1. efectos dinamicos del viento en chimeneas de acero

’Efectos Dinamicos de Viento en
Chimeneas Industriales de Acero
Gilberto Ávila Jiménez
Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Universidad de Guanajuato
Ávila
·
Valdés
’EfectosDinamicosdeVientoenChimeneasIndustrialesdeAcero
1
Este trabajo surge debido a que el Ingeniero Civil no se encuen-
tra familiarizado en el ámbito industrial o al menos es un área de
trabajo que no es tan abordada por el Ingeniero Civil. Haciendo
referencia a esto debido a que otras ramas de las ingenier´ıas si
lo estudian, pero lo hacen de una manera emp´ırica o basados en
reglamentos que sugieren procedimientos emp´ıricos, respecto al
cálculo de las presiones y succiones ocasionadas por el viento.
Es de suma importancia conocer el comportamiento que pre-
senta una estructura ante las acciones del viento, en nuestro caso
una chimenea de acero, debido a que muchas estructuras fallan
ante su acción presentando deflexiones o deformaciones excesi-
vas las cuales presentan una estructura insegura aunque muchas
veces solamente es un aspecto visual. Al presentarse este tipo
de situaciones se considera una reinversión en la estructura ya
sea de forma parcial o total, generando costos de inversión muy
grandes, debido a que este tipo de estructuras son muy costosas.
En este trabajo se emplea una modelación computacional la cual
en la actualidad tiene gran relevancia, ya que se deja de recur-
rir a modelos emp´ıricos a escala que resultan costosos y en los
cuales muchos de los reglamentos se basan, se verá un caso de
aplicación práctica, los avances que se tienen respecto al tema
y algunas propuestas que se pueden ir desarrollando conforme a
la potencia de computo.
ISBN:
978-607-441-334-2
GEMEC
Aula UGTO-CIMNE
Guanajuato, Gto. — M«exico
http://www.di.ugto.mx

Campus Guanajuato
División de Ingenier´ıas
Departamento de Ingenier´ıa Civil
Efectos Dinámicos de Viento en
Chimeneas Industriales de Acero
Gilberto Ávila Jiménez
Jesús Gerardo Valdés Vázquez

Efectos Dinámicos de Viento en Chimeneas Industriales de Acero
Primera edición, 2014
D. R. c Universidad de Guanajuato
Lascurain de Retana 5
Zona Centro
Guanajuato, Gto., México
C. P. 36000
Producción: GEMEC (Grupo de Estructuras y Mecánica Computacional)
Departamento de Ingenier´ıa Civil
Universidad de Guanajuato
Avenida Juárez 77
Zona Centro
Guanajuato, Gto., México
C. P. 36000
Cuidado de la edición: Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Diseño de portada: Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Fotograf´ıa de portada: Ciudad de Pompeya y Monte Vesubio (por J. Gerardo Valdés V.)
ISBN:
978-607-441-334-2
La composición del texto ha sido realizada y editada en LaTeX por
Gilberto Ávila Jiménez y Jesús Gerardo Valdés Vázquez

Contenido
1. Introducción 1
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Análisis por viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2. Mecánica de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3. Mecánica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.4. Interacción Fluido-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Estructura del trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Mecánica de Medios Continuos. 5
2.1. Concepto de Medio Continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Coordenadas Materiales y Espaciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2. Desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3. Velocidad y Aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Deformación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1. Medidas de la Deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4. Ecuaciones de Conservación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1. Conservación del Momento Lineal y Angular. . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Ecuaciones Constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1. Elasticidad Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2. Ley de Hooke Generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6. Fluido Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. El Método de los Elementos Finitos 19
3.1. Concepto de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i

ii Contenido
3.1.1. Sistema Discreto y Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2. Definición del Proceso General del MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Discretización del MEF para Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2. Discretización para Geometr´ıa Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3. Discretización para Geometr´ıa No-Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Elemento Finito de Membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1. Formulación de Membrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2. Discretización del MEF para Membrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4. Elemento Finito de Lámina (Shell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1. Formulación del Elemento Lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.2. Discretización del MEF para Láminas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5. Elementos Mecánicos: Fuerzas y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6. Elementos Finitos para Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7. Interacción Fluido-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE 44
4.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1. Clasificación de la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2. Velocidad de Diseño CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3. Presión Dinámica de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.4. Determinación del Tipo de Análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.5. Análisis Dinámico, Manual CFE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3. Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1. Clasificación de la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.2. Velocidad de Diseño CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.3. Presión Dinámica de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.4. Cálculo de la Presión Neta Estática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.5. Análisis Dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.6. Presión en la Dirección del Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4. Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5. Vibraciones Locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6. Reducción de los Efectos de Vórticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.1. Otras Soluciones para Evitar los Efectos de Vórticidad. . . . . . . . . . 69
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET. 70
5.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. Consideraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1. Geometr´ıa del Modelo para Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2. Geometr´ıa del Modelo para Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3. Condiciones de Contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Contenido iii
5.3.1. Condiciones de Contorno del Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2. Condiciones de Contorno Shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4. Mallas Fluido y Estructura (Shell). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4.1. Malla Modelo del Viento, Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4.2. Malla Modelo Chimenea, Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5.1. Fluido, Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5.2. Shell-Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6. Ovalización de la Sección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7. Elementos Mecánicos en la Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.8. Análisis Dinámico y Estático en la Práctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.8.1. Análisis Dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8.2. Análisis Estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.8.3. Comparación de los Análisis Dinámico vs. Estático. . . . . . . . . . . . 101
5.9. Distribución de las Presiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.10. Esfuerzos Generados en la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.11. Movimiento Real de la Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6. Resumen de Resultados y Conclusiones. 109
6.1. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.1. Presión de Empuje Actuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.2. Presión de Succión Actuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.3. Elementos Mecánicos en la Base, Dirección del Viento. . . . . . . . . . 110
6.1.4. Desplazamientos en la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7. Propuestas de Futuros Análisis. 112
7.1. Propuesta 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2. Propuesta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A. Anexo 115
A.1. Partes principales de la chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.2. Consideración del recubrimiento refractario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.3. Justificación de las dimensiones de chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.4. Justificación en la simplificación de las mallas, en elementos de estructuración. 117
Bibliograf´ıa 118

Índice de figuras
2.1. Configuraciones del medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Descripción material (izq.) y espacial (der.) de una propiedad . . . . . . . . . 7
2.3. Descripción de la deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Tensores de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Estado tensional en un fluido en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1. Coordenadas curvilineas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Vector base covariante formando un plano tangente. . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Shell superficie media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. Chimenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento . . . . 46
4.3. Esquema de Secciones consideradas, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4. Modelo SAP2000 v.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Ovalización por efecto de vortices alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6. Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento, CFE
2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7. Secciones consideradas en el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.8. Diagrama de flujo para el análisis dinámico, CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . 62
4.9. Anillos atiesadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.10. Rompedores de Viento, Spoilers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1. Dimensiones del modelo, Elevación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2. Dimensiones del modelo Planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3. Geometr´ıa del Fluido 3D (lineas,superficies,volumenes.) . . . . . . . . . . . . . 72
5.4. Contorno interior del Fluido 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5. Dimensiones de la chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6. Geometr´ıa Modelo No.1, Chimenea Lisa sin refuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7. Geometr´ıa Modelo No.2, Chimenea con Rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . 74
iv

Índice de figuras v
5.8. Geometr´ıa Modelo No.3, Chimenea con Rigidizadores y Anillos. . . . . . . . . 75
5.9. Perfil Tipo Tee, Rigidizador. Perfil Tipo C, Anillo. . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.10. Condiciones de Contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.11. Condiciones de Contorno, Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.12. Condición Ext-coupling-surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.13. ALE Boundary-surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.14. Forces-Drag-Lift-Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.15. Condición Ext-coupling-surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.16. Espesores de Placa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.17. Malla Generada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.18. Captura de Capa L´ımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.19. Malla Generada. Modelo No.1, sin refuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.20. Malla Generada. Modelo No.2, Con rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.21. Malla Generada. Modelo No.3, Con rigidizadores y Anillos. . . . . . . . . . . . 84
5.22. Corte, Presiones del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.23. Contorno, Presiones del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.24. Velocidades en X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.25. Desarrollo de Vortices alternantes, Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.26. Desarrollo de Vortices alternantes, Presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.27. Presiones en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.28. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.1. . . . . . . . . 90
5.29. Norma de los desplazamientos, Modelo No.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.30. Deformación de la estructura, Modelo No.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.35. Deformación de la estructura, Modelo No.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.36. Ovalización teórica de la sección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.37. Ovalización de la sección, obtenida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.38. Presiones Consideradas, Medias y Máximas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.39. Presiones Consideradas CFE2008 y CFE1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.40. Presiones Consideradas CFE-2008 y CFE-1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.41. Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.42. Desplazamiento en X, Presiones Medias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.43. Desplazamiento en X, Presiones Envolventes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.46. Desplazamiento en X, Presiones Medias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.47. Desplazamiento en X, Presiones Envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.48. FSI-CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vi Índice de figuras
5.49. FSI-CFE 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.50. FSI-Medidas medias y envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.51. FSI-Todos los análisis dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.52. Distribución de las Presiones de empuje y succión, caso Interacción Fluido-
Estructura FSI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.53. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.56. Comportamiento en la deformación de la Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.1. Propuesta 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2. Propuesta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3. Malla con rompedores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.1. Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.2. Malla con rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Índice de tablas
3.1. Regla de Voigt para esfuerzos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Regla de Voigt paara esfuerzos en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1. Secciones consideradas 1,2,3,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Velocidades de diseño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Presión Dinámica de base Kg/m2
, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Factor de Excitación de Fondo, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5. Factor de Ráfaga, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6. Factor de Reducción por tamaño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7. Factor de Energia de rafaga-frecuencia natural, CFE 1993. . . . . . . . . . . . 52
4.8. Relación σ/µ, Ecuación 4.2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.9. Factor pico o de efecto máximo de la carga de viento . . . . . . . . . . . . . . 53
4.10. Factor de respuesta dinámica debida a rafagas Ecuación 4.2.6 . . . . . . . . . 53
4.11. Presiones de Diseño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.12. Presiones de Diseño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.13. Fuerza y Momento Resultante, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.14. Velocidades de diseño para el modelo, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.15. Diámetros promedio y Áreas expuestas por cada sección, CFE 2008. . . . . . . 59
4.16. Velocidad de diseño por secciones, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.17. Presión dinámica de base, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.18. Resumen de Valores para determinar FAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.19. Presión de diseño, 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.20. Fuerza y Momento de diseño, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.21. Velocidades de diseño para el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.22. Resumen CFE 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.23. Resumen CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1. Espesor de placa considerado en el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
vii

viii Índice de tablas
5.2. Velocidades de diseño para el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3. Elementos mecánicos en la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4. Desplazamiento Longitudinal, Análisis dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5. Desplazamiento Longitudinal, Análisis estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6. Desplazamiento Longitudinal, Análisis estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1. Presión Máxima de empuje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2. Presión Máxima de Succión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3. Elementos mecánicos, Dirección del viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4. Comparación de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Cap´ıtulo 1
Introducción
1.1. Motivación
El análisis estructural de chimeneas industriales de dimensiones considerables presenta di-
versos aspectos a tener en cuenta. En primera instancia se debe realizar un análisis estático
convencional en el que se tengan en cuenta las cargas debidas al peso propio de los elementos
envolventes y el de los elementos refractarios constitutivos. A su vez, debe contemplarse el
efecto del viento y sismo sobre la estructura, como as´ı también los efectos térmicos producidos
por el funcionamiento de la chimenea. En el caso del viento se debe evaluar no solamente la
carga producida por este, sino los efectos dinámicos que se producen al interactuar la fre-
cuencia de los vórtices o torbellinos que se desprenden a ambos lados de la chimenea con las
frecuencias naturales de vibración de la estructura. Los efectos en una estructura propensa a
presentar respuesta ante el viento deben de ser evaluados, por metodolog´ıas propuestas por
autores y en la gran mayor´ıa por la reglamentación vigente, pues su seguridad depende de
ello. Las cargas en este caso presiones y succiones generadas por el viento en una estructura
se traducen en esfuerzos y deformaciones, que servirán al calculista para poder diseñar, tanto
la estructura en si como su cimentación. Un mal análisis conducirá a un mal diseño y muchas
veces al colapso de la estructura o a quedar fuera de servicio, estos resultados no son los
esperados y se deben evitar.
El presente trabajo surge debido a que el Ingeniero Civil no se encuentra familiarizado en
el ámbito industrial o al menos es un área de trabajo que no es tan abordada por el Ingeniero
Civil. Haciendo referencia a esto debido a que otras ramas de las ingenier´ıas si lo estudian,
pero lo hacen de una manera emp´ırica o basados en reglamentos que sugieren procedimientos
emp´ıricos, respecto al cálculo de las presiones y succiones ocasionadas por el viento. Es de
suma importancia conocer el comportamiento que presenta una estructura ante las acciones
del viento, en nuestro caso una chimenea de acero, debido a que muchas estructuras fallan
ante su acción presentando deflexiones o deformaciones excesivas las cuales presentan una
1

2 1. Introducción
estructura insegura aunque muchas veces solamente es un aspecto visual. Al presentarse este
tipo de situaciones se considera una reinversión en la estructura ya sea de forma parcial o
total, generando costos de inversión muy grandes, debido a que este tipo de estructuras son
muy costosas.
El problema surge de un mal diseño o de acciones de diseño mal consideradas como son
las presiones que se generan al circular el viento alrededor de la chimenea, pues existen
presiones tanto de empuje como de succión. Esta problemática es real y se ha presentado en
varias chimeneas de la Refiner´ıa en la cuidad de Salamanca Guanajuato México, Ah´ı existen
chimeneas que presentan deflexiones considerables, las cuales siguen en funcionamiento cuya
solución estructural es un sistema de contravientos a base de cables tensores de acero. Del
análisis de las presiones surge el diseño o revisión de la chimenea también surge el diseño
estructural de la cimentación y elementos de anclaje el cual es un aspecto de gran importancia
en este tipo de estructuras pues sin una buena cimentación y anclaje podr´ıan existir daños de
gran consideración. De todo esto queda manifestada la importancia de considerar en el diseño
un buen análisis de las acciones que se pudieran presentar ante el viento.
En este trabajo se emplea una modelación computacional la cual en la actualidad tiene
gran relevancia, ya que se deja de recurrir a modelos emp´ıricos a escala que resultan costosos
y en los cuales muchos de los reglamentos se basan, se verá un caso de aplicación práctica, los
avances que se tienen respecto al tema y algunas propuestas que se pueden ir desarrollando
conforme a la potencia de computo.
1.2. Objetivos
Modelación dinámica por viento de una chimenea industrial basado en el método de los ele-
mentos finitos, llevando a cabo la interacción fluido estructura, obteniendo empujes y succiones
generadas por el fluido, as´ı como la deformación y desplazamiento de la estructura, realizan-
do una comparación de los resultados mediante reglamentación aplicable vigente, haciendo
énfasis en el reglamento por viento de la Comisión Federal de Electricidad CFE.
1.3. Antecedentes
1.3.1. Análisis por viento.
Toda construcción sometida a la acción del viento puede sufrir daños parciales o totales.
Muchos reglamentos abordan el tema y fijan procedimientos de diseño para el cálculo de las
cargas que genera el viento. El viento al pasar por una estructura genera acciones de empuje,
además de succión en la dirección perpendicular al flujo. Los efectos estructurales producidos
por el viento más comunes en las construcciones pueden ser: deformación excesiva, fatiga, daño
en elementos de apoyo como cimentación y anclas, vibración excesiva que provoca inseguridad.
Los efectos de deformación excesiva generan inseguridad visual, e incluso a largo plazo

1.4 Estructura del trabajo. 3
el colapso de la estructura el cual podr´ıa ocasionar pérdidas humanas de manera directa
e indirecta, sobre todo al tratarse de instalaciones industriales. De estos hechos podemos
entender la importancia del análisis estructural por viento.
1.3.2. Mecánica de materiales
La Mecánica de materiales es la rama de la mecánica que estudia los efectos internos que
experimenta un cuerpo bajo carga, considerando a los elementos estructurales como modelos
idealizados sometidos a restricciones y cargas simplificadas. En la mecánica de materiales el
concepto de importancia primordial es el de esfuerzo y las deformaciones.
1.3.3. Mecánica de fluidos
La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos que estudia el mo-
vimiento de los fluidos as´ı como las fuerzas que los provocan. La caracter´ıstica fundamental
que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes lo que provoca que
carezcan de forma definida. También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno
que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la
hipótesis del medio continuo.
1.3.4. Interacción Fluido-Estructura
Muchos fenómenos de la vida real están caracterizados por el flujo de un fluido que es afectado
por la deformación de una estructura sólida, que a su vez es deformada por las fuerzas ejercidas
por el fluido. Modelar la interacción fluido estructura involucra acoplamientos multif´ısicos
espec´ıficos entre las leyes que describen la dinámica de fluidos y la mecánica estructural. La
importancia de muchos problemas acoplados es que generan mayor información del problema
real que cuando se trata el fluido y el solido de forma separada.
1.4. Estructura del trabajo.
El trabajo aqu´ı presentado se divide en las siguientes partes:
Cap´ıtulo 2. En este cap´ıtulo se presenta un resumen de la mecánica de los medios continuos
y las ecuaciones constitutivas tanto para sólidos como para fluidos.
Cap´ıtulo 3. En este cap´ıtulo se presenta el fundamento teórico de los elementos finitos para
sólidos, Shell y fluidos, as´ı como la descripción de en que consiste la interacción fluido estruc-
tura

4 1. Introducción
Cap´ıtulo 4. En este capitulo se desarrolla las metodolog´ıa propuesta por el Manual de Diseño
de Obras civiles, Diseño por viento en la versión 1993 y la más reciente 2008, para obtener
las velocidades de diseño para el modelo, las presiones de diseño mediante análisis dinámico
y posteriormente el cortante y el momento máximos en la dirección del flujo del viento.
Cap´ıtulo 5. En este cap´ıtulo se presenta la modelación y resultados del caso mediante ele-
mentos finitos. Utilizando para el proceso de cálculo interacción fluido-estructura el código
COMET desarrollado por el asesor.
Cap´ıtulo 6. En este cap´ıtulo se presentan un resumen de los resultados obtenidos y las con-
clusiones.
Cap´ıtulo 7. En este cap´ıtulo se plantean dos propuestas de futuros análisis a desarrollar,
destacando el sistema de rompedores de viento para evitar las vibraciones transversales en
estructuras de forma cil´ındrica.

Cap´ıtulo 2
Mecánica de Medios Continuos.
2.1. Concepto de Medio Continuo.
Todos los materiales en escala microscópica presentan diversas discontinuidades. La mecánica
del medio continuo considera el medio en escala macroscópica, ignorando en el medio esas
discontinuidades para pasar a ser un medio continuo y partiendo de este argumento se puede
formular el comportamiento mecánico de los sólidos y de los fluidos. Ver referencia Oliver y
Agelet (2006).
2.2. Cinemática.
La cinemática estudia el movimiento y la deformación de un cuerpo sin importarle las fuerzas
que intervienen en dicha acción.
Se puede suponer que un medio continuo esta formado por una infinidad de puntos, que
pueden ocupar distintos puntos en su movimiento a lo largo del tiempo, estos son llamados
puntos materiales, al lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio a lo largo
del tiempo se define como configuración y esta dada por Ω.
La configuración en t = 0 se llama configuración inicial Ω0, para poder describir la ci-
nemática de un cuerpo es necesaria una configuración de referencia que generalmente se toma
esta como la configuración inicial.
Consideremos ahora que el medio continuo se mueve a una nueva región Ω, t > 0 en este
instante de tiempo la configuración es llamada configuración actual o configuración deforma-
da. El contorno del dominio para la configuración actual esta dado por Γ. La dimensión de
cualquier modelo se expresa por ndime indicando el número de dimensiones que ocupa en el
espacio el medio continuo dime = 1, 2, 3.
El vector de posición X de un punto material en la configuración de referencia Ω viene
5

6 2. Mecánica de Medios Continuos.
dado por:
X = Xiei =
ndime
i=1
Xiei (2.2.1)
donde Xi son los componentes de X en la configuración de referencia y ei son los vectores
unitarios que definen un sistema de coordenadas rectangular cartesiano. Las componentes del
vector X son conocidas como coordenadas materiales o también como coordenadas Lagran-
gianas.
Figura 2.1 Configuraciones del medio continuo
El movimiento de las part´ıculas del medio continuo está dado por
x = φ(X, t) = x(X, t) (2.2.2)
donde
x = xiei =
ndime
i=1
xiei (2.2.3)
es la posición de un punto material X pero en la configuración actual.
Las componentes del vector x son llamadas coordenadas espaciales o coordenadas Euleria-
nas y la función φ(X, t) nos da la posición que corresponde a la configuración de referencia
pero en la configuración actual.
2.2.1. Coordenadas Materiales y Espaciales.
Cuando describimos la cinemática de un medio continuo dos aproximaciones son frecuente-
mente usadas. La primera es cuando tomamos las coordenadas materiales Xi y el tiempo t

2.2 Cinemática. 7
como variables independientes, y entonces la descripción es conocida como descripción mate-
rial o descripción Lagrangiana.
Por otra parte, si las variables independientes son las coordenadas espaciales xi y el tiempo
t, entonces nos estaremos refiriendo a una descripción espacial o descripción Euleriana.
Ambas descripciones se diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordena-
das materiales o espaciales) que aparecen en las funciones matemáticas que describen las
propiedades del medio continuo.
Figura 2.2 Descripción material (izq.) y espacial (der.) de una propiedad
En general, la mecánica de sólidos y las estructuras usan la descripción Lagrangiana mien-
tras que la mecánica de fluidos usa la descripción Euleriana.
2.2.2. Desplazamiento.
La diferencia en un punto material entre su configuración actual y su configuración de refe-
rencia nos da como resultado un desplazamiento el cual escrito en descripción material viene
dado por
u(X, t) = x − X (2.2.4)
Reemplazando la ecuación (2.2.1) y la ecuación (2.2.2) en la ecuación (2.2.4) nos da como
resultado
u(X, t) = φ(X, t) − φ(X, 0) = φ(X, t) − X (2.2.5)
Ya que para t = 0, x = φ(X, 0) = X, lo que significa que en la configuración de referencia,
x = X. Por el contrario, si las variables independientes son (x, t), la ecuación inversa del
movimiento se define por
X = φ−1
(x, t) = X(x, t) (2.2.6)

Lo que significa que el punto material X se asocia con el lugar que ocupa la variable x en el
instante de tiempo t. De esta manera, el desplazamiento en descripción euleriana se expresa
por
u(x, t) = x − φ−1
(x, t) (2.2.7)
2.2.3. Velocidad y Aceleración.
Para un punto material, la velocidad está dada por la derivada del vector de posición. Cuando
X se mantiene constante, entonces la derivada se llama derivada material respecto al tiempo
o también es conocida como derivada total respecto al tiempo.
Usando la ecuación (2.2.2) y la ecuación (2.2.5), la velocidad material se expresa por
v(X, t) =
∂x(X, t)
∂t
=
∂u(X, t)
∂t
= ˙u(X, t) (2.2.8)
De la misma forma, la aceleración material se expresa como la derivada de la velocidad respecto
al tiempo, y viene dada por
a(X, t) =
∂v(X, t)
∂t
= ˙v(X, t) = ü(X, t) (2.2.9)
Cuando las expresiones están dadas en descripción espacial, por ejemplo la velocidad v(x, t) =
v x(X, t), t donde se ha usado la ecuación (2.2.2), su derivada material puede ser encontrada
si usamos
Dvi(x, t)
Dt
=
∂vi(x, t)
∂t
+
∂vi(x, t)
∂xj
·
∂xj(X, t)
∂t
=
∂vi
∂t
+
∂vi
∂xj
vj (2.2.10)
donde ∂vi(x, t)/∂t es la derivada espacial respecto al tiempo y el segundo término en el lado
derecho de la ecuación es el término convectivo, donde ∂vi/∂xj es el gradiente derecho del
vector velocidad respecto a las coordenadas espaciales, la cual se puede expresar en notación
indicial por vi,j o en notación tensorial por v∇. Usando la ecuación inversa del movimiento,
ecuación (2.2.6), para expresar la velocidad en descripción espacial, la ecuación (2.2.10) puede
ser escrita como
Dv(x, t)
Dt
=
∂v(x, t)
∂t
+ v(x, t) · ∇v(x, t) (2.2.11)
donde ∇v es el gradiente izquierdo del vector velocidad con respecto a las coordenadas espa-
ciales, las cuales pueden ser expresadas en notación indicial por ∂jvi. Es importante resaltar
que
Dv(x, t)
Dt
=
∂v(X, t)
∂t
(2.2.12)

2.3 Deformación. 9
En general, la derivada material respecto al tiempo de cualquier función, ya sea un escalar,
un vector o un tensor expresado en variables espaciales x y tiempo t se puede obtener con
D(•)
Dt
=
∂(•)
∂t
+ v · ∇(•) (2.2.13)
2.3. Deformación.
Consideremos en el medio continuo en movimiento una part´ıcula P en la configuración de
referencia Ω0, y que ocupa el punto del espacio P´ en la configuración actual Ω y una part´ıcula
Q situada en un entorno diferencial de P y cuyas disposiciones relativa respecto a esta en los
instantes de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente.
Figura 2.3 Descripción de la deformación
Una medida importante de la deformación comúnmente usada en mecánica es el tensor ma-
terial gradiente de la deformación F(X, t) dado por
F =
∂x
∂X
=
∂φφφ(X, t)
∂X
o Fij =
∂φi
∂Xj
=
∂xi
∂Xj
(2.3.1)
el cual relaciona cantidades en la configuración de referencia con su correspondiente cantidad
en la configuración deformada. Por ejemplo, si consideramos un segmento de l´ınea infinitesimal
dX en la configuración de referencia, entonces usando la ecuación (2.3.1), el segmento de l´ınea
resultante dx en la configuración deformada es
dx = F · dX o dxi = FijdXj (2.3.2)
llamado ensor material gradiente de la deformación F también es conocido como la matriz
Jacobiana. Otra cantidad importante relacionada con F es el determinante del Jacobiano
expresado por

J = det(F) (2.3.3)
El determinante del Jacobiano es importante ya que nos permite relacionar integrales en la
configuración de referencia con su correspondiente contraparte en la configuración deformada.
El tensor material gradiente de la deformación viene dado por
Fij =
∂ui
∂Xj
+
∂Xi
∂Xj
=
∂ui
∂Xj
+ δij (2.3.4)
donde ∂ui/∂Xj es el tensor material gradiente de los desplazamientos y el termino δij es
conocido como delta de Kronecker, y esta puede tomar dos valores únicos
δij =
1 cuando i = j
0 cuando i = j
(2.3.5)
2.3.1. Medidas de la Deformación
Consideremos una part´ıcula del medio continuo, que ocupa el punto del espacio P en la
configuración material, y otra part´ıcula Q de su entorno diferencial separada de la anterior
por el segmento dX (de longitud dS =
√
dX · dX) siendo dx (de longitud dS =
√
dx · dx) su
homólogo en la configuración actual.
Figura 2.4 Tensores de deformacion

2.3 Deformación. 11
En el caso de descripciones lagrangianas, la medida de deformación más importante es el
tensor de deformación de Green-Lagrange E(X, t) que se define como
E =
1
2
FT
· F − I or Eij =
1
2
FT
ikFkj − δij (2.3.6)
el cual se puede expresar en función del tensor material gradiente de los desplazamientos,
dando como resultado
Eij =
1
2
∂ui
∂Xj
+
∂uj
∂Xi
+
∂uk
∂Xi
∂uk
∂Xj
(2.3.7)
Para problemas con deformaciones lineales, el tensor de deformaciones infinitesimales ε(X, t)
se puede deducir a partir de la ecuación (2.3.7) simplemente despreciando los términos no
lineales, de donde encontramos
εij =
1
2
∂ui
∂Xj
+
∂uj
∂Xi
(2.3.8)
Ahora definamos el tensor espacial gradiente de la velocidad lll(x, t) como
lll =
∂v
∂x
o lij =
∂vi
∂xj
(2.3.9)
el cual se puede descomponer en su parte simétrica y antisimétrica usando
lll =
1
2
lll + lll T
+
1
2
lll − lll T
(2.3.10)
La parte simétrica del tensor gradiente de la velocidad se define como el tensor velocidad de
deformación d(x, t) y viene dado por
d =
1
2
lll + lll T
o dij =
1
2
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
(2.3.11)
Por otro lado, el tensor velocidad de rotación w(x, t), también conocido como tensor spin se
define como la parte antisimétrica del tensor gradiente de la velocidad expresándose por
w =
1
2
lll − lll T
o wij =
1
2
∂vi
∂xj
−
∂vj
∂xi
(2.3.12)
Calculando la derivada material del tensor material gradiente de la deformación, ecuación
(2.3.1), nos da como resultado
˙F =
∂v
∂X
o ˙Fij =
∂vi
∂Xj
(2.3.13)
y ahora la ecuación (2.3.9) se puede escribir como

lll = ˙F · F−1
o lij = ˙FikF−1
kj =
∂vi
∂Xk
∂Xk
∂xj
(2.3.14)
donde se ha usado el tensor espacial gradiente de la deformación F−1
(x, t) que se expresa por
F−1
=
∂X
∂x
=
∂φφφ−1
(x, t)
∂x
o F−1
kj =
∂φ−1
i
∂xj
=
∂Xk
∂xj
(2.3.15)
Si calculamos la derivada material del tensor de deformación de Green-Lagrange, ecuación
(2.3.6), obtenemos
˙E =
1
2
FT
· ˙F + ˙F
T
· F = FT
· d · F (2.3.16)
que en el caso de dinámica estructural se utiliza para calcular el amortiguamiento viscoelástico
de estructuras.
2.4. Ecuaciones de Conservación.
La mecánica de medios continuos se asienta en una serie de postulados o principios generales
que se suponen validos siempre, independientemente del tipo de material y del rango de
desplazamientos o de deformaciones. Entre estos se encuentran los denominados Postulados
de conservación-balance que son los siguientes: Conservación de la masa, Balance del momento
cinético (o cantidad de movimiento), Balance del momento angular (o momento de la cantidad
de movimiento),Balance de la energ´ıa (o primer principio de la termodinámica).
Las ecuaciones de conservación reflejan cantidades f´ısicas para un medio continuo, las
cuales siempre se deben de satisfacer y que no tienen restricción alguna de aplicación para
ningún material. La aplicación de las ecuaciones de conservación al dominio Ω de un medio
continuo B nos arroja como resultado una ecuación en función de integrales. Ya que las
ecuaciones integrales se deben de satisfacer para cualquier parte del dominio o subdominio del
medio continuo, entonces las ecuaciones de conservación se pueden expresar como ecuaciones
en derivadas parciales
Antes de continuar con las ecuaciones de conservación, la derivada material de una ecuación
integral para cualquier propiedad espacial se define por
D
Dt Ω
(•)dΩ =
Ω
D(•)
Dt
+ (•)∇ · v dΩ (2.4.1)
la cual es conocida como teorema de transporte de Reynolds La divergencia ∇·(•) respecto a
coordenadas actuales también puede ser expresada por div(v) o en notación indicial por vi,i.

2.4 Ecuaciones de Conservación. 13
2.4.1. Conservación del Momento Lineal y Angular.
La conservación de momento lineal dice que la derivada respecto al tiempo del momento lineal
deber ser igual a la suma de todas las fuerzas aplicadas en un medio continuo.
Si consideramos un dominio arbitrario Ω con su respectivo contorno Γ en configuración de-
formada, el cual se encuentra sujeto a fuerzas másicas ρb y fuerzas de superficie t, donde b
es una fuerza por unidad de masa, entonces la fuerza total en el sistema es
f(t) =
Ω
ρb(x, t)dΩ +
Γ
t(x, t)dΓ (2.4.2)
Por definición, el momento lineal es igual al producto de la densidad ρ y la velocidad v en
todo el dominio Ω en estudio, lo cual se expresa por
p(t) =
Ω
ρv(x, t)dΩ (2.4.3)
Por definición, la conservación del momento lineal viene dado por
D
Dt Ω
ρv(x, t)dΩ =
Ω
ρb(x, t)dΩ +
Γ
t(x, t)dΓ (2.4.4)
y la ecuación de continuidad dada por
Dρ
Dt
+ ρ∇ · v = 0 (2.4.5)
Substituyendo las ecuaciones (2.4.2) y (2.4.5) en la ecuación (2.4.3), la derivada respecto al
tiempo del momento lineal es
D
Dt Ω
ρv(x, t)dΩ =
Ω
ρ
Dv(x, t)
Dt
dΩ (2.4.6)
La integral del contorno en la ecuación (2.4.4) se puede transformar en una integral de dominio
como
Γ
t(x, t)dΓ =
Ω
∇ · σ(x, t)dΩ (2.4.7)
Substituyendo las ecuaciones (2.4.6) y (2.4.7) en la ecuación (2.4.4) se obtiene
Ω
ρ
Dv
Dt
− ρb − ∇ · σ dΩ = 0 (2.4.8)
Y, ya que esta relación integral se cumple para cualquier dominio arbitrario, encontramos que
ρ
Dv
Dt
= ∇ · σ + ρb o ρ
Dvi
Dt
=
∂σij
∂xj
+ ρbi (2.4.9)
Esta ecuación es conocida como la ecuación de momento.

En descripción Euleriana la ecuación de momento esta dada como
ρ
∂v
∂t
+ v · ∇v = ∇ · σ + ρb o ρ
∂vi
∂t
+ vj∂jvi =
∂σij
∂xj
+ ρbi (2.4.10)
donde todas las cantidades se encuentran expresadas en coordenadas espaciales. La ecuación
(2.4.10) es la que en general se utiliza en problemas de mecánica de fluidos. Cuando ésta
ecuación se usa para hacer una discretización con elementos finitos, se dice que se trata de
una formulación euleriana
En descripción Lagrangiana la ecuación de momento esta dada como
ρ
∂v
∂t
= ∇ · σ + ρb o ρ
∂vi
∂t
=
∂σij
∂xj
+ ρbi (2.4.11)
Cuando se estudian sólidos y estructuras no lineales utilizando discretizaciones con elementos
finitos, la ecuación (2.4.11) recibe el nombre de formulación lagrangiana actualizada.
La conservación de momento angular se obtiene mediante el producto vectorial entre el
vector de posición actual x por cada uno de los términos de la ecuación de momento lineal,
ecuación (2.4.4), de donde obtenemos
D
Dt Ω
x × ρv(x, t)dΩ =
Ω
x × ρb(x, t)dΩ +
Γ
x × t(x, t)dΓ (2.4.12)
La conservación lineal de momento también se puede expresar en configuración de referencia.
La conservación lineal de momento en configuración de referencia y coordenadas lagrangianas
es
ρ0
∂v
∂t
= ∇0 · P + ρ0b o ρ0
∂vi
∂t
=
∂Pji
∂Xj
+ ρ0bi (2.4.13)
Esta ecuación se conoce como la descripción lagrangiana de la ecuación de momento. Si se
estudian sólidos y estructuras no lineales utilizando discretizaciones con elementos finitos, la
ecuación (2.4.13) recibe el nombre de formulación lagrangiana total.
2.5. Ecuaciones Constitutivas.
Las ecuaciones son ecuaciones que permiten describir el comportamiento y propiedades de un
medio continuo en especifico.
2.5.1. Elasticidad Lineal.
Las hipótesis simplificativas de la teor´ıa de la elasticidad lineal básicamente son Deformaciones
infinitesimales Existencia de un estado neutro Se considera en principio que el proceso de
deformación es isotérmico y adiabático

2.5 Ecuaciones Constitutivas. 15
2.5.2. Ley de Hooke Generalizada.
La ley de Hooke para problemas unidimensionales supone la proporcionalidad entre la tensión,
σ, y la deformación, ǫ, a través de la constante de proporcionalidad denominada módulo de
elasticidad E
σ = Eǫ (2.5.1)
En la teor´ıa de la Elasticidad esta proporcionalidad se generaliza al caso multidimensional
suponiendo la linealidad de la relación entre las componentes del tensor de tensiones σ y de
deformaciones ǫ en lo que se denomina ley de Hooke generalizada
σ(x, t) = C : ǫ(x, t) o σij = Cijklǫkl (2.5.2)
La ecuación (2.5.2) representa la ecuación constitutiva para un material elástico lineal.
El tensor de cuarto orden C es denominado tensor de constantes elásticas. Tiene en prin-
cipio 34
= 81 componentes. Sin embargo, debido a la simetr´ıa de σ y ǫ, debe presentar ciertas
simetr´ıas ante el cambio de indices, Cijkl = Cjikl y Cijkl = Cijlk representan las simetr´ıas
mayores, mientras Cijkl = Cklij son simetr´ıas menores. Como consecuencia el número de
constantes distintas en el tensor de constantes elásticas C se reduce a 21.
2.5.2.1. Ley de Hooke para elasticidad lineal isótropa.
Para el caso de un material elástico lineal, las propiedades elásticas están contenidas en
el tensor C, este tensor es isotrópico si mantiene sus componentes en cualquier sistema de
coordenadas cartesiano y está dado por
C = λ1 ⊗ 1 + 2µI o Cijkl = λδijδkl + µ [δikδjl + δilδjk] (2.5.3)
donde λ, µ son conocidas como constantes de Lamé, que caracterizan el comportamiento
elástico de material y que deben ser obtenidas experimentalmente. La condición de isotrop´ıa
reduce el número de constantes elásticas del material de 21 a 2.
Sustituyendo la ecuación (2.5.3) en (2.5.2) se obtiene la ecuación constitutiva elástica lineal
isótropa, también llamada Ley de Hooke
σ = λTr (ǫ) 1 + 2µǫ o σij = λδijǫll + 2µǫij (2.5.4)
De la inversión de la Ley de Hooke se desprenden dos propiedades elásticas el módulo de
Young o módulo de deformación longitudinal E y el coeficiente de Poisson ν definidos como
E =
µ (3λ + 2µ)
λ + µ
y ν =
λ
2 (λ + µ)
(2.5.5)
y las constantes de Lamé como
λ =
νE
(1 + ν) (1 − 2ν)
y µ =
E
2 (1 + ν)
(2.5.6)

donde µ = G, G= Módulo de deformación transversal.
2.6. Fluido Newtoniano.
Una ecuación que relaciona de manera lineal al tensor de esfuerzos con la derivada del tensor
de deformación en un fluido se conoce como ecuación constitutiva para fluidos newtonianos.
De acuerdo con el principio de pascal el estado tensional de un fluido en reposo está ca-
racterizado por un tensor de tensiones de la forma
σ = −p01 o σij = −p0δij (2.6.1)
donde p0 es la denominada presión hidrostática, la cual representa una tensión normal de
compresión constante sobre cualquier plano.
Figura 2.5 Estado tensional en un fluido en reposo
La ecuación constitutiva mecánica para los fluidos newtonianos, (considerando que el fluido
esta en movimiento) puede escribirse como
σ = −p1 + C:d o σij = −pδij + Cijkldkl (2.6.2)
donde C es un tensor constitutivo (de viscosidad) constante de cuarto orden.
Empleando las ecuaciones (2.3.11) y (2.5.3) para sustituirlas en (2.6.2) obtenemos
σij = −pδij + λdllδij + 2µdij (2.6.3)
donde dll = ∇ · v es la divergencia de la velocidad. Si se substituye la restricción de Stokes,
λ+ 2
3
µ = 0, en la ecuación (2.6.3) para tener una relación entre λ y µ, se encuentra la siguiente
ecuación

2.7 Ecuaciones de Navier-Stokes. 17
σij = − p +
2
3
µ∇ · v δij + 2µdij o σ = − p +
2
3
µ∇ · v I + 2µd (2.6.4)
que se conoce como ecuación constitutiva para fluidos Newtonianos. Para fluidos incompre-
sibles, la ecuación de continuidad, ecuación (2.4.5) se substituye en la ecuación (2.6.4) y se
obtiene la ecuación constitutiva para fluidos incompresibles
σij = −pδij + 2µdij o σ = −pI + 2µd (2.6.5)
2.7. Ecuaciones de Navier-Stokes.
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel
Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen
el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan cualquier fenómeno en el que se
involucren fluidos newtonianos. Ver referencia Váldes y otros (2007).
Esencialmente la ecuación de Navier-Stokes es la ecuación del movimiento expresada úni-
camente en función del campo de velocidades v(x, t) y de presión p(x, t). Sustituyendo la
ecuación constitutiva para un fluido Newtoniano, ecuación (2.6.3) en la ecuación del momen-
to en descripción Euleriana, ecuación (2.4.10), de donde se obtiene
ρ
∂vi
∂t
+ vj∂jvi = −
∂p
∂xi
+ ρbi +
∂
∂xj
2µdij −
2
3
µ(∇ · v)δij (2.7.1)
Esta ecuación representa la forma general de las ecuaciones de Navier-Stokes. Si µ se toma
como constante, la derivada de la parte derecha de la ecuación se puede expresar como
∂
∂xj
2µdij −
2
3
µ(∇ · v)δij = µ ∇2
vi +
1
3
∂
∂xi
(∇ · v) (2.7.2)
donde ∇2
vi es el Laplaciano 1
de vi.
Para fluidos incompresibles, la ecuación de continuidad (∇·v = 0), se substituye en la ecuación
(2.7.1) y las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben de forma simplificada como
ρ
∂vi
∂t
+ vj∂jvi = −
∂p
∂xi
+ ρbi + µ∇2
vi (2.7.3)
Si además despreciamos la viscosidad, como ocurre en algunos casos cuando el flujo en estudio
se encuentra lejos de la capa l´ımite, tenemos que
1
∇2
vi = ∂
∂xj
∂vi
∂xj
= ∂2
vi
∂x2
1
+ ∂2
vi
∂x2
2
+ ∂2
vi
∂x2
3

ρ
∂vi
∂t
+ vj∂jvi = −
∂p
∂xi
+ ρbi (2.7.4)
y de esta forma se ha encontrado la ecuación de Euler.
Si se conoce la velocidad caracter´ıstica vc y la longitud caracter´ıstica del sistema, entonces
el número de Reynolds se define como Re = ρvclc/µ. Si en un flujo el número de Reynolds
es pequeño, el término convectivo se puede despreciar lo que da como resultado la siguiente
ecuación
ρ
∂vi
∂t
+
∂p
∂xi
− µ∇2
vi = ρbi (2.7.5)
que se conoce como flujo de Stokes Sin embargo, es común encontrar que la ecuación (2.7.5)
se expresa sin el término inercial.

Cap´ıtulo 3
El Método de los Elementos Finitos
3.1. Concepto de Elemento Finito
3.1.1. Sistema Discreto y Continuo
Si estudiaramos un sistema y lo separamos en sus componentes o elementos podriamos tener
dos clases de sistemas un sistema discreto o un sistema continuo. Se dice que se tiene un sis-
tema discreto cuando dicho sistema tiene un numero finito de componentes bien definidas y
pasa a ser un problema discreto. Un sistema continuo se tiene cuando la subdivisión prosigue
indefinidamente, el problema solo se puede definir haciendo uso de la ficción matemática de
infinitésimo, ello nos lleva a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un nume-
ro infinito de elementos. Un sistema discreto se puede resolver generalmente sin dificultad,
mientras que para dar solución a un sistema continuo se debe llevar a cabo formulaciones ma-
temáticas realizando una aproximación de la solución, teniendo entonces una discretización
del sistema continuo.
3.1.2. Definición del Proceso General del MEF
El Método de los Elementos Finitos (MEF) se puede resumir en dos pasos generales: el primero
es dividir el continuo en un numero finito de elementos, cuyo comportamiento se especifica
mediante un numero finito de parametros. El segundo es llevar a cabo un ensamblaje de los
elementos. Ver referencia Valdés (2008).
3.2. Discretización del MEF para Sólidos
19

20 3. El Método de los Elementos Finitos
3.2.1. Trabajo Virtual
La ecuación Fundamental para formular una aproximación por elementos finitos es el principio
del trabajo virtual, la cual es la forma débil. El principio del trabajo virtual surge como
consecuencia de la forma fuerte de la ecuación de momento y es válido tanto si las relaciones
entre tensiones y deformaciones (o entre tensiones y velocidades de deformación) son lineales
o no lineales.
Para formular la forma débil, la función de test δui(X) y la función de prueba ui(X, t) son
requeridas. El espacio de la función de test esta definido como:
δui(X) ∈ U0, U0 = δui |δui ∈ C0
(X), δui = 0 en ΓD
(3.2.1)
donde C0
describe la continuidad de la función y el dominio Γ0 esta definida por Γ0 = ΓD
∪ΓN
.
En tanto que el espacio de la función de prueba para los desplazamientos esta dado por:
ui(X, t) ∈ U, U = ui |ui ∈ C0
(X), ui = ¯ui en ΓD
(3.2.2)
Ω
δui
∂σij
δxj
+ ρbi dΩ = 0 (3.2.3)
Esta forma debil es usada debido a que el espacio de la función de prueba para los desplaza-
mientos necesita tener continuidad C1
. Para dar solución se realiza una integración por partes
del término señalado de la ecuación 3.2.3. desarrollando tenemos:
Ω
(δǫijσij − δuiρbi) dΩ −
ΓN
δui
¯tidΓ = 0 (3.2.4)
donde ¯ti = σijni
La ecuacion 3.2.4 representa el principio del trabajo virtual la cual puede ser escrita de la
siguiente forma:
δWint
− δWext
= 0 (3.2.5)
donde:
δWint
=
Ω
δǫijσijdΩ o δWint
=
Ω
δǫ : σdΩ (3.2.6)
δWext
=
Ω
δuiρbidΩ +
ΓN
δui
¯tidΓ o δWext
=
Ω
ρδu · bdΩ +
ΓN
δu · ¯tdΓ (3.2.7)
Las cuales representan el trabajo virtual externo e interno respectivamente.

3.2 Discretización del MEF para Sólidos 21
3.2.2. Discretización para Geometr´ıa Lineal
Es asumido que el dominio Ω esta discretizado por un numero finito de elementos que con-
forman la malla de los elementos finitos. Para cada elemento finito de la malla, los desplaza-
mientos están aproximados por:
uh
i (x, t) =
nnode
I=1
Ni(x)uiI(t) ∀i = 1, ndime (3.2.8)
donde NI(x) son las funciones de forma para cada nodo, nnode es el numero de nodos para el
elemento finito y uiI(t) son el valor del desplazamiento nodal en nodo I con dirección i. Si se
usa la misma función de forma en la discretización para la función de prueba como para la
función de test, entonces la forma dédil es conocida como la forma débil de Galerkin.
La discretización de la función de test está escrita como:
δuh
i (x) =
nnode
I=1
NI(x)δuiI ∀i = 1, ndime (3.2.9)
Si el tensor de deformaciones infinitesimales esta escrito en la forma:
ǫkl =
1
2
∂uk
∂xl
+
∂ul
∂xk
=
1
2
∂ui
∂xl
δik +
∂ui
∂xk
δil (3.2.10)
donde los sub´ındices ij han sido cambiados por los sub´ındices kl por simple conveniencia y
los desplazamientos u son aproximados por uh
. Entonces sustituyendo la ecuación 3.3.7 en la
ecuación 3.2.10. obtenemos:
ǫkl =
1
2
nnode
I=1
∂NI(x)
∂xl
δik +
∂NI(x)
∂xk
δil uiI(t) ∀i = 1, ndime (3.2.11)
Definiendo el tensor deformación-desplazamiento de cuarto orden como:
BiklI =
1
2
nnode
I=1
∂NI(x)
∂xl
δik +
∂NI(x)
∂xk
δil ∀i = 1, ndime (3.2.12)
Entonces el tensor de deformaciones infinitesimales se puede expresar como:
ǫkl = BiklIuiI (3.2.13)
Encontrando una metodologia similar para la discretización de δǫkl se tiene la siguiente ecua-
ción:

δǫkl = BiklIδuiI (3.2.14)
Recordando que el trabajo puede ser obtenido como el producto de una fuerza por distancia,
las fuerzas internas surgen de el trabajo virtual interno como:
δWint
= δuiIfint
il =
Ω
δǫklσkldΩ (3.2.15)
Sustituyendo la ecuación 3.2.14 en la parte derecha de la ecuación 3.3.14, tenemos:
δWint
= δuiIfint
il = δuiI
Ω
BiklIσkldΩ (3.2.16)
de donde encontramos que las fuerzas internas quedan expresadas como:
fint
il =
Ω
BiklIσkldΩ (3.2.17)
donde el tensor de esfuerzos se puede encontrar usando apropiadamente una ecuación consti-
tutiva y reemplazando la ecuación 3.2.13 tenemos:
σkl = Cklmnǫmn = CklmnBjmnJujJ
(3.2.18)
Hasta aqu´ı es recomendable el uso de la notación de Voigt para expresar la Ecuación 3.2.17
de la siguiente manera:
fint
a =
Ω
BT
abσbdΩ ó fint =
Ω
BT
{σ} dΩ ó fint
I =
Ω
BT
I {σ} dΩ (3.2.19)
donde las fuerzas internas fint
a = fint
iI y la posición de los sub´ındices esta dada por:
a = (I − 1) ndime + i (3.2.20)
Las componentes de esfuerzo de Cauchy son transformadas por la regla de Voigt para proble-
mas en 3D como se muestra en el cuadro 3.1.
El tensor deformación-desplazamientos BI para un nodo en particular I en notación de Voigt
para problemas de 3D está dado por 3.2.21.

3.2 Discretizaci´on del MEF para S´olidos 23
σij σa
i j a
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2 3 4
1 3 5
1 2 6
Tabla 3.1 Regla de Voigt para esfuerzos en 3D
σij σa
i j a
1 1 1
2 2 2
1 2 3
Tabla 3.2 Regla de Voigt paara esfuerzos en 2D
BI =



















∂NI
∂x1
0 0
0 ∂NI
∂x2
0
0 0 ∂NI
∂x3
0 ∂NI
∂x3
∂NI
∂x2
∂NI
∂x3
0 ∂NI
∂x1
∂NI
∂x2
∂NI
∂x1
0



















(3.2.21)
De manera similar se producen para 2D teniendo el cuadro 3.2 para la transformacion de
Voigt.

El tensor deformación-desplazamientos:
BI =






∂NI
∂x1
0
0 ∂NI
∂x2
∂NI
∂x2
∂NI
∂x1






(3.2.22)
Algunas veces se prefiere exprezar la ecuación 3.2.19 de la siguiente forma:
fint
I =
Ω
BT
I CBJ uJ dΩ (3.2.23)
donde {σ} = C {ǫ} y {ǫ} = BJ uJ . Por consecuencia la rigidez esta dada por:
KIJ =
Ω
BT
I CBJ dΩ (3.2.24)
Y entonces las fuerzas internas se quedan exprezadas por:
fint
I = KIJ uJ (3.2.25)
3.2.3. Discretización para Geometr´ıa No-Lineal
Para no linealidad tenemos una discretización similar siguiendo el mismo procedimiento te-
nemos que, las fuerzas internas usando notación de Voigt son
fint
iI =
Ω0
BT
abSbdΩ0fint
iI =
Ω0
BT
{S}dΩ0fint
I =
Ω0
BT
I {S}dΩ0 (3.2.26)
y el tensor BI en notación de Voigt para problemas en 3D es
BI =
























∂NI
∂ξ1
∂xh
1
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
2
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
3
∂ξ1
∂NI
∂ξ2
∂xh
1
∂ξ2
∂NI
∂ξ2
∂xh
2
∂ξ2
∂NI
∂ξ2
∂xh
3
∂ξ2
∂NI
∂ξ3
∂xh
1
∂ξ3
∂NI
∂ξ3
∂xh
2
∂ξ3
∂NI
∂ξ3
∂xh
3
∂ξ3
∂NI
∂ξ2
∂xh
1
∂ξ3 + ∂NI
∂ξ3
∂xh
1
∂ξ2
∂NI
∂ξ2
∂xh
2
∂ξ3 + ∂NI
∂ξ3
∂xh
2
∂ξ2
∂NI
∂ξ2
∂xh
3
∂ξ3 + ∂NI
∂ξ3
∂xh
3
∂ξ2
∂NI
∂ξ1
∂xh
1
∂ξ3 + ∂NI
∂ξ3
∂xh
1
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
2
∂ξ3 + ∂NI
∂ξ3
∂xh
2
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
3
∂ξ3 + ∂NI
∂ξ3
∂xh
3
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
1
∂ξ2 + ∂NI
∂ξ2
∂xh
1
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
2
∂ξ2 + ∂NI
∂ξ2
∂xh
2
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
3
∂ξ2 + ∂NI
∂ξ2
∂xh
3
∂ξ1
























(3.2.27)

3.3 Elemento Finito de Membrana 25
Las fuerzas externas estan dadas por
fext
iI =
Ω0
NIρ0bidΩ0 +
ΓN
0
NI
¯t0
i dΓ0 (3.2.28)
y las fuerzas cinéticas, las cuales son una consecuencia del trabajo virtual cinético, vienen
dadas por
fcin
iI =
Ω0
NIρ0NJ üiJ dΩ0 = fcin
iI =
Ω0
NIρ0NJ dΩ0 üiJ (3.2.29)
Aunque es común expresar la fuerzas cinéticas como el producto de la matriz de masa y las
aceleraciones
MijIJ = δij
Ω0
ρ0NINJ dΩ0 (3.2.30)
Expresando las fuerzas cinéticas como
fcin
iI = MijIJ UiJ = MijIJ ajJ (3.2.31)
Finalmente la ecuación de movimiento está dada por
fint
iI + MijIJ ajJ = fext
iI o fint
+ Ma = fext
(3.2.32)
3.3. Elemento Finito de Membrana
3.3.1. Formulación de Membrana.
La formulación de membrana se tomó directamente de las investigaciones realizadas por
Váldes y otros (2007). Lo primero que se tiene que hacer es definir las coordenadas a uti-
lizar en la formulación. Puesto que en general las membranas pueden ser estructuras curvas,
en este trabajo se hace la deducción de la formulación utilizada en coordenadas curvilineas.
Para empezar, se definen las coordenadas curvilinear en configuración de referencia, que
se expresan por
X = X ξ1
, ξ2
(3.3.1)
mientras que las coordenadas curvilineas en configuración deformada se define por
x = x ξ1
, ξ2
, t (3.3.2)
La razón de escribir tanto las coordenadas en configuración de referencia como deformada
es porque al tratarse de estructuras altamente no-lineales, se hará un planteamiento que nos
permita hacer una formulación geometricamente no-lineal.

Figura 3.1 Coordenadas curvilineas.
Las bases covariantes de coordenadas curvilineas definidas en cornfiguración de referencia
y deformada respectivamente son:
Gα =
∂X
∂ξα
, gα =
∂x
∂ξα
(3.3.3)
y forman un plano tangente a la superficie de la membrana, tal como se aprecia en la
figura 3.2
Figura 3.2 Vector base covariante formando un plano tangente.
De esta manera, las normales a la membrana se determinan por

G3 = G1 × G2, N =
G3
G3
, g3 = g1 × g2, n =
g3
g3
(3.3.4)
en la configuración de referencia y deformanda respectivamente, y las normales son normaliza-
das de manera que sean unitarias. Los componentes métricos del tensor covariante se definen
por
Gαβ = Gα · Gβ, gαβ = gα · gβ (3.3.5)
para la configuración de referencia y deformada respectivamente. Los componentes covariantes
del tensor métrico se definen por
Gα
= Gαβ
· Gβ, gα
= gαβ
· gβ (3.3.6)
en configuración de referencia y deformada respectivamente. Los vectores contravariantes en
Ω0 y Ω son respectivamente
Gα = Gαβ · Gβ
, gα = gαβ · gβ
(3.3.7)
donde los componentes contravariantes del tensor métrico se obtienen a partir de
Gα
· Gβ = δα
β , gα
· gβ = δα
β (3.3.8)
donde δα
β es la Delta de Kronecker y tiene los siguientes valores
δα
β =
1 cuando α = β
0 cuando α = β
(3.3.9)
El tensor material gradiente de deformación en coordenadas curvilineas se expresa por
F = gα ⊗ Gα
, FT
= Gα
⊗ gα, F−1
= Gα ⊗ gα
, F−T
= gα
⊗ Gα (3.3.10)
cuyos valores se pueden sustitutir en el tensor de deformación de Green-Lagrange para obtener
E =
1
2
FT
· F − I = Gα
⊗ gα · gβ ⊗ Gβ
− GαβGα
⊗ Gβ
(3.3.11)
de donde se obtienen los componentes sobre la superficie de la membrana es un estado de
esfuerzo plano
E = EαβGα
⊗ Gβ
, Eαβ =
1
2
(gαβ − Gαβ) (3.3.12)
Utilizando una ecuación constitutiva apropiada, en este caso la ecuación bidimensional de
esfuerzo plano, se obtienen los valores del tensor de esfuerzos, que conjugado en potencia
resulta ser el 2◦
tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff, definido como

S = Sαβ
Gα ⊗ Gβ (3.3.13)
Finalmente, el trabajo virtual interno expresado en coordenadas curvilineas es
δWint
=
Ω0
δEαβSαβ
dΩ0 (3.3.14)
el cual tras una apropiada discretización se terminará expresando en coordenadas cartesianas.
3.3.2. Discretización del MEF para Membrana.
3.3.2.1. Discretización en coordenadas curvilineas.
La discretización se plantea para una Formulación Lagrangiana Total y los elementos finitos
utilizados provienen de un espacio isoparamétrico, cuyas coordenadas locales se denotan por
ξα
y representan las coordenadas curvil´ıneas del elemento plano. De esta manera, la ecuación
de posición en coordenadas materiales se discretiza por
Xh
(ξ) =
nnode
I=1
NI (ξ) XI o Xh
i (ξ) =
nnode
I=1
NI (ξ) XiI ∀i = 1, ndime (3.3.15)
donde NI (ξ) representa las funciones de forma del elemento. De manera similar, la ecuación
del movimiento se discretiza por
xh
(ξ, t) =
nnode
I=1
NI (ξ) xI(t) o xh
i (ξ, t) =
nnode
I=1
NI (ξ) xiI(t) ∀i = 1, ndime (3.3.16)
y el campo de los desplazamientos resulta ser
uh
(ξ, t) =
nnode
I=1
NI (ξ) uI(t) o uh
i (ξ, t) =
nnode
I=1
NI (ξ) uiI(t) ∀i = 1, ndime (3.3.17)
Susutituyendo los valores adecuados, se obtienen los vectores base covariante en coordenadas
curvilineas para la configuración de referencia que se expresa por
Gα =
∂
∂ξα
nnode
I=1
NI (ξ) XI =
nnode
I=1
NI,α (ξ) XI (3.3.18)
donde la derivada de las funciones de forma es
NI,α =
∂NI(ξ)
∂ξα
(3.3.19)

Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen los componentes del vector base covariante en
coordenadas curvilineas para la configuración deformada, siendo estas
gα =
nnode
I=1
NI,αxI(t) (3.3.20)
Con estas ecuaciones, se obtienes los componentes del tensor de deformación de Green-
Lagrange
Eαβ =
1
2
(gαβ − Gαβ) (3.3.21)
cuya variación es
δEαβ =
1
2
δ(gαβ − Gαβ) =
1
2
δgαβ (3.3.22)
Ahora se desarrolla la siguiente ecuación que nos permitirá discretizar de manera adecuada
la variación anterior
δgαβ = δgα · gβ + gα · δgβ (3.3.23)
cuyas componentes se discretizan por
δgα =
nnode
I=1
NI,αδxI =
nnode
I=1
NI,αδuI (3.3.24)
Sustituyendo los valores correspondientes se puede obtener la variación de los tensores métricos
dando lugar a
δgαβ =
nnode
I=1
NI,αδuiI ·
nnode
J=1
NJ,βxiJ +
nnode
J=1
NJ,αxiJ ·
nnode
I=1
NI,βδuiI (3.3.25)
con lo cual se obtiene la variación del tensor de deformación de Green-Lagrange que se expresa
mediante
2δEαβ =
nnode
I=1
NI,αδuiI ·
nnode
J=1
NJ,βxiJ +
nnode
J=1
NJ,αxiJ ·
nnode
I=1
NI,βδuiI (3.3.26)
y finalmente se obtiene el trabajo virtual interno, que discretizado queda de la siguiente
manera
2δWint
=
Ω0
nnode
I=1
NI,αδuiI ·
nnode
J=1
NJ,βxiJ Sαβ
+
nnode
J=1
NJ,αxiJ ·
nnode
I=1
NI,βδuiISαβ
dΩ0 (3.3.27)
Por otro lado, sabemos que el trabajo virtual interno se puede expresar por

δWint
=
Ω0
nnode
I=1
δuiIfint
iI ∀i = 1, ndime (3.3.28)
De donde se obtiene las fuerzas internas para la membrana
fint
iI =
Ω0
1
2
nnode
J=1
(NI,αNJ,β + NJ,αNI,β)xiJ SαβdΩ0 (3.3.29)
A partir de la ecuación anterior podemos definir el tensor de deformación-desplazamiento en
coordenadas curvilineas como
Bcur
αβiI =
1
2
nnode
J=1
(NI,αNJ,β + NJ,αNI,β)xiJ (3.3.30)
y las fuerzas internas se expresan de manera sencilla por
fint
iI =
Ω0
Bcur
αβiISαβdΩ0 (3.3.31)
donde
Bcur
αβiI =
1
2
(NI,αxh
i,β + NI,βxh
i,α) (3.3.32)
y
xh
i,α =
nnode
J=1
= NJ,αxiJ (3.3.33)
Si utilizamos la notación de Voigt, se pueden expresar las fuerzas internas en coordenadas
curvilineas por
fint
a =
Ω0
[BT
ab]cur
{Sb
}cur
dΩ0 o fint
I =
Ω0
[BT
I ]cur
{S}cur
dΩ0 (3.3.34)
donde ahora la matriz deformación-desplazamiento se expresa por
Bcur
I =








∂NI
∂ξ1
∂xh
1
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
2
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
3
∂ξ1
∂NI
∂ξ2
∂xh
1
∂ξ2
∂NI
∂ξ2
∂xh
2
∂ξ2
∂NI
∂ξ2
∂xh
3
∂ξ2
∂NI
∂ξ1
∂xh
1
∂ξ2 + ∂NI
∂ξ2
∂xh
1
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
2
∂ξ2 + ∂NI
∂ξ2
∂xh
2
∂ξ1
∂NI
∂ξ1
∂xh
3
∂ξ2 + ∂NI
∂ξ2
∂xh
3
∂ξ1








(3.3.35)
Con las ecuaciones anteriores, se encuentra que la expresión del trabajo virtual interno en
notación de Voigt se puede escribir por

δWint
= {δET
b }cur
{Sb
}cur
= {δua
}T
[δBT
ab]cur
{Sb
}cur
(3.3.36)
de donde la variación del tensor de Green-Lagrange en coordenadas curvilineas y en notación
de Voigt es
δEcur
b = Bcur
ba δua
(3.3.37)
3.3.2.2. Discretización en coordenadas cartesianas
Las ecuaciones anteriores se encuentran expresadas en coordenadas curvilineas, sin embargo
para nuestros análisis requerimos que se expresen en coordenadas cartesianas, para lo cual
partiremos de la ecuación de transformación de sistemas expresada por
Ecur
= ¯J
cur
ξ Eloc¯Jxi (3.3.38)
donde el Jacobiano de transformación en la configuración de referencia es
¯Jξ =
G1 · eloc
1 G2 · eloc
1
G1 · eloc
2 G2 · eloc
2
=
J11 J12
0 J22
(3.3.39)
De manera similar, se puede obtener la siguiente ecuación que transforma de coordenadas
curvilineas a cartesianas
Eloc = TT
ξ Ecur
Tξ (3.3.40)
donde la inversa del jacobiano se denota por
Tξ = ξ−1
=
T11 T12
0 T22
(3.3.41)
donde
T11 =
1
J11
, T12 =
−J12
J11J22
, T22 =
1
J22
(3.3.42)
En notación de Voigt, las ecuaciones anteriores se escriben mediante
{E}loc
= [Q]{Ecur
}Eloc
c = QcbEcur
b (3.3.43)
También se obtiene por otro lado la variación del tensor de Green-Lagrange dando lugar a
δEloc
= TT
ξ δEcur
Tξ (3.3.44)
el cual puede ser escrito en notación de Voigt por
{δE}loc
= [Q]{δE}cur
o δEloc
c = QcbδEcur
b (3.3.45)

En las ecuaciones anteriores se ha utilizado la matriz de transformación Q, que da el cambio
de coordenadas curvilineas a coordenadas cartesianas, y se define por
Q =


T2
11 0 0
T2
12 T2
22 T11T12
2T11T12 0 T11T22

 (3.3.46)
Entonces el trabajo virtual interno escrito en coordenadas cartesianas locales para cada ele-
mento finito es
δWint
= {δET
c }loc
Sloc
c = {δua}T
[BT
ac]loc
Sloc
c = {δua}T
[BT
ab]cur
QT
bcSloc
c (3.3.47)
donde el tensor deformación-desplazamiento expresado en coordenadas cartesianas y en no-
tación de Voigt es
Bloc
ca = QcbBcur
ba o Bloc
= QBcur
(3.3.48)
Finalmente las fuerzas internas coordenadas cartesianas locales para cada elemento finito y
en notación de Voigt están dadas por
fint
I =
Ω0
[BT
I ]cur
[QT
]{S}loc
dΩ0 =
Ω0
[BT
I ]loc
{S}loc
dΩ0 (3.3.49)
Hay que resaltar que la ecuación anterior se encuentra definida solamente en coordenadas
cartesianas locales, lo que quiere decir que es válida solamente para materiales isótropos.
Sin embargo, en este trabajo se requiere de la parte membranas solo como una componente
de la parte de flexión que en conjunto dará las fuerzas internas del elemento lámina, que a
continuación se complementa.
3.4. Elemento Finito de Lámina (Shell)
3.4.1. Formulación del Elemento Lámina
El vector de posición ˜R sobre la superficie media en la configuración de referencia esta definido
por las coordenadas curvilineas independientes ξ1, ξ2 y ζ como (Ver Váldes y otros (2007))
˜R(ξ1
, ξ2
, ζ) = X(ξ1
, ξ2
) + ζN(ξ1
, ξ2
) (3.4.1)
donde N es la normal para la superficie media sobre el dominio Ω0 y −h0
2
≤ ζ ≤ h0
2
siendo h0
el espesor de la shell en la configuración de referencia, tal como aparece en la Figura 3.1.
El vector de posición ˜r en la configuración actual está dada por
˜r(ξ1
, ξ2
, ζ, t) = x(ξ1
, ξ2
, t) + ζλ(ξ1
, ξ2
, t)n(ξ1
, ξ2
, t) (3.4.2)

3.4 Elemento Finito de Lámina (Shell) 33
Figura 3.3 Shell superficie media.
donde n es la normal para la superficie media sobre el dominio Ω y λ es el estiramiento del
espesor referido al espesor h para la deformación de la shell respecto al espesor h0 cuando la
shell no está deformada. Sin embargo el termino λ no es considerado en nuestro caso.
El vector base covariante del sistema de coordenadas curvilineas en Ω0 está definido por
˜Gα =
∂ ˜R
∂ξα
=
∂X
∂ξα
+ ζ
∂N
∂ξα
= Gα + ζN,α (3.4.3)
˜G3 =
∂ ˜R
∂ξ
= N
Aqu´ı Gα es el vector base en la configuración de referencia. Los vectores base covariante en
la configuración actual Ω estan dados por
˜gα =
∂˜r
∂ξα
=
∂x
∂ξα
+ ζ
∂n
∂ξα
= gα + ζn,α (3.4.4)
˜g3 =
∂˜r
∂ξ
= n
donde las gα son los vectores base en la configuración actual. El vector base contravariante
se obtiene a partir de las siguientes relaciones
˜G
i
· ˜Gj = δi
j, ˜gi
· ˜gj = δi
j (3.4.5)
donde δi
j es la delta de Kronecker. El tensor métrico covariante en ambas configuraciones viene
dado como
˜Gij = ˜Gi · ˜Gj, ˜gij = ˜gi · ˜gj (3.4.6)
Los componentes del tensor de deformación de Green-Lagrange vienen dados como la diferen-
cia entre el tensor métrico covariante en la configuracion actual y la de referencia de la shell
teniendo

Ej
i =
1
2
˜gij − ˜Gij (3.4.7)
El tensor de deformación de Green-Lagrange se puede desarrollar para ser escrito en la forma
Eij = ǫij + ζκij + ζ2
γij (3.4.8)
donde los componentes no-zero de la expresión anterior estan dados por
ǫαβ =
1
2
gα · gβ − Gα · Gβ ǫα3 =
1
2
(gα · n − Gα · N) ǫ33 =
1
2
(n · n − N · N) (3.4.9)
καβ = gα · n,β −Gα · N,β (3.4.10)
γαβ =
1
2
(n,α ·n,β −N,α ·n,β ) (3.4.11)
En este trabajo se han utilizado solamente láminas que trabajan con la teor´ıa de Kirchhoff-
Love para láminas delgadas, por lo que la normal n coincide en todo momento con la normal
de la superficie media del elemento. Por lo tanto, todos los valores ǫα3 y ǫ33 desaparecen y los
valores ζ2
se desprecian en el caso de láminas delgadas.
Estas consideraciones permiten obtener los componentes del tensor de deformación de
Green-Lagrange a partir de la deformación de la superficie media de la lámina como
Eαβ = ǫαβ + ζκαβ = Ememb
αβ + ζEbend
αβ (3.4.12)
donde
ǫαβ =
1
2
(gαβ − Gαβ) (3.4.13)
mide las deformaciones de membrana y es exactamente la misma que se expresa en el apartado
de membranas anteriormente descrito. Por otro lado, se va a desarrollar la parte de flexión de
la lámina, la cual es conveniente escribir de la siguente manera
καβ = Gα,β · N − gα,β · n = Kαβ − kαβ (3.4.14)
La variación del tensor de deformación de Green-Lagrange se puede descomponer en dos
partes, dando como resultado
δEαβ = δmemb
αβ + ζδbend
αβ (3.4.15)
Usando una ecuación constitutiva apropiada para relacionar el tensor de deformación de
Green-Lagrange con el tensor de esfuerzos, se puede obtener trabajo virtual interno que viene
expresado por

δWint
=
¯Ω0
+ h
2
− h
2
δEαβSαβ
dζd ¯Ω0 (3.4.16)
3.4.2. Discretización del MEF para Láminas
La discretización utilizada en este trabajo hace referencia a la formulación del tipo Lagran-
giana Total. Ya que la parte de deformaciones membranales ya se discretizó, abordaremos
solamente de manera general la parte de deformaciones por flexión.
Ya que las formulaciones geométricamente no-lineales son muy complejas cuando existen
grados de libertad por rotación, en este trabajo se utiliza el elemento de lámina denominado
triángulo de sin-rotación que a pesar de las apariencias que pueda ocasionar el no tener grados
de libertad de rotación asociados a la felxión, permite obtener soluciones geometricamente
exactas para láminas no-lineales utilizando solamente grados de libertad de desplazamiento.
Esto se consigue utilizando un patch de elementos que forman un elemento principal del tipo
triangular y sus tres elementos laterales.
La parte de flexión de la lámina se discretiza a partir del trabajo virtual interno de flexión,
el cual está expresado por
δWint
=
¯Ω0
+ h
2
− h
2
δEbend
αβ Sαβ
bendd ¯Ω0dζ (3.4.17)
Las deformaciones debidas a la flexión en la configuración deformada se expresan por
kαβ = gα,β · n (3.4.18)
las cuales pueden ser escritas de la siguiente manera
kαβ =
1
A0 ¯Ω0
gα,βd ¯Ω0 · n (3.4.19)
y después de aplicar el teorema de la divergencia se transforma en
kαβ =
1
A0 ¯Γ0
¯nβgαd ¯Γ0 · n (3.4.20)
Aqu´ı ya se hacen operaciones para un tipo de elemento en particular y es que al hacer la
formulación para un elemento triangular de 3 nodos, existen 3 elementos adyacentes, lo que
nos permite expresar la curvatura de la siguiente manera
kαβ =
1
A0
nsides
J=1
lJ
¯nJ
βgα · n (3.4.21)

Para hacer una discretización consistente con el sistema cartesiano de la parte membranal, se
cambia la parte de flexión de coordenadas curvilineas a coordenadas cartesianas, para lo cual
las bases covariantes se escriben explicitamente por
g1
g2
=
nnode
I=1


∂NI
∂ξ
∂NI
∂η

 xI(t) (3.4.22)
El jacobiano para hacer dichas transformaciones es
Jξ =
g1 · efib
1 g2 · efib
1
g1 · efib
2 g2 · efib
2
(3.4.23)
y entonces, las derivadas cartesianas se pueden obtener a partir de la siguiente expresión


∂NI
∂x
∂NI
∂y

 = J−T
ξ


∂NI
∂ξ
∂NI
∂η

 (3.4.24)
Entonces, la base covariante se puede escribir en forma cartesiana de la siguiente manera
xh
,1
xh
,2
=
nnode
I=1


∂NI
∂x
∂NI
∂y

 xI(t) (3.4.25)
Las curvaturas en configuración deformada, escritas en notación de Voigt se expresan como
viene dado a continuación


k11
k22
k12

 =
1
A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1




xh
,1 · n
xh
,2 · n

 (3.4.26)
Debido a los problemas de curvatura que presentan los elementos triangulares de tres nodos,
se recurre a la utilización del patch de manera que se toman en cuenta la deformación de
los elementos adyacentes y de esta forma se puedan calcular las curvaturas adecuadamente.
Entonces, la ecuación de las curvaturas en configuración deformada se expresan por


k11
k22
k12

 =
1
A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1




1
2
(xM
,1 + xJ
,1) · n
1
2
(xM
,2 + xJ
,2) · n

 (3.4.27)
las cuales se pueden simplificar para obtener


k11
k22
k12

 =
1
2A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1




xJ
,1 · n
xJ
,2 · n

 (3.4.28)

donde se ha utilizado la siguiente expresión
xJ
,1
xJ
,2
=
nnode
I=1



∂NJ
I
∂x
∂NJ
I
∂y


 xJ
I (3.4.29)
El mismo procedimiento puedes ser utilizado para encontrar las deformaciones por flexión en
la configuración de referencia, llegando a


K11
K22
K12

 =
1
2A0
nsides
J=1
LJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1




XJ
,1 · N
XJ
,2 · N

 (3.4.30)
Finalmente el tensor de deformación por flexión en notación de Voigt esta dado por
{E}bend
=


κ11
κ22
κ12

 =


K11
K22
K12

 −


k11
k22
k12

 (3.4.31)
cuya variación es
δ{E}bend
=


δκ11
δκ22
δκ12

 = −


δk11
δk22
δk12

 (3.4.32)
donde


δk11
δk22
δk12

 =
1
2A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1




δ(xJ
,1 · n)
δ(xJ
,2 · n)

 (3.4.33)
Tras una apropiada discretización de la parte variacional se llega a obtener


δk11
δk22
δk12

 =
1
2A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1


nnode
I=1



∂NJ
I
∂x
∂NJ
I
∂y


 n · δuJ
I +
−
1
2A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1


nnode
I=1


∂NI
∂x
xJ
,1 · ˜xh
,1 + ∂NI
∂y
xJ
,1 · ˜xh
,2
∂NI
∂x
xJ
,2 · ˜xh
,1 + ∂NI
∂y
xJ
,2 · ˜xh
,2

 n · δuI (3.4.34)
y finalmente la variación del tensor en su parte de flexión se escribe como

δ{E}bend
=
1
2A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1


nnode
I=1


∂NI
∂x
xJ
,1 · ˜xh
,1 + ∂NI
∂y
xJ
,1 · ˜xh
,2
∂NI
∂x
xJ
,2 · ˜xh
,1 + ∂NI
∂y
xJ
,2 · ˜xh
,2

 n · δuI+
−
1
2A0
nsides
J=1
lJ


¯nJ
1 0
0 ¯nJ
2
¯nJ
2 ¯nJ
1


nnode
I=1



∂NJ
I
∂x
∂NJ
I
∂y


 n · δuJ
I (3.4.35)
La expresión anteriormente descrita se puede simplificar y escribirse en forma compacta como
δ{E}bend
= [B]main
δuI + [B]adj
δuJ
I (3.4.36)
donde ha aparecido la expresión para la matriz deformación-desplazamiento por flexión para el
elemento principal [B]main
y una correspondiente para los elementos adyacentes denominada
[B]adj
. La matriz completa de deformación-desplazamiento para la flexión se expresa por
[B]bend
= [B]main
+ [B]adj
(3.4.37)
3.5. Elementos Mecánicos: Fuerzas y Momentos
Los resultados proporcionados por el elemento lámina son deformaciones de membrana y de
flexión, asociadas a esfuerzos. Estos últimos se pueden transformar para dar lugar a fuer-
zas axiales y momentos flexionantes que son de gran utilidad desde el punto de vista de la
ingenier´ıa civil.
La ecuación que nos permite encontrar los esfuerzos se presenta a continuación y toma en
cuenta las deformaciones de membrana y flexión vistas anteriormente, lo que da lugar a
{S} = [C] · {E} = [C] · {E}memb
+ ζ{E}bend
(3.5.1)
El trabajo virtual correspondiente se puede encontrar utilizando la siguiente ecuación
δWint
=
¯Ω0
+ h
2
− h
2
δ{E}memb
+ ζδ{E}bend
· [C] {E}memb
+ ζ{E}bend
dζd ¯Ω0 (3.5.2)
la cual se puede dividir en dos partes, de donde se obtiene
δWint
=
¯Ω0
+ h
2
− h
2
δ{E}memb
· [C]{E}memb
dζd ¯Ω0+
¯Ω0
+ h
2
− h
2
ζ2
{E}memb
· [C]{E}memb
dζd ¯Ω0 (3.5.3)

3.6 Elementos Finitos para Fluidos 39
Ya que en este trabajo se está utilizando una modelo linealmente material para la ecuación
constitutiva, la integración del trabajo interno se puede calcular explicitamente para dar lugar
a
δWint
= A0hδ{E}memb
· [C]{E}memb
+ A0
h3
12
δ{E}bend
· [C]{E}bend
(3.5.4)
donde las fuerzas axiales {N}res
y los momentos flexionantes {M}res
se obtiene a partir de
{N}res
= h[C]{E}memb
{M}res
=
h3
12
[C]{E}bend
(3.5.5)
Finalmente la expresión de las fuerzas internas para la lámina con elementos sin grados de
libertad por rotación son
fint
= A0 BT memb
{N}res
+ A0 BT bend
{M}res
(3.5.6)
donde todas las expresiones relacionadas con la parte membranas se vieron en el tema anterior.
3.6. Elementos Finitos para Fluidos
Una parte muy importante utilizada en este trabajo está relacionada con la dinámica compu-
tacional de fluidos, que a diferencia de la parte estructural que está formulada en la configu-
ración lagrangiana, la parte de fluidos se formulará en configuración euleriana.
Las ecuaciones del continuo que se utilizan para resolver la parte del fluido son: las ecua-
ciones de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad, ya que se trata de fluidos incompresibles
que para el caso de fluidos compresibles como el viento, se puede utilizar la misma formulación
que para fluidos incompresibles si se manejan velocidades menos a Mach 0.3.
Las ecuaciones del continuo para Navier-Stokes en el caso incompresible son
Ω
δvi ρ
∂vi
∂t
+ ρvj
∂vi
∂xj
dΩ −
Ω
p
∂δvi
∂xi
dΩ +
Ω
µ
∂vi
∂xj
∂δvi
∂xj
dΩ =
Ω
δviρbidΩ (3.6.1)
mientras que para la parte de la incompresibilidad de la ecuación de continuidad es
Ω
δp
∂vj
∂xj
dΩ = 0 (3.6.2)
La discretización de las velocidades usando la forma debil de Galerkin para cualquier tipo
de elemento finito es
vh
i (x, t) =
nnode
I=1
NI(x)viI(t) ∀i = 1, ndime (3.6.3)

donde NI(x) son las funciones de forma en coordenadas eulerianas y viI(t) son los valores
nodales de la campo de la velocidad. Las funciones varacionales de la velocidad vienen dadas
por
δvh
i (x) =
nnode
I=1
NI(x)δviI ∀i = 1, ndime (3.6.4)
La aceleración se encuentra utilizando la derivada material de la velocidad, la cual es aproxi-
mada de manera discreta por
∂vh
i (x, t)
∂t
=
nnode
I=1
NI(x)˙viI(t) ∀i = 1, ndime (3.6.5)
Los gradientes de la velocidad y de la variación de la velocidad se discretizan por
∂vh
i (x, t)
∂xj
=
nnode
I=1
∂NI(x)
∂xj
viI(t) ∀i, j = 1, ndime (3.6.6)
∂δvh
i (x)
∂xj
=
nnode
I=1
∂NI(x)
∂xj
δviI ∀i, j = 1, ndime (3.6.7)
mientras que la divergencias se obtienen por
∂δvh
i (x)
∂xi
=
nnode
I=1
nnode
i=1
∂NI(x)
∂xi
δviI (3.6.8)
∂vh
i (x, t)
∂xi
=
nnode
I=1
nnode
i=1
∂NI(x, t)
∂xi
δviI(t) (3.6.9)
Por otro lado, la presión se aproxima mediante la siguiente ecuación
p(x, t)
nnode
I=1
NI(x)pI(t) (3.6.10)
mientras que su variación de la presión es
δp(x)
nnode
I=1
NI(x)δpI (3.6.11)
Con las ecuaciones anteriormente vistas, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se
discretizan de la siguiente manera

3.6 Elementos Finitos para Fluidos 41
Ω
δvh
i ρ
∂vh
i
∂t
dΩ = δviI
Ω
NIρNJ ˙viJ dΩ
= δviI
Ω
NIρNJ δijdΩ˙vjJ
= δviIMijIJ ˙vjJ
(3.6.12)
donde la matriz de masa en descripción euleriana es
MijIJ = δij
Ω
ρNINJ dΩ (3.6.13)
La discretización del término convectivo se expresa por
Ω
δvh
i ρvh
j
∂vh
i
∂xj
dΩ = δviI
Ω
NIρvh
∂NJ
∂xj
viJ dΩ
= δviI
Ω
NIρvh
∂NJ
∂xj
δijdΩvjJ
= δviIKc
ijIJ vij
(3.6.14)
donde vh es la aproximación del vector velocidad, y la matriz de rigidez del término convectivo
se define por
Kc
ijIJ = δij
Ω
ρNIvh
∂NJ
∂xj
dΩ (3.6.15)
El término de la presión queda discretizado por
Ω
p
∂δvh
i
∂xi
dΩ = δviI
Ω
∂NI
∂xi
NJ pJ dΩ = δviIGiIJ pJ (3.6.16)
donde se ha utilizado la siguiente expresión en el término de la presión
GiIJ =
Ω
∂NI
∂xi
NJ dΩ (3.6.17)
El término viscoso, por otra parte, se aproxima mediante
Ω
∂vh
i
∂xj
∂δvh
i
∂xi
dΩ = δviI
Ω
∂NI
∂xj
µ
∂NJ
∂xj
viJ dΩ
= δviI
Ω
∂NI
∂xj
µ
∂NJ
∂xj
δijdΩviJ
= δviIKv
ijIJ vjJ
(3.6.18)

donde la matriz de rigidez del término viscoso esta dada por
Kv
ijIJ = δijµ
Ω
∂NI
∂xj
µ
∂NJ
∂xj
dΩ (3.6.19)
Ya que la variación de la velocidad δviI es arbitraria, entonces las fuerzas resultantes de las
expresiones de Navier-Stokes se pueden escribir de manera matricial de la siguiente manera
M ˙v + K(v)v − Gp = fext
(3.6.20)
donde la rigidez K(v) comprende tanto la parte viscosa como la parte convectiva. La forma
matemática compacta de al ecuación anterior es
(∂tvh, wh) + c(vh, vh, wh) − b(ph, wh) + a(vh, wh) = (bh, wh) (3.6.21)
donde se ha introducido una nueva función de test dada por
w(x) =
nnode
I=1
NI(x) (3.6.22)
Por otro lado, partiendo de la ecuación de continuidad se ha discretizado término que le da
su carácter de incompresibilidad a las ecuaciones de Navier-Stokes, de donde la divergencia
de la velocidad se discretiza por
Ω
δp
∂δvh
j
∂xi
dΩ = δpI
Ω
NI
∂NJ
∂xi
vjJ dΩ = δpIGT
jIJ vjJ (3.6.23)
donde la matriz de divergencia es
GT
jIJ
Ω
NI
∂NJ
∂xj
dΩ (3.6.24)
Ya que la variación de la presión es arbitraria, entonces la ecuación de continuidad se puede
escribir reducida de la siguiente manera
GT
v = 0 (3.6.25)
la cual puede ser escrita en forma compacta utilizando la siguiente expresión matemática
b(qh, vh) = 0 (3.6.26)
donde la función de prueba se discretiza por
qh(x) =
nnode
I=1
NI(x) (3.6.27)

3.7 Interacción Fluido-Estructura 43
Finalmente hay que resaltar que tanto las ecuaciones de Navier-Stokes conjuntamente con la
ecuación de continuidad están acopladas, de manera que el problema a resolver se reduce a
resolver las siguientes ecuaciones monol´ıticamente
M ˙v + K(v)v − Gp = fext
GT
v = 0
(3.6.28)
Las ecuaciones anteriores se expresan matemáticamente en forma compacta por
(˙vh, wh) + c(vh, vh, wh) − b(ph, wh) + a(vh, wh) = (bh, wh)
b(qh, vh) = 0
(3.6.29)
ecuaciones que conducen finalmente al planteamiento de un sistema de ecuaciones. Hay que
resaltar que para que dichas ecuaciones funcionen adecuadamente, hay que estabilizarlas me-
diante algún método conocido, como lo es el método de SUPG, SUPG/PSPG, ASGS o OSS.
En este trabajo se optó por utilizar el método de las sub-escalas ortogonales OSS del Prof.
Ramón Codina.
3.7. Interacción Fluido-Estructura
Una vez que se ha trabajado en la formulación y discretización tanto de la parte de sólidos y
estructuras, como de la parte de fluidos (viento), el siguiente paso es resolver la interacción
que hay entre ellos para de esta forma poder predecir la aeroelasticidad del sistema de una
manera conjunta. El procedimiento de cálculo es el siguiente (Ver Váldes y otros (2007)):
1. Se resuelve el fluido con las velocidades de diseño calculadas
2. Se calculan las fuerzas de fluido sobre la estructura
3. Se pasan las fuerzas de fluido al solver de la estructura
4. Se resuelve la estructura con las fuerzas del fluido proporcionadas
5. Se pasan los desplazamientos al solver del fluido
6. Se mueve el dominio del fluido para que se ajuste al contorno de la estructura
7. Se repite el procedimiento desde el paso 1.
Estos sencillos pasos se hacen para cada instante de tiempo de análisis, que en la mayor´ıa
de los cálculos basados en ingenier´ıa civil tienen un valor de una milésima de segundo.
Hay que resaltar que tanto la parte estructural como la del fluido son no-lineales, por lo
que se necesitan de varias iteraciones en un mismo paso de tiempo para encontrar la solución
adecuada de un solo paso de tiempo (pasos del 1. al 7.) y después repetir el proceso tantas
veces sea necesario.

Cap´ıtulo 4
Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
4.1. Antecedentes.
El análisis comprenderá la versión tanto de 1993 como de 2008 del Manual de Diseño por
Viento de la CFE. La estructura analizada, en este caso una chimenea de acero está ubicada
en la ciudad de Salamanca, Guanajuato. En el interior de la Refiner´ıa de Salamanca Ing.
Antonio M. Amor, la cual pertenece a Petróleos Mexicanos empresa más reconocida como
PEMEX.
Esta Chimenea presenta una geometr´ıa de tipo tronco-cónica en su parte de faldón y
una forma cil´ındrica en su parte superior además presenta dimensiones considerables, pues
tiene una altura de 45.52 metros, un diámetro inferior y superior de 4.000 m y de 2.131 m
respectivamente, Figura 4.1.
Figura 4.1 Chimenea
44

4.2 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993. 45
4.2. Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por viento publicado en México 1993. Es el manual
con el que la mayor´ıa de estructuras en México han sido diseñadas considerando el efecto del
viento (Ver C.F.E. (1993)).
4.2.1. Clasificación de la Estructura.
De acuerdo al grado de seguridad de las estructuras, una chimenea debe de contar con un
grado de seguridad elevado y queda definida en el GRUPO A. De acuerdo a la sensibilidad y
respuesta dinámica ante la presencia del viento, una chimenea está clasificada como TIPO 3.
4.2.2. Velocidad de Diseño CFE 1993.
La velocidad de diseño VD, es la velocidad a partir de la cual se calculan los efectos del
viento sobre la estructura o sobre un componente de la misma. En la Figura 4.2 se muestra
el procedimiento general para calcular las cargas por viento. La velocidad de diseño en km/h
se obtendrá como
VD = FT FαVR (4.2.1)
donde
FT es un factor que depende de la topograf´ıa del sitio, adimensional.
Fα el factor que toma en cuenta el efecto combinado de las caracter´ısticas de exposición
locales, del tamaño de la construcción y de la variación de la velocidad con la altura,
adimensional.
VR la velocidad regional que le corresponde al sitio en donde se construirá la estructura en
Km/h
El factor Fα se calcula con la ecuación
Fα = FcFrz (4.2.2)
donde
Fc es el factor que determina la influencia del tamaño de la construcción, adimensional.
Frz es el factor que establece la variación de la velocidad del viento con la altura Z
en función de la rugosidad del terreno de los alrededores y esta dado para nuestro caso
como, si Z < 10 el valor de Z se toma fijo como 10 y sino
Frz = 1.56
Z
δ
α
(4.2.3)

46 4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Figura 4.2 Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento

El terreno en el que está desplantada la estructura corresponde a categor´ıa 4 y la clase de la
estructura según su tamaño se considera como Clase C.
El valor de α se toma el valor de 0.193, mientras que el valor de δ se toma el valor de
455 m. Para Fc se toma el valor de 0.90, de acuerdo a la Clase C de la estructura, y para
FT se toma el valor de 1.0 que corresponde a un terreno prácticamente plano, campo abierto,
ausencia de cambios topográficos importantes, con pendientes menores a 5 %.
Para la velocidad regional se toma el valor de 140 km/h teniendo en cuenta las condiciones
mas desfavorables para la estructura y un periodo de retorno de 200 años.
Se presenta la tabla 4.1 para las secciones consideradas en el cálculo, en la tabla 4.2 se
presentan las Velocidades de diseño y en la figura 4.3 se presentan las secciones consideradas
as´ı como diámetros y alturas.
Figura 4.3 Esquema de Secciones consideradas, CFE 1993.

Altura(m) No. Sección Z(m) VR Diam. Prom.(m) AreaExp.(m2
)
De 0.000 a 10.000 1 5.000 140 3.423 34.23
De 10.000 a 16.195 2 13.097 140 2.488 15.416
De 16.195 a 23.695 3 19.945 140 2.131 15.982
De 23.695 a 45.520 4 34.607 140 2.131 46.509
Tabla 4.1 Secciones consideradas 1,2,3,4
Sección No. Z(m) FT Fc δ α Frz Fα VD(Km/h) VD(m/s)
1 5.000 1 0.9 455 0.193 0.747 0.672 94.08 26.13
2 13.098 1 0.9 455 0.193 0.787 0.708 99.11 27.53
3 19.945 1 0.9 455 0.193 0.853 0.768 107.49 29.86
4 34.608 1 0.9 455 0.193 0.949 0.854 119.55 33.21
Tabla 4.2 Velocidades de diseño, CFE 1993.
4.2.3. Presión Dinámica de Base.
Cuando el viento actúa sobre un obstáculo, genera presiones sobre su superficie que var´ıa
según la intensidad de la velocidad y la dirección del viento. La presión que ejerce el flujo
del viento sobre una superficie plana perpendicular a él se denomina comúnmente presión
dinámica de base y se determina como
qZ = 0.0048GV 2
D (4.2.4)
donde
G es el factor de corrección por temperatura y por altura con respecto al nivel del mar.
VD la velocidad de diseño en km/h definida anteriormente.
qz la presión dinámica de base en kg/m2
.
El factor de 0.0048 corresponde a un medio de la densidad del aire 1/2 ρair y el valor de G se
obtiene como
G =
0.392Ω
273 + τ
(4.2.5)
donde
Ω es la presion barométrica, en mm de Hg.
τ la temperatura ambiental en o
C

Para la ciudad de Salmanca, Guanajuato, se tiene una altitud de 1720 m, e interpolando se
obtiene que Ω=624.72 y tomando una temperatura atmosférica de 20o
C, se obtiene un valor
para G =0.8358.
En la tabla 4.3 se muestran los valores obtenidos para la presión dinámica de base.
Sección No Z(m) Ω τ G VD(Km/h) qz(Kg/m2
)
1 5.000 624.72 20 0.8358 94.08 35.51
2 13.098 624.72 20 0.8358 99.11 39.41
3 19.945 624.72 20 0.8358 107.49 46.35
4 34.608 624.72 20 0.8358 119.55 57.34
Tabla 4.3 Presión Dinámica de base Kg/m2, CFE 1993.
4.2.4. Determinación del Tipo de Análisis.
Para determinar el tipo de análisis a considerar se deben evaluar dos condiciones
a) Relación H/D, es decir, 45.52m/4m = 11.38 > 5
b) Periodo fundamental de la estructura
El periodo fundamental de la estructura se evaluó haciendo uso del programa para análisis
estructural SAP2000 V.12. El modelo se muestra en la figura 4.4. Para el modelo se utilizaron
elementos tipo Shell. El periodo fundamental de la estructura resulto de 0.5773 seg y su
frecuencia natural de 1.7322.
Debido a los resultados anteriormente obtenidos, se realizará un análisis dinámico.
4.2.5. Análisis Dinámico, Manual CFE.
El análisis dinámico permite evaluar los empujes ocasionados por la interacción dinámica
entre el flujo del viento y las estructuras.
En el análisis dinámico, las presiones y las fuerzas de diseño que aparecen cuando el viento
actúa en una dirección dada se determinan separadamente para dos direcciones ortogonales;
una de ellas es en la dirección del viento y la otra es transversal a la anterior.
4.2.5.1. Presiones en la dirección del viento.
La presión total en la dirección del viento se calcula como
Pz = Fg Ca qz (4.2.6)
donde

Figura 4.4 Modelo SAP2000 v.12
Fg es el factor de respuesta dinámica debida a ráfagas Ecuación 4.2.6, adimensional.
Ca el coeficiente de arrastre, adimensional, depende de la forma de la estructura.
qz la presión dinámica de base en la dirección del viento en kg/m2
.
Para nuestro análisis tenemos un Coeficiente de arrastre con d/b = 0.2/2.131=0.09 y H/b =
45.52/2.131=21.36, y Ca=1.18.
Fg =
1
g2
[1 + gp (σ/µ)] (4.2.7)
donde
g es un factor de ráfaga, variable con la altura Z, ecuación (4.2.8) y si Z < 10 Z toma el
valor g = 10.
gp el factor pico o de efecto máximo de la carga de viento.

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