claudia Rodríguez
C.I- 19.780.185
Barquisimeto, 3 de noviembre del 2012.

2. PROPOSICIONES:
Las proposiciones no son más que un contenido que pueden ser calificados
como 1 o 0 como valor lógico donde 1 es verdadero y sede notara con las letras
mayúsculas, donde 0 es falso.
Como por ejemplo:
*En cabudare en horas picos, hay demasiado tráfico. VL (T) 1(verdadero).
*La cuidad de Barquisimeto Edo. Lara, nunca se va la luz y el agua. VL (p) 0 falso.
VARIABLE PROPOSICIONAL
En lógica matemática, una variable promocional (también llamada variable
sentencial o letra sentencial) es una variable que puede ser verdadera o falsa. Las
variables proposicionales son los bloques de construcción básicos de las fórmulas
proposicionales, usadas en lógica proposicional y en lógicas superiores.
Las fórmulas en lógica son comúnmente construidas recursivamente a partir de
algunas variables proposicionales, algún número de conectivos lógicos, y algunos
cuantificadores lógicos. Las variables proposicionales son las fórmulas atómicas de
la lógica proposicional. Por ejemplo, en una lógica proposicional dada, se podría
definir una fórmula de la siguiente manera:
Cada variable proposicional es una fórmula.
Dada una fórmula X, su negación ¬X es una fórmula.
Dadas dos fórmulas X e Y, y un conectivo binario b (como por ejemplo la
conjunción ∧), entonces (X b Y) es una fórmula.
De este modo, todas las fórmulas de la lógica proposicional son construidas
utilizando variables proposicionales como unidades básicas.
Las variables proposicionales son representadas como predicados 0-arios en lógica
de primer orden.
CONECTIVAS
Las conectivas son funciones de verdad. quiere decir que son funciones que
toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. en
consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de
valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada
Combinación de valores de verdad. a continuación hay una tabla con las conectivas
más usuales y su definición mediante tablas de verdad:

3. Ejemplo de uso
Ejemplo Análogo en
Conectiva Notación Tabla de verdad
de uso natural el lenguaje
natural
Negación no No está lloviendo.
Está lloviendo y es de
Conjunción y
noche.
Está lloviendo o es de
Disyunción o
noche.
Si está lloviendo,
Condicional si...
entonces es de
material entonces
noche.
Está lloviendo si y
Bicondicional si y sólo si
sólo si es de noche.
Negación Ni está lloviendo ni es
ni... ni
conjunta de noche.
Disyunción o bien... o O bien está lloviendo,
excluyente] bien o bien es de noche.

4. FORMAS PROPOSICIONALES
Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por
variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan.
Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto
español
A, B, C...
Observaciones
* Las formas proposicionales no tienen valor de verdad conocido y, por lo tanto, no
serán consideradas proposiciones. Si cada variable proposicional es reemplazada
por una proposición simple o compuesta, la forma proposicional se convierte en una
proposición.
*Si reemplazamos a las variables proposicionales por proposiciones verdaderas o
falsas, el numero de proposiciones que se generan es 2n , siendo n el numero de
variables proposicionales.
*Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores lógicos para
formar nuevas proposicionales. Dadas A y B, los símbolos ¬A, A^B, AvB, A→B y
A←→B representan nuevas formas proposicionales.
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se
pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las
leyes del algebra de proposiciones son las siguientes:
1. EQUIVALENCIA
P⇔P
2. INDEPOTENCIA
P∧P ⇔P
P∨ P ⇔P
3. ASOCIATIVA
P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R)
P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R)
4. CONMUTATIVA

5. P∧Q⇔ Q∧P
P∨Q⇔ Q∨P
5. DISTRIBUTIVAS
P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)
P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)
6. IDENTIDAD
P∧F ⇔ F
P∧V⇔ P
P∨F⇔ P
P∨V⇔V
7. COMPLEMENTO
P∧¬P⇔F
P∨¬P⇔V
¬(¬P)⇔P
¬F⇔V
¬V⇔F
8. DE MORGAN
¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q
¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q
9. ABSORCION
P∧(P∨Q)⇔P
P∨(P∧Q)⇔P

6. IMPLICACIÓN LÓGICA
La implicación supone un contenido semántico además de formal.
Un sistema lógico se define como una estructura compuesta por un lenguaje
formal junto con una relación binaria de consecuencia semántica (o implicación
lógica) o una relación binaria de consecuencia sintáctica ├ (derivabilidad), o ambas.
La relación de consecuencia semántica se define con respecto a una clase de
estructuras y la relación de consecuencia sintáctica, con respecto a un sistema de
pruebas.10
El cálculo lógico formal sirve para establecer una relación, o derivación entre una
condición y su condicionado, o el establecimiento de una afirmación hipotética. Si
las premisas son verdaderas lo es también la conclusión.
Cuando el cálculo tiene una intención argumentativa en su contenido semántico,
entonces partimos de un contenido material afirmado como verdadero, cuya verdad
es condición necesaria de la verdad de lo condicionado en la conclusión, como
implicación.
Normalmente el uso lógico del pensamiento es argumentativo en este sentido, y por
ello esta distinción no tiene mayor importancia en la vida ordinaria, y suele
confundirse con facilidad.
INFERENCIA
Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones
bien formadas de un lenguaje (EBF) que, al ser relacionadas intelectualmente como
abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre
las diferentes EBF. De esta forma, partiendo de la verdad o falsedad posible (como
hipótesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede
deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBF.
Surge así lo que conocemos como postulado1 o transformada de una
expresión original conforme a reglas previamente establecidas,2 que puede
enmarcarse en uno o varios contextos referenciales diversos,3 obteniéndose en
cada uno de ellos un significado como valor de verdad de equivalente.4 5 6
Es la operación lógica utilizada en los motores de inferencia de los Sistemas
Expertos.

7. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las
tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A
continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en
tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1. (p Ù q) ® r Hipótesis
2. r ® s Hipótesis
3. q ® (q Ù p) Adición tautología 10
4. q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2
5. q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 22
6. q ® s 5,2; regla 22
7. s' ® q' 6; contra positiva, regla 7.
El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.
DEMOSTRACIÓN POR EL MÉTODO DIRECTO
Supóngase que p q es una tautología, en donde p y q pueden ser
proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables
propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una
implicación de la forma.
(p1 p2 ....... pn)  q
Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los
valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q
se desprende lógicamente de p1, p2,......, pn. Se escribe.
p1
p2

pn
q

8. Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración
formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2
es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es
verdadera.
Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por
implicaciones de este tipo.
(p1 p2 ....... pn)  q
Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión.
“Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note
que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino
solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.
DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se
realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha
demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la
demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo
de la demostración es llegar a una contradicción.
La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como
se indica
p ® (p Ù r) Ù (q Ú s) ® t Ù (p Ú s) t
Demostración
1.- p ® (p Ù r) Hipótesis
2.- (q Ú s) ® t Hipótesis
3.- pÚs Hipótesis
4.- t’ Negación de la conclusión
5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25
6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª
7.- q’ 6; Simplificación, regla 20
8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b
9.- s’ 8; Simplificación, regla 20
10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª

9. 11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21
12.- qÙr 11,1; Modus ponens, regla 24
13.- q 12; Simplificación, regla 29
14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 23
15.- Contradicción.