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ESTRUCTURAS C151
Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
EJEMPLO 2: SISTEMAS DE FUERZAS NO CONCURRENTES EN EL PLANO
En el esquema estructural de la figura calcular:
1) Magnitud, dirección y sentido de la resultante del sistema de fuerzas actuantes, y
ubicación de la recta de acción de la resultante.
Se adopta un sistema de ejes de referencia X-Y en este caso por conveniencia el origen
O coincidente con A. Se descomponen todas las fuerzas actuantes en sus componentes
en X e Y para poder trabajar con sumas algebraicas en cada uno de los ejes.
El sistema de fuerzas se puede reducir a un punto agregando los respectivos momentos
resultantes de la traslación de cada fuerza y luego se lo puede tratar como un sistema
concurrente para calcular su resultante, es decir que directamente para obtener la
resultante se pueden calcular las resultantes en X e Y y luego componerlas
vectorialmente
Cálculo de la resultante:
Rx: ∑Fxi : Pcos30 + 2P= 2.87P
Ry: ∑Fyi: -Psen30 – 4P= -4.5P
│R│=√Rx2
+Ry2
= 5.34P R=arctg(Ry/Rx)= 57º
200
P
4P
100P
2P
100
30º
A
B
C
200
4P
100P
2P
100
30º
X
Y
O ≡ A
B
C
Pcos30
Psen30
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Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
Como Ry<0 y Rx>0 el sentido es hacia el 4to cuadrante
Para obtener la ubicación de la recta de acción de la resultante se puede proceder de
distintas formas y según qué camino de adopte se obtendrán distintos puntos de la recta
de acción de la resultante.
a) Se puede tratar el sistema como dos sistemas de fuerzas paralelas en X e Y ubicando
la resultante de fuerzas en X por un lado, y la resultante de fuerzas en Y por el otro,
encontrando dos distancias yR y xR respectivamente, respecto del punto donde se elija
hacer la reducción de fuerzas. Cuando haya una cupla aplicada como en este ejemplo, la
misma se puede considerar en la reducción de las fuerzas en X o en las de Y, pero no en
ambas porque se estaría contando la cupla dos veces. Basta recordar que el resultado de
reducir todas las fuerzas a un punto es agregar el momento que esas fuerzas producen
respecto de dicho punto, es decir es la suma de los momentos de las componentes x e y,
por lo tanto si se contabilizara el par en ambas componentes, en la suma aparecería dos
veces.
Reducción de las fuerzas en x: ∑MA(Fx): -Pcos30x100= -87P
El sistema de fuerzas en X se ha reducido a A como se muestra en la figura:
La distancia yR a la que pasa Rx con relación a A se calcula por aplicación del teorema de
Varignon:
x
xA
R
R
)F(M
Y
 donde YR es una distancia por lo tanto es un valor en módulo.
cm3.30
P87.2
P87
YR 
2P
X
Y
O ≡ A
B
C
Pcos30
2.87P
X
Y
O ≡ A
B
C
87P 87P
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Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
El sentido del par es el que determina la ubicación de Rx, la fuerza Rx en su posición
original debe producir respecto de A un momento igual a 87P con sentido horario. Como
Rx tiene sentido positivo, es decir a derecha, la distancia yR es en el sentido del semieje Y
positivo (hacia) arriba, de manera de producir respecto de A el momento horario:
De la misma manera se procede con la ubicación de la resultante de las fuerzas en , Ry,
no olvidando considerar en este caso la cupla 100P antihoraria pues no se ha
considerado en el caso de las resultante Rx..
∑MA(Fy): -4Px100+100P= -300P
El sistema de fuerzas en X se ha reducido a A como muestra la figura:
2.87P
X
Y
O ≡ A
B
C
87P
2.87P
X
Y
O ≡ A
B
CYR=30.3cm
X
Y
O ≡ A
B
C
Psen30
4P
300P
X
Y
O ≡ A
B
C
4.5P
300P
ESTRUCTURAS C151
Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
Repitiendo el razonamiento anterior, se debe encontrar la ordenada xR donde debe estar
la recta de acción de Ry para que provoque un momento respecto de A igual a 300P en
sentido horario.
Ry
)Fy(M
X A
R


cm7.66
P5.4
P300
XR 
Habiendo obtenido las ubicaciones de las rectas de acción de Rx y Ry, el punto donde
ambas rectas se cortan pertenece a la recta de acción de la resultante, completando así la
definición de la misma.
C
X
Y
O ≡ A
B
4.5P
300P
X
Y
O ≡ A
B
4.5P
300P
XR=66.7
O ≡ A X
Y
B
YR=66.7
XR=66.7
R=5.34P
X
Y
B
4.5P
YR=66.7
XR=66.7
2.87P
O ≡ A
C R=57º
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Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
b) Otra forma posible de ubicar la resultante consiste en trasladar todas las fuerzas al
punto A agregando los respectivos momentos de las fuerzas en su posición original
respecto del punto de reducción.
Aquí también resulta conveniente trabajar con las componentes según X e Y. Por lo tanto
el momento de todas las fuerzas respecto del punto A es igual al momento de las fuerzas
en X, el de las fuerzas en Y y los pares aplicados.
P387P100100Px4100x30cosPMA 
De esta forma se tienen todas las fuerzas aplicadas en A y un par igual a 387P en sentido
horario:
Esas fuerzas en A se pueden componer como se ha hecho en la parte (a) obteniendo la
resultante igual a 5.34P con un ángulo de 57º orientada en el cuarto cuadrante. La
ubicación de la recta de acción de la resultante se obtiene desplazando paralelamente la
resultante una distancia d medida sobre la perpendicular a su recta de acción de manera
de anular el par 387P horario:
X
Y
O ≡ A
B
C
Psen30
4P
387P
X
2P
Pcos30
Y
O ≡ A
B
C
5.34P
387P
57º
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Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
cm5.72
P34.5
P387
R
M
d A



b) Se desea ahora agregar un número de determinado de fuerzas incógnitas según
direcciones correspondientes de manera de lograr que las fuerzas a agregar y las
existentes constituyan un sistema equilibrado
Lo primero a determinar es el número mínimo de direcciones según la cual actuarán las
fuerzas para lograr el fin propuesto. En tal sentido recordando el segundo principio estas
fuerzas a agregar deben dar como resultante un fuerza igual y contraria y con la misma
recta de acción que la resultante de las fuerzas actuantes originalmente, es decir deben
ser capaces de generar la equilibrante del sistema.
Si se agregasen sólo dos fuerzas incógnitas de direcciones dadas, se podría obtener una
resultante de ambas igual y contraria a la resultante de las fuerzas conocidas, pero sólo
sería la equilibrante si coincidiera con la recta de acción de esta resultante, de lo contrario
ambas formarían un par como se ve en las figura siguiente para las direcciones 1 y 2:
Y
O ≡ A
B
C
5.34P
387P
57º
Y
O ≡ A
B
C
5.34P
d=72.5cm
57º
XX
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Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
Se podría elegir a las direcciones 1 y 2 de manera que se corten sobre la recta de acción
de R para solucionar el inconveniente anterior, pero una variación en el sistema de
fuerzas actuantes podría ocasionar una variación en la ubicación de la recta de acción de
la resultante repitiéndose el inconveniente.
El problema se resuelve agregando una tercera dirección 3 no concurrente con 1 y 2
como se muestra en la figura:
Y
O ≡ A
B
C
R=5.34P
X
1
2
-R=-5.34P
d
S1´
S2´ R
-R
LAS FUERZAS S1´ y S2´ DAN UNA FUERZA
IGUAL Y CONTRARIA A LA RESULTANTE
(POLIGONO CERRADO) PERO COMO EL
PUNTO DE CONCURRENCIA DE AMBAS
NO ESTA SOBRE LA RECTA DE R EL
RESULTADO FINAL ES UN PAR M=Rd NO
NULO. POR LO TANTO EL SISTEMA NO
ESTA EQUILIBADO.
ESTRUCTURAS C151
Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
Si se produjera una variación en algunas de las fuerzas actuantes que produjera un
cambio en la ubicación de R, el punto C.C. variaría su posición en el plano, pero como 2-3
puede tener cualquier dirección pasante por la intersección de 2 y 3, entonces la recta 2-3
pivotearía alrededor de A hasta pasar por la nueva ubicación de C.C y el problema
siempre tendría solución.
LAS DIRECCIONES 2 Y 3 PUEDEN GENERAR UNA FUERZA CON CUALQUIER
DIRECCION PASANTE POR EL PUNTO A DE CONCURRENCIA AMBAS, ENTONCES
EN PARTICULAR PUEDEN GENERAR UNA FUERZA EN LA DIRECCION 2-3
DETERMINADA POR EL PUNTO DE CONCURRENCIA A DE 2 Y 3 Y EL PUNTO DE
CONCURRENCIA PC DE LA DIRECCION RESTANTE 1 CON LA RESULTANTE R DE
LAS FUERZAS ACTUANTES.
LUEGO EL SISTEMA S2-3 S1 Y R ES UN POLIGONO CERRADO Y COMO SON
FUERZAS CONCURRENTES EL SISTEMA ES EQUILIBRADO PORQUE NO HAY
CUPLA.
LA FUERZA S2-3 SE DESCOMPONE EN S2 Y S3 OBTENIENDO ASI LOS VALORES
DE S1, S2 Y S3 QUE EQUILIBRAN AL SISTEMA
S1
S2
R
-R
S3
S2-3
Y
O ≡ A
B
C
R=5.34P
X
1
2
3
2-3
S1
S2
S3
PC
SE CONCLUYE QUE PARA PODER EQUILIBRAR UN SISTEMA DE
FUERZAS NO CONCURRENTES EN EL PLANO SE NECESITAN AL MENOS TRES
DIRECCIONES NO CONCURRENTES.
ESTRUCTURAS C151
Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica
EJEMPLOS
Resolución analítica del problema:
Sabiendo que tres direcciones no concurrentes bastan para asegurar el equilibrio
de cualquier sistema se de fuerzas no concurrentes en el plano, se puede resolver
analíticamente el problema asignando sentido arbitrario a las fuerzas coincidentes con las
tres direcciones dadas, y planteando la condición analítica de equilibrio para un sistema
no concurrente:
de (3) : S1 = 2.74P
de (2): S2 = 2.56P
de (1): S3 = -4.80P El signo negativo se interpreta que el sentido real es contrario al supuesto
200
4P
100P
2P
200
30º
X
Y
O ≡ A
B
C
Pcos30
Psen30
1
2
3
45º
S1S2
S3
(1)
(2)
(3)0200x45senSP100100Px4100x30cosPM
0S45senSP430PsenF
0S45cosS30cosPP2F
1A
21y
31x



200
4P
100P
2P
200
30º
X
Y
O ≡ A
B
C
Pcos30
Psen30
1
2
3
45º
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03 fuerzas - ejemplo 2

  • 1. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS EJEMPLO 2: SISTEMAS DE FUERZAS NO CONCURRENTES EN EL PLANO En el esquema estructural de la figura calcular: 1) Magnitud, dirección y sentido de la resultante del sistema de fuerzas actuantes, y ubicación de la recta de acción de la resultante. Se adopta un sistema de ejes de referencia X-Y en este caso por conveniencia el origen O coincidente con A. Se descomponen todas las fuerzas actuantes en sus componentes en X e Y para poder trabajar con sumas algebraicas en cada uno de los ejes. El sistema de fuerzas se puede reducir a un punto agregando los respectivos momentos resultantes de la traslación de cada fuerza y luego se lo puede tratar como un sistema concurrente para calcular su resultante, es decir que directamente para obtener la resultante se pueden calcular las resultantes en X e Y y luego componerlas vectorialmente Cálculo de la resultante: Rx: ∑Fxi : Pcos30 + 2P= 2.87P Ry: ∑Fyi: -Psen30 – 4P= -4.5P │R│=√Rx2 +Ry2 = 5.34P R=arctg(Ry/Rx)= 57º 200 P 4P 100P 2P 100 30º A B C 200 4P 100P 2P 100 30º X Y O ≡ A B C Pcos30 Psen30
  • 2. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Como Ry<0 y Rx>0 el sentido es hacia el 4to cuadrante Para obtener la ubicación de la recta de acción de la resultante se puede proceder de distintas formas y según qué camino de adopte se obtendrán distintos puntos de la recta de acción de la resultante. a) Se puede tratar el sistema como dos sistemas de fuerzas paralelas en X e Y ubicando la resultante de fuerzas en X por un lado, y la resultante de fuerzas en Y por el otro, encontrando dos distancias yR y xR respectivamente, respecto del punto donde se elija hacer la reducción de fuerzas. Cuando haya una cupla aplicada como en este ejemplo, la misma se puede considerar en la reducción de las fuerzas en X o en las de Y, pero no en ambas porque se estaría contando la cupla dos veces. Basta recordar que el resultado de reducir todas las fuerzas a un punto es agregar el momento que esas fuerzas producen respecto de dicho punto, es decir es la suma de los momentos de las componentes x e y, por lo tanto si se contabilizara el par en ambas componentes, en la suma aparecería dos veces. Reducción de las fuerzas en x: ∑MA(Fx): -Pcos30x100= -87P El sistema de fuerzas en X se ha reducido a A como se muestra en la figura: La distancia yR a la que pasa Rx con relación a A se calcula por aplicación del teorema de Varignon: x xA R R )F(M Y  donde YR es una distancia por lo tanto es un valor en módulo. cm3.30 P87.2 P87 YR  2P X Y O ≡ A B C Pcos30 2.87P X Y O ≡ A B C 87P 87P
  • 3. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS El sentido del par es el que determina la ubicación de Rx, la fuerza Rx en su posición original debe producir respecto de A un momento igual a 87P con sentido horario. Como Rx tiene sentido positivo, es decir a derecha, la distancia yR es en el sentido del semieje Y positivo (hacia) arriba, de manera de producir respecto de A el momento horario: De la misma manera se procede con la ubicación de la resultante de las fuerzas en , Ry, no olvidando considerar en este caso la cupla 100P antihoraria pues no se ha considerado en el caso de las resultante Rx.. ∑MA(Fy): -4Px100+100P= -300P El sistema de fuerzas en X se ha reducido a A como muestra la figura: 2.87P X Y O ≡ A B C 87P 2.87P X Y O ≡ A B CYR=30.3cm X Y O ≡ A B C Psen30 4P 300P X Y O ≡ A B C 4.5P 300P
  • 4. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Repitiendo el razonamiento anterior, se debe encontrar la ordenada xR donde debe estar la recta de acción de Ry para que provoque un momento respecto de A igual a 300P en sentido horario. Ry )Fy(M X A R   cm7.66 P5.4 P300 XR  Habiendo obtenido las ubicaciones de las rectas de acción de Rx y Ry, el punto donde ambas rectas se cortan pertenece a la recta de acción de la resultante, completando así la definición de la misma. C X Y O ≡ A B 4.5P 300P X Y O ≡ A B 4.5P 300P XR=66.7 O ≡ A X Y B YR=66.7 XR=66.7 R=5.34P X Y B 4.5P YR=66.7 XR=66.7 2.87P O ≡ A C R=57º
  • 5. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS b) Otra forma posible de ubicar la resultante consiste en trasladar todas las fuerzas al punto A agregando los respectivos momentos de las fuerzas en su posición original respecto del punto de reducción. Aquí también resulta conveniente trabajar con las componentes según X e Y. Por lo tanto el momento de todas las fuerzas respecto del punto A es igual al momento de las fuerzas en X, el de las fuerzas en Y y los pares aplicados. P387P100100Px4100x30cosPMA  De esta forma se tienen todas las fuerzas aplicadas en A y un par igual a 387P en sentido horario: Esas fuerzas en A se pueden componer como se ha hecho en la parte (a) obteniendo la resultante igual a 5.34P con un ángulo de 57º orientada en el cuarto cuadrante. La ubicación de la recta de acción de la resultante se obtiene desplazando paralelamente la resultante una distancia d medida sobre la perpendicular a su recta de acción de manera de anular el par 387P horario: X Y O ≡ A B C Psen30 4P 387P X 2P Pcos30 Y O ≡ A B C 5.34P 387P 57º
  • 6. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS cm5.72 P34.5 P387 R M d A    b) Se desea ahora agregar un número de determinado de fuerzas incógnitas según direcciones correspondientes de manera de lograr que las fuerzas a agregar y las existentes constituyan un sistema equilibrado Lo primero a determinar es el número mínimo de direcciones según la cual actuarán las fuerzas para lograr el fin propuesto. En tal sentido recordando el segundo principio estas fuerzas a agregar deben dar como resultante un fuerza igual y contraria y con la misma recta de acción que la resultante de las fuerzas actuantes originalmente, es decir deben ser capaces de generar la equilibrante del sistema. Si se agregasen sólo dos fuerzas incógnitas de direcciones dadas, se podría obtener una resultante de ambas igual y contraria a la resultante de las fuerzas conocidas, pero sólo sería la equilibrante si coincidiera con la recta de acción de esta resultante, de lo contrario ambas formarían un par como se ve en las figura siguiente para las direcciones 1 y 2: Y O ≡ A B C 5.34P 387P 57º Y O ≡ A B C 5.34P d=72.5cm 57º XX
  • 7. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Se podría elegir a las direcciones 1 y 2 de manera que se corten sobre la recta de acción de R para solucionar el inconveniente anterior, pero una variación en el sistema de fuerzas actuantes podría ocasionar una variación en la ubicación de la recta de acción de la resultante repitiéndose el inconveniente. El problema se resuelve agregando una tercera dirección 3 no concurrente con 1 y 2 como se muestra en la figura: Y O ≡ A B C R=5.34P X 1 2 -R=-5.34P d S1´ S2´ R -R LAS FUERZAS S1´ y S2´ DAN UNA FUERZA IGUAL Y CONTRARIA A LA RESULTANTE (POLIGONO CERRADO) PERO COMO EL PUNTO DE CONCURRENCIA DE AMBAS NO ESTA SOBRE LA RECTA DE R EL RESULTADO FINAL ES UN PAR M=Rd NO NULO. POR LO TANTO EL SISTEMA NO ESTA EQUILIBADO.
  • 8. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Si se produjera una variación en algunas de las fuerzas actuantes que produjera un cambio en la ubicación de R, el punto C.C. variaría su posición en el plano, pero como 2-3 puede tener cualquier dirección pasante por la intersección de 2 y 3, entonces la recta 2-3 pivotearía alrededor de A hasta pasar por la nueva ubicación de C.C y el problema siempre tendría solución. LAS DIRECCIONES 2 Y 3 PUEDEN GENERAR UNA FUERZA CON CUALQUIER DIRECCION PASANTE POR EL PUNTO A DE CONCURRENCIA AMBAS, ENTONCES EN PARTICULAR PUEDEN GENERAR UNA FUERZA EN LA DIRECCION 2-3 DETERMINADA POR EL PUNTO DE CONCURRENCIA A DE 2 Y 3 Y EL PUNTO DE CONCURRENCIA PC DE LA DIRECCION RESTANTE 1 CON LA RESULTANTE R DE LAS FUERZAS ACTUANTES. LUEGO EL SISTEMA S2-3 S1 Y R ES UN POLIGONO CERRADO Y COMO SON FUERZAS CONCURRENTES EL SISTEMA ES EQUILIBRADO PORQUE NO HAY CUPLA. LA FUERZA S2-3 SE DESCOMPONE EN S2 Y S3 OBTENIENDO ASI LOS VALORES DE S1, S2 Y S3 QUE EQUILIBRAN AL SISTEMA S1 S2 R -R S3 S2-3 Y O ≡ A B C R=5.34P X 1 2 3 2-3 S1 S2 S3 PC SE CONCLUYE QUE PARA PODER EQUILIBRAR UN SISTEMA DE FUERZAS NO CONCURRENTES EN EL PLANO SE NECESITAN AL MENOS TRES DIRECCIONES NO CONCURRENTES.
  • 9. ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Resolución analítica del problema: Sabiendo que tres direcciones no concurrentes bastan para asegurar el equilibrio de cualquier sistema se de fuerzas no concurrentes en el plano, se puede resolver analíticamente el problema asignando sentido arbitrario a las fuerzas coincidentes con las tres direcciones dadas, y planteando la condición analítica de equilibrio para un sistema no concurrente: de (3) : S1 = 2.74P de (2): S2 = 2.56P de (1): S3 = -4.80P El signo negativo se interpreta que el sentido real es contrario al supuesto 200 4P 100P 2P 200 30º X Y O ≡ A B C Pcos30 Psen30 1 2 3 45º S1S2 S3 (1) (2) (3)0200x45senSP100100Px4100x30cosPM 0S45senSP430PsenF 0S45cosS30cosPP2F 1A 21y 31x    200 4P 100P 2P 200 30º X Y O ≡ A B C Pcos30 Psen30 1 2 3 45º S1S2 S3