Geometría Analítica: Recta, Circunferencia y Parábola

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA
1 MATEMÁTICA – 5° - 2013 PROF. LUIS CAÑEDO CORTEZ
La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución
de problemas geométricos utilizando métodos
algebraicos. El sistema que se emplea para representar
gráficas fue ideado por el filósofo y matemático
francés Descartes (1596 -1650), quien usó su nombre
latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razón se
conoce con el nombre de ejes cartesianos.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
a) Punto medio de un segmento de recta
 M = 




 
2
yy
;
2
xx 2121
b) Distancia entre dos puntos
 por el T. Pitágoras : ABH :
d = 2
12
2
12 )yy()xx( 
c) División de un segmento en una razón dada.
El punto P(x, y) divide al segmento AB en la razón
AP
r
PB
 .
PROBLEMAS:
1. Calcular la distancia entre A(5; -3/5) y B(5; -1/5).
Rpta: 2/5 u
2. Determina las coordenadas del punto P, ubicado en
el eje de abscisas, que equidista de los puntos
A(0;3) y B(-1; 4).
3. La ordenada de un punto P es 9 y la distancia de P al
punto A(4; 3) es 2 13 u. Halla la abscisa de P.
4. Se sabe que el punto S(3; 7) divide al segmento
determinado por los puntos A(5; 3) y B(x; y) en la
relación
AS 3
SB 5
 . Halla las coordenadas de B.
5. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P, si
divide al segmento AB de extremos A(5; -2) y B(7;
2) en cuatro segmentos iguales.
6. Determina la distancia del segmento que une los
puntos medios de las diagonales de un trapecio
ABCD cuyos vértices son A(6; -1), B(4; 4), C(2; 4) y
D(-4; -1).
7. Sabiendo que la distancia entre los puntos (a; 2) y
(7; a) es 22a 37 ; hallar el valor de a.
Rpta: 5
8. Si la distancia entre los puntos A(3a + 1; 3) y B(a +
1; 6) es 5 u; hallar la distancia entre los puntos C(5;
a) y D(-a; -a), siendo a< 0. Rpta: 5u
9. Se sabe que el punto S(3; 7) divide al segmento
determinado por los puntos A(5; 3) y B(x; y) en la
relación
AS 3
SB 5
 . Halla las coordenadas de B.
10. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P, si
divide al segmento AB de extremos A(5; -2) y B(7; 2)
en cuatro segmentos iguales.
PENDIENTE DE UNA RECTA.
La pendiente (m) de la recta L es la tangente
trigonométrica del ángulo de inclinación α que forma
con el eje X, medido en el sentido positivo.
Propiedades:
a) Dadas la ecuación de la recta: Ax + By + C = 0, su
pendiente será:
A
m
B


b) Las rectas L1 de pendiente m1 y L2 de pendiente m2,
serán:
 Paralelas si y sólo si: m1 = m2
 Perpendiculares si y sólo si: m1.m2 = –1
Problemas:
1. Determina la pendiente del segmento AB, siendo
A = (-2; 6) y B = (-8; -2). Rpta: 4/3
2. Determinar la pendiente del segmento que une
los puntos medios de los segmentos AB y CD, si:
A
O
y
x
(x1,y1)
(x2,y2)
(x2-x1)
d
B
(y2- y1)
xm =
ym =
P1
M
O
y
x
(x1,y1)
(xm,ym)
(x2,y2)
P2
H
x =
y =
A
P
O
y
x
(x1,y1)
(x, y)
(x2,y2)
B
B
α
A
(x2, y2)
(x1, y1)
X
Y L
2 1
2 1
L
y y
m tg
x x


 

α

2. GEOMETRÍA ANALÍTICA
2 MATEMÁTICA – 5° - 2013 PROF. LUIS CAÑEDO CORTEZ
A(-3; 2), B(6; 0), C(-2; 0) y D(1; 6). Rpta:
-1
3. Si los puntos A(-5; 2), B(a; 2a) y C(7; 8) son
colineales, determinar las coordenadas de B.
Rpta: (3; 6)
4. El ángulo de inclinación de una recta es 135°. Si
pasa por A(-2; y) y B(-7; 4), calcula el valor de y.
5. Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen
de cada una de las siguientes rectas:
a) 2y = - 8
b) 2y = - 4x + 5
c) -15 = 3x – 8y
d)
3 1
2 3
x y 

6. Si las rectas L1 y L2 son paralelas, donde:
L1 : y = (a – 5)x + 2
L2 : y = (2a – 7)x + a
Hallar el valor de a. Rpta: 2
7. ¿Para qué valor de k la recta 3x + 2y – 5 = 0 es
perpendicular a la recta kx – 5y + 8 = 0.
8. Calcula el valor de la constante k en la ecuación de
la recta 2kx – y – 1 = 0, que es paralela a la recta de
ecuación 3x– 2y+6= 0.
9. Se sabe que las rectas:
L1: 5y = (2n – 16)x + 5n
L2: (3n – 5)y = 2x + 3n – 5
Son perpendiculares. Hallar la pendiente de la
recta L3: nx + (n – 1)y + 6 = 0 Rpta: -3/2
ECUACIÓN DE LA RECTA
1. Ecuación principal: Ecuación de la recta
conociendo su pendiente m y un punto
P(0 ; b). y = mx + b
2. Ecuación punto-pendiente: Ecuación de
la recta L de pendiente m y pasa por el
punto P1(x1 ; y1) y y = m(x x )
1 1
 
3. Ecuación cartesiana: Ecuación de la recta
conociendo las coordenadas de dos de
sus puntos: P1(x1 ; y1) , P2(x2 ; y2).
 
y - y2 1y y = x x1x - x1 2 1
 
4. Ecuación simétrica de la recta. Cuando se
conoce los puntos: A(a ; 0) y B(0 ; b).
x y
+ = 1
a b
5. Ecuación general de la recta.
Ax + By + C = 0
Del cual podemos obtener:
a) La pendiente m:
A
m =
B

b) Punto de corte b con el eje “y” :
C
b =
B

Problemas:
1. Si el ángulo de inclinación de una recta es 37°,
hallar la ecuación de dicha recta, si pasa por el
punto (1; 2).
2. Hallar la ecuación general de la recta que pasa
por los puntos (1; 2) y (-3; 1).
3. Encuentra la ecuación principal de la recta que
pasa por el origen del sistema cartesiano y es
paralela a la recta que pasa por los puntos (4; 1) y
(6; 5).
4. Determinar la ecuación de la recta que tiene un
intercepto con el eje y en -3/2 y su ángulo de
inclinación es 127°.
5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por
los puntos (5; 3) y (-3; -4).
Rpta: 7x – 8y – 11 = 0
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos
1 2
;
4 3
 
 
 
y
3 1
;
4 3
 
 
 
.
Rpta: 12x + 12y – 5 = 0
7. Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa
por los puntos (0; 7) y (6; 0).
8. Una recta L de pendiente -3/2 pasa por el punto
(2; 3). Hallar el área de la región del triángulo
formado por dicha recta y los ejes coordenados.
a) 18 u2 b) 15 u2 c) 12 u2 d) 10 u2 e) 9 u2
9. Hallar la ecuación de la recta L mostrada en la
figura:
a) 3x + 4y – 24 = 0
b) 3x – 4y + 24 = 0
c) 3x + 4y + 24 = 0
d) 4x + 3y – 24 = 0
e) 4x + 3y – 12 = 0
10. Hallar la ecuación de la mediana relativa al lado
AB de un triángulo ABC, siendo A(-1; 4), B(7; 2) y
C(1; 6).
a) 5x + y – 11 = 0 b) 3x + y – 9 = 0
c) 5x – y + 1 = 0 d) 3x + 2y – 15 = 0
11. Determinar la tangente del ángulo que forman
las rectas: 3x + 2y – 5 = 0 y 2x + y + 2 = 0,
al cortarse en un punto P.
12. Determinar la ecuación de la recta cuya
pendiente es – 1 y que pasa por el punto de
intersección de las rectas: x + 2y – 12 = 0 y
x – 2y – 12 = 0
13. Determinar el valor de los coeficientes a y b de la
ecuación de la recta: ax – by + 4 = 0, que pasa por
los puntos (-3; 1) y (1 , 6).
14. Hallar la ecuación de la recta mediatriz del
segmento que tiene por extremos a: A(1; 2) y B(-1;
0).
15. Sea L una recta cuya ecuación es: 4x + 2y + m = 0; si
los puntos (m + 1; 3) y (n + 2; 5) pertenecen a la recta
L, hallar n.
a) 3 b) -3 c) 4 d) -4 e) 12
y
x
o 8
53°

3. GEOMETRÍA ANALÍTICA
3 MATEMÁTICA – 5° - 2013 PROF. LUIS CAÑEDO CORTEZ
I. LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos del plano cartesiano que equidistan de un
punto fijo llamado centro (C).
Ecuación ordinaria de la circunferencia:
a) Con centro C(h; k) y radio r:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
b) Con centro en el origen de coordenadas
C(0;0) y radio r: x2 + y2 = r2
Ecuación general de la circunferencia:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos concluir que:
( ; ) ;
2 2
D E
C h k
 
   
 
(Centro)
2 2 4
2
D E F
r
 
 (Radio)
Ejercicios:
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de
centro (5, -2) y de radio 3.
Rpta: x2
+ y2
- 10x + 4y + 20 = 0
2. Hallar la ecuación de la circunferencia de
centro (2; 1), si el punto (-2; -2) pertenece a la
circunferencia.
Rpta: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25
3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por el origen y tiene su centro en el punto común
a las rectas x + 3y – 6 = 0 ^ x – 2y – 1 = 0.
4. Si la ecuación de la circunferencia:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
tiene su centro en (2; 5) y el punto (1; 8)
pertenece a la circunferencia, hallar: D+ E+ F.
Rpta: 5
5. Determinar la ecuación de la circunferencia
de centro C(0;0) que pasa por el punto P(3; 4).
6. Hallar la ecuación general de la
circunferencia que pasa por los puntos P(4;7),
Q(0; 9) y R(3; 0) e identificar su centro radio.
Rpta: x2 + y2 – 8y – 9 = 0, C(0; 4) y r = 5
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3).
Encuentre las coordenadas del centro y el
radio.
8. Encuentra la ecuación general de la
circunferencia tangente al eje Y y con centro
en (-3; 4).
Rpta: x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0
9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
diámetro es el segmento de extremos A(2; 3)
y B(-4; -9).
Rpta: x2 + y2 + 2x + 6y – 33 = 0
10. Determinar el valor de k para que la ecuación
x2 + y2 – 10x + 8y + k = 0 representa una
circunferencia de radio 8 u.
11. Encuentra la ecuación general de la
circunferencia de radio 2 u, concéntrica con
la circunferencia x2+ y2– 4x+2y– 3= 0
Rpta: x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0
12. El centro de una circunferencia es la
intersección de las rectas L1: y – 2x – 1= 0 con
L2: x + y – 7= 0. Si ella pasa por el punto
S(6;2), halla su ecuación ordinaria.
13. Utiliza la estrategia de completar cuadrados
para obtener las coordenadas del centro y el
radio de la circunferencia de ecuación 2x2 +
2y2 – 4x + 6y + 3 = 0
14. Hallar la ecuación de la circunferencia que
contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1).
Rpta:
II. LA PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos
P(x; y) del plano cartesiano que equidistan de un
punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija
llamada directriz (L). Es decir: d(P, foco) = d(P,
directriz)
Elementos de la parábola
A
R
M
N
S
P P
H
E’
D’
D
B
EFV

4. GEOMETRÍA ANALÍTICA
4 MATEMÁTICA – 5° - 2013 PROF. LUIS CAÑEDO CORTEZ
 Recta Directriz : 'DD (d)
Eje focal : 'EE
 Foco : F
 Vértice : V
Cuerda : AB
 Cuerda Focal : RS
 Lado recto : MN (L.R. = 4p )
Ecuación de la parábola:
La ecuación para una parábola con eje focal
paralelo al eje x, vértice en (h; k) y cuya distancia
al foco es p es:
Ecuación: (y – k)2 = 4p (x – h)
Obs.-
Si : p > O  se abre hacia la derecha
p < O  se abre hacia la izquierda
La ecuación para una parábola con eje focal
paralelo al eje y, vértice en (h,k) y cuya distancia
al foco es p es:
x2 =4py
(x – h)2 = 4p(y – k)
Obs: p > O  se abre hacia arriba
p < O  se abre hacia abajo
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA:
Eje focal paralelo al eje X: y2 + Ay + Bx + C = 0
Eje focal paralelo al eje Y: x2 + Ax + By + C = 0
PROBLEMAS:
1. Hallar la ecuación de la parábola con vértice
V(0; 0) y foco F(0; 3).
2. Analiza la parábola de ecuación y2 = - 16x
3. Analiza la parábola (y + 4)2 = - 6(x – 5/2).
4. Determina el vértice, foco y directriz de la
parábola 2x2 – 12x – 40y + 98 = 0.
5. Determinar el foco de la parábola cuyo eje focal
es paralelo al eje Y, y pasa por los puntos P(0;
6), Q(2; 7) y R(4; 4).
6. Determinar la ecuación general de la parábola
cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por los
puntos P(1; 2), Q(-1; 3) y R(-8; 4).
7. Halla la ecuación general de la parábola de
vértice (2; 3), eje focal paralelo al eje Y, y que
pasa por el punto (0; 5).
8. Halla la ecuación ordinaria de la parábola si los
extremos del lado recto son (5; 4) y (5; -2).
9. Halla la ecuación ordinaria de la parábola de
vértice (3; -1), que pasa por el punto (2; -2) y
cuyo eje focal está sobre L1: y+1= 0.
10. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice
es (2; 0) y su foco (6; 0).
x
D’
O
H V F
D y
P(x,y)
H
V
F
D
O
x
y
E’ E
xV (0,0)
F
P(x,y)
y
H
D’ D
x
D
O
D’ H
y
V
P(x,y)
F
(h,k)
F(p; 0)
d: x = - p
F(0; p)
d: y = - p
Ecuación:
y2
= 4px
V(h;k) ; F(h + p, k) ; d: x= h – p
V(h;k) ; F(h, k + p) ; d: y= k – p