1. TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo, la suma de las Demostración:
longitudes de los catetos es igual a la suma
de las longitudes de la hipotenusa y el 1. AM = AB-r = AP
diámetro de la circunferencia inscrita. 2. CN = BC-r = PC
3. AC = AB-r + BC-r
4. BC+AB = AC+2r
AB + BC = AC+2r
CUADRILATERO CIRCUNSCRITO Y CIRCUNSCRIPTIBLE A UNA
CIRCUNFERENCIA
Un cuadrilátero es circunscrito cuando sus
cuatro lados son tangentes a una
circunferencia.
Un cuadrilátero es circunscriptible, cuando
puede ser circunscrito en una circunferencia.
Nota: El centro de la circunferencia, es el
punto donde se intersectan las cuatro
bisectrices interiores de los ángulos del
cuadrilátero.
TEOREMA DE PITHOT
En todo cuadrilátero circunscrito y Demostración:
circunscriptible a una circunferencia, la suma1.
de las longitudes de dos lados opuestos, es2. AE = AH = a
igual a la suma de las longitudes de los otros3. BE = BF = b
dos lados. 4. CG = CF = c
5. DG = DH = d
6.
7. Sumando y agrupando:
(AE+BE)+(CG+DG) = (BF+CF)+(AH+DH)
8.
9. Por lo tanto :
⇔ AB+CD = BC+AD

2. CUADRILATERO EXINSCRITO Y EXINSCRIPTIBLE A UNA CIRCUNFERENCIA
Un cuadrilátero exinscrito es aquel en el cual la
prolongación de sus cuatro lados son tangentes
a una misma circunferencia.
Un cuadrilátero exinscriptible, es aquel que
puede ser exinscrito en una circunferencia.
TEOREMA DE STEINER
En todo cuadrilátero ex-inscrito y ex-inscriptible a Demostración:
una circunferencia, la diferencia de las
longitudes de dos lados opuestos, es igual a la 1. CM = BC+BF
diferencia de las longitudes de los otros dos 2. AN = AB+BE
lados. 3. BE = BF
4. Por el Teorema de tangente: DM = DN
Entonces: CD+CM = AD+AN
5. Reemplazando:
CD+BC+BF = AD+AB+BE
∴ AD-BC = CD-AB

3. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. ANGULO CENTRAL 2. ANGULO INSCRITO
Formado por dos radios Formado por dos cuerdas y su vértice
está sobre la circunferencia
α = m AB (por definición)
Demostración:
a) α = θ + β
mAC
b) 2θ + 2β = mAC ⇒ θ +β =
2
mAC
c) α =
2
3. ANGULO EX-INSCRITO 4. ANGULO SEMI-INSCRITO
Formado por una secante y una cuerda Formado por una tangente y una cuerda
mBC + mBD mAC
α= α=
2 2
5. ANGULO INTERIOR 6. ANGULO EXTERIOR
Formado por dos cuerdas secantes y su Formado por dos tangentes.
vértice es un punto interior de la
circunferencia
mAMB − mANB
α=
2
mAD + mCB
α=
2
ANGULO EXTERIOR ANGULO EXTERIOR
Formado por dos secantes Formado por una tangente y una secante
mBD − mAC mAC − mAB
α= α=
2 2
ARCO CAPAZ Y CUADRILATERO INSCRIPTIBLE

4. ARCO CAPAZ DE UN ANGULO CUADRILATERO INSCRITO EN UNA
Es el lugar geométrico de todos los puntos de CIRCUNFERENCIA
un plano, tal que, al unirlos con dos puntos fijos Es aquel cuadrilátero que tiene sus cuatros
forman ángulos de medida constante. vértices sobre una misma circunferencia.
ACDEB: Arco Capaz de los ángulos que miden α CUADRILATERO INSCRIPTIBLE
m(ACDEB) = 360°- α Es aquel cuadrilátero que puede ser inscrito
AB : Segmento Capaz en una circunferencia.
TEOREMAS
1. En todo cuadrilátero inscrito en una 2. En todo cuadrilátero inscrito en una
circunferencia los ángulos opuestos son circunferencia las diagonales forman
suplementarios. ángulos congruentes con los lados
opuestos.
α + θ = 180° α =θ
β + γ = 180° β =γ
TEOREMA RECIPROCO 3. En todo cuadrilátero inscrito en una
Si en un cuadrilátero convexo las diagonales circunferencia un ángulo interior es
forman ángulos congruentes con los lados congruente con el ángulo opuesto
opuestos, entonces el cuadrilátero es exterior
inscriptible en una circunferencia.
DEMOSTRACIÓN: El triángulo ACD está inscrito
En la circunferencia, entonces
mAD
α= y m∠AED = α
2
En el triángulo ABE
α =α +θ ⇒ θ = 0
∴ B y E coinciden α =θ