Describimos el uso de tablas de verdad, as como las deniciones de los principales conectivos logicos: :, ^, _, Y, ) y ,. Nos extendemos un poco en la discusion del conectivo condicional ).

1. Cap´ıtulo 2: Elementos de l´ogica proposicional
por G3
Agosto 2014
Resumen
Describimos el uso de tablas de verdad, as´ı como las definiciones de los
principales conectivos l´ogicos: ¬, ∧, ∨, , ⇒ y ⇔. Nos extendemos un
poco en la discusi´on del conectivo condicional ⇒.
1 Los elementos b´asicos
La l´ogica proposicional binaria, que brevemente estudiamos en este curso,
est´a compuesta de los siguientes elementos.
Conceptos primitivos. Los conceptos no definidos de la l´ogica proposi-
cional son: Verdadero y Falso. No nos interesa definir el sentido de
tales palabras. Generalmente, este valor se adquiere dependiendo del
universo de interpretaci´on en el cual se est´a inmerso.
Definici´on 1. Una proposici´on es toda oraci´on declarativa de la que puede
decirse que es verdadera o falsa, pero no ambas.
Notaci´on. Cuando una proposici´on es verdadera, decimos que su valor de
verdad es V, o bien 1. Cuando es falsa, diremos que su valor de verdad
es F, o bien, 0.
1

2. Ley del tercero excluido. Los ´unicos objetos de la l´ogica proposicional
son las proposiciones. No hay m´as valores de verdad fuera de V y F.
Algunos ejemplos de proposiciones que encontramos en la vida cotidiana
se enlistan a continuaci´on:
1. El calor dilata los cuerpos.
2. Todo cambia, menos mi amor por ti.
3. Si no te hubieras ido, ser´ıa tan feliz.
4. M´as sabe el Diablo por viejo que por diablo.
5. Muero porque no muero.
6. Yo solo s´e que no s´e nada.
7. Hoy es domingo.
8. Todo hombre es honesto.
9. Hay hombres deshonestos.
10. Los elefantes son rosas porque la Luna es de queso.
Observe que los valores de verdad de las proposiciones anteriores pueden
ser relativizados, o condicionados a otros aspectos de la vida cotidiana (por
ejemplo el enunciado 7). Otros en cambio son objetivamente decidibles (por
ejemplo en los enunciados 1, 8 y 9). Otras son formas po´eticas o ret´oricas
(con rasgos ir´onicos o sarc´asticos a veces) cuyo valor de verdad no es tan
f´acil determinar, sin menoscabo de aquello que se intenta describir (como
los enunciados 2, 5 y 6). Otras muestran v´ınculos causales (como el enunci-
ado 3) o casuales (como el enunciado 10) entre dos hechos o circunstancias
verificables en alg´un escenario. Lo importante aqu´ı es que de alg´un modo
u otro podemos asignar un valor de verdad, en todas ellas, a´un cuando ´este
valor est´e relativizado a un determinado contexto. El lector, como un buen
ejercicio, deber´ıa discutir cada una de estos enunciados y asignar un valor
de verdad a cada uno de ellos.
2

3. Algo similar ocurre en la matem´atica. Por ejemplo, el valor de verdad
de la proposici´on
“la suma de los ´angulos interiores de cualquier tri´angulo es 180◦ ”
depender´a de si nuestro contexto es la geometr´ıa eucl´ıdea, o bien una
geometr´ıa no eucl´ıdea.
Pero en cuanto a la l´ogica matem´atica, nos interesa poco este contexto.
Nos situamos en un nivel abstracto superior. S´olo nos interesa investigar
cu´ales son las reglas que rigen los modelos de razonamiento que asignan
´unicamente dos valores de verdad a ciertas oraciones declarativas, no nos
intersa la interpretaci´on que tales modelos tengan.
Algunos ejemplos de oraciones que no son proposiciones se enlistan a
continuaci´on:
1. (Paradoja de Epim´enides el cretense). Esta afirmaci´on es falsa.
2. (Paradoja del mentiroso). Estoy diciendo una mentira.
3. (Paradoja de Pinocho).– Pinocho – Ahora mismo me crecer´a la nariz.
4. Esta frase es verdadera o falsa.
5. ¿Qui´en viene?
Observe que en las primeras cuatro oraciones anteriores no es posible asignar
un valor de verdad sin caer en una contradicci´on. Todas ellas son “autorre-
ferentes”. En cuanto a la l´ogica filos´ofica, existe un largo debate sobre si
tales frases son “leg´ıtimas” proposiciones o no. Aqu´ı no vamos a entablar
ning´un debate al respecto, simple y sencillamente, porque no es es tarea de
la l´ogica determinar si tales frases son o no leg´ıtimas. En cuanto a la ´ultima
oraci´on, ni siquiera tiene sentido hablar de su valor de verdad.
Lenguaje de la l´ogica proposicional. Usamos las letras: p, q, r, s,...,
o tambi´en may´usculas: P, Q, R, S,..., para denotar proposiciones.
Hay otros s´ımbolos en el lenguaje de la l´ogica proposicional, como los
par´entesis redondos (, ) y cuadrados [, ], y las variables x, y, z, ..., X, Y, Z.
3

4. Como cualquier lenguaje, hay ciertas reglas sit´acticas que nos indican
c´omo construir elementos del lenguaje a partir de elementos b´asicos.
Nosotros no discutiremos estas reglas aqu´ı. Iremos aprendiendo de la
experiencia y el buen sentido.
Los Conectivos L´ogicos son s´ımbolos que forman parte del lenguaje de
la l´ogica proposicional, con ellos podemos construir proposiciones a
partir de otras.
Definici´on 2. Una proposici´on compuesta es una proposici´on la cual
ha sido construida, mediante los conectivos l´ogicos a partir de otras proposi-
ciones, las cuales llamamos proposiciones componentes de la proposici´on
compuesta.
A continuaci´on enlistamos una descipci´on coloquial de los principales
conectivos l´ogicos. En todo lo que sigue, p y q son proposiciones.
Conectivo Nombre Operaci´on Significado
¬ Negaci´on ¬p
No p.
No es cierto que p.
∧ Conjunci´on p ∧ q p y q
∨ Disyunci´on p ∨ q p o q
Disyunci´on excluyente p q p o q pero no ambas
⇒ Implicaci´on (o condicional) p ⇒ q
p implica q.
Si p entonces q.
q si p.
p es condici´on suficiente para q.
q es condici´on necesaria para p.
⇔ Doble implicaci´on (o bicondicional) p ⇔ q
p si, y s´olo si, q.
q es condici´on necesaria y suficiente para p.
p es condici´on necesaria y suficiente para q.
p es equivalente a q.
4

5. Veamos un ejemplo:
Consideremos las siguientes proposiciones
p : El viento sopla muy fuerte.
q : Se caen las hojas de los ´arboles.
Tenemos entonces
Operaci´on Significado
¬p Las hojas no se caen de los ´arboles.
p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los ´arboles.
p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas.
p q
El viento sopla pero no se caen las hojas de los ´arboles, o bien
se caen la hojas de los ´arboles pero el viento no sopla muy fuerte.
p ⇒ q
Si el viento sopla muy fuerte, entonces
se caen las hojas de los ´arboles.
p ⇔ q
El viento sopla muy fuerte si, y s´olo si,
se caen las hojas de los ´arboles.
2 Tablas de valores de verdad. Conectivos
El valor de verdad de una proposici´on compuesta depende de los valores
de verdad de las proposiones componentes. De modo que los conectivos
l´ogicos se definen a partir de tablas de verdad.
Una tabla de verdad es un mecanismo exhaustivo para designar valores
de verdad de una proposici´on compuesta. Es decir, agotamos todas
las combinaciones de valores de verdad posibles de las proposiciones
componentes, y en cada caso asignamos un valor de verdad para la
proposici´on compuesta.
En lo que sigue definimos formalmente, mediante la tabla de verdad
correspondiente, los principales conectivos l´ogicos antes descritos.
5

6. Negaci´on de la propsici´on p es la proposici´on ¬p, que se lee “no p”, definida
seg´un la tabla de valores de verdad siguiente
p ¬p
V F
F V
Esto es, ¬p tiene el valor de verdad contrario respecto al valor de verdad que
tiene p. De modo que ¬p es V si, y s´olo si, p es F. O dicho de otra forma,
¬p es F si, y s´olo si, p es V.
Conjunci´on (o Producto L´ogico) de las proposiciones p y q es la proposici´on
p∧q, que se lee “p y q”, definida mediante la tabla de valores de verdad
siguiente
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Note entonces que p ∧ q es V si, y s´olo si, p y q son ambas V. Dicho de otra
forma, p ∧ q es F si, y s´olo si, alguna de las proposiciones p y q es F.
Observe que la tabla de q ∧ p es exactamente la de p ∧ q. En este
sentido, decimos que q ∧ p y p ∧ q son l´ogicamente equivalentes 1. En otras
palabras, enuncian y quieren decir la misma cosa (sin importar los contextos
interpretativos). En cuanto a l´ogica proposiconal respecta, es irrelevante el
orden de las proposiciones conponentes de la conjunci´on es irrelevante.
En la vida (o mejor dicho, en el lenguaje de la vida) real, no es siempre
posible empatar esta caracte´ristica formal (estructural) del producto l´ogico
con los usos convencionales de la conjunci´on gramatical propia y: No es lo
mismo decir “Pedro vino a verme y muri´o,” que decir, “Pedro muri´o y vino
a verme”2.
1
Rigurosamente, esto significa que la proposici´on p ∧ q ⇔ q siempre es V. Todo esto
ser´a discutido con m´as detalle posteriormente.
2
Echave, Urquijo y Guibourg, L´ogica, proposici´on y norma.
6

7. Obviamente el problema es de car´acter sem´antico, y reside en que los
conectivos de la l´ogica cl´asica binaria, no son suficientes para describir (o al
menos no de forma trivial) todas las variantes de los significados sem´anticas
de las oraciones declarativas del lenguaje de la vida real.
No discutiremos m´as estos asuntos aqu´ı. Solo observaremos que la inter-
pretaci´on de algunos conectivos a veces parece natural y convincente, m´as
de lo que realmente sucede. Debemos ser cuidadosos en la forma en que
usamos la l´ogica.
Disyunci´on (o Suma L´ogica) de las proposiciones p y q es la proposici´on
p∨q, que se lee “p o q”, definida mediante la tabla de valores de verdad
siguiente
p q p ∧ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Es decir, p ∨ q es V si, y s´olo si, al menos una de las proposiciones p y q es
V. Dicho de otra forma, p ∨ q es F si, y s´olo si, ambas proposiciones p y q
son F.
Disyunci´on excluyente de las proposiciones p y q es la proposici´on p q,
que se lee “p o q, pero no ambas”, definida mediante la tabla de valores
de verdad siguiente
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Es decir, p q es V si, y s´olo si, exclusivamente una de las proposiciones p
y q es V. Dicho de otra forma, p q es F si, y s´olo si, ambas proposiciones
p y q son V, o bien son F.
7

8. Implicaci´on de las proposiciones p y q es la proposici´on p ⇒ q, que se lee
“p implica q”, definida mediante la tabla de valores de verdad siguiente
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Decimos que p es el “precedente”, o la “premisa” o la “hip´otesis”. Decimos
que q es el “consecuente” o la “tesis”.
Note que p ⇒ q es V si, y s´olo si, el antecedente p es F o bien el conse-
cuente q es V. Dicho de otra forma, p ⇒ q es F si, y s´olo si, el antecedente
p es V y el consecuente q es F.
Tambin se usa condicional, o bien, implicaci´on material para nombrar
este conectivo.
Ejemplos. Enlistamos algunos ejemplos del uso de la implicaci´on en dis-
tintos universos interpretativos.
1. Si hoy es lunes entonces ma˜nana es martes.
Definimos
p : Hoy es lunes,
q : Ma˜nana es martes.
Note que no puede suceder que p es V y q es F, por tanto, la proposici´on
p ⇒ q es verdadera.
2. Si la luna es cuadrada, entonces los elefantes son rosas.
Definimos
p : La Luna es cuadrada,
q : Los elefantes son rosas.
El antecedente de la implicaci´on p ⇒ q es F. Luego, la implicaci´on
p ⇒ q es V. Note que el consecuente q es F.
8

9. 3. 1 = −1 ⇒ 12 = (−1)2.
El antecedente 1 = −1 es F, por tanto esta implicaci´on es V. Note que
el consecuente 12 = (−1)2 es V.
4. Si 2 + 2 = 5, entonces lo Tierra es plana.
Como en el ejemplo anterior, el antecedente es F, y por tanto esta
implicaci´on es V.
En el lenguaje cotidiano, que es accidentado y contingente, se presentan a
veces ciertas anomal´ıas aparentes y otras variantes en el uso de condicionales
implicativos. Veamos algunos:
5. Si alguien envenena al Rey, entonces ´este se muere.
Definimos
p : Un asesino envenena al Rey.
q : El Rey muere.
Note que el valor de verdad de la implicaci´on p ⇒ q depender´a de si
realmente el Rey muere despu´es de ser envenenado. Pero si el Rey
muere, no implica que ´este haya sido envenenado. No obstante, seg´un
las reglas de la l´ogica proposicional, esta afirmaci´on en este escenario
es verdadera. M´as ´un, a´un cuando el rey haya sido envenenado
6. Si el Rey est´a vivo, entonces no ha sido envenenado.
Definimos p y q como en el ejemplo anterior. Note que esta nueva
implicaci´on es de la forma ¬q ⇒ ¬p. Note tambi´en que si el rey est´a
vivo, esto no quiere decir que no haya sido envenenado. Pudo haber
sobrevivido a un atentado de esta ´ındole. De modo que el valor de
verdad de ¬q ⇒ ¬p depende del valor de verdad de p ⇒ q. Ahora, si
p ⇒ q es verdadero, ser´a dudoso dar un argumento de la verdad de
¬q ⇒ ¬q, estando el Rey muerto por envenenamiento.
7. El Rey no se ha muerto, pero fue envenenado por un asesino.
Sean p y q como antes. Entonces esta proposici´on es de la forma ¬q∧p,
la cual no es un implicaci´on. No obstante, observe que si ¬q ∧ p es
falsa, entonces p ⇒ q es verdadera.
9

10. Implicaciones Asociadas.
p ⇒ q : Implicaci´on directa
¬p ⇒ ¬q : Implicaci´on contraria (respecto a la implicaci´on directa)
q ⇒ p : Implicaci´on rec´ıproca (respecto a la implicaci´on directa)
¬q ⇒ ¬p : Implicaci´on contrarec´ıproca (respecto a la implicaci´on directa).
Ejemplo. Consideremos la oraci´on
Si apruebo el examen, entonces te presto los apuntes.
Sean las proposiciones
p : Apruebo el examen
q : Te presto los apuntes.
Entonces p ⇒ q es la proposici´on anterior (implicaci´on directa). En-
listamos las implicaciones asociadas:
• Implicaci´on Contraria:
¬p ⇒ ¬q : Si repruebo el examen, entonces no te presto los apuntes.
• Implicaci´on Rec´ıproca:
q ⇒ p : Si te presto los apuntes, entonces apruebo el examen.
• Implicaci´on Contrarec´ıproca:
¬q ⇒ ¬p : Si no te presto los apuntes, entonces repruebo el examen.
Ejemplo. Consideremos la oraci´on
Si p(x) es un polinomio de grado n > 1, entonces existe x0 tal que p(x0) = 0.
Sean las proposiciones
p : p(x) es un polinomio de grado n > 1.
q : Existe x0 tal que p(x0) = 0.
Entonces p ⇒ q es la proposici´on anterior (implicaci´on directa). En-
listamos las implicaciones asociadas:
10

11. • Implicaci´on Contraria:
¬p ⇒ ¬q : Si p(x) es polinomio constante, entonces p(x) = 0 para todo x.
• Implicaci´on Rec´ıproca:
q ⇒ p : Si p(x0) = 0 para alg´un x0, entonces p(x) es un polinomio de grado n > 1.
• Implicaci´on Contrarec´ıproca:
¬q ⇒ ¬p : Si p(x) = 0 para todo x, entonces p(x) es un polinomio constante.
Doble implicaci´on de las proposiciones p y q es la proposici´on p ⇔ q,
que se lee “p si, y s´olo si, q”, definida mediante la tabla de valores de
verdad siguiente
p q p ⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Es decir, p ⇔ q es V si, y s´olo si, los valores de verdad de verdad de p y
q coinciden. Dicho de otra forma, p ⇔ q es F si, y s´olo si, los valores de
verdad de p y q difieren.
3 Sobre el conectivo condicional
El concepto de condicional l´ogico ha sido siempre controvertido. Fue el
matem´atico italiano Giuseppe Peano, hacia finales del siglo XIX, quien dio
la definici´on actual de ⇒ (de hecho se considera que el origen de la l´ogica
matem´atica, como disciplina cient´ıfica, se haya en los trabajos de Peano). El
problema radica en los renglones segundo y cuarto de la tabla de valores de
⇒, los cuales, como hemos visto en los ejemplos, admiten como verdaderas
ciertas afirmaciones que a primera vista o intuitivamente nos parecen ab-
surdas.
11

12. Tales anomal´ıas aparecen por tres motivos: Uno, casi siempre se confun-
den los condicionales formales (implicaciones formales) con los condicionales
materiales; dos, la naturaleza misma de estos dos tipos de condicionales no
siempre se comprende a cabalidad; tres, la verdad l´ogica no siempre es lo
que entendemos (o quisi´eramos) entender como verdadero, seg´un las con-
venciones del lenguaje de la vida real (contingente y no ´unica).
No es de extra˜nar que as´ı sea. El mismo concepto de L´ogica (sus m´etodos,
objetivos e historia) es de hecho problem´atico. “Quiz´a no exista denomi-
naci´on alguna cient´ıfica fuera de la de Filosof´ıa que haya adoptado tantos
significados a lo largo de la Historia como la de L´ogica” 3. Tanto o m´as
podemos decir del condicional: “Hasta los cuervos graznan en los tejados
cu´al es la implicaci´on correcta” 4.
Por otra parte, (casi) siempre insistimos en empatar la l´ogica proposi-
cional con nuestro h´abitos naturales o convencionales de pensamientos. No
advertimos que la l´ogica proposicional es muy limitada, solo admite dos
valores de verdad, lo que en cierto sentedo la hace insuficiente para juz-
gar toda la gama de razonamientos que podemos formular m´as all´a de las
matem´aticas o la propia l´ogica proposiconal. Casi todos los ejemplos de
condicinales “parad´ojicos” aparecen como descripciones de situaciones de
naturaleza incierta, y la aparente contradicci´on surge cuando intentamos
llegar a las conclusiones de la l´ogica proposicional, limitada a dos valores
de verdad, a partir de nuestros habitos de pensamiento convencionales, con
muchas expresiones de posibilidad y valorizaciones de verdad. Esto siempre
constituye un error. Hay otras l´ogicas (l´ogicas no-cl´asicas) que intentan ar-
monizar los modos convencionales del razonamiento de diversos contextos:
filos´ofico, cient´ıfico o puramente ling¨u´ıstico, con modelos que superan las
insuficiencias expresivas de la l´ogica proposicional basada en dos valores de
verdad (l´ogica cl´asica). En cuanto a las matem´aticas, la l´ogica bivalente
parece ser la m´as adecuada. Al menos es la de uso m´as extendido. No
abundaremos sobre ello aqu´ı.
3
I. M. Bochenski, Historia de la l´ogica formal.
4
Cl´ımaco, bibliotecario de Alejandr´ıa, siglo II de nuestra era. Fuente: Bochenski, I.M,
Historia de la l´ogica formal.
12

13. Condicional Material
Para abordar la distinci´on entre condicional material y formal, debemos
entender primero la naturaleza sem´antica de las proposiciones condicionales.
Es claro que en una proposici´on de la forma “si p entonces q”, establece una
especie de relaci´on causa-efecto entre un antecedende y un consecuente: el
antecedente es condici´on del consecuente. De modo que una proposici´on
condicional no afirma nada sobre el antecedente o consecuente. Afirma un
tipo espec´ıfico de relaci´on entre ´estos: una relaci´on condicional.
Parece entonces natural que en determinadas situaciones contingentes
(materiales, emp´ıricas), califiquemos como falsa toda relaci´on condicional
que tenga un antecedente verdadero y un consecuente falso. Aceptar lo con-
trario ser´ıa realmente absurdo para una relaci´on condicional. Por otro lado,
desde luego, si un consecuente se registra como verdadero y ´este subsiste
con un antecedente tamb´en verdadero, entonces la relaci´on condicional debe
admitirse como verdadera.
Veamos un ejemplo para intentar explicar lo anterior: Consideremos la
frase:
“Si es de noche, entonces hace fr´ıo” 5.
Obviamente, si al momento de pronunciar tal cosa es de noche y adem´as
hace fr´ıo, lo afirmado es verdadero. No es dif´ıcil justificar que la causa del
fr´ıo es la noche6. Si en cambio, es de noche, pero no hace fr´ıo, sea porque
vivimos en el tr´opico, o porque estamos en pleno verano, o sea por la raz´on
que fuere, nuestra afirmaci´on condicional no tiene verdad justificada alguna:
es falsa7.
La pregunta es: ¿Qu´e ocurre con aquellos condicionales cuyo antecedente
es falso? En nuestro ejemplo climatol´ogico, si hacemos nuestra afirmaci´on
en pleno medio d´ıa, ¿que valor de verdad debemos otorgar al condicional?
Pensemos m´as detenidamente el asunto:
5
Este ejemplo y algunos otros de los que siguen, junto con los argumentos y explica-
ciones, han sido obtenidos del libro L´ogica, proposici´on y norma, autores: Echave, Urquijo
y Guibourg.
6
Note que es distinto implicar que hace fr´ıo por que es de noche.
7
Desde la l´ogica binaria: si no es verdadera, es falsa.
13

14. El condicional no afirma nada acerca de si es de noche o si hace fr´ıo.
Solo enuncia una relaci´on condicional entre las proposiciones “es de noche”
y “hace fr´ıo”. As´ı que la ´unica forma de demostrar que la frase es falsa es
probar que este condicional es materialmente (emp´ıricamente) injustificado.
Es decir, solo es falso si podemos verificar que es de noche, pero no hace fr´ıo.
Pero, reiteramos, la oraci´on condicional no dice nada sobre la temperatura
diurna; y as´ı, si no es de noche en este momento, poco importa que haga
fr´ıo o calor, pues no habremos afirmado ni una cosa ni la otra, por lo que
nadie podr´ıa decir que hemos mentido 8.
En breve: siendo actualmente medio d´ıa, no es posible verificar que es de
noche y no hace fr´ıo. Siendo entonces que nuestra proposici´on condicional
no puede ser falsa, debe ser tomada como verdadera9.
Otros ejemplos comunes son
1. Si hago ejercicio, evitar´e enfermedades cardiacas.
2. Si apruebo este examen, entonces excentar´e la materia.
De todos ellos podemos extraer las mismas conclusiones que ya hicimos
antes bajo un mismo an´alisis. De forma general y rigurosa, puede decirse
que un condicional material, desde la perspectiva de la l´ogica proposicional
cl´asica, ser´a falso ´unicamente en una situaci´on capaz de hacer verificable el
antecedente y, al mismo tiempo, hacer falso el consecuente. En cualquier
otra circunstancia el condicional material debe tomarse por verdadero.
Y ello ser´a as´ı a´un en enunciados con una apariencia absurda, tales como
“Si hoy tomo caf´e, llover´a ma˜nana”.
Esta frase ser´a verdadera si ambas cosas ocurren, aunque no haya relaci´on
alguna entre ellas. De hecho, ser´a verdadera si efectivamente llueve ma˜nana,
independientemente de si tomo caf´e o no el d´ıa de hoy. Ocurre igual si hoy
no tomo caf´e, independientemente de las condiciones metereol´ogicas del d´ıa
de ma˜nana. Esto es as´ı porque la ´unica forma de que sea falsa, es si hoy
tomo caf´e y ma˜nana hace un d´ıa soleado.
8
Ibidem.
9
Desde la l´ogica bibaria: si no es falsa, es verdadera
14

15. Ciertamente el ejemplo de caf´e parece absurdo, pero en algunos ejemplos
de nuestra vida cotidiana damos mucho sentido a formas “absurdas” del
condicional material. Por ejemplo, cuando decimos:
“Si Fulanito es honesto, entonces yo soy un astronauta”,
queremos explicar, sarc´asticamente, que Fulanito es una persona deshonesta.
En efecto, la ´unica forma de admitir que Fulanito es honesto, es admitiendo
que yo soy un autronauta, lo cual (casi siempre) es falso y es evidente para
todos. El sarcasmo r´adica precisamente en admitir primero que la frase “Si
Fulanito es honesto, entonces yo soy un astronauta” es verdadera.
Todo lo anterior parece convincente: el condicional material no afirma
su antecedente ni su consecuente, solo afirma que no es el caso que el an-
tecedente sea verdadero y el consecuente falso, que si el antecedente es ver-
dadero tambi´en lo es el consecuente; y que, por lo tanto, si el consecuente es
falso, tambi´en lo es el antecedente10. Pero esta ´ultima conclusi´on (aquello
de que “si el consecuente es falso, tambi´en lo es el antecedente”), debemos
remarcarlo, es consecuencia de que nuestra l´ogica proposicioneal solo admite
dos valores de verdad. Llegamos a ella por eliminaci´on: si no es falsa es ver-
dadera. No obstante, es innegable que todo este “galimat´ıas11” l´ogicista no
quita cierta sensaci´on de insatisfacci´on patente en los ejemplos. M´as a´un
si pensamos condicionales absurdos (“Si muero hoy, vivir´e ma˜nana”, etc).
Como hemos dicho, hay otras modos de entender la l´ogica, seg´un principios,
reglas que y enfoques diferentes, las cuales intentan sistematizar las variadas
relaciones condicionales en distintos contextos, fuera del modelo cl´asico.
Implicaci´on formal
Para Mario Bunge, con mucha precisi´on, la implicaci´on formal es una “re-
laci´on de deducibilidad entre las premisas y la conclusi´on de una prueba o
argumento v´alido” 12. Esto es, un condicional de la forma “si p implica q”
es una implicaci´on formal si, en principio, es verdadero (argumento v´alido,
10
Ibidem
11
Ibidem
12
Mario Bunge, Diccionario de Filosof´ıa.
15

16. como dice Bunge), de tal manera que la verdad de q se sigue por necesidad
(formalmente) de la verdad de p (relaci´on de deducibilidad). Una relaci´on
de deducibilidad es una relaci´on de implicaci´on del consecuente por el an-
tecedente. O dicho de otra forma, afirmar el anteceden obliga afrimar el
consecuente.
En contraparte, un condicional material es todo condicional de la forma
“si p entonces q”, la cual establece una correspondencia de hecho (material)
entre el antecedente y el consecuente, aunque ´esta sea circunstancial o casual,
de tal manera que, aun siendo un condicional verdadero, la verdad de q no
se sigue necesariamente (formalmente) de la verdad de p.
Por ejemplo, si decimos:
“Si soy matem´atico, entonces soy matem´atico o pianista” 13
,
habremos dicho una verdad incuestionable, pues para ser matem´atico o pi-
anista, es suficiente ser matem´atico. Afirmar el antecedente obliga a afirmar
el consecuente. Pero observe que el condicional en este caso no es material.
No depende de ninguna naturaleza contingente. Podr´ıamos copiar la estruc-
tura de tal afirmaci´on y construir otra verdad tal como: “Si es de noche,
entonces es de noche o hace fr´ıo”. Ambos condicionales tienen la misma
estructura formal: p ⇒ p ∨ q, donde p y q son proposiciones. La tabla de
valores de verdad es como sigue:
p ⇒ p ∨ q
V V V V V
V V V V F
F V F V V
F V F F F
Vemos que, sin importar los valores de verdad de p y q, la proposici´on
p ⇒ p ∨ q es siempre verdadera. Se dice que es un condicional tautol´ogico.
Hay otros ejemplos de condicionales tautol´ogicos, por ejemplo:
[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q.
El lector puede hacer una tabla de valores de verdad para confirmar que se
16

17. trata de un condicional tautol´ogico, es decir, siempre es verdadero, indepen-
dientemente de los valores de verdad de p y q.
De modo que un condiconal o implicaci´on formal, es aquel cuyo
Debemos remarcar, ante todo, que en las distintas ´areas de las matem´a-
ticas, los argumentos formales son la base del discurso te´orico espec´ıfico (con
su lenguaje y reglas particulares). Las implicaciones materiales no forman
parte del discurso te´orico de ninguna rama de las matem´aticas, m´as all´a
de la l´ogica. Pero son la base de los modelos de razonamiento v´alidos, que
usamos en las pruebas de los argumentos formales de la teor´ıa.
Desde luego, el tema es largo y la discusi´on es compleja. Sucede muchas
veces que uno cree haber entendido perfectamente el sentido que tiene una
u otra forma de entender la implicaci´on, cuando al siguiente instante, frente
a un s´olo ejemplo de nuestra simple vida cotidiana, los viejos fantasmas de
la duda vuelven una y otra vez. No seguiremos aqu´ı esta discusi´on.
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