Ejercicio. como obtener las ecuaciones de onda TM para una guía rectangular.

1. 13-2-6. Guía rectangular. Onda TM. Demuéstrese que las componentes del campo
para una onda TM en una guía de onda rectangular hueca de un solo conductor
están dadas por:
De la siguiente figura

2. Se desarrollara el método lo más detallado posible para las ondas TM de la
siguiente manera:
1. Se inicia con las ecuaciones de Maxwell.
2. Se aplica la restricción de variación armónica con respecto al tiempo.
3. Se aplica la restricción de variación armónica y atenuación con respecto a
x.
4. Se selecciona el tipo o modo de onda de transmisión (TM en este caso por
lo que y ).
5. Se encuentran las ecuaciones para otras cuatro componentes de campo
( , , , ) en términos de .
6. Se desarrolla la ecuación de onda escalar para .
7. Se resuelve esta ecuación de onda para sujeta a condiciones en la
frontera de la guía de la onda.
8. Se sustituye de nuevo en las ecuaciones del paso 5, dando un conjunto
de ecuaciones que expresan cada componente de campo en función del
espacio y del tiempo. Esto constituye la solución completa del problema.
Al comenzar con el paso 1 del procedimiento, se tiene de las ecuaciones del
rotacional de Maxwell en coordenadas rectangulares el siguiente conjunto de seis
ecuaciones escalares:
Por las ecuaciones de divergencia de Maxwell en coordenadas rectangulares se
tiene para el caso de espacio libre de carga (ρ = 0) las siguientes ecuaciones
escalares:

3. Suponemos ahora que cualquier componente de campo varía armónicamente
tanto con el tiempo como con la distancia y que además puede atenuarse con la
distancia (pasos 2 y 3). En consecuencia, limitando la atenuación a ondas que
viajan en la dirección positiva de x, se tiene, por ejemplo, que la componente de
campo se expresa por medio de
Donde
Cuando se introduce la restricción de (9) en las ecuaciones de la (1) a la (8) estas
se reducen a:

4. Las ocho ecuaciones anteriores pueden simplificarse si se introduce una
impedancia en serie Z y una admitancia en paralelo Y en forma análoga a una
línea de transmisión, donde
Sustituyendo estas relaciones en las formulas de la (10) a la (17) queda
Estas son las ecuaciones generales para el campo de estado estacionario de una
onda que viaja en la dirección x. Hasta ahora no se han hecho restricciones en el
modo de la onda o en la forma de la guía. Ahora ya se está en la posibilidad para
proseguir con el paso 4 e introducir la condición para que una onda TM en el que
. Las ecuaciones se reducen a:

5. Siguiendo con el paso 5, se vuelven a escribir estas ecuaciones de manera que
cada componente de campo esté expresada en términos de . Para hacerlo
notamos que de (29) y (30) que
La razón o es una cantidad que corresponde, en el caso de una guía
de onda, a la admitancia característica de una línea de transmisión. Puesto que
(36) solo contiene componentes transversales de campo, se le puede llamar
admitancia de onda transversal de la guía de onda. Entonces,
Al introducir (37) en (33) y luego despejar queda

6. De manera semejante, sustituimos (37) en (32) despejamos
Ahora, al sustituir (39) en (37)
Y sustituyendo (38) en (37) da
Las ecuaciones (38) a (41) expresan las cuatro componentes transversales de
campo en términos de . Con esto se completa el paso 5.
Prosiguiendo con el paso 6, es posible obtener una ecuación de onda en
tomando la derivada con respecto a y de (38) y la derivada con respecto a z de
(39) y ambas se sustituyen en (34).

7. La derivada de (38) es:
La derivada de (39) es:
Al sustituir las derivada en (34)
O bien
Haciendo se reduce (43) a
Esta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y primer grado. Es una
ecuación de onda escalar en . Se aplica a una onda TM en una guía de
cualquier forma de sección transversal. Con esto se completa el paso 6.
El paso 7 consiste en encontrar una solución de (44) que satisfaga las condiciones
en la frontera para la guía de onda en consideración, que en este caso es el tipo
rectangular hueco, como se muestra en la figura. El ancho de la guía es y la
altura es . Las condiciones de frontera son:

8. El problema ahora es encontrar una solución de (44) sujeta a estas condiciones en
la frontera. El método de separación de variables puede aplicarse para obtener la
solución. Entonces , en (44) es una función de y & z. En consecuencia puede
buscarse una solución de la forma:
Donde
Sustituyendo (45) en (44) se obtiene
Luego de dividir entre para separar las variables se obtiene
El primer termino es una función de y solamente, el segundo termino es una
función de z solamente, mientras que es una constante. Para que los dos
términos (cada uno contiene una variable independiente) sean igual a una
constante se requiere que cada termino sea una constante. Entonces puede
escribirse:
Donde y son constantes. Entonces
Cada una de las ecuaciones (48) y (49) solo incluye una variable independiente.
Una solución de (48) es
Al sustituir (51) en (48) da

9. En consecuencia (51) es una solución puesto que (52) se satisface. Otra solución
es
Si (51) y (53) son cada una, una solución para , su suma es también una
solución, o bien
En la misma forma puede escribirse una solución para como
Al sustituir (54) y (55) en (45), se obtiene la solución para .
Luego de sustituir (56) en (40) y (41) e introduciendo las condiciones en la
frontera, debe pedirse que
Donde m y n son enteros (0,1, 2, 3, ...). Ellos pueden ser iguales a los mismos
enteros o a enteros diferentes. La solución para toma la forma
Donde . Si (59) se multiplica por un factor constante, es
todavía una solución. Esto es, el factor no debe contener y o z aunque puede
contener a x o el tiempo t. De acuerdo con ello (59) se puede multiplicar por el
factor exponencial en (9) puesto que da la variación supuesta para los campos
respecto a x y t. La solución completa para se convierte en

10. Esto completa el paso 7. Para desarrollar el paso 8, (60) se sustituye en (38) y en
todas hasta la (41), dando como resultado las componentes transversales del
campo: