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Preuniversitario
 Centro República




Módulo de estudios
 PSU Matemáticas
       2011




     Rodrigo Alarcón Villalonga

             Docente

   Preuniversitario Centro República
Unidad 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

       Los números son elementos abstractos que nos permiten enunciar cantidades.
Para identificarlos utilizamos símbolos.

        A los largo de nuestra historia distintas civilizaciones han utilizado distintos
sistemas de numeración. Los mayas, por ejemplo, utilizaban una base 20 (construían
sus cifras con 20 símbolos distintos), ya utilizaban los dedos de sus pies y manos para
contar elementos. Los árabes utilizaban un sistema decimal en base 10 (construían sus
cifras con 10 símbolos distintos), ya que realizaban el recuento de los objetos con los
dedos de sus manos solamente. Al momento de representar visualmente los números
la diversidad de sistemas aumentó enormemente.

       El problema de esta inmensa gama de representaciones numéricas es que para
representar cifras más grandes se necesitaban nuevos símbolos.

        Nuestro sistema de numeración se basa en uno inventado por los indios hacia
el siglo VII D. C. y que tomarán los árabes, quienes lo llevaron hacia Europa.

         Nuestro sistema numérico es en base 10 y sus elementos son los dígitos.

         Dígitos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,l 9}

        Con éstos símbolos podemos construir cualquier cifra que necesitemos
ubicándolos en las posiciones correctas, así de izquierda a derecha tenemos la
unidades, luego las decenas, luego las centenas, las unidades de mil, las decenas de
mil, etc

Ejemplo el número 102.748 está compuesto por :

8   unidades (U)
4   decenas (D)
7   centenas (C)
2   unidades de mil (UM)
0   decenas de mil (DM) y
1   centena de mil (CM)

Números naturales:

Son los números enteros positivos, van des el 1 hasta el infinito positivo.




El conjunto de los números naturales tiene ciertas características :

     •   Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el
         mismo número aumentado en una unidad. Ejemplo el sucesor de 5 es 6.
     •   Todo número natural (exceptuando el “1”) tiene un antecesor. El antecesor de
         un número natural es el mismo número disminuido en una unidad. Ejemplo el
         antecesor de 5 es 4.

                                        n –1         n   n +1
                                      antecesor          sucesor

     •   El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último
         número natural.

Además de las propiedades anteriormente señaladas este conjunto se puede separar
en dos “subconjuntos” Los Pares y los Impares.

Números pares : Son aquellos de la forma 2n. Los números pares son : 2, 4, 6, 8,
                10, 12 .......



                                                2
n –2           2n     n +2
                              antecesor par          sucesor par

Números impares : Son aquellos de la forma 2n - 1. Los números impares son : 1,
               3, 5, 7, 9, 11 ......
                            2n –3       2n - 1     2n +1
                      antecesor impar           sucesor impar

Propiedades de la paridad
   • La suma de dos números pares es un número par.
   • La suma de dos números impares es un número par.
   • La suma de un número par y uno impar es un número impar.
   • El producto de dos números pares es un número par.
   • El producto de dos números impares es un número impar.
   • El producto de un número par por uno impar es un número par.
   • El cuadrado de un número par es un número par.
   • El cuadrado de un número impar es un número impar.


Dentro del conjunto de los números naturales existen los números primos y los
números compuestos.
Números primos : son aquellos que se pueden descomponer en sólo dos factores, el
                   mismo número y el “1”. O dicho de otra manera se pueden dividir
                   solamente por el mismo número y el “1”.
Números compuestos: son aquellos que se pueden descomponer en más de dos
                   factores.

Múltiplos de un número : es el conjunto de números formado por el producto
                       (multiplicación) de un número por un serie de números naturales.
Ejemplos :
Múltiplos del 4 : M(4) = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 .....}
Múltiplos del 3 : M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 .....}

Mínimo común múltiplo (MCM) : Es el menor de los múltiplos comunes de dos o
                mas conjuntos de múltiplos. En los          ejemplos anteriores
                (múltiplos del 3 y múltiplos del 4) observamos que los múltiplos
                comunes son : el 12, el 24 y el 36, el 12 es el menor, por lo
                tanto el 12 es el mínimo común múltiplo (MCM). Éste concepto es
                muy importante para el trabajo con fracciones.

Divisores de un número : Son todos los productos (factores) de un número, o bien
                      todos los números que pueden dividir a otro número.
Ejemplo :
Los divisores del 24 : D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Los divisores del 18 : D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Máximo común divisor (MCD) : Es el mayor divisor común a dos o más números.
                En los ejemplos anteriores (divisores del 24 y divisores del 18)
                los divisores comunes son el 1, el 2, el 3 y el 6, pero el mayor de
                ellos es el 6, por lo tanto el 6 es el máximo común divisor
                (MCD). Éste concepto es muy importante para la simplificación de
                fracciones.

Criterios de divisibilidad.

  Número                         Criterio                               Ejemplo

                                                                   378: porque "8" es
  2         El número termina en cero o cifra par.
                                                                   par.

                                                                   480: porque 4+ 8+
  3         La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.             0 = 12 es múltiplo
                                                                   de 3.




                                            3
El número formado por las dos últimas cifras es       7324: porque 24 es
  4
            00 ó múltiplo de 4.                                   múltiplo de 4.

                                                                  485: porque acaba
  5         La última cifra es 0 ó 5.
                                                                  en 5.

                                                                  24: Ver criterios
  6         El número es divisible por 2 y por 3.
                                                                  anteriores.

            Para números de 3 cifras: Al número formado por
                                                                  469: porque 46-
            las dos primeras cifras se le resta la última
                                                                  (9*2)= 28 que es
            multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de
                                                                  múltiplo de 7.
            7, el número original también lo es.
  7
            Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos
                                                                  52176376: porque
            de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada
                                                                  (37-12) - (17-12) +
            grupo. Sumar y restar alternativamente el
                                                                  (5-4)= 25-5+1= 21
            resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el
                                                                  es múltiplo de 7.
            resultado final es un múltiplo de 7.

            El número formado por las tres últimas cifras es      27280: porque 280
  8
            000 ó múltiplo de 8.                                  es múltiplo de 8.

                                                                  3744: porque
  9         La suma de sus cifras es múltiplo de 9.               3+7+4+4= 18 es
                                                                  múltiplo de 9.

                                                                  470: La última cifra
  10        La última cifra es 0.
                                                                  es 0.



Números cardinales

Son los naturales mas el conjunto vacío (0).

                           IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}


El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las
mismas      propiedades    y     características    que    en     los    Naturales.




Números enteros

Este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no es
positivo ni negativo:




Z+ : es el conjunto de los enteros positivos
Z - : es el conjunto de los enteros negativos


Recta numérica de los números enteros




                                           4
Valor absoluto o Módulo de un número entero




       El valor absoluto se refiere a la distancia que existe entre el número y el 0
(cero) en la recta numérica.


Operatoria en Z
Cuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a
los signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquiera
por a, b     . Entonces:

a) Adición (suma)       a + b. (importante:                )

Caso 1: Suma de enteros de igual signo:

Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.

Ejemplo: –7 +–15 = -22

Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22


Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:
Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor
valor absoluto.


Ejemplo: -20 + 4 = –16
O bien: 4 –20 = –16

b) Multiplicación y/o división
Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la
siguiente regla:

Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.

Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.

Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:




c) Sustracción (resta)       a–b



                                             5
La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).


Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al
opuesto de b.

Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.

Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23
Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34
Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19

Prioridad de operatoria matemática en los Z.
En la operatoria combinada con números enteros, se procede según la siguiente
prioridad:


1° Paréntesis
2° Multiplicaciones y divisiones
3° Sumas y restas


Números racionales

Son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros:




Ejemplos de racionales, son:



Los números naturales:



Los números enteros:


Los números decimales finitos:



Los números decimales infinitos periódicos:



Los números decimales infinitos semiperiódicos:


OPERATORIA EN

a) Adición y sustracción de fracciones:




                                           6
b) Multiplicación de fracciones:




c) División de fracciones:




d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna,
alineando la coma decimal.



0,23 + 1,4 =

e) Multiplicación de decimales:

Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantas
cifras decimales como tengan los factores:

0,2 . 1,54 =

2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultado
debe tener tres decimales:

0,2 . 1,54 = 0,308

f) División de decimales:

Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en
el divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, se
efectúa la división entre estos enteros.



                                           7
0,02 : 0,5 =

Corremos la coma dos lugares a la derecha:

2 : 50 =

La división resulta:

200 : 50 = 0,04

COMPARACIÓN ENTRE RACIONALES

Si queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras
decimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma:




Agregamos cifras decimales para poder comparar:

x = 0,23 | 0...
y = 0,23 | 2...
z = 0,23 | 3...

Por lo tanto: x < y < z

Si queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y
comparar los productos resultantes:



Ordenar de menor a mayor:

Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20:




           Como 21 > 20 se deduce que

Si las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luego
multiplicar cruzado con los números positivos.

Aproximación decimal
Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas
cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una
aproximación decimal.

1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se
aumenta en una unidad el dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:




2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el
dígito anterior.
 Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:




                                            8
Números irracionales

Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números
enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto
se designa con la letra       .




Números reales

Es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto se
designa con la letra      .

                                       R = Q U Q’

Pertenecen al conjunto de los Reales IR (todos los números) :

   •   El cero, los enteros positivos y negativos;
   •   Las fracciones;
   •   Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y
   •   Los irracionales




Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:




La Recta Real

       Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello
se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el
número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se
sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los
negativos a su izquierda.




      La operatoria en los números reales está definida por dos
operaciones básicas : la suma y la multiplicación, todas las demás
operaciones se derivan de estas dos.

Propiedades algebraicas de los números Reales


                                            9
A continuación se presenta una tabla que resume las principales
propiedades algebraicas de los números reales.

Sean a, b y c números reales :

       Propiedad                         Suma                             Producto
Conmutativa                          a+b=b+a                             a•b=b•a
Asociativa                      (a + b) + c = a +( b +c)           (a • b) • c = a • (b • c)
Existencia de elemento                a + (-a) = 0                        a•1=1
neutro                                                                      a
Distributiva de la                                 a • (b + c) = ab + ac
multiplicación con
respecto a la adición

A estas propiedades hay que agregar la propiedad de clausura :

Si a y b Є a R (números reales) =>
 a• b y a + b también Є a R.




Prioridad de operatoria matemática en los Reales
En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente
prioridad:


1°   Paréntesis
2°   Potencias y raíces
3°   Multiplicaciones y divisiones
4°   Sumas y restas



Ejemplo 1:

13 - (-7 + 3 9) – 32 =
        Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)

Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.

Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20
       Segundo: el cuadrado de 3 = 9

         Está quedando: 13 – 20 – 9
         Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.


Ejemplo 2:

Resolver:




La raya de fracción obliga primero a resolver el numerador y el denominador, por
separado.


En el numerador se transformará el decimal 0,2 a fracción:




                                              10
En el numerador se resuelve primero la división de fracciones:




Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador:




Finalmente la división de fracciones:




Simplificando por 2:

            =    =

Números Imaginarios

Los números reales (R) permiten representar infinitos números, pero no pueden
representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como por ejemplo

                               x2 + 3 = 0 ó 5x2 + 2 = 0

En general no se pueden solucionar aquellas ecuaciones que representen un número
negativo dentro de una raíz de índice par (por ejemplo raíces cuadradas).

A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya que
no pueden representarse a través de los números Reales. Se representan por el
símbolo I.

Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación
                                   x2 + 1 = 0

la cual determina como solución la siguiente expresión :
                                      x = ±√-1,

la cual da origen a la unidad imaginaria :
                                        i = √-1,

finalmente la solución de la ecuación es :
                                        x=±i
Ejemplos de números imaginarios :
• 2i
• 5+i
• 24 –7i

donde i representa ala unidad imaginaria.


Números complejos

El conjunto de los números complejos (el cual se representa con el símbolo C) es la
unión de los números reales con los números imaginarios :


                                            11
C=RUI




                                          I

                                   4+2i
                                   3i




                               C

       Al conjunto de los números complejos pertenecen todos los números.


Potencias de base real y exponente entero

       Una potencia el la multiplicación sucesiva de un mismo término, llamado base,
tantas veces como lo indique otro término llamado exponente.




Ejemplos :

               = 16

                  = 2187

                 = 15625

Definición:




Propiedades:




                                          12
Raíces.




Potencia de exponente racional
          Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a la
raíz enésima de la emésima potencia de a:




Propiedades de las raíces:

Raíz de un producto


Raíz de un cuociente


Raíz de una potencia


Raíz de una raíz


Amplificación de una raíz


Simplificación de una raíz

Racionalización
          Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica la
comparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar el
numerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma:




          En esta expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puede
racionalizar multiplicando          por            ya que formarán una Suma por
Diferencia,  lo    que    permite   eliminar   las   raíces  en  el  denominador.




             Unidad 2. RAZONES Y PROPORCIONES Y PORCENTAJES

Razón

      Es la comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una
misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.)



                                         13
Se define :




                                                        ó   a : b
y se lee "a es a b"

     La primera de ellas a se llama antecedente (d i v i d e n d o ) y la segunda b se
llama consecuente (d i v i s o r ) y siempre se deben escribir en el orden dado.

       Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la

razón entre sus edades es:    . Si simplificamos por tres obtenemos:    .


       Como se dijo anteriormente una razón sirve para comparar dos cantidades:
Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4)




La razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muy
importante.
Ejemplo :
       Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24
de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?
Solución:
La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente.
Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.
La razón pedida es:



Simplificando por 8, la razón queda en 3/5, lo que significa que la mezcla está
conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada
8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.



Proporción

La igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdad

entre las razones anteriores:      es una proporción, lo que se puede constatar
porque los productos cruzados son iguales:

12 . 5 = 4 . 15

La propiedad:



                                                    ,

se denomina propiedad fundamental de las proporciones y se expresa verbalmente de
la siguiente manera “ dos razones son proporciones sí y sólo sí el producto de los
medios es igual al producto de los extremos”




                                           14
Cálculo del término desconocido de una proporción

Si en la proporción      se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularlo
aplicando la propiedad fundamental:



De este modo, si             w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z.



                                        w=



                                        z=




                                       x=



                                       y=


Ejemplo: Calcular x en la proporción

Solución:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

                                    7,5 · 10 = 4 · x

                                        75 = 4x


                                            =x

                                       x = 18,75

Serie de razones o serie de proporciones

La serie de razones:    a:c:e=b:d:f

Puede ser expresada como :




con k = constante.

Ejercicio:

Se desea cortar un alambre de 720 mm en trozos de modo que la razón de sus
longitudes sea 8:6:4.

¿Cuánto mide cada trozo de alambre de acuerdo al orden de las razones dadas?.

1°.- se suman las razones : 8 + 6 +4 = 18

2°.- se divide la cantidad total dada por la suma de las razones : 720: 18 = 40 ( a este
      valor se le llama constante de proporcionalidad (k)).



                                          15
3°.- Se multiplica cada una de las razones dadas por k y se obtienen los valores
      requeridos: 8 • 40 = 320 mm; 6 • 40 = 240 mm y 4 • 40 = 160 mm.




PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante:




k se denomina la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de
puntos que están sobre una recta que pasa por el origen.




Ejemplo:

Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina
consumirá en un viaje de 192 km?

Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina:




Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:




PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:




k se denomina la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de
puntos que están sobre una hipérbola.




                                          16
Ejemplo:

Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?

Por estar en proporcionalidad inversa              el   producto   entre   las   variables:
número de obreros – tiempo, es constante:




Aplicaciones de la Proporcionalidad

Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad:

1º:   Lectura comprensiva del texto del problema.
2º:   Identificación y ordenación de los datos dados.
3º:   Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.
4º:   Planteamiento de la proporción según tipo.
5º:   Resolución algebraica.
6º:   Respuesta y verificación de la solución.

Ejemplo:

      Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros
cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?

Ordenación y análisis de los datos:
      6 obreros                          18 metros
      9 obreros                          x metros

En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan
más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia,
se forma la siguiente proporción:




La cual, al ser resuelta, se tiene:




                                                   metros




Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.

PORCENTAJE

El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un
100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que




                                              17
ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido
la 5/100 parte.

      Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente
ocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es:




El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad
directa:




La base para las operaciones de cálculo de porcentaje es :

                        cantidad total    =     parte de la cantidad
                           100%                         tanto %

O bien :

cantidad total                           100%
parte de la cantidad                      tanto %

Existen tres casos para la operación con porcentajes :

Primer caso: Calcular el tanto % de una cantidad.

Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100%
es q y el p% es x (valor a calcular).

                                   q =        x
                                  100%        p%
Aplicando proporciones, se tiene que:


Donde, al despejar el valor de “ x” se tiene:




Esta última relación puede manipularse para concluir que:

En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y se
multiplica por el % pedido.

Ejemplo : calcular el 20% de 50

   50   = x
   100%  20%

x = 50 • 20   = 10
     100

Segundo caso: ¿Qué porcentaje es una cantidad, respecto de otra cantidad?




                                              18
Planteando la proporción, se tiene:

                              q =     p
                             100%     x%

Despejando x se tiene:




Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa p
de q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100.

Ejemplo : Calcular qué porcentaje es 20 de 60

 60     =     20
100%          x%

x = 100 • 20    = 33.33%
     60

Tercer caso: ¿Cuál es el número cuyo tanto % es una cantidad conocida?

Planteando la proporción correspondiente, se tiene que:

                                   x =     q
                                  100%     p%

Al despejar “x” se logra, que:




Ejemplo : encontrar el número cuyo 25% es 8

 x   = 8
100%   25%

x = 100 • 8    = 32
     25

Aumento de un número en un cierto porcentaje:
Este cálculo se puede plantear de dos maneras :
   1) Utilizar la fórmula :
   VF = VI • (1 + % ), donde
                 100
   VF : valor final
   VI: valor inicial
   % : porcentaje a subir.

   Ejemplo :
   Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
   VF = 5000 • (1 + 5/100)
   VF = 5.000 • (1 + 0.05)
   VF = 5.000 • (1.05)
   VF = $5.250

   2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a aumentar más el 100%

   Ejemplo :


                                           19
Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
   5% + 100 % = 105%, se busca el 105% de 5.000
   5.000 =       x
    100%       105%
   x = 5.000 • 105
          100
   x = $5250

Disminución de un número en un cierto porcentaje:
Se procede igual que en el caso anterior :
   1) Utilizar la fórmula :
   VF = VI • (1 - % ), donde
                   100
   VF : valor final
   VI: valor inicial
   % : porcentaje a subir.

   Ejemplo :
   Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
   VF = 5000 • (1 - 5/100)
   VF = 5.000 • (1 - 0.05)
   VF = 5.000 • (0.95)
   VF = $4.750

   2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a disminuir y se le reste al
      el 100%

  Ejemplo :
  Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
  100 % - 5% = 95%, se busca el 95% de 5.000
  5.000 =       x
   100%       95%
  x = 5.000 • 95
         100
  x = $4750
Impuesto al Valor Agregado (IVA)

El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta de
bienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuesto
alcanza al 19% del valor neto del producto.

De este modo:

Valor neto + 19% = valor a pagar

Ejemplo: Don Pepe vendió abarrotes y en la boleta escribió el valor total de $15.400.
¿Cuál es el IVA que recaudó don Pepe por la venta de estos abarrotes?




Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459.




                                 Unidad 3. ÁLGEBRA

Perfil del álgebra

      El Álgebra es una rama de las Matemáticas que usa letras y símbolos para


                                          20
representar cantidades y relaciones aritméticas. Busca generalizar las relaciones
matemáticas, a diferencia de la Aritmética que solo opera con casos particulares de
una relación.

       Consideremos, por ejemplo, el teorema de Pitágoras que establece que “en un
triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la
suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.“

      Algebraicamente, este teorema puede generalizarse como a2 + b2 = c2 ,
expresión que enuncia la relación métrica que deben cumplir los lados de cualquier
triángulo rectángulo.

       La aritmética , en cambio, solo podría operar con medidas específicas de
triángulos individuales, generando expresiones numéricas del tipo: 32 + 42 = 52.

Surgimiento del álgebra
       El origen del álgebra puede situarse en Babilonia y el antiguo Egipto, cuyos
sabios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y de la forma x2 +
y2 = z2. De hecho, los antiguos babilonios resolvían las ecuaciones cuadráticas
empleando métodos semejantes a los que hoy se utilizan.

          El conocimiento algebraico de egipcios y babilónicos encontró acogida en el
mundo islámico, donde se le denominó “ciencia de reducción y equilibrio”. El vocablo árabe
al-jabru, que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra.

       En el siglo IX, el matemático árabe al-Jwarizmì escribió uno de los primeros libros
de álgebra, en el que presenta, en forma sistemática, la teoría fundamental de
ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. Es precisamente de este
matemático de donde deriva la palabra algoritmo, que hoy representa la expresión
simbólica de los pasos que llevan a la resolución de un problema. A finales del siglo IX,
el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e
identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y,
z que cumplen

                       x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y xz = y2.


Conceptos Básicos de Álgebra

Ya tenemos idea de las operaciones con los números naturales, enteros, racionales y
reales. Ahora trabajaremos con la generalización de esa operatoria en algunos de los
diversos ámbitos que presenta el álgebra.

      Las mismas leyes, propiedades y operatoria de los números ya estudiados han
preparado el terreno para la comprensión de operaciones más amplias y generales,
propias del Álgebra, en los diversos conjuntos numéricos.
       El lenguaje que ocupa el álgebra permite realizar representaciones a través de
factores literales (que representan cantidades cualesquiera), números y relaciones
aritméticas de la aritmética.

Ejemplos :
• Un número cualquiera puede representarse por x, o por a, o por cualquier otra letra
  o combinación de letras.
• Para representar dos números cualesquiera distintos entre sí, podemos usar letras
  diferentes : x e y; a y b; m y n; etc.
• El doble de un número cualquiera se expresa por 2x, o 2a, etc
• El cuadrado de un número cualquiera se expresa por x2 , o a2, o a2, etc.
•    La diferencia entre dos números se puede expresar como : x – y, ó a – b, etc.
•    Un número aumentado en tres unidades : x + 3, ó a + 3, ó b + 3, etc.
    • Un número disminuido en dos unidades : x – 2, ó a – 2, etc.
    • La mitad de un número x
                                2
    • La mitad de un número más el doble de otro : x + 2y


                                            21
2

Representación de las operaciones aritméticas en álgebra.

Las operaciones entre     dos números cualesquiera x e y se representan :
     i. La suma            :x+y
     ii. El producto      : x•y
     iii. La diferencia   :x–y
     iv. El cuociente     : x : y ó x/y


Expresión algebraica
        Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades, expresadas numérica y
literalmente, relacionadas entre sí por operaciones aritméticas.


Ejemplo: 13x3– 2ax2 +        es una expresión algebraica.

Término algebraico
      Un término algebraico es una expresión que relaciona un número real con letras,
por medio del producto o el cuociente. Un término algebraico consta de:

     •   signo
     •   coeficiente numérico
     •   factor literal
     •   grado

En una expresión algebraica, los términos están separados por signos (+) y (-).


Observaciones en la notación algebraica

1. En álgebra, el signo multiplicativo    antes de factores literales puede suprimirse.
Por ejemplo:      puede escribirse .

2. El coeficiente numérico 1 en un término algebraico, suele quedar tácito (no se
escribe). Por ejemplo
1x = x

3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puede
obviarse, y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c = 5a - 3b +2c
Por ejemplo, la expresión: +11 · x2 - 1 · y + x · y

Se escribe: 11x2 – y + xy




TÉRMINOS SEMEJANTES




Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal.

Ejemplos :
a) x2 y -2x2    : son términos semejantes (factor literal x2).
b)
 -3x y -3x2 : no son términos semejantes (factor literal x e x2 respectivamente).
c) –a2b y 5a2b : son términos semejantes (factor literal a2b).
d) a2b y 3ab2 : no son términos semejantes (factor literal a2b y ab2
respectivamente).




                                             22
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los
coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:

-2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no
son semejantes.

Tipos de expresiones algebraicas
      Dependiendo del número de términos que posean las expresiones algebraicas,
se clasifican en:

Monomio: Es la expresión algebraica que consta de un solo término.


Ejemplo:

Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos.


Ejemplo:

Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos.


Ejemplo:

Polinomio: Es la expresión algebraica de dos o más términos.


Ejemplo:                          ;                       ;

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

      Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes
reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el
paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del
paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis
cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-2ab + 2a - ab

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para
              multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para


                                            23
multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los
                exponentes”.

Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5z

Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto
               es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 =
6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del
               primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 =
8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se
               multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los
               términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) =
2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy +
4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

PRODUCTOS NOTABLES

     Se llaman productos notables aquellos cuyos factores cumplen ciertas
características que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los
pasos de la multiplicación. Los productos notables son:

Sean a y b dos términos algebraicos cualesquiera.

Suma por su diferencia:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Cuadrado de binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Multiplicación de binomios con término común:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Cuadrado de trinomio:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3




                                            24
FACTORIZACIÓN

     Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones.
Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común

    Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1.
Ejemplo:

                              15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la
forma:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su
factorización.

Diferencia de cuadrados

       Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la
diferencia de las bases.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto

    Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un
cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

                                 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 =
(3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con
la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q

Ejemplo: x2 – 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales
que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto:

x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6)




                                           25
Diferencia de cubos

a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:

125z3 – 64y6

La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:

125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3

Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:

(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)

Simplificación de expresiones algebraicas


        Para la simplificación de expresiones algebraicas se aplica el mismo concepto de
simplificación de fracciones, pero en este caso el numerador y denominador son
expresiones algebraicas.

       La idea es realizar una factorización por algún término algebraico o expresión
algebraica que sea común tanto para el numerador como para el denominador.


Simplificación de monomio por monomio :

Ejemplos :
1)           3x2
             6x
en este caso se factoriza por 3x :

             3x • (x)           3x • (x)   =       x
             3x • 2             3x • 2             2

2)         3a2bc
           12ac
en este caso se factoriza por 3ac :
             3a2bc              3ac • ab    = 3ac • ab =       ab
             12ac               3ac • 4        3ac • 4          4


Simplificación de binomio por monomio :

Ejemplos :

1)                 (5xy2 – 10x2y)
                     5xy
en este caso se factoriza por 5xy :

(5xy2 – 10x2y)               5xy • (y – 2x)            5xy • (y – 2x) = (y – 2x)
    5xy                          5xy                       5xy


                                           26
2)                  (b2 – bc)
                        2b

en este caso se factoriza por b :

(b2 – bc)                b • (b – c)              b • (b – c)   = (b – c)
    2b                       b•2                     b•2             2

Simplificación de polinomios :

1. Simplificación de resultados de productos notables :

     a)      x2 – 16
          x2 + 8x + 16

 en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de una suma por
diferencia y el denominador es el resultado de un cuadrado de binomio (trinomio
cuadrado perfecto).

   x2 – 16                (x + 4) • (x – 4)               (x + 4) • (x – 4)      =
x2 + 8x + 16                  (x + 4)2                    (x + 4) • (x + 4)

                            (x – 4)
                            (x + 4)

     b) x2 + 7x + 10
           x2 – 25

en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de un producto de
binomios con un término en común (trinomio cuadrado no perfecto) y el denominador
es el resultado de una suma por diferencia.

     x2 + 7x + 10                (x + 5) • (x + 2) =         (x + 2)
       x2 – 25                    (x + 5) • (x - 5)          (x - 5)

     c) x2 + 5x + 6
        x2 + 8x + 15

en este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son el
resultado de un producto de binomios con un término en común (trinomio cuadrado no
perfecto).

          x2 + 5x + 6            (x + 1) • (x + 5) = (x + 1)
          x2 + 8x + 15            (x + 3) • (x + 5)  (x + 3)


2. División de polinomios :
                    Realizamos la siguiente división: (4x3 + 2x2 + 4x + 3) : (x2 - x - 1).

Primer paso de la división de polinomios :

Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de
mayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente.




                                             27
Segundo paso de la división de polinomios :

Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo.




Último paso de la división de polinomios :

Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior,
obteniendo el segundo término del cociente.




Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomio
cociente y el polinomio resto son:

Cociente = 4x + 6

Resto = 14x + 9


Si la división no posee resto, se dice que tanto el divisor como cociente son factores y
se pueden escribir como producto.

                                        Calculamos (8x3 - 4x2 + 2x + 7) : (2x2 + x - 1).




Los polinomios resultantes de la división son:

Dividendo = 8x3 - 4x2 + 2x + 7

Resto = 10x + 3

Cociente = 4x – 4

Divisor = 2x2 + x - 1



                                              28
Comprobamos el resultado:

cociente · divisor + resto = dividendo

(4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)=

(8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) =

8x3 - 4x2 + 2x + 7




              Unidad 4. Ecuaciones y planteamiento de problemas

Ecuaciones.

        Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas
miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser
números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido
como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por
letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Por ejemplo, en la ecuación:




       En la unidad de álgebra vimos que el grado de una expresión algebraica está
dado por el mayor exponente de dicha expresión. Al ser las ecuaciones expresiones
algebraicas se les denomina según el mayor grado que posea la incógnita, así tenemos
por ejemplo que una ecuación cuyo mayor exponente es 1 se denomina ecuación de
primer grado, la ecuación que tenga como mayor exponente el 2 se denomina
ecuación de segundo grado o cuadrática,        la ecuación que tenga como mayor
exponente el 3 se llama ecuación de tercer grado, etc. Además el número de raíces
(soluciones en los números reales) de una ecuación equivale al grado de la ecuación.

Ejemplos :

1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces.

2) La ecuación 13 -        2x = 4 es de primer grado y tiene una                solución.

3) La ecuación 7x2 - x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita :

        Son aquellas ecuaciones en las que existe una sola variable, generalmente
designada por el símbolo x (aunque también puede ser designada por cualquier otro
símbolo). Esta variable está elevada a 1 (por eso el nombre de primer grado) y todos
los otros términos (ya sean números o letras) son términos constantes.

       Estas ecuaciones son igualdades que tienen validez para un solo valor de la
variable (incógnita) y resolver la ecuación es aplicar las propiedades del conjunto R
para “despejar la incógnita” y así determinar el valor que satisface la igualdad.



                                           29
Resolución de ecuaciones de primer grado
   Existen tres pasos básicos para resolver una ecuación de primer grado :

Dada la ecuación:




1- Transposición:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros
de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta
que:

       Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos
       términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al
otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado
sumando (+6)




La ecuación quedará así:




Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el
primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han
quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta
reduciendo los términos semejantes :

Realizamos           la      simplificación       del        primer          miembro:



Y simplificamos el segundo miembro:

La ecuación simplificada será:




3- Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la
igualdad.

       Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos
       términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado
dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).

       Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad
       no varía.

En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma
fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin
cambiar el signo).



                                          30
Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como
está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):




Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una
igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el
resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =
5,5263157894737)

por tanto, simplificando, la solución es:




Tipos de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones las podemos dividir básicamente en tres tipos :


Ecuaciones lineales con coeficientes enteros :

       Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupan
los términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términos
constantes en el otro :


Ejemplo:
1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5

Solución:
Primero se reducen términos semejantes:
                ;

Se agrupan las “x“ y los números en distintos lados de la igualdad:


Se vuelven a reducir términos semejantes:


Finalmente, se despeja la x y se simplifica la solución :




2) Resolvamos ahora la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x.

Solución:
x - 3 = 2 + x.



Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5, que es una contradicción.
Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor que
tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

3) Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4:



                                            31
Solución:
2x-1 = 3x + 3 - x – 4



Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa? La igualdad que has
obtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución?
Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendo
x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.



En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier
valor de x es solución).
Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades.


Ecuaciones con coeficientes fraccionarios :

Para su resolución, se multiplica la igualdad por el mcm (mínimo común múltiplo)
entre los denominadores.


Ejemplo:

Resolver

Solución:


                       /




Luego se simplifica:



Transformándose en una ecuación lineal:




Otro caso : Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos

Para su resolución, se multiplica la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo)
entre los denominadores.

Ejemplo:

Resolver

Solución:
Se multiplica la ecuación por (x + 1) · 2x


             /·




                                              32
Y se simplifican los términos correspondientes:


Se desarrollan los productos:



Y se reducen términos semejantes:


Quedando finalmente que:


Ecuaciones Literales :
La técnica principal es, una vez agrupada la incógnita, aplicar la factorización y
simplificación.

Ejemplo
Resolver

Solución:
Se realizan los productos:




Se agrupan términos, dejando la incógnita en uno de los dos miembros:




Se factoriza la incógnita:


Y se despeja x:




Se simplifica, quedando que:




Planteamiento de problemas.

       Generalmente un problema se enuncia en términos verbales y su resolución
pasa por el planteamiento de una o más ecuaciones. Estas ecuaciones corresponden a
relaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en el problema y a las
condiciones que dichas relaciones plantean.

        Para plantear la ecuaciones se requieren de dos habilidades fundamentales :
análisis lógico del problema planteado y traducción del lenguaje común al lenguaje
algebraico.

Recordemos algunas maneras de enunciar algunas expresiones algebraicas :

El doble de a.......................................................2a

El triple de b.......................................................3b



                                                       33
El cuádruplo de c.................................................4c

El cuadrado de d.................................................d2

El cubo de e.......................................................e3

El antecesor del n° entero f..................................f–1

El sucesor del n° entero g ...................................g+1

El cuadrado del doble de h...................................(2h)2

El doble del cuadrado de i....................................2i2

Un número par...................................................2n

Un número impar ...............................................2n-1 ó 2n+1

Dos números consecutivos...................................n y n+1

Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2

Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1


La mitad de x...................................................


La tercera parte de y ........................................


Algunos pasos básicos para el planteamiento de problemas :

1°: Comprender el problema : realizar una lectura comprensiva del problema.
2°: Plantearse un plan        : ordenar los datos entregados y plantear una o varias
                               ecuaciones que permitan resolver el problema.
3°: Ejecutar del plan         : resolver las ecuaciones planteadas.
4°: Dar respuesta y verificar los resultados.


Veamos a continuación algunos ejemplos de planteo de ecuaciones:




Ejemplo 1:

¿Qué número aumentado en 5 unidades es igual a 100?.

Planteamiento de la ecuación :

                                                x + 5 = 100

Resolución de la ecuación :

                                                x = 100 – 5

                                                   x = 95.

Respuesta : 95.




                                                      34
Ejemplo 2:

Pedro excede en 7 cm la estatura de su hermano Jorge. ¿Cuál es la altura de Jorge si
Pedro mide 1,20 mts.?.

    estatura Pedro = P

    estatura Jorge = J

    diferencia de estaturas : P – J = 7 cm (0,07 mts),

    pero P = 1,20 mt ⇒

Planteamiento de la ecuación :

              1,20 mts – J = 0,07 mts

Resolución de la ecuación :

             J = 1,20 mts – 0.07 mts

             J = 1,13mts

Respuesta : Jorge mide 1,13 mts.

Ejemplo 3:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97.
¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la
suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la
de Sergio es 65.

Respuesta: 32


Ejemplo 4:

Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9.

Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos:

                              x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9

x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5.

Ejemplo 5:

La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos números

Solución:
Sea:


                                             35
El 1° número: 2x+1
El 2° número: 2x+3
El 3° número: 2x+5

Interpretando el enunciado, se forma la ecuación:
                (2x+1) + (2x+3) + (2x+5) = 39

Cuya solución es:       2x+1 + 2x+3 + 2x+5 = 39

                             6x + 9 = 39

                              6x = 39 - 9

                                 6x = 30
                                  x=5

Luego, el primer número es:

       2x+1                   2 • 5 + 1 = 11

El segundo es:

       2x+3                   2 • 5 + 3 = 13

El tercero:

       2x+5                   2 • 5 + 5 = 15

Respuesta: los tres números son: 11, 13 Y 15.

Estrategias de Resolución de Problemas.

Problemas de doble discriminación.
       En este tipo de preguntas, al problema planteado le siguen 3, 4 ó 5
proposiciones (I, II, III, etc.) que deben ser analizadas individualmente para
dictaminar si cumplen con determinada propiedad, si son verdaderas o falsas, etc.
Finalmente, se ha de elegir la alternativa (A, B, etc.), según el resultado del análisis.

Esta estructura se puede esquematizar así:

                                     Planteamiento del problema
                                     Proposiciones: I, II III, etc.
                                      Alternativas: A, B, C, D, E.

Ejemplo:



¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es (son) igual (es) a        ?



I:



II:



III:

A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III



                                                  36
D) Solo I y III
E) I, II y III

Solución :



   •    Proposición I:

Separando la raíz del denominador:



    =

Amplificando por         y luego simplificando por 5:



        =           =         =       .


La proposición I es igual a       .




   •    Proposición II:

Separando la raíz del numerador:



    =

Amplificando por         y luego simplificando por 3:



        =           =        =        .



La proposición II es igual a          .



   •    Proposición III:

Amplificando la expresión por             para racionalizar, queda:



        =           =



Esto nos lleva a la proposición II. Por lo tanto, la proposición III es igual a   .



En conclusión, las expresiones I, II y III son iguales a         .

Por lo tanto, la alternativa correcta es E.

Problemas de evaluación de suficiencia de datos.




                                                  37
Estos problemas tienen una estructura bien definida.

       Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino decidir si los
datos proporcionados en el enunciado, más los indicados en las afirmaciones (1) y (2)
son suficientes para llegar a esa solución.

Las alternativas que se dan son:
   A) (1) por sí sola
   B) (2) por sí sola
   C) Ambas juntas, (1) y (2)
   D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
   E) Se requiere información adicional.

A) (1) por sí sola:
       Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola:
      Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2):
        Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola
es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2):
        Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para responder
a la pregunta.

E) Se requiere información adicional:
      Se marca esta alternativa si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para
responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo 1:                                                                                 B
¿Cuál es el valor de   en la figura?

(1) ángulo en C recto.

(2) AC = BC
                                                           α
                                              A                                        C

Solución:
Consideremos la afirmación (1).

Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo.
Creer que son de 45º cada uno no es correcto, ya que ningún dato dice que esos
ángulos son iguales.

La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles, ya que AC = BC, lo que nos
indica que el ángulo en A y en B son iguales, pero no tenemos ningún otro dato que
nos permita calcularlos (los 90º de la afirmación (1) hay que olvidarlos por ahora).

Como hemos podido apreciar, las afirmaciones (1) y (2), por sí solas, no nos permiten
determinar el valor de , pero si juntamos ambas, se nos produce la siguiente
información:

El ángulo en C mide 90° y ángulo       y ángulo en B son iguales.

Esta información sí nos permite llegar a la solución. Por lo tanto, Ambas juntas, (1) y
(2).




                                             38
Alternativa correcta: C

Ejemplo 2:

De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto?

(1) A es más bajo que B, pero más alto que E.
(2) E es más alto que C, pero más bajo que D.

Solución:
(1) Estableciendo un orden de menor a mayor, podemos concluir que:

        E< A < B

Sin embargo, no hay elementos para comparar a los alumnos C y D. Por lo tanto,
(1) por sí sola NO es suficiente.

(2) Análogamente se interpreta obteniendo:

                             C<E< D

Tampoco hay elemento de comparación para A y B. Luego, (2) por sí sola tampoco es
suficiente.

Luego la alternativa D, cada una por sí sola, tampoco es la correcta.

Analizaremos la alternativa C, ambas juntas.

De la información de (1):

                E< A < B

Al juntar la (2) se tiene:

            C< E< A < B

Como D es mayor que E, se debiera ubicar a la derecha, pero no hay elemento de
comparación para la relación entre A, B, D. Por lo tanto tampoco (1) y (2), ambas
juntas, son suficientes para resolver el problema. Se requiere información adicional.




                 Unid a d 5. Desig ua ld a d es e inec ua c io nes.
Desig ua ld a d es.

Los números reales se pueden comparar mediante la relación “mayor que”, “menor
que” o “igual que”, para lo cual existe la siguiente simbología:

                a < b ; que se lee “a es menor que b” o “b es mayor que a”

            a   b se lee: “a es menor o igual a b“ o “b es mayor o igual que a”.

       Para el caso de comparación entre dos números positivos, en la recta numérica
es mayor el que está más lejos del cero.
En cambio, para comparar dos negativos entre sí, el mayor es el que esta más cerca
del cero.
Para comparar dos números reales a y b, en general, es mayor el que está a la
derecha en la recta numérica.

Ejemplos:




                                             39
Propiedades de las desigualdades:

1) Una desigualdad se mantiene si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:




2) Una desigualdad se mantiene si se multiplica (o divide) por una cantidad positiva:




3) Una desigualdad cambia de dirección si se multiplica (o divide) por una cantidad
   negativa:




Es decir cuando multiplicamos por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

Ejemplo:




Intervalos.

       Frecuentemente se trabaja con subconjuntos de números reales, expresados de
acuerdo con alguna relación de orden, como por ejemplo: “los números reales mayores
que -1 y menores que 8”. Simbólicamente:

                           {x IR / -1 < x < 8 }.

Estos subconjuntos de IR se denominan intervalos.


Clasificación de intervalos:

  Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tipos
de intervalos:

Intervalo Cerrado: En este caso los extremos a y b están incluidos dentro del conjunto.
                   Esta situación se denota con corchetes “hacia adentro”.




Intervalo Abierto: En este caso, los extremos a y b no son parte del conjunto. Están
                    excluidos. Esta situación se denota con paréntesis redondos o con
                    corchetes mirando “hacia afuera”.




                                          40
Intervalo semiabierto o semicerrado: En estos casos, uno de los extremos es abierto y
                   el otro es cerrado.




Intervalos hacia el infinito.




 Representación gráfica de intervalos.

   Un intervalo puede representarse gráficamente, representando el extremo cerrado
          con un punto lleno y el extremo abierto con un punto en blanco.




                                         41
Ejemplos :




             42
Inecuaciones de primer grado.

       Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. En este tipo de
expresiones algebraicas obtenemos como resultado un conjunto de soluciones en el
cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto
cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3“.

       Resolver una inecuación es calcular el intervalo de números reales, para el cual
la inecuación se transforma en una desigualdad verdadera.

Para resolver una inecuación, se deben aplicar las propiedades de las desigualdades.

Ejemplo:
Resolver la inecuación:2x – 5 < x + 2

Solución:
2x – 5 < x + 2
2x – x < 2 + 5
x<7

Esta solución se puede expresar como:




Sist em a s d e I nec ua c io nes.

       Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tiene dos o más inecuaciones.
Para resolverlo se determina el conjunto de números reales que satisface
simultáneamente todas las desigualdades del sistema.

Este conjunto se llama conjunto solución del sistema, determinado por una región
del plano, que se obtiene por intersección del conjunto solución correspondiente a cada
una de las inecuaciones.



Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por
separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto
de números que pertenezca a ambos intervalos:

Ejemplo 1:
Resolver el sistema de inecuaciones:




En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2)
x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1)
x>5


                                           43
En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3)
x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1)
x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9.
Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación:




Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos
los números comprendidos entre 5 y 9.

Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que:

]5,9[

Ejemplo 2 :

Determinemos el conjunto solución del sistema




Solución:
Resolvemos cada inecuación en forma separada:




Gráficamente esto es:




Así, la solución final será la intersección




                                              44
Unidad 6. Relaciones y funciones.

Relaciones.

Sistema de Coordenadas Cartesianas.

       En el siglo XVII (época de Descartes y muchos grandes matemáticos) la
geometría había alcanzado su plenitud. Pero las demostraciones que se hacían acerca
de ellas eran basadas en supuestos de los que se conocían sus resultados y se llegaba
a ellos mediante un razonamiento deductivo bastante elegante, al puro estilo de
Euclides. Sin embargo era difícil la predicción, este es un elemento importantísimo en
cualquier ciencia. A Rene Descartes se le ocurrió mezclar las herramientas que tenía
hasta el momento, entre las más importantes que encontró fue la geometría euclidiana
y el álgebra renacentista. Así, creó un sistema de referencias al cual podía asignar
ecuaciones de dos variables a curvas en el plano y viceversa. De este modo podían
estudiarse figuras geométricas y sus relaciones con el uso del álgebra. De esta manera
surgió la geometría analítica.


       El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una
horizontal y otra vertical, llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje de
las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todos los pares ordenados de
la forma (a, b), tal como lo muestra la figura.
       En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P.




Par Ordenado.
       Conjunto de dos números arreglados en un orden particular, normalmente
escritos como (1er número, 2o número), en donde tanto el orden como los valores
tienen significados acordados.
       Por ejemplo, las coordenadas de un punto en un plano de coordenadas
Cartesianas se escriben como (x, y), en donde x es la coordenada horizontal e y es la
coordenada vertical.

Su representación general es:

                                       ( a,b)

      Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y
elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y




                                          45
el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representación
no es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.

Producto cartesiano.

       En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de
conjuntos, también es conocido como producto cruz. En particular, el producto
cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los
pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:




Ejemplo:
Sean los conjuntos :

A={1,2,3} y

B={4,5,6}

se tiene:


AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}

El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA.

      Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de árbol




tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos
del conjunto A por los del conjunto B

Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen

Relación.




                                          46
Dados dos conjuntos A y B, se define una relación de A en B como todos los
pares ordenados que cumplan una condición dada. Una relación es un subconjunto del
producto cruz.


Ejemplo:
Dados los conjuntos :
 A = {1, 2, 3, 4} y
 B = {3, 5, 8},

Escribir la relación definida por
                          R = { (x, y) / x < y ; x Є A ; y Є B }

Esta definición de R (relación) se traduce como todos los pares ordenados (x, y) tal
que el elemento de A es menor que el elemento de B y el elemento x pertenece a A
y el elemento y pertenece a B.
Esto es:
 R= {(1, 3), (1, 5), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2,8), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8) }



Gráfica de una relación.

       La gráfica de una relación corresponde a la ubicación de los pares ordenados de
dicha relación en el plano cartesiano.


La gráfica de la relación anterior es la siguiente:




eje y
                                                          eje x




Dominio y Recorrido de una relación.

        Se le llama Dominio de la relación a los elementos del conjunto A que
participan en la relación.
En el ejemplo que estamos analizando:

Dom R = { 1, 2, 3, 4}




                                            47
EL Recorrido de la relación es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto B que participan en la relación.


En este caso:

Rec R = { 3, 5, 8}.


Función matemática.

        Dada una relación f : A → B, esta relación es función si y solo si cada elemento
de A tiene imagen única en B.
En símbolos:




Se cumple con las siguientes dos condiciones:

   1.Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con
   elementos de Y, es decir,




   2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único
   elemento de Y, es decir, si




       Una función se simboliza por el símbolo f(x) y significa que la relación está en
función de x. A la variable x se llama variable independiente y puede tomar cualquier
valor. La variable y se llama dependiente, porque sus valores se obtienen al reemplazar
la x.

                                            f(x) = y




                                          48
Función inyectiva.

      Una función               es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la
imagen de   corresponde un único origen en el dominio.


Por ejemplo, la función de números reales            , dada por           no es
inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el
dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función
               entonces sí se obtiene una función inyectiva.




                                         49
Definición formal :

De manera más precisa, una función                   es inyectiva cuando se cumple
alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

   •   Si x1,x2 son elementos de    tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple
       x1 = x2.
   •   Si x1,x2 son elementos      diferentes   de    ,   necesariamente   se   cumple



Función epiyectiva.
      Una función               es epiyectiva (sobreyectiva suprayectiva, suryectiva o
exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen
          , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de
como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,




Usando lenguaje más técnico se puede expresar la condición de inyectividad como:
«Una función es inyectiva si la fibra (imagen inversa) de cada elemento del codominio
tiene cardinalidad menor o igual a uno».


Función biyectiva.

      Una función              es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y
sobreyectiva.

Formalmente,




                                         50
Formas de representar una función.

     Existen 4 formas de representar una función, las que se resumen en el siguiente
cuadro:




Nomenclatura funcional

Consideremos la función real f: A → B representada en el siguiente diagrama:




En el diagrama, los conjuntos dominio y recorrido son :
Dom f = {a, b, c} y

Rec f = {1, 2, 3}


                                          51
Además, bajo la condición f, el elemento a Є A está relacionado con el elemento
2 Є B.
Esto se expresa diciendo que 2 es la imagen de a bajo la función f y se escribe así:
f(a) = 2
Análogamente, se dice que a es la preimagen de 2, bajo la función f. Esto se escribe
así:
f -1(2) = a

Preimagen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de partida (dominio).
Imágen    : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de llegada (recorrido).


Funciones Reales.
      Son todas aquellas funciones cuyos          conjuntos iniciales y finales son los
números reales.



   Por ejemplo:

   Sea f: IR → IR, definida como f(x) = 2x – 1.




De este tipo de funciones podemos definir algunas operaciones:

Cálculo de imágenes :

       Dada una función f(x), el cálculo de una imagen se reduce a la valoración de
una expresión.
En el ejemplo dado:
Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f(-5).

Solución:
Reemplazando: f(-5) =2 · (-5) – 1 = - 11
Entonces: f(-5) = -11


Cálculo de preimágenes :

       Dada una función f(x), el cálculo de una preimagen corresponde al cálculo de un
valor de x tal que resulte el valor de la función.

En el ejemplo dado:
Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f -1(-11).

Tenemos que: 2x – 1 = - 11, que es una ecuación de primer grado.

Resolviendo:
        2x = - 11 + 1
        x = -5
Entonces, f-1(-11) = -5




                                           52
Análisis del Dominio de una Función.

       El dominio de una función es el conjunto, cuyos elementos hacen que la
función esté bien definida. En otras palabras, es el conjunto de las preimágenes
(variable x), donde la función está definida.

¿Cuál el Dominio de la siguiente función?:

    f(x) =




Si observamos, la función es una fracción. Este tipo de funciones se llama función
racional y por tratarse de una fracción, lo importante es que el denominador no sea
cero. Entonces, buscaremos dicho valor.
Para este efecto, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación:




Es decir, el dominio puede tomar cualquier valor real menos el 4. Luego, Dom f = IR -
{4}



Análisis del Recorrido de una Función.

        El recorrido de una función son los valores que toma la variable Y o el conjunto
de las imágenes.


Para analizar el recorrido, se despeja la variable x:

Ejemplo:
Hallar el recorrido de la función:


          f(x) =




Se despeja la x, haciendo y = f(x). Esto es:




                   se factoriza por x




                                             53
Análogamente al análisis del dominio, se toma    el denominador




Entonces:     Rec f(x) = IR - { 3 }

Es decir, el recorrido puede tomar cualquier valor real, menos el 3.

Funciones Definidas por Intervalos.

       Existen funciones definidas por tramos o intervalos, que permiten mezclar las
funciones básicas y son de gran utilidad en la matemática:




Ejemplo:



f(x) =

Calcular    f(-3) y f(4).

Solución:
Como x= -3 es negativo se debe utilizar           . Entonces:



f( 4)    como x=4 es positivo se debe ocupar x+1. Entonces:




Composición de funciones.



Sean las funciones     f: A    B y g: B     C,

entonces se define la función compuesta de f con g:

                                      gof: A     C
                               a      f(a) = b   g(f(a)) = c




                                           54
Figura : Diagrama de función compuesta

          a             f(a)            b            g(f(a))          c




                      Figura: Esquema de una función compuesta

En la figura:

        f(-2) = 2 · (-2) – 1 = -5
        g(f(-2)) = g(-5) = (-5)2 = 25

        f(2) = 2 · (2) – 1 = 3
        g(f(2)) = g(3) = (3)2 = 9

Función inversa.

       Sea la función f: A     B. Su inversa se designa por f-1 : B   A   y se define
por:



Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:


Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.




Podemos observar que:


                                            55
El dominio de f − 1 es el recorrido de f .
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el
dominio de su función inversa.

                               Unidad 7. Función lineal.

        Una función real es lineal si obedece a la forma :
                       f(x) = a + bx, con a y b IR, b 0.


La función lineal puede escribirse de varias formas, de las cuales usaremos:

Forma Principal:

                           y = mx + n; con m y n IR, m 0.




Forma General:

                        ax + by + c = 0; , con a, b y c IR, a 0.




Ejemplo:

Escribir la función lineal 6x – y = 9 en sus formas principal y general.

Solución:

Para la forma principal se despeja la y:

                                         6x – y = 9

                                         y = 6x – 9,

que es la forma principal de la recta.

Para la forma general, se trasladan todos los términos al primer miembro:

                                         6x – y = 9

                                     6x – y – 9 = 0,

que es la forma general de la recta.

Gráfica de la función lineal.

       Toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a, b, c R, representa una
ecuación lineal con dos incógnitas, cuyas soluciones son pares ordenados de la forma
(x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

Ejemplo:
La ecuación L: x + y = 4




                                              56
Gráfico:




Observaciones:
   • A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde
      gráficamente una recta
   • Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un
      punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esa ecuación.
   • Los puntos que cada par ordenado representa, pertenecen a la recta
      correspondiente.

Dominio y Recorrido de la función lineal.

En una función lineal y = f(x), x, que es la variable independiente, puede tomar
cualquier valor real. Por lo tanto: Dom f(x) = IR

De igual forma, la variable dependiente y puede tomar cualquier valor real. Por lo
tanto:

Rec f(x) = IR

Ecuación de la Recta.

        La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Se
puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una
línea recta solo son necesarios dos puntos de un plano.




                                         57
La idea consiste en poder encontrar una expresión algebraica (una función) que
determine a una recta dada. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuación
de una Recta.

Ecuación Principal de una Recta.

Se llama Ecuación Principal de una Recta a una expresión de la forma:

                    y = mx + n                 Con m y n IR, m 0

Donde m representa a la pendiente de la recta y n es el intercepto.


Pendiente de una recta (m).

        Se denomina pendiente “m” de una recta a una constante que revela el grado
de inclinación que tiene la recta respecto del eje de las abscisas (eje x).

       Para determinar matemáticamente la pendiente, elijamos dos puntos
cualesquiera de una recta. En la figura adjunta se han marcado los puntos A( , ) y
B( , ) de la recta L.




La pendiente m se calcula así:



Interpretación de la pendiente de una recta.

Signo de la pendiente:

   •   Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x,
       mayores valores de y, y viceversa.
   •   Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x,
       menores valores de y, y viceversa.
   •   Si m = 0, indica que la variable y se mantiene constante, aunque x aumente o
       diminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x.




                                          58
Pendiente positiva (m>0)        Pendiente positiva (m<0)       Pendiente nula (m=0)



Valor absoluto de la pendiente.

       Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia de
valores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud del
crecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en los
valores de x.

En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece (o decrece)
la variable dependiente (y) con las variaciones de la variable independiente (x).

Ejemplo:

En la recta y = 7 - 3x, ¿Qué indica la pendiente?




Solución:

La pendiente es m = -3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y. Es decir,
cuando x crece, la variable y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable y
decrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable y
aumenta en 3 unidades.

En la figura siguiente se muestran cinco rectas que pasan por un mismo punto, pero
con distintos grados de inclinación.




                                          59
Intercepto de una recta (n).
       Se denomina intercepto de una recta y = mx + n, al valor en el cual la recta
intersecta al eje y. Este valor corresponde al término n de la ecuación principal.

Puntos relevantes de una recta.

Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.

Intersección con el eje x:

En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:




Entonces, el punto de intersección de la recta con el eje x es:




Intersección con el eje y:

En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:

y=m•0+n
y=n

Luego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n).


                                            60
Determinación de la ecuación de la recta.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).

En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se trata
de una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2.




                                           61
1º: Cálculo de la pendiente:

Sabemos que




Entonces:




Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n

2º: Cálculo del intercepto:

¿Y el valor de “n”? Lo podemos obtener sustituyendo cualquiera de los dos puntos
conocidos de esta recta en lo que tenemos hasta ahora de ecuación. Tomemos, por
ejemplo, el punto (-2, 4):

y = -x + n


4 = -(-2)+n


n=2

Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2

¡Y cumple con todo lo previsto! Pendiente negativa y corta al eje “y” en el número 2.

Determinar la ecuación con un punto y su pendiente.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.

Solución:
Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m =
-4, entonces:

y = mx + n

Reemplazando:

-5 = -4 • 2 + n
-5 = -8 + n
-5 +8 = n

3=n

Luego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.

Posición Relativa de dos Rectas en el Plano.

       Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismo
plano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten.




                                            62
Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas.
En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremos
que las rectas son perpendiculares




Rectas Paralelas.

        Se considera que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.
Si se da el caso que, además de ser iguales las pendientes, también lo son los
coeficientes de posición (n), diremos que las rectas son coincidentes.




Rectas Perpendiculares.

Si dos líneas rectas son perpendiculares, se verifica que el producto de sus pendientes es
igual a –1.



                                            63
Así, se considera que           (se lee: “la recta   es perpendicular con la recta   ”) si
se cumple que              .




Rectas secantes.

       Si : y = m1 x+ n1 y : y =         x + son rectas secantes, el punto de
intersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:




Un sistema de ecuaciones es un arreglo formado por dos o más ecuaciones con dos o
más incógnitas.

Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:




Donde a, b, c, d, e y f   , x    e y son las incógnitas.

La solución del sistema es todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.

Ejemplo:

El sistema:




Tiene como solución: x = 3 e y = 5. Esto porque ambos valores satisfacen
simultáneamente a las dos ecuaciones.

En efecto, al reemplazar los valores de x e y en la primera ecuación, se tiene:




                                           64
De la misma forma, al reemplazar los valores de x e y en la segunda ecuación, se
tiene:




       Como se dijo anteriormente si las rectas son secantes (o perpendiculares) el
sistema de ecuaciones tiene soluciones (uno puntos de intersección de intersección).
Pero si las rectas son paralelas no existe solución, ya que ambas rectas tienen el
mismo ángulo de inclinación (nunca se cortan).




Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones.

1. Eliminación por reducción:
   Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y,
en seguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos
cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo :

Resolver el sistema:




Solución:
Primero se elige la incógnita que se va a reducir (eliminar).
En este caso elegiremos la “x“, cuyos coeficientes son 4 y 5 en la primera y segunda
ecuación, respectivamente.

Para eliminar la x, multiplicaremos la primera ecuación por (-5) y la segunda por 4.




Como se puede apreciar, esta multiplicación dio como resultado que los coeficientes de
la x en ambas ecuaciones son opuestos y ahora pueden eliminarse por simple suma de
las dos ecuaciones.

Entonces, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene:




                                          65
Reemplazando en la ecuación (2) el valor obtenido para y, se tiene:




Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6 e y = 7, o bien, el par (6, 7).

        La estrategia de este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones
por números convenientemente elegidos para que resulte que los coeficientes de una
de las incógnitas sean opuestos, de modo que se eliminen al sumar las ecuaciones.

2. Eliminación por sustitución.

       Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la
otra ecuación.


Ejemplo :

Resolver:




Solución:
De este sistema, se despeja una variable en alguna de las dos ecuaciones. Por
ejemplo, tomando la segunda ecuación y despejando la “x” se tiene:


Seguidamente, este valor se reemplaza en la otra ecuación; en este caso, la ecuación
1).




Entonces, este valor de y se reemplaza en el despeje obtenido para “x” en la primera
parte, de modo que:




3. Método de igualación.

       Consiste en despejar la misma variable (incógnita) en cada una de las
ecuaciones y en seguida, igualar ambos despejes sobre la base del siguiente principio.




                                            66
Ejemplo:

Resolver:




Solución:
Se despejará x en ambas ecuaciones:


De (1):

De (2):

Como (1) = (2), entonces:


             ,    /




Luego reemplazando en (1) se tiene:




Aplicaciones de la función lineal.

        La función lineal tiene aplicaciones en muchas disciplinas : economía, biología,
física, etc. Puede ser utilizada en todos aquellos casos en la relación entre dos
variables sea de tipo lineal.

       En cuanto a los problemas de aplicación, estos se refieren
principalmente al cálculo de una ecuación lineal entre dos variable o bien a
la determinación de una de las variables conociendo la ecuación que las
relaciona y el valor de la otra variable.

Veamos algunos ejemplos :


       1) La función que representa el valor a pagar de un taxi, después de
recorridos 200 metros es :

                                   f ( x ) = 0,8x + 250

con x        : cantidad de metros recorridos
    f ( x ) : costo en pesos

entonces el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es :



                                           67
f ( 3 0 0 0 ) = 0,8• 3000 + 250
f ( 3 0 0 0 ) = 2650

Entonces por 3 kilómetros se pagan $2.650.


      2) Utilizando la misma ecuación del ejercicio anterior calcular cuánto recorrió
una persona que pagó $2.250.




Como se nos está entregando el valor del costo del recorrido, entonces nos están
entregando el valor de y (f(x)) en nuestra función.




Para obtener el resultado reemplazamos el               valor de y en la función y
resolvemos la siguiente ecuación :

2.250 = 0,8x + 250
2.250 – 250 = 0,8x
2.000 = 0,8x
x = 2.000 : 0,8
x= 2.500


Entonces una persona que canceló $2.250 recorrió 2.500 metros (2 kilómetros).


3) Si se sabe que el agua se congela a 32 ºF ( Fahrenheit) o 0 ºC (Celsius) y
   hierve a 212 ºF o 100 ºC. ¿Cómo se puede expresar la relación de grados
   Fahrenheit en función de los grados Celsius?.

Se tiene la siguiente información :

 x1 y1              x2   y2
(0; 32)       y   (100; 212)


ºC: variable independiente (x)

ºF : variable dependiente (y)

Primero calculamos la pendiente :
                               m = 212 - 32
                                    100 – 0
                                  m = 180
                                      100
                                  m= 0,18


Comenzamos a construir nuestra ecuación :
                            y = 0,18x + n


Luego reemplazamos cualquiera de los puntos entregados en el enunciado del
problema para calcular nuestro coeficiente de posición (n).

En nuestro casos vamos a utilizar el punto (0; 32)


                                      32 = 0,18•0 + n
                                          n = 32



                                            68
Terminamos de construir la ecuación :

                                   y = 0,18x + 32


Y finalmente reemplazamos las variables x e y por las utilizadas en el enunciado del
problema :


                                ºF = 0,18 • ºC + 32

                         Unidad 8. Función Cuadrática.

La función cuadrática está definida por:

                     f(x) = a x2 + bx + c; con a, b y c   IR y a 0.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,
obtenemos siempre una curva llamada parábola.

El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su gráfico
es siempre una parábola.

Concavidad de la parábola.

     Dependiendo del signo del coeficiente “a” de la ecuación de la
parábola, la abertura de la curva puede ser hacia arriba o hacia abajo :

1) Si   a > 0      la parábola abre hacia arriba (concavidad positiva ).

2) Si   a < 0      la parábola abre hacia abajo (concavidad negativa ).




                     a > 0                                a < 0


Raíces.
      Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de
x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que
y = 0.

     Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la
parábola corta al eje x.

Formas en que la parábola puede cortar al eje x en:




                                           69
Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f
(x) = 0 (o que es lo mismo decir y = 0), entonces

                              ax² + bx +c = 0

Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:




Al resultado de la cuenta b2 - 4ac se le llama discriminante de la
ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades :

   •   Si b2 - 4ac > 0 : tenemos dos soluciones posibles.

   •   Si   b2    -   4ac   =    0 :  el  resultado  de  la    raíz   será   0,
       con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.

   •   Si b2 - 4ac < 0 : la raíz no puede resolverse, con lo cual la
       ecuación no tendrá solución real.

Ejemplo:
Calcular las raíces (soluciones) de la ecuación :
                               x 2 + 2x – 15 = 0
a= 1
b= 2
c= -15
reemplazamos los valores en la fórmula y tenemos que

                   x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 2 2 – 4 • 1• (-15)
                                           2• 1

                          x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 4 + 60
                                            2


                             x ( 1 ,2 ) = -2 ± √64
                                             2


                                      70
x ( 1 ,2 ) = -2 ± 8
                                                 2
En este caso tenemos dos soluciones :
x ( 1 ) = -2 + 8 x(1) = 6   x ( 1 ) = 3, y
              2         2

x ( 1 ) = -2 - 8 x ( 1 ) = -10 x ( 1 ) = -5
              2              2
Entonces las soluciones son 3 y -5

Vértice de la parábola.
El punto vértice de la parábola se determina mediante la expresión:




Verifiquemos esta expresión para la parábola :



En este caso: a = 1, b = 1 y c = -12;

La abscisa del vértice sería:




y la ordenada sería:



Entonces el vértice es




Valores máximos y mínimos de la parábola.
     El vértice de la parábola es el punto donde la función alcanza un
mínimo (a > 0) o un máximo (a < 0).




        V (1 , -9)                                        V (2, 13)

Valor mín de la función y = -9                  Valor máx de la función y = 13

Ejemplo :
Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. Determine el
valor mínimo o máximo que alcanza la función.
Primero determinamos los coeficientes :
a : 2
b : 4, y


                                          71
c : 5


como a es mayor que cero la función posee un mínimo.


Calculamos el valor de x de la abscisa :
x v = -4/2•2
x v = -4/4
x v = -1

y finalmente calculamos el valor de la ordenada del vértice :
yv = f(-1)
y v = 2(-1)2 + 4 (-1) + 5
yv = 2 - 4 + 5
yv = 3

Entonces el valor mínimo de la función es 3.

Corte con el eje y.
      La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola
corta el eje y cuando x vale cero (0):




lo que resulta:




La función corta el eje y en el punto          (0, c), siendo c   el   termino
independiente de la función.

Eje de simetría.

       El eje de simetría de una parábola es una recta que divide
        simétricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos
        partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja
        la mitad de la parábola en cuestión.

       El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice que es el único
        punto de la parábola simétrico de sí mismo.

La ecuación asociada al eje de simetría viene dada por la relación:
                                   x= -b
                                       2a




                              Eje de simetría : x = -2,5
Ejemplo .
Calcular el eje de simetría de la función :



                                       72
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  • 1. Preuniversitario Centro República Módulo de estudios PSU Matemáticas 2011 Rodrigo Alarcón Villalonga Docente Preuniversitario Centro República
  • 2. Unidad 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números son elementos abstractos que nos permiten enunciar cantidades. Para identificarlos utilizamos símbolos. A los largo de nuestra historia distintas civilizaciones han utilizado distintos sistemas de numeración. Los mayas, por ejemplo, utilizaban una base 20 (construían sus cifras con 20 símbolos distintos), ya utilizaban los dedos de sus pies y manos para contar elementos. Los árabes utilizaban un sistema decimal en base 10 (construían sus cifras con 10 símbolos distintos), ya que realizaban el recuento de los objetos con los dedos de sus manos solamente. Al momento de representar visualmente los números la diversidad de sistemas aumentó enormemente. El problema de esta inmensa gama de representaciones numéricas es que para representar cifras más grandes se necesitaban nuevos símbolos. Nuestro sistema de numeración se basa en uno inventado por los indios hacia el siglo VII D. C. y que tomarán los árabes, quienes lo llevaron hacia Europa. Nuestro sistema numérico es en base 10 y sus elementos son los dígitos. Dígitos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,l 9} Con éstos símbolos podemos construir cualquier cifra que necesitemos ubicándolos en las posiciones correctas, así de izquierda a derecha tenemos la unidades, luego las decenas, luego las centenas, las unidades de mil, las decenas de mil, etc Ejemplo el número 102.748 está compuesto por : 8 unidades (U) 4 decenas (D) 7 centenas (C) 2 unidades de mil (UM) 0 decenas de mil (DM) y 1 centena de mil (CM) Números naturales: Son los números enteros positivos, van des el 1 hasta el infinito positivo. El conjunto de los números naturales tiene ciertas características : • Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el mismo número aumentado en una unidad. Ejemplo el sucesor de 5 es 6. • Todo número natural (exceptuando el “1”) tiene un antecesor. El antecesor de un número natural es el mismo número disminuido en una unidad. Ejemplo el antecesor de 5 es 4. n –1 n n +1 antecesor sucesor • El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último número natural. Además de las propiedades anteriormente señaladas este conjunto se puede separar en dos “subconjuntos” Los Pares y los Impares. Números pares : Son aquellos de la forma 2n. Los números pares son : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ....... 2
  • 3. n –2 2n n +2 antecesor par sucesor par Números impares : Son aquellos de la forma 2n - 1. Los números impares son : 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...... 2n –3 2n - 1 2n +1 antecesor impar sucesor impar Propiedades de la paridad • La suma de dos números pares es un número par. • La suma de dos números impares es un número par. • La suma de un número par y uno impar es un número impar. • El producto de dos números pares es un número par. • El producto de dos números impares es un número impar. • El producto de un número par por uno impar es un número par. • El cuadrado de un número par es un número par. • El cuadrado de un número impar es un número impar. Dentro del conjunto de los números naturales existen los números primos y los números compuestos. Números primos : son aquellos que se pueden descomponer en sólo dos factores, el mismo número y el “1”. O dicho de otra manera se pueden dividir solamente por el mismo número y el “1”. Números compuestos: son aquellos que se pueden descomponer en más de dos factores. Múltiplos de un número : es el conjunto de números formado por el producto (multiplicación) de un número por un serie de números naturales. Ejemplos : Múltiplos del 4 : M(4) = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 .....} Múltiplos del 3 : M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 .....} Mínimo común múltiplo (MCM) : Es el menor de los múltiplos comunes de dos o mas conjuntos de múltiplos. En los ejemplos anteriores (múltiplos del 3 y múltiplos del 4) observamos que los múltiplos comunes son : el 12, el 24 y el 36, el 12 es el menor, por lo tanto el 12 es el mínimo común múltiplo (MCM). Éste concepto es muy importante para el trabajo con fracciones. Divisores de un número : Son todos los productos (factores) de un número, o bien todos los números que pueden dividir a otro número. Ejemplo : Los divisores del 24 : D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Los divisores del 18 : D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Máximo común divisor (MCD) : Es el mayor divisor común a dos o más números. En los ejemplos anteriores (divisores del 24 y divisores del 18) los divisores comunes son el 1, el 2, el 3 y el 6, pero el mayor de ellos es el 6, por lo tanto el 6 es el máximo común divisor (MCD). Éste concepto es muy importante para la simplificación de fracciones. Criterios de divisibilidad. Número Criterio Ejemplo 378: porque "8" es 2 El número termina en cero o cifra par. par. 480: porque 4+ 8+ 3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 0 = 12 es múltiplo de 3. 3
  • 4. El número formado por las dos últimas cifras es 7324: porque 24 es 4 00 ó múltiplo de 4. múltiplo de 4. 485: porque acaba 5 La última cifra es 0 ó 5. en 5. 24: Ver criterios 6 El número es divisible por 2 y por 3. anteriores. Para números de 3 cifras: Al número formado por 469: porque 46- las dos primeras cifras se le resta la última (9*2)= 28 que es multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de múltiplo de 7. 7, el número original también lo es. 7 Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos 52176376: porque de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada (37-12) - (17-12) + grupo. Sumar y restar alternativamente el (5-4)= 25-5+1= 21 resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el es múltiplo de 7. resultado final es un múltiplo de 7. El número formado por las tres últimas cifras es 27280: porque 280 8 000 ó múltiplo de 8. es múltiplo de 8. 3744: porque 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. 470: La última cifra 10 La última cifra es 0. es 0. Números cardinales Son los naturales mas el conjunto vacío (0). IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas propiedades y características que en los Naturales. Números enteros Este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no es positivo ni negativo: Z+ : es el conjunto de los enteros positivos Z - : es el conjunto de los enteros negativos Recta numérica de los números enteros 4
  • 5. Valor absoluto o Módulo de un número entero El valor absoluto se refiere a la distancia que existe entre el número y el 0 (cero) en la recta numérica. Operatoria en Z Cuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a los signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b . Entonces: a) Adición (suma) a + b. (importante: ) Caso 1: Suma de enteros de igual signo: Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo. Ejemplo: –7 +–15 = -22 Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22 Caso 2: Suma de enteros de distinto signo: Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo: -20 + 4 = –16 O bien: 4 –20 = –16 b) Multiplicación y/o división Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla: Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo. Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo. Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente: c) Sustracción (resta) a–b 5
  • 6. La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b). Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al opuesto de b. Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición. Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23 Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34 Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19 Prioridad de operatoria matemática en los Z. En la operatoria combinada con números enteros, se procede según la siguiente prioridad: 1° Paréntesis 2° Multiplicaciones y divisiones 3° Sumas y restas Números racionales Son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros: Ejemplos de racionales, son: Los números naturales: Los números enteros: Los números decimales finitos: Los números decimales infinitos periódicos: Los números decimales infinitos semiperiódicos: OPERATORIA EN a) Adición y sustracción de fracciones: 6
  • 7. b) Multiplicación de fracciones: c) División de fracciones: d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna, alineando la coma decimal. 0,23 + 1,4 = e) Multiplicación de decimales: Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantas cifras decimales como tengan los factores: 0,2 . 1,54 = 2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultado debe tener tres decimales: 0,2 . 1,54 = 0,308 f) División de decimales: Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en el divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, se efectúa la división entre estos enteros. 7
  • 8. 0,02 : 0,5 = Corremos la coma dos lugares a la derecha: 2 : 50 = La división resulta: 200 : 50 = 0,04 COMPARACIÓN ENTRE RACIONALES Si queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras decimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma: Agregamos cifras decimales para poder comparar: x = 0,23 | 0... y = 0,23 | 2... z = 0,23 | 3... Por lo tanto: x < y < z Si queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y comparar los productos resultantes: Ordenar de menor a mayor: Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20: Como 21 > 20 se deduce que Si las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luego multiplicar cruzado con los números positivos. Aproximación decimal Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una aproximación decimal. 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es: 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda: 8
  • 9. Números irracionales Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con la letra . Números reales Es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto se designa con la letra . R = Q U Q’ Pertenecen al conjunto de los Reales IR (todos los números) : • El cero, los enteros positivos y negativos; • Las fracciones; • Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y • Los irracionales Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación: La Recta Real Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda. La operatoria en los números reales está definida por dos operaciones básicas : la suma y la multiplicación, todas las demás operaciones se derivan de estas dos. Propiedades algebraicas de los números Reales 9
  • 10. A continuación se presenta una tabla que resume las principales propiedades algebraicas de los números reales. Sean a, b y c números reales : Propiedad Suma Producto Conmutativa a+b=b+a a•b=b•a Asociativa (a + b) + c = a +( b +c) (a • b) • c = a • (b • c) Existencia de elemento a + (-a) = 0 a•1=1 neutro a Distributiva de la a • (b + c) = ab + ac multiplicación con respecto a la adición A estas propiedades hay que agregar la propiedad de clausura : Si a y b Є a R (números reales) => a• b y a + b también Є a R. Prioridad de operatoria matemática en los Reales En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente prioridad: 1° Paréntesis 2° Potencias y raíces 3° Multiplicaciones y divisiones 4° Sumas y restas Ejemplo 1: 13 - (-7 + 3 9) – 32 = Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9) Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27. Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20 Segundo: el cuadrado de 3 = 9 Está quedando: 13 – 20 – 9 Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16. Ejemplo 2: Resolver: La raya de fracción obliga primero a resolver el numerador y el denominador, por separado. En el numerador se transformará el decimal 0,2 a fracción: 10
  • 11. En el numerador se resuelve primero la división de fracciones: Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador: Finalmente la división de fracciones: Simplificando por 2: = = Números Imaginarios Los números reales (R) permiten representar infinitos números, pero no pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como por ejemplo x2 + 3 = 0 ó 5x2 + 2 = 0 En general no se pueden solucionar aquellas ecuaciones que representen un número negativo dentro de una raíz de índice par (por ejemplo raíces cuadradas). A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya que no pueden representarse a través de los números Reales. Se representan por el símbolo I. Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación x2 + 1 = 0 la cual determina como solución la siguiente expresión : x = ±√-1, la cual da origen a la unidad imaginaria : i = √-1, finalmente la solución de la ecuación es : x=±i Ejemplos de números imaginarios : • 2i • 5+i • 24 –7i donde i representa ala unidad imaginaria. Números complejos El conjunto de los números complejos (el cual se representa con el símbolo C) es la unión de los números reales con los números imaginarios : 11
  • 12. C=RUI I 4+2i 3i C Al conjunto de los números complejos pertenecen todos los números. Potencias de base real y exponente entero Una potencia el la multiplicación sucesiva de un mismo término, llamado base, tantas veces como lo indique otro término llamado exponente. Ejemplos : = 16 = 2187 = 15625 Definición: Propiedades: 12
  • 13. Raíces. Potencia de exponente racional Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a la raíz enésima de la emésima potencia de a: Propiedades de las raíces: Raíz de un producto Raíz de un cuociente Raíz de una potencia Raíz de una raíz Amplificación de una raíz Simplificación de una raíz Racionalización Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica la comparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma: En esta expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puede racionalizar multiplicando por ya que formarán una Suma por Diferencia, lo que permite eliminar las raíces en el denominador. Unidad 2. RAZONES Y PROPORCIONES Y PORCENTAJES Razón Es la comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) 13
  • 14. Se define : ó a : b y se lee "a es a b" La primera de ellas a se llama antecedente (d i v i d e n d o ) y la segunda b se llama consecuente (d i v i s o r ) y siempre se deben escribir en el orden dado. Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es: . Si simplificamos por tres obtenemos: . Como se dijo anteriormente una razón sirve para comparar dos cantidades: Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4) La razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muy importante. Ejemplo : Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena? Solución: La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente. La razón pedida es: Simplificando por 8, la razón queda en 3/5, lo que significa que la mezcla está conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena. Proporción La igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores: es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12 . 5 = 4 . 15 La propiedad: , se denomina propiedad fundamental de las proporciones y se expresa verbalmente de la siguiente manera “ dos razones son proporciones sí y sólo sí el producto de los medios es igual al producto de los extremos” 14
  • 15. Cálculo del término desconocido de una proporción Si en la proporción se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularlo aplicando la propiedad fundamental: De este modo, si w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z. w= z= x= y= Ejemplo: Calcular x en la proporción Solución: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 7,5 · 10 = 4 · x 75 = 4x =x x = 18,75 Serie de razones o serie de proporciones La serie de razones: a:c:e=b:d:f Puede ser expresada como : con k = constante. Ejercicio: Se desea cortar un alambre de 720 mm en trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8:6:4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre de acuerdo al orden de las razones dadas?. 1°.- se suman las razones : 8 + 6 +4 = 18 2°.- se divide la cantidad total dada por la suma de las razones : 720: 18 = 40 ( a este valor se le llama constante de proporcionalidad (k)). 15
  • 16. 3°.- Se multiplica cada una de las razones dadas por k y se obtienen los valores requeridos: 8 • 40 = 320 mm; 6 • 40 = 240 mm y 4 • 40 = 160 mm. PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante: k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen. Ejemplo: Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina: Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos: PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante: k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola. 16
  • 17. Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables: número de obreros – tiempo, es constante: Aplicaciones de la Proporcionalidad Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad: 1º: Lectura comprensiva del texto del problema. 2º: Identificación y ordenación de los datos dados. 3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa. 4º: Planteamiento de la proporción según tipo. 5º: Resolución algebraica. 6º: Respuesta y verificación de la solución. Ejemplo: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo? Ordenación y análisis de los datos: 6 obreros 18 metros 9 obreros x metros En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia, se forma la siguiente proporción: La cual, al ser resuelta, se tiene: metros Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja. PORCENTAJE El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un 100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que 17
  • 18. ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte. Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es: El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa: La base para las operaciones de cálculo de porcentaje es : cantidad total = parte de la cantidad 100% tanto % O bien : cantidad total 100% parte de la cantidad tanto % Existen tres casos para la operación con porcentajes : Primer caso: Calcular el tanto % de una cantidad. Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100% es q y el p% es x (valor a calcular). q = x 100% p% Aplicando proporciones, se tiene que: Donde, al despejar el valor de “ x” se tiene: Esta última relación puede manipularse para concluir que: En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y se multiplica por el % pedido. Ejemplo : calcular el 20% de 50 50 = x 100% 20% x = 50 • 20 = 10 100 Segundo caso: ¿Qué porcentaje es una cantidad, respecto de otra cantidad? 18
  • 19. Planteando la proporción, se tiene: q = p 100% x% Despejando x se tiene: Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa p de q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100. Ejemplo : Calcular qué porcentaje es 20 de 60 60 = 20 100% x% x = 100 • 20 = 33.33% 60 Tercer caso: ¿Cuál es el número cuyo tanto % es una cantidad conocida? Planteando la proporción correspondiente, se tiene que: x = q 100% p% Al despejar “x” se logra, que: Ejemplo : encontrar el número cuyo 25% es 8 x = 8 100% 25% x = 100 • 8 = 32 25 Aumento de un número en un cierto porcentaje: Este cálculo se puede plantear de dos maneras : 1) Utilizar la fórmula : VF = VI • (1 + % ), donde 100 VF : valor final VI: valor inicial % : porcentaje a subir. Ejemplo : Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : VF = 5000 • (1 + 5/100) VF = 5.000 • (1 + 0.05) VF = 5.000 • (1.05) VF = $5.250 2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a aumentar más el 100% Ejemplo : 19
  • 20. Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : 5% + 100 % = 105%, se busca el 105% de 5.000 5.000 = x 100% 105% x = 5.000 • 105 100 x = $5250 Disminución de un número en un cierto porcentaje: Se procede igual que en el caso anterior : 1) Utilizar la fórmula : VF = VI • (1 - % ), donde 100 VF : valor final VI: valor inicial % : porcentaje a subir. Ejemplo : Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : VF = 5000 • (1 - 5/100) VF = 5.000 • (1 - 0.05) VF = 5.000 • (0.95) VF = $4.750 2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a disminuir y se le reste al el 100% Ejemplo : Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : 100 % - 5% = 95%, se busca el 95% de 5.000 5.000 = x 100% 95% x = 5.000 • 95 100 x = $4750 Impuesto al Valor Agregado (IVA) El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta de bienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuesto alcanza al 19% del valor neto del producto. De este modo: Valor neto + 19% = valor a pagar Ejemplo: Don Pepe vendió abarrotes y en la boleta escribió el valor total de $15.400. ¿Cuál es el IVA que recaudó don Pepe por la venta de estos abarrotes? Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459. Unidad 3. ÁLGEBRA Perfil del álgebra El Álgebra es una rama de las Matemáticas que usa letras y símbolos para 20
  • 21. representar cantidades y relaciones aritméticas. Busca generalizar las relaciones matemáticas, a diferencia de la Aritmética que solo opera con casos particulares de una relación. Consideremos, por ejemplo, el teorema de Pitágoras que establece que “en un triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.“ Algebraicamente, este teorema puede generalizarse como a2 + b2 = c2 , expresión que enuncia la relación métrica que deben cumplir los lados de cualquier triángulo rectángulo. La aritmética , en cambio, solo podría operar con medidas específicas de triángulos individuales, generando expresiones numéricas del tipo: 32 + 42 = 52. Surgimiento del álgebra El origen del álgebra puede situarse en Babilonia y el antiguo Egipto, cuyos sabios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y de la forma x2 + y2 = z2. De hecho, los antiguos babilonios resolvían las ecuaciones cuadráticas empleando métodos semejantes a los que hoy se utilizan. El conocimiento algebraico de egipcios y babilónicos encontró acogida en el mundo islámico, donde se le denominó “ciencia de reducción y equilibrio”. El vocablo árabe al-jabru, que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el matemático árabe al-Jwarizmì escribió uno de los primeros libros de álgebra, en el que presenta, en forma sistemática, la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. Es precisamente de este matemático de donde deriva la palabra algoritmo, que hoy representa la expresión simbólica de los pasos que llevan a la resolución de un problema. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y xz = y2. Conceptos Básicos de Álgebra Ya tenemos idea de las operaciones con los números naturales, enteros, racionales y reales. Ahora trabajaremos con la generalización de esa operatoria en algunos de los diversos ámbitos que presenta el álgebra. Las mismas leyes, propiedades y operatoria de los números ya estudiados han preparado el terreno para la comprensión de operaciones más amplias y generales, propias del Álgebra, en los diversos conjuntos numéricos. El lenguaje que ocupa el álgebra permite realizar representaciones a través de factores literales (que representan cantidades cualesquiera), números y relaciones aritméticas de la aritmética. Ejemplos : • Un número cualquiera puede representarse por x, o por a, o por cualquier otra letra o combinación de letras. • Para representar dos números cualesquiera distintos entre sí, podemos usar letras diferentes : x e y; a y b; m y n; etc. • El doble de un número cualquiera se expresa por 2x, o 2a, etc • El cuadrado de un número cualquiera se expresa por x2 , o a2, o a2, etc. • La diferencia entre dos números se puede expresar como : x – y, ó a – b, etc. • Un número aumentado en tres unidades : x + 3, ó a + 3, ó b + 3, etc. • Un número disminuido en dos unidades : x – 2, ó a – 2, etc. • La mitad de un número x 2 • La mitad de un número más el doble de otro : x + 2y 21
  • 22. 2 Representación de las operaciones aritméticas en álgebra. Las operaciones entre dos números cualesquiera x e y se representan : i. La suma :x+y ii. El producto : x•y iii. La diferencia :x–y iv. El cuociente : x : y ó x/y Expresión algebraica Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades, expresadas numérica y literalmente, relacionadas entre sí por operaciones aritméticas. Ejemplo: 13x3– 2ax2 + es una expresión algebraica. Término algebraico Un término algebraico es una expresión que relaciona un número real con letras, por medio del producto o el cuociente. Un término algebraico consta de: • signo • coeficiente numérico • factor literal • grado En una expresión algebraica, los términos están separados por signos (+) y (-). Observaciones en la notación algebraica 1. En álgebra, el signo multiplicativo antes de factores literales puede suprimirse. Por ejemplo: puede escribirse . 2. El coeficiente numérico 1 en un término algebraico, suele quedar tácito (no se escribe). Por ejemplo 1x = x 3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puede obviarse, y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c = 5a - 3b +2c Por ejemplo, la expresión: +11 · x2 - 1 · y + x · y Se escribe: 11x2 – y + xy TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Ejemplos : a) x2 y -2x2 : son términos semejantes (factor literal x2). b) -3x y -3x2 : no son términos semejantes (factor literal x e x2 respectivamente). c) –a2b y 5a2b : son términos semejantes (factor literal a2b). d) a2b y 3ab2 : no son términos semejantes (factor literal a2b y ab2 respectivamente). 22
  • 23. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: -2a2b + 5a2b = 3a2b 10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3 Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes. Tipos de expresiones algebraicas Dependiendo del número de términos que posean las expresiones algebraicas, se clasifican en: Monomio: Es la expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo: Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos. Ejemplo: Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplo: Polinomio: Es la expresión algebraica de dos o más términos. Ejemplo: ; ; ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: (1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. (2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. Ejemplo: 2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) = Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes: -2ab + 2a - ab MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para 23
  • 24. multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”. Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5z Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”. Ejemplo: 2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2 Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio. Ejemplo: (2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5c Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo. (2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4 PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos cuyos factores cumplen ciertas características que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Los productos notables son: Sean a y b dos términos algebraicos cualesquiera. Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Multiplicación de binomios con término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 24
  • 25. FACTORIZACIÓN Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: Factor común Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización. Diferencia de cuadrados Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases. a2 – b2 = (a + b) (a – b) Ejemplo: 25a2 – 16b4 Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 : Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2) Factorización de trinomio cuadrático perfecto Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2 En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio: (4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q Ejemplo: x2 – 10x + 24 El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto: x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6) 25
  • 26. Diferencia de cubos a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Ejemplo: 125z3 – 64y6 La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto: 125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3 Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que: (5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4) Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9) Simplificación de expresiones algebraicas Para la simplificación de expresiones algebraicas se aplica el mismo concepto de simplificación de fracciones, pero en este caso el numerador y denominador son expresiones algebraicas. La idea es realizar una factorización por algún término algebraico o expresión algebraica que sea común tanto para el numerador como para el denominador. Simplificación de monomio por monomio : Ejemplos : 1) 3x2 6x en este caso se factoriza por 3x : 3x • (x) 3x • (x) = x 3x • 2 3x • 2 2 2) 3a2bc 12ac en este caso se factoriza por 3ac : 3a2bc 3ac • ab = 3ac • ab = ab 12ac 3ac • 4 3ac • 4 4 Simplificación de binomio por monomio : Ejemplos : 1) (5xy2 – 10x2y) 5xy en este caso se factoriza por 5xy : (5xy2 – 10x2y) 5xy • (y – 2x) 5xy • (y – 2x) = (y – 2x) 5xy 5xy 5xy 26
  • 27. 2) (b2 – bc) 2b en este caso se factoriza por b : (b2 – bc) b • (b – c) b • (b – c) = (b – c) 2b b•2 b•2 2 Simplificación de polinomios : 1. Simplificación de resultados de productos notables : a) x2 – 16 x2 + 8x + 16 en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de una suma por diferencia y el denominador es el resultado de un cuadrado de binomio (trinomio cuadrado perfecto). x2 – 16 (x + 4) • (x – 4) (x + 4) • (x – 4) = x2 + 8x + 16 (x + 4)2 (x + 4) • (x + 4) (x – 4) (x + 4) b) x2 + 7x + 10 x2 – 25 en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de un producto de binomios con un término en común (trinomio cuadrado no perfecto) y el denominador es el resultado de una suma por diferencia. x2 + 7x + 10 (x + 5) • (x + 2) = (x + 2) x2 – 25 (x + 5) • (x - 5) (x - 5) c) x2 + 5x + 6 x2 + 8x + 15 en este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son el resultado de un producto de binomios con un término en común (trinomio cuadrado no perfecto). x2 + 5x + 6 (x + 1) • (x + 5) = (x + 1) x2 + 8x + 15 (x + 3) • (x + 5) (x + 3) 2. División de polinomios : Realizamos la siguiente división: (4x3 + 2x2 + 4x + 3) : (x2 - x - 1). Primer paso de la división de polinomios : Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de mayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente. 27
  • 28. Segundo paso de la división de polinomios : Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo. Último paso de la división de polinomios : Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior, obteniendo el segundo término del cociente. Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomio cociente y el polinomio resto son: Cociente = 4x + 6 Resto = 14x + 9 Si la división no posee resto, se dice que tanto el divisor como cociente son factores y se pueden escribir como producto. Calculamos (8x3 - 4x2 + 2x + 7) : (2x2 + x - 1). Los polinomios resultantes de la división son: Dividendo = 8x3 - 4x2 + 2x + 7 Resto = 10x + 3 Cociente = 4x – 4 Divisor = 2x2 + x - 1 28
  • 29. Comprobamos el resultado: cociente · divisor + resto = dividendo (4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)= (8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) = 8x3 - 4x2 + 2x + 7 Unidad 4. Ecuaciones y planteamiento de problemas Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación: En la unidad de álgebra vimos que el grado de una expresión algebraica está dado por el mayor exponente de dicha expresión. Al ser las ecuaciones expresiones algebraicas se les denomina según el mayor grado que posea la incógnita, así tenemos por ejemplo que una ecuación cuyo mayor exponente es 1 se denomina ecuación de primer grado, la ecuación que tenga como mayor exponente el 2 se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática, la ecuación que tenga como mayor exponente el 3 se llama ecuación de tercer grado, etc. Además el número de raíces (soluciones en los números reales) de una ecuación equivale al grado de la ecuación. Ejemplos : 1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces. 2) La ecuación 13 - 2x = 4 es de primer grado y tiene una solución. 3) La ecuación 7x2 - x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones. Ecuaciones de primer grado con una incógnita : Son aquellas ecuaciones en las que existe una sola variable, generalmente designada por el símbolo x (aunque también puede ser designada por cualquier otro símbolo). Esta variable está elevada a 1 (por eso el nombre de primer grado) y todos los otros términos (ya sean números o letras) son términos constantes. Estas ecuaciones son igualdades que tienen validez para un solo valor de la variable (incógnita) y resolver la ecuación es aplicar las propiedades del conjunto R para “despejar la incógnita” y así determinar el valor que satisface la igualdad. 29
  • 30. Resolución de ecuaciones de primer grado Existen tres pasos básicos para resolver una ecuación de primer grado : Dada la ecuación: 1- Transposición: Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía. En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6) La ecuación quedará así: Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha). 2- Simplificación: El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta reduciendo los términos semejantes : Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será: 3- Despejar: Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo). Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar el signo). 30
  • 31. Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo): Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737) por tanto, simplificando, la solución es: Tipos de ecuaciones de primer grado Las ecuaciones las podemos dividir básicamente en tres tipos : Ecuaciones lineales con coeficientes enteros : Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupan los términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términos constantes en el otro : Ejemplo: 1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5 Solución: Primero se reducen términos semejantes: ; Se agrupan las “x“ y los números en distintos lados de la igualdad: Se vuelven a reducir términos semejantes: Finalmente, se despeja la x y se simplifica la solución : 2) Resolvamos ahora la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x. Solución: x - 3 = 2 + x. Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5, que es una contradicción. Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución. 3) Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4: 31
  • 32. Solución: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4 Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa? La igualdad que has obtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución? Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees. En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución). Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades. Ecuaciones con coeficientes fraccionarios : Para su resolución, se multiplica la igualdad por el mcm (mínimo común múltiplo) entre los denominadores. Ejemplo: Resolver Solución: / Luego se simplifica: Transformándose en una ecuación lineal: Otro caso : Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos Para su resolución, se multiplica la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo) entre los denominadores. Ejemplo: Resolver Solución: Se multiplica la ecuación por (x + 1) · 2x /· 32
  • 33. Y se simplifican los términos correspondientes: Se desarrollan los productos: Y se reducen términos semejantes: Quedando finalmente que: Ecuaciones Literales : La técnica principal es, una vez agrupada la incógnita, aplicar la factorización y simplificación. Ejemplo Resolver Solución: Se realizan los productos: Se agrupan términos, dejando la incógnita en uno de los dos miembros: Se factoriza la incógnita: Y se despeja x: Se simplifica, quedando que: Planteamiento de problemas. Generalmente un problema se enuncia en términos verbales y su resolución pasa por el planteamiento de una o más ecuaciones. Estas ecuaciones corresponden a relaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en el problema y a las condiciones que dichas relaciones plantean. Para plantear la ecuaciones se requieren de dos habilidades fundamentales : análisis lógico del problema planteado y traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. Recordemos algunas maneras de enunciar algunas expresiones algebraicas : El doble de a.......................................................2a El triple de b.......................................................3b 33
  • 34. El cuádruplo de c.................................................4c El cuadrado de d.................................................d2 El cubo de e.......................................................e3 El antecesor del n° entero f..................................f–1 El sucesor del n° entero g ...................................g+1 El cuadrado del doble de h...................................(2h)2 El doble del cuadrado de i....................................2i2 Un número par...................................................2n Un número impar ...............................................2n-1 ó 2n+1 Dos números consecutivos...................................n y n+1 Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2 Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1 La mitad de x................................................... La tercera parte de y ........................................ Algunos pasos básicos para el planteamiento de problemas : 1°: Comprender el problema : realizar una lectura comprensiva del problema. 2°: Plantearse un plan : ordenar los datos entregados y plantear una o varias ecuaciones que permitan resolver el problema. 3°: Ejecutar del plan : resolver las ecuaciones planteadas. 4°: Dar respuesta y verificar los resultados. Veamos a continuación algunos ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: ¿Qué número aumentado en 5 unidades es igual a 100?. Planteamiento de la ecuación : x + 5 = 100 Resolución de la ecuación : x = 100 – 5 x = 95. Respuesta : 95. 34
  • 35. Ejemplo 2: Pedro excede en 7 cm la estatura de su hermano Jorge. ¿Cuál es la altura de Jorge si Pedro mide 1,20 mts.?. estatura Pedro = P estatura Jorge = J diferencia de estaturas : P – J = 7 cm (0,07 mts), pero P = 1,20 mt ⇒ Planteamiento de la ecuación : 1,20 mts – J = 0,07 mts Resolución de la ecuación : J = 1,20 mts – 0.07 mts J = 1,13mts Respuesta : Jorge mide 1,13 mts. Ejemplo 3: Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación: x + 2x + 1 = 97 3x = 96 x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: 32 Ejemplo 4: Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9. Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado: (x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5. Ejemplo 5: La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos números Solución: Sea: 35
  • 36. El 1° número: 2x+1 El 2° número: 2x+3 El 3° número: 2x+5 Interpretando el enunciado, se forma la ecuación: (2x+1) + (2x+3) + (2x+5) = 39 Cuya solución es: 2x+1 + 2x+3 + 2x+5 = 39 6x + 9 = 39 6x = 39 - 9 6x = 30 x=5 Luego, el primer número es: 2x+1 2 • 5 + 1 = 11 El segundo es: 2x+3 2 • 5 + 3 = 13 El tercero: 2x+5 2 • 5 + 5 = 15 Respuesta: los tres números son: 11, 13 Y 15. Estrategias de Resolución de Problemas. Problemas de doble discriminación. En este tipo de preguntas, al problema planteado le siguen 3, 4 ó 5 proposiciones (I, II, III, etc.) que deben ser analizadas individualmente para dictaminar si cumplen con determinada propiedad, si son verdaderas o falsas, etc. Finalmente, se ha de elegir la alternativa (A, B, etc.), según el resultado del análisis. Esta estructura se puede esquematizar así: Planteamiento del problema Proposiciones: I, II III, etc. Alternativas: A, B, C, D, E. Ejemplo: ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es (son) igual (es) a ? I: II: III: A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III 36
  • 37. D) Solo I y III E) I, II y III Solución : • Proposición I: Separando la raíz del denominador: = Amplificando por y luego simplificando por 5: = = = . La proposición I es igual a . • Proposición II: Separando la raíz del numerador: = Amplificando por y luego simplificando por 3: = = = . La proposición II es igual a . • Proposición III: Amplificando la expresión por para racionalizar, queda: = = Esto nos lleva a la proposición II. Por lo tanto, la proposición III es igual a . En conclusión, las expresiones I, II y III son iguales a . Por lo tanto, la alternativa correcta es E. Problemas de evaluación de suficiencia de datos. 37
  • 38. Estos problemas tienen una estructura bien definida. Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino decidir si los datos proporcionados en el enunciado, más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Las alternativas que se dan son: A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional. A) (1) por sí sola: Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola: Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2): Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2): Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional: Se marca esta alternativa si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo 1: B ¿Cuál es el valor de en la figura? (1) ángulo en C recto. (2) AC = BC α A C Solución: Consideremos la afirmación (1). Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo. Creer que son de 45º cada uno no es correcto, ya que ningún dato dice que esos ángulos son iguales. La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles, ya que AC = BC, lo que nos indica que el ángulo en A y en B son iguales, pero no tenemos ningún otro dato que nos permita calcularlos (los 90º de la afirmación (1) hay que olvidarlos por ahora). Como hemos podido apreciar, las afirmaciones (1) y (2), por sí solas, no nos permiten determinar el valor de , pero si juntamos ambas, se nos produce la siguiente información: El ángulo en C mide 90° y ángulo y ángulo en B son iguales. Esta información sí nos permite llegar a la solución. Por lo tanto, Ambas juntas, (1) y (2). 38
  • 39. Alternativa correcta: C Ejemplo 2: De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto? (1) A es más bajo que B, pero más alto que E. (2) E es más alto que C, pero más bajo que D. Solución: (1) Estableciendo un orden de menor a mayor, podemos concluir que: E< A < B Sin embargo, no hay elementos para comparar a los alumnos C y D. Por lo tanto, (1) por sí sola NO es suficiente. (2) Análogamente se interpreta obteniendo: C<E< D Tampoco hay elemento de comparación para A y B. Luego, (2) por sí sola tampoco es suficiente. Luego la alternativa D, cada una por sí sola, tampoco es la correcta. Analizaremos la alternativa C, ambas juntas. De la información de (1): E< A < B Al juntar la (2) se tiene: C< E< A < B Como D es mayor que E, se debiera ubicar a la derecha, pero no hay elemento de comparación para la relación entre A, B, D. Por lo tanto tampoco (1) y (2), ambas juntas, son suficientes para resolver el problema. Se requiere información adicional. Unid a d 5. Desig ua ld a d es e inec ua c io nes. Desig ua ld a d es. Los números reales se pueden comparar mediante la relación “mayor que”, “menor que” o “igual que”, para lo cual existe la siguiente simbología: a < b ; que se lee “a es menor que b” o “b es mayor que a” a b se lee: “a es menor o igual a b“ o “b es mayor o igual que a”. Para el caso de comparación entre dos números positivos, en la recta numérica es mayor el que está más lejos del cero. En cambio, para comparar dos negativos entre sí, el mayor es el que esta más cerca del cero. Para comparar dos números reales a y b, en general, es mayor el que está a la derecha en la recta numérica. Ejemplos: 39
  • 40. Propiedades de las desigualdades: 1) Una desigualdad se mantiene si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: 2) Una desigualdad se mantiene si se multiplica (o divide) por una cantidad positiva: 3) Una desigualdad cambia de dirección si se multiplica (o divide) por una cantidad negativa: Es decir cuando multiplicamos por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte. Ejemplo: Intervalos. Frecuentemente se trabaja con subconjuntos de números reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden, como por ejemplo: “los números reales mayores que -1 y menores que 8”. Simbólicamente: {x IR / -1 < x < 8 }. Estos subconjuntos de IR se denominan intervalos. Clasificación de intervalos: Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tipos de intervalos: Intervalo Cerrado: En este caso los extremos a y b están incluidos dentro del conjunto. Esta situación se denota con corchetes “hacia adentro”. Intervalo Abierto: En este caso, los extremos a y b no son parte del conjunto. Están excluidos. Esta situación se denota con paréntesis redondos o con corchetes mirando “hacia afuera”. 40
  • 41. Intervalo semiabierto o semicerrado: En estos casos, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado. Intervalos hacia el infinito. Representación gráfica de intervalos. Un intervalo puede representarse gráficamente, representando el extremo cerrado con un punto lleno y el extremo abierto con un punto en blanco. 41
  • 43. Inecuaciones de primer grado. Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. En este tipo de expresiones algebraicas obtenemos como resultado un conjunto de soluciones en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo. Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3“. Resolver una inecuación es calcular el intervalo de números reales, para el cual la inecuación se transforma en una desigualdad verdadera. Para resolver una inecuación, se deben aplicar las propiedades de las desigualdades. Ejemplo: Resolver la inecuación:2x – 5 < x + 2 Solución: 2x – 5 < x + 2 2x – x < 2 + 5 x<7 Esta solución se puede expresar como: Sist em a s d e I nec ua c io nes. Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tiene dos o más inecuaciones. Para resolverlo se determina el conjunto de números reales que satisface simultáneamente todas las desigualdades del sistema. Este conjunto se llama conjunto solución del sistema, determinado por una región del plano, que se obtiene por intersección del conjunto solución correspondiente a cada una de las inecuaciones. Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos: Ejemplo 1: Resolver el sistema de inecuaciones: En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2) x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1) x>5 43
  • 44. En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3) x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1) x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9. Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación: Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos los números comprendidos entre 5 y 9. Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que: ]5,9[ Ejemplo 2 : Determinemos el conjunto solución del sistema Solución: Resolvemos cada inecuación en forma separada: Gráficamente esto es: Así, la solución final será la intersección 44
  • 45. Unidad 6. Relaciones y funciones. Relaciones. Sistema de Coordenadas Cartesianas. En el siglo XVII (época de Descartes y muchos grandes matemáticos) la geometría había alcanzado su plenitud. Pero las demostraciones que se hacían acerca de ellas eran basadas en supuestos de los que se conocían sus resultados y se llegaba a ellos mediante un razonamiento deductivo bastante elegante, al puro estilo de Euclides. Sin embargo era difícil la predicción, este es un elemento importantísimo en cualquier ciencia. A Rene Descartes se le ocurrió mezclar las herramientas que tenía hasta el momento, entre las más importantes que encontró fue la geometría euclidiana y el álgebra renacentista. Así, creó un sistema de referencias al cual podía asignar ecuaciones de dos variables a curvas en el plano y viceversa. De este modo podían estudiarse figuras geométricas y sus relaciones con el uso del álgebra. De esta manera surgió la geometría analítica. El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas. Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b), tal como lo muestra la figura. En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P. Par Ordenado. Conjunto de dos números arreglados en un orden particular, normalmente escritos como (1er número, 2o número), en donde tanto el orden como los valores tienen significados acordados. Por ejemplo, las coordenadas de un punto en un plano de coordenadas Cartesianas se escriben como (x, y), en donde x es la coordenada horizontal e y es la coordenada vertical. Su representación general es: ( a,b) Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y 45
  • 46. el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representación no es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden. Producto cartesiano. En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos, también es conocido como producto cruz. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y: Ejemplo: Sean los conjuntos : A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene: AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)} El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA. Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que intervienen Relación. 46
  • 47. Dados dos conjuntos A y B, se define una relación de A en B como todos los pares ordenados que cumplan una condición dada. Una relación es un subconjunto del producto cruz. Ejemplo: Dados los conjuntos : A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 8}, Escribir la relación definida por R = { (x, y) / x < y ; x Є A ; y Є B } Esta definición de R (relación) se traduce como todos los pares ordenados (x, y) tal que el elemento de A es menor que el elemento de B y el elemento x pertenece a A y el elemento y pertenece a B. Esto es: R= {(1, 3), (1, 5), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2,8), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8) } Gráfica de una relación. La gráfica de una relación corresponde a la ubicación de los pares ordenados de dicha relación en el plano cartesiano. La gráfica de la relación anterior es la siguiente: eje y eje x Dominio y Recorrido de una relación. Se le llama Dominio de la relación a los elementos del conjunto A que participan en la relación. En el ejemplo que estamos analizando: Dom R = { 1, 2, 3, 4} 47
  • 48. EL Recorrido de la relación es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto B que participan en la relación. En este caso: Rec R = { 3, 5, 8}. Función matemática. Dada una relación f : A → B, esta relación es función si y solo si cada elemento de A tiene imagen única en B. En símbolos: Se cumple con las siguientes dos condiciones: 1.Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si Una función se simboliza por el símbolo f(x) y significa que la relación está en función de x. A la variable x se llama variable independiente y puede tomar cualquier valor. La variable y se llama dependiente, porque sus valores se obtienen al reemplazar la x. f(x) = y 48
  • 49. Función inyectiva. Una función es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la imagen de corresponde un único origen en el dominio. Por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva. 49
  • 50. Definición formal : De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes: • Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2. • Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple Función epiyectiva. Una función es epiyectiva (sobreyectiva suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X". Formalmente, Usando lenguaje más técnico se puede expresar la condición de inyectividad como: «Una función es inyectiva si la fibra (imagen inversa) de cada elemento del codominio tiene cardinalidad menor o igual a uno». Función biyectiva. Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Formalmente, 50
  • 51. Formas de representar una función. Existen 4 formas de representar una función, las que se resumen en el siguiente cuadro: Nomenclatura funcional Consideremos la función real f: A → B representada en el siguiente diagrama: En el diagrama, los conjuntos dominio y recorrido son : Dom f = {a, b, c} y Rec f = {1, 2, 3} 51
  • 52. Además, bajo la condición f, el elemento a Є A está relacionado con el elemento 2 Є B. Esto se expresa diciendo que 2 es la imagen de a bajo la función f y se escribe así: f(a) = 2 Análogamente, se dice que a es la preimagen de 2, bajo la función f. Esto se escribe así: f -1(2) = a Preimagen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de partida (dominio). Imágen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de llegada (recorrido). Funciones Reales. Son todas aquellas funciones cuyos conjuntos iniciales y finales son los números reales. Por ejemplo: Sea f: IR → IR, definida como f(x) = 2x – 1. De este tipo de funciones podemos definir algunas operaciones: Cálculo de imágenes : Dada una función f(x), el cálculo de una imagen se reduce a la valoración de una expresión. En el ejemplo dado: Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f(-5). Solución: Reemplazando: f(-5) =2 · (-5) – 1 = - 11 Entonces: f(-5) = -11 Cálculo de preimágenes : Dada una función f(x), el cálculo de una preimagen corresponde al cálculo de un valor de x tal que resulte el valor de la función. En el ejemplo dado: Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f -1(-11). Tenemos que: 2x – 1 = - 11, que es una ecuación de primer grado. Resolviendo: 2x = - 11 + 1 x = -5 Entonces, f-1(-11) = -5 52
  • 53. Análisis del Dominio de una Función. El dominio de una función es el conjunto, cuyos elementos hacen que la función esté bien definida. En otras palabras, es el conjunto de las preimágenes (variable x), donde la función está definida. ¿Cuál el Dominio de la siguiente función?: f(x) = Si observamos, la función es una fracción. Este tipo de funciones se llama función racional y por tratarse de una fracción, lo importante es que el denominador no sea cero. Entonces, buscaremos dicho valor. Para este efecto, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación: Es decir, el dominio puede tomar cualquier valor real menos el 4. Luego, Dom f = IR - {4} Análisis del Recorrido de una Función. El recorrido de una función son los valores que toma la variable Y o el conjunto de las imágenes. Para analizar el recorrido, se despeja la variable x: Ejemplo: Hallar el recorrido de la función: f(x) = Se despeja la x, haciendo y = f(x). Esto es: se factoriza por x 53
  • 54. Análogamente al análisis del dominio, se toma el denominador Entonces: Rec f(x) = IR - { 3 } Es decir, el recorrido puede tomar cualquier valor real, menos el 3. Funciones Definidas por Intervalos. Existen funciones definidas por tramos o intervalos, que permiten mezclar las funciones básicas y son de gran utilidad en la matemática: Ejemplo: f(x) = Calcular f(-3) y f(4). Solución: Como x= -3 es negativo se debe utilizar . Entonces: f( 4) como x=4 es positivo se debe ocupar x+1. Entonces: Composición de funciones. Sean las funciones f: A B y g: B C, entonces se define la función compuesta de f con g: gof: A C a f(a) = b g(f(a)) = c 54
  • 55. Figura : Diagrama de función compuesta a f(a) b g(f(a)) c Figura: Esquema de una función compuesta En la figura: f(-2) = 2 · (-2) – 1 = -5 g(f(-2)) = g(-5) = (-5)2 = 25 f(2) = 2 · (2) – 1 = 3 g(f(2)) = g(3) = (3)2 = 9 Función inversa. Sea la función f: A B. Su inversa se designa por f-1 : B A y se define por: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. Podemos observar que: 55
  • 56. El dominio de f − 1 es el recorrido de f . El recorrido de f−1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Unidad 7. Función lineal. Una función real es lineal si obedece a la forma : f(x) = a + bx, con a y b IR, b 0. La función lineal puede escribirse de varias formas, de las cuales usaremos: Forma Principal: y = mx + n; con m y n IR, m 0. Forma General: ax + by + c = 0; , con a, b y c IR, a 0. Ejemplo: Escribir la función lineal 6x – y = 9 en sus formas principal y general. Solución: Para la forma principal se despeja la y: 6x – y = 9 y = 6x – 9, que es la forma principal de la recta. Para la forma general, se trasladan todos los términos al primer miembro: 6x – y = 9 6x – y – 9 = 0, que es la forma general de la recta. Gráfica de la función lineal. Toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a, b, c R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas, cuyas soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. Ejemplo: La ecuación L: x + y = 4 56
  • 57. Gráfico: Observaciones: • A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta • Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esa ecuación. • Los puntos que cada par ordenado representa, pertenecen a la recta correspondiente. Dominio y Recorrido de la función lineal. En una función lineal y = f(x), x, que es la variable independiente, puede tomar cualquier valor real. Por lo tanto: Dom f(x) = IR De igual forma, la variable dependiente y puede tomar cualquier valor real. Por lo tanto: Rec f(x) = IR Ecuación de la Recta. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta solo son necesarios dos puntos de un plano. 57
  • 58. La idea consiste en poder encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a una recta dada. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuación de una Recta. Ecuación Principal de una Recta. Se llama Ecuación Principal de una Recta a una expresión de la forma: y = mx + n Con m y n IR, m 0 Donde m representa a la pendiente de la recta y n es el intercepto. Pendiente de una recta (m). Se denomina pendiente “m” de una recta a una constante que revela el grado de inclinación que tiene la recta respecto del eje de las abscisas (eje x). Para determinar matemáticamente la pendiente, elijamos dos puntos cualesquiera de una recta. En la figura adjunta se han marcado los puntos A( , ) y B( , ) de la recta L. La pendiente m se calcula así: Interpretación de la pendiente de una recta. Signo de la pendiente: • Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x, mayores valores de y, y viceversa. • Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x, menores valores de y, y viceversa. • Si m = 0, indica que la variable y se mantiene constante, aunque x aumente o diminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x. 58
  • 59. Pendiente positiva (m>0) Pendiente positiva (m<0) Pendiente nula (m=0) Valor absoluto de la pendiente. Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia de valores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud del crecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en los valores de x. En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece (o decrece) la variable dependiente (y) con las variaciones de la variable independiente (x). Ejemplo: En la recta y = 7 - 3x, ¿Qué indica la pendiente? Solución: La pendiente es m = -3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y. Es decir, cuando x crece, la variable y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable y decrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable y aumenta en 3 unidades. En la figura siguiente se muestran cinco rectas que pasan por un mismo punto, pero con distintos grados de inclinación. 59
  • 60. Intercepto de una recta (n). Se denomina intercepto de una recta y = mx + n, al valor en el cual la recta intersecta al eje y. Este valor corresponde al término n de la ecuación principal. Puntos relevantes de una recta. Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y. Intersección con el eje x: En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que: Entonces, el punto de intersección de la recta con el eje x es: Intersección con el eje y: En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que: y=m•0+n y=n Luego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n). 60
  • 61. Determinación de la ecuación de la recta. Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1). En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se trata de una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2. 61
  • 62. 1º: Cálculo de la pendiente: Sabemos que Entonces: Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n 2º: Cálculo del intercepto: ¿Y el valor de “n”? Lo podemos obtener sustituyendo cualquiera de los dos puntos conocidos de esta recta en lo que tenemos hasta ahora de ecuación. Tomemos, por ejemplo, el punto (-2, 4): y = -x + n 4 = -(-2)+n n=2 Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2 ¡Y cumple con todo lo previsto! Pendiente negativa y corta al eje “y” en el número 2. Determinar la ecuación con un punto y su pendiente. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4. Solución: Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m = -4, entonces: y = mx + n Reemplazando: -5 = -4 • 2 + n -5 = -8 + n -5 +8 = n 3=n Luego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida. Posición Relativa de dos Rectas en el Plano. Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismo plano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten. 62
  • 63. Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas. En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremos que las rectas son perpendiculares Rectas Paralelas. Se considera que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales. Si se da el caso que, además de ser iguales las pendientes, también lo son los coeficientes de posición (n), diremos que las rectas son coincidentes. Rectas Perpendiculares. Si dos líneas rectas son perpendiculares, se verifica que el producto de sus pendientes es igual a –1. 63
  • 64. Así, se considera que (se lee: “la recta es perpendicular con la recta ”) si se cumple que . Rectas secantes. Si : y = m1 x+ n1 y : y = x + son rectas secantes, el punto de intersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones: Un sistema de ecuaciones es un arreglo formado por dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma: Donde a, b, c, d, e y f , x e y son las incógnitas. La solución del sistema es todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. Ejemplo: El sistema: Tiene como solución: x = 3 e y = 5. Esto porque ambos valores satisfacen simultáneamente a las dos ecuaciones. En efecto, al reemplazar los valores de x e y en la primera ecuación, se tiene: 64
  • 65. De la misma forma, al reemplazar los valores de x e y en la segunda ecuación, se tiene: Como se dijo anteriormente si las rectas son secantes (o perpendiculares) el sistema de ecuaciones tiene soluciones (uno puntos de intersección de intersección). Pero si las rectas son paralelas no existe solución, ya que ambas rectas tienen el mismo ángulo de inclinación (nunca se cortan). Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones. 1. Eliminación por reducción: Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, en seguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron. Ejemplo : Resolver el sistema: Solución: Primero se elige la incógnita que se va a reducir (eliminar). En este caso elegiremos la “x“, cuyos coeficientes son 4 y 5 en la primera y segunda ecuación, respectivamente. Para eliminar la x, multiplicaremos la primera ecuación por (-5) y la segunda por 4. Como se puede apreciar, esta multiplicación dio como resultado que los coeficientes de la x en ambas ecuaciones son opuestos y ahora pueden eliminarse por simple suma de las dos ecuaciones. Entonces, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene: 65
  • 66. Reemplazando en la ecuación (2) el valor obtenido para y, se tiene: Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6 e y = 7, o bien, el par (6, 7). La estrategia de este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por números convenientemente elegidos para que resulte que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos, de modo que se eliminen al sumar las ecuaciones. 2. Eliminación por sustitución. Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación. Ejemplo : Resolver: Solución: De este sistema, se despeja una variable en alguna de las dos ecuaciones. Por ejemplo, tomando la segunda ecuación y despejando la “x” se tiene: Seguidamente, este valor se reemplaza en la otra ecuación; en este caso, la ecuación 1). Entonces, este valor de y se reemplaza en el despeje obtenido para “x” en la primera parte, de modo que: 3. Método de igualación. Consiste en despejar la misma variable (incógnita) en cada una de las ecuaciones y en seguida, igualar ambos despejes sobre la base del siguiente principio. 66
  • 67. Ejemplo: Resolver: Solución: Se despejará x en ambas ecuaciones: De (1): De (2): Como (1) = (2), entonces: , / Luego reemplazando en (1) se tiene: Aplicaciones de la función lineal. La función lineal tiene aplicaciones en muchas disciplinas : economía, biología, física, etc. Puede ser utilizada en todos aquellos casos en la relación entre dos variables sea de tipo lineal. En cuanto a los problemas de aplicación, estos se refieren principalmente al cálculo de una ecuación lineal entre dos variable o bien a la determinación de una de las variables conociendo la ecuación que las relaciona y el valor de la otra variable. Veamos algunos ejemplos : 1) La función que representa el valor a pagar de un taxi, después de recorridos 200 metros es : f ( x ) = 0,8x + 250 con x : cantidad de metros recorridos f ( x ) : costo en pesos entonces el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es : 67
  • 68. f ( 3 0 0 0 ) = 0,8• 3000 + 250 f ( 3 0 0 0 ) = 2650 Entonces por 3 kilómetros se pagan $2.650. 2) Utilizando la misma ecuación del ejercicio anterior calcular cuánto recorrió una persona que pagó $2.250. Como se nos está entregando el valor del costo del recorrido, entonces nos están entregando el valor de y (f(x)) en nuestra función. Para obtener el resultado reemplazamos el valor de y en la función y resolvemos la siguiente ecuación : 2.250 = 0,8x + 250 2.250 – 250 = 0,8x 2.000 = 0,8x x = 2.000 : 0,8 x= 2.500 Entonces una persona que canceló $2.250 recorrió 2.500 metros (2 kilómetros). 3) Si se sabe que el agua se congela a 32 ºF ( Fahrenheit) o 0 ºC (Celsius) y hierve a 212 ºF o 100 ºC. ¿Cómo se puede expresar la relación de grados Fahrenheit en función de los grados Celsius?. Se tiene la siguiente información : x1 y1 x2 y2 (0; 32) y (100; 212) ºC: variable independiente (x) ºF : variable dependiente (y) Primero calculamos la pendiente : m = 212 - 32 100 – 0 m = 180 100 m= 0,18 Comenzamos a construir nuestra ecuación : y = 0,18x + n Luego reemplazamos cualquiera de los puntos entregados en el enunciado del problema para calcular nuestro coeficiente de posición (n). En nuestro casos vamos a utilizar el punto (0; 32) 32 = 0,18•0 + n n = 32 68
  • 69. Terminamos de construir la ecuación : y = 0,18x + 32 Y finalmente reemplazamos las variables x e y por las utilizadas en el enunciado del problema : ºF = 0,18 • ºC + 32 Unidad 8. Función Cuadrática. La función cuadrática está definida por: f(x) = a x2 + bx + c; con a, b y c IR y a 0. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su gráfico es siempre una parábola. Concavidad de la parábola. Dependiendo del signo del coeficiente “a” de la ecuación de la parábola, la abertura de la curva puede ser hacia arriba o hacia abajo : 1) Si a > 0 la parábola abre hacia arriba (concavidad positiva ). 2) Si a < 0 la parábola abre hacia abajo (concavidad negativa ). a > 0 a < 0 Raíces. Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Formas en que la parábola puede cortar al eje x en: 69
  • 70. Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0 (o que es lo mismo decir y = 0), entonces ax² + bx +c = 0 Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula: Al resultado de la cuenta b2 - 4ac se le llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades : • Si b2 - 4ac > 0 : tenemos dos soluciones posibles. • Si b2 - 4ac = 0 : el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. • Si b2 - 4ac < 0 : la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real. Ejemplo: Calcular las raíces (soluciones) de la ecuación : x 2 + 2x – 15 = 0 a= 1 b= 2 c= -15 reemplazamos los valores en la fórmula y tenemos que x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 2 2 – 4 • 1• (-15) 2• 1 x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 4 + 60 2 x ( 1 ,2 ) = -2 ± √64 2 70
  • 71. x ( 1 ,2 ) = -2 ± 8 2 En este caso tenemos dos soluciones : x ( 1 ) = -2 + 8 x(1) = 6 x ( 1 ) = 3, y 2 2 x ( 1 ) = -2 - 8 x ( 1 ) = -10 x ( 1 ) = -5 2 2 Entonces las soluciones son 3 y -5 Vértice de la parábola. El punto vértice de la parábola se determina mediante la expresión: Verifiquemos esta expresión para la parábola : En este caso: a = 1, b = 1 y c = -12; La abscisa del vértice sería: y la ordenada sería: Entonces el vértice es Valores máximos y mínimos de la parábola. El vértice de la parábola es el punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo (a < 0). V (1 , -9) V (2, 13) Valor mín de la función y = -9 Valor máx de la función y = 13 Ejemplo : Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. Determine el valor mínimo o máximo que alcanza la función. Primero determinamos los coeficientes : a : 2 b : 4, y 71
  • 72. c : 5 como a es mayor que cero la función posee un mínimo. Calculamos el valor de x de la abscisa : x v = -4/2•2 x v = -4/4 x v = -1 y finalmente calculamos el valor de la ordenada del vértice : yv = f(-1) y v = 2(-1)2 + 4 (-1) + 5 yv = 2 - 4 + 5 yv = 3 Entonces el valor mínimo de la función es 3. Corte con el eje y. La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): lo que resulta: La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función. Eje de simetría.  El eje de simetría de una parábola es una recta que divide simétricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja la mitad de la parábola en cuestión.  El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice que es el único punto de la parábola simétrico de sí mismo. La ecuación asociada al eje de simetría viene dada por la relación: x= -b 2a Eje de simetría : x = -2,5 Ejemplo . Calcular el eje de simetría de la función : 72