Este documento describe los métodos de Runge-Kutta para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que estos métodos aproximan la solución mediante el cálculo de pendientes en puntos intermedios dentro de cada paso, lo que los hace más precisos que el método de Euler. Luego describe variaciones específicas de Runge-Kutta de segundo, tercer y cuarto orden, incluidos sus parámetros y ejemplos numéricos. Finalmente, compara la precisión de estos métodos para diferentes tamaños de paso.

1. 5.1.2 Método de Runge- Kutta
Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la
serie de Taylor sin necesitar del cálculo de derivadas superiores.
Existen muchas variaciones pero todas ellas se pueden ajustar a la
forma general de la ecuación (16.1):
[16.28]
donde a <¡> (x¡, y„ h) se le llama función de incremento y puede
interpretarse como el promedio de la pendiente sobre el intervalo.
La función de incremento se puede escribir en la forma general
como

2. Obsérvese que las k son relaciones recurrentes. Esto es, k1 aparece
en la ecuación de k2, que aparece en la ecuación de k3, etc. Esta
recurrencia hace a los métodos RK eficientes para su cálculo en
computadora.

3. Se pueden desarrollar varios métodos de Runge-Kutta empleando
una cantidad diferente de términos en la función de incremento
especificados por n. Nótese que el método RK de primer orden con
n = 1 es, de hecho, el método de Euler. Una vez que se ha escogido
n, los valores de las a, de las p y de las q se evalúan igualando la
ecuación (16.28) a los términos en una expansión de la serie de
taylor (recuadro 16.1). Por lo tanto, al menos para versiones
menores de la orden, en general, el número de términos n
representa el orden del método. Por ejemplo, en la siguiente
sección, los métodos RK de segundo orden usan una función de
incremento con dos términos (n = 2). Estos métodos de segundo or-
den son exactos si la solución a la ecuación diferencial es
cuadrática. Además, debido a que se desprecian los términos con h3
y de orden superior durante la derivación, el error local de
truncamiento es 0(/i3) y el error global es 0(h2). En secciones
posteriores se desarrollan los métodos RK de tercer y cuarto orden
(n = 3 y 4). En estos casos, los errores globales de truncamiento son
0(h3) y 0(h4), respectivamente.

6. 16.3.1 Métodos de Runge-Kutta de segundo orden
La versión de segundo orden de la ecuación (16.28) es
Como se describe en el recuadro 16.1, los valores de a1; a2, P1 y Q11
se evalúan igualando la ecuación (16.30) a la expansión de la serie
de Taylor hasta el segundo término. Haciendo esto, se obtienen tres
ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas constantes. Estas tres
ecuaciones son

7. Debido a que se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se
debe suponer el valor de una de las incógnitas para determinar las
otras tres. Supóngase que se especifica el valor de a2. Entonces las
ecuaciones (16.31) a la (16.33) se resuelven simultáneamente para:
[16.34]
[16.35]
Ya que se puede escoger una cantidad infinita de valores de a2,
existe un número infinito de métodos de RK de segundo orden. Cada
versión llevaría exactamente a los mismos resultados si la solución
de la EDO es cuadrática, lineal o constante. Sin embargo, llevan a
resultados diferentes cuando la solución es más complicada (como
es el caso típico). A continuación se muestran tres de las versiones
más comúnmente usadas y preferidas:

8. Método de Heun con un corrector simple (a2 = 1/2). Si se considera
que u2 es igual a un medio (1/2), entonces las ecuaciones (16.34) y
(16.35) se pueden resolver para aj = 1/2 y Pi = qn = 1. Estos
parámetros, cuando se sustituyen en la ecuación (16.30) generan
Obsérvese que k1 es la pendiente al principio del intervalo y k2 es la
pendiente al final del intervalo. Por consiguiente, este segundo
método de"' Runge-Kutta es realmente el método de Heun con una
sola iteración del corrector

9. El método mejorado del polígono (02 = 1). Si se supone que o2 sea
1, entonces at = 0, pt = qn = 1/2, y la ecuación (16.30) viene a ser:
Este es el método mejorado del polígono.
Método de Ralston (a2 = 2/3). Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz
(1978) determinaron que escoger a2 = 2/3 proporciona un límite míni-
mo en el error de truncamiento de los algoritmos RK de segundo
orden. Para esta versión, aj = 1/3 y Pi = qn = 3/4:

10. EJEMPLO 16.6
Comparación de varios métodos RK de segundo orden
Enunciado del problema: utilícese el polígono mejorado [Ec. (16.37)]
y el método de Ralston [Ec. (16.38)] para integrar numéricamente la
ecuación (VI. 14):

11. desde x = 0 hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5. La condi-
ción inicial en x = 0 es y = 1. Compárense estos resultados con los
valores obtenidos usando otro algoritmo RK de segundo orden: el
método de Heun con iteraciones de un corrector (Fig. 16.10 y cuadro
16.3).
Solución: el primer paso en el método del polígono mejorado es el de
usar la ecuación (16.37a) para calcular:
No obstante, debido a que la EDO es una función sólo de x, este
resultado se requiere para calcular k2; al usar la ecuación (16.37b)
se tiene

12. Nótese que esta aproximación de la pendiente es mucho más
cercana a! valor promedio sobre el intervalo (4.437 5) que la
pendiente al principio del mismo (8.5) que debió usarse en el método
de Euler. La pendiente en el punto medio se puede sustituir en la
ecuación (16.37) para predecir
CUADRO 16.3 Comparación de los valores verdaderos y
aproximados de la integral de y' = —2x3 + 12x2 — 20x + 8.5, con la
condición inicial de que y — 1 en x = 0. Los valores aproximados se
calcularon usando tres versiones RK de segundo orden con un
tamaño de paso de 0.5

13. Heun
corrector
simple
Polígono mejorado Ralston RK de
segundo orden
X Y veradera Y|Ev| % Y|Ev| % Y|Ev| %
0.0 1.000 00 1.000 00 0 1.000 00 0 1.000 00 0
0.5 3.218 75 3.437 50 6.8 3.109 375 3.4 3.277 343 75 1.8
1.0 3.000 00 3.375 00 12.5 2.812 50 6.3 3.101 562 5 3.4
1.5 2.218 75 2.687 50 21.1 1.984 375 10.6 2.347 656 25 5.8
2.0 2.000 00 2.500 00 25.0 1.75 12.5 2.140 625 7.0
2.5 2.718 75 3.187 50 17.2 2.484 375 8.6 2.855 468 75 5.0
3.0 4.000 00 4.375 00 9.4 3.812 50 4.7 4.117 187 5 2.9
3.5 4.718 75 4.937 50 4.6 4.609 375 2.3 4.800 781 25 1.7
4.0 3.000 00 3.000 00 0 3 0 3.031 25 1.0
El cálculo se repite, y los resultados se resumen en la figura 16.13 y
en el cuadro 16.3.

14. FIGURA 16.13 Comparación de la
solución verdadera con los métodos
numéricos, tres RK de segundo
orden y método de Euler.

15. En el método de Ralston, k1 en el primer intervalo también es igual a
8.5 y [Ec. (16.38b)]:
La pendiente promedio se calcula mediante
que se puede usar para predecir
Los cálculos se repiten, y los resultados se resumen en la figura
16.13 y el cuadro 16.3. Obsérvese cómo todos los métodos RK de
segundo orden son superiores al método de Euler.

16. 16.3.2 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden
Se puede llevar a cabo una derivación análoga a la del método de
segundo orden, para n = 3. El resultado de esta derivación es de
seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben
especificar a priori los valores de dos de las incógnitas para
determinar los parámetros restantes. Una versión común que resulta
es

17. Obsérvese que si la derivada es una función sólo de x, este método
de tercer orden se reduce a la regla de Simpson de 1/3. Ralston
(1962) y Ralston y Rabinowitz (1978) han desarrollado una versión
alternativa que proporciona un límite mínimo en el error de
truncamiento. En cualquier caso, los métodos RK de tercer orden
tienen errores globales de 0(h4) y 0(h3), respectivamente, y llevan a
resultados exactos cuando la solución es de orden cúbico. Como se
muestra en el siguiente ejemplo, cuando se trata de polinomios, la
ecuación (16.39) será exacta cuando la ecuación diferencial sea de
orden cúbico y la solución de orden cuarto. Esto es porque la regla
de Simpson de 1/3 proporciona aproximaciones exactas a la integral
de orden cúbico (recuérdese el recuadro 13.3).

18. EJEMPLO 16.7
Método RK de tercer orden
Enunciado del problema: utilícese la ecuación (16.39) para integrar
a) Una EDO que es exclusivamente una función de x [Ec. (VI. 14)]:
con y(0) = 1 y de tamaño de paso igual a 0.5. b) Una EDO que es
una función de x y y:

19. con y(0) = 2 desde x = 0 a 1 con un tamaño de paso 1.
Solución:
a) Se pueden usar las ecuaciones (16.39a) a la (16.39c) para
calcular:
que se puede sustituir en la ecuación (16.39) para obtener:
la cual es exacta. Por lo tanto, ya que la solución verdadera es un
polinomio de cuarto

20. b) Se pueden usar las ecuaciones (16.39a) a la (16.39c) para calcular:
orden [Ec. (VI. 13)]. La regla de Simpson de 1/3 proporciona un
resultado exacto.
que se puede sustituir en la ecuación (16.39) y obtener:
que representa un ev = 0.31 % (valor verdadero = 6.194 631 38), que
es superior en mucho a los resultados obtenidos previamente con los
métodos RK de segundo orden (esto es, el Heun sin iteraciones) del
ejemplo 16.5.

21. 16.3.3 Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden
Los métodos RK más populares son los de cuarto orden. Como
sucede con los métodos de segundo orden, existe un número infinito
de versiones. El siguiente algunas veces se llama método clásico RK
de cuarto orden:

22. Obsérvese que para las EDO que sólo son función de x, el método
clásico de RK también es equivalente a la regla de Simpson de 1/3.
EJEMPLO 16.8
Método clásico RK de cuarto orden
Enunciado del problema: utilícese el método clásico RK de cuarto
orden [Ec. (16.40)] para integrar:
usando un tamaño de paso de 0.5 y una condición inicial de y = 1 en
x = 0.
Solución: las ecuaciones (16.40a) a la (16.40d) se usan para
calcular:

23. el cual es exacto. Por lo tanto, debido a que la solución verdadera es
de cuarto orden [Ec. (VI. 13], el método de cuarto orden proporciona
un resultado exacto.

24. 16.3.4 Método de Runge-Kutta de orden superior
Donde se requiera mayor exactitud, se recomienda el método RK de
quinto orden, Butcher (1964):

25. Obsérvese la similitud entre el método de Butcher y la fórmula
Newton-Cotes de quinto orden del cuadro 13.3. Se puede disponer
de fórmulas RK de orden superior, tales como el método de Butcher,
pero, en general, la ganancia obtenida en exactitud por los métodos
de orden superior al cuarto se contrapone con la complejidad y
esfuerzo de cálculo!
EJEMPLO 16.9
Comparación de los métodos de Runge-Kutta
Enunciado del problema: empléense los métodos RK desde primero
hasta quinto orden para resolver

26. con y(0) = 2 de x = 0 hasta x = 4 con varios tamaños de paso. Com-
párese la exactitud de los varios métodos en el resultado x = 4
basado en la respuesta exacta de y(4) = 75.338 962 61.
Solución: efectúense los cálculos usando los métodos de Euler,
Heun sin corregir, RK de tercer orden [Ec. (16.39)], RK clásico de
cuarto orden y el método RK de Butcher de quinto orden. Los
resultados se muestran en la figura 16.14, en donde se ha graficado
el valor absoluto del error relativo porcentual contra el esfuerzo
computacional. Esta última cantidad es equivalente al número de
evaluaciones de la función necesarias para alcanzar un resultado,

27. FIGURA 16.14 Comparación del error
relativo porcentual contra el esfuerzo de
cálculo de los métodos del primero al
cuarto de Runge-Kutta.

28. [16.42]
en donde n¡ es el número de cálculos de la función relacionados con
el cálculo particular RK. Para órdenes < 4, nf es igual al orden del
método. Sin embargo, obsérvese que el método RK de Butcher de
quinto orden requiere de seis cálculos de la función [Ec. (16.41a)] a la
(16.41/)]. La cantidad (b — a)/h es el intervalo total de integración
dividido por el tamaño del paso, es decir, es el número dedicaciones
del método RK necesarias para obtener el resultado. Por lo tanto, ya
que las evaluaciones de la función son, en general, los pasos que
consumen más tiempo, la ecuación (16.42) proporciona una medida
aproximada del tiempo de corrida necesarios para alcanzar la
respuesta.

29. Analizando la figura 16.14 se llega a algunas conclusiones: primero,
que los métodos de orden superior obtienen mejores exactitudes con
el mismo esfuerzo de cálculo y segundo, que la ganancia en exacti-
tud por el esfuerzo adicional tiende a disminuir después de un punto.
(Nótese que las curvas caen rápidamente al principio y después
tienden a nivelarse.)