1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE ELÉCTRICA
Unidad I . Cálculo Proposicional
ESTRUCTURAS DISCRETAS I
TUTOR: Lic. Domingo Méndez.
ESTUDIANTE: TSU Oswaldo Heredia

2. Proposiciones y Operaciones Veritativas
Las Proposiciones son enunciados u oraciones declarativas que
afirman o niegan algo, por lo tanto sus valores de verdad son “Verdadero”
o “Falso”. Ahora bien, sus valores lógicos se representan con “1” ó “0”.
Sólo asumen un único valor.
Las proposiciones se identificarán con letras minúsculas. También se
les llama Variables Proposicionales
Son atómicas cuando tiene una sola proposición y moleculares
cuando tiene más de una proposición y están unidas por conectivos u
operadores lógicos.
Las operaciones veritativas son aquellas operaciones que se llevan a
cabo con cada uno de los conectivos para formar nuevas proposiciones.

3. Conectivos lógicos
A continuación se presentan los conectivos lógicos, una breve definición
y sus respectivas tablas de verdad.
La Negación
p ~p Es un conectivo que niega el valor de una proposición
o en su defecto, devuelve el valor contrario de la misma.
1 0
0 1 ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p"
La Conjunción
p q (p  q)
Este conectivo se lee “y”, el cual une dos
1 1 1
proposiciones y entrega un valor verdadero sólo en el
1 0 0 caso que ambas tengan valor verdadero.
0 1 0
0 0 0
p  q se lee “p y q”

4. La Disyunción Inclusiva
p q (p  q)
Significa “o” y une dos proposiciones. Su resultado es
1 1 1
un valor verdadero siempre y cuando al menos una de
1 0 1 ellas tenga valor verdadero.
0 1 1
0 0 0 p  q se lee “p o q”
La Disyunción Exclusiva
p q (p  q)
Significa “o una u otra”, une dos proposiciones y
1 1 0
resulta en un valor verdadero cuando los valores de las
1 0 1 mismas son diferentes entre sí.
0 1 1
0 0 0 p  q se lee “o p o q”

5. El Condicional o Implicación
Este conectivo se lee “si ..., entonces ...” y une dos
proposiciones, cuyo resultado sólo es falso cuando p es
p q pq verdadero y q es falso.
1 1 1
1 0 0
0 1 1 p  q se lee “si p, entonces q”
0 0 1
En el condicional p es antecedente y q consecuente. El
antecedente es la condición suficiente y el consecuente
la condición necesaria.
Condicionales Asociados
1. Directo: p  q
2. Recíproco: q  p
3. Contrarrecíproco: ~ q  ~ p
4. Contrario: ~ p  ~ q

6. El Bicondicional o Doble Implicación
p q pq La proposición p  q se lee "p si sólo si q", o "p es
1 1 1 condición necesaria y suficiente para q“ y su resultado es
verdadero cuando los valores de las mismas son iguales.
1 0 0
0 1 0 p  q se lee “p si sólo si q”
0 0 1
Formas Proposicionales
Se llama así a las nuevas expresiones que resultan de unir las
variables proposicionales a través de los conectivos lógicos: se puede
decir que las variables proposicionales también son formas
proposicionales.
Tablas de Verdad
Determinan el valor de verdad de una proposición compuesta, analizando sus
proposiciones simples relacionadas con los conectivos lógicos. La combinación de
valores de verdad depende del número de proposiciones dadas.
Para n proposiciones se tiene 2n combinaciones.

7. Tautologías y Contradicciones
Proposición Tautológica o Tautología
p ~p p ~p
Proposición molecular que es verdadera sin 1 0 1
importar los valores de sus variables proposicionales. 0 1 1
Contradicción
Proposición molecular que es falsa p ~p p  ~p
independientemente de los valores de sus variables 1 0 0
proposicionales. 0 1 0

8. Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes Idempotentes Leyes Asociativas
ppp (p  q)  r  p  (q  r)
ppp (p  q)  r  p  (q  r)
Leyes Conmutativas Leyes Distributivas
pqqp p ˅ (q  r)  (p  q)  (p  r)
pqqp p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Leyes de Identidad Leyes de Complementación
pFp p~pV (tercio excluido)
pFF p~pF (contradicción)
pVV ~~pp (doble negación)
pVp ~ V  F, ~ F  V

9. Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes de Morgan
~ (p  q)  ~ p  ~ q
~ (p  q)  ~ p  ~ q
Otras Equivalencias Notables
p  q  ~p  q (Ley del condicional)
p  q  (p  q)  (q  p) (Ley del bicondicional)
p  q  (p  ~q)  (q  ~p) (Ley de disyunción exclusiva)
p  q  ~q  ~ p (Ley del contrarrecíproco)
p  q  ~(~p  ~q)
((p  q)  r)  (p  r)  (q  r) (Ley de demostración por casos)
(p  q)  (p  ~q F) (Ley de reducción al absurdo)

10. Equivalencia e Implicación lógica
Implicación lógica
Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica
Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:
A B si el condicional A B es una tautología
Implicaciones Lógicas
Ley de Simplificación: (p  q)  p
Ley de Adición: p  (p  q)
Equivalencia o Proposiciones Equivalentes
Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. A es Lógicamente
Equivalente a B, o simplemente A es equivalente a B y se escribe:
A  B ó A  B, si y sólo si la forma bicondicional A  B es una tautología.

11. Razonamientos
Definición: es la aseveración de que una proposición llamada conclusión es
consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.
Forma Proposicional
Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C se
escribe de la forma proposicional siguiente:
P1
P2
P3
P4
.
.
.
Pn
----
C

12. Métodos de Demostración
Demostración Directa
Se debe probar una implicación: p  q. Es decir, llegar a la conclusión q a partir
de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan
axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.
Demostración Indirecta
Existen dos formas de demostración:
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p  q es
proporcionada por la Ley del contrarrecíproco: p  q  ~ q  ~ p.
Demostración por Reducción al Absurdo: en este la proposición p  q es
tautológicamente equivalente a la proposición (p  ~q)  (r  ~r) siendo r una
proposición cualquiera.

13. Inferencia
Modus Ponendo Ponens (MPP) Modus Tollendo Tollens (MTT)
pq pq
p ~q
q ~p
Silogismo Disyuntivo (S.D) ó (Modus Tollendo Ponens (MTP))
pq pq
~q ó ~p
p q
Silogismo Hipotético (S.H) Ley de Simplificación
pq pq pq
ó
qr p q
pr

14. Inferencia
Ley de Adición Ley de Conjunción
p q p
ó q
pq pq
pq

15. Circuitos Lógicos
También se llaman redes de conmutación y es una representación esquemática
que tiene una o más entradas y exactamente una salida. Se pueden identificar con
una forma proposicional, de manera que a una forma proposicional se le pueda
asociar un circuito; o de manera contraria, dado un circuito se le puede asociar la
forma proposicional correspondiente.
Usando las leyes del álgebra proposicional se pueden simplificar los circuitos en
otros más sencillos que al final cumplen la misma función que el original.
Interruptores en conexión :
- Conexión en serie. Se representa como p  q
- Conexión en paralelo. Se representa como p  q

16. “La Dicotomía Divina sostiene que es
posible que dos verdades aparentemente
contradictorias existan en forma simultánea,
en el mismo espacio.”