Separación de la ecuación independiente del tiempo Soluciones de las ecuaciones

1. CARRERA DE BIOFÍSICA
MECÁNICA CUÁNTICA

3. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el potencial de Coulomb se puede resolver
haciendo aplicaciones sucesivas de la técnica de separación de variables que permitan dividir la
ecuación diferencial parcial en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una de
ellas función de una sola coordenada, y después estas ecuaciones pueden resolverse utilizando los
procedimientos ordinarios.
La separación de variables no podrá ser utilizada cuando se trabaje con coordenadas rectangulares
porque el potencial mismo no puede dividirse en términos tales que cada uno de ellos sea función de
una sola de las coordenadas. Esta dificultad se puede evitar si se emplean coordenadas polares
esféricas. Estas son las coordenadas
Veamos el procedimiento:
Para un átomo de hidrogeno (átomo con un solo electrón)
El estudio teórico del átomo de hidrogeno es importante ya que sirve de base para el estudio y la
predicción del comportamiento del electrón, en la cuántica.
Importante:
La ecuación de Schrödinger describe correctamente el comportamiento de cualquier sistema atómico.

4. Nota:
La ecuación de Schrödinger describe correctamente el comportamiento del electrón viene dado por:
El cual contiene un potencial central que solo depende de la distancia del electrón al núcleo.
Para obtener la Ecuación Independiente del tiempo; el método que realizamos es la separación de
variables el mismo que no podrá ser utilizada cuando se trabaje con coordenadas rectangulares
porque el potencial no puede dividirse en términos tales que cada una de ellos sea función de una sola
de las coordenadas; para evitar esta dificultad se emplean las coordenadas polares esféricas.

5. Las coordenadas polares esféricas vienen dadas
corresponde a la longitud de la línea
que une el electrón con el origen (el
núcleo
Como vemos en la figura siguiente:
corresponden a los ángulos
polar y azimutal que especifican
la orientación de dicha línea

6. Ahora bien, como la distancia entre el electrón y el núcleo está dada solo por r , en coordenadas polares
esféricas el potencial de Coulomb se puede expresar como función de una coordenada.
Reemplazando en la ecuación (01):
Debido a esta gran simplificación en la forma del potencial, la separación de variables es realizable en
la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, como se verá enseguida. Sabemos que nuestra
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

7. En coordenadas polares esféricas me queda:
Donde mi Laplaciano viene dado por:
Reemplazo en coordenadas polares:

8. Comparando las formas del operador Laplaciano en coordenadas rectangulares y esféricas.
De cualquier forma, el cambio de coordenadas vale la pena porque permitirá encontrar soluciones a la
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la forma:
Es decir, se demostrara que existen soluciones

9. Que se dividen en productos de tres funciones
cada una de las cuales solo depende de
una de las coordenadas. La ventaja se encuentra en el hecho de que estas tres funciones se pueden obtener
resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias.
Reemplazamos (05) en la (04):
Reemplazo la (06) en (03) en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

10. Realizando las derivadas parciales, se tendrá:
Si ahora se multiplica toda la ecuación
Nos queda:

11. Por lo tanto, el valor común deberá ser una constante, que por conveniencia se designara por .
Así pues, igualando ambos miembros de la ecuación anterior a esta constante, se obtiene dos ecuaciones:
:
Rearreglando términos, la segunda ecuación se puede escribir como:

12. :
De esta manera, la supuesta solución en forma de producto
es válida porque
funciona, es decir es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
También se observa que el problema se ha reducido a resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias
(08),(09) Y (10) para

13. Al resolver estas ecuaciones se encontrara que la ecuación tiene soluciones aceptables solo para ciertos
valores de
. Usando estos valores de en
la ecuación para
resulta que esta ecuación para R®
se encuentra que esta solo tiene soluciones aceptables para ciertos valores de la energía total E; es decir, la
energía del átomo esta cuantizado.
:
Estos números describen el tamaño, la forma y la orientación en el espacio de las orbitales de un
átomo.

15. Considérese (08) para
La solución más fácil y particular:
La condición de que
ángulos azimutales
sea monoevaluada se debe considerar explicativamente debido a que los
en realidad son el mismo ángulo, es decir:

16. Evaluando la exponencial en la solución particular
Está condición se satisface solo si el valor absoluto de
se obtiene:
toma uno de los valores
En otras palabras,
solo puede ser un número entero, positivo o negativo. Por lo tanto, el conjunto
de ecuaciones que son soluciones aceptables

17. Donde
toma uno de los valores enteros especificados por (11). La forma específica de las soluciones
aceptables, se identifica con el número cuántico
, usando como subíndice.
:
En cuanto a las funciones
que son solución de (09) el procedimiento para obtenerlas es muy
parecido al que se utiliza para resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Se
encuentra que las soluciones aceptables (que permanecen finitas) solo se obtienen si la constante l es
igual a uno de los enteros:
Las soluciones aceptables se pueden escribir como:

18. Las
son polinomios en
, cuya forma depende del valor del número cuántico l y del valor
absoluto del número cuántico
. Así, es necesario usar ambos números cuánticos para identificar las
funciones
que resuelven satisfactoriamente la ecuación.
:
El procedimiento utilizado para obtener las funciones R(r) que son soluciones de (10), es también muy
similar al utilizado en el caso del potencial de oscilador armónico simple. Se encuentra que las
soluciones correspondientes a estados ligados solo son aceptables (permanecen finitas) si la constante
E (la energía total) tiene uno de los valores
donde
En esta expresión, el número cuántico n es uno de los enteros:

19. Las soluciones aceptables se pueden escribir en forma más conveniente como: (7-24)
Donde el parámetro
es:
Los términos
son polinomios en
, que toman diferentes formas para diferentes valores de n
y l. Por lo tanto, ambos números cuánticos son necesitas para identificar las diferentes funciones de
que son soluciones aceptables de la ecuación. Sin embrago, los valores permitidos de
la energía
total, son caracterizados solo por el numero cuántico n, ya que solo dependen del valor que tome este
número cuántico. Donde n=1, 2,3…

20. Eisberg- Resnick, Física cuántica átomos, moléculas, solidos,
núcleos y partículas Recuperado el 19 de diciembre del 2013