Teoría de Campos Electromagnéticos

1. Robotica y Cibernética
22
b) Vector unitario
Es todo vector que tiene módulo igual a 1.
Si a es un vector cualquiera, entonces el
vector unitario en la dirección de a , se de
fine, así:
a
a a
u
a a

 
 De modo que, todo vector se puede ex
presar como el producto de su módulo por
el vector unitario que le corresponde, así:
a
ˆ
a a u

Propiedad:
- Dos vectores paralelos (la misma direc
ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejemplo: 13
En la Figura, hallar B
A


 si: A

=5 u y
B

=3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u
d) 6,6 u e) 6,8 u
Solución:
 Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B.
En la Figura, los vectores A y b , expresa
dos en forma de pares ordenados, son:
A  (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
Ahora, calculemos el vector unitario en la
dirección de b , y con esto el vector B, así
b 2 2 2 1/2
( 3; 6;6)
û
[( 3) ( 6) 6 ]
 

   
b
1 2 2
û ( ; ; )
3 3 3
  
b
1 2 2
ˆ
B B u (3)( ; ; )
3 3 3
 
 
B ( 1; 2; 2)
  
Luego, la resultante de la suma de A y B,
y su módulo, son:
R (3; 4;0) ( 1; 2;2)
    
R (2; 6;2)
 
2 2 2 1/2
R [(2) ( 6) (2) ]
   
 R 6,6u

a
ua
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
D
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
b

2. Análisis Vectorial 23
PRODUCTO ESCALAR Y VECTO-
RIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean A , B y C vectores y "m", "n" esca
lares, se cumple:
1) A B B A
   (conmutativa)
2) A (B C) (A B) C
     (asociativa)
3) m A A m
 (conmutativa)
4) m (n A) (mn) A m A n
  (distributiva)
5) (m n) A m A n A
   (distributiva)
6) m (A B) m A m B
   (distributiva)
b) Producto escalar
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto es
calar o interno se representa por A B, y
se define como el producto de sus módu
los por el coseno del ángulo " "
 que for
man, esto es,
A B A B cos 

0  
 
el resultado de A B es un escalar, es de
cir, un número real positivo o negativo.
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
escalar, son:
 A B B A

 A (B C) A B A C
  
 m(A B) (mA) B A (mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j k k 1
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i j i k j k 0
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
Se verifican las siguientes relaciones:
 1 1 2 2 3 3
A B A B A B A B
  
 2 2 2 2
1 2 3
A A A A A A
   
 2 2 2 2
1 2 3
B B B B B B
   
 Si A B 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, entonces, ambos son perpendiculares
entre si.
Ejemplo: 14
¿Para qué valor de " "
 los vectores (a +
b
 ) y (a b

 ) son perpendiculares entre
sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/5
d) 5/3 e) 3/4
Solución:
 Por propiedad, si dos vectores son per
pendiculares entre sí, su producto escalar
es igual a cero así:
(a b) (a b) 0
 
  
2 2 2
a a b b a b 0
  
   
2 2 2
a b 0

 
0
A
B

RASA
03

3. Robotica y Cibernética
24
2
2
2
a a
b
b
 
   

3
5
  
c)Producto vectorial
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto
vectorial o externo se representa por AxB
y se define como el producto de sus mó
dulos por el seno del ángulo " "
 que for
man, esto es:
ˆ
AxB ABsen u


0  
 
siendo û un vector unitario que indica la
dirección del producto AxB.
Si, A B
 , o bien si A tiene la misma di
rección que B, sen 0
  , con lo que que
da probado AxB 0
 .
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
vectorial, son:
 AxB BxA
 
 Ax(B C) AxB AxC
  
 m(AxB) (mA)xB Ax(mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixi jxj kxk 0
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixj k ; jxk i ; kxi j
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
i j k
AxB A A A
B B B
 
 
  
 
 
 El módulo de AxB representa el área del
paralelogramo de lados A y B .
 Si AxB 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, ambos tienen la misma dirección.
Ejemplo: 16
Hallar el modulo (en N.m) del momento
de la fuerza F=(2; -4; 5) N aplicada al pun
to A(4; -2; 3) m, con respecto al punto
B(3; 2; -1) m.
a) 5,8 b) 6,0 c) 6,2
d) 6,4 e) 6,8
Solución:
 Calculemos el vector de posición r , así:
r A B (4; 2;3) (3; 2; 1)
     
r (1; 4; 4)
 
Con esto, calculemos el vector momento
de la fuerza, respecto del punto B, así:
B
ˆ ˆ ˆ
i j k
M r xF 1 4 4
2 4 5
 
 
  
 
 

 
A
B
C
u

RASA
C

4. Análisis Vectorial 25
B
ˆ
M [( 4)(5) ( 4)(4)] i
ˆ
[(1)(5) (2)(4)] j
ˆ
[(1)( 4) (2)( 4)] k
    
 
  
B
ˆ ˆ ˆ
M ( 20 16) i (5 8) j ( 4 8) k
       
B
ˆ ˆ ˆ
M 4 i 3 j 4 k
   
 B
M 6,4 N m

Ejemplo: 17
El vector c es perpendicular a los vecto
res a y b , el ángulo formado por a y b
es igual a 300
. Además a = 6 u, b =3
u, c =3 u. Hallar (a xb) c.
a) 21 u3
b) 23 u3
c) 25 u3
d) 27 u3
e) 29 u3
Solución:
 En la Figura, primero calculemos el
módu lo de a xb, así:
a xb a b sen

1
a xb (6)(3)( ) 9
2
 
Representación de los vectores a ,b y c ,
con a ,b contenidos en el plano XY.
Calculemos, el producto vectorial de a
por b , y luego el volumen del paralelepí
pedo formado por a , b y c , así:
a x b (9)(0; 0;1)

a x b (0; 0; 9)

(axb) c (0; 0;9) (0; 0;3)

 3
(a xb) c 27u

Ejemplo: 18
Hallar un vector unitario contenido en el
plano definido por los vectores a = (2; 2;
1) y b = (1; 0; 1) que sea perpendicular al
vector c = (1; 1; -4).
a) (2/3; 2/3; 1/3) b) (2/3; 1/3; 2/3)
c) (1/3; 2/3; 2/3) d) (1/3; 1/3; 2/3)
e) (1/3; 2/3; 1/3)
Solución:
 Primero calculemos el producto a xb:
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 2 1
1 0 1
 
 
  
 
 
a xb (2; 1; 2)
  
El vector que nos piden debe ser perpen
dicular a a xb y a c . De esto, se deduce
que debe ser colineal al vector (a xb)xc.
ˆ ˆ ˆ
i j k
(a xb)xc 2 1 2
1 1 4
 
 
  
 
 

 
(a xb)xc (6; 6;3)

(a xb)xc (6 ; 6 ; 3)
u
9
(a xb)xc
 
D
D
a
c
b
300

k 
j

5. Robotica y Cibernética
26

2 2 1
û ( ; ; )
3 3 3

c) Productos triples
Combinando productos escalares y vecto
riales de los vectores A , B y C se forman
productos de la forma:
(A B)C ; A (BxC) y Ax(BxC)
Se cumplen las siguientes relaciones:
 Ax(BxC) (Ax(B)xC

 A (BxC) B (CxA) C (AxB)
 
El módulo de esta expresión representa el
volumen del paralelepípedo de aristas A ,
B y C ; el cual se calcula así,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
A (BxC) B B B
C C C

Siendo:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
C C i C j C k
  
El producto A (BxC) se llama triple
producto escalar, en tanto, el producto
Ax(BxC) se llama triple vectorial.
 Ax(BxC) (AxB)xC

 Ax(BxC) (AxC)B (A B)C
 
(AxB)xC (AxC)B (B C)A
 

(AxB) (CxD) (A C)(B D)
(A D)(B C)
 

(AxB)x(CxD) (A (BxD))C
(A (BxC))D
 

Ax(Bx(CxD)) (AxC)(B D)
(AxD)(B C)
 
Ejemplo: 19
Hallar el volumen del paralelepípedo cons
truido sobre los vectores a = (4; 0; 0), b =
(0; 4; 0), c = (0; k; 4) k  R.
a) 60 u3
b) 62 u3
c) 64 u3
d) 66 u3
e) 68 u3
Solución:
 Representemos el paralelepípedo construí
do con los vectores a ,b y c .
El producto mixto (a xb) c es igual al vo
lumen del paralelepípedo construido sobre
los vectores a , b y c , esto es:
4 0 0
V (a xb) c 0 4 0
0 k 4
 
V (4)[(4)(4) (k)(0)]
(0)[(0)(4) (0)(0)]
(0)[(0)(k) (0)(4)]
  
 

 3
V 64u

X
Z
Y
c
a
b
C
A

6. Análisis Vectorial 27
d) Vectores y coordenadas polares
esféricas
La posición de una partícula se expresa en
coordenadas polares esféricas mediante los
valores de "r", " "
 y " "
 , siendo "r" el
módulo del vector r , el cual va del origen
a la posición de la partícula, " "
 el ángulo
comprendido entre r y el eje polar, y " "

el ángulo formado por el eje X y la proyec
ción de r sobre el plano XY. Las coorde
nadas cartesianas rectangulares (x; y; z)
que nos determinan también la posición de
la partícula P en función de la coordenadas
polares (r; ; ), vienen dados por:
x rsen cos
 
 ; y rsen sen
 

z rcos

Por ejemplo, sean 1 1 1 1
r (r ; ; )
 
 , 2
r 
2 2 2
(r ; ; )
  las posiciones de dos partícu
las, ahora si denominamos 12
 al ángulo
que forman 1
r y 2
r , entonces expresando el
producto escalar 1 2 1 2 12
r r r r cos
 , en fun
ción de î , ˆ
j, k̂ se demuestra que se cum
ple que:
12 1 2 1 2
1 2
cos sen sen cos( )
cos cos
    
 
 
Donde se ha utilizado la relación trígono
métrica,
1 2 1 2
1 2
cos( ) cos cos
sen sen
   
 
  
De ahí, la gran importancia de las coorde
nadas polares esféricas y los métodos vec
toriales.
PROYECCION Y COMPONENTES
DE UN VECTOR
a) Cosenos directores
Se denomina así, a los cosenos de los ángu
los que forma el vector A con los tres ejes
de coordenadas X, Y, Z, se cumple:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
donde, ,  y  son los ángulos formados
con los ejes x, y, z.
Ejemplo: 20
Un vector forma con los ejes OX, OY y
OZ los ángulos =1200
y =450
.¿Qué ángu
lo forma este vector con el eje OY?
a) 300
b) 370
c) 450
d) 530
e) 600
Solución:
 Sustituyendo =1200
, =450
, en la ecua
ción de los cosenos directores, hallemos el
ángulo  , así:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 o 2 2 o
cos 120 cos cos 45 1

  
X
A

Z
Y
 

0
Z
Y
0


X
P
RASA
04

7. Robotica y Cibernética
28
2
1 1 1
cos 1 cos
4 2 2
 
     
 o
1 60
  ó o
2 120
 
Ejemplo: 21
Hallar la suma de las coordenadas del pun
to M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es 3 u.
a) 5,0 u b) 5,2 u c) 5,4 u
d) 5,6 u e) 5,8 u
Solución:
 Sustituyendo el dato, ==, en la ecua
ción de los cosenos directores:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 3
3cos 1 cos
3
 
   
De otro lado, las coordenadas del punto M,
(Mx ; My ; Mz), vienen dados por:
x y z
M M M M cos 
  
x y z
M M M 3
   
Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)

ó M ( 3 ; 3 ; 3)
   
b) Proyección de un vector
La proyección ortogonal del vector a sobre
el vector b , viene dado por:
2
b
a b
Proy a ( )b
b
 , b 0

Como se aprecia la proyección de a sobre
b es un vector.
Ejemplo: 22
Hallar la proyección del vector a =(10; 5)
sobre el vector b = (3; 4).
a) (3 ; 4) b) (4 ; 3) c) (6 ; 8)
d) (8 ; 6) e) (2 ; 6)
Solución:
 Representemos el vector a , y su proyec
ción sobre el vector b .
La proyección del vector a sobre el vector
b , es un vector que tiene la misma direc
ción del vector b , y viene dado por:
b b
b
Proy a Comp a
b

b
a b b
Proy a
b b

b
(10)(3) (5)(4) (3; 4)
Proy a
5 5


b
(3; 4)
Proy a (10) (6;8)
5
 

a
b
Proy a
b
B
E
a
b

Pr oy a
b
 
RASA

8. Análisis Vectorial 29
 b
ˆ ˆ
Proy a 6 i 8 j
 
c) Componente de un vector
La componente del vector a en la direc
ción del vector b , viene dado por:
b
a b
Comp a
b
 , b 0

La componente de a en la dirección de b
es un escalar.
La relación entre la proyección y la compo
nente de un vector, viene dado po:
b b
b
Proy a Comp a
b

Ejemplo: 23
Hallar la componente del vector a =(5; 2;
5) sobre el vector b = (2; -1; 2).
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
Solución:
 En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b , es un número
real ("m"), el cual, viene dado por:
b
b
Comp a a cos a cos
b
 
 
b
a b cos a b
Comp a
b b

 
b
(5)(2) (2)( 1) (5)(2)
Comp a
3
  

 b
Comp a 6

d) Distancia de un punto a una recta
En la Figura, la distancia del punto P a la
recta L, cuya dirección es dada por el vec
tor a , viene dada por:
(P Q) n
d
a


Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec
ta L, y n un vector normal.
Ejemplo: 24
Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a
la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12)
y es paralela al vector ˆ ˆ ˆ
c 4 i j 3 k
   .
a) 19,1 u b) 19,3 u c) 19,5
u d) 19,7 u e) 19,9 u
P
Y
X
d
L
Q
0
n̂
a
a

b
Comp a
b
C
a
b

m
B

9. Robotica y Cibernética
30
Solución:
 Representemos la distancia del punto A
a la recta que pasa por B.
El vector que va de B hacia A es igual a:
ˆ ˆ ˆ
e A B 7 i j 19 k
    
La ecuación de la recta (L1) que pasa por
B, y es paralela al vector c es:
x 3 y 6 z 12
4 1 3
  
 

De otro lado, el módulo del vector c , da
do por, ˆ ˆ ˆ
c 4i j 3k
   es:
2 2 2 1/2
c [(4) ( 1) (3) ]
   
c 26

La distancia del punto A a la recta L1,
viene dado por:
exc
d
c

ˆ ˆ ˆ
i j k
1
d 7 1 19
26
4 1 3
  

1 ˆ ˆ ˆ
d 22 i 97 j 3 k
26
   
2 2 2 1/2
[( 22) ( 97) ( 3) ]
d
26
    

9902 99,51
d
5,11
26
 
 d 18,5 u

e) Distancia entre dos rectas
La distancia "d" entre las rectas no para
lelas L 1, L 2 cuyos vectores direccionales
son a y b , viene dado por:
(Q P) (a xb)
d
a xb


siendo,n un vector perpendicular a los vec
tores direccionales a , b ; y "P", "Q" pun
tos cualesquiera de las rectas L1 y L2,
respectivamente.
Ejemplo: 25
Hallar la distancia mínima entre las rectas
L1: (x+8)/2=(y-10)/3=(z-6)1, y L2: (x-1)/-
1=(y-1)/2=(z-1)/4.
a) 8,17 u b) 8,37 u c) 8,57 u
d) 8,77 u e) 8,97 u
L1
L2
n axb

Q
P
d
 RASA
Z
Y
X
A
B
c


0

k

i

j d
e
L1
C

10. Análisis Vectorial 31
Solución:
 De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a , b
de dichas rectas , son:
P ( 8;10;6) ; Q (1;1;1)
  
a (2; 3;1) y b ( 1; 2:4)
  
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el
producto vectorial a xb, así:
(Q P) (9; 9; 5)
    
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 3 1
1 2 4
 
 
  
 

 
a xb (10; 9; 7)
  
Luego, de la fórmula para la distancia en
tre dos rectas, tenemos:
(Q P) (a xb)
d
a xb


2 2 2 1/2
(9; 9; 5) (10; 9; 7)
d
[( 10) (9) (7) ]
  

  
136
d
230

 d 8,97u

f) Angulo entre dos rectas
El ángulo " "
 formado por las rectas L1,
L2 de pendientes m1=tg 1 y m2=tg 2,
viene dado por;
2 1
1 2
m m
tg
1 m m




Ejemplo: 26
Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que
pasan por las medianas trazadas desde los
vértices de los ángulos agudos de un trián
gulo rectángulo isósceles.
a) 30,870
b) 32,870
c) 34,870
d) 36,870
e) 38,870
Solución:
 En la Figura, en los triángulos rectángulos,
calculemos tg 1 y tg 2, así:
o
1 1
tg tg(180 )
 
 
o
1
1 o
1
tg180 tg
tg 2
1 tg180 tg




  

o
2 2
tg tg(180 )
 
 
o
2
1 o
2
tg180 tg 1
tg
2
1 tg180 tg




  

OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
L1
L2

0
1
X
2
Y
RASA
E
06

11. Robotica y Cibernética
32
En matemáticas, el "gradiente" es una gene
ralización multivariable de la derivada. En
tanto, que una derivada se define solo en
funciones de una sola variable, para fun
ciones de varias variables, el gradiente to
ma su lugar.
 Al igual que la derivada, el gradiente repre
senta la pendiente de la línea tangente a la
gráfica de una función. Más precisamente,
el gradiente apunta a los puntos de la gráfi
ca a los cuales la gráfica tiene un mayor
incremento. La magnitud del gradiente es
la pendiente de la gráfica en esa dirección.
 Los componentes del gradiente en coorde
nadas son los coeficientes de las variables
presentes en la ecuación del espacio tangen
te al gráfico. Esta propiedad de caracteri
zación del degradado permite se defina
independientemente de la elección del siste
ma de coordenadas, como un campo vecto
rial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformará cuando se pa
se de un sistema de coordenadas a otro.
2) Interpretación del gradiente
De forma geométrica es un vector que se
normal (perpendicular) a la curva de nivel
en el punto P(x, y) en el que se calcula el
gradiente. Por ejemplo, consideremos una
habitación en la cual la temperatura se defi
ne a través de un campo escalar, de tal ma
nera que en cualquier punto (x, y, z), la
temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que
la temperatura no varía con respecto al
tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun
to de la habitación, el gradiente en ese pun
to nos dará la dirección en la cual la tempe
ratura aumenta más rápido. La magnitud
del gradiente nos dirá que tan rápido au
menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación
 El gradiente de un campo escalar "V", o
también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera
dor diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado del gradiente del campo esca
lar "V" es un campo vectorial E , esto es,
V=E .
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación gradiente, son:
 (f+g)= f+g (Distributiva)
 (f)= f, (linealidad del operador )
 El gradiente de una función es ortogonal a
las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
 Apunta en la dirección en la que la deriva
da direccional es máxima
 La norma o módulo del gradiente es igual
a la derivada direccional máxima.
 El campo formado por el gradiente en cada
punto es siempre irrotacional, esto es:
 x (V)=0
4) Expresión matemática general
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "V"en cualquier sistema de coor
denadas ortogonales, viene dada por:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 V 1 V 1 V
ˆ ˆ ˆ
V e e e
h q h q h q
  
   
  
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas cilíndricas, q1=, q2=, q3=z, y
h=1, h=, hz=1, con lo que:
V 1 V V
ˆ ˆ ˆ
V z
 
   
  
   
  
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar.
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "" en cualquier sistema de cur
vilíneo, viene dada por:

12. Análisis Vectorial 33
ij
j
i
ˆ
g e
x



 

donde, se ha utilizado el convenio de suma
ción de Einstein.
5) Convenio de sumación de Einstein
Se llama convenio de sumación de Eins
tein a la convención utilizada para abreviar
la escritura de sumatorias, en el que se su
prime el símbolo de sumatoria representa
do por el símbolo griego .
 Este convenio se aplica en matemáticas en
especial a los cálculos realizados en álge
bra lineal destinados a la física. El conve
nio se aplica sólo a sumatorias sobre índice
repetidos.
 El convenio se usa especialmente con ten
sores donde es muy frecuente la operación
de suma sobre índices repetidos, y sería
muy fatigoso escribir explícitamente los
signos de sumatorias.
6) Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el
concepto de gradiente también puede exten
derse al caso de un campo vectorial, siendo
el gradiente de F un tensor que da el dife
rencial del campo al realizar un desplazami
ento, dado por:
v 0
dF F(r v) F(r)
(v) im
dr v

 

dF
(v) ( F) v
dr
 
 Fijada una base vectorial, este tensor podrá
representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por
las tres derivadas parciales de las tres com
ponentes del campo vectorial.
 El gradiente de deformación estará bien de
finido sólo si el límite anterior existe para
todo v y es una función continua de dicho
vector.
7) Gradiente sesgado
En matemáticas, un gradiente sesgado o
gradiente de sesgo de una función armóni
ca sobre un dominio simplemente conecta
do con dos dimensiones reales en un cam
po vectorial que está en todas partes ortogo
nalmente al gradiente de la función y que
tiene la misma magnitud que el gradiente.
8) Aplicaciones en la física
 El gradiente de una magnitud física, tal co
mo el potencial eléctrico, gravitatorio, etc..
posee innumerables aplicaciones en la físi
ca, especialmente en el electromagnetismo,
astronomía, mecánica de fluidos, etc...
 En particular, existen muchos campos vec
toriales que pueden escribirse como el gra
diente de un potencial escalar, así:
 Por ejemplo el campo electrostático E , se
deriva del potencial eléctrico V.
E V
 
 Todo campo que pueda escribirse como el
gradiente de un campo escalar, se denomi
na potencial, conservativo o irrotacional.
Así, una fuerza conservativa F deriva de la
energía potencial U, del modo siguiente:
F U
 
 Los gradientes también aparecen en los pro
cesos de difusión que verifican la ley de
Fick o la ley de Fourier para la tempera
tura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en
un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas, esto es:
q k T
  
donde, "k" es la conductividad térmica del
material o sustancia.

13. Robotica y Cibernética
34
Ejemplo: 28
Hallar el gradiente del campo escalar F, da
do por: F(x, y)=x2
+2x+y2
+y3
+xy, y evaluar
su modulo en el punto P(1; 1).
Solución:
En coordenadas rectangulares, el gradiente
del campo escalar F es:
F F
ˆ ˆ
F i j
x y
 
  
 
2 2 3
2 2 3
ˆ
F (x 2x y y xy)i
x
ˆ
(x 2x y y xy)j
y

      


   

2 2 3
2 2 3
x 2x y y xy ˆ
F ( )i
x x x x x
x 2x y y xy ˆ
( ) j
y y y y y
    
      
    
    
   
    
2
ˆ
F (2x 2 0 0 y)i
ˆ
(0 0 2y 3y x) j
      
   
2
ˆ ˆ
F (2x y 2)i (2y 3y x) j
      
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1)
y tomando su modulo, obtenemos:
1,1 1,1
ˆ ˆ
F 5i 6 j F 7,8
     
b) Divergencia
1) Definición
La divergencia de un campo vectorial en
un punto del espacio es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vecto
rial por unidad de volumen conforme el vo
lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la
densidad de fuentes de un campo vectorial,
siendo positiva si el campo posee un ma
nantial y negativa si tiene un sumidero.
 Por ejemplo, en el caso del flujo de calor
q , los manantiales representan la produc
ción de calor y los sumideros su consumo.
 La integral de volumen de la divergencia
=q dV, será la suma de todas las fuen
tes que hay al interior del volumen.
 Teniendo en cuenta el signo, el resultado
será igual a la producción de todos los ma
nantiales, menos el consumo de los sumide
ros, esto es, la producción neta de calor en
el volumen.
 Si se produce más calor del que se consu
me, ese calor extra debe escapar al exterior
del volumen. Esa emisión al exterior es lo
que representa el flujo.
3) Representación
 La divergencia de un campo vectorial E ,
se denota como E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado de la operación divergencia
del campo vectorial E es un campo escalar
V, esto es, E =V.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
  (E +G )= E +G (Distributiva)
  (cE )=c E , donde c es una cte.
  (E )=() E + E , donde  es un
campo escalar.
 (ExG) G xE E xG
    
 ( E)G (E )G G( E)
    
 xE 0
  

3 2
(r / r ) (1/ r) 0, si r 0
    

2
 
   
 r 3
  , donde r es el vector de posición

14. Análisis Vectorial 35
 E( ) ( E / )
  
    
5) Expresión matemática general
 La expresión general de la divergencia del
campo vectorial E en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
2 3 1 3
1 2 3 1 2
1 2
3
(h h E) (h h E)
1
E [
h h h q q
(h h E)
]
q
 
   
 


donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala en dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas esféricas, q1=r, q2=, q3= y hr=1,
h=r, h=1, con lo que:
2
r
2
1 1
E (r E ) (sen E )
r rsen r
r



 
   
 
E
1
( )
rsen r

 



 
 La expresión general de la divergencia del
campo vectorial "E " en cualquier sistema
curvilíneo, no necesariamente ortogonal,
viene dada por:
k
k
1
E ( g E )
x
g

 

donde, IgI es el determinante del tensor mé
trico.
 Tensor métrico
En geometría de Riemann, el tensor de mé
trico es un tensor de rango 2 que se utiliza
para definir conceptos métricos como dis
tancia, ángulo y volumen en un espacio lo
calmente euclídeo.
 Una vez que se elige una base local, el ten
sor métrico aparece como una matriz, deno
tada convencionalmente como "g". La nota
ción gij se utiliza convencionalmente para
las componentes del tensor. Así, el tensor
métrico "g" se expresa fijada una base coor
denada como:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
g g g
g g g
g
g g g

 
 

 

 
   
 

 
 En física es muy común escribir la métrica
como el cuadrado del elemento de longitud
dado que el tensor es simétrico la notación
física, viene dada por:
2 i j
ij
ds g dx dx

6) Fuentes escalares de un campo
vectorial
La divergencia es una cantidad escalar con
signo, este signo posee significado geomé
trico y físico, así:
 Si la divergencia de un campo vectorial en
un punto es positiva, quiere decir que en di
cho punto el campo radia hacia el exterior.
Se dice que en esa posición el campo vecto
rial posee un manantial.
 Si por el contrario la divergencia es negati
va, el campo converge hacia dicho punto;
se dice que el campo posee un sumidero.
Ambos, manantiales y sumideros, constitu
yen las fuentes escalares de un campo vec
torial.
 Si la divergencia es nula en un punto el
campo carece de fuentes escalares en dicho
punto.
7) Campo escalar, vectorial, tensorial
 Campo escalar

15. Robotica y Cibernética
36
 Un campo escalar representa la distribu
ción de una magnitud escalar, asociando
un valor a cada punto del espacio.
 En mecánica de fluidos la presión puede
ser tratada como un campo escalar, la distri
bución de temperatura sobre un cuerpo es
otro campo escalar.
 Una construcción que caracteriza los cam
pos escalares son las superficie equipoten
ciales que son los conjuntos de puntos so
bre las cuales la función toma el mismo va
lor.
 En física relativista, un campo escalar es
aquel para el cual la ley de transformación
entre los valores medidos por dos observa
dores diferentes satisfacen una relación
tensorial de invariancia. En ese sentido el
potencial eléctrico que en electromagnetis
mo clásico se trata como un campo escalar,
en mecánica clásica no es un escalar sino
la componente temporal de un cuadrivec
tor potencial que generaliza el potencial
vectorial clásico.
 En física cuántica, se usa el término "cam
po escalar" de una forma más restringida,
se aplica para describir el campo asociado
a partículas de espín nulo, por ejemplo, los
piones.
 Campo vectorial
Un campo vectorial representa la distribu
ción espacial de una magnitud vectorial.
Es una expresión de cálculo vectorial que a
socia un vector a cada punto en el espacio
euclidiano.
 Los campos vectoriales se utilizan en la fí
sica, por ejemplo, para representar la velo
cidad y la dirección de un fluido en el es
pacio, o la intensidad y la dirección de fuer
zas como la gravitatoria o la fuerza electro
magnética.
 En el estudio del magnetismo, las líneas
del campo magnético de inducción se pue
den revelar usando pequeñas limaduras de
hierro sobre un papel, en presencia de un i
mán natural.
 Campo tensorial
Un campo tensorial es aquel en que cada
punto del espacio lleva asociado un tensor.
Es una asignación de una aplicación multi
lateral a cada punto de un dominio del espa
cio.
En física, también se llama campo tenso
rial a cualquier magnitud física que puede
ser representada por una asignación del ti
po anterior sobre una región del espacio fí
sico, ejemplos de campos tensoriales son:
1) Campo electromagnético en la electrodi
námica clásica, 2) Campo gravitatorio, en
la teoría de la relatividad general.
 Campo espinorial
Un campo espinorial es un tipo de campo
físico que generaliza los conceptos de cam
pos vectoriales y tensoriales. Si un campo
tensorial es un tipo de representación lineal
del grupo de Lorentz L, un campo espino
rial es una representación de su recubridor
universal, el grupos especial SL(2, ).
 Muchas magnitudes físicas representables
mediante campos tensoriales pueden repre
sentarse también matemáticamente por
campos espinoriales de manera equivalen
te. Sin embargo algunos campos espinoria
les no admiten análogos tensoriales. En es
te sentido los campos espinoriales generali
zan los campos vectoriales y tensoriales,
que pueden ser vistos como casos particu
lares de magnitudes espinoriales.
 La mecánica cuántica hace un uso extensi
vo de los campos espinoriales.
8) Campo solenoidal
Se llama así al campo cuyas fuentes escala
res son nulas en todos los puntos del espa
cio, esto es, E =0, r.

16. Análisis Vectorial 37
 El ejemplo más importante en el electro
magnétismo de campo solenoidal, es el
campo magnético, en el que se verifica,
 B=0, r, tanto en situaciones estáticas
como dinámicas.
 Un campo solenoidal se caracteriza porque
sus líneas de campo no pueden converger
ni divergir de ningún punto; no pueden te
ner extremos localizados, esto hace que las
líneas solo puedan ser cerradas, o ir del in
finito al infinito, o dar vueltas sobre si mis
mas, sin llegar a cerrarse.
 Un ejemplo analítico de campo solenoidal
es E =-yî +xˆ
j, las líneas de campo de este
campo vectorial describen circunferencias
en torno al eje-z, en concordancia con la
idea que no tienen extremos.
9) Aplicaciones
 La divergencia de un campo vectorial es
proporcional a la densidad de las fuentes
puntuales del campo, así, en la ley de
Gauss, tenemos:
o
E


 
donde, "E " es el campo eléctrico, "" la
densidad de carga volumétrica, y "o" la
permitividad eléctrica del vació.
 Asimismo, en la ley de Gauss para el cam
po de inducción magnético, que es una de
las ecuaciones de Maxwell, tenemos:
B 0
 
el valor cero de la divergencia nos indica
que no hay fuentes puntuales de campo
magnético, y que las líneas de campo mag
nético son líneas cerradas.
10) Teorema de la divergencia
El flujo de un campo "E" a través de una
superficie cerrada "S" y la divergencia es
tán estrechamente relacionados por la ecua
ción:
S V
E dS EdV
 
 
donde, "V es el volumen encerrado por la
superficie "S".
 Este teorema establece, que la cantidad de
campo que escapa hacia el exterior de una
superficie cerrada "S", es igual, a la suma
neta de las fuentes escalares contenidas al
interior de dicha superficie cerrada.
Ejemplo: 29
Calcular la divergencia del campo vecto
rial, dado por: ˆ ˆ
E(x,y) xcosyi sen y j
 
Solución:
 En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
y
x
E
E
E
x y


  
 
(xcosy) ( sen y)
E
x y
  
  
 
E cosy cosy
  
 E 0
 
Por lo que, E es un campo solenoidal, esto
es, no presenta fuentes ni sumideros.
Ejemplo: 30
Hallar la divergencia del campo vectorial,
dado por:
2
(x/4) 2
y
ˆ ˆ
E(x,y) e i [0,5 ( ) ]j
4

  
y evaluar en el punto P(1; 1).
Solución:
 En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:

17. Robotica y Cibernética
38
y
x
E
E
E
x y


  
 
2
(x /16) 2x 2y
E e ( )
16 16

   
2
x /16
1
E [xe y]
8

   
 1;1
( E) 0,24
  
Como, 1;1
( E)
 es negativo, el campo vec
torial tiene un sumidero en el punto (1; 1).
c) El rotacional
1) Definición
El rotacional o rotor es un operador vecto
rial que actúa sobre campos vectoriales de
finidos en un abierto de 3
que muestra la
tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación (giro) al rededor de un punto.
 Aunque el rotacional de un campo alrede
dor de un punto sea distinto de cero, no im
plica que las líneas de campo giren alrede
dor de ese punto y lo encierren.
2) Interpretación
Por ejemplo, el campo de velocidades de
un fluido que circula por una tubería (cono
cido como el perfil de Poiseulli) posee un
rotacional no nulo en todas partes, salvo en
el eje central, pese a que la corriente fluye
en línea recta.
 La idea es que si colocamos una rueda de
paletas infinitamente pequeña en el interior
del campo vectorial, esta rueda girará, aun
que el campo tenga siempre la misma direc
ción, debido a la diferente magnitud del
campo a un lado y a otro de la rueda.
3) Representación
 El rotacional de un campo vectorial E , se
denota como xE , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado de la operación rotacional del
campo vectorial E es otro campo vectorial
F, esto es, xE =F.
4) Fuente vectorial y escalar
Al campo vectorial G , resultado de calcu
lar el rotacional sobre un campo vectorial
E en cada punto del espacio, G xE
  , se
conoce como las fuentes de E (siendo las
fuentes escalares la que se obtienen medi
ante la operación de divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos
los puntos del espacio se denomina irrota
cional o se dice que carece de fuentes vec
toriales.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
 x (E +G )= xE +xG (Distributiva)
 x (cE )=c xE , donde c es una cte.
 Todo campo potencial (expresable como el
gradiente de un potencial escalar) es irrota
cional y viciversa, esto es: E V
  , si y
sólo si xE =0.
 Todo campo central (radial y dependiente
sólo de la distancia al centro de fuerza) es
irrotacional, esto es: ˆ
E f(r)r
 , entonces,
xE =0. En particular, el campo electros
tático de una carga eléctrica puntual "q" es
irrotacional.
 El rotacional de un campo vectorial es
siempre un campo solenoidal, esto es su di
vergencia siempre es nula, (xE )=0
4) Expresión matemática general
 La expresión general del rotacional del
campo vectorial "E" en cualquier sistema
de coordenadas ortogonales, viene dada
por:

18. Análisis Vectorial 39
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
h e h e h e
xE
q q q
h E h E h E
  
 
  
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
y
z x z
y x
E
E E E
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
E E
ˆ
( )z
x y

  
     
   
 

 
donde, E =E (x, y, z) es el campo vectorial
 En la notación de los índices repetidos, con
el símbolo de Levi-Civita, el rotacional del
campo vectorial E , se escribe como:
k m m
( xE) E
  
5) Identidades
Algunas de las identidades más importan
tes de la operación rotacional, son:

x(VxF) [( F) F ]V
[( V) V ]F
     
  
 F
Vx( xF) (V F) (V )F
    

2
x( xF) ( F) F
      
 x( ) 0

   , donde  un campo escalar.
 x( F) xF ( xF)
  
    
6) Aplicaciones
En un tornado los vientos están rotando so
bre el ojo, y un campo vectorial que mues
tra las velocidades del viento tendría un ro
tacional diferente de cero en el ojo y posi
blemente en otras partes (vorticidad).
 En un campo vectorial que describa las ve
locidades lineales de cada parte individual
de un disco que rota, el rotacional tendrá
un valor constante en todas las partes del
disco.
 Si una autopista fuera descrita con un cam
po vectorial, y los carriles tuvieran diver
sos límites de velocidad, el rotacional en
las fronteras entre los carriles sería diferen
te de cero.
 La ley de Faraday de la inducción y la ley
de Ampere, dos de las ecuaciones de Max
weel, se pueden expresar muy simplemen
te usando el rotacional.
 La primera indica que el rotacional de un
campo eléctrico E , es igual, a la tasa de va
riación de la densidad del flujo magnético
B, con signo opuesto debido a la ley de
Lenz, esto es:
B
xE
t

  

 La segunda indica que el rotacional de un
campo magnético B, es igual, a la suma de
la densidad de corrientes J y la derivada
temporal de la densidad de flujo eléctrico,
esto es:
o
o o
1 E
xB J

 

  

Ejemplo: 31
Calcular el rotacional del campo vectorial,
dado por: ˆ ˆ
E(x;y) yi x j
   .
Solución:
 En la expresión del rotacional en coordena
das rectangulares, reemplazando las compo
nentes del campo E , tenemos:

19. Robotica y Cibernética
40
y
z x z
y x
E
E E E
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
E E
ˆ
( )z
x y

  
     
   
 

 
0 x ( y) 0
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
x ( y)
ˆ
( )z
x y
    
     
   
  

 
 ˆ
xE 2k
 
El rotacional de E es un campo constante
en la dirección del eje-z positivo.
d) El laplaciano
1) Definición
 El laplaciano es un operador diferencial e
líptico de segundo orden, denotado por  o
2
, relacionado con ciertos problemas de
minimización de ciertas magnitudes físicas
sobre un cierto dominio de validez.
 El operador tiene este nombre en reconoci
miento de Pierre-Simon Laplace que estu
dio soluciones de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales en las que aparecía
dicho operador.
2) Fuente
El laplaciano de un campo escalar V, es el
resultado de la operación divergencia gra
diente del campo V, es decir esta opera
ción es la fuente del laplaciano:
2
( V) V V
     
3) Interpretación física
El laplaciano de un campo escalar V, mi
de la segunda variación en las coordenadas
espaciales que experimenta el campo V en
un punto del espacio.
4) Aplicaciones
 En física, el laplaciano aparece en múlti
ples contextos como la teoría del potencial,
la propagación de ondas, la conducción de
calor, la distribución de tensiones en un
cuerpo deformable, etc... Pero de todos es
tos casos ocupa un lugar destacado en la e
lectrostática y en la mecánica cuántica.
 En la electrostática, el operador laplaciano
aparece en la ecuación de Laplace y en la e
cuación de Poisson.
 En tanto, en la mecánica cuántica el lapla
ciano de la función de onda de una partícu
la proporciona su energía cinética.
5) Propiedades
Algunas de las propiedades que presenta el
laplaciano, son:
2
(F+G)= 2
F+2
G, linealidad.
2
(FG)=(2
F)G+2(F)(G)+F(2
G)
6) Expresión matemática general
 La expresión general del laplaciano del
campo escalar "V" en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
2 2 3
1 2 3 1 1 1
1 3 1 2
2 2 2 3 3 3
h h
1 V
V [ ( )
h h h q h q
h h V h h V
( ) ( )]
q h q q h q
 
  
 
   

   
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
2 2 2
2
2 2 2
V V V
V
x y z
  
   
  

20. Análisis Vectorial 41
 El laplaciano de un campo escalar V, en un
sistema de coordenadas no necesariamente
ortogonal, viene dado por:
2 ik
k i
1 V
V ( g g )
x x
g
 
 
 
donde, gij
es el tensor contravariante de or
den 2 asociado al tensor métrico, g es la
raíz cuadrada del valor absoluto del deter
minante del tensor métrico.
7) El laplaciano vectorial
 El laplaciano vectorial, es un operador dife
rencial definido sobre un campo vectorial
E , el laplaciano vectorial es similar al la
placiano escalar, a diferencia que se aplica
sobre campos vectoriales dando como re
sultado otro campo vectorial.
 Un ejemplo del uso del laplaciano vecto
rial, son las ecuaciones de Navier-Stokes
para un flujo incompresible newtoniano,
esto es:
2
v
( (v )v) f P ( v)
t
  

      

donde el término con el laplaciano vecto
rial del campo de velocidad (2
v ) repre
senta las tensiones viscosas en el fluido.
 Otro ejemplo muy utilizado en la física es
la ecuación de ondas para el campo eléctri
co E , que puede ser derivada a partir de
las ecuaciones de Maxwell, en particular
en ausencia de cargas y corrientes (fuentes
de campos), se tiene:
2
2
o o 2
E
E E 0
t
 

   

donde, es el operador llamado el D'Alem
bertiano, que se utiliza en la ecuación de
Klein-Gordon.
Ejemplo: 32
En una región R del espacio libre, hay un
potencial, dado por: V(, )=(Vo/d)cos .
Probar que V(, ) satisface la ecuación de
Laplace.
Solución:
 En coordenadas cilíndricas, sustituyendo el
potencial dado en la ecuación de Laplace,
tenemos:
2
V 0
 
2
2
2 2
1 V 1 V
V ( ) 0

    
  
   
  
2 o
2
o
2 2
V
1
V ( ( cos ))
d
V
1
( cos ) 0
d
  
  
 
 
 
  
 



2 o
o
2
V
1
V ( cos )
d
V
1
( sen ) 0
d


 





  




2 o o
V V
V cos cos 0
d d
 
 
   
<<
V satisface la ecuación de Laplace>>
TENSORES
a) Definición de tensor
Un tensor es cierta clase de entidad alge
braica de varios componentes, que genera
liza los conceptos de escalar, vector y ma
triz de una manera que sea independiente
de cualquier sistema de coordenadas elegi
do
07

21. Robotica y Cibernética
42
b) Origen y evolución
La palabra "tensor" se utiliza a menudo co
mo abreviatura de campo tensorial, que es
un valor tensorial definido en cada punto
en una variedad.
 El primero en utilizar esta palabra fue Wi
lliam Rowan Hamilton en 1846, empleán
dola para lo que actualmente se conoce co
mo módulo y fue Woldemar Voigt en 1899
quien la empleo en su acepción actual.
 La palabra tensor proviene del latín "ten
sus", participio pasado de tenderé "estirar,
extender". El nombre se extendió porque la
teoría de la elasticidad fue una de las prime
ras aplicaciones físicas donde se usaron ten
sores.
 Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarro
lló la notación actual con el nombre de
geometría diferencial absoluta, y se popula
rizó con la publicación de Cálculo Diferen
cial Absoluto de Tulio Levi-Civita en 1900
 Con la introducción de la teoría de la relati
vidad general por parte de Albert Einstein
alrededor de 1915 se encontró su aplica
ción más apropiada, la relatividad General
es netamente tensorial.
c) Características
Las cantidades geométricas y físicas pue
den ser clasificadas considerando los gra
dos de libertad inherentes a su descripción.
 Las cantidades escalares son las que se pue
den representar por un sólo número, por
ejemplo la masa.
 Hay también cantidades tipo vector, como
por ejemplo la fuerzas, que requieren una
lista de números para describir su módulo
y su dirección.
 Finalmente, las cantidades tales como for
mas cuadráticas requieren naturalmente u
na matriz con índices múltiples para su re
presentación. Estas últimas cantidades se
pueden concebir únicamente como tenso
res.
 Realmente, la noción tensorial es absoluta
mente general. Los escalares y los vectores
son casos particulares de tensores.
 La propiedad que distingue un escalar de
un vector, y distingue ambos de una canti
dad tensorial más general es el número de
índices en la matriz de la representación.
Este número se llama rango de un tensor.
 Así, los escalares son los tensores de rango
cero (sin índices), y los vectores son los
tensores de rango uno.
d) Utilización
 No todas las relaciones en la naturaleza
son lineales, pero la mayoría es diferencia
ble y así se pueden aproximar localmente
con sumas de funciones multilaterales, de
modo que, la mayoría de las magnitudes fí
sicas pueden expresarse como tensores.
 Un ejemplo simple es la descripción de u
na fuerza aplicada al movimiento de una
nave en el agua. La fuerza es un vector, y
la nave responderá con una aceleración
que es también un vector. La aceleración
en general no estará en la misma dirección
que la fuerza, debido a la forma particular
del cuerpo de la nave.
 Si embargo resulta que la relación entre la
fuerza y la aceleración es lineal (F=ma).
Tal relación es descrita por tensor del tipo
(1, 1), es decir, que transforma un vector
en otro vector.
 El tensor se puede representar como una
matriz que cuando es multiplicada por un
vector, dé lugar a otro vector. Así, como
los números que representan un vector cam
biarán si uno cambia el conjunto de coorde
nadas, los números en la matriz que repre
senta el tensor también cambiarán cuando
se cambie el conjunto de coordenadas.
 En la ingeniería, as tensiones en el interior
de un sólido rígido o líquido también son
descritas por un tensor. Si selecciona un e

22. Análisis Vectorial 43
lemento superficial particular en el mate
rial, el material en un lado de la superficie
aplicará una fuerza en el otro lado. En ge
neral esta fuerza no será ortogonal a la su
perficie, sino que dependerá de la orienta
ción de la superficie de una manera lineal.
 Algunos ejemplos muy conocidos de tenso
res en geometría son las formas cuadráti
cas, y el tensor de curvatura.
 Algunos ejemplos de tensores físicos son
el tensor de energía-momento, el tensor de
polarización y el tensor dieléctrico.
e) Teoría de la elasticidad
Se llama elasticidad a la propiedad mecá
nica de ciertos materiales de experimentar
deformaciones reversible cuando se encu
entran sometidos a la acción de fuerzas ex
ternas y de recuperar la forma original (i
nicial), si estas fuerzas externas dejan de
actuar.
f) Deformación
La deformación es el cambio en el tamaño
o forma de un cuerpo (sólido), debido a la
acción de esfuerzos externos producidos
por una ó más fuerzas que actúan sobre el
cuerpo, o la ocurrencia de dilatación térmi
ca.
g) Viscoelasticidad
La viscoelasticidad es un tipo de comporta
miento reológico anelástico que presentan
ciertos materiales que exhiben tanto propie
dades viscosas como propiedades elásticas
cuando se deforman.
h) Grados de libertad
Se llama así, al número de coordenadas in
dependientes (escalares) necesarias para de
terminar simultáneamente la posición de
cada partícula en un sistema dinámico. El
concepto se utiliza en mecánica clásica y
termodinámica.
i) Densidad tensorial
Una densidad tensorial es una generaliza
ción del concepto de campo tensorial ordi
nario. Ciertas magnitudes pueden ser mode
lizadas como campos tensoriales, con leyes
de transformación tensorial convenciona
les. Pero también es útil definir magnitu
des llamadas "densidades tensoriales" con
transformaciones un poco más generales
que las de los tensores ordinarios.
VECTORES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES
a) Concepto de covarianza y
contravarianza
 Son conceptos empleados frecuentemente
en la áreas de la matemática y la física teó
rica.
 Por regla general se refieren a que ciertos
objetos matemáticos, que pueden represen
tar alguna magnitud física, tiene alguna for
ma de invariancia de forma, es decir, la pro
piedad de permanecer sin cambio bajo un
conjunto dado de transformaciones experi
mentadas.
 En la física, son importantes en el tratami
ento de vectores y otras cantidades, como
los tensores.
 Por ejemplo,las teorías de relatividad espe
cial (covariancia de Lorentz) y relatividad
general (covariancia general) usan vectores
base covariantes bajo cambios de coordena
das.
b) Invariancia
 Invariante es algo que no cambia al apli
carle un conjunto de transformaciones.
08

23. Robotica y Cibernética
44
 En matemática, un objeto (función, conjun
to, punto, etc...) se dice invariante respec
to o bajo una transformación si permanece
inalterado tras la acción de tal transforma
ción.
 Más formalmente una entidad se conside
ra invariante bajo un conjunto de transfor
maciones si la imagen transformada de la
entidad es indistinguible de la original. La
propiedad de ser invariante se conoce co
mo invarianza o invariante.
 Dos ejemplos de invarianza son:
1) La distancia entre dos puntos en una recta,
no cambia al sumar una misma cantidad a
ambos puntos; es decir es invariante.
2) La simetría también puede ser considerada
una forma de invarianza.
c) Observador
En física, un observador es cualquier ente
capaz de realizar mediciones de magnitu
des físicas de un sistema físico para obte
ner información sobre el estado físico de
dicho sistema.
d) Transformación
 En matemática, se dice que una magnitud
es función de otra si el valor de la primera
depende del valor de la segunda.
 Por ejemplo el área "A" de un círculo es
función de su radio "R". A la primera mag
nitud el área "A" se le llama variable de
pendiente, y la segunda magnitud el radio
"R es la variable independiente.
e) Teoría especial de la relatividad
 Es una teoría de la física, que resulta de la
observación de que la velocidad de la luz
en el vació es igual en todos los sistemas
de referencia inerciales, y de obtener todas
las consecuencias del principio de relativi
dad de Galileo, según el cual, cualquier ex
perimento realizado, en un sistema de refe
rencia inercial, se desarrollará de manera
idéntica en cualquier otro sistema inercial.
 La teoría es "especial", ya que sólo se apli
ca en el caso especial/particular donde la
curvatura del espacio-tiempo producida
por acción de la gravedad es irrelevante.
 La teoría especial de la relatividad estable
ció nuevas ecuaciones que facilitan pasar
de un sistema de referencia inercial a otro
sistema de referencia inercial.
 Las ecuaciones correspondientes condu
cen a fenómenos que chocan con el senti
do común, como son la contracción espa
cial, la dilatación del tiempo, un límite uni
versal a la velocidad, la equivalencia entre
la masa y la energía la relatividad de la si
multaneidad.
 La relatividad especial tuvo también un im
pacto en la filosofía, eliminando toda posi
bilidad de existencia de un tiempo y de un
espacio absoluto en el conjunto del univer
so.
f) Teoría de la relatividad general
 Es una teoría del campo gravitatorio y de
los sistemas de referencia generales.
 El nombre de la teoría se debe a que gene
raliza la llamada teoría especial de la relati
vidad.
 Los principio fundamentales introducidos
en esta generalización son el principio de
equivalencia, que describe la aceleración y
la gravedad como aspectos distintos de la
misma realidad, la noción de la curvatura
del espacio-tiempo y el principio de cova
riancia generalizado.
g) Vectores covariantes
Si "N" cantidades físicas A1, A2,..,AN da
das en el sistema de coordenadas (x1
,
x2
,…,xN
) están relacionadas con otras "N"

24. Análisis Vectorial 45
cantidades 1
A , 2
A ,…, N
A dadas en el sis
tema de coordenadas ( 1
x , 2
x ,…, N
x ) me
diante las relaciones de transformación,
q
N
p q
p
q 1
x
A A
x




 (p=1,…,N)
A las cantidades p
A se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor co
variante de primer orden.
h) Vectores contravariantes
Si "N" cantidades físicas A1
, A2
,...,AN
da
das en el sistema de coordenadas (x1
,
x2
,…,xN
) están relacionadas con otras "N"
cantidades 1
A , 2
A ,…, N
A dadas en el sis
tema de coordenadas ( 1
x , 2
x ,…, N
x ) me
diante las relaciones de transformación,
p
N
p q
q
q 1
x
A A
x




 (p=1,…,N)
A las cantidades p
A se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor
contravariante de primer orden.
i) Agujeros negros
 Es una región finita del espacio en cuyo in
terior existe una concentración de masa lo
suficientemente elevada y densa como pa
ra generar un campo gravitatorio tal que
ninguna partícula material, ni siquiera la
luz, puede escapar de ella.
 Sin embargo los agujeros pueden ser capa
ces de emitir un tipo de radiación, la radia
ción de Hawking.
 Se conjetura o especula que en el centro
de la mayoría de las galaxias, entre ellas la
vía Láctea, hay agujeros supermasivos.
 El 11 de Febrero de 2016,las colaboracio
nes LIGO, Interferómetro Virgo y GEO
600 anunciaron la primera detección de on
das gravitacionales, producidas por la
fusión de dos agujeros negros a unos 410
millones de parsec, es decir, unos 1337 mi
llones de años luz de la Tierra.
 Un agujero negro supermasivo es una agu
jero negro con una masa del orden de mi
llones o decenas de miles de millones de
masas solares.
j) Gigante roja
Una gigante roja es una estrella gigante de
masa baja o intermedia (menos de 8-9
masas solares) que, tras haber consumido
el hidrógeno en su núcleo durante la etapa
de secuencia principal, convirtiéndolo en
helio por fusión nuclear, comienza a que
mar hidrógeno en una cáscara alrededor
del núcleo de helio inerte. Esto tiene como
primer efecto el aumento del volumen de
la estrella y un enfriamiento de su superfi
cie, por lo que su color se torna rojizo. En
esta fase previa a la del gigante rojo, la es
trella recibe el nombre de subgigante.

25. Teoría de Campos 1
P: 07
En el espacio tridimensional, las coordenadas
cartesianas rectangulares de un punto son:
x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas
cilíndricas de este punto.
Sol: 07
 Las coordenadas cilíndricas (; ; z) en
términos de las coordenadas cartesianas (x;
y; z), vienen dadas por:
2 2 1/2 2 2 1/2
(x y ) (1 2 ) 2,24 u
     
1 1 o
y 2
tg ( ) tg ( ) 63,43
x 1
  
  
z 3 u

( ; ; z) (2,24 u; 63,43;3u)
  
P: 09
Las coordenadas cilíndricas de un punto P
son: =2 u, =30o
, z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ̂ , y ̂ .
Sol: 09
 Los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que
definen el sistema de coordenadas cilíndri
cas, vienen dadas por:
o o
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ cos i sen j cos30 i sen30 j
  
   
3 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ i j ( 3i j)
2 2 2
    
ˆ ˆ
ˆ cos( )i sen( ) j
2 2
 
  
   
o o
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ sen i cos j sen30 i cos30 j
  
     
1 3 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ i j (i 3 j)
2 2 2
      
Ahora, verifiquemos que estos vectores uni
tarios son perpendiculares entre si, así:
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( 3i j) ( i 3 j)
2 2
     
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( 3i i 3i j j i 3 j j)
4
      
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( 3i i 3i j j i 3 j j)
4
      
Como, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j 1, i j j i 0
    , entonces:
1
ˆ ˆ ( 3 3) 0
4
     
Luego, los vectores unitarios ̂ y ̂ son per
ANALISIS
VECTORIAL
P-01
0
z
x
y


P
y
x
z
r
RASA
x
y
i
j
0







 P
RASA

26. Ing. Electrónica y Eléctrica
2
pendiculares entre si:
P: 27
Un explorador se mueve 75,0 m al Norte,
250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o
al
noreste y 150 m al Sur.
I) Hallar la magnitud de su desplazamiento
resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m
d) 318,55 m e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplaza
miento resultante.
a) 6,07o
b) 6,27o
c) 6,47o
d) 6,67o
e) 6,87o
Sol: 27
 Representemos los cuatro desplazami
entos realizados por el explorador.
En la Figura, expresando cada uno de los des
plazamientos en sus componentes en x e y,
calculemos el vector desplazamiento total R ,
y su magnitud, así:
1 2 3 4
R d d d d
   
o
o
ˆ ˆ ˆ
R 75 j 250i 125sen30 i
ˆ ˆ
125cos30 j 150 j
   

ˆ ˆ
R 312,50i 33,25 j(m)
 
2 2 1/2
R [(312,50) (33,25) ]
 
R 312,55 m

A su vez, la dirección del vector R , respec
to de la horizontal, viene dada por:
1 o
33,25
tg ( ) 6,07
312,50
 
 
P: 36
Las componentes x, y, z del vector B son:
4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u
d) 7,81 u e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con
ejes x, y, z.
a) 55,19o
; 36,80o
, 65,41o
b) 58,19o
; 38,80o
, 69,41o
c) 56,19o
; 35,80o
, 66,41o
d) 57,19o
; 37,80o
, 68,41o
e) 59,19o
; 39,80o
, 67,41o
Sol: 36
I) La expresión del vector B en notación
de vectores unitarios î , ˆ
j, k̂ es:
ˆ ˆ ˆ
B (4i 6 j 3k)(u)
  
2 2 2 1/2
B [(4) (6) (3) ]
  
B 7,81u

II) Sean ,  y  los ángulos que forma el
vector B con los ejes x, y y z, entonces, de la
definición, A B ABcos
 tenemos:
ˆ ˆ ˆ ˆ
(4i 6 j 3k) i 7,81cos
  
1 o
4
cos ( ) 59,19
7,81
 
 
75m
250m
125m
150m
30o
R
E
O
S
N
A
D
A

27. Teoría de Campos 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
(4i 6 j 3k) j 7,81cos
  
1 o
6
cos ( ) 39,80
7,81
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
(4i 6 j 3k) k 7,81cos
  
1 o
3
cos ( ) 67,41
7,81
 
 
P: 80
I) Usando vectores unitarios a lo largo de
tres aristas de un cubo, expresé las diagona
les (las líneas de una esquina a otra a través
del centro del cubo) de un cubo en términos
de sus aristas, las cuales tienen longitud "a".
II) Determine los ángulos formados por las
diagonales con las aristas adyacentes.
III) Determine la longitud de las diagonales.
Sol: 80
I) Representemos el cubo de arista "a" y
los ejes de coordenadas pasando por las aris
tas.
En la Figura, las ocho diagonales principales
inscritas en el cubo, en términos de los vecto
res unitarios î , ˆ
j, k̂ , son:
GA AG (0,0,a) (a,a,0)
   
ˆ ˆ ˆ
GA AG ( i j k)a
     
FD DF (a,0,a) (0,a,0)
   
ˆ ˆ ˆ
FD DF (i j k)a
    
EC CE (a,a,a) (0,0,0)
   
ˆ ˆ ˆ
EC CE (i j k)a
    
HB BH (0,a,a) (a,0,0)
   
ˆ ˆ ˆ
HB BH ( i j k)a
     
II) Sean, ,  y  los ángulos que forma la
diagonal GA con los ejes x, y y z, así:
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j k)a ( i) 3acos
    
1 o
1
cos ( ) 54,74
3
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j k)a ( j) 3acos
    
1 o
1
cos ( ) 54,74
3
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j k)a (k) 3acos
   
1 o
1
cos ( ) 54,74
3
 
 
Así, los ángulos que forman estas diagona
les con los ejes x, y y z son iguales entre si,
esto es:
o
54,74
  
  
III) La longitud de las diagonales princi
pales del cubo de arista "a" es:
2 2 2 1/2
D [a a a ] 3a
   
E
A(0,0,a) B(0,a,a)
C(a,a,a)
D(a,0,a)
E(0,0,0) F(0,a,0)
G(a,a,0)
H(a,0,0)
x
z
y
i
j
k

28. Ing. Electrónica y Eléctrica
4
P: 114
Hallar el ángulo agudo entre las diagonales
de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2),
(4, 6) y (1, 3).
a) 82o
41' 30" b) 82o
45' 30" c) 82o
49' 30"
d) 82o
53' 30" e) 82o
57' 30"
Sol: 114
 Representemos el ángulo "" que for
man las diagonales del cuadrilátero.
En la Figura, los vectores correspondientes a
las diagonales del cuadrilátero, y sus magnitu
des, son:
ˆ ˆ
CA (3, 2) (1, 3) 2i j
   
2 2 1/2
CA [(2) ( 1) ] 5
   
ˆ ˆ
OB (4, 6) (0, 0) 4i 6 j
   
2 2 1/2
OB [(4) (6) ] 55
  
Con esto, de la definición del producto esca
lar de dos vectores, tenemos:
CA OB CA OB cos

ˆ ˆ ˆ ˆ
(2i j) (4i 6 j) ( 5)( 52)cos
  
1 2
cos [ ]
( 5)( 52)
 

 o
82 52'30"
 
P: 135
Hallar el área del triángulo de vértices A=(1,
1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
a) 4,04 u2
b) 4,24 u2
c) 4,44 u2
d) 4,64 u2
e) 4,84 u2
Sol: 135
 Representemos el triángulo de vértices
A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
En la Figura, calculemos los vectores que
van de los vértices A a B y de A a C, así:
AB (2, 1,5) (1,1,3) (1, 2,2)u
    
AC ( 3,3,1) (1,1,3) ( 4,2, 2)u
     
Ahora, según teoría, el área del triángulo es
la mitad del área del paralelogramo, esto es:
1
S ABxAC
2

ˆ ˆ ˆ
i j k
1
S 1 2 2
2
4 2 2
 
 
1 ˆ
S [( 2)( 2) (2)(2)]i
2
    
y
0
C(1,3)
B(4,6)
A(3,2)
x

C
A
B
C
0 y
z
x
S

29. Teoría de Campos 5
ˆ
[(2)( 4) (1)( 2)]j
ˆ
[(1)(2) ( 2)( 4)] k
   
  
1 ˆ ˆ
S 6 j 6 k
2
  
2 2 1/2
1
S ( )[( 6) ( 6) ]
2
   
 2
S 4,24u
 B

30. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
EAP. INGENIERÍA BIOMÉDICA
TRABAJO N°1: ANÁLISIS VECTORIAL
ALUMNA: ROMERO AVILA, JOSELYN (20190382)
CURSO: TEORÍA DE CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS
SEMESTRE 2022-I

31. LISTADO DE PROBLEMAS ASIGNADOS
NO
NO

47. “Nuestras virtudes y nuestros defectos son inseparables, como la fuerza y la
materia. Cuando se separan, el hombre no existe”-Nikola Tesla
¡GRACIAS!
01

48. Fuerza y carga eléctrica
1. CARGA ELECTRICA
a) Conceptos
 Es una propiedad fundamental de la ma
teria, del mismo modo que la masa.
 Es una magnitud física escalar, que carac
teriza el estado de electrización de un
cuerpo.
 Se llama electrización a la transferencia de
cargas de un cuerpo hacia otro, en general
las cargas que se transfieren son los llama
dos electrones libres.
 La carga total de un cuerpo es la suma al
gebraica de sus cargas positivas y negati
vas.
 Se dice que un cuerpo esta cargado positi
vamente cuando ha perdido electrones, y
en caso que gane electrones se dice que es
ta cargado negativamente, así, podemos de
cir que un cuerpo puede poseer dos tipos
de carga eléctrica, una llamada positiva
(+) y otra llamada negativa (-).
 Se dice que un cuerpo, es eléctricamente
neutro, cuando tiene el mismo número de
cargas positivas y negativas.
 Dos cuerpos con carga eléctrica del mis
mo signo se repelen y dos cuerpos con car
ga eléctrica de signos contrarios se atraen.

Unidad:La carga eléctrica se mide en
coulomb (C)
Ejem: 01
Un grano de polvo metálico esta constitui
do de 200 protones y 100 electrones. Ha
llar la carga eléctrica neta del grano de pol
vo. (e=-1,610-19
C)
a) 1,610-17
C b) 2,610-17
C
c) 3,610-17
C d) 4,610-17
C
e) 5,610-17
C
Sol: 01
 La carga neta del cuerpo, es la suma de
sus cargas, considerando el signo de ellas,
así:
Q 200e 100e
  
19
Q (100)(1,6 10 C)


+ +
+ -
+ +
Q=+2e
RASA
Q=0
FUERZA Y
CARGA
ELECTRICA
CAP. 1

49. Robótica y Cibernética
 17
Q 1,6 10 C


Ejem: 02
Se tiene una moneda de cobre de 4 g, nú
mero atómico Z=29 y masa atómica es M
=63,5 g/mol. Hallar el valor de la carga to
tal negativa de la mone da. (NA=6,021023
átomos/mol, e=-1,610-19
C, k=103
)
a) 175 kC b) 200 kC c) 225 kC
d) 250 kC e) 275 kC
Sol: 02
 Como el número de átomos contenido en
un mol de cobre es NA=6,021023
, el número
de átomos de cobre por mol es:
A
N 6,02átomos / mol
n
M 63,5g / mol
 
22 átomos
n 0,948 10
mol

Ahora, como en cada mol existen 0,9481022
átomos, el número de átomos contenidos en
4 g de cobre es:
átomos
N mn (4g)(0,948 )
mol
 
22
N 3,79 10 átomos

Luego, como cada átomo tiene Z=20 s
e
, la
carga negativa total de la moneda es:
Q ZNe

22 19
Q (29)(3,79 )( 1,6 10 )

 
 3
Q 175 10 C
 
b)Distribuciones de carga eléctrica
Se llama distribución de carga eléctrica en
un cuerpo, a la forma como esta se encuen
tra repartida en el cuerpo, la cual, depende
rá de sus dimensiones (tamaño), forma,
geometría, etc…así, tenemos:
1) Distribución de carga lineal
Este caso se presenta, cuando la carga eléc
trica se distribuye en un cuerpo que tiene
dimensiones de longitud, por ejemplo, un
filamento, cuerda, alambre, etc… Para me
dir cuantitativamente la distribución de la
carga en dicho cuerpo, se utiliza el concep
to de densidad lineal de carga, que se re
presenta con "
" , así, tenemos:
 Densidad lineal uniforme de carga
La carga eléctrica "
q
" se distribuye por i
gual, en todo el filamento de longitud "
"
y la densidad de carga se define así:
q
 
 Densidad lineal no uniforme de carga
La carga eléctrica "
q
" no se distribuye por
igual, en todo el filamento de longitud "
"
en este caso la densidad de carga se define
en cada punto, así:
dq
d
 
siendo, "
dq
" un diferencial de carga, con
tenido en un trocito de filamento de longi
tud "
d
"  .
Ejem: 03
Se tiene una varilla delgada de longitud
l=60 cm, y densidad de carga lineal no uni
forme, dada por: =o(x/l)2
, donde o
" "

es una constante, y "x" se mide a partir
A
A

50. Fuerza y carga eléctrica
del extremo izquierdo de la varilla. Hallar
la carga total de la varilla.
a) 0,1o b) 0,2o c) 0,3o
d) 0,4o e) 0,5o
Sol: 03
 Representemos un diferencial de varilla
de longitud "dx", y carga dq=.dx.
En la Figura, la carga total de la varilla, se
gún teoría, viene dado por:
Q .d

 
2 3
o
o 2 2 0
0
x x
Q dx ( )
3


 

o o
1 1
Q ( )( )(0,6)
3 3
 
 
 o
Q 0,2

2) Distribución superficial de carga
Este caso se presenta, cuando la carga e
léctrica se distribuye en la superficie de un
cuerpo, por ejemplo un disco delgado, pla
ca metálica o plancha de espesor despre
ciable, etc,…Para medir cuantitativamente
la distribución de la carga en la superficie
del cuerpo, se utiliza el concepto de densi
dad superficial de carga, que se representa
con "
" , así, tenemos:
 Densidad superficial uniforme de carga
La carga eléctrica "
q
" se distribuye por i
gual, en toda la superficie "
S
" del cuerpo,
y la densidad de carga se define, así:
q
S
 
 Densidad superficial no uniforme de
carga
La carga eléctrica "q" no se distribuye por
igual, en toda la superficie "S" del cuerpo,
en este caso la densidad de carga se define
en cada punto de la superficie, así:
dq
dS
 
siendo, "dq" un diferencial de carga, con
tenido en un diferencial de superficie de á
rea "dS".
Ejem: 04
Se tiene un disco muy delgado de radio R
=20 cm con densidad de carga superficial
no uniforme, dada por: =o(r/R)2
sen4
,
siendo o
" "
 una constante y " "
 el ángu
lo polar. Hallar la carga total del disco.
a) 0,013o b) 0,023o c) 0,033o
d) 0,043o e) 0,053o
Sol: 04
 En la Figura, según teoría, la carga total
del disco de radio "R", viene dado por:
A
Q .dA

 
dS
dq
q
S RASA
0
x dx
x
l
dq=dx
B
dl
l
dq
q

51. Robótica y Cibernética
2
2 R 4
o 2
0 0
r
Q sen rdrd
R

  
  
2 R
4 3
o
2 0 0
Q sen d r dr
R


 
  
4
2 R
o
0 0
2
sen 2 sen 4
3 r
Q ( ) ( )
8 4 32 4
R

  

  
2
2
o
o
2
3 R 3
Q ( )( ) R
4 4 16
R
  

 
2
o
3
Q ( )(0,2)
16



 o
Q 0,023

3) Distribución volumétrica de carga
 Densidad volumétrica uniforme de
carga
La carga eléctrica "q" se distribuye por i
gual, en todo el volumen "V" del cuerpo,
la densidad de carga se define, así:
q
V
 
 Densidad volumétrica no uniforme de
carga
La carga eléctrica "
q
" no se distribuye por
igual, en todo el volumen "
V
" del cuerpo,
en este caso la densidad de carga se define
en cada punto, así:
dq
dV
 
siendo, "
dq
" el diferencial de carga, con
tenido en el diferencial de volumen "
dV
" .
Ejem: 05
La densidad de carga volumétrica no uni
forme de una esfera compacta de radio R=
10 cm, viene dado por: =o(r/R)3
, siendo
o
" "
 una constante. Hallar la carga total
de la esfera.
a) 1,0910-3
o b) 2,0910-3
o
c) 3,0910-3
o d) 4,0910-3
o
e) 5,0910-3
o
Sol: 05
 Dividamos la esfera en cascarones, y re
presentemos uno de ellos de radio "r" y espe
sor "dr".
La carga total de la esfera, obtenemos suman
do la carga de todos los cascarones de volu
q
dq
V
dV
dl=rd
r
dr
0

y
x
RASA
R
dr
r
0
B

52. Fuerza y carga eléctrica
men dV=4 r2
dr, esto es:
V
Q dV

 
3
R 2
o 3
0
r
Q 4 r dr
R
 
 
6
R
o
3 0
4 r
Q ( )
6
R



3 3
o o
2 2
Q R ( )(0,1)
3 3
 
 
 
 3
o
Q 2,09 10 


c) Principios fundamentales de la
Física
Todo proceso, fenómeno, interacción que
se da en la naturaleza se explican median
te la utilización de los llamados cuatro
principios fundamentales, estos son:
1) Principio de equilibrio
Por ejemplo equilibrio eléctrico de un siste
ma de cargas eléctricas puntuales, equili
brio estático y dinámico de un cuerpo rígi
do, equilibrio térmico de un sistema termo
dinámico (gas)
2) Principio de simetría
Por ejemplo un anillo cargado, presenta si
metría respecto de su eje que pasa por su
centro y es perpendicular al plano que lo
contiene, las mitades de una flor u hoja de
una planta presenta simetría, las mitades
de la cara de una persona presenta sime
tría, etc..
3) Principio de conservación
Por ejemplo la energía de una carga pun
tual en movimiento, en presencia de un
campo eléctrico conservativo, se mantiene
constante, el movimiento de un proyectil
bajo la acción de la gravedad es un siste
ma mecánico conservativo, etc..
4) Principio de interacción
Por ejemplo la fuerza de interacción eléc
trica entre dos cargas puntuales, son igua
les en magnitud y de sentidos opuestos.
RASA
B

53. Robótica y Cibernética
d) Principios de la carga eléctrica
1) Conservación de la carga
La conservación de la carga, que es uno de
los incipios fundamentales de la física, es
tablece que la carga no se crea ni destru
ye, sólo se transfiere de un cuerpo hacía o
tro, esto es, en todo proceso electromagné
tico la carga total de un sistema aislado se
conserva.
 El principio de conservación de la carga,
implica que la carga eléctrica total que e
xiste en el universo, es un invariante.
Ejem: 06
Dos esferas del mismo tamaño de cargas
Q1=+110-7
C y Q2=-310-7
C, se ponen en
contacto y se separan. ¿Cuál es la carga
que adquiere cada una de las esferas? (n=
10-9
)
a) +100 nC b) -100 nC c) +200 nC
d) -200 nC e) +300 nC
Sol: 06
 Como las esferas son del mismo tamaño
la carga que adquieren después de ponerse en
contacto es la misma, luego, del principio de
conservación de la carga, tenemos que:
antes después
(Q) (Q)

100 nC 300 nC 2Q
 
 Q 100 nC
 
Así, la carga de cada esfera después del
contacto es de -100 nC.
2) Cuantización de la carga
La experiencia nos demuestra que la car
ga eléctrica no es continua, es decir, no es
posible que la carga de un cuerpo tome va
lores arbitrarios, esto es, la magnitud de la
carga eléctrica "Q" de todo cuerpo o siste
ma de cuerpos, solo puede ser, igual a un
número entero de veces la carga fundamen
tal de la materia "
e
" (carga del electrón).
Q ne

siendo, "
n
" un número entero positivo, y
e=1,60210-19
C.
Ejem: 07
Se tiene una moneda de cobre de 4 g. El
número atómico del cobre es Z=29 y su
masa atómica es M=63,5 g/mol. Hallar el
valor de la carga total negativa de la mo
neda. (NA=6,021023
átomos/mol, e=-1,6
10-19
C, k=103
)
a) 175 kC b) 200 kC c) 225 kC
d) 250 kC e) 275 kC
Sol: 07
 Como el número de átomos contenido en
un mol de cobre es NA=6,021023
, el número
de átomos de cobre por mol es:
A
N 6,02átomos / mol
n
M 63,5g / mol
 
22 átomos
n 0,948 10
g

Ahora, como en cada gramo existen 0,948
1022
átomos, el número de átomos conténi
dos en 4 g de cobre es:
átomos
N mn (4g)(0,948 )
mol
 
22
N 3,79 10 átomos

e 2e 3e

B

54. Fuerza y carga eléctrica
Luego, como cada átomo tiene Z=20 s
e
, la
carga negativa total de la moneda es:
Q ZNe

22 19
Q (29)(3,79 )( 1,6 10 )

 
 3
Q 175 10 C
 
3) De invariancia relativista
La carga eléctrica de un cuerpo es indepen
diente de la velocidad con la que se despla
za, esto es, a mayor velocidad no aumenta
su carga, como ocurre con la masa. Esta in
varianza de la carga eléctrica esta relacio
nada con el segundo postulado de la teoría
de la relatividad de Einstein.
e) Medida de la carga eléctrica
El procedimiento para medir la magnitud
de una carga "
q
" es la siguiente:
1) A la distancia "
d
" del cuerpo fijo con car
ga arbitraria "
Q
" ubicamos la carga "q", y
medimos la fuerza de interacción "
F
" entre
ellas.
2) A continuación ubicamos una carga q' a
la misma distancia "
d
" de "
Q
" , y medi
mos la fuerza de interacción ´
F entre ellas.
3) Ahora, como las magnitudes de las cargas
q y ´
q son proporcionales a las fuerzas F y
F', se cumple que:
q F
q´ F´

4) Finalmente, escogiendo arbitrariamente q'
=1 C (carga unitaria), obtenemos la mag
nitud de la carga "q", así:
F
q
F´

2. FUERZA ELECTRICA
a) Análisis
 La ecuación matemática correcta que des
cribe la fuerza de interacción entre dos
cuerpos cargados eléctricamente, fue esta
blecida por Henry Cavendish.
 En tanto, la comprobación y validez expe
rimental de la ecuación postulada por Ca
vendish fue realizada por Augustin Cou
lomb, mediante la balanza de torsión que
consiste en una barra suspendida de un hi
lo metálico, capaz de experimentar torsión
Midiendo la fuerza de torsión que ejerce el
hilo sobre la barra se obtiene la fuerza. En
la barra de la balanza, Coulomb ubico una
pequeña esfera cargada, y otra esfera de i
gual carga ubico a diferentes distancias.
Luego, midió la fuerza entre ellas obser
vando el ángulo que gira la barra. Dichas
mediciones experimentales permitieron de
terminar que:
1) Si se duplica el valor de la carga 1
"q ", la
magnitud de la fuerza "F" se duplica. Si
se duplica 1
"q "y triplica 2
"q " la magnitud
de la fuerza "F" se sextuplica, por lo que,
la magnitud de la fuerza es directamente
proporcional al producto de las cargas
1
"q " y 2
"q ", esto es:
1 2
F q q

d
Q
Q
q
q´
F
F
F´
F´
A
d
F F
q1 q2

55. Robótica y Cibernética
2) Si se duplica la distancia "
d
" entre las car
gas 1
"q " y 2
"q " la magnitud de la fuerza
"F" disminuye en un factor de 4=22
, si se
triplica, disminuye en un factor de 9=32
y
así sucesivamente, por lo que, la magni
tud de la fuerza "F" es inversamente pro
porcional al cuadrado de la distancia, esto
es:
2
1
F
d

Reuniendo 1) y 2), podemos decir que:
1 2
2
q q
F
d

Introduciendo la constante de proporciona
lidad "
k
" , transformamos la ecuación ante
rior en una igualdad:
1 2
2
q q
F k
d

 La fuerza de interacción eléctrica es de
importancia fundamental en el mundo mi
croscópico (partículas elementales), pues
para pequeñas distancias esta fuerza es
muy intensa, decayendo rápidamente se
gún la inversa del cuadrado de la distan
cia, como se aprecia en la Figura.
b) Comprobación de la validez de la ecua-
ción de fuerza eléctrica
Consideremos dos esferitas de masas
"m" y cargas del mismo signo "q", sus
pendidas de dos hilos de longitud " ", y
separados una distancia 1
"d ".
1) Representemos las fuerzas que actúan so
bre cada una de las esferitas; su peso
"mg", la fuerza eléctrica "F", la tensión
en el hilo "T", y como las esferitas están
en equilibrio, formemos el triángulo de
fuerza.
En el triángulo de fuerzas tenemos:
1
F
tg
mg
 
2
1 2
1
q
mgtg k
d
  (1)
2) Al descargar una de las esferitas, y poner
lo en contacto con la otra, cada una de
ellas adquiere una carga q/2, siendo d2<d1
la nueva distancia de separación entre las
esferitas, como se aprecia en la Figura.
mg
l
q1
l
q2
F
T
T
F
mg
d1
1
1
RASA
mg
l
q1
l
q2
F´
T´
T´
F´
mg
d1
2
2
F
0 d
F1/d2

56. Fuerza y carga eléctrica
En el triángulo de fuerzas tenemos:
2
F´
tg
mg
 
2
2 2
2
q
mgtg k
d
  (2)
Dividiendo la ec.(1) entre la ec.(2):
2
1 2
2 1
tg d
4( )
tg d


 (3)
Como los ángulos 1
 y 2
 son difíciles de
medir, considerando las longitudes " " de
los hilos suficientemente largos, pode
mos hacer la siguiente aproximación:
d/2 d
tg sen
2
 
  
Con esto, la ec.(3) se reduce a la siguien
te expresión:
2
1 1 1
2 2 2
d d /2 d
4 ( )
d d /2 d
 
1/3
1 2
d /d 4

Así, midiendo 1
"d " y 2
"d " , comprobamos
que la ecuación para la fuerza F de interac
cción entre dos partículas cargadas se cum
ple.
c) Restricciones de la fórmula de fuerza
eléctrica
1) La expresión matemática solo es aplicable
a cargas puntuales estacionarias, y para ca
sos estáticos más complicados de carga ne
cesita ser generalizada mediante el poten
cial eléctrico "V", el cual, para una distri
bución de carga de densidad " "
 , viene da
do por:
V
(r ')dV'
V(r) k
r'

 
siendo, r , r ' los vectores de posición del
punto donde se calcula el potencial, y la
posición del diferencial de volumen, res
pectivamente.
2)Si las cargas eléctricas se mueven se debe
reemplazar el potencial de Coulomb por el
potencial vectorial de Liénard-Wiechert,
especialmente si las velocidades de las par
tículas son cercanas a la velocidad de la
luz (c=3108
m/s)
3) Si la distancia de separación de las cargas
es pequeñas (del orden del tamaño de los á
tomos), la fuerza electrostática efectiva de
be ser corregida por factores cuánticos.
4) Para campos eléctricos muy intensos pue
de ocurrir el fenómeno de la creación es
pontánea de pares de partícula-antipartícu
la que requieren corregir el campo para dis
tancias muy cortas.
d)Fuerza entre dos cargas puntuales
Para hallar las fuerzas de interacción eléc
trica en el vació entre dos cargas puntua
les 1
"q " y 2
"q " separados por una distan
cia "d", se procede, así:
* Fuerza de la carga q1 sobre q2.
d
q1
q2
r12
z
y
x
0
RASA

57. Robótica y Cibernética
- Se elige arbitrariamente el origen 0 del sis
tema de coordenadas, en general se elige
en la posición de la carga q1, y se traza el
vector desde la carga q1 hacia la carga q2,
que denotamos como 12
r .
- Con esto, expresamos el vector fuerza eléc
trica que ejerce q1 sobre q2.
1 2
12 12
3
12
q q
F k r
r
 ()
En esta fórmula se consideran los signos
de las cargas q1 y q2.
- A su vez, la magnitud de la fuerza eléctri
ca que ejerce la carga q1 sobre la q2 es:
2 1
12 12
3
12
q q
F k r
r

1 2
12 2
q q
F k
d

En esta fórmula no se consideran los sig
nos de las cargas q1 y q2, y además:
12 12
r r d
 
* Fuerza de la carga q2 sobre q1.
- Se elige arbitrariamente el origen 0 del sis
tema de coordenadas, en general se elige
en la posición de la carga q2, y se traza el
vector desde la carga q1 hacia la carga q2,
que denotamos como 21
r .
- Con esto, expresamos el vector fuerza eléc
trica que ejerce q2 sobre q1.
2 1
21 21
3
21
q q
F k r
r
 ()
En esta fórmula se consideran los signos
de las cargas q1 y q2.
- A su vez, la magnitud de la fuerza eléctri
ca que ejerce la carga q2 sobre la q1 es:
2 1
21 21
3
21
q q
F k r
r

1 2
21 2
q q
F k
d

En esta fórmula no se consideran los sig
nos de las cargas q1 y q2, y además:
21 21
r r d
 
De () y (), podemos decir que las fuer
zas de interacción eléctrica 12
F y 21
F , son
fuerzas de acción y reacción, pues son de
sentidos opuestos y de igual magnitud, es
to es
12 21
F F
  y 12 21
F F

Recordemos que las fuerzas de acción y
reacción actúan sobre cuerpos diferentes,
así, las fuerzas 12
F y 21
F actúan sobre las
cargas 2
"q " y 1
"q " , respectivamente.
También, debemos mencionar que la re
sultante de la suma de estas fuerza de ac
ción y reacción, siempre es nula
Ejem: 08
Dos cargas puntuales Q1=+2 C, Q2=-2
C se ubican sobre el eje Y, en y1=0,3 m,
y2=-0,3 m. Una tercera carga puntual Q3=
+4 C se ubica en el eje X en x=0,4 m.
(k=9109
Nm2
/C2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la
d
q1
q2
r12
z
y
x
0
RASA

58. Fuerza y carga eléctrica
carga puntual 3
"Q ".
a) 0,146 N b) 0,346 N c) 0,546 N
d) 0,746 N e) 0, 946 N
II) Hallar la dirección de la fuerza que actúa
sobre 3
"Q ".
a) 90º b) 180º c) 270º
d) 106º e) 233o
Sol: 08
 Representemos las fuerzas 1
F , 2
F que e
jercen las cargas 1
"Q ", 2
"Q " sobre 3
"Q ".
I) En la Figura, las magnitudes de las fuer
zas 1
F , 2
F son:
1 3
1 2 2
Q Q
F F k
d
 
6 6
9
1 2 2
(2 10 )(4 10 )
F F (9 10 )
(0,5)
 
 
1 2
F F 0,288N
 
Ahora, como las componentes de 1
F y 2
F en
la dirección del eje X se anulan, entonces, la
magnitud de la fuerza resultante sobre la car
ga 3
"Q " es:
o o
1
F 2F sen37 (2)(0,288)sen37
 
F 0,346N

II) En la Figura, la dirección de la fuerza re
sultante F es vertical hacia abajo.
Ejem: 09
En la Figura, las cargas puntuales de valor
Q=4 C que se encuentran sobre los arcos
de circunferencia de radio R=20 cm, equi
distan de los ejes x e y. Hallar el vector
fuerza eléctrica que ejerce la carga –Q so
bre la carga +Q. (k=9109
Nm2
/C2
)
Sol: 09
 Representación del vector trazado de la
carga negativa " Q"
 hacia la positiva " Q"

En la Figura, el vector unitario û en la di
rección de -Q hacia +Q, y la distancia "d"
entre las cargas, son:
2 2
ˆ ˆ
û i j
2 2
  
d 2R 2x 2R 2( 2R R)
    
d (2 2)R
 
Luego, el vector de la fuerza eléctrica que e
jerce la carga negativa sobre la positiva es:
2
( Q)(Q)
ˆ
F k u
d


9 6 2
2 2 2
( 2)(9 10 )(4 10 ) ˆ ˆ
F (i j)
(2)(2 2) (20 10 )


 

0,5m
F1
0,3m
0,4m
0,3m
F2
F
37o
Q1
Q2
Q3
53o
x
y
x
0
d
x
x
R
R
Q
Q
u

B

59. Robótica y Cibernética
 ˆ ˆ
F 7,4(i j)(N)
 
e) Fuerza eléctrica en un sistema de N
cargas puntuales
Consideremos un sistema de N cargas pun
tuales q1, q2,…,qN, distribuidas en diferen
tes posiciones en el vació, como el mos
trado en la Figura.
Utilizando la expresión de la fuerza entre
dos cargas puntuales q1, q2 dada en c), y
basado en el principio de superposición pa
ra fuerzas, podemos expresar la fuerza so
bre la carga i-ésima, i
"q ", debido a las o
tras (N-1) carga puntuales q1, q2, …,qN, a
sí:
N
i j
i ji
3
j 1 ji
q q
F k r
r

 
donde j
"q " (ji) es la j-ésima carga, ji
r
es el vector trazado de la carga j
"q " ha
cia la carga i
"q ", y rji es su módulo.
Conocido el vector fuerza i
F sobre la i-é
sima carga i
"q ", la magnitud de esta fuer
za, viene dado por:
N
i j
i i ji
3
j 1 ji
q q
F F k r
r

  
El principio de superposición para fuer
zas, establece que cada una de las fuer
zas actúa sobre la carga i
"q ", indepen
dientemente de la acción que ejercen las
otras cargas.
 En general la fuerza eléctrica entre las
cargas, depende de la magnitud y signos
de estas, del medio donde se encuentran
y de la distribución de las mismas.
Ejem: 10
Una carga puntual de Q1=5 C está ubi
cada en x1=1 m, y1=3 m y otra carga de
Q2=-4 C está ubicada en x2=2 m, y2=-2
m. (k=9109
N.m2
/C2
, e=1,610-19
C, =
10-6
, f=10-15
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre un
protón situado en x=-3 m, y=1 m
a) 0,305 fN b) 0,325 fN c) 0,345 fN
d) 0,365 fN e) 0,385 fN
II) Hallar la dirección de la fuerza resultante
que actúa sobre el protón.
a) 230,5º b) 232,5º c) 234,5º
d) 236,5º e) 238,5º
Sol: 10
 Representemos en el sistema de coorde
nadas rectangulares las posiciones de las car
gas Q1, Q2 y la del electrón e.
qN
q1
z
y
x
0
q2
qi
qj
rji
RASA
Q2
Q1
Q3
F1
F2
-3
-2
3
2 x(m)
y(m)
1
RASA
D

60. Fuerza y carga eléctrica
En la Figura, los vectores 1
r , 2
r trazados des
de las cargas Q1, Q2 hacia la posición del pro
tón Q3, y sus módulos son:
1
r ( 3,1) (1;3) ( 4; 2)m
     
2
r ( 3;1) (2; 2) ( 5;3)m
     
2 2 1/2
1
r [( 4) ( 2) ] 20 m
    
2 2
2
r [( 5) 3 ] 34 m
   
Con esto, calculemos las fuerzas que ejercen
las cargas Q1 y Q2 sobre el protón Q3, así:
1 3
1 1
3
1
Q Q
F k r
r

9 6 19
1 3/2
(9 10 )(5 10 )(1,6 10 )
F ( 4; 2)
20
 
  
16
1
F ( 3,22; 1,61) 10 N

  
2 3
2 2
3
2
Q Q
F k r
r

9 6 19
2 3/2
(9 10 )( 4 10 )(1,6 10 )
F ( 5; 3)
34
 

 
16
2
F (1,45; 0,87) 10 N

 
De modo que, la fuerza resultante sobre el
protón Q3, y su módulo son:
1 2
F F F
 
16
F ( 1,77 ; 2,48) 10 N

  
2 2 1/2
F [( 1,77) ( 2,48) ]
   
15
F 0,305 10 N


II) La dirección de la fuerza resultante que
actúa sobre el protón, viene dado por:
16
o 1
16
2,48 10
180 tg ( )
1,77 10





 

o
234,5
 
f) Fuerza eléctrica entre dos cuerpos con
distribuciones de carga continua
Consideremos dos cuerpos cargados, con
cargas 1
"q " y 2
"q " distribuidas uniforme
mente ya sea en su longitud, superficie o
volumen, como el mostrado en la Figura.
Consideremos dos diferenciales de carga
1
"dq " y 2
"dq " en cada uno de los cuer
pos, y apliquemos la expresión dada en
c), así:
1 2
12 12
3
12
dq dq
dF k r
r

Integrando esta expresión sobre los dos
cuerpos, obtenemos la fuerza que ejerce
el cuerpo "1" sobre el cuerpo "2":
1 2
q q
2
12 1 12
3
12
0 0
dq
F dq k r
r
  
 Por ejemplo, si los cuerpos son dos alam
bres de longitudes 1
" ", 2
" ", y densida
des de carga lineal 1
" "
 , 2
" "
 , respecti
0
dq1
dq2
r12
z
x
y
1
2
A
C

61. Robótica y Cibernética
vamente, la expresión anterior escribire
mos, así:
1 2
2 2
12 1 1 12
3
12
0 0
d
F d k r
r


  
 Del mismo modo, si los cuerpos son dos
superficies de áreas 1
"A ", 2
"A ", y densi
dades de carga superficiales 1
" "
 , 2
" "
 ,
respectivamente, la fuerza eléctrica del
cuerpo "1" sobre el cuerpo "2" es:
1 2
A A
2 2
12 1 1 12
3
12
0 0
dA
F dA k r
r


  
 Asimismo, si los cuerpos son sólidos de
volúmenes 1
"V ", 2
"V ", y densidades de
carga volumétrica 1
" "
 y 2
" "
 , la expre
sión inicial, se reduce a:
1 2
V V
2
12 1 1 12 2
3
12
0 0
F k dV r dV
r


  
 En todos los casos, las fuerzas de interac
ción entre los cuerpos, son de sentidos o
puestos y de igual magnitud, esto es:
12 21
F F
  y 12 21
F F

Ejem: 11
En la Figura, hallar la magnitud de la fuer
za de interacción eléctrica entre los fila
mentos metálicos muy finos de longitudes
a=10 cm y 2a=20 cm, y densidades de car
ga lineal uniformes de =210-5
C/m. (k=
9109
Nm2
/C2
, usar log(x))
a) 1,20 N b) 1,25 N c) 1,30 N
d) 1,35 N e) 1,40 N
Sol: 11
 Representación de un diferencial de carga
"dq" de longitud"dy"en el filamento verti
cal cargado negativamente.
En la Figura, la magnitud de la fuerza
eléctrica sobre el diferencial de carga "dq",
debido al campo eléctrico creado por el fila
mento horizontal cargado es:
dF Edq

2 2
o
a
dF ( )( dy)
2 y y a





2a
2
2 2
o a
a dy
F
2 y y a





2 2
2
2a
a
o
a y a
a 1
F [ og( )]
2 a y


 
 
9 5 2 1 5
F (2)(9 10 )(2 10 ) og( )
2(1 2)
 
 

 F 1,25 N

Nota
La fuerza "F" sale positivo, porque lo
que se ha calculado es su módulo.
g) Características
 Las fuerzas que actúan sobre las partícu
las, están dirigidas a lo largo de la recta
dq dy
y
a
2a

-
RASA
B

62. Teoría de Campos 1
P: 149
Cuatro cargas puntuales de q=+210-7
C es
tán en los vértices del tetraedro regular de la
dos a=2 cm Hallar la fuerza que ejercen tres
cargas sobre la cuarta carga.
a) 2,0 N k̂ b) 2,2 N k̂ c) 2,4 N k̂
d) 2,6 N k̂ e) 2,8 N k̂
Sol: 149
 Representemos las fuerzas ejercidas por
las tres cargas situadas en la base (plano x-y)
del tetraedro, sobre la cuarta carga.
En los triángulos rectángulos calculemos las
alturas "h", "H", así:
2 2 2
a 3
h a ( ) h a
2 2
   
2 2 2
2h 6
H a ( ) H a
3 3
   
Con esto, las coordenadas de posición de ca
da una de las cargas puntuales, y los vecto
res trazados de las cargas situadas en la base
a la cuarta carga, son:
1
P (0; 0; 0)
 , 2
P (0,5a ; 0,87a ; 0)

3
P (a ; 0; 0)
 , 4
P (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)

14 4 1
r P P (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
  
24 4 2
r P P 0; 0,58a ; 0,82a)
   
34 4 3
r P P ( 0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
   
14 24 34
r r r a
  
Ahora, calculemos las fuerzas que ejercen ca
da una de las tres cargas sobre la cuarta, así:
2 2
14 14
3 3
14
q q
F k r k (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
r a
 
2
14 2
q
F k (0,5; 0,29; 0,82)
a

2 2
24 24
3 3
24
q q
F k r k (0; 0,58a ; 0,82a)
r a
  
2
24 2
q
F k (0; 0,58; 0,82)
a
 
2 2
34 34
3 3
34
q q
F k r k (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
r a
 
FUERZA
ELECTRICA
P-02
a
2
3
4
x
y
z
q
q
q
a/2
h
H
a
a
a
1
q
60o
+q
+q
+q
+q
a
a
a
a a
a
4
z
x
y

63. Robótica y Cibernética
2
2
34 2
q
F k ( 0,5; 0,29; 0,82)
a
 
Luego, del principio de superposición, la
fuerza resultante sobre la cuarta carga es:
14 24 34
F F F F
  
2
2
q ˆ
F 2,46k (k)
a

9 7 2
2 2
(2,46)(9 10 )(2 10 ) ˆ
F k
(2 10 )



 ˆ
F 2,2N (k)

P: 150
Las barras delgadas de longitudes " " tienen
densidades de carga lineal uniformes " "
 .
La distancia entre los extremos de las barras
es "d". (k=9109
Nm2
/C2
, n=10-9
, usar ln(x)
I) Hallar la expresión para la magnitud de
la fuerza de repulsión entre las barras.
II) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4
nC/m, l=20 cm, d=4 cm.
a) 130,7 nN b) 140,7 nN c) 150,7 nN
d) 160,7 nN e) 170,7 nN
III) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4
nC/m, y l=d.
a) 41,4 nN b) 43,4 nN c) 45,4 nN
d) 47,4 nN e) 49,4 nN
Sol: 150
I) Representemos dos diferenciales de ba
rra de cargas "dq", en cada una de las barras
La magnitud de la fuerza eléctrica que ejer
ce la barra izquierda sobre el diferencial de
carga "dq´" tomado en la barra derecha a u
na distancia x' del origen común 0 es:
2
0
dq'dq
dF' k
(x' x)



2
0
dx
dF' kdq'
(x' x)




0
1
dF' k aq'( )
x' x



1 1
dF' k dq'( )
x' x'

 

En esta expresión, sustituyendo dq' dx'

 ,
e integrando sobre toda la barra derecha, ob
tEnemos la magnitud de la fuerza de repul
sión entre las barras, así:
F 2 d
2
0 d
1 1
dF' k ( )dx'
x' x'



 

 
2 d
2
d
F k [ n(x' ) n(x')]



  
2 d 2 d
F k [ n( ) n( )]
d d

 
 

2
2 ( d)
F k n
(2 d)d




x
dx
dx'
dq
dq'
x'-x
0
d
x'
l d l


B

64. Teoría de Campos 3
II) Evaluando esta expresión para: =410-
9
C/m, l=20 cm, d=4 cm, obtenemos:
2
9 9 2 (20 4)
F (9 10 )(4 10 ) n
[(2)(20) 4](4)
 


9
F 170,7 10 N


III) Evaluando esta expresión para: =410-
9
C/m, l=d, obtenemos:
2
9 9 2 (d d)
F (9 10 )(4 10 ) n
(2d d)(d)
 


9
F 41,4 10 N


P: 159
En el centro de un anillo de alambre delgado
de carga q=+210-8
C distribuida uniforme
mente en su longitud, se encuentra una carga
puntual de Q=+810-5
C. Si la magnitud de la
fuerza con la que se ensancha el anillo es
T=(8/) N, hallar el radio del anillo.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) 5 cm
Sol: 159
 Consideremos un elemento del anillo de
longitud l=2R., que contiene una car ga
q, como muestra la Figura.
Dado que Q>>q, entonces se puede obviar
en el anillo la interacción coulombiana so bre
si misma debida a su carga. La carga "Q"
ejerce sobre éste elemento de carga, una fuer
za igual a:
2
o
1 Q. q
F
4 R



 (1)
A su vez, la magnitud del elemento de carga
" q"
 , viene dado por:
q q



 (2)
Ahora, de la primera condición de equilibrio
la suma de las componentes verticales de la
tensión en los extremos del elemento de car
ga, debe ser igual a " F"
 , es decir:
F 2T sen
 

F 2T ( )
 
 (3)
pues, sen x x para x 0
 
Reemplazando (1), (2) en (3), obtenemos el
radio "R"del anillo, así:
2
o
1 Q
q 2T
4 R


 

2 2
o
q.Q
T
8 R
 

9 8 5
2
8 (9 10 )(2 10 )(8 10 )
2 R
 
 

 2
R 3 10 m


P: 160
Demostrar que la fuerza de interacción eléc
trica por unidad de área entre dos planos para
lelos muy grandes con densidades de carga
superficiales uniformes 1
" "
 y 2
" "
 , separa
dos una distancia "d", viene dado por:
F/A=12/2o, sien
Q
q
 
 
T T
q
E
l
R
R
C
A
E

65. Robótica y Cibernética
4
do o
" "
 una constante.
Sol: 160
 Tomemos en los planos paralelos un di
ferencial de carga "dq", y un anillo de radio
"r", espesor "dr" y densidad de carga " "
 .
La fuerza que ejerce el plano (2) de densidad
de carga superficial 2
" "
 sobre el diferencial
de carga "dq" situado en el plano (1) es:
2
o
dq
dF
2



En esta expresión sustituyendo dq=1dA, e
integrando sobre toda la superficie del primer
plano, obtenemos la fuerza de interacción en
tre los planos por unidad de área, así:
F A
1 2
o
0 0
dF dA
2
 


 
 1 2
o
F
A 2
 


Notas
1) Como se aprecia, esta fuerza es indepen
diente de la distancia de separación "d"
entre los planos cargados paralelos muy
grandes.
2) Se ha considerado que los planos tienen
densidades de carga positiva.
P: 172
En el eje de un anillo de alambre muy fino de
radio R=30 cm y carga Q=+310-10
C dis
tribuida uniformemente, se ubica un electrón
a una distancia "x" de su centro (x<<R). Ha
llar el período de las pequeñas oscilaciones
del electrón. (e=-1,610-19
C, me= 9,110-31
kg k=9109
Nm2
/C2
y  = 10-6
)
a) 1,3 s b) 1,5 s c) 1,7 s
d) 1,9 s e) 2,1 s
Sol: 172
 Representación de la fuerza eléctrica e
jercida por el anillo sobre electrón de carga -
e, y masa e
"m ":
En la Figura, la fuerza resultante sobre la
carga puntual, está dirigida en todo instan te
hacia el centro del anillo, y su magnitud es:
2 2 3/ 2
o
1 e.Q x
F
4 (x R )



Ahora, como x<<R, entonces despreciando
"x" frente a "R", tenemos:
3
o
k
e.Q
F x
4 R


Como esta fuerza es del tipo de Hooke, F=
k.x, la carga se mueve alrededor del centro
del anillo con movimiento armónico simple,
de periodo igual a:
1 d
2
dF
dq
- e, me
Q
R
x
F
F

66. Teoría de Campos 5
e
T 2 m /k


1/ 2
e
3
o
m
T 2 [ ]
e.Q/4 R



3 1/ 2
o e
T 2 [4 m R /e.Q]
 

31 1 3
1/2
9 19 10
(9,110 )(3 10 )
T 2 [ ]
(9 10 )(1,6 10 )(3 10 )

 
 

 T 1,5 s


P: 191
Hallar la magnitud de la fuerza de interac
ción eléctrica entre el anillo de alambre fino
de radio R=10 cm y carga eléctrica q=410-6
C y el hilo metálico muy largo de densidad
lineal de carga uniforme   210-10
C/m,
que pasa por el centro del anillo.
a) 12 N b) 24 N c) 36 N
d) 48 N e) 72 N
Sol: 191
 Integrando sobre todo el filamento obte
nemos la fuerza total de interacción:
F
2 2 3/ 2
o
0 0
q y dy
dF
4 (y R )




 
0
2 2
o
q 1
F [ ]
4 y R


 

2 2
o
q 1 1
F ( )
4 R R


 

Representación de la fuerza eléctrica ejerci
da por el campo "E", sobre un diferencial de
carga "dq" del filamento.
Tomando el límite para   , obtenemos:
o
q
F
4 R



9 10 6
1
(9 10 )(2 10 )(4 10 )
F
10
 


 6
F 72 10 N


P: 192.
¿Qué carga puede suministrarse a la go ta de
radio R=0,5 cm, si el coeficiente de tensión
superficial es igual a =0,5 N/m? (k = 9109
Nm2
/C2
)
a) 14,7 nC b) 16,7 nC c) 18,7 nC
d) 20,7 nC e) 22,7 nC

l
R
dF
dq dy
y
q

R

¿Q?
R
B
E

67. Robótica y Cibernética
6
Sol: 192
 Representación de las fuerzas de ten
sión superficial F y eléctrica F' en la gota.
De la expresión de la presión eléctrica,
P=2
/2o, obtenemos la magnitud de la fuer
za de extensión sobre la gota, debida a su
carga eléctrica "Q", así:
F
P F PA
A
  
2
2 2
2
o o
1 Q
F A ( ) ( R )
2 2 4 R


  
 
2
2
o
Q
F
32 R


De otra parte, la magnitud de la fuerza de
tensión superficial, que actúa en la superfi
cie de la gota, viene dado por:
F' 

F' (2 R)
 

Luego, por condición del problema, se cum
ple que, F = F', luego
2
2
o
Q
2 R
32 R
 


2 3 1/ 2
o
Q (64 R )
  

3 3 1
1/2
9
(16 )(5 10 ) (5 10 )
Q [ ]
9 10
  

 9
Q 18,7 10 C


 Nota
"A" es el área de la base de la mitad de la
gota (hemisferio).
P: 166
Las mitades del anillo muy delgado de radio
R=20 cm, tienen densidades de carga lineal
de =2 nC/m. Hallar la fuerza que ejerce el
anillo sobre la carga de prueba qo=8 pC, u
bicada en su centro. (k=9109
Nm2
/C2
, n=
10-9
, p=10-12
)
a) 1,04 ˆ
j nN b) 1,24 î nN
c) 1,44 ˆ
j nN d) 1,64 î nN
e) 1,84 k̂ nN
Sol: 166
 Teniendo en cuenta la simetría que pre
senta el anillo, representemos las fuerzas "F"
que ejercen cada una de las mitades del
anillo, sobre la carga de prueba o
"q ".
F
F’
R
qo X
Y
+
-
F F
R
R
z
x
y
qo
+
-
C