control automático

1. CONTROL AUTOMÁTICO
Teoría de diseño, construcción de prototipos,
modelado, identificación y pruebas experimentales
Victor Manuel Hernández Guzmán
Ramón Silva Ortigoza
Roberto Valentín Carrillo Serrano
COLECCIÓN CIDETEC
CONTROLAUTOMÁTICO
VictorManuelHernándezGuzmán
RamónSilvaOrtigoza
RobertoValentínCarrilloSerrano
ElCentrodeInnovaciónyDesarrolloTecnológicoenCómputo delInstitutoPolitécnicoNacional,
presenta un libro cuyo objetivo es el de contribuir hacia la reducción de la brecha existente entre la
teoría y la práctica en la enseñanza del Control Automático. Por esta razón, aunque el contenido del
libro es de nivel Licenciatura puede ser de gran utilidad incluso para aquellas personas involucradas
enelprocesoenseñanza-aprendizajedelControlAutomáticoenelniveldePosgrado.
Lacaracterísticaprincipaldeestaobraesquesedescribedemaneradetalladacómodiseñar,construir
y probar experimentalmente varios sistemas de control. Para ello, primero se describe la tarea que
deberealizarelsistemadecontrolbajoestudioyseobtienesumodelomatemático.Luego,seexplica
demaneradetalladacómoconstruirelprototipoexperimentalycómoestimarlosvaloresnuméricos
de los parámetros del modelo obtenido previamente (identificación experimental del modelo).
Entonces se diseña el controlador correspondiente utilizando la teoría presentada en los primeros
capítulos de la obra. Finalmente, se muestra cómo construir el controlador diseñado previamente
utilizandoelectrónicaanalógicaodigitalysepresentanlosresultadosobtenidosexperimentalmente.
El libro es especialmente útil para estudiantes y profesores en las carreras de Ingeniería Eléctrica,
Electrónica,Mecánica,MecatrónicaeinclusoRobótica.
Instituto Politécnico Nacional

2. Victor Manuel Hernández Guzmán. Nació
en Querétaro, Qro., México. Recibió el título
de Ingeniero Industrial en Eléctrica por parte
del Instituto Tecnológico de Querétaro en
1988, el grado de Maestro en Ciencias en
Ingeniería Eléctrica (Control) por parte del
Instituto Tecnológico de la Laguna, en
Torreón, Coah., en 1991 y el grado de Doctor
en Ciencias en Ingeniería Eléctrica
(Mecatrónica) por parte del CINVESTAV-
IPN, en México, D.F., en 2003. Actualmente
esProfesorenlosprogramasdeLicenciaturay
Maestría en Instrumentación y Control de la
Universidad Autónoma de Querétaro. Su
trabajo de investigación trata sobre el control
de robots manipuladores y sistemas electro-
mecánicos. Tiene particular interés en la
construcción de prototipos didácticos para la
enseñanza de técnicas de control clásicas y
modernas(nolineales).
Roberto Valentín Carrillo Serrano. Nació
en Querétaro, Qro., México en 1976. Recibió
el título de Ingeniero en Instrumentación y
Control de Procesos por la Universidad
Autónoma de Querétaro, donde también
obtuvo los grados de Maestro en Ciencias en
Instrumentación y Control Automático, y de
Doctor en Ingeniería en 2000, 2008 y 2011
respectivamente. Trabajó en Kellogg de
Méxicode1999a2006.Lasáreasdeinterésdel
Dr. Carrillo Serrano son los robots
manipuladores,controldemáquinaseléctricas
y control de sistemas mecatrónicos.
Actualmente es Profesor en el programa de
Licenciatura en Ingeniería en Automatización
y de la Maestría en Instrumentación y Control
Automático de la Universidad Autónoma de
Querétaro, además de ser miembro del
Sistema Nacional de Investigadores, México.
En cuanto a publicaciones se refiere, estas se
encuentran en estándares internacionales que
pertenecen a la base de datos Journal Citation
Reports(JCR)eISI-Thomson.
Ramón Silva Ortigoza. Recibió el título de
Licenciado en Electrónica por la Benemérita
Universidad Autónoma de Puebla en 1999, y
losgradosdeMaestroyDoctorenCienciasen
Ingeniería Eléctrica (Opción Mecatrónica)
por el CINVESTAV-IPN, en 2002 y 2006,
respectivamente. Actualmente, es
Investigador del Departamento de Posgrado
del Área de Mecatrónica en el CIDETEC del
InstitutoPolitécnicoNacional,ymiembrodel
Sistema Nacional de Investigadores. Es
coautordellibro ControlDesignTechniques
in Power Electronics Devices (Springer-
Verlag, London, 2006), y coeditor del libro
Mecatrónica (Colección CIDETEC,
México, 2010). Se ha desempeñado como
jurado en el Premio de Ingeniería de la
Ciudad de México y Premio a la
InvestigaciónenelIPN ,asícomo Evaluador
de Programas de Posgrado presentados en el
marco del PNPC de CONACYT . Sus áreas
de interés incluyen el control de sistemas
mecatrónicos, la robótica móvil y el control
aplicadoaelectrónicadepotencia.

3. Victor Manuel Hern´andez Guzm´an
Ram´on Silva Ortigoza
Roberto Valent´ın Carrillo Serrano
CONTROL AUTOM´ATICO
Teor´ıa de dise˜no, construcci´on de prototipos,
modelado, identificaci´on y pruebas
experimentales
M´exico, D.F. Enero 2013.

4. Control Autom´atico
Teor´ıa de dise˜no, construcci´on de prototipos,
modelado, identificaci´on y pruebas experimentales
Autores:
Victor Manuel Hern´andez Guzm´an
Ram´on Silva Ortigoza
Roberto Valent´ın Carrillo Serrano
Primera Edici´on 2013
D.R. c 2013
Instituto Polit´ecnico Nacional
Luis Enrique Erro s/n.
Unidad Profesional “Adolfo L´opez Mateos”
Zacatenco, 07738, M´exico, D.F.
CIDETEC
Av. Juan de Dios B´atiz S.N. esq. Miguel Oth´on de Mendiz´abal
Col. Nueva Industrial Vallejo
Del. Gustavo A. Madero C.P. 07700
ISBN: 978-607-414-362-1
Hecho en M´exico / Made in Mexico

5. V
A mi esposa, padres y hermanos.
Victor.
Para mis maravillosos hijos, Rhomina y Joserham´on, y a mi madre.
Ram´on.
A Dios, a mis padres, a mi esposa, a mis profesores y alumnos.
Roberto.

7. Prefacio
El Control Autom´atico es una de las disciplinas que soporta de manera
importante el tecnol´ogicamente avanzado modo de vida que conocemos hoy
en d´ıa. Sus aplicaciones se encuentran en casi todas las actividades que el
ser humano realiza en el siglo XXI: desde el funcionamiento del telescopio
espacial Hubble y de numerosas naves espaciales hasta el refrigerador que se
encuentra en los hogares asegurando la conservaci´on de los alimentos. Desde
los dep´ositos de agua residenciales hasta las grandes industrias que producen
todos los satisfactores de los seres humanos: autom´oviles, aviones, alimentos,
bebidas y medicinas, por mencionar algunos.
Aunque se sabe que las primeras aplicaciones del Control Autom´atico apa-
recieron hace m´as de 2000 a˜nos, fue la Revoluci´on Industrial la que deton´o su
desarrollo como un conjunto de conocimientos cient´ıficos destinados a resol-
ver problemas tecnol´ogicos. Desde entonces, el uso del Control Autom´atico
ha sido fundamental para que las actividades productivas del ser humano se
hagan cada vez m´as eficaces incrementando la calidad y la repetitibilidad de
los productos.
Por esta raz´on, los cursos sobre Control Autom´atico se han hecho comunes
en las carreras de Ingenier´ıa El´ectrica, Electr´onica, Mec´anica, Qu´ımica y, m´as
recientemente, Mecatr´onica y Rob´otica. Sin embargo, el hecho de que las t´ecni-
cas de Control Autom´atico convencionales est´en soportadas por herramientas
matem´aticas ha planteado tradicionalmente una dificultad en la ense˜nanza de
esta disciplina: para aprender a dise˜nar sistemas de control primero se debe
tener un buen conocimiento de c´omo se resuelven las ecuaciones diferencia-
les lineales de coeficientes constantes mediante el uso de la transformada de
Laplace. Este hecho plantea un importante obst´aculo dado que la soluci´on
de ecuaciones diferenciales es algo que normalmente es complicado para la
mayor´ıa de los estudiantes de Licenciatura. El problema se complica m´as a´un
porque en Control Autom´atico lo m´as importante de resolver una ecuaci´on di-
ferencial es saber interpretar el resultado cuando la mayor´ıa de los estudiantes
de Licenciatura se quedan perdidos en c´omo resolver la ecuaci´on diferencial.

8. VIII Prefacio
Otra dificultad en la ense˜nanza del Control Autom´atico es c´omo mostrar
la manera de relacionar los resultados matem´aticos con los aspectos pr´acticos
de un sistema de control: ¿C´omo construir pr´acticamente un controlador que
est´a expresado en t´erminos de la variable de Laplace (funci´on de transferen-
cia)? ¿C´omo se construye un controlador usando electr´onica digital o usando
electr´onica anal´ogica? ¿C´omo tomar en cuenta las ganancias de los sensores y
de los amplificadores de potencia? ¿C´omo determinar esta ganancia en un am-
plificador de potencia basado en modulaci´on por ancho de pulso? ¿Qu´e efectos
tienen estas ganancias en un sistema de control?
La manera en que tradicionalmente se ha resuelto el problema de la pr´acti-
ca descrito en el p´arrafo anterior ha sido la compra de prototipos did´acticos
comerciales. Sin embargo, esto tiene dos desventajas: 1) estos equipos nor-
malmente son excesivamente caros pues son construidos en el extranjero y 2)
muchos de los aspectos involucrados en el funcionamiento de un sistema de
control permanecen “invisibles” para el estudiante; esto es debido a que estos
equipos est´an dise˜nados pensando que el estudiante de Control Autom´atico no
tiene porqu´e saber c´omo se resuelven los detalles pr´acticos relacionados con la
electr´onica y la programaci´on, por ejemplo, de los diferentes componentes de
un sistema de control. Este es el caso de ¿C´omo construir un amplificador de
potencia? ¿C´omo dise˜nar y construir un controlador basado en amplificado-
res operacionales o un controlador basado en un microcontrolador? ¿Existen
alternativas a la pr´actica com´un de comprar sensores en el extranjero?
La presente obra pone a la disposici´on de los estudiantes y de los profeso-
res de nivel Licenciatura un material con el cual se pretende ayudar a resolver
algunas de las dificultades arriba mencionadas. Con el fin de facilitar el apren-
dizaje de los aspectos te´oricos se incluye un cap´ıtulo dedicado exclusivamente
a la soluci´on de ecuaciones diferenciales lineales y de coeficientes constantes
usando la transformada de Laplace. Si bien ese cap´ıtulo puede ser visto como
un curso de ecuaciones diferenciales, la principal diferencia respecto del curso
de matem´aticas que sobre este tema se lleva en el tronco com´un de Licencia-
tura (Ingenier´ıa) es que en nuestro libro se hace ´enfasis en la interpretaci´on
de la soluci´on de una ecuaci´on diferencial. Adem´as se resalta el efecto que
tienen los par´ametros de una ecuaci´on diferencial en la forma gr´afica de la
soluci´on. Debemos subrayar que la experiencia de los autores es que los libros
existentes sobre Control Autom´atico (incluso los m´as importantes) se limitan
a presentar un breve prontuario de soluciones de ecuaciones diferenciales y
no consiguen que el estudiante razone acerca de lo que est´a haciendo. Para
salvar este problema, en el presente libro se recurre a ejemplificar cada tipo
de ecuaci´on diferencial con una situaci´on pr´actica que cualquier estudiante de
Licenciatura ha observado en alg´un momento de su vida. Es decir, se recurre
a la experiencia cotidiana del estudiante para que comprenda lo que significan
los resultados matem´aticos.
La problem´atica relacionada con los aspectos pr´acticos de los sistemas de
control es resuelta mediante la aplicaci´on a varios sistemas de control experi-
mentales. En cada uno de estos ejemplos se procede de igual manera. Primero

9. Prefacio IX
se describe la tarea que ejecuta el sistema de control bajo estudio y luego
se explica al lector c´omo construir cada uno de los componentes de dicho
sistema de control. Posteriormente se muestra c´omo obtener el modelo ma-
tem´atico correspondiente para despu´es explicar a detalle c´omo obtener, de
manera experimental, el valor num´erico de cada uno de los par´ametros del
modelo. Entonces se usan las t´ecnicas de control presentadas previamente en
los primeros cap´ıtulos del libro para dise˜nar (matem´aticamente) el controlador
correspondiente. Se presenta tambi´en la manera de construir el controlador
usando electr´onica anal´ogica o digital y finalmente se presentan los resultados
experimentales obtenidos al controlar el prototipo que se ha construido.
A continuaci´on se explica c´omo est´a organizada la presente obra. En el
cap´ıtulo 1 se presenta una panor´amica general del Control Autom´atico con el
fin de que el lector entienda a grandes rasgos cu´al es el objetivo de dise˜nar
sistemas de control. Esto se realiza utilizando un ejemplo que cuyo funciona-
miento es bien conocido por la mayor´ıa de las personas: el control de un ca˜n´on
antia´ereo. Tambi´en se presenta una breve historia del Control Autom´atico y se
relaciona con el contenido de la obra para que el lector identifique cuales son
las razones por las que cada herramienta de control ha sido desarrollada. En el
cap´ıtulo 2 se aborda el problema de obtener el modelo matem´atico de sistemas
f´ısicos comunes en Ingenier´ıa El´ectrica, Electr´onica, Mec´anica y Mecatr´onica.
Una raz´on importante de incluir este tema es que el lector se d´e cuenta de que
los sistemas de control est´an descritos por ecuaciones diferenciales lineales y
de coeficientes constantes. Esto motiva el estudio de la soluci´on de las ecuacio-
nes diferenciales en el cap´ıtulo 3, pues esto es importante para entender c´omo
responde un sistema de control y qu´e hay que modificar en ´el para conseguir
la respuesta deseada.
En los cap´ıtulos 4 al 7 se presentan las herramientas utilizadas en el dise˜no
de sistemas de control cl´asico y moderno: criterios de estabilidad y error en
estado estacionario (cap´ıtulo 4), la t´ecnica del lugar de las ra´ıces (cap´ıtulo 5),
la t´ecnica de la respuesta en frecuencia (cap´ıtulo 6) y la t´ecnica de las variables
de estado (cap´ıtulo 7). La exposici´on de estos temas est´a dirigida hacia su
aplicaci´on en los ejemplos pr´acticos presentados en los ´ultimos cap´ıtulos de
la obra. De este modo, muchos de los ejemplos presentados en los primeros
cap´ıtulos tratan sobre el dise˜no de controladores que despu´es ser´an construidos
y probados experimentalmente en los ´ultimos cap´ıtulos.
La estructura de los cap´ıtulos 8 al 14 es la misma, pues tienen el mismo
objetivo: se presenta la aplicaci´on de las t´ecnicas de control desarrolladas
en los cap´ıtulos 4 al 7 al an´alisis y dise˜no de sistemas de control pr´acticos.
Los controladores correspondientes son construidos al igual que el sistema
de control completo, utilizando materiales de bajo costo y que son f´aciles
de conseguir por un estudiante de licenciatura. Finalmente, se presentan los
resultados obtenidos experimentalmente al probar los sistemas de control en
la pr´actica.
En el cap´ıtulo 8 se estudian y dise˜nan varios circuitos electr´onicos realimen-
tados, entre ellos algunos circuitos osciladores con forma de onda sinusoidal

10. X Prefacio
basados en amplificadores operacionales (audiofrecuencia) y en transistores
(radiofrecuencia). En los cap´ıtulos 9 y 10 se controla la velocidad y la posi-
ci´on, respectivamente, de un motor de corriente directa con escobillas e imanes
permanentes. Un sistema de levitaci´on magn´etica es controlado en el cap´ıtulo
11 mientras que en el cap´ıtulo 12 se controla un mecanismo muy popular en
Control Autom´atico y que es conocido como Ball and Beam. Finalmente, en
los cap´ıtulos 13 y 14 se presentan dos mecanismos que incluyen p´endulos: el
p´endulo de Furuta y el p´endulo con rueda inercial. Por ´ultimo, se debe decir
que la importancia de todos estos prototipos experimentales es reconocida en
los cursos de control en todo el mundo y por eso han sido seleccionados como
bancos de prueba en la presente obra.
El primer autor reconoce y agradece el apoyo de sus dos coautores. Su
colaboraci´on ha sido de gran valor no s´olo en la elaboraci´on de la presente obra
sino, adem´as, en diversas actividades de investigaci´on que han realizado desde
que eran estudiantes de Doctorado (con el segundo autor) y desde que el tercer
autor realiz´o sus estudios de Maestr´ıa y Doctorado, los cuales el primer autor
tuvo la fortuna de dirigir. Un reconocimiento y un agradecimiento especial
para los Drs. Hebertt Sira Ram´ırez (Director de tesis) y Gerardo Silva Navarro,
ambos investigadores del CINVESTAV-IPN quienes fueron fundamentales en
los estudios de Doctorado del primer autor. Tambi´en se reconoce y agradece
al Dr. V´ıctor Santib´a˜nez del Instituto Tecnol´ogico de la Laguna con quien
el primer autor ha mantenido una importante colaboraci´on cient´ıfica desde
2004 en el ´area de control de robots manipuladores. Un reconocimiento a
la importante colaboraci´on cient´ıfica con los Drs. Ricardo Campa (Instituto
Tecnol´ogico de la Laguna) y Arturo Zavala R´ıo (IPICYT).
Las ideas que han motivado este trabajo tomaron forma durante los cursos
que sobre Control Autom´atico ha impartido el primer autor a nivel Licencia-
tura y Maestr´ıa en la Facultad de Ingenier´ıa de la Universidad Aut´onoma de
Quer´etaro, Instituci´on a la que est´a adscrito desde 1995. Se agradece a es-
ta Instituci´on el apoyo recibido durante todos estos a˜nos. Un agradecimiento
al Sistema Nacional de Investigadores por el apoyo econ´omico recibido des-
de 2005 y al CIDETEC del Instituto Polit´ecnico Nacional por facilitar los
medios editoriales requeridos para la impresi´on de este libro. Una menci´on es-
pecial para mi esposa Judith de quien siempre he recibido el apoyo necesario
para realizar no s´olo esta obra sino todo el trabajo de investigaci´on que he
desarrollado desde que decid´ı hacer mis estudios de Doctorado.
El segundo autor reconoce y agradece la invitaci´on del primer autor para
participar en la elaboraci´on de este y otros proyectos ambiciosos, acad´emicos
y de investigaci´on. Su apoyo ha sido fundamental en el desarrollo profesio-
nal del segundo autor y en la formaci´on conjunta de estudiantes de nivel
maestr´ıa. El segundo autor agradece de forma muy especial a los Doctores
Gilberto Silva Ortigoza y Hebertt Sira Ram´ırez, investigadores de la BUAP
y del CINVESTAV-IPN, por ser sus mentores; el primero a lo largo de toda
su trayectoria y el segundo en sus estudios de formaci´on de posgrado. Tam-
bi´en, se reconoce y agradece la importante colaboraci´on acad´emica con las

11. Prefacio XI
Doctoras Magdalena Marciano Melchor (CIDETEC-IPN), Griselda Salda˜na
Gonz´alez (Universidad Tecnol´ogica de Puebla) y Mariana Marcelino Aran-
da (UPIICSA-IPN). El segundo autor agradece el apoyo recibido por parte
del CIDETEC del Instituto Polit´ecnico Nacional, Centro de Investigaci´on al
que est´a adscrito desde 2006, el soporte econ´omico recibido de la SIP y de
los programas EDI y COFAA del Instituto Polit´ecnico Nacional, as´ı como del
Sistema Nacional de Investigadores. Menci´on especial merecen mis hijos, Rho-
mina y Joserham´on, por su apoyo moral y ser la inspiraci´on que me permite
esforzarme cada d´ıa para dar siempre lo mejor.
El tercer autor agradece primeramente al Dr. V. M. Hern´andez Guzm´an la
atenta invitaci´on a participar en la realizaci´on de la presente obra. Al Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa que me bec´o para mis estudios de Maestr´ıa y
Doctorado (per´ıodo de realizaci´on de la presente obra). A mi segunda casa, la
Universidad Aut´onoma de Quer´etaro, espacio para la docencia, investigaci´on
y difusi´on de la cultura que me ha ense˜nado a ser un mejor ser humano,
manteni´endome d´ıa con d´ıa en constante superaci´on en todos los sentidos. A
Dios, a mis padres Valent´ın y Alicia, y a mi esposa Lizbeth, por el apoyo
recibido en todo momento.
V. M. Hern´andez Guzm´an Quer´etaro, Qro., FI-UAQ.
R. Silva Ortigoza M´exico, D.F., Instituto Polit´ecnico Nacional.
R. V. Carrillo Serrano Quer´etaro, Qro., FI-UAQ.
Enero de 2013.

13. ´Indice general
1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Historia del Control Autom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Prototipos did´acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Energ´ıa y variables generalizadas del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Almacenadores de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1. Sistemas mec´anicos traslacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. Sistemas mec´anicos rotativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3. Sistemas el´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Disipadores de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1. Sistemas mec´anicos traslacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2. Sistemas mec´anicos rotativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. Sistemas el´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Fuentes de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1. Sistemas mec´anicos traslacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Sistemas mec´anicos rotativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3. Sistemas el´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Convertidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2. Adaptadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7. Caso de estudio. Un convertidor electr´onico de potencia de
CD a CD tipo resonante serie de alta frecuencia . . . . . . . . . . . . . 83
2.8. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.9. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

14. XIV ´Indice general
2.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3. Base matem´atica: ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1. Ecuaci´on diferencial de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2. Un integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3. Ecuaci´on diferencial de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4. Ra´ıces reales diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5. Ra´ıces reales repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.6. Ra´ıces complejas conjugadas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7. Ra´ıces complejas conjugadas repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.8. Una ecuaci´on diferencial general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.9. Polos y ceros en sistemas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.9.1. Cancelaci´on polo-cero y modelos reducidos . . . . . . . . . . . 150
3.9.2. Polos dominantes y modelos reducidos . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.10. El principio de superposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.11. Caso de estudio. Un convertidor electr´onico de potencia de
CD a CD tipo resonante serie de alta frecuencia . . . . . . . . . . . . . 160
3.12. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.13. Preguntas de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.14. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4. Criterios de estabilidad y error en estado estacionario . . . . . 177
4.1. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2. Regla de los signos para determinar la ubicaci´on de las ra´ıces
de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2.1. Polinomios de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2.2. Polinomios de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.2.3. Polinomios de grado 3 o mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.3. Criterio de estabilidad de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.4. Error en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.4.1. Referencia tipo escal´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.4.2. Referencia tipo rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.4.3. Referencia tipo par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.5. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.6. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

15. ´Indice general XV
5. Dise˜no usando la respuesta en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.1. Dise˜no con el lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.1.1. Reglas para construir el lugar de las ra´ıces. . . . . . . . . . . . 225
5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2.1. Control proporcional de posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2.2. Control proporcional-derivativo (PD) de posici´on . . . . . . 235
5.2.3. Control de posici´on usando un compensador de adelanto238
5.2.4. Control proporcional-integral (PI) de velocidad. . . . . . . . 241
5.2.5. Control proporcional-integral-derivativo (PID) de
posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.2.6. Asignaci´on de los polos de lazo cerrado deseados . . . . . . 257
5.2.7. Control proporcional-integral-derivativo (PID) de un
sistema de levitaci´on magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.2.8. Control de un sistema ball and beam . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.3. Caso de estudio. Notas adicionales sobre el control PID de
posici´on de un motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.4. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.5. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6. Dise˜no usando la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.1. Un circuito RC de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.1.1. Representaciones gr´aficas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.1.2. Modelo matem´atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.1.3. Componentes de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.1.4. Relaci´on entre la respuesta en la frecuencia y en la
respuesta en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.2. Sistemas arbitrarios de orden n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.3. Gr´aficas polares y de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.4. Gr´aficas de respuesta en frecuencia. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.4.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.4.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.4.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.5. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.5.1. Recorridos cerrados alrededor de polos y ceros . . . . . . . . 326
6.5.2. Trayectoria de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.5.3. Polos y ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.5.4. Criterio de Nyquist. Caso especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.5.5. Criterio de Nyquist. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.6. M´argenes de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.7. Relaci´on entre las caracter´ısticas de respuesta en la frecuencia
y en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.7.1. Respuesta en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

16. XVI ´Indice general
6.7.2. Respuesta en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.8.1. Ejemplo de an´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.8.2. Un sistema ball and beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
6.8.3. Control PD de posici´on de un motor de CD. . . . . . . . . . . 355
6.8.4. Redise˜no del control PD de posici´on de un motor de CD363
6.8.5. Control PID de posici´on de un motor de CD . . . . . . . . . . 368
6.9. Caso de estudio. Control PID de un sistema de levitaci´on
magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.10. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.11. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
6.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7. La t´ecnica de las variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.1. Representaci´on en variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
7.2. Linealizaci´on aproximada de ecuaciones de estado no lineales . . 399
7.2.1. Procedimiento para ecuaciones de primer orden sin
entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.2.2. Procedimiento general para ecuaciones de orden
arbitrario y n´umero de entradas arbitrario . . . . . . . . . . . . 402
7.3. Algunos resultados del ´algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
7.4. Soluci´on de una ecuaci´on din´amica, lineal e invariante en el
tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
7.5. Estabilidad de una ecuaci´on din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
7.6. Controlabilidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.6.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
7.6.2. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.7. Funci´on de transferencia de una ecuaci´on din´amica . . . . . . . . . . 418
7.8. Una de las ecuaciones din´amicas que corresponden a una
funci´on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
7.9. Ecuaciones din´amicas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
7.10. Control por realimentaci´on del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
7.11. Observadores de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.12. El principio de separaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.13. Caso de estudio. El p´endulo con rueda inercial . . . . . . . . . . . . . . 438
7.13.1. Obtenci´on de la forma en (7.75) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
7.13.2. Control por realimentaci´on del estado . . . . . . . . . . . . . . . . 439
7.14. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
7.15. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.16. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

17. ´Indice general XVII
8. Circuitos electr´onicos realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
8.1. Circuitos electr´onicos para reducir no linealidades . . . . . . . . . . . 448
8.1.1. Reducci´on de la distorsi´on en amplificadores . . . . . . . . . . 449
8.1.2. Reducci´on de la zona muerta en amplificadores. . . . . . . . 451
8.2. Construcci´on anal´ogica de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.3. Dise˜no de osciladores con forma de onda sinusoidal . . . . . . . . . . 458
8.3.1. Dise˜no basado en un amplificador operacional. Puente
de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
8.3.2. Dise˜no basado en un amplificador operacional. Red
RC de defasaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
8.3.3. Dise˜no basado en un transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
8.4. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
8.5. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
9. Control de velocidad de un motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
9.1. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
9.2. Amplificador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
9.3. Control de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
9.4. Identificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.5. Control de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
9.5.1. Un controlador PI modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
9.5.2. Un controlador con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . 512
9.6. Prototipo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.6.1. Control de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
9.6.2. Amplificador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
9.7. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
9.8. C´alculo num´erico de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
9.9. Programaci´on del microcontrolador PIC16F877A . . . . . . . . . . . . 523
9.10. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
9.11. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10. Control de posici´on de un motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
10.1. Identificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
10.2. Control sin perturbaciones externas (Tp = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 535
10.2.1. Control proporcional con realimentaci´on de velocidad . . 535
10.2.2. Control con un compensador de adelanto . . . . . . . . . . . . . 537
10.3. Control bajo el efecto de perturbaciones externas . . . . . . . . . . . . 540
10.3.1. Un controlador PID modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
10.3.2. Un controlador con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . 544
10.3.3. Un controlador PID cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
10.4. Seguimiento de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

18. XVIII ´Indice general
10.5. C´alculo num´erico de los algoritmos de control . . . . . . . . . . . . . . . 555
10.6. Construcci´on del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
10.7. Programaci´on del microcontrolador PIC16F877A . . . . . . . . . . . . 559
10.8. Control basado en una computadora personal . . . . . . . . . . . . . . . 562
10.9. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.10.Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
11. Control de un sistema de levitaci´on magn´etica . . . . . . . . . . . . . 575
11.1. Modelo matem´atico no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
11.2. Modelo lineal aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
11.2.1. Obtenci´on de un modelo en variables de estado. . . . . . . . 581
11.2.2. Aproximaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
11.3. Construcci´on del prototipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
11.3.1. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
11.3.2. Electroim´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
11.3.3. Sensor de posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
11.3.4. Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
11.3.5. Lazo de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
11.3.6. Amplificador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
11.4. Identificaci´on experimental de los par´ametros del modelo . . . . . 587
11.4.1. Resistencia del electroim´an, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
11.4.2. Inductancia del eletroim´an, L(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
11.4.3. Ganancia del sensor de posici´on, As . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
11.4.4. Masa de la esfera, m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
11.5. Dise˜no del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
11.5.1. Un controlador proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
11.5.2. Un controlador proporcional-integral-derivativo (PID) . . 594
11.6. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
11.7. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
11.8. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
12. Control de un sistema Ball and Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
12.1. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
12.2. Construcci´on del prototipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
12.2.1. Medici´on de la posici´on x del bal´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
12.2.2. Medici´on de la inclinaci´on θ de la varilla . . . . . . . . . . . . . 612
12.2.3. Interfaces y amplificador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
12.3. Identificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
12.3.1. Sistema de medici´on de la inclinaci´on θ de la varilla . . . 614
12.3.2. Sistema de medici´on de la posici´on x del bal´ın . . . . . . . . 614
12.3.3. Subsistema motor-varilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

19. ´Indice general XIX
12.3.4. Din´amica del bal´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
12.4. Dise˜no del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
12.5. Construcci´on del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
12.6. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
12.7. Control basado en el microcontrolador
PIC16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
12.7.1. Construcci´on del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
12.7.2. Dise˜no del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
12.7.3. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
12.7.4. Programa utilizado en el microcontrolador PIC16F877A 635
12.8. Un sistema de medici´on mejorado para la posici´on del bal´ın . . . 639
12.9. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
12.10.Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
13. Control de un p´endulo de Furuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
13.1. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
13.2. Modelo lineal aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
13.3. Construcci´on del p´endulo de Furuta e indentificaci´on de sus
par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
13.4. Dise˜no del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
13.5. Construcci´on del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
13.6. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
13.7. Resumen del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
13.8. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
14. Control de un p´endulo con rueda inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
14.1. P´endulo con rueda inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
14.2. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
14.3. Controlador no lineal para levantar el p´endulo . . . . . . . . . . . . . . 674
14.4. Controlador para atrapar el p´endulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
14.5. Construcci´on del p´endulo con rueda inercial e identificaci´on
de sus par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
14.6. Construcci´on del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
14.7. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
14.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
14.9. Preguntas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
´Indice alfab´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

21. 1
Introducci´on
Las aplicaciones del control autom´atico en la actualidad son muy extensas,
variadas e importantes. Quiz´a una de las m´as populares es la del control de
robots manipuladores en la industria de manufactura. Desde la l´ıneas de en-
samble de autom´oviles hasta las celdas robotizadas de soldadura. Las razones
principales para este ´exito es la alta calidad del trabajo, el ahorro de tiempo
y la reducci´on del costo de producci´on.

22. 2 1 Introducci´on
Objetivos del cap´ıtulo
Comprender de manera intuitiva los conceptos b´asicos de realimentaci´on
y control en lazo cerrado, as´ı como los objetivos de un sistema de control.
Conocer la historia del Control Autom´atico para comprender por qu´e se
desarrollaron este conjunto de herramientas de dise˜no.
Relacionar los cap´ıtulos de la presente obra con los hechos hist´oricos que
motivaron los conocimientos descritos en cada cap´ıtulo.
Con el fin de explicar de qu´e se trata el Control Autom´atico (o simplemente
control) y cu´al es su prop´osito, a continuaci´on se describe c´omo funciona el
sistema de control del direccionamiento de un ca˜n´on antia´ereo. Las razones
de haber elegido este ejemplo son las siguientes. i) Se trata de un sistema
cuyo objetivo y funcionamiento b´asico pueden ser entendidos f´acilmente por la
mayor´ıa de las personas debido a la gran cantidad de pel´ıculas, video-juegos,
programas de televisi´on, etc., que de alguna manera u otra muestran para
qu´e sirve este sistema de control. ii) Es un problema hist´oricamente muy
importante pues motiv´o el desarrollo de gran parte de las ideas y t´ecnicas
b´asicas del Control Autom´atico durante la Segunda Guerra Mundial. Este
ejemplo tambi´en ser´a utilizado para que el lector pueda relacionar el contenido
del presente libro con algunos de los aspectos de los sistemas de control.
1.1. Sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo
En la figura 1.1 se muestra un esquema de este sistema de control. El ca˜n´on
antia´ereo debe apuntar hacia un avi´on y derribarlo. Para conseguir esto, el
ca˜n´on debe tener varios movimientos independientes que permitan ajustar su
orientaci´on (θ) en el plano horizontal y su inclinaci´on respecto de la horizontal.
Con el fin de simplificar la descripci´on del problema, en lo que sigue s´olo se
considerar´a el control de la orientaci´on en el plano horizontal θ.
Para ajustar la orientaci´on θ del ca˜n´on se utiliza un motor el´ectrico. Esto
se consigue acoplando mec´anicamente el motor al ca˜n´on mediante un juego de
engranes. El conjunto motor-ca˜n´on funciona, a grandes rasgos, del siguiente
modo. Si se aplica un voltaje positivo al motor entonces el ca˜n´on recibe un
par en sentido antihorario, por lo que el ca˜n´on tiende a moverse en sentido
antihorario. Si se aplica un voltaje negativo al motor entonces el ca˜n´on recibe
un par en sentido horario, por lo que el ca˜n´on tiende a moverse en sentido
horario. Si el voltaje que se aplica al motor es igual a cero, entonces el par
aplicado sobre el ca˜n´on es igual a cero, por lo que el ca˜n´on tiende a detenerse.
La posici´on del avi´on se determina mediante el uso de un radar y se usa este
dato como el valor θd que se desea alcance la orientaci´on del ca˜n´on θ. Es decir,
se desea conseguir que θ = θd lo m´as r´apido posible para, una vez conseguido

23. 1.1 Sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo 3
canàoón
antiaeóreo
motor
engranes
òd
ò
amplificador
de
potencia
controlador
radar
v
òòd
Figura 1.1. Sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo.
ò
òd
(a) θd > θ, v > 0, el ca˜n´on se
mueve en sentido antihorario.
ò
òd
(b) θd < θ, v < 0, el ca˜n´on se mueve en
sentido horario.
Figura 1.2. El ca˜n´on antia´ereo siempre debe moverse hacia la orientaci´on deseada.
esto, disparar1
. De acuerdo al funcionamiento descrito en el p´arrafo anterior,
una manera sencilla de conseguir esto es aplicando al motor un voltaje v que
sea calculado de acuerdo a la siguiente regla:
v = kp(θd − θ) (1.1)
donde kp es una constante positiva. La operaci´on presentada en (1.1) es rea-
lizada utilizando equipo electr´onico de baja potencia (una computadora o un
microcontrolador, por ejemplo) y se debe utilizar un amplificador de potencia
para satisfacer los requerimientos del motor el´ectrico. En este caso se est´a su-
poniendo que el amplificador de potencia ofrece una amplificaci´on unitaria
1
Sin embargo, en una situaci´on real, es necesario que la orientaci´on del ca˜n´on vaya
adelante de la posici´on del avi´on con el fin de compensar el tiempo que la bomba
tarda en viajar desde que es disparada hasta que llega a donde est´a el avi´on.
Aqu´ı se est´a despreciando este efecto con el fin de simplificar la exposici´on.

24. 4 1 Introducci´on
en voltaje, pero realiza una gran amplificaci´on en corriente el´ectrica (v´ease el
cap´ıtulo 9, secci´on 9.2). De acuerdo a la figura 1.2 se puede presentar alguna
de las siguientes situaciones:
Si θ < θd, entonces v > 0 y el ca˜n´on gira en sentido antihorario de modo
que θ se aproxima a θd.
Si θ > θd, entonces v < 0 y el ca˜n´on gira en sentido horario de modo que
θ se aproxima a θd.
Si θ = θd, entonces v = 0 y el ca˜n´on no gira por lo que la condici´on θ = θd
se puede mantener para siempre.
A partir de este razonamiento se concluye que la regla presentada en (1.1) para
determinar el voltaje que se ha de aplicar al motor tiene buenas posibilidades
de funcionar en la pr´actica.
A la regla en (1.1) se le conoce como ley de control o, simplemente, contro-
lador. En la figura 1.3 se muestra un diagrama de bloques de los componentes
del sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo. N´otese que la construcci´on del
controlador en (1.1) requiere que la posici´on del ca˜n´on θ (tambi´en conocida
como la salida) sea usada para generar el voltaje v (tambi´en conocido como
la entrada) que se aplica al motor. Este hecho define los conceptos de reali-
mentaci´on y de sistema en lazo cerrado. Esto indica que el sistema de control
compara la posici´on del motor (θ, salida) con la posici´on deseada o referencia
(θd) y aplica al motor un voltaje v que depende de la diferencia existente entre
estas variables (v´ease (1.1)).
motor
canàoón
amplificador
de
potencia
controlador+
à
òòd v
kp
â 1
Figura 1.3. Diagrama de bloques del sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo.
Si se define el error de posici´on como la diferencia θd − θ, se dice que
el error en estado estacionario2
del sistema de control de posici´on es cero
porque, de acuerdo a lo arriba explicado, θd − θ = 0 puede mantenerse para
siempre. Sin embargo, el t´ermino “en estado estacionario” indica que esto
se conseguir´a cuando el tiempo sea suficientemente grande como para que el
ca˜n´on deje de moverse. As´ı que a´un queda el problema de determinar c´omo
evolucionar´a el movimiento del ca˜n´on conforme θ se aproxima a θd. A esto se
le conoce como la respuesta transitoria del sistema de control 3
. En la figura
2
V´ease el cap´ıtulo 4
3
V´eanse los cap´ıtulos 3, 5 y 6

25. 1.1 Sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo 5
1.4 se muestran varios ejemplos de c´omo puede ser la respuesta transitoria.
N´otese que si kp es grande en (1.1) entonces el voltaje v que se aplica al
motor es mayor por lo que el par sobre el ca˜n´on tambi´en es mayor y, por tanto,
girar´a m´as r´apido. Entonces, el tiempo que debe transcurrir para que θ alcance
a θd ser´a menor. Sin embargo, un movimiento r´apido del ca˜n´on y la inercia
propia del mismo pueden provocar que cuando θ alcance a θd la velocidad del
ca˜n´on sea diferente de cero ˙θ = 0 por lo que el ca˜n´on continuar´a movi´endose
y cambiar´a el signo de θd − θ. Entonces la posici´on θ puede efectuar varias
oscilaciones alrededor de θd antes de que el ca˜n´on se detenga. Esto significa
que el valor de kp tiene un efecto importante sobre la forma de la respuesta
transitoria por lo que debe ser calculada de modo que se obtenga la respuesta
transitoria deseada (r´apida y sin oscilaciones). Incluso, para conseguir esto, en
ocasiones no ser´a suficiente con ajustar el valor de kp y deber´a modificarse la
regla en (1.1), es decir se deber´a utilizar otro controlador (v´eanse los cap´ıtulos
5, 6, 7 y 10). Es m´as, el error en estado estacionario puede ser diferente de cero
(θ = θd cuando el motor alcanza el reposo) debido a perturbaciones externas
(el viento, por ejemplo, puede desviar al ca˜n´on de su posici´on u orientaci´on
deseada) o por efectos tales como la fricci´on existente entre las partes m´oviles
de todo el mecanismo. Esto significa que incluso la b´usqueda de un error en
estado estacionario que sea cero o, al menos, suficientemente peque˜no puede
ser una raz´on para buscar un nuevo controlador.
0
0
tiempo
òd
ò
Figura 1.4. Tres formas posibles de la respuesta transitoria en el control de un
ca˜n´on antia´ereo.

26. 6 1 Introducci´on
Un aspecto muy importante en el dise˜no del sistema de control es la es-
tabilidad del mismo. El concepto de estabilidad puede interpretarse a groso
modo recordando lo que ocurre en un p´endulo simple (v´ease la figura 1.5).
Si la posici´on deseada del p´endulo es θ = 0 entonces basta con dejar que el
p´endulo se mueva libremente (con un par externo igual a cero, T(t) = 0) y
el p´endulo oscilar´a hasta que, por efecto de la fricci´on, alcanzar´a el reposo en
θ = 0. Entonces se dice que, bajo esta situaci´on, el p´endulo es estable porque
alcanza la posici´on deseada θ = 0 en estado estacionario a partir de cual-
quier posici´on inicial suficientemente cercana. Por otro lado, si se desea que
el p´endulo alcance la posici´on θ = π es claro que, por efecto de la gravedad,
el p´endulo siempre se aleja de esa configuraci´on por cercana que se elija la
posici´on inicial respecto de ese valor deseado θ = π. Entonces se dice que bajo
esa situaci´on el p´endulo es inestable4
. N´otese que, de acuerdo a esta descrip-
ci´on intuitiva, el sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo es inestable si la
ley de control en (1.1) utiliza una constante kp negativa: en este caso el ca˜n´on
se mover´a de modo que θ se aleja de θd. Por tanto, el valor de la constante
kp tambi´en determina la estabilidad del sistema de control y debe elegirse de
manera que la asegure 5
. N´otese que si el sistema de control es inestable (kp
negativa) entonces el error en estado estacionario nunca ser´a cero a pesar de
que la regla en (1.1) indica que el motor se detiene cuando θ = θd. Esto se
debe a que, incluso si θ = θd desde el principio, la medici´on de la posici´on θ
siempre est´a contaminada de ruido el cual producir´a que θ = θd en (1.1) y
esto ser´a suficiente para que, de acuerdo a lo explicado previamente, θ se aleje
de θd.
T(t)
ò
l
m
g
d
Figura 1.5. P´endulo simple.
Otro factor importante en el sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo es
el movimiento que describe el avi´on por derribar. Es claro que si la direcci´on
4
Este es precisamente el t´ermino que coloquialmente se usa pare describir que el
p´endulo no puede permanecer en θ = π para siempre
5
V´eanse los cap´ıtulos 3, 4, 5, 6, 7

27. 1.1 Sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo 7
θd, que indica en donde se encuentra el avi´on, es constante entonces el avi´on
ser´a derribado m´as f´acilmente que si el avi´on se aleja a gran velocidad (cuan-
do θd cambia r´apidamente) o cuando el avi´on acelera para escapar (cuando la
segunda derivada de θd es grande). Por tanto, la ley de control en (1.1) debe
ser dise˜nada de manera que el sistema de control responda correctamente ba-
jo cualquiera de las tres situaciones anteriormente descritas. En caso que θd
tenga una forma diferente a las consideradas, se supone que el sistema de con-
trol responder´a correctamente si responde bien ante las tres situaciones antes
consideradas. Esta es la idea detr´as del dise˜no del error en estado estacionario
del sistema, descrito en el cap´ıtulo 4.
De acuerdo a lo anterior, se puede decir que las tres caracter´ısticas fun-
damentales de un sistema de control son la respuesta transitoria, la respuesta
en estado estacionario (o error en estado estacionario) y la estabilidad. El
controlador debe ser dise˜nado de manera que estas tres partes fundamenta-
les de la respuesta de un sistema de control cumplan con las especificaciones
requeridas: rapidez y pocas oscilaciones (respuesta transitoria), que la posi-
ci´on del ca˜n´on alcance (o sea muy cercana a) la posici´on deseada cuando el
tiempo sea suficientemente grande (respuesta en estado estacionario) y que
el sistema de control sea estable. Para conseguir esto, las t´ecnicas de control
estudiadas en la presente obra se basan en el estudio del modelo matem´atico
del sistema de control completo. De acuerdo a lo expuesto en el cap´ıtulo 2,
este modelo matem´atico est´a dado en t´erminos de una ecuaci´on diferencial
ordinaria, lineal y de coeficientes constantes. Por esta raz´on, en el cap´ıtulo 3
se estudia la soluci´on de este tipo de ecuaciones diferenciales para definir las
propiedades que determinan su estabilidad as´ı como la forma transitoria de la
soluci´on y el valor final de la misma. El conocimiento de c´omo es la soluci´on
de estas ecuaciones diferenciales es fundamental para los m´etodos de dise˜no
de controladores que se estudian en este libro.
Los m´etodos de dise˜no que se usan en esta obra pueden dividirse en cl´asicas
y modernas. Las t´ecnicas de control cl´asicas son estudiadas en los cap´ıtulos
3, 4, 5, 6 y existen dos metodolog´ıas diferentes: las t´ecnicas de respuesta en
el tiempo (cap´ıtulo 5) y las t´ecnicas de la respuesta en la frecuencia (cap´ıtulo
6). Las t´ecnicas de control cl´asico est´an basadas en el uso de la transformada
de Laplace para resolver y analizar ecuaciones diferenciales. Las t´ecnicas de
la respuesta en el tiempo se basan en determinar la forma de la respuesta
temporal de un sistema de control a partir de la ubicaci´on de los polos de la
funci´on de transferencia correspondiente (cap´ıtulo 3) y el m´etodo principal de
dise˜no es el Lugar de las Ra´ıces (cap´ıtulo 5). Las t´ecnicas de la respuesta en la
frecuencia explotan la idea fundamental detr´as de la Transformada de Fourier:
los sistemas de control (lineales) funcionan como filtros de tal manera que,
ante una orden, la respuesta del sistema de control est´a b´asicamente dada
como esa orden filtrada por el sistema de control. Es por esta raz´on que
las herramientas fundamentales de dise˜no para esta t´ecnica son las gr´aficas
polares y de Bode (cap´ıtulo 6) ampliamente utilizadas en el dise˜no y an´alisis
de filtros (pasa altas, pasa bajas, pasa banda, etc.). En los cap´ıtulos 8, 9, 10,

28. 8 1 Introducci´on
11 y 12 se presentan algunas aplicaciones experimentales de las t´ecnicas de
control cl´asico.
Por otro lado, las t´ecnicas modernas que se abordan en este libro est´an
representadas por las basadas en las variables de estado (cap´ıtulo 7) las cua-
les, a diferencia de las t´ecnicas cl´asicas permiten estudiar el comportamiento
del “interior” del sistema de control. Esto significa que las variables de estado
suministran m´as informaci´on que puede ser aprovechada para conseguir me-
jores resultados. Ejemplos de aplicaciones de estas t´ecnicas son mostrados en
los cap´ıtulos 13 y 14.
1.2. Historia del Control Autom´atico
Una vez que se ha descrito a groso modo qu´e es lo que se persigue al dise˜nar
un sistema de control as´ı como algunos conceptos ´utiles para conseguirlo, a
continuaci´on se presenta una breve historia del Control Autom´atico. El obje-
tivo es que el lector se d´e cuenta de c´omo han sido formulados estos conceptos
y, adem´as, pueda apreciar cu´ales han sido las necesidades ingenieriles que han
motivado estas ideas. Tambi´en se indican las partes del presente libro en don-
de se abordan los principales conceptos y t´ecnicas de los sistemas de control.
El contenido de esta secci´on est´a basado en la informaci´on reportada en [1].
El Control Autom´atico se ha usado desde hace m´as de 2000 a˜nos. Se tiene
conocimiento de la existencia de relojes de agua, construidos por Ktesibios,
hacia el a˜no 270 antes de Cristo, as´ı como una variedad de mecanismos in-
geniosos construidos en Alejandr´ıa y descritos por Her´on. Sin embargo, des-
de el punto de vista de la ingenier´ıa, el avance m´as importante en Control
Autom´atico se debi´o a James Watt en 1789 al introducir un regulador de ve-
locidad para su m´aquina de vapor. Sin embargo, a pesar de su importancia, el
regulador de velocidad de Watt ten´ıa varios problemas. Se observaba que en
ocasiones la velocidad variaba de manera oscilatoria en lugar de permanecer
constante o crec´ıa sin l´ımite. Tratando de determinar bajo qu´e condiciones se
pod´ıa asegurar un funcionamiento estable, entre 1826 y 1851 J.V. Poncelet
y G.B. Airy mostraron que era posible utilizar ecuaciones diferenciales para
representar el funcionamiento completo de la m´aquina de vapor junto con el
regulador de velocidad (v´ease el cap´ıtulo 2 para el problema del modelado de
sistemas f´ısicos).
En esas fechas los matem´aticos sab´ıan que la estabilidad de una ecuaci´on
diferencial estaba determinada por la ubicaci´on de las ra´ıces de la ecuaci´on
caracter´ıstica correspondiente y se sab´ıa que hab´ıa inestabilidad si la parte
real de una ra´ız era positiva (v´ease el cap´tulo 3, secci´on 3.8). Sin embargo, no
era sencillo calcular el valor num´erico de dichas ra´ıces y en ocasiones ni siquie-
ra era posible. As´ı, en 1868 J.C. Maxwell mostr´o la manera de determinar la
estabilidad de las m´aquinas de vapor con el regulador de Watt simplemente
examinando los coeficientes de la ecuaci´on diferencial que la representa. Sin
embargo, este resultado s´olo era ´util para ecuaciones diferenciales de segundo,

29. 1.2 Historia del Control Autom´atico 9
tercero y cuarto orden. M´as tarde, entre 1877 y 1895 y de manera indepen-
diente, E.J. Routh y A. Hurwitz dedujeron un m´etodo para determinar la
estabilidad de sistemas de cualquier orden, resolviendo el problema que Max-
well hab´ıa dejado abierto. Este m´etodo ahora es conocido como el Criterio de
Routh o de Routh-Hurwitz (v´ease el cap´ıtulo 4, secci´on 4.3).
Durante gran parte del siglo XIX se desarrollaron muchas aplicaciones
relacionadas con el Control Autom´atico entre las cuales estaban el control
de temperatura, de presi´on, de nivel de l´ıquidos y la velocidad de m´aquinas
rotativas. Por otro lado, se empez´o a usar el vapor para mover grandes ca˜nones
y para actuar sobre el sistema de direcci´on de barcos cada vez m´as grandes.
Incluso, por esa ´epoca, en Francia se introdujeron los t´erminos de servomotor
y servomecanismo para describir un movimiento generado por un servidor o
esclavo. Sin embargo, la mayor´ıa de los controladores de ese entonces eran
del tipo encendido-apagado y fueron personas como E. Sperry y M.E. Leeds
quienes se dieron cuenta de que los mejores operadores humanos empleaban
el sentido de anticipaci´on disminuyendo la potencia conforme la variable a
controlar se acercaba a su valor deseado. Fue N. Minorsky quien en 1922
present´o un an´alisis claro de los sistemas de control de posici´on y formul´o lo
que hoy en d´ıa se conoce como controlador PID (v´ease el cap´ıtulo 5, secci´on
5.2.5). Este controlador fue deducido observando la manera en que el piloto
humano de un barco controla su direcci´on.
Por otro lado, desde 1920 la amplificaci´on hab´ıa producido muchos proble-
mas a las compa˜n´ıas telef´onicas ya que se distorsionaba fuertemente la se˜nal
de audio. Fue en esa ´epoca que H.S. Black encontr´o que si una peque˜na can-
tidad de la se˜nal obtenida a la salida de un amplificador se utilizaba para ser
realimentada a la entrada del mismo se pod´ıa reducir la distorsi´on producida
por el amplificador. Durante el desarrollo de este trabajo, Black fue ayudado
por H. Nyquist quien, a partir de esas experiencias, public´o en 1932 un trabajo
titulado “Regeneration Theory” en donde estableci´o las bases de lo que ahora
es conocido como el An´alisis de Nyquist (v´ease el cap´ıtulo 6, secci´on 6.5).
Durante el per´ıodo 1935-1940, las compa˜n´ıas telef´onicas deseaban ampliar
el ancho de banda de sus sistemas de comunicaci´on para aumentar el n´umero
de sus usuarios. Para esto necesitaban que sus l´ıneas telef´onicas presentaran
una buena caracter´ıstica de respuesta en frecuencia (v´ease el cap´ıtulo 6): una
ganancia constante sobre un amplio rango de frecuencias con un peque˜no
´angulo de atraso y una aguda pendiente de atenuaci´on a partir de una deter-
minada frecuencia de corte. Motivado por este problema, H. Bode estudi´o la
relaci´on existente entre una caracter´ıstica de atenuaci´on dada y el m´ınimo
corrimiento de fase que se le puede asociar. Como resultado introdujo los con-
ceptos de margen de ganancia y margen de fase (v´ease el cap´ıtulo 6, secci´on
6.6) y empez´o a manejar el punto (−1, 0) del plano complejo como un punto
cr´ıtico en lugar del punto (+1, 0) manejado por Nyquist. Detalles completos
del trabajo de Bode aparecieron en 1945 en su libro “Network Analysis and
Feedback Amplifier Design”.

30. 10 1 Introducci´on
Pero fue la Segunda Guerra Mundial la que hizo que el trabajo en sistemas
de control se concentrara en unos pocos problemas espec´ıficos. El m´as impor-
tante de estos fue el relacionado con el direccionamiento de ca˜nones antia´ereos.
El trabajo en este problema motiv´o el desarrollo de nuevas ideas en el control
de servomecanismos. G. S. Brown del Instituto Tecnol´ogico de Massachusetts
mostr´o que muchos sistemas el´ectricos y mec´anicos pueden ser representados
y manipulados usando diagramas de bloques (v´ease el cap´ıtulo 4, secci´on 4.1)
y A. C. Hall mostr´o en 1943 que manejando los bloques como funciones de
transferencia (v´ease el cap´ıtulo 3) pod´ıa obtenerse la funci´on de transferencia
del sistema completo para finalmente usar el criterio de estabilidad de Nyquist
y determinar los m´argenes de ganancia y de fase.
Los investigadores en el Instituto Tecnol´ogico de Massachusetts usaron
circuitos de adelanto (v´ease el cap´ıtulo 10, secci´on 10.2.2) en el trayecto directo
para modificar el desempe˜no del sistema de control, mientras que en el Reino
Unido se usaron varios lazos internos para modificar la respuesta del sistema
de control.
Hacia el final de la Segunda Guerra Mundial las t´ecnicas de respuesta en
frecuencia basadas en el m´etodo de Nyquist y las gr´aficas de Bode ya estaban
bien establecidas, describiendo el desempe˜no del sistema de control en t´ermi-
nos de ancho de banda, frecuencia de resonancia, margen de fase y margen
de ganancia (v´ease el cap´ıtulo 6). El enfoque alternativo a estas t´ecnicas se
basaba en la soluci´on de las ecuaciones diferenciales usando la Transforma-
da de Laplace y describ´ıan el desempe˜no del sistema de control en t´erminos
del tiempo de subida, sobre paso, error en estado estacionario y el amorti-
guamiento (v´ease el cap´ıtulo 3, secci´on 3.3). Muchos ingenieros prefer´ıan este
m´etodo porque los resultados estaban expresados en t´erminos “reales”. Pero
este enfoque ten´ıa la desventaja de que no exist´ıa una manera sencilla que
permitiera al dise˜nador relacionar los cambios en los par´ametros con cambios
en la manera en que respond´ıa el sistema. Fue precisamente el m´etodo del
Lugar de las Ra´ıces (v´ease el cap´ıtulo 5, secciones 5.1 y 5.2) introducido en
1948 y 1950 por W. Evans el que permiti´o librar estos obst´aculos. As´ı, hacia
esas fechas las ahora llamadas t´ecnicas de control cl´asico estaban bien estable-
cidas y estaban orientadas a sistemas que pod´ıan ser descritos por ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes y con una sola entrada.
Entonces vino la era de los vuelos supers´onicos y espaciales. Era necesario
utilizar modelos f´ısicos detallados representables en ecuaciones diferenciales
que pod´ıan ser lineales o no lineales. Los ingenieros que trabajaban en las
industrias aeroespaciales encontraron que siguiendo las ideas de Poincar´e era
posible formular ecuaciones diferenciales generales en t´erminos de un conjunto
de ecuaciones diferenciales de primer orden y as´ı empez´o a nacer lo que hoy
se conoce como la t´ecnica de las variables de estado (v´ease el cap´ıtulo 7).
Un gran impulsor de esta t´ecnica fue R. Kalman quien, alrededor de 1960,
present´o los conceptos de controlabilidad y observabilidad (v´ease la secci´on
7.6).

31. 1.3 Prototipos did´acticos 11
Finalmente, se debe decir que a partir de esas fechas se han detectado nue-
vos problemas en los sistemas de control que han motivado la introducci´on
de diversas t´ecnicas de control que a´un hoy en d´ıa se siguen desarrollando.
Por ejemplo, las no linealidades encontradas en los servomecanismos ha mo-
tivado el desarrollo de las t´ecnicas de control no lineal. El control de aviones
supers´onicos, que deben operar bajo amplios rangos de temperatura, presi´on,
velocidad, etc., motiv´o el desarrollo de control adaptable. La introducci´on
de sistemas de control basados en radar motiv´o el desarrollo de t´ecnicas de
control para sistemas en tiempo discreto, etc.
1.3. Prototipos did´acticos
En las secciones previas se ha mencionado que el Control Autom´atico ha
sido desarrollado con el fin de resolver problemas de ingenier´ıa importantes.
Sin embargo, la ense˜nanza de las t´ecnicas del Control Autom´atico necesita que
el estudiante pueda practicar aplicando sus conocimientos de manera experi-
mental. Como es dif´ıcil hacer uso de instalaciones industriales complejas o de
laboratorios de alta tecnolog´ıa con este prop´osito, en la ense˜nanza del Control
Autom´atico se recurre a los llamados “prototipos did´acticos”. Un prototipo
did´actico es un dispositivo que tiene dos caracter´ısticas principales: i) es
suficientemente sencillo como para que pueda ser construido y ser puesto en
marcha usando diferentes controladores, e ii) que sea un modelo suficiente-
mente complejo como para que se puedan apreciar los diferentes aspectos de
un sistema de control. A continuaci´on se listan los prototipos did´acticos usados
en este libro y se indica cuales son las herramientas del Control Autom´atico
que son utilizadas en dichos prototipos:
Circuitos electr´onicos osciladores basados en amplificadores operacionales
y transistores (cap´ıtulo 8). Respuesta en frecuencia, criterio de estabilidad
de Nyquist y criterio de estabilidad de Routh.
Motores de CD con escobillas e im´an permanente (cap´ıtulos 9 y 10). Dise˜no
de varios controladores b´asicos en servomecanismos utilizando la respuesta
en el tiempo: proporcional, proporcional-derivativo, proporcional-integral,
proporcional-integral-derivativo, compensadores de adelanto, controlado-
res con dos grados de libertad.
Sistema de levitaci´on magn´etica (cap´ıtulo 11). Dise˜no de un controlador
PID usando el concepto de aproximaci´on lineal de un sistema no lineal y
el m´etodo del lugar de las ra´ıces.
Sistema “ball and beam” (cap´ıtulo 12). Dise˜no de un sistema multilazo
usando la respuesta en frecuencia (criterio de Nyquist y gr´aficas de Bode)
y el lugar de las ra´ıces.
P´endulo de Furuta (cap´ıtulo 13). Dise˜no de un controlador por realimen-
taci´on del estado usando la t´ecnica de la variable de estado. Se utiliza una
aproximaci´on lineal de un sistema no lineal.

32. 12 1 Introducci´on
P´endulo con rueda inercial (cap´ıtulo 14). Dise˜no de dos controladores por
realimentaci´on del estado usando la t´ecnica de la variable de estado. Uno
de los controladores es dise˜nado utilizando el modelo no lineal completo
del mecanismo y es utilizado para dar al lector una peque˜na introducci´on
al control de sistemas no lineales.
1.4. Resumen del cap´ıtulo
En el presente cap´ıtulo se ha explicado de manera intuitiva cu´al es la idea
fundamental de controlar un sistema en lazo cerrado. Para esto se ha descrito
c´omo funciona el sistema de control de un ca˜n´on antia´ereo. Tambi´en se ha ex-
plicado, mediante el mismo ejemplo, qu´e es lo que se busca cuando se dise˜na
un sistema de control. Se ha presentado una breve descripci´on de la historia
del Control Autom´atico para que el lector entienda que todos los conceptos
detr´as de las herramientas de los sistemas de control han sido motivados por
problemas tecnol´ogicos importantes. Esta descripci´on hist´orica ha sido utili-
zada para indicar en que partes de la presente obra se abordan las diferentes
herramientas del Control Autom´atico.
1.5. Preguntas de repaso
1. ¿Para qu´e podr´ıa el lector usar el Control Autom´atico?
2. ¿Podr´ıa hacer una lista del equipo dom´estico que utilice la realimentaci´on?
3. Investigue como funciona un reloj de pared (que utiliza un p´endulo)
¿C´omo cree que intervenga la realimentaci´on en el funcionamiento de estos
relojes?
4. ¿Por qu´e es hist´oricamente importante el regulador de velocidad de Watt
para una m´aquina de vapor?
5. ¿Qu´e significa que un sistema de control sea inestable?
6. ¿Qu´e entiende por rapidez de respuesta?
7. ¿Por qu´e se dice que un p´endulo invertido es inestable?
8. ¿Por qu´e se desarrollaron primero las t´ecnicas de respuesta en frecuencia
antes de las t´ecnicas de respuesta en el tiempo?

33. Referencias
1. S. Bennett, A brief history of automatic control, IEEE Control Systems Maga-
zine, pp. 17-25, June 1996.
2. G.W. Evans, The story of Walter R. Evans and his textbook Control-Systems
Dynamics, IEEE Control Systems Magazine, pp. 74-81, December 2004.
3. D.A. Mindell, Anti-aircraft fire control and the develoment of integrated systems
at Sperry, 1925-1940, IEEE Control Systems Magazine, pp. 108-113, April 1995.
4. S.W. Herwald, Recollection of the early development of servomechanism and
control systems, IEEE Control Systems Magazine, pp. 29-32, november 1984.
5. D.S. Bernstein, Feedback control: an invisible thread in the history of technology,
IEEE Control Systems Magazine, pp. 53-68, April 2002.
6. W. Oppelt, On the early growth of conceptual thinking in the control system
theory- The German role up to 1945, IEEE Control Systems Magazine, pp.
16-22, November 1984.
7. S. Bennett, Nicolas Minorsky and the automatic steering of ships, IEEE Control
Systems Magazine, pp. 10-15, November 1984.

35. 2
Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
El modelado matem´atico de sistemas f´ısicos consiste en obtener un conjun-
to de ecuaciones que, al ser resueltas, muestran c´omo evolucionan las variables
importantes del sistema. Esto se consigue describiendo matem´aticamente, y
por separado, a cada una de las partes que componen al sistema por mo-
delar. Finalmente, estos modelos matem´aticos aislados deben ser conectados
de acuerdo a la configuraci´on que mantienen dentro del sistema completo,
respetando las leyes de la naturaleza que los rigen.

36. 16 2 Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
Objetivos del cap´ıtulo
Darse cuenta de que el modelo matem´atico de los sistemas f´ısicos est´a cons-
tituido por ecuaciones diferenciales.
Aprender a obtener el modelo matem´atico de sistemas mec´anicos, el´ectri-
cos y electromec´anicos.
Identificar a los sistemas f´ısicos como la interconexi´on de procesadores de
energ´ıa.
Identificar las analog´ıas entre sistemas de diferente naturaleza, a partir de
la manera en que procesan la energ´ıa.
Tradicionalmente, cuando se aborda el modelado de sistemas f´ısicos se re-
curre a los m´etodos espec´ıficos desarrollados para cada tipo de sistema. Es
decir, los sistemas el´ectricos son modelados usando los m´etodos desarrollados
en la teor´ıa de circuitos el´ectricos y cuando se trata de sistemas mec´anicos
se usan los m´etodos desarrollados en ingenier´ıa mec´anica. Sin embargo, pro-
ceder de esta manera tiene varias desventajas: i) la persona no especializada
en el tema en cuesti´on debe simplemente aceptar (sin muchas explicaciones)
los m´etodos de modelado desarrollados en esa rama del conocimiento, ii) el
estudiante no se da cuenta de que las leyes f´ısicas utilizadas para el modelado
de sistemas de diferente naturaleza est´an relacionadas por analog´ıas; aunque
en todo curso de control autom´atico siempre se tratan de resaltar las ana-
log´ıas, ´estas tienen que ser explicadas a partir de las ecuaciones resultantes
del modelado y no se puede ver que es la esencia del fen´omeno la que tiene su
contraparte en sistemas de diferente naturaleza.
Una manera de estudiar el modelado de sistemas f´ısicos de diferente natu-
raleza bajo una perspectiva unificada es utilizando un concepto que es com´un
a varios ´ambitos de la ingenier´ıa: la energ´ıa del sistema. Por esta misma raz´on
en esta obra el modelado de sistemas se limita a sistemas el´ectricos y mec´ani-
cos los cuales pueden estudiarse usando conceptos generales de energ´ıa que
son comunes a todos estos sistemas. La idea fundamental del uso de la energ´ıa
para el modelado es que los componentes de cada sistema bajo estudio suminis-
tran, almacenan o disipan energ´ıa y cuando se unen para formar un sistema
complejo es cuesti´on de determinar c´omo esa energ´ıa es transmitida de un
componente a otro.
Este enfoque de usar la energ´ıa para el modelado (y, por tanto, el presente
cap´ıtulo) est´a basado en las ideas introducidas en [1].
2.1. Energ´ıa y variables generalizadas del sistema
En dos sistemas que se encuentran conectados el intercambio de energ´ıa
se realiza a trav´es de un puerto, el cual puede ser conceptualmente descrito
como formado por dos terminales comunes a ambos sistemas (v´ease la figura
2.1). La energ´ıa es intercambiada entre estos sistemas atrav´es de dos variables

37. 2.1 Energ´ıa y variables generalizadas del sistema 17
generalizadas que se identifican bajo los conceptos generales de esfuerzo e
y flujo f. Estas variables, al ser generalizadas, est´an definidas en cualquier
sistema independientemente de su naturaleza. Por tanto, no se confundan
estas variables con las variables esfuerzo y flujo definidas en resistencia de
materiales (esfuerzo) y mec´anica de fluidos (flujo). Las variables generalizadas
de esfuerzo y flujo pueden ser distinguidas a partir de la manera en que son
medidas. El esfuerzo es medido utilizando un instrumento que se conecta
entre ambas terminales del puerto (en la literatura en ingl´es se usa el t´ermino
across para describir estas variables). Ejemplos de estas variables son el voltaje
(sistemas el´ectricos), la presi´on (sistemas de fluidos) y la velocidad (sistemas
mec´anicos): estas variables se miden entre dos puntos porque necesitan ser
medidas respecto a un valor de referencia. El flujo es medido utilizando un
instrumento que se conecta a lo largo de una de las terminales del puerto (en
la literatura en ingl´es se usa el t´ermino through para describir estas variables).
En este caso no se necesita especificar un valor de referencia sino que se mide
la variable que fluye a trav´es del sistema. Ejemplos de estas variables son el
flujo de fluidos (sistemas de fluidos), la corriente el´ectrica (sistemas el´ectricos)
y la fuerza (sistemas mec´anicos).
Sistema
1
Sistema
2
f
e
puerto
Figura 2.1. Dos sistemas conectados a trav´es de un puerto.
En este enfoque en el cual lo sistemas son considerados como procesadores
de energ´ıa, el producto de las variables de esfuerzo y flujo es igual a la potencia
instant´anea (w) intercambiada a trav´es del puerto:
w = ef
Para cada uno de los componentes del sistema se debe definir una convenci´on
de signos para las variables generalizadas de esfuerzo y de flujo (v´ease la figura
2.2). De este modo, si la potencia w tiene signo positivo para el componente i
entonces este componente recibe energ´ıa en ese instante. Si la potencia w tiene
signo negativo para el elemento i entonces el componente entrega energ´ıa a
los otros componentes del sistema en ese instante.
La energ´ıa intercambiada (E) en el intervalo de tiempo [0, t] est´a dada
como la integral de la potencia inst´antanea:

38. 18 2 Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
Componente
f
i
e
Figura 2.2. Sentidos definidos como positivos para las variables de esfuerzo y flujo.
E =
t
0
ef dt (2.1)
Si la energ´ıa E es positiva para el componente i, entonces E representa la
energ´ıa que este componente ha recibido en el intervalo de tiempo [0, t], pero si
E es negativa entonces E representa la cantidad de energ´ıa que el componente
ha entregado a los otros componentes del sistema en el intervalo de tiempo
[0, t].
Ejemplo 2.1 En un circuito el´ectrico, la potencia (w) est´a dada como el
producto de la corriente el´ectrica i (A, Amperes) a trav´es del circuito y el
voltaje v (V, volts) medido entre las terminales del circuito, mientras que la
energ´ıa (E) intercambiada (puede ser recibida o entregada dependiendo del
signo de E) en el intervalo de tiempo [0, t] se calcula como la integral de la
potencia:
w = iv, E =
t
0
iv dt
En un sistema mec´anico traslacional, la potencia (w) est´a dada como el
producto de la fuerza aplicada F (N, Newton) y la velocidad v (m/s, me-
tros/segundo), mientras que la energ´ıa (E) intercambiada en el intervalo de
tiempo [0, t] se calcula como la integral de la potencia:
w = Fv, E =
t
0
Fv dt
En un sistema mec´anico rotativo, la potencia (w) est´a dada como el producto
del par aplicado T (Nm, Newton×metro) y la velocidad angular ω (rad/s,
radian/segundo), mientras que la energ´ıa (E) intercambiada en el intervalo
de tiempo [0, t] se calcula como la integral de la potencia:
w = Tω, E =
t
0
Tω dt
En un sistema de fluidos, la potencia (w) est´a dada como el producto de la pre-
si´on P (N/m2
, Newton/metro2
) y el flujo del fluido Q (m3
/s, metro3
/segundo),
mientras que la energ´ıa (E) intercambiada en el intervalo de tiempo [0, t] se
calcula como la integral de la potencia:

39. 2.2 Almacenadores de energ´ıa 19
w = PQ, E =
t
0
PQ dt
Se recomienda hacer el an´alisis dimensional correspondiente en cada caso pa-
ra verificar que la energ´ıa siempre est´a dada en Joules=Newton×metro y la
potencia en Joules/segundo.
Los componentes de un sistema pueden clasificarse de la siguiente manera,
de acuerdo a la acci´on que realizan sobre la energ´ıa E que intercambian:
Almacenadores de energ´ıa.
Disipadores de energ´ıa.
Fuentes de energ´ıa.
Convertidores.
A continuaci´on se estudia cada una de estas funciones.
2.2. Almacenadores de energ´ıa
Existen dos maneras de almacenar la energ´ıa: i) mediante el almacena-
miento de esfuerzo e ii) mediante el almacenamiento de flujo. Estas dos ma-
neras de almacenar la energ´ıa definen dos nuevas variables: la acumulaci´on de
esfuerzo (ea) y la acumulaci´on de flujo (fa):
ea =
t
0
e dt, e =
dea
dt
fa =
t
0
f dt, f =
dfa
dt
N´otese que a partir de estas expresiones tambi´en se puede escribir:
e dt = dea, f dt = dfa
lo cual, al ser sustituido en (2.1) da origen a las siguientes expresiones para
la energ´ıa almacenada en t´erminos de la acumulaci´on de esfuerzo:
E =
ea(t)
ea(0)
f dea (2.2)
y para la energ´ıa almacenada en t´erminos de la acumulaci´on de flujo:
E =
fa(t)
fa(0)
e dfa (2.3)
Para poder calcular la integral en (2.2) es necesario que el flujo f se pueda
escribir como funci´on de la acumulaci´on de esfuerzo ea, es decir que se pueda
escribir:

40. 20 2 Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
f = φ(ea)
Por otro lado, para poder calcular la integral en (2.3) es necesario que el
esfuerzo e se pueda escribir como funci´on de la acumulaci´on de flujo fa, es
decir que se pueda escribir:
e = ϕ(fa)
En cada caso, las funciones φ y ϕ se conocen como las funciones constituti-
vas del componente del sistema que realiza la acci´on de almacenamiento de
esfuerzo o de flujo. A continuaci´on se estudian los componentes que realizan
el almacenamiento de esfuerzo o de flujo en sistemas de diferente naturaleza.
2.2.1. Sistemas mec´anicos traslacionales
Almacenamiento de flujo
En la figura 2.3 se muestra un cuerpo r´ıgido (sin flexibilidad) de masa m
(positiva) que se mueve con velocidad v12 (v12 = e, esfuerzo) bajo el efecto de
una fuerza F (F = f, flujo). Se supone que no existe fricci´on entre el cuerpo
y el medio que lo rodea. Los sentidos mostrados para la fuerza y la velocidad
son los sentidos que se definen como positivos para este tipo de componente
de sistema. Bajo estas condiciones, la Segunda Ley de Newton [2], p´ag. 89,
establece que:
F = ma (2.4)
donde a = dv12
dt es la aceleraci´on del cuerpo. La siguiente manera de definir el
momentum p:
p = mv12 (2.5)
es muy conveniente porque se puede integrar (2.5) y (2.4) para concluir que el
momentum es la acumulaci´on de flujo (p = fa), es decir que se puede escribir:
p =
t
0
F dt + p(0)
A partir de (2.5) se concluye que la funci´on constitutiva es:
v12 = ϕ(p) =
1
m
p, (e = ϕ(fa))
Entonces, sustituyendo v12 = e, p = fa y v12 = p/m en (2.3) y suponiendo
que p(0) = 0, se encuentra que la energ´ıa almacenada est´a dada como:
E =
p
0
1
m
p dp =
1
2m
p2
=
1
2
mv2
12
lo cual constituye la expresi´on bien conocida para la energ´ıa cin´etica.

41. 2.2 Almacenadores de energ´ıa 21
F
v12
m
1
2
Figura 2.3. Un cuerpo r´ıgido de masa m como almacenador de flujo en sistemas
mec´anicos traslacionales.
Almacenamiento de esfuerzo
En la figura 2.4 se muestra un resorte que se deforma (se comprime o se
estira) a una velocidad v12 (v12 = e, esfuerzo) bajo el efecto de una fuerza F
(F = f, flujo). N´otese que aunque la fuerza F se aplica en el extremo 1 del
resorte, debe considerarse que una fuerza del mismo valor y de sentido con-
trario aparece en el extremo 2 del resorte para que sea posible la deformaci´on.
Adem´as, v12 = v1 − v2 donde v1 y v2 son las velocidades de los extremos 1 y
2 del resorte, respectivamente. Los sentidos mostrados para la fuerza y las ve-
locidades son los que se definen como positivos para este tipo de componente
de sistema. N´otese que la velocidad v12 indica que el extremo 1 del resorte
se aproxima al extremo 2 del resorte. Se supone que el resorte no tiene masa
y que la deformaci´on no es permanente ni produce calor. El almacenamiento
de energ´ıa en un resorte se realiza mediante el desplazamiento neto del re-
sorte respecto de su estado nominal. El estado nominal del resorte puede ser
definido como aquel en el cual el resorte no est´a ni estirado ni comprimido,
pero en algunos casos tambi´en puede ser definido como aquel en el cual el
sistema mec´anico completo est´a en reposo aunque el resorte este comprimido
o estirado en esa situaci´on de reposo. Por tanto, la acumulaci´on de esfuerzo
se define como el desplazamiento neto (ea = x12):
F
v12
F
v1
v2
1 2
Figura 2.4. Un resorte como almacenador de esfuerzo en sistemas mec´anicos tras-
lacionales.
x12 =
t
0
v12 dt + x12(0) (2.6)

42. 22 2 Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
donde x12 = x1 − x2 con x1 y x2 las posiciones de los extremos 1 y 2 del
resorte, respectivamente. De acuerdo al sentido de la velocidad v12 que se ha
definido en la figura 2.4 se concluye que el desplazamiento neto x12 es positivo
cuando el resorte est´a comprimido.
En el caso de un resorte lineal la funci´on constitutiva responde a la Ley
de Hooke [2], p´ag. 640:
F = k x12, (f = φ(ea)) (2.7)
donde k es una constante positiva que se conoce como la constante de rigidez
del resorte. Entonces, sustituyendo x12 = ea, F = f y F = k x12 en (2.2)
y suponiendo que x12(0) = 0, se encuentra que la energ´ıa almacenada en el
resorte est´a dada como:
E =
x12
0
k x12 dx12 =
1
2
k x2
12
2.2.2. Sistemas mec´anicos rotativos
Almacenamiento de flujo
En la figura 2.5 se muestra un cuerpo r´ıgido (sin flexibilidad) que gira
con velocidad angular ω12 (ω12 = e, esfuerzo) bajo el efecto de un par T
(T = f, flujo). Se supone que no existe fricci´on entre el cuerpo y el medio
que lo rodea. Los sentidos mostrados para el par y la velocidad angular son
los sentidos que se definen como positivos para este tipo de componente de
sistema. De acuerdo a la Segunda Ley de Newton [2], p´ag. 122:
Eje de rotación
T
1
2
!12
Figura 2.5. Un cuerpo r´ıgido rotativo de inercia I como almacenador de flujo en
sistemas mec´anicos rotativos.
T = Iα (2.8)
donde α = dω12
dt es la aceleraci´on angular del cuerpo e I es el momento de
inercia (constante positiva). El momentum angular h se define de la siguiente
manera conveniente:

43. 2.2 Almacenadores de energ´ıa 23
h = Iω12 (2.9)
porque integrando (2.8) y (2.9) se encuentra que el momentum angular es la
acumulaci´on de flujo (h = fa) porque se puede escribir:
h =
t
0
T dt + h(0)
A partir de (2.9) se concluye que la funci´on constitutiva es:
ω12 = ϕ(h) =
1
I
h, (e = ϕ(fa))
Entonces, sustituyendo ω12 = e, h = fa y ω12 = h/I en (2.3) y suponiendo
que h(0) = 0, se encuentra que la energ´ıa almacenada est´a dada como:
E =
h
0
1
I
h dh =
1
2I
h2
=
1
2
Iω2
12
lo cual constituye la expresi´on bien conocida para la energ´ıa cin´etica.
Almacenamiento de esfuerzo
En la figura 2.6 se muestra un resorte que se deforma (mediante una flexion
angular) a una velocidad ω12 (ω12 = e, esfuerzo) bajo el efecto de un par T
(T = f, flujo). N´otese que aunque el par T se aplica en el extremo 1 del resorte,
debe considerarse que un par del mismo valor y de sentido contrario aparece
en el extremo 2 del resorte para que sea posible la deformaci´on. Adem´as,
ω12 = ω1 − ω2 con ω1 y ω2 las velocidades de los extremos 1 y 2 del resorte,
respectivamente. Los sentidos mostrados para la fuerza y las velocidades son
los que se definen como positivos para este tipo de componente de sistema.
Se supone que el resorte no tiene momento de inercia (o masa) y que la
deformaci´on no es permanente ni produce calor. El almacenamiento de energ´ıa
en un resorte se realiza mediante el desplazamiento angular neto del resorte
respecto de su estado nominal. El estado nominal del resorte puede ser definido
como aquel en el cual el resorte no est´a flexionado en ni en sentido horario
ni antihorario, pero en algunos casos tambi´en puede ser definido como aquel
en el cual el sistema mec´anico completo est´a en reposo aunque el resorte este
flexionado en esa situaci´on de reposo. Por tanto, la acumulaci´on de esfuerzo
se define como el desplazamiento angular neto (ea = θ12):
θ12 =
t
0
ω12 dt + θ12(0) (2.10)
donde θ12 = θ1 − θ2 con θ1 y θ2 las posiciones angulares de los extremos 1 y
2 del resorte, respectivamente. De acuerdo al sentido de la velocidad ω12 que

44. 24 2 Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
se ha definido en la figura 2.6 se concluye que el desplazamiento angular neto
θ12 es positivo cuando el resorte se flexiona de modo que θ1 > θ2.
En el caso de un resorte lineal, la funci´on constitutiva responde a la Ley
de Hooke:
T = k θ12, (f = φ(ea)) (2.11)
donde k es una constante positiva que se conoce como la constante de rigidez
torsional del resorte. Entonces, sustituyendo θ12 = ea, T = f y T = k θ12 en
(2.2) y suponiendo que θ12(0) = 0, se encuentra que la energ´ıa almacenada en
el resorte est´a dada como:
E =
θ12
0
k θ12 dθ12 =
1
2
k θ2
12
2.2.3. Sistemas el´ectricos
Almacenamiento de esfuerzo
En la figura 2.7 se muestra un inductor a trav´es del cual circula una corrien-
te el´ectrica i (i = f, flujo) bajo el efecto de un voltaje v12 (v12 = e, esfuerzo)
aplicado entre sus extremos. Se supone que no existen efectos par´asitos, es
decir, el inductor no tiene resistencia el´ectrica interna ni existe capacitancia
entre sus espiras. Los sentidos mostrados para la corriente el´ectrica y el voltaje
son los sentidos que se definen como positivos para este tipo de componente
de sistema.
Faraday fue el primero en darse cuenta de que un inductor (y en general
cualquier circuito el´ectrico suficientemente largo, dado que un inductor es un
conductor el´ectrico arrollado sobre un n´ucleo) tiene propiedades an´alogas a
las que tiene el momentum en sistemas mec´anicos. Lo que Faraday llam´o el
T T
1 2
!2!1
!12
Figura 2.6. Un resorte como almacenador de esfuerzo en sistemas mec´anicos rota-
tivos.
+ à
v12
i
1 2
Figura 2.7. Un inductor como almacenador de esfuerzo en sistemas el´ectricos.

45. 2.2 Almacenadores de energ´ıa 25
“momentum electrodin´amico” es m´as conocido actualmente como el flujo con-
catenado λ y es igual al flujo magn´etico que es encerrado por el inductor.
Faraday encontr´o que el flujo concatenado es proporcional a la corriente i que
fluye a trav´es del inductor y a una constante positiva L que depende de la
forma geom´etrica en que el conductor est´a arrollado para formar el inductor.
La constante L recibe el nombre de inductancia. Por tanto, se puede escribir:
λ = Li (2.12)
El flujo concatenado determina el voltaje que se produce en los extremos de
un inductor mediante lo que hoy se conoce como la Ley de Faraday [2], p´ag.
606, [3], p´ag. 325:
v12 =
dλ
dt
= L
di
dt
(2.13)
Esto significa que el flujo concatenado representa la acumulaci´on de voltaje o
esfuerzo (λ = ea).
λ =
t
0
v12 dt + λ(0)
Por tanto, a partir de la expresi´on en (2.12) se concluye que:
i = φ(λ) =
1
L
λ, (f = φ(ea))
Entonces, sustituyendo i = f, λ = ea e i = λ/L en (2.2) y suponiendo que
λ(0) = 0, se encuentra que la energ´ıa almacenada est´a dada como:
E =
λ
0
1
L
λ dλ =
1
2L
λ2
=
1
2
Li2
(2.14)
lo cual constituye la expresi´on bien conocida para la energ´ıa magn´etica alma-
cenada en un inductor.
Almacenamiento de flujo
Un capacitor se forma donde quiera que se encuentren dos conductores
el´ectricos con potenciales el´ectricos diferentes, separados por un material no
conductor a una distancia suficientemente peque˜na como para que se genere
un campo el´ectrico entre ellos. Cada uno de los conductores el´ectricos recibe
el nombre placa. En la figura 2.8 se muestra un capacitor a trav´es del cual
circula una corriente el´ectrica i (i = f, flujo) bajo el efecto de un voltaje v12
(v12 = e, esfuerzo) aplicado entre sus terminales. Se supone que no existen
efectos par´asitos, es decir que no existe corriente de fuga entre las placas del
capacitor y que no existen efectos inductivos debidos a las placas del capa-
citor. Debido a la diferencia de potencial que existe entre los conductores se

46. 26 2 Modelado matem´atico de sistemas f´ısicos
producir´a una acumulaci´on de carga el´ectrica. Se usa la letra q para repre-
sentar dicha carga el´ectrica, la cual es igual pero de signo contrario en cada
uno de los conductores. Con el fin de cuantificar la cantidad de carga el´ectrica
que puede ser almacenada, se define la capacitancia C (constante positiva)
del siguiente modo [3], p´ag. 121:
C =
q
v12
(2.15)
La capacitancia C depende de la forma geom´etrica y la cercan´ıa de los con-
ductores (placas), as´ı como de las propiedades diel´ectricas del material no
conductor colocado entre ellos. La corriente el´ectrica se define a partir de la
carga el´ectrica del siguiente modo:
i =
dq
dt
(2.16)
Por tanto, la carga el´ectrica representa la acumulaci´on de flujo (de corriente
el´ectrica) (q = fa):
q =
t
0
i dt + q(0)
A partir de la expresi´on en (2.15) se concluye que
v12 = ϕ(q) =
1
C
q, (e = ϕ(fa))
Entonces, sustituyendo v12 = e, q = fa y v12 = q/C en (2.3) y suponiendo
que q(0) = 0, se encuentra que la energ´ıa almacenada est´a dada como:
E =
q
0
1
C
q dq =
1
2C
q2
lo cual constituye la expresi´on bien conocida para la energ´ıa el´ectrica alma-
cenada en un capacitor.
+ à
v12
i
1 2
Figura 2.8. Un capacitor como almacenador de flujo en sistemas el´ectricos.

47. 2.3 Disipadores de energ´ıa 27
2.3. Disipadores de energ´ıa
Un disipador es un componente que b´asicamente convierte la energ´ıa en
otra forma de energ´ıa (generalmente t´ermica) la cual no es recuperable por el
sistema. A diferencia de los almacenadores de energ´ıa, la disipaci´on de energ´ıa
s´olo se realiza mediante un ´unico proceso. As´ı, un disipador es un componente
cuya funci´on constitutiva relaciona de manera est´atica (sin integrales de por
medio) a las variables generalizadas de esfuerzo y de flujo:
e = ϕ(f)
En este caso no hay energ´ıa almacenada y s´olo se puede hablar de que la
potencia instantanea que se disipa est´a dada por el producto de las variables
generalizadas de esfuerzo y flujo:
w = ef (2.17)
A continuaci´on se estudian los componentes disipadores de energ´ıa en sistemas
de diferente naturaleza.
2.3.1. Sistemas mec´anicos traslacionales
Cualquier objeto mec´anico que requiere de la aplicaci´on permanente de
una fuerza para poder mantener un valor de velocidad presenta efectos di-
sipativos. Normalmente la disipaci´on de potencia ocurre porque la energ´ıa
cin´etica est´a siendo convertida en energ´ıa t´ermica por efecto de la fricci´on, la
cual aparece siempre que dos cuerpos hacen contacto mientras existe movi-
miento relativo entre ellos. La funci´on constitutiva de un disipador mec´anico
general est´a dada como:
v12 = ϕ(F)
donde v12 (e, esfuerzo) es la velocidad relativa entre los cuerpos y F (f, flujo)
es la fuerza aplicada. Un caso particular muy importante de fricci´on es la
fricci´on viscosa, la cual est´a representada por una funci´on constitutiva lineal
de la forma:
v12 =
1
b
F, fricci´on viscosa (2.18)
donde b es una constante positiva conocida como el coeficiente de fricci´on
viscosa. Este tipo de fricci´on ocurre, por ejemplo, cuando una placa plana
y llena de orificios se desplaza dentro de una c´amara cerrada llena de aire,
como se muestra en la figura 2.9. Debido a que el aire debe fluir a trav´es de
los orificios conforme la placa se mueve a velocidad v12, es necesario aplicar
una fuerza F para mantener la velocidad del movimiento. Adem´as, v12 =
v1 −v2 donde v1 y v2 son las velocidades de los extremos 1 y 2 del dispositivo,