Este documento presenta conceptos básicos sobre los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros y cardinales. Explica las propiedades de estos conjuntos, como la paridad, divisibilidad, primos y compuestos. También describe el sistema de numeración decimal y operaciones básicas con números enteros como suma, resta, multiplicación y división.

1. Preuniversitario
Centro República
Módulo de estudios
PSU Matemáticas
2011
Rodrigo Alarcón Villalonga
Docente
Preuniversitario Centro República

2. Unidad 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números son elementos abstractos que nos permiten enunciar cantidades.
Para identificarlos utilizamos símbolos.
A los largo de nuestra historia distintas civilizaciones han utilizado distintos
sistemas de numeración. Los mayas, por ejemplo, utilizaban una base 20 (construían
sus cifras con 20 símbolos distintos), ya utilizaban los dedos de sus pies y manos para
contar elementos. Los árabes utilizaban un sistema decimal en base 10 (construían sus
cifras con 10 símbolos distintos), ya que realizaban el recuento de los objetos con los
dedos de sus manos solamente. Al momento de representar visualmente los números
la diversidad de sistemas aumentó enormemente.
El problema de esta inmensa gama de representaciones numéricas es que para
representar cifras más grandes se necesitaban nuevos símbolos.
Nuestro sistema de numeración se basa en uno inventado por los indios hacia
el siglo VII D. C. y que tomarán los árabes, quienes lo llevaron hacia Europa.
Nuestro sistema numérico es en base 10 y sus elementos son los dígitos.
Dígitos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,l 9}
Con éstos símbolos podemos construir cualquier cifra que necesitemos
ubicándolos en las posiciones correctas, así de izquierda a derecha tenemos la
unidades, luego las decenas, luego las centenas, las unidades de mil, las decenas de
mil, etc
Ejemplo el número 102.748 está compuesto por :
8 unidades (U)
4 decenas (D)
7 centenas (C)
2 unidades de mil (UM)
0 decenas de mil (DM) y
1 centena de mil (CM)
Números naturales:
Son los números enteros positivos, van des el 1 hasta el infinito positivo.
El conjunto de los números naturales tiene ciertas características :
• Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el
mismo número aumentado en una unidad. Ejemplo el sucesor de 5 es 6.
• Todo número natural (exceptuando el “1”) tiene un antecesor. El antecesor de
un número natural es el mismo número disminuido en una unidad. Ejemplo el
antecesor de 5 es 4.
n –1 n n +1
antecesor sucesor
• El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último
número natural.
Además de las propiedades anteriormente señaladas este conjunto se puede separar
en dos “subconjuntos” Los Pares y los Impares.
Números pares : Son aquellos de la forma 2n. Los números pares son : 2, 4, 6, 8,
10, 12 .......
2

3. n –2 2n n +2
antecesor par sucesor par
Números impares : Son aquellos de la forma 2n - 1. Los números impares son : 1,
3, 5, 7, 9, 11 ......
2n –3 2n - 1 2n +1
antecesor impar sucesor impar
Propiedades de la paridad
• La suma de dos números pares es un número par.
• La suma de dos números impares es un número par.
• La suma de un número par y uno impar es un número impar.
• El producto de dos números pares es un número par.
• El producto de dos números impares es un número impar.
• El producto de un número par por uno impar es un número par.
• El cuadrado de un número par es un número par.
• El cuadrado de un número impar es un número impar.
Dentro del conjunto de los números naturales existen los números primos y los
números compuestos.
Números primos : son aquellos que se pueden descomponer en sólo dos factores, el
mismo número y el “1”. O dicho de otra manera se pueden dividir
solamente por el mismo número y el “1”.
Números compuestos: son aquellos que se pueden descomponer en más de dos
factores.
Múltiplos de un número : es el conjunto de números formado por el producto
(multiplicación) de un número por un serie de números naturales.
Ejemplos :
Múltiplos del 4 : M(4) = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 .....}
Múltiplos del 3 : M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 .....}
Mínimo común múltiplo (MCM) : Es el menor de los múltiplos comunes de dos o
mas conjuntos de múltiplos. En los ejemplos anteriores
(múltiplos del 3 y múltiplos del 4) observamos que los múltiplos
comunes son : el 12, el 24 y el 36, el 12 es el menor, por lo
tanto el 12 es el mínimo común múltiplo (MCM). Éste concepto es
muy importante para el trabajo con fracciones.
Divisores de un número : Son todos los productos (factores) de un número, o bien
todos los números que pueden dividir a otro número.
Ejemplo :
Los divisores del 24 : D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Los divisores del 18 : D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Máximo común divisor (MCD) : Es el mayor divisor común a dos o más números.
En los ejemplos anteriores (divisores del 24 y divisores del 18)
los divisores comunes son el 1, el 2, el 3 y el 6, pero el mayor de
ellos es el 6, por lo tanto el 6 es el máximo común divisor
(MCD). Éste concepto es muy importante para la simplificación de
fracciones.
Criterios de divisibilidad.
Número Criterio Ejemplo
378: porque "8" es
2 El número termina en cero o cifra par.
par.
480: porque 4+ 8+
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 0 = 12 es múltiplo
de 3.
3

4. El número formado por las dos últimas cifras es 7324: porque 24 es
4
00 ó múltiplo de 4. múltiplo de 4.
485: porque acaba
5 La última cifra es 0 ó 5.
en 5.
24: Ver criterios
6 El número es divisible por 2 y por 3.
anteriores.
Para números de 3 cifras: Al número formado por
469: porque 46-
las dos primeras cifras se le resta la última
(9*2)= 28 que es
multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de
múltiplo de 7.
7, el número original también lo es.
7
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos
52176376: porque
de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada
(37-12) - (17-12) +
grupo. Sumar y restar alternativamente el
(5-4)= 25-5+1= 21
resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el
es múltiplo de 7.
resultado final es un múltiplo de 7.
El número formado por las tres últimas cifras es 27280: porque 280
8
000 ó múltiplo de 8. es múltiplo de 8.
3744: porque
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3+7+4+4= 18 es
múltiplo de 9.
470: La última cifra
10 La última cifra es 0.
es 0.
Números cardinales
Son los naturales mas el conjunto vacío (0).
IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las
mismas propiedades y características que en los Naturales.
Números enteros
Este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no es
positivo ni negativo:
Z+ : es el conjunto de los enteros positivos
Z - : es el conjunto de los enteros negativos
Recta numérica de los números enteros
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5. Valor absoluto o Módulo de un número entero
El valor absoluto se refiere a la distancia que existe entre el número y el 0
(cero) en la recta numérica.
Operatoria en Z
Cuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a
los signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquiera
por a, b . Entonces:
a) Adición (suma) a + b. (importante: )
Caso 1: Suma de enteros de igual signo:
Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.
Ejemplo: –7 +–15 = -22
Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22
Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:
Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor
valor absoluto.
Ejemplo: -20 + 4 = –16
O bien: 4 –20 = –16
b) Multiplicación y/o división
Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la
siguiente regla:
Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.
Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.
Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:
c) Sustracción (resta) a–b
5

6. La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).
Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al
opuesto de b.
Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.
Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23
Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34
Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19
Prioridad de operatoria matemática en los Z.
En la operatoria combinada con números enteros, se procede según la siguiente
prioridad:
1° Paréntesis
2° Multiplicaciones y divisiones
3° Sumas y restas
Números racionales
Son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros:
Ejemplos de racionales, son:
Los números naturales:
Los números enteros:
Los números decimales finitos:
Los números decimales infinitos periódicos:
Los números decimales infinitos semiperiódicos:
OPERATORIA EN
a) Adición y sustracción de fracciones:
6

7. b) Multiplicación de fracciones:
c) División de fracciones:
d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna,
alineando la coma decimal.
0,23 + 1,4 =
e) Multiplicación de decimales:
Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantas
cifras decimales como tengan los factores:
0,2 . 1,54 =
2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultado
debe tener tres decimales:
0,2 . 1,54 = 0,308
f) División de decimales:
Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en
el divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, se
efectúa la división entre estos enteros.
7

8. 0,02 : 0,5 =
Corremos la coma dos lugares a la derecha:
2 : 50 =
La división resulta:
200 : 50 = 0,04
COMPARACIÓN ENTRE RACIONALES
Si queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras
decimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma:
Agregamos cifras decimales para poder comparar:
x = 0,23 | 0...
y = 0,23 | 2...
z = 0,23 | 3...
Por lo tanto: x < y < z
Si queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y
comparar los productos resultantes:
Ordenar de menor a mayor:
Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20:
Como 21 > 20 se deduce que
Si las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luego
multiplicar cruzado con los números positivos.
Aproximación decimal
Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas
cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una
aproximación decimal.
1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se
aumenta en una unidad el dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:
2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el
dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:
8

9. Números irracionales
Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números
enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto
se designa con la letra .
Números reales
Es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto se
designa con la letra .
R = Q U Q’
Pertenecen al conjunto de los Reales IR (todos los números) :
• El cero, los enteros positivos y negativos;
• Las fracciones;
• Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y
• Los irracionales
Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:
La Recta Real
Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello
se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el
número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se
sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los
negativos a su izquierda.
La operatoria en los números reales está definida por dos
operaciones básicas : la suma y la multiplicación, todas las demás
operaciones se derivan de estas dos.
Propiedades algebraicas de los números Reales
9

10. A continuación se presenta una tabla que resume las principales
propiedades algebraicas de los números reales.
Sean a, b y c números reales :
Propiedad Suma Producto
Conmutativa a+b=b+a a•b=b•a
Asociativa (a + b) + c = a +( b +c) (a • b) • c = a • (b • c)
Existencia de elemento a + (-a) = 0 a•1=1
neutro a
Distributiva de la a • (b + c) = ab + ac
multiplicación con
respecto a la adición
A estas propiedades hay que agregar la propiedad de clausura :
Si a y b Є a R (números reales) =>
a• b y a + b también Є a R.
Prioridad de operatoria matemática en los Reales
En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente
prioridad:
1° Paréntesis
2° Potencias y raíces
3° Multiplicaciones y divisiones
4° Sumas y restas
Ejemplo 1:
13 - (-7 + 3 9) – 32 =
Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)
Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.
Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20
Segundo: el cuadrado de 3 = 9
Está quedando: 13 – 20 – 9
Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.
Ejemplo 2:
Resolver:
La raya de fracción obliga primero a resolver el numerador y el denominador, por
separado.
En el numerador se transformará el decimal 0,2 a fracción:
10

11. En el numerador se resuelve primero la división de fracciones:
Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador:
Finalmente la división de fracciones:
Simplificando por 2:
= =
Números Imaginarios
Los números reales (R) permiten representar infinitos números, pero no pueden
representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como por ejemplo
x2 + 3 = 0 ó 5x2 + 2 = 0
En general no se pueden solucionar aquellas ecuaciones que representen un número
negativo dentro de una raíz de índice par (por ejemplo raíces cuadradas).
A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya que
no pueden representarse a través de los números Reales. Se representan por el
símbolo I.
Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación
x2 + 1 = 0
la cual determina como solución la siguiente expresión :
x = ±√-1,
la cual da origen a la unidad imaginaria :
i = √-1,
finalmente la solución de la ecuación es :
x=±i
Ejemplos de números imaginarios :
• 2i
• 5+i
• 24 –7i
donde i representa ala unidad imaginaria.
Números complejos
El conjunto de los números complejos (el cual se representa con el símbolo C) es la
unión de los números reales con los números imaginarios :
11

12. C=RUI
I
4+2i
3i
C
Al conjunto de los números complejos pertenecen todos los números.
Potencias de base real y exponente entero
Una potencia el la multiplicación sucesiva de un mismo término, llamado base,
tantas veces como lo indique otro término llamado exponente.
Ejemplos :
= 16
= 2187
= 15625
Definición:
Propiedades:
12

13. Raíces.
Potencia de exponente racional
Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a la
raíz enésima de la emésima potencia de a:
Propiedades de las raíces:
Raíz de un producto
Raíz de un cuociente
Raíz de una potencia
Raíz de una raíz
Amplificación de una raíz
Simplificación de una raíz
Racionalización
Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica la
comparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar el
numerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma:
En esta expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puede
racionalizar multiplicando por ya que formarán una Suma por
Diferencia, lo que permite eliminar las raíces en el denominador.
Unidad 2. RAZONES Y PROPORCIONES Y PORCENTAJES
Razón
Es la comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una
misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.)
13

14. Se define :
ó a : b
y se lee "a es a b"
La primera de ellas a se llama antecedente (d i v i d e n d o ) y la segunda b se
llama consecuente (d i v i s o r ) y siempre se deben escribir en el orden dado.
Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la
razón entre sus edades es: . Si simplificamos por tres obtenemos: .
Como se dijo anteriormente una razón sirve para comparar dos cantidades:
Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4)
La razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muy
importante.
Ejemplo :
Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24
de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?
Solución:
La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente.
Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.
La razón pedida es:
Simplificando por 8, la razón queda en 3/5, lo que significa que la mezcla está
conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada
8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.
Proporción
La igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdad
entre las razones anteriores: es una proporción, lo que se puede constatar
porque los productos cruzados son iguales:
12 . 5 = 4 . 15
La propiedad:
,
se denomina propiedad fundamental de las proporciones y se expresa verbalmente de
la siguiente manera “ dos razones son proporciones sí y sólo sí el producto de los
medios es igual al producto de los extremos”
14

15. Cálculo del término desconocido de una proporción
Si en la proporción se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularlo
aplicando la propiedad fundamental:
De este modo, si w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z.
w=
z=
x=
y=
Ejemplo: Calcular x en la proporción
Solución:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
7,5 · 10 = 4 · x
75 = 4x
=x
x = 18,75
Serie de razones o serie de proporciones
La serie de razones: a:c:e=b:d:f
Puede ser expresada como :
con k = constante.
Ejercicio:
Se desea cortar un alambre de 720 mm en trozos de modo que la razón de sus
longitudes sea 8:6:4.
¿Cuánto mide cada trozo de alambre de acuerdo al orden de las razones dadas?.
1°.- se suman las razones : 8 + 6 +4 = 18
2°.- se divide la cantidad total dada por la suma de las razones : 720: 18 = 40 ( a este
valor se le llama constante de proporcionalidad (k)).
15

16. 3°.- Se multiplica cada una de las razones dadas por k y se obtienen los valores
requeridos: 8 • 40 = 320 mm; 6 • 40 = 240 mm y 4 • 40 = 160 mm.
PROPORCIONALIDAD
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante:
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de
puntos que están sobre una recta que pasa por el origen.
Ejemplo:
Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina
consumirá en un viaje de 192 km?
Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina:
Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de
puntos que están sobre una hipérbola.
16

17. Ejemplo:
Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables:
número de obreros – tiempo, es constante:
Aplicaciones de la Proporcionalidad
Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad:
1º: Lectura comprensiva del texto del problema.
2º: Identificación y ordenación de los datos dados.
3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.
4º: Planteamiento de la proporción según tipo.
5º: Resolución algebraica.
6º: Respuesta y verificación de la solución.
Ejemplo:
Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros
cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?
Ordenación y análisis de los datos:
6 obreros 18 metros
9 obreros x metros
En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan
más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia,
se forma la siguiente proporción:
La cual, al ser resuelta, se tiene:
metros
Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.
PORCENTAJE
El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un
100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que
17

18. ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido
la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente
ocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es:
El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad
directa:
La base para las operaciones de cálculo de porcentaje es :
cantidad total = parte de la cantidad
100% tanto %
O bien :
cantidad total 100%
parte de la cantidad tanto %
Existen tres casos para la operación con porcentajes :
Primer caso: Calcular el tanto % de una cantidad.
Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100%
es q y el p% es x (valor a calcular).
q = x
100% p%
Aplicando proporciones, se tiene que:
Donde, al despejar el valor de “ x” se tiene:
Esta última relación puede manipularse para concluir que:
En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y se
multiplica por el % pedido.
Ejemplo : calcular el 20% de 50
50 = x
100% 20%
x = 50 • 20 = 10
100
Segundo caso: ¿Qué porcentaje es una cantidad, respecto de otra cantidad?
18

19. Planteando la proporción, se tiene:
q = p
100% x%
Despejando x se tiene:
Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa p
de q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100.
Ejemplo : Calcular qué porcentaje es 20 de 60
60 = 20
100% x%
x = 100 • 20 = 33.33%
60
Tercer caso: ¿Cuál es el número cuyo tanto % es una cantidad conocida?
Planteando la proporción correspondiente, se tiene que:
x = q
100% p%
Al despejar “x” se logra, que:
Ejemplo : encontrar el número cuyo 25% es 8
x = 8
100% 25%
x = 100 • 8 = 32
25
Aumento de un número en un cierto porcentaje:
Este cálculo se puede plantear de dos maneras :
1) Utilizar la fórmula :
VF = VI • (1 + % ), donde
100
VF : valor final
VI: valor inicial
% : porcentaje a subir.
Ejemplo :
Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
VF = 5000 • (1 + 5/100)
VF = 5.000 • (1 + 0.05)
VF = 5.000 • (1.05)
VF = $5.250
2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a aumentar más el 100%
Ejemplo :
19

20. Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
5% + 100 % = 105%, se busca el 105% de 5.000
5.000 = x
100% 105%
x = 5.000 • 105
100
x = $5250
Disminución de un número en un cierto porcentaje:
Se procede igual que en el caso anterior :
1) Utilizar la fórmula :
VF = VI • (1 - % ), donde
100
VF : valor final
VI: valor inicial
% : porcentaje a subir.
Ejemplo :
Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
VF = 5000 • (1 - 5/100)
VF = 5.000 • (1 - 0.05)
VF = 5.000 • (0.95)
VF = $4.750
2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a disminuir y se le reste al
el 100%
Ejemplo :
Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :
100 % - 5% = 95%, se busca el 95% de 5.000
5.000 = x
100% 95%
x = 5.000 • 95
100
x = $4750
Impuesto al Valor Agregado (IVA)
El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta de
bienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuesto
alcanza al 19% del valor neto del producto.
De este modo:
Valor neto + 19% = valor a pagar
Ejemplo: Don Pepe vendió abarrotes y en la boleta escribió el valor total de $15.400.
¿Cuál es el IVA que recaudó don Pepe por la venta de estos abarrotes?
Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459.
Unidad 3. ÁLGEBRA
Perfil del álgebra
El Álgebra es una rama de las Matemáticas que usa letras y símbolos para
20

21. representar cantidades y relaciones aritméticas. Busca generalizar las relaciones
matemáticas, a diferencia de la Aritmética que solo opera con casos particulares de
una relación.
Consideremos, por ejemplo, el teorema de Pitágoras que establece que “en un
triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la
suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.“
Algebraicamente, este teorema puede generalizarse como a2 + b2 = c2 ,
expresión que enuncia la relación métrica que deben cumplir los lados de cualquier
triángulo rectángulo.
La aritmética , en cambio, solo podría operar con medidas específicas de
triángulos individuales, generando expresiones numéricas del tipo: 32 + 42 = 52.
Surgimiento del álgebra
El origen del álgebra puede situarse en Babilonia y el antiguo Egipto, cuyos
sabios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y de la forma x2 +
y2 = z2. De hecho, los antiguos babilonios resolvían las ecuaciones cuadráticas
empleando métodos semejantes a los que hoy se utilizan.
El conocimiento algebraico de egipcios y babilónicos encontró acogida en el
mundo islámico, donde se le denominó “ciencia de reducción y equilibrio”. El vocablo árabe
al-jabru, que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra.
En el siglo IX, el matemático árabe al-Jwarizmì escribió uno de los primeros libros
de álgebra, en el que presenta, en forma sistemática, la teoría fundamental de
ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. Es precisamente de este
matemático de donde deriva la palabra algoritmo, que hoy representa la expresión
simbólica de los pasos que llevan a la resolución de un problema. A finales del siglo IX,
el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e
identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y,
z que cumplen
x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y xz = y2.
Conceptos Básicos de Álgebra
Ya tenemos idea de las operaciones con los números naturales, enteros, racionales y
reales. Ahora trabajaremos con la generalización de esa operatoria en algunos de los
diversos ámbitos que presenta el álgebra.
Las mismas leyes, propiedades y operatoria de los números ya estudiados han
preparado el terreno para la comprensión de operaciones más amplias y generales,
propias del Álgebra, en los diversos conjuntos numéricos.
El lenguaje que ocupa el álgebra permite realizar representaciones a través de
factores literales (que representan cantidades cualesquiera), números y relaciones
aritméticas de la aritmética.
Ejemplos :
• Un número cualquiera puede representarse por x, o por a, o por cualquier otra letra
o combinación de letras.
• Para representar dos números cualesquiera distintos entre sí, podemos usar letras
diferentes : x e y; a y b; m y n; etc.
• El doble de un número cualquiera se expresa por 2x, o 2a, etc
• El cuadrado de un número cualquiera se expresa por x2 , o a2, o a2, etc.
• La diferencia entre dos números se puede expresar como : x – y, ó a – b, etc.
• Un número aumentado en tres unidades : x + 3, ó a + 3, ó b + 3, etc.
• Un número disminuido en dos unidades : x – 2, ó a – 2, etc.
• La mitad de un número x
2
• La mitad de un número más el doble de otro : x + 2y
21

22. 2
Representación de las operaciones aritméticas en álgebra.
Las operaciones entre dos números cualesquiera x e y se representan :
i. La suma :x+y
ii. El producto : x•y
iii. La diferencia :x–y
iv. El cuociente : x : y ó x/y
Expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades, expresadas numérica y
literalmente, relacionadas entre sí por operaciones aritméticas.
Ejemplo: 13x3– 2ax2 + es una expresión algebraica.
Término algebraico
Un término algebraico es una expresión que relaciona un número real con letras,
por medio del producto o el cuociente. Un término algebraico consta de:
• signo
• coeficiente numérico
• factor literal
• grado
En una expresión algebraica, los términos están separados por signos (+) y (-).
Observaciones en la notación algebraica
1. En álgebra, el signo multiplicativo antes de factores literales puede suprimirse.
Por ejemplo: puede escribirse .
2. El coeficiente numérico 1 en un término algebraico, suele quedar tácito (no se
escribe). Por ejemplo
1x = x
3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puede
obviarse, y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c = 5a - 3b +2c
Por ejemplo, la expresión: +11 · x2 - 1 · y + x · y
Se escribe: 11x2 – y + xy
TÉRMINOS SEMEJANTES
Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal.
Ejemplos :
a) x2 y -2x2 : son términos semejantes (factor literal x2).
b)
-3x y -3x2 : no son términos semejantes (factor literal x e x2 respectivamente).
c) –a2b y 5a2b : son términos semejantes (factor literal a2b).
d) a2b y 3ab2 : no son términos semejantes (factor literal a2b y ab2
respectivamente).
22

23. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los
coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:
-2a2b + 5a2b = 3a2b
10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3
Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:
La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no
son semejantes.
Tipos de expresiones algebraicas
Dependiendo del número de términos que posean las expresiones algebraicas,
se clasifican en:
Monomio: Es la expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplo:
Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos.
Ejemplo:
Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos.
Ejemplo:
Polinomio: Es la expresión algebraica de dos o más términos.
Ejemplo: ; ;
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes
reglas:
(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el
paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del
paréntesis.
(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis
cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.
Ejemplo:
2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =
Aplicando las reglas anteriores, tenemos:
2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:
-2ab + 2a - ab
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para
multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para
23

24. multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los
exponentes”.
Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5z
Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto
es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.
Ejemplo:
2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 =
6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2
Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del
primer binomio con los términos del segundo binomio.
Ejemplo:
(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 =
8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5c
Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se
multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los
términos del segundo.
(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) =
2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy +
4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4
PRODUCTOS NOTABLES
Se llaman productos notables aquellos cuyos factores cumplen ciertas
características que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los
pasos de la multiplicación. Los productos notables son:
Sean a y b dos términos algebraicos cualesquiera.
Suma por su diferencia:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Cuadrado de binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Multiplicación de binomios con término común:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Cuadrado de trinomio:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Cubo de binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
24

25. FACTORIZACIÓN
Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones.
Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:
Factor común
Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1.
Ejemplo:
15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3
Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la
forma:
15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su
factorización.
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la
diferencia de las bases.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Ejemplo: 25a2 – 16b4
Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :
Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2)
Factorización de trinomio cuadrático perfecto
Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un
cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2
En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 =
(3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:
(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con
la expresión dada.
Factorización de trinomio cuadrático no perfecto
Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q
Ejemplo: x2 – 10x + 24
El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales
que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto:
x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6)
25

26. Diferencia de cubos
a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Ejemplo:
125z3 – 64y6
La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:
125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3
Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:
(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)
Simplificación de expresiones algebraicas
Para la simplificación de expresiones algebraicas se aplica el mismo concepto de
simplificación de fracciones, pero en este caso el numerador y denominador son
expresiones algebraicas.
La idea es realizar una factorización por algún término algebraico o expresión
algebraica que sea común tanto para el numerador como para el denominador.
Simplificación de monomio por monomio :
Ejemplos :
1) 3x2
6x
en este caso se factoriza por 3x :
3x • (x) 3x • (x) = x
3x • 2 3x • 2 2
2) 3a2bc
12ac
en este caso se factoriza por 3ac :
3a2bc 3ac • ab = 3ac • ab = ab
12ac 3ac • 4 3ac • 4 4
Simplificación de binomio por monomio :
Ejemplos :
1) (5xy2 – 10x2y)
5xy
en este caso se factoriza por 5xy :
(5xy2 – 10x2y) 5xy • (y – 2x) 5xy • (y – 2x) = (y – 2x)
5xy 5xy 5xy
26

27. 2) (b2 – bc)
2b
en este caso se factoriza por b :
(b2 – bc) b • (b – c) b • (b – c) = (b – c)
2b b•2 b•2 2
Simplificación de polinomios :
1. Simplificación de resultados de productos notables :
a) x2 – 16
x2 + 8x + 16
en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de una suma por
diferencia y el denominador es el resultado de un cuadrado de binomio (trinomio
cuadrado perfecto).
x2 – 16 (x + 4) • (x – 4) (x + 4) • (x – 4) =
x2 + 8x + 16 (x + 4)2 (x + 4) • (x + 4)
(x – 4)
(x + 4)
b) x2 + 7x + 10
x2 – 25
en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de un producto de
binomios con un término en común (trinomio cuadrado no perfecto) y el denominador
es el resultado de una suma por diferencia.
x2 + 7x + 10 (x + 5) • (x + 2) = (x + 2)
x2 – 25 (x + 5) • (x - 5) (x - 5)
c) x2 + 5x + 6
x2 + 8x + 15
en este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son el
resultado de un producto de binomios con un término en común (trinomio cuadrado no
perfecto).
x2 + 5x + 6 (x + 1) • (x + 5) = (x + 1)
x2 + 8x + 15 (x + 3) • (x + 5) (x + 3)
2. División de polinomios :
Realizamos la siguiente división: (4x3 + 2x2 + 4x + 3) : (x2 - x - 1).
Primer paso de la división de polinomios :
Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de
mayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
27

28. Segundo paso de la división de polinomios :
Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo.
Último paso de la división de polinomios :
Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior,
obteniendo el segundo término del cociente.
Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomio
cociente y el polinomio resto son:
Cociente = 4x + 6
Resto = 14x + 9
Si la división no posee resto, se dice que tanto el divisor como cociente son factores y
se pueden escribir como producto.
Calculamos (8x3 - 4x2 + 2x + 7) : (2x2 + x - 1).
Los polinomios resultantes de la división son:
Dividendo = 8x3 - 4x2 + 2x + 7
Resto = 10x + 3
Cociente = 4x – 4
Divisor = 2x2 + x - 1
28

29. Comprobamos el resultado:
cociente · divisor + resto = dividendo
(4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)=
(8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) =
8x3 - 4x2 + 2x + 7
Unidad 4. Ecuaciones y planteamiento de problemas
Ecuaciones.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas
miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser
números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido
como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por
letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
Por ejemplo, en la ecuación:
En la unidad de álgebra vimos que el grado de una expresión algebraica está
dado por el mayor exponente de dicha expresión. Al ser las ecuaciones expresiones
algebraicas se les denomina según el mayor grado que posea la incógnita, así tenemos
por ejemplo que una ecuación cuyo mayor exponente es 1 se denomina ecuación de
primer grado, la ecuación que tenga como mayor exponente el 2 se denomina
ecuación de segundo grado o cuadrática, la ecuación que tenga como mayor
exponente el 3 se llama ecuación de tercer grado, etc. Además el número de raíces
(soluciones en los números reales) de una ecuación equivale al grado de la ecuación.
Ejemplos :
1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces.
2) La ecuación 13 - 2x = 4 es de primer grado y tiene una solución.
3) La ecuación 7x2 - x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita :
Son aquellas ecuaciones en las que existe una sola variable, generalmente
designada por el símbolo x (aunque también puede ser designada por cualquier otro
símbolo). Esta variable está elevada a 1 (por eso el nombre de primer grado) y todos
los otros términos (ya sean números o letras) son términos constantes.
Estas ecuaciones son igualdades que tienen validez para un solo valor de la
variable (incógnita) y resolver la ecuación es aplicar las propiedades del conjunto R
para “despejar la incógnita” y así determinar el valor que satisface la igualdad.
29

30. Resolución de ecuaciones de primer grado
Existen tres pasos básicos para resolver una ecuación de primer grado :
Dada la ecuación:
1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros
de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta
que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos
términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al
otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado
sumando (+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el
primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han
quedado en el segundo miembro (a la derecha).
2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta
reduciendo los términos semejantes :
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la
igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos
términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado
dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).
Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad
no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma
fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin
cambiar el signo).
30

31. Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como
está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una
igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el
resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =
5,5263157894737)
por tanto, simplificando, la solución es:
Tipos de ecuaciones de primer grado
Las ecuaciones las podemos dividir básicamente en tres tipos :
Ecuaciones lineales con coeficientes enteros :
Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupan
los términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términos
constantes en el otro :
Ejemplo:
1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5
Solución:
Primero se reducen términos semejantes:
;
Se agrupan las “x“ y los números en distintos lados de la igualdad:
Se vuelven a reducir términos semejantes:
Finalmente, se despeja la x y se simplifica la solución :
2) Resolvamos ahora la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x.
Solución:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5, que es una contradicción.
Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor que
tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
3) Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4:
31

32. Solución:
2x-1 = 3x + 3 - x – 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa? La igualdad que has
obtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución?
Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendo
x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier
valor de x es solución).
Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades.
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios :
Para su resolución, se multiplica la igualdad por el mcm (mínimo común múltiplo)
entre los denominadores.
Ejemplo:
Resolver
Solución:
/
Luego se simplifica:
Transformándose en una ecuación lineal:
Otro caso : Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos
Para su resolución, se multiplica la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo)
entre los denominadores.
Ejemplo:
Resolver
Solución:
Se multiplica la ecuación por (x + 1) · 2x
/·
32

33. Y se simplifican los términos correspondientes:
Se desarrollan los productos:
Y se reducen términos semejantes:
Quedando finalmente que:
Ecuaciones Literales :
La técnica principal es, una vez agrupada la incógnita, aplicar la factorización y
simplificación.
Ejemplo
Resolver
Solución:
Se realizan los productos:
Se agrupan términos, dejando la incógnita en uno de los dos miembros:
Se factoriza la incógnita:
Y se despeja x:
Se simplifica, quedando que:
Planteamiento de problemas.
Generalmente un problema se enuncia en términos verbales y su resolución
pasa por el planteamiento de una o más ecuaciones. Estas ecuaciones corresponden a
relaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en el problema y a las
condiciones que dichas relaciones plantean.
Para plantear la ecuaciones se requieren de dos habilidades fundamentales :
análisis lógico del problema planteado y traducción del lenguaje común al lenguaje
algebraico.
Recordemos algunas maneras de enunciar algunas expresiones algebraicas :
El doble de a.......................................................2a
El triple de b.......................................................3b
33

34. El cuádruplo de c.................................................4c
El cuadrado de d.................................................d2
El cubo de e.......................................................e3
El antecesor del n° entero f..................................f–1
El sucesor del n° entero g ...................................g+1
El cuadrado del doble de h...................................(2h)2
El doble del cuadrado de i....................................2i2
Un número par...................................................2n
Un número impar ...............................................2n-1 ó 2n+1
Dos números consecutivos...................................n y n+1
Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2
Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1
La mitad de x...................................................
La tercera parte de y ........................................
Algunos pasos básicos para el planteamiento de problemas :
1°: Comprender el problema : realizar una lectura comprensiva del problema.
2°: Plantearse un plan : ordenar los datos entregados y plantear una o varias
ecuaciones que permitan resolver el problema.
3°: Ejecutar del plan : resolver las ecuaciones planteadas.
4°: Dar respuesta y verificar los resultados.
Veamos a continuación algunos ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
¿Qué número aumentado en 5 unidades es igual a 100?.
Planteamiento de la ecuación :
x + 5 = 100
Resolución de la ecuación :
x = 100 – 5
x = 95.
Respuesta : 95.
34

35. Ejemplo 2:
Pedro excede en 7 cm la estatura de su hermano Jorge. ¿Cuál es la altura de Jorge si
Pedro mide 1,20 mts.?.
estatura Pedro = P
estatura Jorge = J
diferencia de estaturas : P – J = 7 cm (0,07 mts),
pero P = 1,20 mt ⇒
Planteamiento de la ecuación :
1,20 mts – J = 0,07 mts
Resolución de la ecuación :
J = 1,20 mts – 0.07 mts
J = 1,13mts
Respuesta : Jorge mide 1,13 mts.
Ejemplo 3:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97.
¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la
suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la
de Sergio es 65.
Respuesta: 32
Ejemplo 4:
Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9.
Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9
x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 5:
La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos números
Solución:
Sea:
35

36. El 1° número: 2x+1
El 2° número: 2x+3
El 3° número: 2x+5
Interpretando el enunciado, se forma la ecuación:
(2x+1) + (2x+3) + (2x+5) = 39
Cuya solución es: 2x+1 + 2x+3 + 2x+5 = 39
6x + 9 = 39
6x = 39 - 9
6x = 30
x=5
Luego, el primer número es:
2x+1 2 • 5 + 1 = 11
El segundo es:
2x+3 2 • 5 + 3 = 13
El tercero:
2x+5 2 • 5 + 5 = 15
Respuesta: los tres números son: 11, 13 Y 15.
Estrategias de Resolución de Problemas.
Problemas de doble discriminación.
En este tipo de preguntas, al problema planteado le siguen 3, 4 ó 5
proposiciones (I, II, III, etc.) que deben ser analizadas individualmente para
dictaminar si cumplen con determinada propiedad, si son verdaderas o falsas, etc.
Finalmente, se ha de elegir la alternativa (A, B, etc.), según el resultado del análisis.
Esta estructura se puede esquematizar así:
Planteamiento del problema
Proposiciones: I, II III, etc.
Alternativas: A, B, C, D, E.
Ejemplo:
¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es (son) igual (es) a ?
I:
II:
III:
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
36

37. D) Solo I y III
E) I, II y III
Solución :
• Proposición I:
Separando la raíz del denominador:
=
Amplificando por y luego simplificando por 5:
= = = .
La proposición I es igual a .
• Proposición II:
Separando la raíz del numerador:
=
Amplificando por y luego simplificando por 3:
= = = .
La proposición II es igual a .
• Proposición III:
Amplificando la expresión por para racionalizar, queda:
= =
Esto nos lleva a la proposición II. Por lo tanto, la proposición III es igual a .
En conclusión, las expresiones I, II y III son iguales a .
Por lo tanto, la alternativa correcta es E.
Problemas de evaluación de suficiencia de datos.
37

38. Estos problemas tienen una estructura bien definida.
Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino decidir si los
datos proporcionados en el enunciado, más los indicados en las afirmaciones (1) y (2)
son suficientes para llegar a esa solución.
Las alternativas que se dan son:
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
A) (1) por sí sola:
Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B) (2) por sí sola:
Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C) Ambas juntas, (1) y (2):
Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son
suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola
es suficiente.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2):
Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para responder
a la pregunta.
E) Se requiere información adicional:
Se marca esta alternativa si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para
responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.
Ejemplo 1: B
¿Cuál es el valor de en la figura?
(1) ángulo en C recto.
(2) AC = BC
α
A C
Solución:
Consideremos la afirmación (1).
Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo.
Creer que son de 45º cada uno no es correcto, ya que ningún dato dice que esos
ángulos son iguales.
La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles, ya que AC = BC, lo que nos
indica que el ángulo en A y en B son iguales, pero no tenemos ningún otro dato que
nos permita calcularlos (los 90º de la afirmación (1) hay que olvidarlos por ahora).
Como hemos podido apreciar, las afirmaciones (1) y (2), por sí solas, no nos permiten
determinar el valor de , pero si juntamos ambas, se nos produce la siguiente
información:
El ángulo en C mide 90° y ángulo y ángulo en B son iguales.
Esta información sí nos permite llegar a la solución. Por lo tanto, Ambas juntas, (1) y
(2).
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39. Alternativa correcta: C
Ejemplo 2:
De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto?
(1) A es más bajo que B, pero más alto que E.
(2) E es más alto que C, pero más bajo que D.
Solución:
(1) Estableciendo un orden de menor a mayor, podemos concluir que:
E< A < B
Sin embargo, no hay elementos para comparar a los alumnos C y D. Por lo tanto,
(1) por sí sola NO es suficiente.
(2) Análogamente se interpreta obteniendo:
C<E< D
Tampoco hay elemento de comparación para A y B. Luego, (2) por sí sola tampoco es
suficiente.
Luego la alternativa D, cada una por sí sola, tampoco es la correcta.
Analizaremos la alternativa C, ambas juntas.
De la información de (1):
E< A < B
Al juntar la (2) se tiene:
C< E< A < B
Como D es mayor que E, se debiera ubicar a la derecha, pero no hay elemento de
comparación para la relación entre A, B, D. Por lo tanto tampoco (1) y (2), ambas
juntas, son suficientes para resolver el problema. Se requiere información adicional.
Unid a d 5. Desig ua ld a d es e inec ua c io nes.
Desig ua ld a d es.
Los números reales se pueden comparar mediante la relación “mayor que”, “menor
que” o “igual que”, para lo cual existe la siguiente simbología:
a < b ; que se lee “a es menor que b” o “b es mayor que a”
a b se lee: “a es menor o igual a b“ o “b es mayor o igual que a”.
Para el caso de comparación entre dos números positivos, en la recta numérica
es mayor el que está más lejos del cero.
En cambio, para comparar dos negativos entre sí, el mayor es el que esta más cerca
del cero.
Para comparar dos números reales a y b, en general, es mayor el que está a la
derecha en la recta numérica.
Ejemplos:
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40. Propiedades de las desigualdades:
1) Una desigualdad se mantiene si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
2) Una desigualdad se mantiene si se multiplica (o divide) por una cantidad positiva:
3) Una desigualdad cambia de dirección si se multiplica (o divide) por una cantidad
negativa:
Es decir cuando multiplicamos por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte.
Ejemplo:
Intervalos.
Frecuentemente se trabaja con subconjuntos de números reales, expresados de
acuerdo con alguna relación de orden, como por ejemplo: “los números reales mayores
que -1 y menores que 8”. Simbólicamente:
{x IR / -1 < x < 8 }.
Estos subconjuntos de IR se denominan intervalos.
Clasificación de intervalos:
Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tipos
de intervalos:
Intervalo Cerrado: En este caso los extremos a y b están incluidos dentro del conjunto.
Esta situación se denota con corchetes “hacia adentro”.
Intervalo Abierto: En este caso, los extremos a y b no son parte del conjunto. Están
excluidos. Esta situación se denota con paréntesis redondos o con
corchetes mirando “hacia afuera”.
40

41. Intervalo semiabierto o semicerrado: En estos casos, uno de los extremos es abierto y
el otro es cerrado.
Intervalos hacia el infinito.
Representación gráfica de intervalos.
Un intervalo puede representarse gráficamente, representando el extremo cerrado
con un punto lleno y el extremo abierto con un punto en blanco.
41

42. Ejemplos :
42

43. Inecuaciones de primer grado.
Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. En este tipo de
expresiones algebraicas obtenemos como resultado un conjunto de soluciones en el
cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto
cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.
Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3“.
Resolver una inecuación es calcular el intervalo de números reales, para el cual
la inecuación se transforma en una desigualdad verdadera.
Para resolver una inecuación, se deben aplicar las propiedades de las desigualdades.
Ejemplo:
Resolver la inecuación:2x – 5 < x + 2
Solución:
2x – 5 < x + 2
2x – x < 2 + 5
x<7
Esta solución se puede expresar como:
Sist em a s d e I nec ua c io nes.
Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tiene dos o más inecuaciones.
Para resolverlo se determina el conjunto de números reales que satisface
simultáneamente todas las desigualdades del sistema.
Este conjunto se llama conjunto solución del sistema, determinado por una región
del plano, que se obtiene por intersección del conjunto solución correspondiente a cada
una de las inecuaciones.
Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por
separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto
de números que pertenezca a ambos intervalos:
Ejemplo 1:
Resolver el sistema de inecuaciones:
En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2)
x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1)
x>5
43

44. En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3)
x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1)
x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9.
Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación:
Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos
los números comprendidos entre 5 y 9.
Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que:
]5,9[
Ejemplo 2 :
Determinemos el conjunto solución del sistema
Solución:
Resolvemos cada inecuación en forma separada:
Gráficamente esto es:
Así, la solución final será la intersección
44

45. Unidad 6. Relaciones y funciones.
Relaciones.
Sistema de Coordenadas Cartesianas.
En el siglo XVII (época de Descartes y muchos grandes matemáticos) la
geometría había alcanzado su plenitud. Pero las demostraciones que se hacían acerca
de ellas eran basadas en supuestos de los que se conocían sus resultados y se llegaba
a ellos mediante un razonamiento deductivo bastante elegante, al puro estilo de
Euclides. Sin embargo era difícil la predicción, este es un elemento importantísimo en
cualquier ciencia. A Rene Descartes se le ocurrió mezclar las herramientas que tenía
hasta el momento, entre las más importantes que encontró fue la geometría euclidiana
y el álgebra renacentista. Así, creó un sistema de referencias al cual podía asignar
ecuaciones de dos variables a curvas en el plano y viceversa. De este modo podían
estudiarse figuras geométricas y sus relaciones con el uso del álgebra. De esta manera
surgió la geometría analítica.
El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una
horizontal y otra vertical, llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje de
las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todos los pares ordenados de
la forma (a, b), tal como lo muestra la figura.
En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P.
Par Ordenado.
Conjunto de dos números arreglados en un orden particular, normalmente
escritos como (1er número, 2o número), en donde tanto el orden como los valores
tienen significados acordados.
Por ejemplo, las coordenadas de un punto en un plano de coordenadas
Cartesianas se escriben como (x, y), en donde x es la coordenada horizontal e y es la
coordenada vertical.
Su representación general es:
( a,b)
Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y
elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y
45

46. el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representación
no es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.
Producto cartesiano.
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de
conjuntos, también es conocido como producto cruz. En particular, el producto
cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los
pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:
Ejemplo:
Sean los conjuntos :
A={1,2,3} y
B={4,5,6}
se tiene:
AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA.
Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de árbol
tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos
del conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
Relación.
46

47. Dados dos conjuntos A y B, se define una relación de A en B como todos los
pares ordenados que cumplan una condición dada. Una relación es un subconjunto del
producto cruz.
Ejemplo:
Dados los conjuntos :
A = {1, 2, 3, 4} y
B = {3, 5, 8},
Escribir la relación definida por
R = { (x, y) / x < y ; x Є A ; y Є B }
Esta definición de R (relación) se traduce como todos los pares ordenados (x, y) tal
que el elemento de A es menor que el elemento de B y el elemento x pertenece a A
y el elemento y pertenece a B.
Esto es:
R= {(1, 3), (1, 5), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2,8), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8) }
Gráfica de una relación.
La gráfica de una relación corresponde a la ubicación de los pares ordenados de
dicha relación en el plano cartesiano.
La gráfica de la relación anterior es la siguiente:
eje y
eje x
Dominio y Recorrido de una relación.
Se le llama Dominio de la relación a los elementos del conjunto A que
participan en la relación.
En el ejemplo que estamos analizando:
Dom R = { 1, 2, 3, 4}
47

48. EL Recorrido de la relación es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto B que participan en la relación.
En este caso:
Rec R = { 3, 5, 8}.
Función matemática.
Dada una relación f : A → B, esta relación es función si y solo si cada elemento
de A tiene imagen única en B.
En símbolos:
Se cumple con las siguientes dos condiciones:
1.Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con
elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único
elemento de Y, es decir, si
Una función se simboliza por el símbolo f(x) y significa que la relación está en
función de x. A la variable x se llama variable independiente y puede tomar cualquier
valor. La variable y se llama dependiente, porque sus valores se obtienen al reemplazar
la x.
f(x) = y
48

49. Función inyectiva.
Una función es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la
imagen de corresponde un único origen en el dominio.
Por ejemplo, la función de números reales , dada por no es
inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el
dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función
entonces sí se obtiene una función inyectiva.
49

50. Definición formal :
De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple
alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
• Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple
x1 = x2.
• Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Función epiyectiva.
Una función es epiyectiva (sobreyectiva suprayectiva, suryectiva o
exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen
, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de
como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,
Usando lenguaje más técnico se puede expresar la condición de inyectividad como:
«Una función es inyectiva si la fibra (imagen inversa) de cada elemento del codominio
tiene cardinalidad menor o igual a uno».
Función biyectiva.
Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y
sobreyectiva.
Formalmente,
50

51. Formas de representar una función.
Existen 4 formas de representar una función, las que se resumen en el siguiente
cuadro:
Nomenclatura funcional
Consideremos la función real f: A → B representada en el siguiente diagrama:
En el diagrama, los conjuntos dominio y recorrido son :
Dom f = {a, b, c} y
Rec f = {1, 2, 3}
51

52. Además, bajo la condición f, el elemento a Є A está relacionado con el elemento
2 Є B.
Esto se expresa diciendo que 2 es la imagen de a bajo la función f y se escribe así:
f(a) = 2
Análogamente, se dice que a es la preimagen de 2, bajo la función f. Esto se escribe
así:
f -1(2) = a
Preimagen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de partida (dominio).
Imágen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de llegada (recorrido).
Funciones Reales.
Son todas aquellas funciones cuyos conjuntos iniciales y finales son los
números reales.
Por ejemplo:
Sea f: IR → IR, definida como f(x) = 2x – 1.
De este tipo de funciones podemos definir algunas operaciones:
Cálculo de imágenes :
Dada una función f(x), el cálculo de una imagen se reduce a la valoración de
una expresión.
En el ejemplo dado:
Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f(-5).
Solución:
Reemplazando: f(-5) =2 · (-5) – 1 = - 11
Entonces: f(-5) = -11
Cálculo de preimágenes :
Dada una función f(x), el cálculo de una preimagen corresponde al cálculo de un
valor de x tal que resulte el valor de la función.
En el ejemplo dado:
Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f -1(-11).
Tenemos que: 2x – 1 = - 11, que es una ecuación de primer grado.
Resolviendo:
2x = - 11 + 1
x = -5
Entonces, f-1(-11) = -5
52

53. Análisis del Dominio de una Función.
El dominio de una función es el conjunto, cuyos elementos hacen que la
función esté bien definida. En otras palabras, es el conjunto de las preimágenes
(variable x), donde la función está definida.
¿Cuál el Dominio de la siguiente función?:
f(x) =
Si observamos, la función es una fracción. Este tipo de funciones se llama función
racional y por tratarse de una fracción, lo importante es que el denominador no sea
cero. Entonces, buscaremos dicho valor.
Para este efecto, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación:
Es decir, el dominio puede tomar cualquier valor real menos el 4. Luego, Dom f = IR -
{4}
Análisis del Recorrido de una Función.
El recorrido de una función son los valores que toma la variable Y o el conjunto
de las imágenes.
Para analizar el recorrido, se despeja la variable x:
Ejemplo:
Hallar el recorrido de la función:
f(x) =
Se despeja la x, haciendo y = f(x). Esto es:
se factoriza por x
53

54. Análogamente al análisis del dominio, se toma el denominador
Entonces: Rec f(x) = IR - { 3 }
Es decir, el recorrido puede tomar cualquier valor real, menos el 3.
Funciones Definidas por Intervalos.
Existen funciones definidas por tramos o intervalos, que permiten mezclar las
funciones básicas y son de gran utilidad en la matemática:
Ejemplo:
f(x) =
Calcular f(-3) y f(4).
Solución:
Como x= -3 es negativo se debe utilizar . Entonces:
f( 4) como x=4 es positivo se debe ocupar x+1. Entonces:
Composición de funciones.
Sean las funciones f: A B y g: B C,
entonces se define la función compuesta de f con g:
gof: A C
a f(a) = b g(f(a)) = c
54

55. Figura : Diagrama de función compuesta
a f(a) b g(f(a)) c
Figura: Esquema de una función compuesta
En la figura:
f(-2) = 2 · (-2) – 1 = -5
g(f(-2)) = g(-5) = (-5)2 = 25
f(2) = 2 · (2) – 1 = 3
g(f(2)) = g(3) = (3)2 = 9
Función inversa.
Sea la función f: A B. Su inversa se designa por f-1 : B A y se define
por:
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Podemos observar que:
55

56. El dominio de f − 1 es el recorrido de f .
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el
dominio de su función inversa.
Unidad 7. Función lineal.
Una función real es lineal si obedece a la forma :
f(x) = a + bx, con a y b IR, b 0.
La función lineal puede escribirse de varias formas, de las cuales usaremos:
Forma Principal:
y = mx + n; con m y n IR, m 0.
Forma General:
ax + by + c = 0; , con a, b y c IR, a 0.
Ejemplo:
Escribir la función lineal 6x – y = 9 en sus formas principal y general.
Solución:
Para la forma principal se despeja la y:
6x – y = 9
y = 6x – 9,
que es la forma principal de la recta.
Para la forma general, se trasladan todos los términos al primer miembro:
6x – y = 9
6x – y – 9 = 0,
que es la forma general de la recta.
Gráfica de la función lineal.
Toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a, b, c R, representa una
ecuación lineal con dos incógnitas, cuyas soluciones son pares ordenados de la forma
(x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.
Ejemplo:
La ecuación L: x + y = 4
56

57. Gráfico:
Observaciones:
• A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde
gráficamente una recta
• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un
punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esa ecuación.
• Los puntos que cada par ordenado representa, pertenecen a la recta
correspondiente.
Dominio y Recorrido de la función lineal.
En una función lineal y = f(x), x, que es la variable independiente, puede tomar
cualquier valor real. Por lo tanto: Dom f(x) = IR
De igual forma, la variable dependiente y puede tomar cualquier valor real. Por lo
tanto:
Rec f(x) = IR
Ecuación de la Recta.
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Se
puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una
línea recta solo son necesarios dos puntos de un plano.
57

58. La idea consiste en poder encontrar una expresión algebraica (una función) que
determine a una recta dada. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuación
de una Recta.
Ecuación Principal de una Recta.
Se llama Ecuación Principal de una Recta a una expresión de la forma:
y = mx + n Con m y n IR, m 0
Donde m representa a la pendiente de la recta y n es el intercepto.
Pendiente de una recta (m).
Se denomina pendiente “m” de una recta a una constante que revela el grado
de inclinación que tiene la recta respecto del eje de las abscisas (eje x).
Para determinar matemáticamente la pendiente, elijamos dos puntos
cualesquiera de una recta. En la figura adjunta se han marcado los puntos A( , ) y
B( , ) de la recta L.
La pendiente m se calcula así:
Interpretación de la pendiente de una recta.
Signo de la pendiente:
• Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x,
mayores valores de y, y viceversa.
• Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x,
menores valores de y, y viceversa.
• Si m = 0, indica que la variable y se mantiene constante, aunque x aumente o
diminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x.
58

59. Pendiente positiva (m>0) Pendiente positiva (m<0) Pendiente nula (m=0)
Valor absoluto de la pendiente.
Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia de
valores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud del
crecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en los
valores de x.
En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece (o decrece)
la variable dependiente (y) con las variaciones de la variable independiente (x).
Ejemplo:
En la recta y = 7 - 3x, ¿Qué indica la pendiente?
Solución:
La pendiente es m = -3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y. Es decir,
cuando x crece, la variable y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable y
decrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable y
aumenta en 3 unidades.
En la figura siguiente se muestran cinco rectas que pasan por un mismo punto, pero
con distintos grados de inclinación.
59

60. Intercepto de una recta (n).
Se denomina intercepto de una recta y = mx + n, al valor en el cual la recta
intersecta al eje y. Este valor corresponde al término n de la ecuación principal.
Puntos relevantes de una recta.
Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.
Intersección con el eje x:
En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:
Entonces, el punto de intersección de la recta con el eje x es:
Intersección con el eje y:
En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:
y=m•0+n
y=n
Luego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n).
60

61. Determinación de la ecuación de la recta.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).
En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se trata
de una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2.
61

62. 1º: Cálculo de la pendiente:
Sabemos que
Entonces:
Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n
2º: Cálculo del intercepto:
¿Y el valor de “n”? Lo podemos obtener sustituyendo cualquiera de los dos puntos
conocidos de esta recta en lo que tenemos hasta ahora de ecuación. Tomemos, por
ejemplo, el punto (-2, 4):
y = -x + n
4 = -(-2)+n
n=2
Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2
¡Y cumple con todo lo previsto! Pendiente negativa y corta al eje “y” en el número 2.
Determinar la ecuación con un punto y su pendiente.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.
Solución:
Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m =
-4, entonces:
y = mx + n
Reemplazando:
-5 = -4 • 2 + n
-5 = -8 + n
-5 +8 = n
3=n
Luego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.
Posición Relativa de dos Rectas en el Plano.
Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismo
plano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten.
62

63. Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas.
En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremos
que las rectas son perpendiculares
Rectas Paralelas.
Se considera que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.
Si se da el caso que, además de ser iguales las pendientes, también lo son los
coeficientes de posición (n), diremos que las rectas son coincidentes.
Rectas Perpendiculares.
Si dos líneas rectas son perpendiculares, se verifica que el producto de sus pendientes es
igual a –1.
63

64. Así, se considera que (se lee: “la recta es perpendicular con la recta ”) si
se cumple que .
Rectas secantes.
Si : y = m1 x+ n1 y : y = x + son rectas secantes, el punto de
intersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:
Un sistema de ecuaciones es un arreglo formado por dos o más ecuaciones con dos o
más incógnitas.
Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:
Donde a, b, c, d, e y f , x e y son las incógnitas.
La solución del sistema es todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.
Ejemplo:
El sistema:
Tiene como solución: x = 3 e y = 5. Esto porque ambos valores satisfacen
simultáneamente a las dos ecuaciones.
En efecto, al reemplazar los valores de x e y en la primera ecuación, se tiene:
64

65. De la misma forma, al reemplazar los valores de x e y en la segunda ecuación, se
tiene:
Como se dijo anteriormente si las rectas son secantes (o perpendiculares) el
sistema de ecuaciones tiene soluciones (uno puntos de intersección de intersección).
Pero si las rectas son paralelas no existe solución, ya que ambas rectas tienen el
mismo ángulo de inclinación (nunca se cortan).
Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones.
1. Eliminación por reducción:
Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y,
en seguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos
cuyos coeficientes se igualaron.
Ejemplo :
Resolver el sistema:
Solución:
Primero se elige la incógnita que se va a reducir (eliminar).
En este caso elegiremos la “x“, cuyos coeficientes son 4 y 5 en la primera y segunda
ecuación, respectivamente.
Para eliminar la x, multiplicaremos la primera ecuación por (-5) y la segunda por 4.
Como se puede apreciar, esta multiplicación dio como resultado que los coeficientes de
la x en ambas ecuaciones son opuestos y ahora pueden eliminarse por simple suma de
las dos ecuaciones.
Entonces, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene:
65

66. Reemplazando en la ecuación (2) el valor obtenido para y, se tiene:
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6 e y = 7, o bien, el par (6, 7).
La estrategia de este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones
por números convenientemente elegidos para que resulte que los coeficientes de una
de las incógnitas sean opuestos, de modo que se eliminen al sumar las ecuaciones.
2. Eliminación por sustitución.
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la
otra ecuación.
Ejemplo :
Resolver:
Solución:
De este sistema, se despeja una variable en alguna de las dos ecuaciones. Por
ejemplo, tomando la segunda ecuación y despejando la “x” se tiene:
Seguidamente, este valor se reemplaza en la otra ecuación; en este caso, la ecuación
1).
Entonces, este valor de y se reemplaza en el despeje obtenido para “x” en la primera
parte, de modo que:
3. Método de igualación.
Consiste en despejar la misma variable (incógnita) en cada una de las
ecuaciones y en seguida, igualar ambos despejes sobre la base del siguiente principio.
66

67. Ejemplo:
Resolver:
Solución:
Se despejará x en ambas ecuaciones:
De (1):
De (2):
Como (1) = (2), entonces:
, /
Luego reemplazando en (1) se tiene:
Aplicaciones de la función lineal.
La función lineal tiene aplicaciones en muchas disciplinas : economía, biología,
física, etc. Puede ser utilizada en todos aquellos casos en la relación entre dos
variables sea de tipo lineal.
En cuanto a los problemas de aplicación, estos se refieren
principalmente al cálculo de una ecuación lineal entre dos variable o bien a
la determinación de una de las variables conociendo la ecuación que las
relaciona y el valor de la otra variable.
Veamos algunos ejemplos :
1) La función que representa el valor a pagar de un taxi, después de
recorridos 200 metros es :
f ( x ) = 0,8x + 250
con x : cantidad de metros recorridos
f ( x ) : costo en pesos
entonces el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es :
67

68. f ( 3 0 0 0 ) = 0,8• 3000 + 250
f ( 3 0 0 0 ) = 2650
Entonces por 3 kilómetros se pagan $2.650.
2) Utilizando la misma ecuación del ejercicio anterior calcular cuánto recorrió
una persona que pagó $2.250.
Como se nos está entregando el valor del costo del recorrido, entonces nos están
entregando el valor de y (f(x)) en nuestra función.
Para obtener el resultado reemplazamos el valor de y en la función y
resolvemos la siguiente ecuación :
2.250 = 0,8x + 250
2.250 – 250 = 0,8x
2.000 = 0,8x
x = 2.000 : 0,8
x= 2.500
Entonces una persona que canceló $2.250 recorrió 2.500 metros (2 kilómetros).
3) Si se sabe que el agua se congela a 32 ºF ( Fahrenheit) o 0 ºC (Celsius) y
hierve a 212 ºF o 100 ºC. ¿Cómo se puede expresar la relación de grados
Fahrenheit en función de los grados Celsius?.
Se tiene la siguiente información :
x1 y1 x2 y2
(0; 32) y (100; 212)
ºC: variable independiente (x)
ºF : variable dependiente (y)
Primero calculamos la pendiente :
m = 212 - 32
100 – 0
m = 180
100
m= 0,18
Comenzamos a construir nuestra ecuación :
y = 0,18x + n
Luego reemplazamos cualquiera de los puntos entregados en el enunciado del
problema para calcular nuestro coeficiente de posición (n).
En nuestro casos vamos a utilizar el punto (0; 32)
32 = 0,18•0 + n
n = 32
68

69. Terminamos de construir la ecuación :
y = 0,18x + 32
Y finalmente reemplazamos las variables x e y por las utilizadas en el enunciado del
problema :
ºF = 0,18 • ºC + 32
Unidad 8. Función Cuadrática.
La función cuadrática está definida por:
f(x) = a x2 + bx + c; con a, b y c IR y a 0.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,
obtenemos siempre una curva llamada parábola.
El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su gráfico
es siempre una parábola.
Concavidad de la parábola.
Dependiendo del signo del coeficiente “a” de la ecuación de la
parábola, la abertura de la curva puede ser hacia arriba o hacia abajo :
1) Si a > 0 la parábola abre hacia arriba (concavidad positiva ).
2) Si a < 0 la parábola abre hacia abajo (concavidad negativa ).
a > 0 a < 0
Raíces.
Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de
x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que
y = 0.
Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la
parábola corta al eje x.
Formas en que la parábola puede cortar al eje x en:
69

70. Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f
(x) = 0 (o que es lo mismo decir y = 0), entonces
ax² + bx +c = 0
Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:
Al resultado de la cuenta b2 - 4ac se le llama discriminante de la
ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades :
• Si b2 - 4ac > 0 : tenemos dos soluciones posibles.
• Si b2 - 4ac = 0 : el resultado de la raíz será 0,
con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.
• Si b2 - 4ac < 0 : la raíz no puede resolverse, con lo cual la
ecuación no tendrá solución real.
Ejemplo:
Calcular las raíces (soluciones) de la ecuación :
x 2 + 2x – 15 = 0
a= 1
b= 2
c= -15
reemplazamos los valores en la fórmula y tenemos que
x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 2 2 – 4 • 1• (-15)
2• 1
x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 4 + 60
2
x ( 1 ,2 ) = -2 ± √64
2
70

71. x ( 1 ,2 ) = -2 ± 8
2
En este caso tenemos dos soluciones :
x ( 1 ) = -2 + 8 x(1) = 6 x ( 1 ) = 3, y
2 2
x ( 1 ) = -2 - 8 x ( 1 ) = -10 x ( 1 ) = -5
2 2
Entonces las soluciones son 3 y -5
Vértice de la parábola.
El punto vértice de la parábola se determina mediante la expresión:
Verifiquemos esta expresión para la parábola :
En este caso: a = 1, b = 1 y c = -12;
La abscisa del vértice sería:
y la ordenada sería:
Entonces el vértice es
Valores máximos y mínimos de la parábola.
El vértice de la parábola es el punto donde la función alcanza un
mínimo (a > 0) o un máximo (a < 0).
V (1 , -9) V (2, 13)
Valor mín de la función y = -9 Valor máx de la función y = 13
Ejemplo :
Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. Determine el
valor mínimo o máximo que alcanza la función.
Primero determinamos los coeficientes :
a : 2
b : 4, y
71

72. c : 5
como a es mayor que cero la función posee un mínimo.
Calculamos el valor de x de la abscisa :
x v = -4/2•2
x v = -4/4
x v = -1
y finalmente calculamos el valor de la ordenada del vértice :
yv = f(-1)
y v = 2(-1)2 + 4 (-1) + 5
yv = 2 - 4 + 5
yv = 3
Entonces el valor mínimo de la función es 3.
Corte con el eje y.
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola
corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta:
La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino
independiente de la función.
Eje de simetría.
 El eje de simetría de una parábola es una recta que divide
simétricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos
partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja
la mitad de la parábola en cuestión.
 El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice que es el único
punto de la parábola simétrico de sí mismo.
La ecuación asociada al eje de simetría viene dada por la relación:
x= -b
2a
Eje de simetría : x = -2,5
Ejemplo .
Calcular el eje de simetría de la función :
72

73. f ( x ) = -3x 2 + x +2
coeficientes numéricos :
a : -3
b : 1
eje de simetría: x = -(1)
2•(-3)
eje de simetría: x = 1
6
Forma canónica de la función cuadrática.
La expresión : f ( x ) = Ax² + Bx + C (forma polinómica)
se puede reescribir de la siguiente manera :
f ( x ) = a(x – h) 2 + k
Donde :
a = A
h = -b/2A
k = f(h) ó -B2/4A
El vértice queda definido por : (h,k).
El eje de simetría : x = h
Ejemplo.
Calcular el vértice y el eje de simetría de la función :
f ( x ) = 4(x – 3) 2 +1
coeficientes :
h = 3
k = 1
vértice : (3; 1)
Eje de simetría : x = 3
Ejercicios con funciones cuadráticas.
Los ejercicios y problemas de aplicaciones con esta función están relacionados
principalmente con la obtención de las raíces de las ecuaciones, graficar una función y
la aplicación de la función a algunos problemas en donde la búsqueda de las raíces
de la función es o son soluciones de dicho problema.
Ejemplo 1:
Calcular las raíces, el vértice, el eje de simetría y graficar la función :
f(x) = -2x2 + 3x +5
primero obtenemos los coeficientes de la función :
a: -2
73

74. b: 3
c: 5
de los coeficientes sabemos que :
• como a es < que cero la parábola se abre hacia abajo, y
• como c = 4, entonces la parábola corta al eje y en el punto (0; 5).
Cálculo de la raíces :
x ( 1 ,2 ) = -3 ± √ 3 2 – 4 • (-2)• 5
2• (-2)
x ( 1 ,2 ) = -3 ± √ 9 + 40
-4
x ( 1 ,2 ) = -3 ± √49
-4
x ( 1 ,2 ) = -3 ± 7
-4
En este caso tenemos dos soluciones :
x ( 1 ) = -3 + 7 x(1) = 4 x ( 1 ) = -1, y
-4 -4
x ( 2 ) = -3 - 7 x ( 2 ) = -10 x ( 2 ) = 2,5
-4 -4
Entonces las soluciones son -1 y 2,5.
Cálculo del vértice :
x v = -3/2•(-2)
x v = -3/-4
x v = ¾ (o 0,75)
yv = f(3/4)
yv = -2 (3/4)2 + 3 (3/4) +5
yv = -2 (9/16) + 3 (3/4) + 5
yv = -9/8 + 9/4 + 5
yv = 49/8 (o 6,125)
Por lo tanto el vértice se encuentra en el punto :
V (0,75 ; 6,13)
Eje de simetría :
Al observar la componente x del vértice deducimos que el eje de
simetría está definido por la función :
x = ¾
Ahora que tenemos todos los elementos graficamos nuestra parábola :
74

75. Ejemplo 2:
En una situación experimental, se estudió el rendimiento del ají dulce
(Capsicum nahum) en función de la cantidad de humus de lombricultura (HL),
utilizado como fertilizante.
La ecuación estimada fue y = 1,5 + 50x – 25x2, donde:
y = rendimiento del ají, en Kg. por parcela de 10m2.
x = dosis de HL, en Kg. por planta, no pudiendo esta dosis superar 1,0 Kg. por planta.
Según este modelo, ¿cuánto HL sería recomendable para obtener un rendimiento de
17,5 Kg. de ají por parcela?
Solución :
Nos están pidiendo calcular la componente “x” (dosis de HL) de un punto en
donde nos entregan la componente “y” (rendimiento de ají por parcela =
17,5).
Primero reemplazamos el valor de “y” entregado en nuestra ecuación :
17,5 = 1,5 + 50x – 25x2
luego ordenamos la ecuación y la igualamos a 0 (cero) para despejar la variable x :
25x2 –50x –1,5 + 17,5 = 0
25x2 –50x + 16 = 0
y finalmente aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de nuestra ecuación :
x ( 1 , 2 ) = 50 ± √ 50 2 – 4 • 25 • 16
2• 25
x ( 1 , 2 ) = 50 ± √ 2500 – 1600
50
x ( 1 , 2 ) = 50 ± √900
50
Tenemos dos raíces :
75

76. x ( 1 ) = 50 + 30 x ( 1 ) = 80 x ( 1 ) = 1,6 , y
50 50
x ( 2 ) = 50 - 30 x ( 2 ) = 20 x ( 2 ) = 0,4
50 50
Como la condicionante es que la dosis de HL no puede superar 1,0 Kg. por
planta la solución 1 (x1) se descarta, siendo la respuesta del problema la solución 2
(x2).
Por lo tanto la respuesta es para obtener un rendimiento de 17,5 Kg. de ají por parcela
hay que agregar 0,4 kg de HL:
Unidad 9. Función Valor Absoluto.
Es la función definida por: f(x) = ½ x ½
Siendo:
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor
numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras
palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es
el valor absoluto de 3 y -3.
Dominio y Recorrido de la función valor absoluto.
De acuerdo con la definición, x puede ser cualquier número real, por lo tanto, el
dominio está representado por los números reales.
Las imágenes de x, corresponden a los no negativos, por lo que el rango está
determinado por todos reales no negativos.
Dom f = R,
Rec f = R+
Propiedades fundamentales
Sea
.
.
.
.
.
Teorema
Sean , entonces siempre se tiene que si
76

77. 1) si y solo si b es mayor que 0
2)
Ejemplos :
1) Determinar el intervalo solución de │x - 3│≤ 2
Aplicando el primer teorema :
-2 ≤ x – 3 ≤ 2
-2 + 3 ≤ x – 3 ≤ 2 + 3
1≤x ≤5
Solución :x Є [1,5]
2) Determinar el intervalo solución de │3x - 4│≥ 5
Aplicando el segundo teorema :
3x - 4≥ 5 v –(3x – 4) ≥ 5
3x ≥ 5 +4 v –3x + 4 ≥ 5
3x ≥ 9 v –3x ≥ 5 - 4
x ≥ 9/3 v –3x ≥ 1
x≥3 v –x ≥ 1/3 /• -1
x ≤ - 1/3
Solución : x Є ]-∝, -1/3] ∪ [3, ∝[
Gráficas de la función valor absoluto.
1) f(x)= |x|
Dom f = R, Rec f = R+
2)
Análisis de la función: f(x) = , con a IR.
77

78. Siendo:
Dom f(x) = ]- , + [
Rec f(x) = [0, + [
3) Análisis de la función: f(x) = , con b IR.
Siendo:
Dom f(x) = ]- , + [
Rec f(x) = [b, + [
Unidad 10. Función Parte Entera.
Se denomina así la función de ecuación
f(x)=[x],
que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o
igual que él.
El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina una
gráfica escalonada.
f: IR IR tal que f(x) = [ x ]
Donde [ x ] = al entero inmediatamente menor o igual a “x”.
Ejemplos:
1) f(5,2) = [ 5,2 ] = 5
porque el 5,2 está entre los enteros 5 y 6, siendo el menor de ellos el 5.
2) f(-1,25) = [ -1,25 ] = -2
porque el -1,25 está entre los enteros -1 y -2, siendo el menor de ellos el -2.
78

79. Dominio y Recorrido de la función parte entera.
Dom f(x) = IR, es decir, todos los reales.
Rec f = Z, es decir, todos los enteros.
Grafica de la función parte entera.
Como se mencionó anteriormente la función parte entera origina una gráfica
escalonada.
Gráfico de la función: f(x) = [ x ] :
Gráfico de la función: f(x) = [ x - 1 ] :
Aplicaciones de la función parte entera.
Las aplicaciones de esta función están orientadas principalmente al cobro de
algunos servicios (agua, luz, envío de encomiendas, etc) en donde los cobros se
realizan por tramos.
Ejemplo:
En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por
horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el
segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos.
¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó?
79

80. Solución :
• El primer día estaciona 2,5 horas (152 minutos), lo que equivale a pagar 3
horas. Por lo que paga $600.
• El segundo día estaciona 3 horas (180 minutos) y vuelve a pagar $600.
• El tercer día estaciona 1,5 horas (90 minutos), lo que equivale a pagar 2 horas.
Por lo que paga $400.
• Y el cuarto día estaciona 3,5 horas (210 minutos), lo que equivale a pagar 4
horas. Por lo que paga $700.
Finalmente sumamos los valores obtenidos :
$600
$600
$400
+$700
$2.300
Respuesta:
El automovilista paga $2.300 durante los cuatro días de estacionamiento.
Unidad 11. Función Exponencial.
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma :
f(x) = ax
donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable
x. Con a > 0.
Algunas propiedades de la función exponencial.
• Es continua.
• Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
• Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un
original).
• Creciente si a>1.
• Decreciente si a<1.
• Las curvas y=ax e y= (1/a)x son simétricas respecto del eje
OY.
80

81. Dominio y Recorrido de la función exponencial.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los
números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números
positivos.
Dom f = R,
Rec f = R+
Grafica de la función exponencial.
Aplicaciones de la función exponencial.
Fenómenos con crecimiento exponencial
1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la
tasa coincide con el índice de inflación.
3. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
4. El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-
completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o
codificable mediante un número entero.
5. El número de bacterias que se reproducen por mitosis.
6. El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de
predador .
En cuanto a ejercicios de aplicación sólo veremos dos casos :
81

82. 1) Crecimientos poblacionales bacterianos.
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud
M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece
muy rápidamente en el tiempo.
El término crecimiento exponencial se refiere al crecimiento de una función
exponencial de la forma y = ax. Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando
en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo si x = 4, y es y =
2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1024. Y así sucesivamente.
Ejemplo :
Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en
dos cada espacios de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos.
¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día?
Tiempo en minutos: 15, 30, 45, 60, ...
Número de bacterias: 2... 4... 8... 16..... 2x .,
Siendo x los intervalos de 15 minutos:..24 = 16 en una hora, 28 = 256 en dos
horas,...
24• 4 96
2 =2 = 7,9 • 1028. ¡en un día!.
2) Interés compuesto.
Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman
periódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al
final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses
producidos por ese capital en dicho periodo.
Cf = Ci • (1+ i )n
100
Cf: Capital final,
Ci: Capital inicial (a depositar),
i: porcentaje de interés,
n: tiempo.
Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de
interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión
son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años.
Gráfica del interés compuesto :
82

83. Ejemplo :
Averiguar en qué se convierte un capital de $1.200.000 al cabo de 5 años, y a una
tasa de interés compuesto anual del 8%.
Solución:
Aplicando la fórmula Cf = Ci (1 + i )n
100
? = Ci ( 1 + i : 100 )n
Ci =1.2000.000; n = 5; i = 8
Ci =1.2000.000 ( 1 + 8/100)5
Ci =1.2000.000 ( 1 + 0,08)5
Ci =1.2000.000 ( 1,0,08)5
Ci =1.2000.000 · 1,4693280
Ci = 1 763 193,6
El capital final es de $1.763.194.
Unidad 12. Función Logarítmica.
En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función
exponencial.
El logaritmo de un número (x) es el exponente (n) al que hay que elevar la
base dada (b), para que nos de dicho número (x).
logb x = n x = bn
La base tiene que ser positiva y distinta de 1.
Se define como :
f(x) = logb x
• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de
base a.
• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e =
2’718281...
Propiedades de las funciones logarítmicas
• Dominio:
• Recorrido:
• Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
• Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
• Creciente si a>1.
83

84. • Decreciente si a<1.
Gráfica de la función logarítmica.
f(x) = logb x
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la
bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función
exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Definición de logaritmo.
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
El logaritmo es la búsqueda del exponente de una potencia.
84

85. Ejemplos :
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al
exponente.
Propiedades de los logaritmos.
1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor.
3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base.
4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo
del radicando y el índice de la raíz.
5 Cambio de base:
85

86. Logaritmos decimales:
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos:
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Aplicaciones de los logaritmos.
Como la función logarítmica es la inversa de la función
exponencial, las aplicaciones de ambas funciones están muy ligadas.
En general vamos a utilizar la función logaritmo cuando necesitemos
encontrar el exponente de una potencia en algún problema de
aplicación, o bien que la relación entre las dos variables sea de tipo
logarítmica.
Ejemplos :
1. Cierta investigación oceanográfica realizada en el mar Caribe, relacionó la edad de
las colonias de coral con su altura, a través de la función:
E = -60 log ( ); donde:
E = edad de la colonia de coral, en años.
h = altura de la colonia, en cm.
Según el modelo, ¿cuántos años tendría una formación de coral de 108 cm. de altura? :
Solución :
Nos están pidiendo calcular la componente “y” (edad) de un punto en donde
nos entregan la componente “x” (h =108 cms).
Primero reemplazamos el valor de “x” entregado en nuestra ecuación :
E = -60 log (1 – 108/120)
E = -60 log (1 – 0,9)
E = -60 log (0,1)
log (0,1) = -1 ⇒ E = -60 • -1
E = 60
Respuesta :
Una formación de coral de 108 cms. de altura tendría una edad de 60
años.
2. En un cultivo de laboratorio la población de un determinado tipo de bacteria se
duplica de una generación a otra.
86

87. Si la población de bacterias responde a la función :
P = P0 • 2n
Donde :
P : población en la generación “n”
P0: población inicial
n : número de generación
Si se parte con una población de 10.000 bacterias, ¿cuántas generaciones debieran
pasar para observar una población de un billón de bacterias?.
Solución :
10.000 bacterias = 104
un billón de bacterias : 1.000.000.000.000 = 1012
Reemplazamos los valores conocidos en nuestra ecuación :
1012 = 104 • 2n
y despejamos nuestra incógnita (n) :
1012 = • 2n
104
por propiedad de potencias → 108 = 2n /log (se aplica logaritmo en ambos
lados de la ecuación)
log 108 = log 2n
por propiedad de logaritmos → 8 log 10 = n log2
8 = n log 2
n = 8
log 2
log 2 ≈ 0,3010 ⇒ n = 26,57
n ≈ 27
Respuesta :
Debieran pasar aproximadamente 27 generaciones para observar una
población de un billón de bacterias.
3. Una persona deposita en un banco $2.000.000 al 12% de interés anual, ¿en
cuánto tiempo su capital ascenderá a $2.508.000 si nunca retira el dinero ganado por
el interés?.
Solución :
Si esta persona nunca retira el dinero ganado por el interés, entonces
estamos hablando de interés compuesto.
Recordemos que su fórmula es :
Cf = Ci • (1+ i )n
100
Cf: Capital final,
Ci: Capital inicial (a depositar),
i: porcentaje de interés,
n: tiempo.
Debemos, entonces, reemplazar los valores conocidos en nuestra ecuación
para despejar el valor de ”n” :
2.508.000 = 2.000.000 • (1+ 12 )n
100
2.508.000= 2.000.000 • (1+ 0,12)n
2.508.000= 2.000.000 • (1,12)n
2.508.000= (1,12)n
2.000.000
87

88. 1,2544= (1,12)n / log (aplicamos logaritmo a ambos
lados de la ecuación)
log 1,2544= log 1,12n
por propiedad de logaritmos : log 1,2544= n log 1,12
n= log 1,2544
log 1,12
log1,2544 ≈ 0,0984 y
log1,12 ≈ 0,0492 ⇒ n = 2
Respuesta :
Al cabo de dos años se obtendrá un capital de $2.508.000.
Unidad 13. Geometría.
13.1 Geometría Métrica.
Elementos básicos de geometría.
Conceptos: No se definen.
Definiciones: Especificación clara y explícita de las características más importantes de nuevos
conceptos.
Axiomas: Proposiciones evidentemente lógicas, que son verdaderas y no se demuestran.
Teoremas: Proposición que es demostrada por los axiomas.
Segmento: Porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados
extremos.
Rectas paralelas: Son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún
punto en común.
Rectas secantes: Son rectas que se cortan y por tanto, dividen al plano en cuatro
regiones.
Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en
cuatro regiones iguales.
Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio.
88

89. Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Ángulo.
Es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, y
que tienen un punto común, denominado vértice.
Tipos de ángulos.
• Ángulo completo: Mide 360°
• Ángulo extendido: Mide 180°
• Ángulo recto: Mide 90°
• Ángulo obtuso: Mide más de 90° y menos de 180°
• Ángulo agudo: Mide menos de 90°
• Ángulos complementarios: La suma de ellos mide 90°
• Ángulos suplementarios: La suma de ellos mide 180°
• Ángulos adyacentes: Poseen el vértice y un lado en común.
• Ángulos opuestos por el vértice: Poseen el vértice en común
y se ubican a lados opuestos de este.
• Ángulos consecutivos: Su vértice es común y su suma es
igual a 360°
Sistemas de medición angular.
La unidad de medición de los ángulos es el grado, siendo la más común el grado
sexagesimal, en el cual la circunferencia tiene 360°.
Además existen los sistemas: centesimal, en el cual la circunferencia contiene
. Y radianes, en el cual la circunferencia contiene
Las subunidades del grado son los minutos (’) y los segundos (”), donde:
1°= 60’; 1’ = 60” y 1°= 3.600” (sistema sexagesimal).
89

90. Ángulos entre paralelas y una transversal.
En la figura 1, sean L1 // L2 y L3 transversal a estas rectas. Se definen los siguientes
ángulos:
Ángulos correspondientes: Son aquellos que se encuentran al mismo lado de las
paralelas y al mismo lado de la transversal. Estos ángulos miden lo mismo.
En la figura, son correspondientes:
< 1 = < 5; < 2 = < 6; < 3 = < 7 y < 4 = < 8.
Ángulos alternos: Son aquellos que se encuentran a distinto lado de la transversal y
entre las paralelas o fuera de ellas y tienen igual medida.
En la figura, son ángulos alternos internos:
< 4 = < 6 y < 3 = < 5.
En la figura, son ángulos alternos externos:
< 1 = < 7 y < 2 = < 8.
Ángulos opuestos por el vértice: Definidos anteriormente.
En la figura, son ángulos opuestos por el vértice:
< 1 = < 3; < 2 = < 4; < 5 = < 7 y < 2 = < 8.
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
Los Polígonos.
Los polígonos son figuras planas cerradas cuyos lados son segmentos de rectas.
Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus
extremos.
90

91. Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la
línea poligonal se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, abierta.
Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Los polígonos más simples son los triángulos, que tienen tres lados, como el
que aparece a continuación.
Polígonos regulares e irregulares.
Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos de igual medida se llama
polígono regular. Si no cumple esta condición se llama polígono irregular.
Una característica particular de los polígonos regulares es que siempre pueden
ser inscritos en una circunferencia.
Los elementos de los polígonos son:
Lados: Segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.
91

92. Perímetro: Suma de las longitudes de los lados.
Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo
polígono, el nº de lados y vértices coincide.
Diagonales: Son los segmentos que unen vértices no consecutivos (AC y BD).
Ángulos interiores: Son los ángulos formados por lados consecutivos.
Ángulos exteriores: Son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro
consecutivo.
Elementos de un polígono regular.
Centro : Punto interior que equidista de cada vértice.
Radio : Es el segmento que va del centro a cada vértice.
Apotema : Distancia del centro al punto medio de un lado.
Para un polígono regular el área está definida por :
A=a•P
2
Donde A : área,
a : apotema y
P : perímetro del polígono.
Los Polígonos se clasifican en:
a) Según sus ángulos internos :
Cóncavos: Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del
polígono no está enteramente incluido en dicha región.
Convexos: Todo segmento que una un par de puntos de la región interior del
polígono, está enteramente incluido en él.
92

93. Los Polígonos se clasifican en:
b) Según el número de lados
• Triángulo
• Cuadrilátero
• Pentágono
• Hexágono
• Heptágono
• Octógono
• Eneágono
• Decágono
c) Por su forma
• Equilátero: lados iguales
• Equiángulo: ángulos iguales
• Regular: lados y ángulos iguales
• Irregular: lados y ángulos desiguales
Perímetro y área.
Perímetro : Se denomina perímetro de una figura plana a la suma de las longitudes
de sus lados. De este modo, el perímetro de un triángulo cuyos lados
miden 5 cm, 6 cm y 10 cm es de 5+6+10=21 cm.
Para calcular el perímetro es necesario conocer la longitud de todos los lados de
la figura. Se acostumbra a representar el perímetro de una figura con la letra P.
Área : El área de una figura es la porción del plano que cubre dicha figua. Para medir
las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado
es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cuadrados,
decímetros cuadrados y metros cuadrados o, simplemente, en unidades
de área cuando se quiera que éstas sean otras, como, por ejemplo, la
cuadrícula de un papel cuadriculado.
Se acostumbra a representar el área de una figura con la letra A.
Polígono inscrito y circunscrito.
Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus
vértices están contenidos el ella. Se dice entonces que la circunferencia
está circunscrita al polígono.
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus
lados son tangentes (tocan en un solo punto) a la misma. Se dice entonces
que la circunferencia está inscrita en el polígono.
93

94. Cuadrilátero inscrito en la circunferencia o circunferencia circunscrita al
cuadrilátero
Pentágono circunscrito a una circunferencia o circunferencia inscrita en el pentágono.
Propiedades de los polígonos.
A) La suma de los ángulos interiores de un polígono de “n” lados es:
B) La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360°.
C) El número de diagonales de un polígono es:
Triángulos.
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Clasificación de los triángulos.
Según sus ángulos:
• Acutángulo: Tiene sus tres ángulos interiores agudos.
• Rectángulo: Tiene un ángulo interior recto. Los lados que forman el ángulo
recto se llaman catetos y el tercero hipotenusa.
• Obtusángulo: Tiene un ángulo interior obtuso.
Según sus lados:
• Equilátero: Tiene todos sus lados iguales.
• Isósceles: Tiene dos lados iguales.
• Escaleno: Tiene sus tres lados distintos.
Ángulos interiores de un triángulo.
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°
B+ E+ F = 180°
94

95. Ángulos exteriores de un triángulo.
El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores
adyacentes a él.
B+ F= D
G= B+ E
A = 180° - ( B + C)
B = 180° - ( A + C)
C = 180° - ( B + C)
Elementos secundarios en un triángulo.
Simetrales: Son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los
lados.
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto denominado
circuncentro, que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto, es el centro de
la circunferencia circunscrita al mismo.
Bisectrices: Son las semirrectas que dividen los ángulos interiores del triángulo en
dos partes iguales.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro,que
equidista de los lados del triángulo y por lo tanto, es el centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo.
95

96. Alturas: Son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación, trazados
desde el vértice opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Transversal de gravedad: Son los segmentos que unen un vértice con el punto
medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o
centro de gravedad.
Cuadriláteros.
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen
distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los
cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados
para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.
96

97. Clasificación de los cuadriláteros.
Circunferencia y Círculo.
Circunferencia : Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta
figura y que equidistan de un punto llamado centro de la
circunferencia.
Círculo : en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran
contenidos en una circunferencia.
El contorno de esta figura plana es la circunferencia.
97

98. Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello, solo tiene
longitud, mientras que el círculo es una superficie y por tanto, tiene área.
La circunferencia y el círculo se representan por el símbolo ; la identificación de una
u otro se obtiene del contexto.
Ángulos Notables.
Ángulo del centro: Ángulo que tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y sus lados son radios de ella.
Ángulo inscrito: Ángulo que tiene su vértice en un punto de la
circunferencia y sus lados son secantes.
Ángulo semiinscrito: Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y
sus lados son una tangente y una secante
Teorema relativos a los Ángulos notables en la .
98

99. Elementos de una circunferencia.
Diámetro : es el segmento que pasa por el centro y sus extremos son puntos de el.
Es la máxima cuerda (segmento entre dos puntos de la circunferencia)
que se encuentra dentro de una circunferencia, o en un círculo. El
diámetro de una esfera es el segmento que pasando por el centro, tiene
sus extremos en la superficie de esta.
Radio : es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto
llamado centro; o también se puede definir como: cualquier recta punto o
segmento que va desde su centro a cualquier punto de la circunferencia. Un
radio de una esfera es cualquier segmento que va desde su centro a su
superficie. Por extensión, el radio de una circunferencia o esfera es la
longitud de cualquiera de sus radios. El radio es la mitad del diámetro.
Cuerda : es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
Recta secante: aquella recta que toca dos puntos de la circunferencia.
Recta tangente: aquella recta que toca un solo punto de la circunferencia.
99

100. Elementos de un círculo.
Sector circular : es el área de la porción de círculo comprendida entre un arco de
circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. Para tener un
sector circular hacen falta dos parámetros, a saber: el radio y el
ángulo central en grados.
Segmento circular : es la porción de círculo limitada por una
cuerda y el arco correspondiente.
Ángulos inscritos en la circunferencia.
1) Todo ángulo inscrito (α) es igual a la mitad del ángulo del
centro, (β) si el arco ( ) comprendido entre ellos es común.
2) No importa la ubicación del ángulo inscrito. Todos son iguales si
el arco es común.
3) Cuando el arco coincide con el diámetro de la
circunferencia, el ángulo del centro AOB es 180°. Luego el
ángulo inscrito es 90°.
100

101. Teorema : Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un
ángulo recto.
4) Si los arcos son iguales = los ángulos inscritos
también:
Área de un sector circular :
α en grados sexagesimales
α: ángulo del centro
Arco.
Arco (a) : Representa una fracción del perímetro.
101

102. α en grados sexagesimales y α: ángulo del centro
Tabla resumen de áreas y volúmenes de las principales figuras geométricas.
cuadrado triángulo
A = a2 A=B·h/2
rectángulo romboide
A=B·h A=B·h
rombo trapecio
A=D·d/2 A = (B + b) · h / 2
círculo
polígono regular
A = π · R2,
A = P · a / 2 (1)
P=2·π·R
corona circular sector circular
A = π · (R2 − r2) A = π · R2 · n / 360
cubo cilindro
A = 6 · a2 A = 2 · π · R · (h + R)
V = a3 V = π · R2 · h
ortoedro cono
A = 2 · (a·b + a·c + b·c) A = π · R2 · (h + g) (2)
V=a·b·c V = π · R2 · h / 3
prisma recto tronco de cono
A = P · (h + a) A = π · [g·(r+R)+r2+R2]
V = AB · h (3) V = π · h · (R2+r2+R·r) / 3
102

103. tetraedro regular esfera
A = a2 · √3 A = 4 · π · R2
V = a2 · √2 / 12 V = 4 · π · R3 / 3
octaedro regular huso. cuña esférica
A = 2 · a2 · √3 A = 4 · π ·R2 · n / 360
V = a3 · √2 / 3 V = VEsf · n / 360
pirámide recta casquete esférico
A = P · (a + a') / 2 A=2·π·R ·h
V = AB · h / 3 V = π · h2 · (3·R − h) / 3
tronco de pirámide zona esférica
A=½(P+P')·a+AB+AB' A=2·π·R·h
V = (AB+AB'+√AB·√AB') · h/3 V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6
(1)
P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema
(2)
g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número
(3)
AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;
Relaciones en figuras y cuerpos geométricos.
Áreas Sombreadas (Achuradas).
Corresponden a una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes
figuras relacionadas entre sí, generando intersecciones y uniones entre ellas. Para
distinguir la parte que se debe calcular, se procede a sombrearla, es decir, se pinta o
raya imitando texturas. Luego, se identifican las figuras simples que componen la
figura más compleja, llevando la situación al cálculo de áreas de cuadrados,
rectángulos, etc.
Suma de áreas de figuras planas.
Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo
tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente,
sumarlas para encontrar el área total.
Ejemplo
En la figura, ABCD cuadrado de lado 4 cm. y arco DC semicírculo de centro O.
Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado.
Primero, tendremos que calcular el área del círculo.
Como AB = 4 cm., entonces, OC, radio del semicírculo, mide 2 cm. y su área es r2 / 2
=2 .
103

104. Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16 cm2.
Sumando ambas áreas nos dará el área total sombreada, o sea 2 + 16 = 2( + 8)
Resta de áreas de figuras planas.
Este tipo de ejercicios es el más común y corresponde a aquellos que
presentan unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentra
buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado.
Ejemplo
En la figura, ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm. con semicírculo de diámetro AB
inscrito.
El área del rectángulo es AB · BC; BC mide lo mismo que el radio de la
semicircunferencia, por lo tanto el producto es 12 cm. · 6 cm. = 72 cm2.
Ahora calculemos el área del semicírculo, o sea r2 / 2, lo cual resulta 18 cm2.
El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del
rectángulo, y el área menor, que es la del semicírculo, o sea 72 - 18 = 18(4 - ) cm2.
Relaciones en cuerpos geométricos.
Así como en el caso de las áreas de figuras planas, es posible estudiar la
relación entre cuerpos geométricos, que generan uniones o intersecciones, como por
ejemplo, una esfera inscrita en un cubo. La estrategia de resolución de problemas de
esta índole, también es la misma: Esquematizar y reducir los cuerpos a cuerpos
simples, tales como cubos, cilindros, esferas, etc.
Ejemplo
Al cubo de 10 cm. de arista de la figura, se le ha hecho una perforación de sección
circular, perpendicular a una de sus caras, de 6 cm. de diámetro. Si la perforación
atraviesa completamente el cubo, ¿Cuál es el volumen del cuerpo resultante?
Solución
El volumen del cuerpo resultante es igual al volumen del cubo de arista 10, menos el
volumen de un cilindro de radio 3 cm. y altura 10 cm. , que es el volumen de la
perforación.
104

105. El volumen del cubo es: Vcubo = 103 = 1.000 cm3.
El volumen del cilindro es: Vcilindro = = 90 cm3.
La diferencia es igual a V = 1.000 - 90 = 10 (100 - 9 ) cm3.
Problema 1
Hallar el área y perímetro de: ABCD cuadrado, AC = 8 cm.
Solución
Como AC = d (diagonal), se tiene que es igual a, , siendo a el lado.
Luego:
Entonces: Perímetro P= cm.
Área A=
Problema 2
En la figura, AB diámetro de la circunferencia, AC = 8 cm., BC = 6 cm. Hallar área y
perímetro de la circunferencia.
Solución:
Se debe primero, determinar el radio de la circunferencia. Para ello se tiene que el
triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo. Luego aplicando Pitágoras
se tiene:
105

106. Luego, el radio de la circunferencia es 5, ya que AB es diámetro.
Entonces se tienen los elementos para calcular el área y perímetro.
A= cm.
P= cm.
Problema 3.
En la figura, O es el centro de la semicircunferencia de radio 3, y ABCD es trapecio. Si
, , 3 y la semicircunferencia es tangente a CD en P, calcular
el área achurada.
Solución:
Como el radio de la semicircunferencia es 3, se tiene que FO = OG = 3. Entonces:
AB=AF + FO + OG + GB= 1 + 3 + 3 + 2 = 9 cm.
Como 3CD= AB, se tiene que CD = AB/3 = 9/3 = 3 cm.
A su vez, la altura del trapecio es el radio de la circunferencia, es decir 3 cm.
Finalmente el área del trapecio es:
cm .
13. 2 Transformaciones Isométricas.
Las transformaciones geométricas son movimientos que se aplican a figuras
geométricas, produciendo cambios de posición, tamaños o formas. Dentro de estas, se
distinguen las transformaciones isométricas, movimientos que solo producen cambios
de posición, manteniendo su forma y tamaño.
Traslación, rotación y reflexión son tres transformaciones isométricas que se
pueden aplicar sobre figuras geométricas, obteniendo como resultado configuraciones
maravillosas y de múltiples aplicaciones.
Es por ello, que tienen una estrecha relación con la expresión artística, apoyada
en la construcción geométrica. Las transformaciones isométricas adquieren gran
importancia en el desarrollo del sentido espacial y el dominio de interesantes
propiedades de las figuras geométricas.
En términos generales, toda transformación isométrica corresponde a una función
definida en el plano en sí mismo, en el cual, a cada punto de una figura le corresponde
uno y solo un punto en la figura transformada.
Traslación.
106

107. Es un movimiento que desliza o mueve una figura, reproduciendo su diseño y
manteniendo su forma, tamaño y posición. Una traslación mantiene sus lados de igual
medida y paralelos a los de la figura de origen.
Elementos de una traslación.
• Dirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua.
• Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda, derecha, arriba, abajo,
etc.
• Magnitud: Distancia que existe entre la posición inicial y final de cualquier
punto de la figura que se desplaza.
En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm.
en dirección vertical hacia abajo, dando origen a la figura F’. En este caso, solo se
ha especificado la traslación del punto B a B’, pero TODOS los puntos de la figura F
han experimentado la misma transformación:
Traslación en ejes de coordenadas.
En la figura, el triángulo ABC, situado en un sistema coordenado, experimenta
una traslación oblicua, generando vértices homólogos A’, B’ y C’.
Vector de traslación.
En la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladado de los
respectivos puntos de la figura F.
Observamos que la coordenada de A es (3, 7) y que la de A’, su imagen, es (8, 4).
Entonces, concluimos que el punto A se desplazó 5 unidades hacia la derecha y 3
unidades hacia abajo.
Es posible verificar que ocurre lo mismo con B y C, con respecto a B’ y C’ y,
engeneral, con todos los puntos de la figura F.
107

108. Se dice, entonces, que el vector de traslación de la figura F es (5, -3), también
señalado como 5i – 3j, que indica que cada punto de la figura original F se desplaza 5
unidades a la derecha (por el signo positivo) y 3 unidades hacia abajo ( por el signo
negativo).
En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj
Resumen: una traslación en el plano cartesiano.
• Toma como referencia un eje de coordenadas X, Y.
• Los movimientos horizontales tendrán dirección en el eje de las X, y se
denotarán con la letra i.
• Los movimientos verticales tendrán dirección en el eje de las Y, y se denotarán
con la letra j.
• Los movimientos también suelen representarse mediante un vector de
desplazamiento o de traslación (x, y) en donde x e y describen la magnitud del
desplazamiento en los respectivos ejes.
Construcción de una traslación.
Para trasladar una figura, debemos considerar los siguientes pasos:
Primer paso: Trazar una recta por uno de los vértices de la figura en la dirección
deseada.
Segundo paso: Trazar paralelas a la recta dibujada anteriormente, por cada uno de
los vértices de la figura.
Tercer paso: Se elige una distancia d cualquiera para trasladar la figura. Esa misma
distancia se aplica en cada una de las paralelas dibujadas.
Cuarto paso: Uniendo los puntos obtenidos, se obtiene la imagen de la figura inicial.
108

109. Rotaciones.
Una rotación es un movimiento de giro de una figura en torno a un punto,
denominado centro de rotación. Una rotación transforma la figura original,
manteniendo su forma y tamaño pero cambiando su posición.
La figura B se ha obtenido a partir de una rotación en el plano de la figura A.
Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centro en la punta del ala del
ave, tal como lo muestran las figuras siguientes:
Elementos de una rotación.
Magnitud del giro: Medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la
figura original, el punto de rotación como vértice y el punto
correspondiente en la transformación obtenida.
Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa u horario (en sentido de las
manecillas del reloj), o a la izquierda, positiva o antihorario (en
sentido contrario a las manecillas del reloj).
Rotación en ejes de coordenadas.
Como ya sostuvimos, una rotación o giro es una isometría en que todos los
puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se
denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de
rotación. O sea, todos los puntos de la figura son rotados a través de círculos
concéntricos respecto de un origen O y describen los mismos arcos (en medida
angular) de estos círculos.
109

110. Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al
movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido
antihorario.
(+)
Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj. También se
denomina sentido horario.
(-)
Una rotación considera:
• Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma
convencional.
• Medida del ángulo (a) es el giro en que se efectuará la rotación.
• Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.
Para designar una rotación se usa la simbología R (P; ), con con signo + o -, según
sentido de giro.
En la figura, el triángulo F, con vértices ABC, será girado en 90º en sentido antihoraio,
con centro en el origen O,
Obsérvese que cada punto de F tiene su homólogo en F’, ubicado en un arco de
circunferencia de 90º con centro en O.
Volúmenes a partir de rotación de figura planas.
Supongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al eje
de coordenadas, realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones,
genera un cilindro de radio AB y altura AD.
110

111. El volumen V del cilindro obtenido es V = , siendo el radio r = AB y la altura h =
AD.
De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar un cono cuando
gira en torno de uno de sus catetos AC.
El volumen V del cono obtenido es V = , siendo el radio basal r = AB y la
altura h = AC.
Simetrías.
Ejes de simetría.
Un eje de simetría es una recta que divide una figura en 2 partes congruentes,
siendo una la imagen especular de la otra. De ese modo, si pudiera doblarse la figura
por el eje de simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.
Eje de simetría vertical :
Eje de simetría horizontal :
111

112. Simetría en letras del alfabeto :
Ningún eje de 1 eje de simetría 1 eje de simetría 1 eje de simetría vertical y
simetría vertical horizontal otro horizontal
Simetría con respecto a un eje (simetría axial).
Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su
posición.
Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmento
que une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.
Simetría con respecto a un punto (simetría puntual).
Para hallar la simetría con respecto a un punto se debe prolongar, en igual
distancia, la recta que une un punto de la figura con el punto de simetría.
Sea el punto O, el punto de simetría, entonces
Simetría con respecto a ejes de coordenadas.
• Las simetrías con ejes de coordenadas, como referencia, serán horizontales
con respecto al eje X y verticales con respecto al eje Y
• Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje X, tendrá siempre como
punto simétrico a (x, -y).
112

113. •
Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje Y, tendrá siempre como
punto simétrico a (-x, y).
Ejemplo
La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.
La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la figura A’’B’’C’’D’’.
Simetrías sucesivas.
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentes a un
movimiento de traslación.
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes secantes son equivalentes a un
movimiento de rotación, cuya magnitud de rotación es el ángulo AOA’.
Dos simetrías sucesivas con respecto a
ejes perpendiculares son equivalentes a una simetría
con respecto al punto de intersección de los ejes de simetría.
113

114. Teselaciones (Embaldosados).
Se conoce con el nombre de teselación a una configuración geométrica obtenida
por el acoplamiento de una figura o pieza de base, que se repite invariablemente hasta
cubrir completamente un plano.
Hay que tener claro que para embaldosar o teselar un plano con polígonos,
éstos deben cubrir totalmente el plano sin superponerse, ni dejar espacios entre ellos,
y que esto ocurre cuando a cada vértice del polígono concurren polígonos hasta formar
un ángulo completo (360°).
Además, debe recordar y aplicar la fórmula para calcular la medida de un
ángulo interior de un polígono regular, contenido que es estudiado en la Enseñanza
Básica:
ángulo interior = 180º (n - 2) , con n el número de lados del polígono.
n
Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempos más
antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente, como motivos decorativos de
muebles, alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:
Teselaciones a partir de figuras simples
Triángulos
Cuadrados
Hexágonos
El embaldosado con Transformaciones Isométricas.
La simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que
estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los
siguientes ejemplos:
Embaldosado por traslación Embaldosado por rotación Embaldosado por reflexión
Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes
es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras, se han interesado
especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas
plantean problemas colosales.
114

115. Transformaciones isométricas y arte.
También muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M. C. Escher
es, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtió
teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces,
animales, etc.
Ejercicios :
1. ¿Cuántos ejes de simetría tienen las siguientes figuras?
1.1. Cuadrado
1.2. Rectángulo
1.3. Triángulo equilátero
1.1. Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría:
1.2. Un rectángulo tiene dos ejes de simetría:
1.3. Un triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, que son sus alturas:
2. Qué transformación isométrica se distingue en A’ respecto de A?
115

116. A’ es una reflexión de A, teniendo como referencia un eje vertical.
3. ¿Qué transformación isométrica constituye la figura F’ respecto de F?
F’ constituye una rotación de F, con un ángulo de giro de 90° en sentido antihorario.
4. ¿Qué transformación isométrica está presente en la siguiente figura?
Se trata de una rotación en 90º del motivo elemental:
5. ¿Qué transformaciones isométricas se pueden distinguir en la siguiente obra de
Escher?
116

117. En primer lugar, se distingue un grupo de 3 personajes con una rotación de 120º con
centro en sus sombreros, grupo que es trasladado a diferentes partes del plano para
formar una teselación de impresionantes efectos.
13.3 Semejanza y proporcionalidad.
Antes de entrar en los contenidos vamos a definir dos conceptos :
congruencia (≅) : Dos figuras son congruentes si al sobreponerse coinciden en todos
sus puntos, es decir don iguales.
semejanza (~) : Es cuando dos figuras poseen una misma forma y sus partes (ya
sea ángulos o lados) guardan una misma proporción.
Teorema de Thales.
El filósofo y matemático griego Thales de Mileto fue uno de los siete sabios más
grandes de la antigüedad.
El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en
el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene
la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles
entre sí; para ello, se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin
medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró
realizar una brillante triangulación.
El teorema de Thales afirma que:
Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las
medidas de dos segmentos cualesquiera, cortados por una transversal, será igual a la
razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son
proporcionales.
Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos, en donde cada
división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS
por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
117

118. Las medidas de los segmentos correspondientes son proporcionales.
Ejemplo:
En la figura siguiente, el primer requisito es que, BD// EC; entonces, se cumple que
las medidas son proporcionales:
1) 2) 3)
Una de las proporcionalidades importantes es la que relaciona las paralelas:
4) o bien 5)
A partir del teorema de Thales, se puede enunciar el teorema fundamental de
semejanza de triángulos.
“Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos
proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.”
Obsérvese el triángulo PQR. Al trazar la recta TS paralela al lado RP, se puede
demostrar que:
Por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes.
RP // TS
El ángulo Q es común a los dos triángulos
Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes.
118

119. Además:
Por el teorema de Thales .
Para obtener la proporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a
RQ.
Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:
Así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionales
Por lo tanto:
Porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos
proporcionales.
Ejercicios.
1. En la figura siguiente AB // CD. Determine el valor de x.
Se cumple:
2. A las cuatro de la tarde de un día soleado, Rodrigo de 1,6 m de estatura, proyecta
una sombra de 1,2 m. En ese mismo instante, la sombra de un árbol mide 6 m.
Determine la altura del árbol.
119

120. Se cumple que:
La altura del árbol es 8 m.
Semejanza de triángulos.
En geometría, existen casos en los que se presentan ciertas similitudes entre
figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza se establecen cuando las
figuras son de la misma forma y tienen igual o diferente tamaño, respectivamente.
En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida. En la
semejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan necesariamente
la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u homólogos deben ser
congruentes y los segmentos correspondientes o lados homólogos deben guardar entre
sí una relación proporcional.
¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar esta
pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán a
continuación:
Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?
Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que es
congruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O, por
lo que se puede establecer que:
<M = <P = 60°;
<N = <Q = 40°;
<O = R = 80°
Por otra parte, las medidas - en milímetros- de los lados opuestos a estos ángulos
tienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados opuestos
a ángulos iguales es constante.
120

121. Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son
semejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se pueden
representar como:
Definición:
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales, uno a uno, respectivamente
y los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios, que son los
siguientes:
• Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente
iguales.
• Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado (LAL)
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales
respectivamente y el ángulo que forman es congruente.
• Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente
proporcionales.
121

122. Proporcionalidad en la circunferencia.
Teorema de las cuerdas.
Si dos cuerdas se intersectan en un punto P, al interior de un círculo, el
producto de los segmentos determinados en una de las cuerdas es igual al producto de
los segmentos determinados en la otra.
PA · PC = PB · PD
También se conoce como potencia de un punto interno a la circunferencia.
Teorema de las secantes.
Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el
producto de la medida total de una de las secantes por la medida de su segmento
exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por el segmento exterior
respectivo.
PB · PA = PD · PC.
También se conoce como potencia de un punto externo a la circunferencia.
Teorema de la tangente.
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una secante y una
tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida
total de la secante por la medida de su segmento exterior.
PC2 = PB · PA
Teorema de euclides.
"Al trazar la altura desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo, los dos
nuevos triángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al triángulo
rectángulo original".
122

123. 1) En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media
proporcional entre los segmentos de esta última.
Sea AD = q y DB = p CD = h, entonces:
2). Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
AC = b y BC = a
De cada una de estas igualdades, se tiene:
Volviendo a la relación inicial de Euclides, se tiene:
=
luego al extraer raíz, se tiene:
Ejemplo.
En un ABC rectángulo en C, la proyección del cateto “a” mide 12 cm. más que la
proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. ¿Cuál es la altura hc , si mide el doble
que la menor de las proyecciones de los catetos?:
Sea AD=q y DB=p CD=h BC=a AC=a AB=c
Interpretando el enunciado, se tiene p=12+q
A su vez, h=2q
El teorema de Euclides nos dice que:
123

124. Donde q=0, lo que no puede ser, o 3q – 12 = 0
Q=4
Luego, h = 2q = 8 cm.
Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual
a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo
rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene
catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
13.4 Trigonometría.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los lados y los ángulos de triángulos, las propiedades y aplicaciones de las
funciones trigonométricas de ángulos.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana,
que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se
ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Trigonometría En El Triángulo Rectángulo.
Razones trigonométricas básicas para el ángulo :
Consideremos el triángulo ABC de la figura, rectángulo en C.
124

125. Sabemos que en el triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras. Entonces:
De esta igualdad se tiene que:
En la figura, respecto del ángulo , se definen las siguientes razones trigonométricas
fundamentales:
Seno del ángulo :
Coseno del ángulo :
Tangente del ángulo
Sea, en la figura, ABC triángulo rectángulo en B. Con las medidas dadas, calcularemos
las razones trigonométricas fundamentales para el ángulo :
1º: Aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos el lado BC:
2º: Aplicando la definición, calculamos seno :
3º: Aplicando la definición, calculamos coseno :
125

126. 4º: Aplicando la definición, calculamos tangente :
Razones trigonométricas recíprocas para el ángulo.
Consideremos el triángulo ABC de la figura, rectángulo en C.
Se definen las siguientes razones trigonométricas recíprocas, llamadas también cofunciones:
Cosecante del ángulo :
Secante del ángulo :
Cotangente del ángulo :
Observaciones acerca de las funciones trigonométricas fundamentales.
Observación 1: las tres primeras funciones (seno, coseno y tangente) se llaman
principales y las tres restantes (cosecante, secante y cotangente) son sus recíprocas.
Es decir:
De donde:
Observación 2: Si se cumplen las siguientes igualdades:
126

127. Razones Trigonométricas de Ángulos Especiales.
Para algunos casos, es importante conocer los valores de las razones
trigonométricas de algunos ángulos que son muy comunes en su utilización. Entre
ellos, destacan los de 30º, 45º y 60º.
Razones trigonométricas de 45°.
Para determinar el valor de las razones trigonométricas de 45°, se utiliza un triángulo
rectángulo isósceles.
En el triángulo de la figura:
• AC = AB = a
• = 45°
• BC = a , calculado por el teorema de Pitágoras.
Entonces, aplicando las definiciones correspondientes:
sen = . Simplificando a y racionalizando: sen
cos = . Simplificando a y racionalizando: cos
Se observa que sen 45° = cos 45° =
tg = =1
Razones trigonométricas 30° y 60°
Los valores para 30º y 60º pueden ser determinados a través de un triángulo
equilátero, al cual se le traza una de sus alturas para formar un triángulo rectángulo.
127

128. En la figura:
• ABC triángulo equilátero de lado a.
• h es altura del triángulo equilátero ABC, que es igual a h = , que es posible
calcular aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ADC.
• Ángulo BAC = 60° y ángulo ACD = 30°.
Entonces, del triángulo ADC, rectángulo en D, es posible calcular las razones
trigonométricas:
sen 30° = =
cos 30° = =
tg 30° = = =
Para el ángulo de 60°, los respectivos cálculos son:
sen 60° = =
cos 60° = =
tg 60° = =
Obsérvese que se verifica que:
sen 30° = cos 60°
cos 30° = sen 60°
etc.
Resumen de razones trigonométricas de ángulos especiales.
Radián Ángulo sen cos tan
128

129. Identidades Trigonométricas.
Son igualdades que se cumplen para un ángulo cualquiera.
El listado de identidades fundamentales es:
Ejemplo:
Si , entonces es igual a:
Solución:
Aplicando la identidad fundamental:
129

130. Aplicaciones de la Trigonometría.
Desde tiempos inmemoriales, la trigonometría ha tenido importantes
aplicaciones. En este punto, veremos las más básicas.
Resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo implica determinar el valor de sus seis componentes: tres
ángulos y tres lados.
Procedemos de la siguiente forma:
Conocidos un lado y un ángulo
Si se conoce uno de los ángulos agudos, y uno de los lados, podemos determinar el
otro ángulo agudo como el complemento del ángulo conocido (ambos suman 90°). El
largo de los otros dos lados se determina mediante ecuaciones que involucran las
razones trigonométricas apropiadas
Ejemplo:
En el triángulo de la figura, rectángulo en C, calcule lado x, si cos 28° = 0,883.
Solución:
En la figura, se conoce la hipotenusa (50) y se pide calcular x, que es el cateto
adyacente al ángulo
de 28°.
La razón trigonométrica que relaciona cateto adyacente e hipotenusa es el coseno.
Aplicando la definición de coseno:
cos 28° =
Despejando x:
x = 50 cos 28°
x = 50 0,883
x = 44,15 cm.
Conocidos dos lados
Si se conoce el largo de dos lados, el tercero se determina usando el teorema
de Pitágoras. Los dos ángulos agudos se determinan mediante ecuaciones que
involucran las funciones trigonométricas apropiadas.
130

131. Salvo algunos casos en que las tangentes de los ángulos son conocidas (30°,
45°, 60°), la mayoría de las veces no es posible determinar el ángulo a partir del valor
de su tangente (o de otra razón trigonométrica), sino a través de calculadora científica
o programas computacionales.
En este caso, si tg = 1,875, usando calculadora, el valor de = 61,9°
aproximadamente.
Ángulos de elevación y de depresión.
Son aquellos formados por la horizontal considerada a nivel del ojo del
observador y la línea de mira, según el objeto observado esté por sobre o bajo esta
última.
Ejemplo:
Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º, como muestra la
figura. Si, desde que despega, sigue una línea recta, ¿A qué distancia (d) se encuentra
este desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros?
131

132. Solución:
Respecto del ángulo de 30°, se conoce el cateto opuesto (1.500 m) y se debe calcular
la hipotenusa (d).
La razón trigonométrica que relaciona ambas magnitudes es el seno. Entonces:
Pero sen 30° = 1/2. Entonces:
La distancia del avión a esa altura, desde el punto de despegue es 3.000 metros.
Unidad 14. Probabilidades y Estadística.
14.1 Probabilidades.
Co nc ep to s Bá sic o s.
Expe r ime nto ale ator io :
Es un fenómeno de cualquier tipo, en cuyos resultados interviene el azar; se
conocen todos los posibles resultados de un experimento, pero no se puede predecir
cuál de ellos se producirá específicamente.
Por lo tanto, un experimento aleatorio es un experimento posible de reproducir
todas las veces que se desee, pero sus resultados no se pueden predecir. Por ejemplo,
en el lanzamiento de un dado para ver qué número resulta, se puede determinar el
conjunto de resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero no es posible predecir ninguno
de ellos.
Espacio muestral :
Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Se
representa por .
Ejemplo:
1. Experimento E = Lanzamiento de un dado
Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Experimento E= Lanzamiento de dos monedas
Espacio muestral ={cc, cs, sc, ss} cc(cara-cara) cs(cara sello) sc (sello cara) ss
(sello sello).
132

133. Suce so o e ve nto :
Es cualquier subconjunto del espacio muestral . Generalmente, se representa
mediante las primeras letras mayúsculas: A, B, C, etc.
Ejemplo:
Experimento = Lanzamiento de un dado.
Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso A = Se obtiene número par.
A = {2, 4, 6}.
Var iable ale ato r ia :
Es aquella que asocia cada elemento del espacio muestral , con un número
real. Se representa mediante las últimas letras del abecedario: X, Y, Z.
Ejemplo:
X = Nº de ases ( es decir el uno) que resultan al lanzar 5 veces un dado.
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Tip o s d e Suc eso s.
Suce so s simple s y co mpue sto s :
Sucesos simples :Cuando un evento puede ocurrir de una sola forma.
Sucesos compuestos: Cuando un evento puede ocurrir de diversas formas.
Un suceso compuesto, a su vez puede dividirse en varios eventos simples.
Ejemplo:
Lanzar un dado y observar si cae un número par
Suceso compuesto: {2, 4, 6}.
Sucesos simples: {2}, {4}, {6}.
Suce so se gur o :
Es aquel que siempre se verifica como resultado de un experimento aleatorio.
Ejemplo:
A = Obtener un número entero del 1 al 6 al lanzar un dado normal.
A es un suceso seguro.
Suce so impo sible :
Es aquel que nunca se verifica como resultado de un experimento aleatorio.
Ejemplo:
A = Obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado normal.
A es un suceso imposible.
Suce so co mple me ntar io o co ntr ar io :
Dos sucesos son contrarios si uno es la negación lógica del otro.
Ejemplo:
A = Obtener Nº6 al lanzar un dado.
B = No obtener Nº6 al lanzar un dado.
Ay B son sucesos contrarios. Suelen representarse por A y A’, respectivamente.
133

134. Suce so s mutuame nte excluye nte s :
Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma
simultánea.
Ejemplo:
A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.
B = Se obtiene Nº4 al lanzar un dado.
A y B son sucesos mutuamente excluyentes. No pueden ocurrir ambos a la vez.
Suce so s inde pe ndie nte s :
Dos o más sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta
la probabilidad de ocurrencia del otro.
Ejemplo:
A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.
B = Se obtiene sello al lanzar una moneda.
A y B son sucesos independientes.
Suce so s co ndicio nale s :
Dos sucesos A y B son condicionales si la probabilidad de ocurrencia de un
suceso B está supeditada a la ocurrencia de un suceso anterior A.
Ejemplo :
Desde un grupo de 7 personas, hombres y mujeres, se selecciona a dos, uno a uno,
sin reposición. Si interesa el género (sexo) del seleccionado, la segunda extracción
está condicionada al resultado de la primera extracción. En efecto, si la primera resulta
mujer, para la segunda extracción hay una persona menos en el grupo y una mujer
menos y si el primero resultó hombre, hay una persona menos en el grupo y la misma
cantidad de mujeres.
M1 = El primer seleccionado resulta mujer.
M2 = El segundo seleccionado resulta mujer.
M1 y M2 son sucesos condicionales.
La probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A se escribe: P(B/A).
Pro b a b ilid a d d e Suc eso s.
Pro babi lida d de L aplace :
La probabilidad de que un suceso A ocurra es la razón entre el número de casos
favorables al suceso A y el número total de casos posibles. Numéricamente puede
expresarse como fracción, como decimal o como tanto por ciento.
Enfo que de la pr o babili dad a pr io r i :
Consiste en determinar la probabilidad de un suceso que aún no ha sucedido.
Ejemplo 1:
134

135. 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar al lanzar una vez un dado
normal?
Casos favorables: 3.
Casos totales: 6.
Entonces, P(Nº impar) = .
Ejemplo 2:
¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos al lanzar dos dados?
Espacio muestral: Las combinaciones posibles son:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Casos favorables: 6 casos suman 7
Casos totales: 36
Entonces P(siete puntos) =
Enfo que de la pr o babili dad e mpír ica :
Consiste en determinar la probabilidad de un suceso con los datos históricos de casos
sucedidos.
Ejemplo:
Se han lanzado dos monedas 25 veces, registrando los siguientes resultados:
Suceso Nº de observaciones
Cara – Cara 4
Sello – Cara 7
Cara – Sello 8
Sello – Sello 6
Total 25
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?
Casos favorables: 6
Casos totales: 25
Entonces: P(Sello-Sello) = = 0,24.
135

136. Á lg eb ra d e Suc eso s.
SI A y B son sucesos en el espacio muestral . Entonces:
Suceso Significado
A Ocurre el suceso A.
A’ No ocurre A.
(A o B) Ocurre A o B.
(A y B) Ocurre A y B, ambos a la vez.
(A – B) Ocurre A y no ocurre B.
Ejemplo
Interesa estudiar la actividad de los jóvenes egresados de Educación Media, en cuanto
a su estudio y trabajo. Se definen los sucesos E y T como:
E = Estudia.
T = Trabaja.
Entonces, los sucesos:
(T – E) = Trabaja, pero no estudia.
(E y T) = Trabaja y estudia a la vez.
T’ = No trabaja.
EoT = Estudia o trabaja.
Ax io m a s y Teo r em a s d e la Pro b a b ilid a d .
Axio mas de la pro babil ida d :
• La probabilidad de un suceso A, en un espacio muestral , es un número real
entre 0 y 1 (entre 0% y 100%), ambos valores inclusive.
Axioma 1:
• Si un suceso A, en un espacio muestral , es seguro, su probabilidad es 1.
Axioma 2: P(A) = 1 A = suceso seguro
• La probabilidad de que ocurran todos los sucesos de un espacio muestral , en
un experimento aleatorio dado, es igual a la unidad.
Siendo = {A, B, C,....,N}, con A, B, ..., N mutuamente excluyentes.
Axioma 3: P(A) + P(B) +.....+ P(N) = 1
Te or e mas de la pr o babili dad :
Si A y B son sucesos en el espacio muestral . Entonces:
• Valo r e s e xtre mo s de P:
• Pro babi lida d de suce so s impo sib le s :
136

137. P(A) = 0 A = suceso imposible
• Probabilidad de dos sucesos contrarios (complementarios)
:
P(A')= 1 – P(A) P(A) + P(A') = 1
Donde A y A’ son sucesos contrarios.
Llamando p a la probabilidad de un suceso y q a la probabilidad del suceso contrario,
entonces:
q=1–p p+q=1
Ejemplo
Cierto día la probabilidad de que llueva es 0,35. Por lo tanto, la probabilidad de que no
llueva es:
P(No llueva) = 1 – P(Lluvia) = 1 – 0,35 = 0,65.
• Probabilidad de sucesos excluyentes :
P(A o B) = p(A) + p(B) A y B son sucesos mutuamente excluyentes.
Ejemplo
En una frutera hay 3 naranjas, 4 plátanos y 6 manzanas. Si se saca una sola fruta al
azar, la probabilidad de que sea una manzana o un plátano es:
P(M o P) = p(M) + P(P) = + = .
• Probabilidad de sucesos independientes :
P(A y B) = P(A) · P(B) A y B son sucesos independientes.
Ejemplo:
Si la probabilidad de lluvia es P(Ll) = 0,4 y la probabilidad de que corra viento es
P(V) = 0,15, entonces, si ambos fenómenos son independientes, la probabilidad de
que llueva con viento es:
P(V y Ll) = 0,15 · 0,4 = 0,06.
• Pro babi lida d de suce so s co ndicio na le s :
P(A y B) = P(A) × P(B/A)
P(B/A) es la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A.
Esta probabilidad está dada por:
P(B/A) =
De aquí, despejando, se obtiene que:
(P y B) = P(A) • P(B/A).
137

138. Ejemplo
Desde una caja donde hay 4 fichas rojas y 6 negras, se extraen al azar, una a una,
dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas resulten negras?
P(N y N) = P(N1) · P(N2/N1)
P(R y N) = = .
Distribución binomial.
La distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli:
La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un
experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que
la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0.
La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de veces
el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La
variable puede tomar valores entre:
0: si todos los experimentos han sido fracaso.
n: si todos los experimentos han sido éxitos.
La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente
modelo:
k = N° de aciertos.
n = n° de ensayos.
p = probabilidad de éxito.
Ejemplo :
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
" k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6
(en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos,
entonces k = 6)
" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10
" p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo
tanto p = 0,5
La fórmula quedaría:
Luego,
P (x = 6) = 0,205
Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10
veces una moneda.
138

139. Diagrama de árbol.
Como la fómula anterior es muy complicada de aprender, un amanera más fácil
de solucionar este tipo de problemas es utilizando un diagrama de árbol.
Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, el siguiente diagrama sirve para representar este
experimento:
El primer lanzamiento de moneda tiene dos resultados posibles: Cara (C) o sello (S).
Por cada uno de ellos hay los mismos dos resultados para el segundo lanzamiento, por
lo tanto son cuatro las posibilidades: CC, CS, SC, SS. Estas están representadas por
cuatro "rutas" en el diagrama de arbol.
La probabilidad de cara es 1/2, y la probabilidad de sellos también es 1/2.
Agregamos estas probabilidades a las ramas:
Las probabilidades de cada una de las cuatro rutas se obtienen multiplicando las
probabilidades de cada tramo que forma la ruta. Por ejemplo, la probabilidad de
{cara,cara} es 1/2 x 1/2 = 1/4. De esa manera podemos calcular las probabilidades de
las cuatro rutas, que son las que se muestran en el siguiente gráfico:
Estas se pueden sumar. Vemos que la suma total es 1, es decir, es seguro que
alguna deellas se va a cumplir. Más que eso, la suma de las probabilidades que
aparecen una encima de la otra, siempres es 1. Eso se debe a que se tiene la certeza
que uno de esos eventoa va a ocurrir.
La probabilidad del evento "un sello y una cara" corresponde a CS o SC, y es
igual a 1/4 + 1/4 = 1/ 2. La probabilidad de "al menos una cara" corresponde a CC, CS
o SC, y es igual a 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4.
139

140. Ejemplo: Se lanzan tres veces una moneda al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener
3 veces caras?
Para resolver esto tenemos dos caminos: Uno Hacer el conjunto de posibles
soluciones usando pares ordenados para organizar la información o bien hacer un
“diagrama de árbol”.
Si las bolitas verdes son “caras” y las blancas “sellos. Entonces habrá sólo una solución
dentro de 8 posibles soluciones.
Si hacemos el conjunto total de posibles soluciones Ω nos resulta:
Ω = { ( c,c,c) ,( c,c,s), ( c,s,c), ( c,s,s) , (s,c,c) ( s,c,s) , ( s,s,c ), ( s,s,s)}
1
Entones P ( c,c,c ) =
8
Esta forma de conteo sirve en el caso de iterar “ repetir” fenómenos aleatorios.
Ejemplo 2:
En un grupo de 36 participantes, se les da a elegir entre varios colores para
pantalón y polera necesarios para las actividades deportivas; en los pantalones hay
azules, verdes y grises; en las poleras se puede elegir entre blancas, amarillas, rosa o
color arena. Si todas las prendas están en una caja, ¿ Cuál es la probabilidad que una
persona saque la combinación azul-arena? Organiza la información en un diagrama de
árbol.
Blanca
Amarilla
Azul
Rosada
Arena
Blanca
Verde
Amarilla
Rosada
Arena
Gris
Blanca
Amarilla
Rosada
Arena
1
Luego la probabilidad de sacar la combinación pedida es = .
12
Ejercicios :
140

141. 1) Un experimento consiste en lanzar una moneda y un dado en forma simultánea una
cierta cantidad de veces y registrar los resultados.
a) Determinar el espacio muestral
b) Usando la regla de Laplace, calcular:
P(sale cara y nº par)
P(sale un número primo)
P(resulta cara y el número uno)
El espacio muestral de este Experimento es:
= {c1-c2-c3-c4-c5-c6-s1-s2-s3-s4-s5-s6} siendo c (cara) s (sello); total, 12
posibles resultados
Entonces, observando este espacio muestral, se tiene:
P(sale cara y nº par)=
P(sale un número primo)= (Recuerda :2, 3, 5 son números primos)
P(cara y el uno) = .
2) Considera una urna con 10 bolitas rojas y 6 blancas. El experimento consiste en
sacar una bolita, registrar el color y luego volver a introducirla (con reposición).
Los eventos son:
R: Sale bolita roja
B: Sale bolita blanca.
a) ¿Cuál es la probabilidad P(R) ?:
b) ¿ Cuál es la probabilidad P (B)?:
a) P( R) =
b) P (B) =
3). Considera la misma urna con 10 bolitas rojas y 6 blancas. El experimento ahora
consiste en sacar dos bolitas. Se extrae la primera, se registra el color y luego, se
vuelve a introducir (con reposición). Se extrae la segunda, se registra el color y se
introduce nuevamente.
Se definen los sucesos:
RR : Se extraen dos bolitas rojas
Bb. : Se extraen dos bolitas blancas
AB : Se extrae primero una bolita roja y luego una blanca
Vd. : Se extrae primero una bolita blanca y luego una roja
Calcular:
a) P(RR)
b) P (BB)
c) P (RB)
d) P(BR)
141

142. Se trata de sucesos independientes, porque el espacio muestral no varía cuando se
hace la segunda extracción, ya que, previamente, se devuelve la bolita extraída.
Luego:
a) P(RR)= P(R) P( R) =
b) P ( BB)= P (B) P( B) =
c) P ( RB)= P( R ) P(B) =
d) P(BR)= P ( B) P( R ) = .
4). En una caja, como la de la figura, hay fichas blancas y negras de igual peso y
tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una ficha, esta sea
blanca?.
Aplicando Laplace, se tiene:
P( blanca)= .
5).
P(sea mujer y prefiera torta de lúcuma) = .
14.2 Estadística Descriptiva.
Conceptos Básicos.
Estadística : La estadística es el estudio de los métodos científicos para generar,
organizar, resumir, presentar y analizar datos provenientes de
fenómenos estadísticos, usados para la formulación de conclusiones y
toma decisiones razonables, de acuerdo a esos análisis.
Es posible distinguir dos tipos de estadística, cada cual con sus objetivos y
métodos :
142

143. Estadística descriptiva : Es la fase de la estadística que solo se ocupa de describir o
analizar un grupo o muestra, sin intenciones de concluir acerca del
universo del cual proviene. Para ello, ordena y organiza los datos en
tablas y gráficos, calcula indicadores y extrae conclusiones respecto
del fenómeno que se estudia.
Estadística inductiva o inferencial : Es la fase de la estadística que, sobre la base
del análisis de una muestra representativa de una población, infiere o
generaliza conclusiones respecto de la misma. De ahí su nombre, ya
que emplea el método inductivo, que procede de lo particular a lo
general.
Fenómeno estadístico : Es un fenómeno cuyos resultados particulares son
imposibles de predecir, pero que, sin embargo, parecen obedecer a un
perfil general posible de conocer o delinear, cuando se cuenta con gran
cantidad de datos.
Las palomitas de maíz constituyen un fenómeno estadístico típico. Un montón
de granos de maíz se fríen en una olla. Cuando se dan ciertas condiciones, los granos
estallan y se abren en una especie de flor blanca. Pero no se abren todos a la vez.
Unos primero, otros después. ¿De qué depende que un grano se abra? No lo sabemos.
Posiblemente, de la temperatura, que podría no ser la misma para todos los granos.
Quizá también de la estructura particular de cada uno; por eso, estallan en distintos
momentos. Como los detalles para el estudio y comprensión de este tipo de fenómenos
son muy complicados, solo podemos aspirar a describirlos en términos estadísticos y
de probabilidad. De este modo, no sabemos qué pasa con un grano de maíz en
particular, pero podemos trazar un esquema general de lo que pasa con el conjunto de
granos.
Fases o etapas de los métodos estadísticos :
• Generación de datos por medición o conteo.
• Organización de datos para construir un todo entendible y coherente.
• Presentación de datos en tablas y gráficos.
• Análisis de los datos de tablas, gráficos e indicadores numéricos.
• Interpretación de datos en el contexto del estudio.
• Conclusiones del estudio.
Población : También denominada universo o colectivo. Es el conjunto de todos los
individuos u objetos que poseen características comunes susceptibles
de estudio.
Algo importante que hay que mencionar es que no siempre se trabaja con todos
los datos o sujetos de una población. Esto, por diversas razones, que pueden ser desde
prácticas hasta por economía. En efecto, resultaría muy costoso, por ejemplo, reunir
datos de todos los seres humanos, o impracticable, obtener datos de la resistencia al
choque de los automóviles producidos por una cierta empresa realizando la medición
de toda la producción. En todo caso, cuando se estudia toda una población, se habla
de censo. En Chile, se realiza un censo de Población y Vivienda cada 10 años, el último
de los cuales tuvo lugar el año 2002.
Por esta razón, se considera un subconjunto del total de los casos, sujetos u
objetos que se estudian y de los que se obtienen los datos. La población, entonces, es
el total hipotético de los datos que se estudian o recopilan. Ante la imposibilidad
ocasional de conseguir a la población, se recurre a la muestra, que viene siendo un
subconjunto de los datos de la población, pero tal subconjunto tiene que contener
datos que puedan servir para posteriores generalizaciones de las conclusiones.
Muestra : Es un subconjunto de la población o universo, que se selecciona con el
objeto de estudiarla. El tamaño de la muestra es el número de
elementos considerados en ella.
Ventajas de trabajar con muestras :
143

144. • Es más barato, al emplear menos recursos y tiempo.
• Es más rápido, por tener menos datos que manejar.
• Al ser una muestra, se puede estudiar el fenómeno en forma detallada.
Desventajas de trabajar con muestras :
• Requiere especialistas en selección de muestras y manejo de datos.
• Siempre está presente la incertidumbre o error inherente al trabajo con
muestras.
• Se corre el riesgo de que la muestra no sea representativa de la población.
Concepto de Variable : Una variable es un atributo observable, ya sea de un objeto,
individuo, animal, fenómeno, etc., que puede tomar distintos valores
entre los individuos de una población. Una variable debe ser
susceptible de medición.
Ejemplos de variables :
• Orientación política de los votantes (izquierda, centro, derecha).
• Velocidad en Km/h de los automóviles de una autopista.
• El peso al nacer, en Kg, de los niños y niñas de la 8ª región.
• Nivel educativo de los mayores de 50 años (básico, medio, superior).
Tipos de variable :
Las variables pueden clasificarse bajo varios criterios. Uno de ellos es el siguiente:
Variables alfanuméricas o cualitativas : En estas, los atributos de los objetos son
valores agrupables en categorías alfabéticas. Estas variables carecen
de propiedades aritméticas, por cuanto las posibilidades de operar
matemáticamente con sus valores son muy limitadas.
Variable nominal: Corresponde a la simple clasificación de los individuos de una
muestra o población en distintas categorías mutuamente excluyentes.
Por esta razón es también llamada variable categórica.
Ejemplos
-Estado civil de las personas: soltero, casado, viudo, otro.
- Comuna de residencia: Quilleco, Conchalí, Parinacota, etc.
Dentro de las variables nominales, hay un caso especial llamado variable
dicotómica que resulta cuando la variable tiene dos valores mutuamente excluyentes.
Es decir, uno de los valores es el contrario lógico del otro.
Ejemplos:
- Estado civil: casado, no casado.
- Inscripción en el Registro Electoral: Sí, No.
144

145. Variable Ordinal : Clasifica a los individuos en distintas categorías que tienen un
orden de precedencia o graduación desde un mínimo a un máximo.
Ejemplos:
- Grado de interés de los estudiantes en las ciencias: Alto, Medio, Bajo.
- Frecuencia de uso de Internet: Siempre, Generalmente, A veces, Nunca.
Variables numéricas o cuantitativas : Son aquellas que se pueden expresar
numéricamente. Estas variables tienen propiedades aritméticas y
algebraicas que hacen posible realizar sobre sus valores, las
operaciones aritméticas básicas, lo que no ocurre con las variables
alfanuméricas.
Variable Discreta: Los valores de la variable son números enteros. Entre dos valores
consecutivos no existen otros valores posibles de la variable.
Ejemplos:
- Número de hijos por familia: 0, 1, 2, 3,... hijos.
- Número de integrantes del grupo familiar: 1, 2, 3, ...
Variable continua: La variable puede tomar infinitos valores a lo largo de la recta
numérica. Los valores de la variable son números reales.
Ejemplos:
- Peso al nacer de una muestra de recién nacidos: 4,320; 3,740; 2,860 Kg, etc.
- Interés cobrado por casas comerciales: 2,6%; 4,15%; 3,45%; etc.
Tablas de Frecuencia.
La organización y presentación de datos en tablas de frecuencias es una de las
formas más recurrentes y útiles en la estadística. A partir de ellas se realiza el análisis
de las peculiaridades que presenta la muestra con relación a la variable estudiada,
poniendo énfasis en las regularidades e irregularidades que se observan, así como en
las acumulaciones de frecuencias, anomalías, etc., es decir, en todo aquello que llame
la atención del investigador.
De acuerdo a los propósitos de un estudio estadístico, es posible construir una
gran variedad de tablas, dependiendo del tipo de variable estudiada, de la
disponibilidad de datos, del nivel de agregación o desagregación deseada, etc., pero
todas tienen como objeto la presentación organizada de datos con el objeto de conocer
el perfil del fenómeno estudiado.
En este marco, una tabla simple cuenta con una columna en la cual se ubican
los valores de la variable, una columna de número de casos (frecuencia) y una
columna de %.
Tablas para variable alfanumérica.
Una variable cualitativa puede ser, como ya se vio, nominal u ordinal. Su
organización en tablas es sencilla, al igual que su interpretación.
Veamos el siguiente ejemplo:
Tabla Nº 1: Comuna de residencia de una muestra de trabajadores del sector
comercio.
145

146. Esta tabla muestra una variable de tipo nominal, por cuanto sus valores, que
son alfanuméricos, no tienen un orden determinado.
De acuerdo a la tabla podemos enunciar que en la muestra estudiada, el 24,8%
de los trabajadores encuestados tiene residencia en la comuna de Santiago, mientras
que el 20,8% de ellos residen en la comuna de San Miguel. La comuna con menos
residentes, es Peñalolén, con solo un 6,4% de la muestra.
Tabla Nº 2: Evaluación del servicio municipal de extracción de basura domiciliaria por
parte de 400 vecinos.
En este caso, la variable es ordinal, con valores: Muy bueno, Bueno, Ni bueno ni
malo, Malo y Muy malo.
De acuerdo a la tabla, el 60% de los vecinos encuestados opina que el servicio
de extracción de basura es bueno o muy bueno, mientras que solo el 19% opina que
es malo o muy malo.
Tablas para variable discreta.
Tabla Nº 3: Número de hijos por matrimonio.
Se trata en este caso de una variable numérica discreta, por cuanto ordenamos
los distintos valores de la variable (0, 1, 2, 3, 4 y 5) de menor a mayor, cada valor con
su correspondiente frecuencia.
146

147. De acuerdo a la tabla, el 24% de las familias encuestadas no tienen hijos,
mientras que el 76% tiene entre 1 y 4 hijos. Es destacable el hecho que el 12% de los
encuestados tienen más de 2 hijos.
Tablas en Intervalos para variable continua.
Cuando los datos están medidos en una escala numérica continua, la
construcción de tablas para la presentación de los mismos se hace mediante la
partición del recorrido de los valores de la variable en intervalos.
Para confeccionar la tabla, se fija el número total de intervalos y la longitud de
cada uno de ellos. La tabla se construye de modo que sus intervalos son abiertos por
la derecha, es decir, el límite inferior pertenece al intervalo, pero el superior no. En la
tabla Nº4, el primer intervalo corresponde a , el que incluye el 150 y excluye
el 155, que se sitúa en el segundo intervalo.
Tabla Nº 4: Estatura de 40 personas, en centímetros.
Para la interpretación de este tipo de tablas, se debe tener en cuenta que la
variable es numérica continua, por lo que no es posible establecer la frecuencia de un
valor puntual, como por ejemplo 154 cm., sino que siempre se debe interpretar en
términos de intervalos. Por ejemplo, según la tabla Nº4, el 7,5% de la muestra mide
menos de 155 cm, el 60% mide entre 155 y menos de 165 cm, mientas que el 32,5%
mide al menos 165 cm. Un 4% de la muestra presenta la mayor estatura, que va de
170 a 175 cm.
Tablas bivariadas.
Las tablas bivariadas agrupan los datos provenientes de la medición conjunta
de dos variables en los mismos sujetos de una muestra. Por ejemplo, a una misma
persona se le puede medir peso y estatura, peso y estado civil, etc.
La tabla Nº5 muestra la distribución de una muestra de estudiantes
encuestados, según si están o no interesados en seguir estudios superiores.
Se puede observar que ambas variables, Interés y Género son de tipo nominal,
dicotómicas.
Tabla Nº 5: Distribución de estudiantes de Educación Media, según género e interés
por seguir estudios superiores. Número de casos.
147

148. Según la tabla Nº5, la muestra consideró un total de 634 mujeres, las que
representan el = 57,5%, mientras que los hombres son 468, con un 42,5%.
De acuerdo a la tabla, 989 encuestados tienen interés por seguir estudios
superiores, los que representan el = 89,7% de la muestra, mientras que a
113 estudiantes, de un total de 1.102, no les interesa seguir ese tipo de estudios.
Según los datos de la misma tabla, 47 sujetos son del sexo femenino y no están
interesados por seguir estudios superiores, representando el = 4,3% de la
muestra, aproximadamente.
De los encuestados de sexo masculino, que son 468, están interesados en
seguir estudios superiores 402, lo que representa aproximadamente el =
85,9% de los sujetos de este segmento.
Gráficos Estadísticos.
Gráfico de barras.
Se usa especialmente para visualizar la tabla de frecuencias de una variable
nominal u ordinal.
Gráfico Nº 1: Natalidad en Chile entre los años 1980 y 1999.
Gráfico de sectores circulares (de torta).
Visualiza la tabla de frecuencias relativas de una variable nominal u ordinal, de
modo que el sector circular es proporcional con la respectiva frecuencia. Se utilizan
para representaciones gráficas de distribuciones porcentuales en las cuales es
importante visualizar el todo en sus partes componentes, ya que el área total del
círculo equivale al 100%.
148

149. Gráfico Nº 2: Distribución de la población femenina con kilos de más.
Gráfico de tallo y hojas.
A partir de la tabla Nº3 se puede trazar el siguiente gráfico de tallo y hojas:
Para este gráfico, el “tallo” está representado por los valores de la variable
ordenados de menor a mayor, de arriba a abajo, mientas que cada “hoja” representa
una observación.
Histograma de frecuencias.
Es la representación gráfica de una tabla de frecuencias de datos, agrupados en
intervalos de clase. Se utiliza, generalmente, para describir el comportamiento de las
variables aleatorias continuas.
Gráfico Nº 4: Talla de una muestra de machas del litoral central de Chile, mm.
Según el gráfico :
El 15% de la muestra tiene una talla entre 30 y 40 mm.
El 75% de la muestra tiene una talla de 50 o más mm.
149

150. Estadígrafos o Estadísticos.
Un estadígrafo o estadístico es un número real calculado a partir de los valores
observados de una variable en una muestra. En una colección de datos numéricos,
pueden calcularse varios tipos de estadígrafos, siendo los más conocidos la media
aritmética, la mediana y la moda. El valor del estadígrafo en la población recibe el
nombre de parámetro.
Media aritmética ( ):
Es el promedio aritmético de una muestra de datos estadísticos. Es decir es el
cuociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total n.
Para calcular la media aritmética los datos deben ser numéricos.
Ejemplo :
La tabla siguiente muestra el número de integrantes de una muestra de 25 familias.
La media aritmética es:
= = 4,48 integrantes por familia.
El promedio de integrantes por familia en la muestra es 4,48.
Mediana (Me).
La mediana de una muestra de datos estadísticos, ordenados en magnitud
creciente o decreciente, es el valor central, si el número de datos es impar o la media
aritmética de los valores centrales si el número de datos es par.
La mediana, en consecuencia, es un número real que divide la distribución de
frecuencia en dos segmentos del 50% cada uno. El 50% de las observaciones son
menores o iguales a la mediana y el otro 50% son mayores o iguales a ella.
Para calcular la mediana, los datos deben ser ordinales o numéricos, ya que
deben poder ordenarse.
Ejemplo 1 :
Los siguientes son los tiempos que emplea un escolar en llegar hasta su colegio,
tomados de una muestra aleatoria de días:
150

151. 24, 13, 18, 32, 26, 20, 27 minutos.
Ordenando los tiempos de menor a mayor: 13, 18, 20, 24, 26, 27, 32
El valor que queda al medio es 24. Por lo tanto, el tiempo mediano es 24 minutos.
Este valor significa que:
El 50% de las veces, el estudiante emplea más de 24 minutos, mientras que en la otra
mitad de las ocasiones, emplea menos de 24 minutos.
Ejemplo 2 :
Las siguientes son las opiniones de una muestra de 7 personas acerca de un programa
de TV:
El programa es: Bueno, Regular, Malo, Bueno, Regular, Regular, Malo.
Ordenando: Malo, Malo, Regular, Regular, Regular, Bueno, Bueno.
El valor del medio es “Regular, por lo tanto, la mediana es “Regular”.
Moda (Mo).
La moda de una muestra de datos estadísticos es el valor de la variable que
ocurre con mayor frecuencia. En una colección de datos, la moda puede no existir o
existir dos modas. Con esta consideración, la moda puede calcularse en cualquier tipo
de datos, sean estos cualitativos o cuantitativos.
Ejemplo:
Las siguientes son las opiniones de una muestra de 7 personas acerca de un programa
de TV:
El programa es: Bueno, Regular, Malo, Bueno, Regular, Regular, Malo.
El valor más frecuente en la muestra es “Regular” (aparece 3 veces), por tanto la
opinión modal es que el programa es “Regular”.
151