FICHAS 1 BGU

1. Marco teórico
El conocimiento que una persona tiene respecto a
un hecho o fenómeno puede ser de carácter científico o
empírico.
I. CONOCIMIENTO EMPÍRICO
Se adquiere por medio de la experiencia, a travésde
los sentidos o repetición constante de algún hecho,
sin ningún razonamiento elaborado. Los conceptos
empíricos son imprecisos e inciertos.
Ejemplo: caminar, comer, dormir
II. CONOCIMIENTO CIENTÍFICO
Se adquiere a través de pasos metódicos y reflexivos
que nos conducen a conocer el porqué de los
hechos. Se establece la relación de causa-efecto.
Ejemplos: sumar, utilizar la tabla periódica,
explicación del porqué flotan los barcos. La
ley de la gravitación universal.
Y
Y
Método: Significa hacer o proceder en forma
ordenada y sistemática, de acuerdo a ciertas
normas o principios.
Y
Y El científico u hombre de ciencia es
aquel hombre inteligente, capaz de hacer
avanzar la ciencia. Los científicos son
personas que se dedican al estudio de
la naturaleza; trabajan pacientemente y
con mucho rigor. Observan, comprueban
sus observaciones, las comparan con
las observaciones de otros sabios o
científicos, realizan experimentos,
buscan explicaciones a todo lo que
observan. Esta forma de trabajar se llama
método científico.
II.
CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO
CIENTÍFICO
Y
Y
Los hechos son su fuente de información y
respuesta. Es objetivo y exacto.
Y
Y
Se atiene a reglas metodológicas. Es sistemático,
establece un orden o coherencia.
Y
Y
Puede ser verificado por cualquier persona o
científico.
Y
Y
Es autocorrectivo y progresivo, es decir,
distingue lo verdadero de lo falso.
Y
Y
El método científico consta de una serie de
pasos, etapas o fases, los que inician con la
observación y terminan con los resultados
finales o conclusiones.
MÉTODO CIENTÍFICO

2. PASO 1: Observación
Es el punto de partida de toda investigación.
Consiste en examinar atentamente los hechos
y fenómenos, describirlos y anotarlos. Luego,
se plantea una serie de preguntas que buscan
explicar cómo ocurren estos.
PASO 2: Formulación de hipótesis
En esta etapa se formulan respuestas provisionales
de los hechos observados y de sus posibles
causas, que deben ser confirmadas a través de la
experimentación.
PASO 3: Experimentación
Realiza múltiples experimentos reproduciendo
varias veces el hecho o fenómeno que se quiere
estudiar, modificando las circunstancias que se
consideren convenientes. Aquí se pueden realizar
mediciones de las magnitudes físicas.
PASO 4: Emisión de conclusiones
Permitecomprobarsisuhipótesiseracorrectay dar
una explicación científica al hecho o fenómeno
observado.
A veces se repiten ciertas pautas en todos los
hechos y fenómenos observados. En este caso
puede enunciarse una ley. Una ley científica es la
formulación de las regularidades observadas en un
hechoofenómenonatural.Porlogeneral,seexpresa
matemáticamente.
Ejemplo de aplicación del método científico en
nuestra vida diaria.
Imagina que te sientas en el sofá dispuesto a ver
un rato la televisión y al presionar el botón del
control remoto, el televisor no enciende. Repites
la operación tres veces y nada.
Y
Y
Observación: La tele no se enciende.
Y
Y
Problema: El control remoto no funciona.
Y
Y
Hipótesis 1: Las pilas están agotadas.
Y
Y
Hipótesis 2: El control remoto se malogró
Y
Y Solución: Colocar pilas nuevas.
Y
Y
Predicción de resultados: Si cambio las pilas
la tele encenderá.
Y
Y
Experimento: Quito las pilas antiguas y pon-
go nuevas. La tele enciende.
Y
Y Conclusión: Se confirmó la hipótesis 1.
Trabajando en Clase
Integral
1. Indica las fases del método científico.
Respuesta: Las fases del método científico son:
Y
Y Observación
Y
Y Hipótesis
Y
Y Experimentación
Y
Y Conclusiones
2. Los conocimientos ________ explican un hecho
de manera metódica y reflexiva.
3. Si suelto dos canicas del mismo tamaño, una de
acero y la otra de vidrio, la canica de acero
caerá primero. Estamos frente a un conocimiento
de carácter ___________.
4. Un conocimiento obtenido de nuestra experiencia,
es un conocimiento de carácter ___________.
UNMSM
5. Después de las observaciones, el científico se
plantea el cómo y el porqué de lo que ha ocurrido
y formula una ___________.
Respuesta: Hipótesis.
6. Unaleyfísicanosprediceunfenómeno ________.
7. El primer paso en la aplicación del método
científico es la ___________.
8. El conocimiento ________ se adquiere a través
de pasos metódicos y reflexivos.
Respuesta: científico
9. Cuando un bebé comienza a caminar requiere de
un conocimiento ________________.
10. Pamercito escucha todos los días el trinar de los
pájaros. Entonces, Pamercito tiene un conoci-
miento de carácter ___________.
11. __________, es la etapa en la que se verifica o se
comprueba la validez de las hipótesis.
UNI
12. La fórmula, nos permite expresar cuantitativa-
mente un fenómeno ____.
Respuesta: Físico
13. Según tu concepto ¿cuál de las fases del método
científico es el más importante? ¿Porqué? ______
14. _______ consiste en reproducir y observar varias
veces el hecho o fenómeno que se quiere estudiar.
15. Etapa en la que se formulan respuestas provisionales
___________.
Respuesta: formulación de hipótesis

3. Marco teórico
MAGNITUD FÍSICA
Unamagnitudfísicaestodoaquelloquepuedemedirseconciertogradodeprecisión
usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida.
Según su origen se clasifican en:
1. Magnitudes fundamentales
Son aquellas magnitudes independientes que sirven de base para fijar las
unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes.
2. Magnitudes derivadas
Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.
MAGNITUD UNIDAD EN EL SI SÍMBOLO
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Temperatura kelvin K
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
MAGNITUD UNIDAD EN EL SI SÍMBOLO
superficie metro cuadrado m²
volumen metro cúbico m³
densidad kilogramo por metro cúbico kg / m³
velocidad metro por segundo m/s
aceleración metro por segundo al cuadrado m/s²
fuerza newton N
presión pascal Pa
trabajo y energía joule J
potencia watt W
MAGNITUDES FÍSICAS I

4. Trabajando en Clase
Integral
1. Indica cómo se clasifican las magnitudes físicas
según su origen.
Respuesta:
Las magnitudes físicas según su origen pueden
ser:
Y
Y Magnitudes fundamentales
Y
Y Magnitudes derivadas
2. Una ____________ es toda aquella que puede
medirse con cierto grado de precisión usando
para ello una unidad de medida patrón conven-
cionalmente establecido.
3. Las ________ son aquellas que pueden ser expresadas
enfuncióndelasmagnitudesfundamentales.
4. El símbolo del metro es _________.
UNMSM
5. ¿Cuántas magnitudes fundamentales existen?
Respuesta:
Existen siete magnitudes fundamentales.
6. El símbolo de los grados kelvin es _______.
7. cd es el símbolo de ________.
8. El metro cuadrado es la unidad de _______.
Respuesta:
área
9. El símbolo del metro cúbico es _____.
10. La unidad de la aceleración en el Sistema Inter-
nacional es _____.
11. Candela es la unidad de _______.
UNI
12. Si quisiera medir el área del patio de mi colegio, la
mediría en _______.
Respuesta:
m2
13. La densidad tiene por unidad al ____ , que a su
vez tiene por símbolo ______.
14. La intensidad de corriente se mide en _____.
15. La aceleración tiene por unidad al _______ , que
a su vez tiene por símbolo _____.
Respuesta:
metro por segundo al cuadrdado m/s2

5. Marco teórico
Por su naturaleza las magnitudes físicas se clasifican en:
I. LAS MAGNITUDES ESCALARES
Son aquellas que quedan
completamente definidas por un
número y las unidades utilizadas
para su medida. Esto es, las
magnitudes escalares están
representadas por el ente
matemático más simple, por un
número. Podemos decir que poseen un módulo,
pero que carecen de dirección.
Ejemplo: El área, la temperatura, el tiempo, la
masa, etc.
II. LAS MAGNITUDES VECTORIALES
Son aquellas magnitudes que
requieren indicar el módulo
(valor numérico) y la dirección
(ángulo).
Ejemplos de estas magnitudes
son: la velocidad, la acelera-
ción, la fuerza, el campo eléc-
trico, etc.
Y
Y
Medir: Es comparar una magnitud con otra,
tomada de manera arbitraria como referen-
cia, denominada patrón y expresar cuántas
veces la contiene.
Y
Y
Unidad Patrón: Toda unidad patrón ha de poseer
una condiciónfundamental,ladeserinvariable.
III. SISTEMA DE UNIDADES
El conjunto de unidades elegidas como funda-
mentales y las unidades derivadas correspondientes
reciben el nombre de Sistema de unidades.
El sistema de unidades adoptado por la mayoría de
los países es el sistema internacional (SI.). Quedó es-
tablecido en la XI Conferencia Internacional de Pe-
sas y medidas celebrada en París el año 1960, la cual
amplióyperfeccionóelantiguosistemamétrico basado
en tres unidades (metro, kilogramo, segundo).
NOTACIÓN EXPONENCIAL
Se hace uso de los múltiplos y submúltiplos.
PREFIJO SIMBOLO FACTOR
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
Kilo K 10³
hecto H 10²
deca D 10¹
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
Atto a 10-18
MÚLTIPLOS
SUBMÚLTIPLOS
Equivalencias:
Z
Z 1 km = 1 000 m
Z
Z 1 m = 100 cm
Z
Z 1 kg = 1 000 g
Z
Z 1 tonelada = 1 000 kg
Z
Z 1 minuto = 60 s
Z
Z 1 hora = 60 minutos
Z
Z 1 hora = 3 600 segundos
Z
Z 1 m3
= 1 000 litros
Z
Z 1 m3
= 106
cm3
MAGNITUDES FÍSICAS II

6. Trabajando en Clase
Integral
1. Indica cómo se clasifican las magnitudes físicas según su
naturaleza.
Respuesta:
Las magnitudes físicas según su naturaleza
pueden ser:
Y
Y Magnitudes escalares
Y
Y Magnitudes vectoriales
2. ___________ es comparar una magnitud con otra,
tomada de manera arbitraria como referencia,
denominadapatrónyexpresarcuántas veces la contiene.
3. Toda _________ ha de poseer una condición
fundamental, la de ser invariable.
4. El símbolo del prefijo “deca” es ___________.
UNMSM
5. El Sistema Internacional quedó establecido en el
año ___________.
Respuesta:
1960
6. Las______sonaquellasquequedancompletamente
definidas por un número y las unidades utilizadas
para su medida.
7. Las ______ son aquellas que quedan
caracterizadas por su módulo y dirección.
8. El conjunto de unidades elegidas como
fundamentales y las unidades derivadas
correspondientes reciben el nombre de
___________.
Respuesta:
sistema de unidades
9. El símbolo del prefijo “micro” es ___________.
10. El factor del prefijo “kilo” es ___________.
11. El símbolo del prefijo “pico” es ___________.
UNI
12. El factor 1015
pertenece al prefijo ___________.
Respuesta:
“peta”
13. Un metro cúbico equivale a ________ y además a
___________.
14. El factor del prefijo “femto” es ___________.
15. Ejemplo de magnitudes vectoriales son: _______,
________, ________, etc.
Respuesta:
velocidad, fuerza, aceleración, etc.

7. MAGNITUD FÍSICA
Es toda característica o propiedad de la materia o
fenómeno físico que puede ser medido con cierto
grado de precisión, usando para ello una unidad de
medida patrón convencionalmente establecido.
Las magnitudes físicas, se clasifican en:
I. Según su origen
Para resolver el problema que suponía la utiliza-
ción de unidades diferentes en distintos lugares
del mundo, en la XI Conferencia General de Pe-
sos y Medidas (París, 1960) se estableció el Siste-
ma Internacional de Unidades (SI).
1.
Magnitudes fundamentales
En primer lugar, se eligieron las magnitudes
fundamentales y la unidad correspondiente a
cada magnitud fundamental. Una magnitud
fundamental es aquella que se define por sí
misma y es independiente de las demás, ade-
más sirven de base para fijar las unidades y en
función de las cuales se expresan las demás
magnitudes (masa, tiempo, longitud, etc.).
2.
Magnitudes derivadas
En segundo lugar, se definieron las magni-
tudes derivadas y la unidad correspondien-
te a cada magnitud derivada. Una magnitud
derivada es aquella que se obtiene mediante
expresiones matemáticas a partir de las mag-
nitudes fundamentales (densidad, superficie,
velocidad).
II. Según su naturaleza
1.
Magnitudes escalares
Son aquellas que quedan perfectamente defi-
nidas mediante un número real y su corres-
pondiente unidad de medida.
Ejemplo: –10 ºC; 5 kg; etc.
2.
Magnitudes vectoriales
Son aquellas que, además de conocer su va-
lor y unidad, se requiere de su dirección para
quedar perfectamente definidas.
Ejemplo:
• La velocidad
• La aceleración
• La fuerza, etc.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Se instauró en 1960, reconociéndose, inicialmente, seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima
unidad básica: el mol. Actualmente considera siete magnitudes fundamentes y dos auxiliares.
ANÁLISIS DIMENSIONAL

8. Ecuación dimensional
Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes físicas
fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades además, permite verificar si una
fórmula o ley física, es o no dimensionalmente correcta.
Notación
Se usan un par de corchetes [ ] se lee “Ecuación dimensional de…”
Ejemplo:
[B] Ecuación dimensional de la magnitud física B
Símbolos, dimensiones y unidades de magnitudes físicas derivadas
Propiedades de las ecuaciones dimensionales
1º Todos los números, ángulos, funciones trigono-
métricas, logarítmicas o exponencionales son
adimensionales por lo que su ecuación dimensio-
nal es la unidad.
Ejemplo:
[Cos 74º] = 1 ⇒ [ 5 ] = 1
[2p] = 1
1
3
2
≠
- =
: D

9. Trabajando en clase
Integral
1. Determina la fórmula dimensional de “x”.
A
x
B
=
B: velocidad; A: frecuencia
Resolución:
x =
A
B
2
[x] =
A
B
T
LT L
2 1 2
1
= =
-
-
_ i
7
7
A
A
T
2. Determina la fórmula dimensional de “x”.
V = .
X C
V: velocidad; C: aceleración
3. Determina [W] si la energía de un gas se obtiene
mediante:
U = K WT
2
K: Número; T: Temperatura
4. Determina [K] si se sabe que la siguiente expre-
sión es dimensionalmente correcta
C
Dd
PK2
=
Datos:
C: velocidad P: presión
D: densidad d: diámetro
UNMSM
5. Determina la dimensión “x” si la siguiente la ex-
presión es dimensionalmente correcta:
º
Tan Ln
PA
F
A W
Xva
30
º
Sen60
2 3
+ =
_ b
i l
F: fuerza A: superficie
a: aceleración w: velocidad angular
p: presión v: velocidad
Resolución:
º
Tan Ln
PA
F
A W
XVa
30
º
Sen60
2 3
= =
b l
7 < <
A F F
⇒ 1 =
A W
XVa
2 3
< F
.
.
x
Va
A W
LT LT
L T
L
2 3
1 2
2 2 1 3
2
= = =
- -
-
_ _
i i
7 <
A F
6. Si el impulso es I = F.t, determina [Z] para que
la siguiente ecuación sea dimensionalmente
I
Z
W mZ
= + correcta.
Donde:
W: trabajo F: fuerza
M: masa t: tiempo
7. Calcula a + b + c si la fuerza que soporta un cuer-
po sumergido en un líquido es:
F = KDa
gb
Vc
Donde: K es un número
D: densidad; V: volumen; g: aceleración
2º Solo se podrá sumar o restar magnitudes de la
misma especie y el resultado de dicha operación
será igual a la misma magnitud.
Ejemplo:
4 m + 3 m = 7 m
[4 m] + [3 m] = 7 m
L + L = L
Ejemplo:
77 s – 7 s = 70 s
[77 s] – [7 s] = [70 s]
T – T = T
3º Si una formula física es dimensionalmente co-
rrecta u homogénea, todos los términos de dicha
ecuación deben ser dimensionalmente iguales.
(Principio de homogeneidad)
Así, sea la fórmula física:
J + I = C – R
[J] = [I] = [C] = [R]

10. 8. Determina [P] en la ecuación:
P
t
m V K
4
2
2
=
+
_ i
Donde:
m = masa, V = Velocidad; t = tiempo
9. Determina
a
b
< F si:
E v F
2
a b
= +
Donde:
E = trabajo, v = velocidad, F = fuerza
10. El flujo sanguíneo (Q) de un hombre depende del
radio interno (r) de la arteria aorta, de la gradien-
te de presión arterial (P/L) y de la viscosidad (u)
de la sangre. Escribir la fórmula del flujo sanguí-
neo si: Q = volumen / tiempo
P/L = presión / longitud
m = ML–1
T–1
11. Determina la dimensión del producto ABC a par-
tir de la siguiente ecuación:
AB + BC + AC = P2
Donde P: presión
12. Determina las unidades de las constantes “a” y “b”,
respectivamente, si la siguiente ecuación empíri-
ca representa la ecuación de estado de muchos
gases:
P a
v
n
n
v b RT
L
+ - =
b l
< :
F D
Donde:
P: presión
V: volumen
n: número de moles
13. Si la frecuencia (f) de oscilación de un péndulo
simple depende de su longitud (L) y de la acele-
ración de gravedad (g) de la localidad, determina
una fórmula empírica para la frecuencia.
Nota: k = constante de proporcionalidad numé-
rica.
14. Calcula “x + y ” para que la siguiente ecuación sea
dimensionalmente correcta:
H
C
a b Sen
2 y
x
2
q
=
Donde:
H: altura; b: radio; a: rapidez; c: aceleración
UNI
15. Determina la dimensión de S en la siguiente ex-
presión:
S
m
E ah
2 2
= -
b l
Donde:
E: energía; a: aceleración; h: altura: m: masa.
Resolución
s
m
E ah
2 2
= =
7 : 7
A D A
s ah
2
=
7 7
A A
.
s LT L LT
2 1
= =
- -
7 A
[s]: velocidad
16. Determina la dimensión de “y” si “a” es una acele-
ración y “f” es una frecuencia.
.
y
fCos
x x a
2
a
=
-
_
_
i
i
17. Determina la dimensión de “x” si el producto
“xy” tiene unidades de masa eax yz
1
a
=
-
z: densidad volumétrica de masa.
18. Indica la dimensión de la cantidad “x” si la si-
guiente ecuación es dimensionalmente correcta:
º
WR p
a
p p
XTan
2
105
1
0
2
1 2
=
+
_ i
Se sabe que:
a0 es una aceleración
R1 es un radio
W es una velocidad
p1, p2 y p son densidades de masa

11. Las cantidades vectoriales se pueden representar con
flechas.Lalongituddelaflecharepresentalamagnitud
de la cantidad vectorial, y la punta la dirección de esa
cantidad. A esta flecha, trazada a escala y apuntando
en forma correcta se le llama vector.
Vector: Son aquellos segmentos de recta dirigidos que
nos permiten representar y estudiar las magnitudes
vectoriales.
Así:
Sus elementos son: el módulo y la dirección.
Notación:
• V: se lee “vector”
• V : se lee “módulo del vector”
OPERACIONES BÁSICAS CON LOS
VECTORES
Debemos tener presente que para realizar operaciones
con vectores, estos deben ser de la misma naturaleza.
I. Suma de vectores
Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores
por uno solo llamado vector resultante (R).
1. Para dos vectores con el mismo sentido
El módulo de la resultante se obtiene suman-
do los módulos de los vectores.
A esta resultante se le conoce como resultante
máxima (Rmax)
R = A + B
Ejemplo:
2. Para dos vectores con sentidos opuestos.
En este caso se obtiene restando los módulos
de los vectores. A esta resultante se le conoce
como resultante mínima. (RMIN)
R = A – B
Ejemplo:
3. Para dos vectores perpendiculares
El módulo de la resultante se obtiene aplican-
do el teorema de Pitágoras.
R = A B
2 2
+
Ejemplo:
R = A B
2 2
+
R = 3 4
2 2
+ = 5 u
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera.
Este caso se trazan las paralelas a los vectores por sus
extremos. La unión del origen de los vectores con la
intersección de las paralelas es el vector resultante.
El módulo de este vector resultante se obtiene de la
siguiente manera:
R = A B ABCos
2
2 2
θ
+ +
ANÁLISIS VECTORIAL

12. Propiedades
Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo.
A.
R = x 2
B. Si a = 60º
R = x 3
C. Si a = 120º
R = x
Nota importante:
D A B
= - ← vector diferencia
MÉTODO DEL POLÍGONO
Consiste en colocar un vector a continuación del otro.
Para un polígono cerrado
R = 0
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Dado un vector, se puede descomponer en otros
vectores llamados componentes de dicho vector, de
tal manera que estos en su conjunto sean capaces de
reemplazar al vector dado.
Ejemplo:
Como vemos un vector puede descomponerse en
dos o más vectores, siguiendo diferentes caminos,
todos en conjunto tendrán una misma resultante:
el vector x.
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
DE UN VECTOR
Consiste en reemplazar un vector por otros dos, de tal
forma que estos sean mutuamente perpendiculares.
Vx = V Cosq ⇒ Vx = V Cosq
Vy = V Senq ⇒ Vy = V Senq
Además: Tan
V
V
x
y
θ =
Usaremos los símbolos i, j y k para representar
vectores unitarios que apuntan en las direcciones x,
y, z positivas, respectivamente. Los vectores unitarios
i, j y k forman un conjunto de vectores, mutuamente
perpendiculares, en un sistema de coordenadas
de mano derecha como muestra en la figura. La
magnitud de cada vector unitario es igual a la unidad
es decir |i| = |j| = |k| = 1.

13. Trabajando en clase
Integral
1. Calcula el módulo de la resultante de los siguien-
tes vectores.
Resolución:
R = 4 cm
2. Calcula el módulo de la resultante de los siguien-
tes vectores.
3. A partir del siguiente grupo de vectores, calcula
A B C D
3
1 2
- - +
4. Determina el vector resultante:
UNMSM
5. Calcula el módulo de la resultante de los siguien-
tes vectores.
Resolución:
u
R 12 5 13
2 2
= + =
6. Si dos vectores tienen una resultante mínima que
vale 4 y una resultante máxima igual a 16, ¿cuál
será la resultante de estos vectores cuando for-
men un ángulo de 60º?
7. Calcula el módulo de la resultante de los siguien-
tes vectores:
|a| = 5N y |b| = 3N
72° 12°
a b
8. Calcula el módulo de la resultante de los siguien-
tes vectores.
Los vectores en un plano pueden expresarse por
medio de vectores unitarios:
Componentes de un vector en una dirección
determinada. Por consiguiente, tenemos:
A i Ayj
A x
= +

14. 9. Calcula el módulo de la resultante en el siguiente
paralelogramo si M y N son puntos medios. Ade-
más, q = 120º.
10. Calculaelvectorresultantedelossiguientesvectores.
11. Calcula la magnitud de la resultante de los vecto-
res F1 y F2.
a
a
a
a
F1
F2
12. Calcula el módulo de la resultante en el espacio:
13. Determina el módulo y la dirección del vector re-
sultante en el siguiente sistema de vectores.
14. Calcular el módulo de la resultante
UNI
15. Si la figura muestra la disposición de los vectores.
A, B y C, calcula la magnitud de la resultante.
Resolución
i j
A 3 6
= +
t t
3 6
i j
B =- +
t t
j
C 6
=- t
j
A B C 6
+ + = t ⇒ j
R 5
= t
R = 5
16. Si el lado de cada cuadrado pequeño mide 1 cm,
calcula el módulo de a b c d
+ + + .
17. Calcula el ángulo a y la magnitud de B de tal
modo que se cumpla 0
A B C
+ + = , se sabe que
A = 10 u.
18. Sean los vectores A y B con módulos 3 y 10 ,
respectivamente. Si el módulo de la suma A B
+
es igual a 5, ¿cuánto vale el módulo de la diferen-
cia A B
- ?

15. Estudia el movimiento de un objeto ignorando las
interacciones con agentes externos que pueden causar
o modificar dicho movimiento.
MOVIMIENTO MECÁNICO
Este movimiento representa el cambio continuo en la
posición de un objeto con respecto a un sistema de
referencia. La física estudia tres tipos de movimiento:
traslacional, rotacional y vibratorio.
Ejemplo:
Para A: C experimenta movimiento mecánico
Para B: C no experimenta movimiento mecánico
De esto podemos concluir que el movimiento
mecánico no es absoluto, sino que es relativo, pues
depende del sistema de referencia.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
MECÁNICO
• ro: vector posición inicial
• rf : vector posición final
• r
∅ : Desplazamiento
• r r ro
∅ = -
f
• d: Distancia recorrida (longitud de la trayectoria)
• S.R.: sistema de referencia (observador - coorde-
nada - sistema temporal)
• Móvil: cuerpo o partícula que experimenta movi-
miento
VELOCIDAD (V)
Es una magnitud física vectorial que expresa la
rapidez con la cual un móvil cambia de posición con
respecto a un sistema de referencia.
El cambio de posición se puede dar en un intervalo de
tiempo o en un instante de tiempo.
Unidad en el SI: m/s
1. Velocidad media (Vm)
Se evalúa entre dos puntos de una trayectoria y se
define como la razón entre el desplazamiento del
cuerpo (Dr) y el intervalo de tiempo transcurrido
(Dt).
t
r
Vm
∅
∅
=
Note que la Vm y r
∅ son codirigidos. (Colineales
y tienen la misma dirección)
2. Velocidad instantánea (V)
La velocidad instantánea es igual al valor límite
de la proporción /
r t
∅ ∅ en la medida que tiende a
cero.
El vector velocidad instantánea se grafica tangen-
te a la trayectoria e indica la dirección del movi-
miento.
Cuando Dt → 0, el desplazamiento es tangente a
la trayectoria.
lim
V
t
r
t 0
"
∅
∅
∅
=
CINEMÁTICA

16. RAPÍDEZ (V)
Es el módulo de la velocidad instantánea.
Ejemplo:
Obs:
Rapidez media (V
u )
Magnitud física escalar que se define como:
V
t
d
=
u
d: distancia recorrida (m)
t: tiempo (s)
ACELERACIÓN (a )
Es una magnitud física vectorial que nos indica la
rapidez con la que cambia la velocidad de un móvil.
Unidad en el SI m/s2
Aceleración media (am)
Mide la rapidez de cambio de velocidad en un
intervalo de tiempo.
a
t
V V V
t
f i
∅
∅
∅
= = -
m
a m y DV tienen la misma dirección
Movimiento con velocidad constante
Si es constante, entonces su módulo (rapidez) y su
dirección es constante. Esto implica que la trayectoria
del móvil necesariamente será rectilínea. A este
movimiento se le denomina Movimiento rectilíneo
uniforme (M.R.U.)
En todo M.R.U. se cumple que:
Dr = V . t
Ejemplo:
Supongamos que un móvil se desplaza
horizontalmente con velocidad constante y rapidez
igual a 4 m/s.
Como: Dr = V . t o Dx = V . t
⇒ xf – x0 = V . t
∴ xf = x0 + V . t Ecuación del M.R.U.
Notemos que el módulo del desplazamiento coincide
con la distancia recorrida (d) ya que es rectilíneo y se
da en una sola dirección, por lo tanto, en este caso en
particular se puede denotar:
d = v.t
Gráficas en el M.R.U.
Gráfica “V” vs “t”
• La gráfica es una recta paralela al eje de los tiem-
pos.
• El área bajo la gráfica nos da el espacio recorrido
o distancia.
A0→t = eo→t

17. Gráfica “V” vs “t”
• La gráfica es una recta inclinada respecto de la
horizontal.
• La tangente del ángulo de inclinación indica la
velocidad constante del móvil.
Tanq =
t
x xo
-
f
⇒ Tanq = V
Tanq = pendiente de la recta
Ecuaciones auxiliares:
1. Tiempo de encuentro.
t
V V
d
e
sep
1 2
=
+
2. Tiempo de alcance.
t
V V
d
a
sep
1 2
=
-
Trabajando en clase
Integral
1. Si un automóvil viaja con una rapidez de 90 km/h,
¿cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia
de 500 m?
Resolución:
V = 90
h
Km
s
m
18
5 25
# =
⇒
25
500
t = ⇒ t = 20 s
t =d/V
2. Si un móvil con M.R.U. tiene una rapidez de 72
km/h, ¿qué tiempo empleará en recorrer 10 m?
3. Los perritos Fido y Dido están separados por una
distancia de 500 m y parten simultáneamente al
encuentro con velocidades constantes de módu-
los 7 m/s y 8 m/s. ¿Cuánto tiempo tardarán en
estar separados 200 m? (Asumir M.R.U. para am-
bos)

18. 4. Si un tren con M.R.U. demora 6 segundos en pa-
sar delante de un observador y 15 segundos en
pasar totalmente por un túnel de 270 m de longi-
tud, ¿cuál es la longitud del tren?
UNMSM
5. Un auto se encuentra a 540 m de una montaña, y
se acerca a ella si cuando el claxon del auto suena
el eco es percibido por el chofer 3 segundos des-
pués, calcula la rapidez del autor si con M.R.U.
(Vsonido = 340 m/s)
Resolución:
540 + 540 – 3V = 340 . 3
V = 20 m/s
6. Un automóvil se encuentra a 620 m de una pared
y se aleja de ella con M.R.U. cuando el chofer toca
el claxon calcula después de qué tiempo escucha
el eco del claxon, si el auto viaja a 30 m/s.
(Vsonido = 340 m/s)
7. Dos autos que se encuentran separados 200 m
parten en el mismo sentido y con M.R.U. en el
mismo instante uno de ellos posee una rapidez de
75 m/s y el otro una de 50 m/s menos, calcula el
espacio que recorre el más lento hasta que es al-
canzado.
8. Calcula el vector velocidad media para la partícu-
la que se muestra en la figura esta demora 2 s en
ir de A hasta B.
9. Determina la magnitud del desplazamiento de
una partícula en el tercer segundo si su posición
está dada por la siguiente ecuación paramétrica:
r = (t2
+ 1; t2
– 1).
10. Escribe V o F con respecto a la siguiente gráfica y
marca la secuencia correcta.
I. El móvil parte a 3 m del origen. ( )
II. La rapidez del móvil es 1 m/s. ( )
III. Para: t = 6 s el móvil está a 9 m del origen.
( )
11. Si el gráfico posición – tiempo mostrado corres-
ponde a un auto que se mueve en línea recta, de-
termina el grado de verdad de las siguientes pro-
posiciones.
I. Desde t = 2 a t = 4 su movimiento es uniforme.
II. Para t = 9 su velocidad es cero.
III. Para t > 4 su velocidad es negativa.
12. Una avioneta tiene una rapidez de 120 km/h res-
pecto al aire si hay viento favorable de 40 km/h, ¿en
cuánto tiempo recorre una distancia de 320 km?
13. Dos ciclistas A y B parten simultáneamente desde
puntos opuestos de un camino recto, separados
por una distancia d. Sean VA y VB los módulos
de las velocidades constantes de los ciclistas A y
B respectivamente; de modo que se encuentran
al cabo de un minuto. Si VB = 5 m/s y la distancia
recorrida por el ciclista A es igual a (3/4) d, deter-
mina la rapidez del ciclista A (VA) y la distancia d.

19. 14. Si el gráfico muestra la posición «x» de un móvil
versus el tiempo «t» determina el tiempo en que
el móvil pasa por el origen (x = 0).
UNI
15. Un hombre del altura h camina con rapidez cons-
tante v y es iluminado por un foco que se encuen-
tra a una altura H (ver figura). Para que el punto
más adelantado de su sombra en el piso avance
con rapidez 3v, la relación H/h debe ser igual a:
vt
h
vt
H
2 3
=
h
H
2
3
=
16. Con el objeto de medir la rapidez con la que
alcanza un tren de longitud l = 100 m a un au-
tomovilista, que avanza en el mismo sentido a
75 km/h, lo sobrepasa midiendo que el tiempo
que tarda para pasar de la cola a la cabeza del tren
es de 10 s. La rapidez del tren, en km/h, es:
17. Se muestra la gráfica x – t de una partícula, de-
termina cuál de las siguientes proposiciones es
correcta.
I. El móvil estuvo en reposo alguna vez.
II. Para t = 10 s su posición es 10 m a la izquierda
del origen.
III. Su velocidad para t = 9 s es –5i
t m/s.
18. Si un insecto demora 2 s en ir del punto A al pun-
to B, calcula la velocidad media (en m/s) desa-
rrollada por el insecto en este recorrido, sabiendo
que el radio de la circunferencia mostrada es 5 m.

20. Es aquel movimiento donde le móvil describe una
recta y se cumple que en intervalos de tiempo iguales
los cambios de velocidad son iguales y las distancias
recorridas son diferentes.
DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN
CONSTANTE
La aceleración de un cuerpo es constante si su módulo
y su dirección permanecen iguales en todo momento.
Una aceleración constante produce cambios iguales
en la velocidad durante intervalos de tiempo también
iguales. En el M.R.U.V la aceleración es constante
y en todo momento es colineal con la velocidad. Su
valor se determina por miedo de la siguiente relación:
a
t
V
T
T
= –
a
t
V V
f 0
=
Cuando: ti = 0 y tf = t → Dt = t
Donde:
DV = Vector cambio de velocidad
Dt = Intervalo de tiempo
Vo = Velocidad inicial
Vf = Velocidad final
Unidades de aceleración: cm/s2
, m/s2
, pie/s2
.
En el SI se expresa en m/s2
.
LOS NÚMEROS DE GALILEO
Como la rapidez aumenta o disminuye de manera
uniforme, el valor medio de la rapidez, en un cierto
intervalo de tiempo, es igual al promedio de la rapidez
inicial y final en dicho tramo, es decir la rapidez
promedio será:
2
V
V V
p
o f
=
+
En el M.R.U.V. la distancia recorrida por el
móvil en cierto intervalo de tiempo se determina
multiplicando su rapidez promedio por el intervalo
de tiempo transcurrido.
De esto se deduce que la distancia recorrida por
el móvil en el 1er segundo (d1 = 1 m) se obtiene
multiplicando el valor de la rapidez promedio en este
intervalo de tiempo (Vp = 1 m/s) por el tiempo de 1 s.
Del mismo modo, la distancia recorrida en el 2do
segundo (d2 = 3 m) se obtiene multiplicando el valor
de la rapidez promedio en este tramo (Vp = 3 m/s)
por el tiempo de 1 s. Análogamente, la distancia
recorrida en el 3er segundo (d3 = 5 m) se obtiene
multiplicando el valor de la rapidez promedio en este
tramo (Vp = 5 m/s) por el tiempo de 1 s.
En general, si un móvil parte del reposo y se mueve
con M.R.U.V., las distancias recorridas en cada
segundo aumenta en la forma que se indica en la
figura:
Según esto, cuando un móvil parte desde el reposo las
distanciasrecorridasencadasegundosonproporcionales
a los números 1; 3; 5; 7 y así sucesivamente. Estos
números se les conoce como números de galileo.
Cuando el móvil no parte del reposo, es decir cuando
la velocidad inicial (V0) es diferente de cero, las
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

21. distancias recorridas en cada segundo aumenta en la
forma que se indica en la figura:
En ambos casos las distancias recorridas por el
móvil en cada segundo forman una serie aritmética
de razón “a” donde “a” es el valor numérico de la
aceleración.
TIPOS DE MOVIMIENTO VARIADO
a) Movimiento acelerado
Es aquel en donde la aceleración actúa a favor de
la velocidad, de modo que el módulo de la veloci-
dad aumenta a través del tiempo.
b) Movimiento desacelerado
Se le llama también movimiento retardado y es
aquel en donde la aceleración actúa en contra de
la velocidad, provocando que ésta disminuya su
valor a medida que transcurre el tiempo.
Una ecuación que puede ser útil es la que permite
calcular la distancia recorrida en el enésimo se-
gundo:
(2. 1)
d V a n
2
n o
= + -
Unidades
GRÁFICAS EN EL M.R.U.V
1. Posición vs tiempo (x – t)
La ecuación del movimiento para un M.R.U.V. es
la siguiente:
2
x x V at2
f o ot
= + +
VA = Tanq
2. Velocidad vs tiempo (v – t)
a = Tanq
d = A ← distancia recorrida

22. Trabajando en clase
Sea la gráfica siguiente:
A1: recorrido hacia la derecha.
A2: recorrido hacia la izquierda.
d: |A1| + |A2 |(Recorrido)
|Dx|: |A1 – A2| (Módulo del desplazamiento)
3. Aceleración vs tiempo (a – t)
|DV| = A
DV = Vf – Vo
Integral
1. Si un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y
avanza 50 m en 5 s, ¿cuál es el módulo de su ace-
leración en m/s?
Resolución:
D = v.t +
2
1 at2
⇒ 50 = 0 +
2
1 a.52
⇒ A = 4 m/s2
2. Un móvil con M.R.U.V cubre la distancia entre
dos puntos que distan entre sí 50 m en 5 s. Si la
rapidez con la que parte es de 15 m/s, ¿cuál es el
módulo de su aceleración?
3. Un móvil con M.R.U.V. pasa por dos puntos con
velocidades módulos de 3 m/s y 7 m/s. Si dichos
puntos están separados 50 m, ¿qué tiempo em-
pleó en el recorrido?
4. Un móvil partió del reposo con una aceleración
de módulo 20 m/s2
. Cuando su rapidez sea de 100
m/s, ¿qué distancia habrá recorrido?
UNMSM
5. Se muestra el gráfico v – t de un móvil que se des-
plaza en el eje x. Calcula su aceleración para el
instante de 7 segundos.
Resolución:
a = –Tana
a = –
6
15 = –2,5 m/s2
6. En el gráfico v – t, determina la aceleración del
móvil para t = 3, si se sabe que se desplaza en el
eje x.
7. Si un cuerpo se mueve describiendo una trayec-
toria rectilínea, con una rapidez que varía con
respecto al tiempo como indica el gráfico, calcula
la distancia recorrida hasta detenerse en el inter-
valo de tiempo indicado.
8. Se muestra la gráfica V – t de un coche que se
mueve en el eje x, determina cuáles de las si-
guientes proposiciones son correctas.

23. I. Durante los primeros cuatro segundos se
mueve hacia la derecha.
II. A partir del cuarto segundo acelera unifor-
memente.
III. El módulo de su desplazamiento durante los
10 s es 10 m.
9. De acuerdo al gráfico V – t, calcular la distancia
recorrida por el móvil.
10. Un ciclista con M.R.U.V entra en una pendiente
con una rapidez de 14 m/s y llega al final de ella
con 2 m/s. Si todo el trayecto lo recorrió en 4 se-
gundos, ¿cuál fue el módulo de su aceleración?
11. Un auto con M.R.U.V. tiene una rapidez inicial de
5 m/s. Si al pasar por un cruce empieza a acelerar
a razón de 2 m/s2
, calcula el espacio recorrido en
6 segundos.
12. Calcula la rapidez final de un auto que pasa por
un punto a 12 m/s y acelera a razón de 4 m/s2
durante 3 segundos.
13. Calcula el tiempo en el que un automóvil se de-
tiene, si su rapidez era de 20 m/s y recorrió 100
metros hasta detenerse. (El automóvil realiza un
M.R.U.V.)
14. Si la gráfica representa la rapidez (v) de un obje-
to que se mueve a lo largo de una línea recta en
función del tiempo (t), ¿qué intervalo de tiempo
representa la aceleración constante pero diferente
de cero?
UNI
15. El espacio recorrido por una partícula en un mo-
vimiento rectilíneo está dada por: x = 2t2
+ t + 4,
donde t se mide en segundos y d en metros. Si el
movimiento se inicia en el instante t = 0, calcula
la rapidez (en m/s) que tiene la partícula al cabo
de 4 s.
Resolución:
x = x0 + V . t +
2
1 at2
⇒ V0 = 1 m/s
2
1 a = 2 a = 4 m/s2
Vf = V0 + at
Vf = 1 + 4.4 = 17 m/s
16. El espacio recorrido por una partícula en un mo-
vimiento rectilíneo está dada por: x = t2
+ 2t + 12,
donde t se mide en segundos y d en metros. Si el
movimiento se inicia en el instante t = 0, calcula
la rapidez en m/s que tiene la partícula al cabo de
5 s.
17. Un carro se mueve en una pista recta con movi-
miento uniformemente variado. Si en los instan-
tes 1; 2 y 3 segundos sus posiciones son 70, 90 y
100 m, respectivamente, calcula la posición ini-
cial del carro en metros,
18. La dependencia de la velocidad de una partícula
en función del tiempo es mostrada en la figura. Si
la partícula realiza un movimiento unidimensio-
nal, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
(la partícula se mueve en el eje x).

24. DEFINICIÓN
Es aquel tipo de movimiento uniformemente variado
(M.R.U.V) cuya trayectoria es una línea recta vertical,
que se debe a la presencia de la gravedad más no del
peso del cuerpo ya que no considera la resistencia
del aire. Este tipo de movimiento se presenta cuando
un cuerpo es lanzado hacia arriba, o simplemente es
soltado. Este tipo de M.V.C.L. es independiente del
peso del cuerpo.
CARACTERÍSTICASDELMOVIMIENTO
VERTICAL DE CAÍDA LIBRE
1. No se considera la resistencia del aire, es decir el
medio es vacío.
2. El movimiento de caída libre plantea la misma
aceleración para todos los cuerpos, cualquiera
que sea su masa. A esta aceleración se le llama
aceleración de la gravedad normal, cuyo valor a
45º de latitud es:
g = 9,8 m/s2
≈ 10 m/s2
3. Si un cuerpo es disparado verticalmente hacia arri-
ba desde una determinada altura, se cumple que la
rapidez de subida (VS) es igual a la rapidez de bajada
(VB), y que el tiempo empleado para subir (tS) y ba-
jar (tB) un mismo tramo o altura, son iguales.
tS = tB
VS = VB
4. Todos los cuerpos que se dejan caer simultánea-
mente con la misma velocidad inicial desde una al-
tura, utilizan el mismo tiempo para llegar al suelo.
5. Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia
arriba alcanza su altura máxima cuando su velo-
cidad final en el punto más alto es igual a cero.
En Hmáx ⇒ Vf = 0
Tener en cuenta:
Hmáx =
g
V
2
0
2
tv =
g
V
2 0
tv: tiempo de vuelo (s)
tv = ts + tb
Observaciones
1. La gravedad no es la misma en todos los lugares
de la tierra, depende de la altura sobre el nivel del
mar y de la latitud.
En los polos: g = 9,83 m/s2
(Máxima)
En el Ecuador: g = 9,78 m/s2
(Mínima)
2. No solo la tierra atrae a los cuerpos, también el
sol, la luna y todo astro. Se entiende por gravedad
a la región de espacio que rodea a un astro, gra-
cias al cual atrae a los cuerpos (campo gravitato-
rio) la aceleración de la gravedad es la rapidez con
que es atraído un cuerpo.
gLuna =
g
6
Tierra
gSol = 28 gTierra
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (M.V.C.L.)

25. 3. Como las características en sus movimientos,
(M.V.C.L. y M.R.U.V.) son equivalente, las ecua-
ciones o fórmulas y los gráficos también lo son.
M.R.U.V.
M.V.C.L.
4. Forma vectorial:
Y
Y gt
V V
f i
= +
Y
Y h t
gt
V
2
i
2
= +
Y
Y 2 .
g h
V V
f i
2 2
= +
Y
Y .
h t
V V
2
o f
= +
e o
En este caso se deberá tener en cuenta el sentido
de la magnitud vectorial que se va a reemplazar.
↑(+); ↓(–)
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula la altura que alcanza el proyectil (despre-
cie la resistencia del aire)
Resolución:
2 2.10
60 180
H
g
V
m
0
2 2
max = = =
2. Si un paquete ubicado en el piso es lanzado verti-
calmente hacia arriba con V = 40 m/s, determina
la altura que logra alcanzar. (g = 10 m/s2
) (Consi-
dere caída libre).
3. Si un cuerpo es soltado desde una altura de 180
m, calcula su rapidez cuando llega a tierra y el
tiempo empleado se sabe que los efectos del aire
son despreciables. (g = 10 m/s2
)
4. Se lanza un objeto desde cierta altura llegando al
piso en 5 s, con una rapidez de 70 m/s. Consi-
derando caída libre calcula la rapidez con que se
lanzó dicho objeto. (g = 10 m/s2
)
UNMSM
5. Desde una altura de 150 m se lanza hacia arriba
un objeto con rapidez de 35 m/s. Calcula el tiem-
po que demora en chocar con el piso. (g = 10 m/s2
)
Resolución:
EC vectorial:
Vo = +35 m/s h = –150 m
g = –10m/s2
t = ?

26. h = Vo . t + g
2
1 t2
–150 = 35t +
2
1 (–10)t2
t2
– 7t – 30 = 1
t –10
t 3
t = 10 s
6. Si los efectos del aire son despreciables, calcula el
tiempo que permanece en movimiento.
(g = 10 m/s2
)
7. Calcula el tiempo que permanece en el aire el pro-
yectil, considere M.V.C.L. (g = 10 m/s2
)
8. Si un paquete ubicado a 70 m del piso es lanzado
verticalmente hacia arriba con V = 20 m/s, de-
termina a qué altura se encontrará luego de 2 s;
considere caída libre. (g = 10 m/s2
)
9. Si un objeto es soltado en el vacío y recorre 35 m
en su último segundo de caída libre. Calcula des-
de que altura fue soltado. (g = 10 m/s2
)
10. Si desde la superficie terrestre se lanza vertical-
mente hacia arriba una piedra y regresa a tierra
en 2 segundos, calcula su altura máxima si la re-
sistencia del aire es despreciable. (g = 10 m/s)
11. Si se lanza un objeto verticalmente hacia arriba,
en caída libre, ¿qué rapidez tendrá cuando le fal-
ten 20 m para llegar al punto más alto de su tra-
yectoria? (g = 10 m/s2
)
12. Una pelota, lanzada verticalmente hacia arriba
con una rapidez V1, alcanza un altura máxima h1.
Si la rapidez de lanzamiento de la pelota se dupli-
ca y se desprecian los efectos del aire, ¿qué altura
máxima alcanza la pelota?
13. Un objeto cae libremente desde una altura de 45,0
m si en este mismo instante un joven, que se en-
cuentra a 18 m de la vertical de la caída del objeto,
moviéndose a velocidad constante, logra atrapar
el objeto justo antes de que toque el suelo, ¿cuál es
la rapidez V del joven y el tiempo t transcurrido?
(g = 10 m/s2
)
14. Un globo está ascendiendo a razón de 10 m/s, a
una altura de 75 m sobre el nivel del suelo se deja
caer desde él un bulto si se desprecia la resistencia
del aire, ¿con qué rapidez golpea el suelo el bulto?
(g = 10 m/s2
)
UNI
15. Si un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre
en el último segundo una distancia de 55 m, ¡des-
de que altura cae? (g = 10 m/s2
)
Resolución
16. Si un cuerpo cae libremente en el vacío y reco-
rre en el último segundo una distancia de 44,1 m,
¿desde qué altura cae? (g = 9,8 m/s2
)
17. Si una piedra es lanzada inicialmente hacia abajo
en un pozo con una rapidez inicial de 32 m/s y
llega al fondo en 3 s, ¿cuál es la profundidad del
pozo en m y la rapidez con que llega la piedra en
m/s respectivamente? (g = 9,81 m/s2
) (desprecie
la resistencia del aire)
18. Una partícula en el vacío es lanzada verticalmente
hacia arriba y en el primer segundo llega a una al-
tura h. Si g es la aceleración de la gravedad, ¿cuál
será el recorrido de la partícula en el siguiente se-
gundo?

27. La figura es una simulación por computador de la
trayectoria de una pelota con Vo = 50 m/s, a = 53º, sin
resistencia del aire y con una resistencia proporcional
al cuadrado de la rapidez de la pelota.
Z
Z
Esta aproximación es razonable siempre que el
intervalo de movimiento sea pequeño, compara-
do con el radio de la tierra (6,4.106
m). En efecto,
esta aproximación es equivalente a suponer que
la tierra es plana a lo largo del intervalo del movi-
miento considerado.
Con esta suposición, encontramos que la
curva que describe un proyectil (partícula),
que llamaremos su trayectoria, siempre es una
parábola.
Tener en cuenta:
Para un proyectil de largo alcance, tal como el
mostrado en la figura, donde todos los vectores
señalan hacia el centro de la tierra y varían con la
altura, la trayectoria es un arco de elipse, como se
estudiará más adelante.
Si tenemos en cuenta la resistencia del aire, la
trayectoria deja de ser parabólica y el alcance
disminuye.
Para analizar el M.P.C.L. se proyecta tal movimiento
en la dirección vertical y en la dirección horizontal.
Al proyectar se observa que:
1. En el eje x:
No existe aceleración, entonces en esta dirección
la velocidad Vox se mantiene constante, por lo
tanto el móvil desarrollada un M.R.U.
2. En el eje y:
En esta dirección la velocidad Vy experimenta
cambios de manera uniforme debido a la acele-
ración de la gravedad (g), por lo tanto, el móvil
experimenta en esta proyección un M.V.C.L.
Observación:
Si bien el análisis se hace independientemente en
cada eje, esto ocurre simultáneamente, es decir,
los intervalos de tiempo que transcurren para cada
dirección son iguales.
Si quisiéramos determina la rapidez de la pelota
después de ser lanzada, tendría que usarse el teorema
de Pitágoras.
Por ejemplo, en el instante mostrado, Vx y Vy son
respectivamente perpendiculares, luego:
V V V
2 2
x y
= +
MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (M.P.C.L.)

28. Trabajando en clase
Z
Z
Para el movimiento horizontal:
dx = vx . t
Z
Z
Para el movimiento vertical:
Z
Z
Para una rapidez fija de lanzamiento, se logra
máximo alcance horizontal cuando el ángulo de
lanzamiento es de 45º.
q = 45º
Z
Z
Al disparar un proyectil dos veces con la misma
rapidez, pero con ángulos de elevación comple-
mentarios, se logra igual alcance horizontal.
a + b = 90º
Z
Z
Podemos determinar si conocemos la relación
entre h, a y b.
h
Tan
a b
1 1
θ = +
Integral
1. A partir del siguiente gráfico determina:
• La máxima altura alcanzada
• El tiempo que demora para lograr esa altura
Desprecie la resistencia del aire
Resolución:
.
h m
t s
2 10
80 320
10
80 8
á
m x
s
2
= =
= =
2. Si se desprecia la resistencia del aire, determina:
• La máxima altura alcanzada.
• El tiempo que demora para lograr esa altura.
3. Una bomba es soltada desde un avión que se mue-
ve horizontalmente con M.R.U. con V = 50 m/s.
Si el avión está a una altura de 2000 m y se des-
precia la resistencia del aire, ¿qué tiempo demora
la bomba en estallar contra el piso y que distancia
horizontal recorrió la bomba? (g = 10 m/s2
)
4. De un movimiento parabólico de caída libre se
sabe que el tiempo de vuelo es de 6 s. ¿Cuál es la
máxima altura que logrará?. (g = 10 m/s2
)
UNMSM
5. A partir de la siguiente figura, determina el tiem-
po de vuelo en que la velocidad del proyectil

29. forma un ángulo de 45º con la vertical si se des-
precia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2
)
Resolución:
∴ tvuelo = 3s
6. A partir de la siguiente figura, determina el tiem-
po de vuelo en que la velocidad del proyectil for-
ma un ángulo de 45º con la vertical si se desprecia
la resistencia del aire. (g = 10 m/s2
)
7. Determina con qué ángulo de elevación debe dis-
pararse un proyectil para que su alcance sea el tri-
ple de su altura máxima. (Considere M.P.C.L.)
8. A partir del siguiente gráfico, calcule la rapidez
con que el cuerpo llega a impactar con el piso si
se desprecia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2
)
9. Si una piedra se lanza horizontalmente desde P,
de modo que llega a Q con movimiento semipa-
rabólico de caída libre, calcula la rapidez en P.
10. Un proyectil es lanzado con una rapidez de 10
m/s, formando un ángulo de 60º con la horizon-
tal, ¿a qué distancia del lugar de lanzamiento cae-
rá si se considera M.P.C.L.? (g = 10 m/s2
)
11. Un proyectil se mueve únicamente bajo la acción
de la gravedad. Después de haber sido lanzado,
formando un cierto ángulo con la horizontal,
cuando alcanza su máxima altura se afirma que:
12. Un bloque es lanzado con un M.P.C.L. con un án-
gulo de inclinación de 60º tal como se muestra
en la figura. Determina la rapidez mínima inicial
para que el proyectil pase por la barrera con una
velocidad horizontal de módulo 12 m/s.
13. Un cañón dispara un proyectil con una rapidez de
1000 m/s, formando un ángulo de 53º con la ho-
rizontal. ¿A qué altura se encuentra el objetivo si
horizontalmente se encuentra a 1000 m del cañón
y se desprecia la resistencia del aire? (g = 10 m/s2
)
14. La figura muestra un proyectil disparado con una
rapidez (Vo) de 30 m/s, el cual impacta en P des-
pués de 10 s. Determina la tan si se desprecia la
resistencia del aire.

30. UNI
15. Desde el borde de un acantilado de 35 m de altura
se dispara un proyectil con una rapidez de 50 m/s,
con una ángulo de elevación de 37º respecto de la
horizontal. Calcula la tangente del ángulo , que la
velocidad del proyectil forma con la horizontal al
momento de tocar el piso (Desprecie la resisten-
cia del aire).
Resolución
En la vertical:
gt
V V
fy oy
= +
Vfy = 30 - 107
Vfy = 40 m/s
⇒ b = 45° ⇒ tanb = 1
16. Desde el borde de un acantilado de 50 m de altura
se dispara un proyectil con una rapidez de 30 m/s,
con un ángulo de elevación de 30º respecto de la
horizontal. Calcula la tangente del ángulo , que la
velocidad del proyectil hace con la horizontal al
momento de tocar el piso. (Desprecia la resisten-
cia del aire)
17. Una pelota es lanzada con rapidez inicial Vo ha-
ciendo un ángulo con la horizontal como se indi-
ca en el figura. Si no se considera la resistencia del
aire, determina el tiempo que tarda la pelota en ir
del punto A al punto C.
18. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de
20 m/s, con un ángulo de 45º con respecto a la ho-
rizontal. El proyectil pasa por dos puntos situados
a una misma altura de 10 m, separados una cierta
distancia d. Calcular en metros esta distancia si se
desprecia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2
)

31. ¿QUÉESELMOVIMIENTO
CIRCUNFERENCIAL?
Para responder, analicemos lo que ocurre cuando una
piedra atada a una cuerda gira en un plano vertical.
Se observa:
1. Respecto al centro “O” la piedra cambia continua-
mente de posición (A, B, C, …). Si unimos todas
las posiciones por las que pasa la piedra obtene-
mos una línea curva denominada circunferencia.
2. El vector que parte del centro “O” y ubica a la
piedra en todo instante se denomina radio vector
(R), el que describe un ángulo central (q) y una
superficie denominada círculo. Si solo considera-
mos la trayectoria que describe la piedra diremos
que ésta desarrolla un movimiento circunferen-
cial.
Por lo tanto, movimiento circunferencial es un
fenómeno físico que se manifiesta cuando simul-
táneamente un cuerpo cambia de posición y de
ángulo central respecto de un punto fijo denomi-
nado centro, permitiéndole describir una circun-
ferencia como trayectoria.
Para medir la longitud entre dos posiciones se
utiliza una magnitud denominada longitud de
arco o recorrido lineal (L), la cual está relaciona-
da con el ángulo barrido (q) y el radio de giro (R).
L = qR
q → en radianes (rad)
R → en metro (m)
L → en metro (m)
MOVIMIENTOCIRCUNFERENCIAL
UNIFORME(M.C.U.)
Es aquel movimiento donde una partícula describe
una trayectoria circunferencial, experimentando en
intervalos de tiempos iguales, recorridos lineales
iguales, además el radio vector barre ángulos iguales.
Considerando “t” el tiempo transcurrido y “q” el
ángulo barrido, tenemos:
“q” es D.P. a “t”. Ello implica que:
t
θ = cte., donde
la constante es la rapidez angular (w), la cual es el
módulo de la velocidad angular (w).
Z
Z Periodo (T): Es el tiempo que emplea un cuerpo
con movimiento de rotación uniforme, para reali-
zar un giro de 360º, es decir, una vuelta completa.
T =
º
N de vueltas
Tiempo empleado
(s)
Z
Z Frecuencia (f): Es el número de vueltas o revolu-
ciones efectuadas en un determinado tiempo. Es
la inversa del periodo.
f = º
Tiempo
N de vueltas
Unidad: hertz (Hz)
Obs.:
f
T
1
=
VELOCIDAD ANGULAR (w)
Es una magnitud física vectorial que expresa la
medida de la rapidez de cambio del desplazamiento
angular.
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

32. Si la ω es constante, el módulo de esta velocidad se
evalúa de la siguiente manera:
w =
t
q
Unidad:
segundo
radian
s
rad
d n
q: Ángulo barrido
w: rapidez angular
Como forma práctica para indicar la dirección de
la velocidad angular se utiliza la regla de la mano
derecha, la cual consiste en girar los 4 dedos juntos,
menos el pulgar en el sentido del movimiento; luego de
ello el dedo pulgar indica la dirección de la velocidad
angular (ω), tal como se muestra en la figura.
Como en cada instante el móvil gira en un mismo
sentidoyencadasegundoelradiovectorbarreunángulo
constante, entonces en el M.C.U. la velocidad angular es
constante (ω), tanto en valor como en dirección.
En el M.C.U. ¿qué ocurre con la rapidez lineal o
rapidez tangencial (VT)?
Debido a que en intervalos de tiempos iguales los
ángulos barridos son iguales, las longitudes de arco
son iguales (LAB = LBC); por ello la rapidez lineal es
constante (VT).
Pero: L = qR …(**)
Reemp. (**) en (*): VT =
t
R
θ
VT = wR Relación entre w y VT
La velocidad lineal o velocidad tangencial (VT) no es
constante en el M.C.U. porque su dirección cambia
continuamente, por tal motivo en este movimiento
existeaceleración,denominadaaceleracióncentrípeta
(a cp).
Tener en cuenta:
1RPM: Una revolución por minuto una vuelta por
minuto.
1RPM ≈
30
≠ rad/s
1RPS: Una revolución por segundo una vuelta por
segundo.
1RPS ≈ 2p rad/s
ACELERACIÓN CENTRÍPETA (aCP)
Mide la rapidez del cambio de la dirección de la
velocidad tangencial cuyo módulo se determina para
cada instante mediante:
acp =
R
VT
2
; acp = w2
R
/
m s
unidad
2
Además la dirección de en todo instante está dirigida
hacia el centro de la circunferencia. Es decir:

33. Trabajando en clase
Integral
1. Si una partícula con M.C.U. genera 18º en un dé-
cimo de segundo, calcula su rapidez angular.
Resolución:
18” rad
180 10
θ π π
#
= =
w
t
θ
= /
w rad s
10
1
10
≠
≠
= =
2. Si una partícula con M.C.U. genera 36º en un dé-
cimo de segundo, calcula su rapidez angular.
3. Si un cuerpo con M.C.U. gira con 5p rad/s, calcu-
la su rapidez tangencial.
Radio de la circunferencia = 2 m.
4. Si una partícula con M.C.U. describe un arco de 6
m en un tiempo de 2 segundos, calcula su rapidez
tangencial.
UNMSM
5. Si una rueda que gira con 120 RPM (M.C.U.).
Calcula el ángulo barrido en el centro en 50 se-
gundos.
Resolución:
120 4
s
rad
30
≠ ≠
# =
q = w . t q = 4p . 50 = 200 p rad
6. Si una partícula con M.C.U. gira a razón de 180
RPM, calcula el ángulo que genera en 1 segundo.
7. Si una partícula con M.C.U., gira con p/6, calcula
el ángulo que genera en el tercer segundo de su
movimiento.
UNMSM
8. Si un disco gira constantemente con 7p rad/s du-
rante 10 s, calcula el número de vueltas que gene-
ra en ese tiempo.
9. Si un disco gira con una frecuencia de 45 RPM,
calcula su rapidez angular.
10. Si el periodo de un disco que gira con M.C.U. es
de 2 segundos. Calcula su rapidez angular.
11. Calcula la rapidez angular del segundero y el mi-
nutero de un reloj. Da la respuesta en rad/s.
12. Calcula la rapidez angular de la rueda 2 si la rue-
da 1 gira constantemente con 12p rad/s. Además
se sabe que: 4
R
R
2
1
=
13. Calcula la rapidez con que sube el bloque en
el siguiente sistema si se sabe que RA = 10 cm,
RB = 30 cm, RC = 5 cm, y además a polea C gira
con una rapidez de 9 rad/s.
14. Si las manecillas de un reloj (horario y minutero)
marcan las 12 h, calcula el tiempo que transcurre
para que ambas nuevamente coincidan.
UNI
15. Desde una altura de 80 m se suelta una piedra so-
bre un punto X perteneciente a la periferia de un
disco de 60 RPM y cuyo radio es de 10 cm. Si la
piedra es soltada justo cuando el disco empieza a
girar, ¿qué distancia separa al punto X y la piedra
cuando esta choca con el disco? (g = 10 m/s).
Resolución
0
s
rad
6
30
2 &
≠ ≠
# = en 1 segundo da 1 vuelta

34. Para la piedra: h
gt
t s
2
4
2
"
= =
Cae justo en el punto x.
d = 0
16. Desde una altura de 20 m se suelta una piedra so-
bre un punto “X” perteneciente a la periferia de
un disco de 180 RPM y cuyo radio es de 10 cm. Si
la piedra es soltada justo cuando el disco empieza
a girar, ¿qué distancia separa al punto X y la pie-
dra cuando esta choca con el disco? (g = 10 m/s)
17. En el siguiente sistema se tiene 3 poleas tangentes,
la polea de menor radio es inmovilizada por un
motor que gira a 1800 RPM. Calcula las RPM de
la polea mayor.
18. Un disco gira en un plano horizontal con M.C.U.
si tiene un hueco a una cierta distancia del centro
por donde pasa un móvil que luego al caer pasa
por el mismo hueco, ¿cuál es la rapidez angular
mínima del disco? (g = 10 m/s2
)

35. Es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es analizar
las condiciones que deben reunir un conjunto de
fuerzas o cuplas, o fuerzas y cuplas a la vez, que actúan
sobre un cuerpo o sistema para que lo mantengan en
equilibrio.
I. ¿QUÉ ES UNA FUERZA?
Cuando un cuerpo actúa sobre otro, puede
modificar su estado mecánico.
A la acción mutua entre dos cuerpos de denomina
«interacción».
La interacción mecánica puede efectuarse entre
cuerpos en contacto directo (fuerza de contacto),
así como entre cuerpos separados (fuerza de largo
alcance).
El concepto de fuerza nos da una descripción
cualitativa de la interacción entre dos cuerpos o
entre un cuerpo y su entorno.
La fuerza es una magnitud física vectorial, ya que
para definirla debemos indicar su dirección de
acción y su magnitud.
La fuerza tiene como unidad de medida en el
Sistema Internacional (SI) el newton (N).
Las únicas fuerzas fundamentales conocidas
en la naturaleza son todas las fuerzas de campo
(fuerzas que no involucran contacto físico).
1. Fuerzas gravitacionales
Esta es una fuerza puramente atractiva, ya
que dos cuerpos con masa siempre tienden a
atraerse por la fuerza de gravedad, a diferencia
de otras fuerzas en las que también se pueden
rechazar los objetos.
Esta fuerza es la que mantiene a los planetas
girando alrededor del sol y a nuestro satélite
natural, la luna, orbitando alrededor de la
Tierra.
2. Fuerzas electromagnéticas
Tiene como origen a las cargas eléctricas de
los cuerpos en reposo o en movimientos.
Las fuerzas son eléctricas si las cargas
eléctricas están en reposo, y serán magnéticas
si las cargas están en movimiento.
3. Fuerzas nucleares
Estas fuerzas unen los protones y los
neutrones en el núcleo atómico y son de corto
alcance.
4. Fuerzas débiles
Están fundamentalmente asociadas a la
descomposición de núcleos radiactivos.
Las fuerzas que con frecuencia usaremos en
estática están comprendidas entre las dos
primeras de la clasificación.
II. FUERZAS USUALES
1. Fuerza de gravedad (Fg
)
Llamada también fuerza gravitacional, es
aquella con la cual se atraen dos cuerpos
en el universo, esto se debe a la interacción
gravitatoria entre los cuerpos.
La fuerza de gravedad es un tipo de fuerza
que aparece de una interacción a distancia.
El valor de la F g, que actúa sobre un
cuerpo en la Tierra, depende de la
ubicación (distancia al centro de la Tierra)
del cuerpo. En la superficie terrestre y
para alturas pequeñas, en comparación
con el radio de la Tierra, se determina
así:
ESTÁTICA I

36. //= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
V = 0
g
m
Fg
m: masa del cuerpo
g : aceleración de la gravedad
Fg = m.g
La fuerza de gravedad se grafica vertical y
hacia abajo, en un punto llamado centro
de gravedad (C.G.); el cual, para cuerpos
homogéneos, coincide con su centro
geométrico.
2. Fuerzas de tensión (T)
Es la fuerza interna que surge en los cables,
cuerdas, etc. cuando son estirados.
Fuerzas de atracción
entre las moléculas del cable
dan como resultado la
fuerza de tensión T
T T
T T
La fuerza de tensión tiene la misma dirección
de la cuerda y se grafica jalando al cuerpo o
sistema sobre el que actúa.
Paraunacuerdaideal(demasadespreciables),
el módulo de la tensión es el mismo en
cualquier punto de la cuerda.
3. Fuerza de reacción normal (RN
)
Llamada también fuerza de contacto, es una
fuerza de reacción que se manifiesta siempre
que exista contacto entre dos superficies.
La línea de acción de esta fuerza es
perpendicular a las superficies de contacto y
se grafica señalando al cuerpo en análisis.
FN
FN
FN
4. Fuerza elástica (F e)
Es aquella fuerza interna que aparece en los
cuerpos elásticos cuando son deformados.
Esta fuerza aparece en un sentido tal que se
opone a la deformación que experimenta el
cuerpo.
Fe
Lo
x
A mayor «x», mayor Fe
A menor «x», menor Fe
⇒
Fe
x
= cte = K
Fe = KX
F e: fuerza elástica (newton=N)
K: constante elástica del resorte (N/m)
X: elongación del resorte
Lo = longitud natural del resorte (cuando no
está deformado)
Fe: módulo de la F e
Nota: el valor de K depende del material del
resorte y de su longitud natural.
5. Fuerzaderozamientoodefricción(f )
Seguramente alguna vez has intentado
arrastrar un bloque de cierto material, y
habrás notado que no resbala

37. //= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
El bloque
no resbala
V = 0
Esto se debe a que tanto la superficie del
bloque como el piso presentan asperezas
(rugosidades) y, por ello, se manifiesta
una oposición al deslizamiento relativo
entre las superficies, surgiendo así una
fuerza que recibe el nombre de «fuerza de
rozamiento».
En el ejemplo:
RN
fN
T
R
RN
: fuerza de reacción normal (N)
R: fuerza de reacción del piso sobre el
bloque (N)
Luego, tenemos:
R = f2
+ RN
2
Nota:
Cuando un bloque resbala o intenta resbalar
sobre una superficie, la fuerza total (R) sobre
el cuerpo es inclinada respecto a la superficie
de contacto y para facilitar el análisis se
descompone en una fuerza de reacciona
normal (RN
) y una de razonamiento (f )
III. CASOS PARTICULARES
1. Fuerzas de rozamiento estático(f s)
Esta fuerza se manifiesta cuando las
superficies tienden al desplazamiento pero no
lo logran.
Por ejemplo, si analizamos el bloque apoyado
sobre el plano inclinado rugoso:
Aumentamos el ángulo de inclinación
Inicialmente
RN
RN
fs fs
V = 0 V = 0
a b>a
El bloque aumenta su tendencia a resbalar,
luego, también aumenta «fS
», de modo que
en algún momento el bloque estará a punto
de deslizar (movimiento inminente). En este
instante, la fuerza de rozamiento estático
alcanza su valor máximo(fsmáx
).
Luego:
fsmax
= uS
. RN
Donde:
uS
: coeficiente de rozamiento estático
(adimensional)
2. Fuerza de rozamiento cinético (fk
)
Esta se manifiesta cuando las superficies en
contacto deslizan una respecto de la otra. Su
valor es prácticamente constante.
RN
a
V
fk
= uk
. RN
uk
= coeficiente de rozamiento cinético
(adimensional)
Nota:
Entre dos superficies de rozamiento (uS
y uk
);
de modo que: uS
> uk
.
IV.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
(DCL)
Llamado también «diagrama de fuerzas», es
aquella gráfica donde se representan todas las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema.
Para efectuar un DCL, debes tener en cuenta lo
siguiente:
1. Se aisla el cuerpo en estudio.
2. Se dibuja la fuerza de gravedad vertical y
hacia abajo.
3. Se analiza la existencia de interacciones; si
estas existen, aparecen las fuerzas.

38. Ten en cuenta:
Si interacciona con una superficie rugosa:
Aparece una fuerza entrante al cuerpo y que no
necesariamente es perpendicular a las superficies
en contacto.
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=//=
//=
//=
//=//
rugoso
1. Teorema de Lamy
El teorema de Lamy, que fue enunciado por el
religioso francés Bernard Lamy (1645-1716),
nos dice:
Si un cuerpo rígido en equilibrio se encuentra
sometido a la acción de tres (3) fuerzas, estas
deben ser coplanares y sus líneas de acción
deben ser concurrentes. La razón por la
que las tres fuerzas deben ser coplanares
es bastante simple. Si no fuese así, no se
cumpliría la primera condición de equilibrio.
T1
T1
Fg
T1
T2
Fg
a
b
γ
Además, al graficar las 3 fuerzas a partir de
un origen común se cumple que el módulo
de cada fuerza es proporcional al seno de su
ángulo opuesto.
T1
Sena
T2
Senb
= =
Fg
Senγ
2. Equilibrio mecánico
Se dice que un cuerpo se encuentra en
equilibrio mecanico, cuando su estado de
movimiento como conjunto no cambia en el
tiempo. Este concepto es relativo por que el
estado de movimiento de un cuerpo depende
del sistema de referencia elegido.
Se distingue dos clases de equilibrio:
traslacional y rotacional.
Se dice que un cuerpo se encuentra en
equilibrio traslacional, respecto de cierto
sistema de referencia, cuando su centro de
masas se encuentra en reposo o se mueve con
velocidad constante (movimiento rectilíneo
uniforme) respecto de él.
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
//= //= //= //= //= // = //=//
V = cte
Se dice que un cuerpo se encuentra en
equilibrio rotacional, respecto de cierto
sistema de referencia, cuando este no rota o se
encuentra rotando con una velocidad angular
contante (movimiento rotacional uniforme),
respecto de él.
w
Si un cuerpo se encuentra en reposo respecto
de cierto sistema de referencia, se dice que el
cuerpo se encuentra en equilibrio estático, que
es la forma más común de equilibrio mecánico.
Por otro lado, existen tres formas de equilibrio
estático: estable, inestable e indiferente.
Se dice que cuerpo se encuentra en equilibrio
estable si cuando un agente externo lo aleja
ligeramente de su estado de equilibrio
original y lo deja en libertad de movimiento,
este retorna inmediatamente a su posición
original. En cambio, si este se aleja aún más
de su posición original, se dice que el cuerpo
se encuentra en equilibrio inestable

39. Equilibrio inestable Equilibrio estable
Indifirente
Finalmente, se dice que un cuerpo se
encuentra en equilibrio indiferente si cuando
un agente externo lo aleja ligeramente de
su estado de equilibrio original, y lo deja en
libertad de movimiento, este no presenta
tendencia ni a retornar a su posición original
ni a alejarse aún más a esta.
V. 1.a
y 3.a
LEYES DE NEWTON
1.
1.a
LeydeNewton(principiodeinercia)
En ausencia de fuerzas externas, actúan
varias fuerzas que se anulan entre sí, y
analizando desde un marco de referencia
inercial (sistema en ausencia de aceleración),
un cuerpo en reposo se mantiene en reposo
y un cuerpo en movimiento se mantiene en
movimiento pero con velocidad constante.
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
//= //= //= //= // = //= //=//
Nota:
Al hacer uso de este principio, se ha
identificado a todo el cuerpo con respecto a
un solo punto; este es el centro de gravedad.
2.
3.a
Ley de Newton
(principio de acción y reacción)
Según este principio, cuando dos objetos
materiales interaccionan, se generan fuerzas
colineales que son de igual módulo, tienen
direcciones opuestas y actúan en cuerpos
diferentes.
Freacción
Facción
3. Primera condición de equilibrio
EsunaaplicacióndelaprimeraleydeNewton,
la cual se enuncia de la siguiente manera:
Si un cuerpo se encuentra en equilibrio de
traslación y sobre él actúa un conjunto de
fuerzas, se cumplirá que:
FR
= ΣF = 0
Estamos suponiendo que el cuerpo puede
representarse como una partícula puntual.
Si el cuerpo tiene tamaño finito, debemos
considerar en qué parte del cuerpo se vienen
aplicando las fuerzas.
Trabajando en clase
Integral
1. Si N es el módulo de la fuerza de reacción normal.
Calcula F + N para que el cuerpo se desplace a
velocidad constante. (m=1kg, g=10m/s2
)
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
F m
37°
50 N
liso
Resolución:
F
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
m
RN
10 N
37°
50 N
30 N
40 N
S
F – 40 = 0
F = 40 N
RN
– 30 – 10 = 0
RN
= 40 N
F + N = 80 N

40. 2. Si N es el módulo de la reacción normal, calcula
F + N para que el cuerpo se desplace a velocidad
constante (m= 2kg, g= 10 m/s2
).
F
80 N
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
m
53°
3. Si el bloque se encuentra en reposo, calcula el
valor de F.
F
30 N
5 N
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
4. Calcula el módulo de la fuerza de tensión en la
cuerda que sostiene un bloque de 6 kg.
//= //= //= //= //= //=//
UNMSM
5. Si el bloque es de 5 kg, calcula el módulo de la
fuerza de tensión en la cuerda A.
//= //= //= //= //= //= //= //
A
Resolución:
//= //= //= //= //= //= //=
A
T
T
T
T
T 2T 2T
50 N
T + 2T + 2T – 50 = 0
T = 10 N
TA
= 2T = 20 N
6. Si el bloque es de 10 kg, calcula el módulo de la
tensión en A. (g=10m/s2
)
//= //= //=//= //= // = //= //
A
7. Si el bloque de 6 kg se encuentra en reposo,
calcula el módulo de la fuerza de tensión en A.
(g=10m/s2
)
= //= //= //=//= //= //= //=//
A
8. El peso de la esfera es 20 N. Calcula el módulo de
la fuerza de tensión en la cuerda si el sistema está
en equilibrio.
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
37°
Resolución:
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
37°
20 N
T
RN
37°
20 N
T
RN
⇒ T = 25 N

41. 9. El peso de la esfera es 60 N, calcula el módulo de
fuerza de la tensión en la cuerda si el sistema está
en equilibrio.
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
53°
10. Si el bloque de 15 N de peso sube a velocidad
constante, calcula el valor de F.
liso
F
11. El sistema mostrado en la figura se encuentra
en equilibrio. Calcula q, si el peso de A= 30 N
y B= 40 N.
//=
//=
//=
//=
//=
//=//
//=
//=//
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
A B
q
12. El sistema está en equilibrio. Calcula el módulo
de la fuerza de tensión de la cuerda horizontal,
siendo el peso del bloque 20 N.
/=
//=
//=
//=//
//=
//=
//
//=
//
53°
13. El bloque de 10 N de peso se encuentra en
equilibrio. Calcula el módulo de la fuerza de
tensión en la cuerda AO.
///=
//=
//=//
=
//=
//=
//
=
// //
=
//=
//=//=
//=
//=
//
=
//
30°
0
A B
14. ¿Qué magnitud F debe fijarse al bloque de peso
310 N, como se muestra en la figura, para que
no llegue a resbalar sobre la pared vertical?.
Considera u = 0,8.
//=
//=
//=
//=//
//=
//=
=
//=
//=//
F
37°
W
Us
UNI
15. Una esfera de 10 N se encuentra en reposo.
Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la
cuerda.
30°
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
= //= //=//
/
/
=
/
/
=
/
/
liso
Resolución:
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
//= //=//
30°
T
10N
30°
/
/
=
/
/
=
/
/
liso
RN
⇒ T = 5 N
30°
T
10 N
RN

42. 16. Una esfera de 40 N se encuentra en reposo.
Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la
cuerda.
37°
//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//
//= //=
/
/
=
/
/
/
/
=
/
/
liso
17. Dos resortes idénticos, de longitud natural L y
constante elástica K, actúan sobre un bloque de
masa «m», como se indica en la figura el módulo
de la fuerza de tensión sobre el bloque en función
del ángulo q esta dado por: (sistema en equilibrio)
L L
q q
m
18. La masa «m» está suspendida de cuerdas
inextensibles de masas despreciables, tal como
muestra la figura, determina el módulo de la
componente vertical de la tensión de la cuerda
ab (g es la aceleracion de la gravedad), en función
de m, g y q.
q q
m
a c
b

43. Anteriormente hemos estudiado el efecto de deformación
de un cuerpo debido a una fuerza. En esta parte
analizaremoselefectoderotacióncausadopordichafuerza
ylascondicionesparaelequilibrioderotación.
I. MOMENTO DE UNA FUERZA
(MF
) o (T)
También conocida como momento de torsión, es
una magnitud física vectorial que nos da la me-
dida cuantitativa de la tendencia de una fuerza
para causar o alterar el efecto de rotación sobre
un cuerpo, respecto de un punto o eje de giro.
Matemáticamente:
F
d
O
Centro de
giro
Línea de
acción F
MF
= ± F . d
O
Unidad:(N.m)
F: módulo de la fuerza F (N)
d: distancia o brazo de palanca (m)
Convención de signos:
(+) rotación antihoraria
(-) rotación horaria
El momento de F respecto de O se define como:
d
P
q
F
r
O
T = r x F
T =rFsenq
Observación:
Cuando la línea de acción de una fuerza pasa por
el centro de giro, su momento de fuerza respecto
a dicho punto es cero.
A F
MF
= 0
A
II. TEOREMA DE VARIGNON
Es un sistema de fuerzas coplanares que presenta
una resultante, y el momento producido por
dicha resultante respecto a cualquier punto
situado sobre el plano de acción de las fuerzas es
igual a la suma algebraica de todos los momentos
producidos por cada una de ellas respecto al
mismo punto.
MFR
= ΣMo
o
1. Equilibrio de rotación
Es el estado mecánico en el que un cuerpo no
gira o lo hace uniformemente
2. 2.a
condición de equilibrio:
Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener
tendencia a comenzar a girar alrededor de
ningún punto, así que la suma de los momentos
de torsión debido a todas las fuerzas externas
que actúan sobre el cuerpo, respecto a cualquier
punto especificado, debe ser cero.
ΣMo = 0
3. Equilibrio mecánico
Llamado simplemente «equilibrio«, es aquella
situación en la que un cuerpo o sistema
cumple las dos condiciones de equilibrio: de
translación y de rotación.
ΣF = FR
= 0
ΣM = MR
= 0
Equilibrio
mecánico
ESTÁTICA II

44. Trabajando en clase
Integral
1. La barra horizontal está en equilibrio, calcula las
reacciones en los apoyos A y B, considerando
despreciables el peso de la barra.
A B
6m
140 N
1m 1m
Resolución:
A
RA
RB
B
6m
140 N
1m 1m
ΣMF
= O ⇒ –RA
. 7 + 140 . 1 = 0
B
RA
= 20 N ; ΣF = O
RA
+ RB
– 140 = O RB
= 120 N
2. La barra horizontal está en equilibrio. Calcula
las reacciones en los apoyos A y B, considerando
despreciables el peso de la barra.
A B
4m
70 N
3m 2m
3. Calcula los módulos de las fuerzas de tensiones
en las cuerdas A y B si la barra es homogénea y de
10 kg; además. Q = 60 N.
A B
Q
//= //= //= //=
1m 4m 1m
4. Calcula el peso del bloque para que la barra
homogénea de 6 kg se encuentre en reposo.
//=
//=
//=
//=
//= //= //= //=
UNMSM
5. La plancha metálica es de 40 kg y es homogénea,
calcula la fuerza de tensión para lograr el equili-
brio.
//= //=
/
/
=
/
/
=
6m
2m
3m
Resolución:
//= //=
/
/
=
/
/
=
6m
2m
T
O
3m
400N
ΣMF
= O
O
T . 4 – 400 . 3 = 0
T = 300 N
6. La plancha metálica es de 80 kg y es homogénea,
calcula la fuerza de tensión para lograr el equilibrio.
//= //=
/
/
=
/
/
=
8m
3m
5m

45. 7. Calcula la fuerza de tensión en la cuerda AB;
considera la barra de peso despreciable.
//=//=//=// //=//=//=//
//=//=//=//=
=//=//
=//=//=
8kg
B
A
2a 6a
8. Calcula «x» para el equilibrio del sistema.
(Barra de peso despreciable)
20 kg
60 kg
12 cm x
Resolución:
20 kg
600N
O
12 cm x
60 kg
ΣMF
= O
O
200 . 12 – 600x = 0 x = 4 cm
9. Calcula «x» para el equilibrio del sistema.
(Barra de peso despreciable)
40 kg
80 kg
14 cm x
10. Calcula la fuerza de tensión (módulo) en la cuerda
AB para que la barra se encuentre en equilibrio.
//= //= //=
//= //= //= //= //=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//
30kg
A
B
2L
8L
11. Determina F si la barra es homogénea y de 40 N.
//=
//=
//=
//=
F
2m
20N
6m
12. Calcula el módulo de la fuerza de tensión en la
cuerda para que la barra homogénea de 2 kg se
encuentre en reposo.
//=
//=
//=
//=
20N
//= //= //
6m
2m
13. Una viga horizontal de 6 m de longitud y 100 N de
peso, reposa sobre dos apoyos A y B, tal como se
muestra en la figura. Calcula las magnitudes de las
fuerzas de reacción en los puntos de apoyo A y B.
//= //= //= //= //= //=
A
B
viga
5m
14. La barra AB, de peso despreciable está suspendida
en B por una cuerda, se apoya sobre la esfera C, de
5 N de peso. Si el bloque D pesa 40 N, calcula la
fuerza entre la esfera y la mesa, es de:
A
C
D
B
0,50m 0,50m
UNI
15. Calcula la masa del bloque Q para que la barra de
60 N se mantenga en la posición mostrada.
(g = 10 m/s2
)
//= //= //= //= //= //=
//=
//
Q
60°

46. Resolución:
//= //= //= //= //= //=
//=
//
Q
O
60N
2k
2k
2k
k
T
30°
ΣMF
= O
O
–60 . K + T . 2k = 0
T = 30 N
⇒ Fg
Q
= 30 N
mQ
g = 30
m = 3kg
16. Calcula la masa del bloque Q para que la barra de
80 N se mantenga en la posición mostrada.
(g = 10 m/s2
).
//= //= //= //= //= //=
//=
//
Q
60°
30°
O
17. Un bloque de peso W está suspendido de una
vara de longitud L cuyos extremos se posan en
los soportes 1 y 2 como indica la figura. Se quiere
que la reacción en el soporte 1 sea «a» veces la
reacción en el soporte 2. La distancia «x» debe
ser: (en función de a y L)
A
1
W
2
x
L
18. Una plancha de madera homogénea de 60 kg y un
cilíndro homogéneo de 20 kg están en reposo. Si
el dinamómetro ideal indica 750 N, determina el
módulo de la reacción del piso sobre la plancha:
considera cilíndro liso y g = 10 m/s2
.
//= //= //= //= //= //=
//=
//=
//=
//
g
0,6
0,9
Dinamómetro
37°

47. 1. CONCEPTOS PREVIOS
A. Inercia:
Esunapropiedaddetodosloscuerpos,porlacual
estostiendenamantenersuestadodereposo ode
movimientoconvelocidadconstante.
La inercia que posee un cuerpo puede ser
comparada con la de otro por medio de su
masa, es decir que mientras más masivo sea el
cuerpo, mayor será su inercia.
¿Cómo se manifiesta la inercia?
La inercia se manifiesta en los cuerpos como
una resistencia que estos ofrecen cuando se
les trata de cambiar su velocidad.
Para entender mejor esto, veamos los
siguientes casos:
I. La plataforma con la persona encima de
ella avanza con velocidad constante.
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
V
Cuandochocaconelobstáculo,seinterrumpe
el movimiento de la plataforma, pero la
personaporinerciacontinuaráavanzando.
II. La plataforma inicialmente esta en reposo.
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
F
Peroalaplicarleunafuerzaalaplataforma,
esta se pone en movimiento, mientras que
la persona por encima se resiste a cambiar
su movimiento y tiende a mantenerse en
el mismo lugar.
B. Segunda Ley de Newton
De lo anteriormente aprendido, sabemos que
los cuerpos, debido a su inercia, manifiesta
una tendencia a conservar su velocidad, pero
también es sabido que los cuerpos pueden
experimentar cambios en su velocidad y esto
sucede debido a las fuerzas que sobre el ac-
túan, pero, cuidado: no siempre las fuerzas
que actúan sobre un cuerpo modifican su ve-
locidad.
Analicemos el bloque de nuestro primer
ejemplo cuando se encuentra detenido.
Vg = 0
Fg
R
En tal situación, el bloque seguirá detenido,
es decir, su velocidad no cambia al transcurrir
el tiempo, y si su velocidad no cambia el blo-
que no acelera
Por otro lado, podemos notar que Fg y R se
equilibran. Por lo que:
F = 0
R
Ahora vemos lo que ocurre cuando la
persona al empujar el bloque le ejerce una
fuerza F p.
Fp a
Fg
R
< >
Encontrándose el bloque inicialmente
detenido, conforme transcurre el tiempo,
adquiere una mayor rapidez.
Elbloqueexperimentacambiosensuvelocidad.
Experimenta un movimiento acelerado.
Si hacemos un análisis de las fuerzas que
actúan sobre el bloque, notaremos que ahora
no están equilibradas y además:
F R
= F P
≠ 0
DINÁMICA

48. Luego de examinar estos dos casos, se llega a
la siguiente conclusión:
Una fuerza resultante no nula (diferente de
cero) provoca que el cuerpo experimente
aceleración.
●
●
El módulo de la aceleración será mayor
mientras mayor sea el módulo de la fuerza
resultante.
●
●
El módulo de la aceleración será menor
si la masa del cuerpo es mayor. Esto se
debe a que, a mayor masa, se tiene mayor
inercia, lo cual trae como consecuencia
que sea más difícil modificar la velocidad
del bloque.
●
●
Su fórmula matemática es:
a D.p FR
a I.p. m
Entonces, tenemos:
∴ a =
FR
m
Despejando la fuerza resultante:
FR
= ma
De esta expresión se deduce que la F R
y la a
presentan la misma dirección.
2. DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
Aunque el planteamiento de la Segunda Ley de
Newton lo hemos conseguido analizando un
movimiento rectilíneo, esta se extiende también
al análisis de los movimientos curvilíneos. En
particular, nos concentramos en el estudio del
movimiento circunferencial.
F1
F2
F4
F3
Dirección radial
Dirección tangencial
O
Conclusión:
Para que un cuerpo describa un movimiento
circunferencial, este debe experimentar una
fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro
de la circunferencia a la que se denomina «fuerza
centrípeta» (Fcp), la cual causa una aceleración
dirigida hacia el centro de la circunferencia
denominada «aceleración centrípeta» (acp).
De la 2.a
Ley de Newton:
FR
= ma ⇒ Fcp = macp
La aceleración centrípeta mide el cambio en la di-
rección de la velocidad tangencial en el tiempo.
Matemáticamente:
acp
= V2
R
= ω2
R
W
R
m
ac
V
Fc
Donde:
V: rapidez tangencial o lineal
ω: rapidez angular (rad/s)
R: radio de la circunferencia
Luego, tenemos:
Fcp
= mV2
R
Fcp
= mω2
R

49. Trabajando en clase
Integral
1. El bloque de 20 kg se mueve hacia la derecha con
una aceleración de 5 m/s2
, entonces la fuerza F1
mide:
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
37° 37°
80 N
4 K
F1
F2
= 100 N
60 N
3 K
5 K
Resolución:
4K + 80 = 20 • 5
K = 5 N
⇒ F1
= 5 K = 5 • 5 = 25 N
2. El bloque de 10 kg se mueve hacia la derecha con
una aceleración de 9 m/s2
, entonces la fuerza F1
mide:
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
37° 37°
F1
F2
= 100 N
3. Determina la fuerza de contacto entre los bloques
si no existe rozamiento.
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
60 N
100 N
3 kg
1 kg
4. Calcula el módulo de la fuerza de tensión T:
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
7 kg
T
liso
100 2 kg
1 kg
UNMSM
5. Si no existe rozamiento, determina el módulo de
la aceleración del sistema. (g = 10 m/s2
)
//= //= //= //= //= //= //= //=
//=
//=
//=
liso
3 m
m
6. Si no existe rozamiento, determina el módulo de
la aceleración del sistema. (g = 10 m/s2
)
//= //= //= //= //= //= //= //=
//=
//=
//=
4 m
m
7. Un disco con una masa de 0,2 kg se desliza sin
fricción sobre la superficie horizontal de una
pista de hielo. Sobre el disco actúan dos fuerzas
F1
y F2
, que tienen una magnitud de 5 N y 10
N, respectivamente. Determina la magnitud del
módulo de la aceleración.
UNMSM 2009-I
53°
37°
F1
F2
8. Un hombre está parado sobre una balanza de
resorte en el piso de un ascensor. Cuando el
ascensor está en reposo, la balanza marca 80 N.
Cuando el ascensor se mueve, la balanza marca
100 N. El ascensor tiene aceleración de módulo:
(g = 10 m/s2
)
Resolución:
100 – 80 = 8 • a
a = 20/8 = 2,5 m/s2

50. 9. Un hombre está parado sobre una balanza de
resorte en el piso de un ascensor cuando el
ascensor está en reposo, y la balanza marca 60 N.
Cuando el ascensor se mueve la balanza marca 90
N. El ascensor tiene aceleración de módulo:
(g = 10 m/s2
)
10. El bloque A se desliza sobre el plano inclinado,
con una aceleración de 2,0 m/s2
. Si g = 10 m/s2
,
el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el
plano es:
UNMSM 2004-II
//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=
A
37°
11. Si mA
= 2 kg y mB
= 6 kg. El módulo de la fuerza
de tensión en la cuerda que une los bloques es:
(g = 10 m/s2
). La polea es de peso despreciable.
//= //= //= //= //=
A
B
12. Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la
cuerda; no consideres rozamientos. (g = 10 m/s2
)
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
/
/
=
2M
30°
liso
M
13. La polea tiene peso despreciable. Si la fuerza
de rozamiento en la superficie horizontal es F ,
determina el módulo de la aceleración del bloque
de masa «m» en función de F, f y m.
UNMSM 2004-I
//= //= //= //= //= //= //= //=
//=
//=
//=
//=
F
m
14. Un automóvil de 1200 kg, con el motor apagado,
empieza a subir por una pendiente a 54 km/h. Si
recorre 37,50 m antes de detenerse, ¿cuál es el módulo
de fuerza ejercida para disminuir su rapidez?
UNMSM 2009-II
UNI
15. Una esfera pequeña de 1 kg rueda sobre una
superficie circular lisa de 2 m de radio, si se sabe
que al pasar por la posición más baja posee una
rapidez de 6 m/s, determina el módulo de la
fuerza con la que la esfera presiona el piso en
dicha posición. (g = 10 m/s2
)
g
R = 2 m
O
Resolución
g
R = 2 m
O
10N RN
Fc = m • dc
RN
– 10 = 1 • 62
2
RN
= 28 N
16. Una esfera pequeña de 2 kg rueda sobre una
superficie circular lisa de 2 m de radio. Si se
sabe que al pasar por la posición más baja posee
una rapidez de 12 m/s, determina el módulo de
la fuerza con la que la esfera presiona el piso en
dicha posición.
(g = 10 m/s2
)
g
R = 2 m
O

51. 17. En la figura, ¿qué aceleración máxima (en
módulo) es necesario que tenga el sistema, para
que el bloque (de masa «m») permanezca siempre
en el mismo lugar con respecto al plano inclinado?
µ = 1/4
//= //= //= //= //= //= //= //=
m
37°
µ
18. La posición de un vehículo de masa 5 kg que
se mueve a lo largo del eje «x» está dada por
x(t) = 3t2
+ 2t + 1, donde «t» se mide en segundos
y «x» en metros. El módulo de la fuerza resultante
(en newton) que actuará sobre el vehículo, cuando
t = 2s, es:
UNI 2002-I

52. MOVIMIENTO PLANETARIO
I. Teoría geocéntrica
Fue enunciada por Claudio Ptolomeo, quien
sostenía que todos los cuerpos celestes giraban
alrededor de la Tierra, describiendo órbitas
circulares. Es decir, se consideraba a la Tierra
como centro del universo.
II. Teoría heliocéntrica
Fue enunciada por Nicolás Copérnico, quien
sostenía que eran los planetas que giraban
alrededor del sol describiendo órbitas circulares.
Años más tarde esta teoría fue apoyada por
Galileo Galilei, quien, utilizando su telescopio
rudimentario, llegó a la conclusión de que los
planetas giraban alrededor del sol.
III.Teoría actual
Johannes Kepler, basándose en las mediciones de su
profesor Tycho Brahe, formuló las siguientes leyes:
1. Primera ley: Ley de las Órbitas
Los planetas giraban alrededor del sol
describiendo órbitas elípticas, en uno de
cuyos focos se encuentra en el sol.
2. Segunda ley: Ley de las Áreas
El área barrida por el radio vector que une el
sol con un planeta es la misma para tiempos
iguales.
A
B
D
C
A2
A1
tAB = tCD ⇒ A1 = A2
3. Ley de los Periodos
Cuandounplanetasemuevealrededordelsol,
se observa que el cuadrado de su periodo (T)
de revolución es directamente proporcional
al cubo del radio vector medio (RM).
Radio vector medio = RM
RM1
=
R1 + r1
2
RM2
=
R2 + r2
2
2 1
R1
r1
= = ....... = cte
RM1
3
T1
2
RM2
3
T2
2
GRAVITACIÓN UNIVERSAL

53. GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El estudio del movimiento de los planetas, trajo
como consecuencia que el famoso astrónomo Galileo
Galilei (amigo de Kepler) se incline a defender la
teoría de Copérnico, gracias a la ayuda del telescopio
que él mismo inventara.
Sucede que los estudios realizados por Kepler y Galilei
fueron la base para que Newton formulara su ley de
la gravitación universal. Newton, quien precisamente
había nacido en el mismo año que falleció Galileo, se
preguntaba por qué los planetas giraban en torno al
sol; llego a la conclusión de que una fuerza centrípeta
obligaba a los planetas a realizar este movimiento; así,
pues, Newton nota que el sol atraía a los planetas.
F = maC =
F =
F = G
mV2
mV2
mV2
R
R
R2
G: constante de gravitación universal
m; M: masa (kg)
ac: módulo de la aceleración centrípeta(m/s2)
V: rapidez tangencial (m/s)
R: radio de la trayectoria (m)
I. Ley de la gravitación universal
Dos cuerpos cualesquiera en el universo, se atraen
con una fuerza que es directamente proporcional
a cada una de las masas e inversamente propor-
cional al cuadrado de la distancia que separa sus
centros.
F =
d2
Gm1 m2
Unidad: newton (N)
d
F F
m2
m1
1. Valor de G
G = 6,67 × 10–11
kg2
N × m2
2. Algunos valores
●
●
Radio de la Tierra: RT = 6370 km
●
●
Masa de la Tierra: MT = 5,98 × 1027 g
●
●
Volumen de la Tierra: VT = 1,09 × 1027 cm3
●
●
Densidad de la Tierra: DT = 5,5 g/cm3
II.
Variaciones de la aceleración de la
gravedad con la altura
Si colocamos un cuerpo en la superficie terrestre,
su peso toma un valor; si se sube al cuerpo con
respecto a la Tierra, este valor disminuye. Esto
significa que a mayor altura, el peso (mg) dismi-
nuye; pero como la masa «m» es constante (a ra-
pideces pequeñas en comparación con la rapidez
de la luz), el que disminuye es «g» (aceleración de
la gravedad). Esto no sucede solo en la Tierra; se
repite en cualquier cuerpo celeste.
R
M
h F = mg
F = mg
(R + h)2
GMm = mg
De donde:
g =
(r + h)2
GM
Unidad: m/s2
Observa que «g» no depende de la masa del
cuerpo, sino la masa y el radio del planeta que atrae;
por supuesto que también depende de la altura «h».

54. Trabajando en clase
Integral
1. Calcula el módulo de la aceleración de la gravedad
a una distancia igual a 2 veces el radio terrestre de
la superficie de la Tierra.
Resolución:
g’ =
(RT + h)2
GMT
⇒ g’ =
(RT + 2RT)2
GMT
g’ =
9RT
2
GMT
⇒ g’ =
9
g
2. Calcula el módulo de la aceleración de la gravedad
a una distancia igual a 4 veces el radio terrestre de
la superficie de la Tierra.
3. El planeta demora 6 meses en ir del perihelio al
punto B y del perihelio al afelio tarda 12 meses.
Calcula el periodo del planeta (en meses) y que
parte del eclipse es el área sombreada.
Perihelio
Afelio
B
4. ¿Cuál es el valor de la gravedad en la superficie de
un planeta si su masa es el doble que de la Tierra
y su radio es el doble del radio terrestre?
UNMSM
5. ¿Cuál es el módulo de la aceleración de la grave-
dad en la superficie de un planeta si su masa es el
doble que de la Tierra y su radio es la cuarta parte
del radio terrestre?
Resolución:
g’ = G
R2
M
⇒ g’ = G
RT
2MT
1
4
2
g’ = 326
RT
2
MT = 320 m/s2
6. ¿Cuál es el módulo de la aceleración de la grave-
dad en la superficie de un planeta si su masa es el
cuádruple que de la Tierra y su radio es la mitad
del radio terrestre? (g = 10 m/s2)
7. Si la masa de la Tierra es 60 veces la de la Luna y
su radio 3 veces el de esta, ¿qué tiempo tardará
en alcanzar la altura máxima, un cuerpo lanzado
verticalmente hacia arriba en la Luna, con una
rapidez de 30 m/s?
8. La fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas
m1 y m2, separados «d» metros, es de módulo
6200 N. ¿Con qué fuerza (en módulo) se atraerán
si «m1» se triplica, «m2» se duplica y «d» se duplica?
Resolución:
F = G
d2
m1 • m2
= 6200 N
F’=G
(2d2)
3m1 • 2m2
=
2
3 G
d2
m1 • m2
=
2
3 5200=9300N
Nota Importante
Esta fórmula es válida solo para puntos
exteriores en la superficie de la Tierra.
Si se aplica la fórmula para puntos
interiores a la Tierra, según la fórmula,
«g» aumenta; pero, en la práctica, «g»
disminuye. Al respecto, en la actualidad
hay muchas investigaciones sobre el
centro de la Tierra, de las cuales nos
ocuparemos más adelante.
Es la superficie de la Tierra: h = 0
g = = 9,8 m/s2
RT
2
GMT

55. 9. La fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas
m1 y m2, separados «d» metros, es de módulo
8000 N. ¿Con qué fuerza (en módulo) se atraerán
si «m1» se duplica, «m2» se triplica y «d» se reduce
a la mitad?
10. Un satélite circula alrededor de la Tierra a
una altitud de 600 km, haciendo una revolución
cada 100 minutos. Encuentra la magnitud de su
aceleración centrípeta.
(Radio de la Tierra = 6,4 × 106 m)
UNMSM 2005-II
11. La segunda ley de Kepler del movimiento plane-
tario afirma:
UNMSM 2004-II
a) Los epiciclos de los planetas son proporcionales
al cuadrado de las distancias.
b) La trayectoria del planeta es una elipse.
c) La fuerza gravitacional solar es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia.
d)
El vector distancia entre el sol y un planeta
barre áreas iguales en tiempos iguales.
e) El sol es el centro del universo.
12. ¿Cuál será el peso de una persona, si se eleva a
una altura igual a 3 veces el radio terrestre? Se
sabe que su peso a nivel del mar es de 800 N.
13. Si la distancia entre el sol y la Tierra se reduce
a la mitad, ¿cómo varía la fuerza de atracción
gravitacional?
14. ¿Con qué fuerza (en módulo) una estrella de
1,6 × 1027 kg atrae a un planeta de 4 × 1024 kg que
se encuentra a 4 × 1010 m?
UNI
15. Un satélite gira alrededor de un planeta de masa
M a una altura que es el triple de su radio. ¿Cuál
es su periodo de revolución?
Resolución:
4R
m
M
Fc = m ω2 • R
⇒ G
(4R)2
mM = m
T
2π
2
• 4R
T = 16 πR R
GM
16. Un satélite gira alrededor de un planeta de masa
M a una altura que es la cuarta parte de su radio.
¿Cuál es su periodo de revolución?
17. Si el radio vector del planeta mostrado, barre de
O a P, 1/5 del área total en 30 días, ¿cuánto tiempo
(en días) tardará el planeta en moverse de P a Q?
O
P
Q
18. Un cometa describe una trayectoria elíptica
alrededor del sol, de modo que el radio vector
que une el sol con el cometa genera en 4 meses un
área de 1/20 del área total de la elipse. ¿Cuál es el
periodo de revolución del planeta?

56. 1. TRABAJO MECÁNICO
No es la intención dar una definición rigurosa
acerca del trabajo mecánico, queremos que se
comprenda las diferencias entre este tipo de tra-
bajo y análogos en otros campos de la vida.
Para comprender mejor, empezaremos por dar
unos ejemplos:
a) La esfera cae y aplasta al resorte venciendo la
resistencia interna de este.
b) El gas se desplaza levantando el émbolo, su-
perando la resistencia ofrecida por la carga
hasta una determinada distancias, este des-
plazamiento es originado por la presión in-
terna del gas.
c) La fuerza de rozamiento estático (fs) evita el
deslizamientos de los pies del atleta y, a la vez,
lo impulsa hacia adelante; es decir, le trans-
mite movimiento.
Recuerda
Observa que en cada uno de los casos
se ha superado una resistencia durante
una distancia, mediante la acción de una
fuerza; de esto podemos concluir:
«El trabajo mecánico es aquella magnitud
física escalar que mide la transmisión
de movimiento que puede generar
una fuerza, venciendo algún tipo de
resistencia».
El vector de desplazamiento une las posiciones
inicial y final del punto de aplicación de la fuerza,
y se representa mediante el símbolo Dr . La fuerza
vectorialmente considerada forma con el vector
de desplazamiento un ángulo j.
Es posible representar entonces el trabajo en la
forma:
j j
F F
DS
Dr
W= . r
D
Dr| . Cosj
WAB
F
j
TRABAJO MECÁNICO Y POTENCIA MECÁNICA

57. Para F constante
Donde
WAB
F
: trabajo desarrollado mediante la fuerza F
para llevar bloque desde A hasta B.
j: ángulo formado por F y el desplazamiento.
Unidades:
F : newton (N)
d : metro (m)
W : Nxm = joule (J)
CASOS:
1. Cuando j = 0°, la fuerza y el desplazamiento si-
guen la misma dirección.
F F
d
WF
= F d
2. Cuando j = 90°, la fuerza y desplazamiento son
perpendiculares.
F F
d
WF
= 0
3. Cuando j = 180°, la fuerza realiza trabajo nega-
tivo si opera en dirección contraria al desplaza-
miento.
F F
d
WF
= – F d
Gráficamente podemos obtener el trabajo meca-
nico de una fuerza:
El coche cambia de posición debido a la acción de
la fuerza «F»
d
x1
x0
F F F
x
y
Luego:
A
F
F(N)
x0
xf
xm
A = Wx x
F
o f
" A = F.d
A: área debajo de la grafica F vs x
A: F(Xr
– Xo
)
F(N)
x0
xf
xm
A
De esto podemos deducir que el área de esta grá-
fica es numéricamente igual al trabajo que desa-
rrolla la fuerza «F».
En general para el caso de una fuerza variable,
pero que es paralela a la distancia que avanza el
cuerpo:
A = Wx x
F
o f
"

58. 2. TRABAJO NETO
Se define como trabajo neto o trabajo total sobre
un cuerpo (Wneto
) a la suma algebraica de los tra-
bajos efectuados por cada fuerza que actúa sobre
él. También, se puede definir como trabajo hecho
por la resultante de la fuerzas.
Wneto
= WF1
+ WF2
+ WF3
+ ... = WFresultante
Wneto
= FR . d . Cosj
Wneto
= m . a . d . Cosj
De aquí podemos deducir que el móvil se mueve
con velocidad constante, entonces su aceleración
será nula y, por lo tanto, el trabajo neto será:
Wneto
= 0
Ten en cuenta lo siguiente:
Y
Y El trabajo sobre un cuerpo será positivo cuan-
do la fuerza aumenta el movimiento.
Y
Y El trabajo será negativo cuando la fuerza trate
de detener el movimiento del cuerpo.
Y
Y El trabajo de una fuerza será nulo si dicha
fuerza es perpendicular a la trayectoria o des-
plazamiento.
3. POTENCIA MECÁNICA
La potencia mecánica es una magnitud física es-
calar que nos indica la rapidez con que se realiza
un determinado trabajo mecánico.
Pmedia
=
t
W
Unidades:
W: Trabajo mecánico (J)
t: segundo(s)
unidad:
s
joule
= watt(W)
4. POTENCIA INSTANTÁNEA
Es aquella que nos indica la rapidez con que se
realiza trabajo para un cierto instante. Su valor lo
determinamos así:
La potencia instantánea P es:
P =
dt
dW
donde dW
es la pequeña cantidad de trabajo eje-
cutado en el intervalo infinitesimal «dt».
Si la potencia es constante en el tiempo, entonces:
P = P media.
También podemos expresar la potencia aplicada
a un cuerpo en función de su velocidad y de la
fuerza que actúa sobre él.
En breve intervalo temporal «dt», el cuerpo reco-
rre un desplazamiento «dr» y el trabajo efectuado
en él es:
dW = F . dr
P = . .
dt
d
dt
F dr
dt
dr
F
W
= =
P = .
F V
Lo cual significaría: P = F . v . cosa
a: ángulo entre F y V
5. EFICIENCIA O RENDIMIENTO ME-
CÁNICO
Denota por N «n»; es un número que va asociado
en la estructura de una máquina que usualmente
indica la calidad de esta máquina. Su valor expresa
qué fracción de la potencia absorbida o entregada al
cuerpo es transformada en trabajo útil.
El trabajo útil o potencia de salida de una maqui-
na nunca es igual a la de entrada. Estas diferencias
se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al
desgaste, etc.
La diferencia nos expresa la razón entre lo útil y lo
suministrado a una maquina.
. .
.
n
Potencia entregada
Potencia util
P e
P u
= =
l
En porcentaje:
% .100%
n
Pe
Pu
=