Este documento presenta conceptos básicos sobre divisibilidad de números enteros como divisores, múltiplos, cociente y residuo de una división. Incluye propiedades de la divisibilidad y criterios para determinar si un número es divisible por números entre 2 y 11. Finalmente, contiene 20 problemas sobre divisibilidad para resolver.

1. DIVISIBILIDAD
PROFESOR: CARLOS FERNANDEZ

2. Si 𝑎 = 19, 𝑏 = 3; existe 𝑞 = 6 y 𝑟 = 1,
tal que 19 = 3 × 6 + 1.
Para cualesquiera enteros positivos 𝑎 y 𝑏 existen los enteros,
no negativos, 𝑞 y 𝑟 tales que: 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑏; donde 𝑞
es llamado cociente y 𝑟 residuo.
Algoritmo de la división
Un número entero 𝐴 es múltiplo de otro
entero 𝐵 si existe un número entero 𝑛 tal
que: 𝐴 = 𝑛 × 𝐵.
Múltiplo de un número
Notación: 𝐴 es múltiplo de 𝐵 se denota 𝐴 = 𝐵
Un número entero 𝐴 es divisor del entero 𝐵
si existe un entero 𝑘 tal que 𝐵 = 𝐴 × 𝑘.
Divisor de un número
Notación: 𝐴 es divisor de 𝐵 se denota 𝐴|𝐵
Ejemplos:
❑ 12 es múltiplo de 4, pues existe el entero 3 tal que
12 = 3 × 4.
❑ −20 es múltiplo de 5, pues existe el entero −4 tal
que −20 = −4 × 5.
❑ 0 es múltiplo de 70, pues existe el entero 0 tal que
0 = 0 × 70.
❑ 15 no es múltiplo de 4 pues no existe un entero 𝑛 tal
que 15 = 𝑛 × 4.
Ejemplos:
❑ 4 es divisor de 12, pues existe el entero 3 tal que
12 = 4 × 3.
❑ 10 es divisor de 70, pues existe el entero 7 tal que
70 = 10 × 7.
❑ −2 es divisor de 8, pues existe el entero −4 tal que
8 = −2 × −4.
❑ 15 no es divisor de 20 pues no existe un entero 𝑘 tal
que 20 = 15 × 𝑘.
DIVISIBILIDAD I

3. Propiedades
❑ Si 𝑎|𝑏 → 𝑎|𝑏𝑘, siendo 𝑘 entero.
❑ Si 𝑎|𝑏 y 𝑎|𝑐 → 𝑎|(𝑏 ± 𝑐).
❑ Si 𝑎|𝑏 y 𝑎|𝑐 → 𝑎|(𝑏𝑚 ± 𝑐𝑛), para cualesquiera 𝑚, 𝑛 enteros.
❑ Si 𝑎|(𝑏 ± 𝑐) y 𝑎|𝑏 → 𝑎|𝑐.
Dado los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐 enteros:
El uno es divisor de
todos los números.
¿Sabías que?
El cero es múltiplo de
todos los números
Además
Si 𝐴 = 𝑀
𝐴 = 𝑁
𝐴 = 𝑃
𝐴 = mcm(𝑀, 𝑁, 𝑃)

4. Divisibilidad por 2
Que su último dígito
sea divisible entre 2
(es decir, que sea par).
3574 es divisible entre 2
porque 4 es divisible entre 2.
Divisibilidad por 4
Que el número formado
por sus últimos dos dígitos
sea divisible entre 4.
712 es divisible entre 4 porque
12 es divisible entre 4.
Divisibilidad por 8
Que el número formado
por sus últimos tres dígitos
sea divisible entre 8.
5312 es divisible entre 8
porque 312 es divisible entre 8.
Divisibilidad por 5
Que su último dígito
sea 5 o 0.
1345 es divisible entre 5
porque termina en 5.
Divisibilidad por 25
Que el número formado por
sus últimos dos dígitos sea
divisible entre 25.
185375 es divisible entre 25
porque 75 es divisible entre 25.
Divisibilidad por 125
Que el número formado
por sus últimos tres dígitos
sea divisible entre 125.
752500 es divisible entre 125
porque 500 es divisible entre 125.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

5. Divisibilidad por 3
Que la suma de sus dígitos
sea divisible entre 3.
2451 es divisible entre 3 porque 2 +
4 + 5 + 1 = 12 es divisible entre 3.
Divisibilidad por 7
La suma de los productos de los dígitos del
conjunto {1, 3, 2, –1, –3, –2} por los dígitos
de las unidades, decenas, centenas, etc., del
número a probar es múltiplo de 7.
3423 es divisible por 7 ya que la suma: 3 ×
1 + 2 × 3 + 4 × 2 + 3 × (−1) = 3 + 6 +
8 − 3 = 14 es múltiplo de 7.
Divisibilidad por 6
Que cumpla el criterio
del 2 y el criterio del 3.
168 es divisible entre 6 porque termina en 8
y porque 1 + 6 + 8 = 15 es divisible entre 3.
Divisibilidad por 9
Que la suma de sus dígitos
sea divisible entre 9.
6453 es divisible entre 9 porque 6 +
4 + 5 + 3 = 18 es divisible entre 9.
Divisibilidad por 33 y 99
Que al agrupar sus dígitos de dos en
dos, a partir de la derecha y sumar
dichos grupos, nos da un múltiplo
de 33 o 99 respectivamente.
28644 es divisible por 33 porque
44 + 86 + 2 = 132 es múltiplo de 33.
Divisibilidad por 11
Que la suma de los dígitos en las
posiciones pares menos la suma
de los dígitos en las posiciones
impares sea 0 o múltiplo de 11.
2739 es divisible entre 11
porque (2 + 3) − (7 + 9) = −11.

6. PROBLEMA 1
En la pizarra están escritos los primeros 𝑛 números naturales:
1, 2, 3,…,𝑛.
De esos números, sabe que cuatro son múltiplos de 5 y once son múltiplos de 2.
Determine todos los posibles valores de 𝑛.

7. PROBLEMA 2
Lucas escribe en una pizarra todos los números múltiplos de 3 desde el 3 hasta 2010.
Luego Andrea borra todos los números que son pares. ¿Cuántos números quedan en la
pizarra?

8. PROBLEMA 3
El número de tres dígitos 7𝑎4 es múltiplo de cada uno de sus dígitos, determine el
valor de 𝑎.

9. PROBLEMA 4
Un número natural 𝑁 > 80 es divisible por exactamente cuatro elementos del
conjunto {1, 2, 3, 4, 6}. Entonces podemos asegurar que 𝑁 no es múltiplo de:

10. PROBLEMA 5
Al dividir un número natural 𝑁 entre 2020 obtenemos 1829 de resto. ¿Cuál es el resto
de dividir 3𝑁 entre 20?

11. PROBLEMA 6
Sea 𝑁 el menor número natural que tiene 131 dígitos, es múltiplo de 11, y cumple que
al multiplicar sus dígitos se obtiene un número mayor que 3. Determine la suma de los
dígitos de 𝑁.

12. PROBLEMA 7
Se tiene 𝑛 enteros positivos consecutivos, donde cada uno tiene 2 dígitos. Si el
producto de esos 𝑛 números es múltiplo de 2014, ¿cuál es el menor valor posible de 𝑛?

13. PROBLEMA 8
Sea 𝑁 el menor entero positivo que está formado por 4 dígitos distintos, es múltiplo de
9 y es coprimo con 10. ¿Cuál es el dígito de las unidades de 𝑁?

14. PROBLEMA 9
Hallar el menor entero positivo 𝑛 para el cual 𝑛2
+ 20𝑛 + 19 es divisible por 2019.

15. PROBLEMA 10
Encuentre el menor número natural tal que la suma de sus dígitos es 13 y el producto
de sus dígitos es 72. Dé como respuesta el resto de dividir dicho número entre 7.

16. PROBLEMA 11
Determine cuántos números capicúas de cuatro dígitos son múltiplos de 18, pero no
son múltiplos de 4.
𝐴𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda. Por ejemplo 202 y 8338 son capicúas.

17. PROBLEMA 12
De la siguiente lista:
2011+1, 20112 + 2, 20113 + 3, … , 20112011+2011
¿Cuántos números son múltiplos de 3?

18. PROBLEMA 13
Encuentre el menor número natural par que tiene cuatro dígitos distintos y la suma de
ellos es 19. Dé como respuesta el resto de dividir dicho número entre 7.

19. PROBLEMA 14
Un conjunto de números enteros positivos se llama 𝑏𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜 si todos sus elementos son
menores que 10000 y el producto de cualesquiera tres de ellos no es múltiplo de 2013.
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener un conjunto bonito?

20. PROBLEMA 15
Llamemos a un año un añ𝑜 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑜 si su número es divisible por todos los números del
1 al 9, excepto uno. Por ejemplo, 2016 es un año bueno. ¿Cuál es el próximo año bueno?

21. PROBLEMA 16
José escribe los números 1; 4; 7; 10; … ; 397; 400 en una pizarra. Luego borra todos los
que son divisibles por 5. ¿Cuántos números quedan en la pizarra?

22. PROBLEMA 17
Sonia escogió 97 números del conjunto {1, 2, 3,…,99}. Si se sabe que la suma de los
números que escogió Sonia es múltiplo de 50 pero no es múltiplo de 100, entonces
podemos asegurar que:
A. Sonia escogió 49 números pares y 48 números impares.
B. Sonia escogió 47 números pares y 50 números impares.
C. Sonia escogió el número 1.
D. Sonia escogió el número 50.
E. Sonia escogió el número 99.

23. PROBLEMA 18
Sea 𝑛 un número natural. Alberto escribe en la pizarra todos los números 1,
2,…,𝑛. Luego, Beatríz reemplaza todos los números de la pizarra: cada número impar lo
reemplaza por el resto al ser dividido entre 3 y cada número par lo reemplaza por el
resto al ser dividido entre 4. De esa forma, en la pizarra solo aparecen números iguales
a 0, 1 o 2. Si en la pizarra hay al menos 100 ceros, ¿cuál es el menor valor posible de 𝑛?

24. PROBLEMA 19
Sea 𝑛 un número natural. El residuo que se obtiene al dividir 𝑛 entre 2023 es 80 veces
el residuo que se obtiene al dividir 𝑛 entre 2022. Hallar el menor valor posible de 𝑛.

25. PROBLEMA 20
Hallar la cantidad total de números naturales de la forma 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 tales que
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 y 𝑓 son los dígitos 1; 2; 3; 4; 5 y 6 en algún orden, y se cumple que:
▪ 𝑎𝑏 es divisible por 2.
▪ 𝑎𝑏𝑐 es divisible por 3.
▪ 𝑎𝑏𝑐𝑑 es divisible por 4.
▪ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 es divisible por 5.
▪ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 es divisible por 6.